Funciones generadoras de momentosDefinici? nSea X una variable aleatoria. El valor esperado:

recibe el nombre de funcin generadora de momentos.

Si X es una variable aleatoria discreta

Si la variable es continua

Puede demostrarse que si la funci? generadora de momentos existe, entonces es ? n nica y determina por completo a la distribuci? de probabilidad de X. Es decir, si dos variables n aleatorias tienen la misma funci? generatriz de momentos, entonces, las dos variables n tienen tambi? la misma distribuci? de probabilidad. n n Por otra parte, si la funci? generadora de momentos existe, entonces es indefinidamente n derivable en t=0. Esto nos asegura que generar?todos los momentos, de cualquier orden, de X en cero. En efecto:

Derivando

Para la derivada segunda, se tiene:

En general, siguiendo con el proceso de diferenciaci? se obtiene: n,

El mismo resultado se obtendr? si se reemplaza la funci? exponencial por su desarrollo a n en serie de potencias alrededor de t=0.

al derivar con respecto a t y calcular sus derivadas en t=0, se llegar? al mismo resultado. a

2. Funciones generadoras de momentos de algunas distribuciones discretas. Binomial La funci? de probabilidad de la distribuci? binomial B(n; p) es n n

La funci? generadora de momentos n

Poisson La funci? de probabilidad de una variable aleatoria de Poisson de par? n metro es:

La funci? generadora de momentos viene dada por: n

Binomial negativa La funci? de probabilidad de una variable aleatoria binomial negativa de n par? metros k y p es:

La funci? generadora de momentos est?dada por n

3. Funciones generadoras de momentos de algunas distribuciones continuas. Normal La funci? de densidad de una variable aleatoria que se distribuye seg? una normal n n de par? metros y est?dada por

Empecemos calculando la funci? generadora de momentos centrales. n

En el ? ltimo termino, la parte de la integral y el factor donde se encuentra la ra? z cuadrada constituyen la funci? de distribuci? de una variable aleatoria normal de n n par? metros N (+2t; ) extendida a toda la recta real, valiendo, por tanto, 1. La funci? generadora de momentos respecto del origen puede obtenerse f? n cilmente de

Uniforme La funci? de densidad de una variable aleatoria uniforme est?dada por n

La funci? generadora de momentos se obtiene de la manera siguiente: n

Distribuci? Gama n La funci? de densidad de una variable aleatoria X que se distribuye seg? una gama n n de par? metros y viene dada por

La funci? generadora de momentos se obtiene n

Queda

Funci? exponencial negativa n La funci? de densidad de una variable aleatoria X que se distribuye seg? una n n exponencial negativa de par? metro , est?dada por

La funci? generadora de momentos se obtiene n

Queda

4. Distribuci? de una funci? de una n n variable aleatoria.Sea X una variable aleatoria continua con funci? de densidad fX(x). Sea Y=g(X). n Supongamos que g es una funci? inyectiva, creciente y diferenciable, entonces es posible n determinar la funci? de densidad de Y de la manera siguiente: n

Diferenciando y aplicando la regla de la cadena:

Si g(x) fuera decreciente, el resultado ser? el mismo salvo que la derivada de una funci? a n decreciente ser? negativa. a

TeoremaSea X una variable aleatoria continua con funci? de densidad fX(x) y def? n nase Y=g(X). Si y=g(x); x=g-1(y) son funciones univaluadas, continuas y diferenciables y si y=g(x) es una funci? mon? n tona, la funci? de densidad de Y est?determinada por n

donde

es el Jacobiano de la transformaci? n.

