BLOQUE

7

Contenido:

PRODUCTOS NOTABLES Y

FACTORIZACIÓNQué vas a aprender: Encontrar los

productos de

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Productos notables y factorización

8

Muy importante:Al finalizar la sección 1-1 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos:¨ Saber obtener e identificar el cuadrado de a) la suma y b) la diferencia de dos números.¨ Saber factorizar e identificar un Trinomio Cuadrado Perfecto.¨ Saber obtener e identificar el producto de dos binomios conjugados.¨ Saber factorizar e identificar una Diferencia de Cuadrados ¨ Saber obtener e identificar el producto de Dos Binomios con un Término Común¨ Saber factorizar e identificar un Trinomio de Segundo Grado¨ Saber aplicar el conocimiento de los productos notables y la factorización al cálculo mental

Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que lleves el control tu

avance.

ACTIVIDAD 1.1.1 Contextualizando el producto notable. Fecha: _______

Geometría

¿Has observado en alguna ocasión la forma geométrica que tienen los campos de agricultura? Es posible que hayas notado que predominan las formas rectangulares. Supón que la medida de la longitud del lado más largo de uno de esos terrenos está dada por el polinomio y el lado corto puede ser representado por ; como sabes que el área de un rectángulo es el producto de su largo con su ancho, entonces puedes multiplicar

con para encontrar el área de dicho terreno.

También el área puede saberse si encontramos la suma de las áreas de los cuatro pequeños rectángulos. Escribe sobre la línea el área de cada rectángulo pequeño, haz la suma, reduce y compara con la respuesta anterior. ________ __________________________________________________________________

El producto de la multiplicación de dos binomios puede encontrarse aplicando la propiedad distributiva, de preferencia siguiendo el orden propuesto.

ACTIVIDAD 1.1.2 Estudiando el producto del Binomio al Cuadrado (BC) Fecha: _______

Binomio al cuadrado. Trinomio cuadrado perfecto

Qué vas a aprender: Encontrar los

productos de

Paso 1. _______________________________________________________________Paso 2. _______________________________________________________________

9

x

x

Fig. A

x

x5

5

Resuelve el siguiente problema: De un cuadrado cuyo lado mide (Fig. A), se recortan algunas partes y queda un cuadrado más pequeño, como se muestra en la figura B. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la Fig. B? ______________________________

Los siguientes desarrollos de binomios al cuadrado se hicieron utilizando la propiedad distributiva, revísalos detenidamente con la intención de generar una regla para encontrar de manera rápida el producto de ellos. El secreto está en detectar regularidades en los productos últimos.

1. 2. 3. 4.

Después de reducir términos semejantes se obtiene el producto notable conocido como Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP). Los productos de los casos anteriores son muy parecidos, excepto por el signo del segundo término.Es importante que estudies la estructura de los binomios y cómo influyeron en el signo del segundo término del TCP.

Para abreviar el desarrollo de un binomio al cuadrado, es suficiente hacer de los TCP una fórmula a seguir. Escribe los pasos requeridos:

ACTIVIDAD 1.1.3 Encontrando el producto del Binomio al Cuadrado Fecha: _______

Encuentra el TCP surgido de cada binomio al cuadrado. Utiliza el método abreviado.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Fig. B

10

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

CORRIGIÓ: _________________ CALIFICACIÓN= _________

ACTIVIDAD 1.1.4 Factorizando el trinomio cuadrado perfecto (TCP). Fecha: _______

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto (TCP), es necesario asegurarse primero que en verdad cumpla con las características de un TCP:

Una vez confirmadas estas características, la factorización consiste en escribir esas dos raíces cuadradas, separadas con el signo del segundo término del TCP, encerradas en un solo paréntesis elevado al cuadrado (un binomio al cuadrado) y listo. Nota: El tercer término de un TCP siempre es positivo.

Detecta si se trata de un TCP, luego factoriza si es posible.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

El tercer término tiene raíz cuadrada exacta.

El primer término tiene raíz cuadrada exacta.

El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primero y

tercer términos.

11

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. Resuelve el siguiente problema: La figura A está dividida en cuatro partes, un cuadrado grande, un cuadrado chico y dos rectángulos iguales. Si el área de la figura completa es .¿Cuánto mide un lado de la figura completa? ______________¿Cuánto mide un lado del cuadrado grande?____________¿Cuánto mide un lado del cuadrado chico?_____________Anota dentro de la figura el área de cada parte.La expresión es un trinomio cuadrado perfecto. Escríbelocomo un producto de dos factores:_________________________

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN= ______

BINOMIOS AL CUADRADO Y EL CÁLCULO MENTAL

A través de los últimos siglos se ha dado el caso de personas con extraordinarias habilidades para el cálculo numérico, no de balde el asombro del público al observar la velocidad con que operan sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, etc. Escenas de acrobacia mental eran más frecuentes en el siglo XIX, después, en la primera mitad del siglo XX fueron menos los casos. En la actualidad son muy pocos los que han desarrollado esta habilidad, tal vez debido al abuso que se hace de las calculadoras a tal grado que aquellas personas que poseen esa capacidad innata no la desarrollan.