Ejemplo 1Sea X una variable aleatoria continua con funci? de densidad f(x;,,) donde , y n son los par? metros de localizaci? escala y forma, respectivamente. El efecto del n, par? metro de localizaci? puede notarse mas claramente si se considera la variable n aleatoria normalizada Y= (X-)/ el cual no contiene a ni a . Mediante el empleo del teorema, la funci? de densidad de Y es: n

Despejando x= y + ; y dx/dy= . Se tiene:

En particular si X es una variable aleatoria gama cuya funci? de densidad es n

La funci? de densidad de Y=X/ es: n Despejando x= y; dx/dy= . Por tanto

De manera similar si X es una distribuci? Weibull con funci? de densidad de n n probabilidad de

La funci? de densidad de Y=X/ es: n Despejando x= y; dx/dy= . Por tanto

Si no existe par? metro de forma y si y son la media y la desviaci? t? n pica de X, entonces la funci? de densidad de Y dar?lugar a una funci? de densidad libre de n n par? metros con media cero y desviaci? t? n pica 1. Un ejemplo de lo anterior lo tenemos con la funci? de densidad de la distribuci? normal estandarizada. n n

Ejemplo 2Si la variable aleatoria X se encuentra uniformemente distribuida en el intervalo (0; ). Obtener la funci? de densidad de probabilidad de la funci? Y=c.sen(X) donde c es una n n constante positiva cualquiera. La funci? de densidad de X es n

Despejemos x:

Como sen(x) es creciente para (0, /2) y decreciente para (/2, ) se obtiene: Para el intervalo (0, /2)

y para el intervalo (/2, )

La funci? de densidad de Y es: n

Ejemplo 3Sea Z una variable aleatoria, N(0; 1), normal con media 0 y desviaci? t? n pica 1. Demostrar que Y = Z2 es una distribuci? Chi-cuadrado con un grado de libertad. n La funci? generadora de momentos de Z2 es: n

que como sabemos es la funci? generadora de momentos de la distribuci? chi-cuadrado n n con un grado de libertad. l presente artculo presenta, paso a paso, el mtodo de los Mnimos Cuadrados para calcular los parmetros de forma y escala de la distribucin de Weibull. Para el clculo del parmetro de localizacin se emplea el complemento Solver de Excel.

Tambin se presentan dos ecuaciones para calcular el estimador Rango de mediana (ecuaciones 5 y 6), siendo esta ltima una forma aproximada y la que generalmente se usa en la literatura tcnica. Ya que la ecuacin (5) es ms exacta, sta es la que se emplea; para ello, y debido a su complejidad, se presenta el cdigo fuente en el lenguaje VBA (Visual Basic para Aplicaciones) para crear una funcin definida por el usuario en Excel. Igualmente se usan las funciones PENDIENTE e INTERSECCIN.EJE, de Excel, para calcular la pendiente y el intercepto de la lnea de regresin. 1. INTRODUCCIN La distribucin de Weibull es una distribucin continua y triparamtrica, es decir, est completamente definida por tres parmetros y es la ms empleada en el campo de la confiabilidad. A pesar de la popularidad de esta distribucin, en la revisin bibliogrfica efectuada, la mayora de los artculos y literatura tcnica consultados se remiten a una distribucin biparamtrica y, ms an, los ejemplos all desarrollados presentan como datos conocidos los dos parmetros, generndose, as, las siguientes preguntas: Cmo se calculan los parmetros? y por qu se omite el clculo del tercer parmetro? El tercer parmetro es el parmetro de localizacin, es decir, el parmetro que localiza la abscisa a partir del cual se inicia la distribucin. El objetivo del presente artculo es responder a las dos preguntas anteriores, presentando una de las cinco metodologas analticas existentes para el clculo de los parmetros y algunos criterios para determinar si es necesario tener en cuenta el tercer parmetro. El mtodo que se presenta es el mtodo de los Mnimos Cuadrados, por tres razones: la primera, es un mtodo simple y expedito de aplicar; la segunda, la grfica de los datos sirven como una prueba de bondad de ajuste de la distribucin y, la tercera, da un indicio sobre si se debe calcular o no el parmetro de localizacin. Para una metodologa grfica, la cual hace uso del papel especial llamado papel de probabilidad de Weibull, vanse las referencias [5], [6] 2. EXPRESIN MATEMTICA DE LA DISTRIBUCIN La funcin de densidad de la distribucin de Weibull para la variable aleatoria t est dada por la siguiente expresin:

Donde t: Variable aleatoria que, para el caso de la confiabilidad, representa el tiempo entre fallas. : Parmetro de forma (0