Fig. A

12

Fig. 2Fig. 1

xy

y

x

ACTIVIDAD 1.1.5 Trabajando con Binomios Conjugados Fecha: ____________

Dos binomios conjugados. Diferencia de cuadrados

Resuelve el siguiente problema: De un cuadrado de lado x, se corta un cuadrado más pequeño de lado y, como se muestra en la figura 1. Después, con las partes que quedan de la figura 1, se forma el rectángulo de la figura 2. Con base en esta información contesta:

a) ¿Cuál es el área de la figura 1, después de cortar el cuadrado pequeño? ___________

b) Anota las medidas del rectángulo de la figura 2. Largo:___________ Ancho:___________

c) Expresa el área de la figura 2. A=_______________d) Escribe al menos una razón por la que se puede asegurar que la diferencia de dos cuadrados, por ejemplo, x2 – y2, es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces, en este caso, .______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Dos binomios conjugados se caracterizan por ser una suma de binomio multiplicada con la diferencia del mismo. Observa las formas más comunes en que aparecen y también sus respectivos productos:

1. 2.

El producto de dos binomios conjugados se llama diferencia de cuadrados (DC) y se distingue por escribirse en los mismos términos de cualquiera de los dos binomios, pero elevados al cuadrado y uno de ellos negativo. Es importante observar que el signo negativo lo lleva el término que en los binomios originales poseía el “más” (+) y el “menos” (–), el término conjugado.

ACTIVIDAD 1.1.6 Encontrando el producto de Dos Binomios Conjugados. Fecha: ____________

Haya la DC surgida de los binomios conjugados. Utiliza el método abreviado.

1. 2.

13

3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18. 19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29.

30.

31.

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN=_________

Ahora observa la aplicación del concepto de dos binomios conjugados en le cálculo mental:

a) Obtener mentalmente el resultado de . Para realizar la operación, primero observa que el número 30 está situado a la mitad de los dos números dados y la diferencia hacia cada uno de ellos es de una unidad, entonces se puede calcular usando el modelo de dos binomios conjugados cuyo producto es una diferencia de cuadrados:

14

b) Otro caso, obtener mentalmente el resultado de . Ahora, el número que está ubicado a la mitad de los dos números dados es 20 y la diferencia que tiene hacia cada uno de ellos es de dos unidades, así que se calcula:

ACTIVIDAD 1.1.7 Ahora al revés. Fecha: ____________

Diferencia de cuadrados Dos binomios conjugados

Para factorizar una diferencia de cuadrados (DC), primero hay que estar bien seguros de que lo sea. Tal reconocimiento, implica identificarlo con las siguientes características:

Una vez realizada esta inspección se procede a armar dos binomios conjugados con esas raíces cuadradas. Es bueno recordar que los signos conjugados (+ y –) los lleva la raíz que en la diferencia de cuadrados estaba negativa.

Ejemplo 1. Factorizar SOLUCIÓN: La raíz cuadrada de es y de 144 es 12, entonces,

Ejemplo 2. (caso especial) Factorizar SOLUCIÓN: Tal y como viene la diferencia, no es una diferencia de cuadrados, pero si se extrae como factor común al 2, queda así: . Se puede notar que lo que quedó dentro del paréntesis es una diferencia de cuadrados. Ahora se procede a la factorización:

ACTIVIDAD 1.1.8 Factorizando la Diferencia de Cuadrados. Fecha: ____________

Factoriza

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

11. 12.

13. 14.

El primer término tiene raíz cuadrada exacta.

El segundo término, sin tomar en cuenta el signo (–), tiene raíz

cuadrada exacta.

15

Fig. A Fig. B Fig. DFig. C

x

x

7

x5x7

5

15. 16. 17. 18. 19. 20.

CORRIGIÓ: ___________________ CALIFICACIÓN= _______

ACTIVIDAD 1.1.9 Trabajando en dos binomios con un término común. Fecha: ________

Dos binomios con un término común (2BTC) Trinomio de segundo grado (TSG)

Resuelve el siguiente problema:Con las figuras A, B, C y D se formó un rectángulo (Fig. E). Con base en esta información, contesta y haz lo que se indica.

a) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo construido? Base = ____________ Altura:_____________b) ¿Cuál es el área del rectángulo formado? __________________c) Si el área de un rectángulo similar al de la figura E, es , ¿Cuáles son las dimensiones de ese rectángulo?

Base = _______________ Altura = ________________d) Escribe una regla para determinar los dos binomios a partir de un trinomio que no es cuadrado perfecto. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________

Si hay dos binomios que se multiplican y un término es igual en los dos binomios, se dice que se trata de dos binomios con un término común. A continuación, se muestra cómo obtener su producto por un método más corto que el indicado por la propiedad distributiva:

En la última parte del desarrollo anterior se obtuvo la forma para hallar el producto notable de dos binomios con un término común, llamado trinomio de segundo grado (TSG). Si en los binomios originales llamamos a “ “ el término común y “ “ y “ “ los términos no comunes, el método acortado consistirá en escribir:

a) el cuadrado del término comúnb) agregar la suma de los no comunes multiplicada con el comúnc) agregar el producto de los no comunes

Fig. E

16

ACTIVIDAD 1.1.10 Encontrando el producto de Dos Binomios con un Término Común. Fecha: _________

Escribe el TSG surgido de los dos binomios con un término común. Utiliza el método abreviado.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22. 23. 24. 25. 26.

27. 28.

29.

30.

31.

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN=_________

ACTIVIDAD 1.1.11 Factorizando el trinomio de segundo grado. Fecha: ____________

Trinomio de segundo grado Dos binomios con un término común

Un trinomio de segundo grado (TSG) tiene las siguientes características:

17

Una vez detectadas estas características, la factorización consiste en armar dos binomios con un término común. El término común se obtiene de la raíz cuadrada del primer término del TSG , y los números “a” y “b” encontrados serán los términos no comunes.

Ejemplo 1. Factorizar SOLUCIÓN: La raíz cuadrada de es , luego, los números a y b cuyo producto dé y su suma multiplicada con la raíz cuadrada del primer término sea , son únicamente el y el , entonces: .

Ejemplo 2. Factorizar SOLUCIÓN: La raíz cuadrada de es , luego, los números a y b cuyo producto dé y su suma multiplicada con la raíz cuadrada del primer término sea , son únicamente el y el , entonces: .

FACTORIZA:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

El primer término tiene raíz cuadrada exacta.

Hay dos números “a” y “b” que multiplicados producen el

tercer término, y la suma de los mismos, multiplicada con la

raíz cuadrada del primer término, forman el segundo

término.

18

CORRIGIÓ: _____________________ CALIFICACIÓN=_______

ACTIVIDAD 1.1.12 Integrando lo aprendido. Fecha: ____________

1. Completa de manera que se cumpla la identidad.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

2. Completar de modo que en cada caso haya un TCP.

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

3. Obtén el producto de los siguientes binomios.

a) b) ( y−2 ) ( y−4 )=

c) (a+3 ) (a+6 )= d) (a3b2+4 c ) (a3b2−4c )=

e) (4a3 b2−6 )2= f) (3 x2+2 y ) (3 x2−2 y )=

g) (9+a2 ) (9−a2)= h) (3a2+4 b ) (3a2−4b )=

i) (2m3+5 ) (2m3−5 )= j) (a+6 ) (4 a−3 )=

19

k) (25x3+6 y)( 25 x3−6 y )= l) (2 x

2 y+ z2 )2=

m) (b−4 ) (b+8 )= n) (m+5 ) (m−3 )=

4. Factorizar.

a) 4 x2−9 y2= b)

c) y2−6 y+8= d) a2+9a+18=

e) a6b4−16c2= f) 9 x4−4 y2=

g) h) 9a4+24a2 b+16b2=

i) j)

k) m)

n) o)

p) q)

5. Escribe sobre cada línea el producto notable o la factorización, según sea el caso. Luego utiliza los dos paréntesis de cada inciso para colocar, en el de la izquierda, LA CLAVE del producto notable y en el de la derecha el de la factorización o viceversa.

a) ( ) ( x−9 )2= ______________________________ ( )

b) ( ) ________________________ ( )

c) ( ) ________________________ ( )

f) ( ) _______________________ ( )

g) ( ) (3 x−2 y )2= ___________________________ ( )

CLAVE:

A = binomio al cuadradoB = Dos binomios conjugadosC = Dos binomios con un término común

J = Trinomio de 2do. Grado L = Diferencia de cuadradosM = Trinomio cuadrado perfecto

20

h) ( ) __________________________ ( )

i) ( ) x2−7x−18=__________________________ ( )

j) ( ) x2m− y2n=____________________________ ( )

k) ( ) 16 x2+16 xy+4 y2= ____________________ ( )

l) ( ) __________________________ ( )

CORRIGIÓ: _____________________ CALIFICACIÓN=_______