Factorización Parte 1
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FactorizaciónJosé David Ojeda M.
Factorización• Descomponer una expresión numérica en
factores es escribirla como un producto. Por ejemplo la expresión 9 x 4 es una descomposición en factores del numero 36.
• Un caso particular de la descomposición en factores se presente cuando cada uno de estos factores es primo.36 = 3 * 3 * 2 * 2Es una descomposición en factores primos del numero 36.
Factorización• Factorizar una expresión numérica o una expresión algebraica es descomponerla en factores
Casos de Factorización
1. Factor común
1. Factor común• Factor común de un binomio: Al
multiplicar un monomio por un binomio se aplica la propiedad distributiva
• Ahora para expresar el binomio como el producto de dos factores se realiza el procedimiento inverso. Este procedimiento es conocido como factor común de un binomio.
( )3 2 5 31m m m m× + = +5 3m m+
1. Factor comúnEl factor común de un binomio es una expresión algebraica en la cual
• La parte numérica es el MCD entre las partes numéricas
• La parte literal esta formada por las letras que tiene en común los términos del polinomio con su menor exponente.
1. Factor comúnFactorizar las siguientes expresiones:
El factor común es 3x, pues:• MCD (3,9) = 3• La letra común entre x y xy es x
Para factorizar el binomio 3x + 9xy se divide cada termino entre el factor común:
a) 3 9x xy+
1. Factor común
• De donde3x + 9xy = 3x(1 + 3y)Ejercicios: Factorizar
31
3
x
x= + 9
33
xyy
x= +
2 3
2 3 5
b) 6 5
c) 14 7
m m n
a b c abc
−− −
2 25 15d)
4 2x y xy−
1. Factor común• Factor común de un polinomio: El
procedimiento para encontrar el factor común en un polinomio es similar al usado en el factor común de un binomio.
• Factorizar:
Se halla el MCD entre los denominadores y los numeradores.
3 2 38 4 2
9 3 6a b ab b− +
1. Factor común• MCD (8, 4, 2) = 2 MCD (9, 3, 6) = 3
Fracción común a:
El Factor común enes:
Se divide cada termino del polinomio entre el factor común. Así:
8 4 2 2, es
9 3 6 3y
3 2 38 4 2
9 3 6a b ab b− +
2
3b
1. Factor común
• Entonces:
3 3 3
2
3 2 2
8 2 28 4
9 3 14 34 2 12
23 3 6
2 2 6 1
6 3 12 2
a b b a a
ab b ab ab
b b b b
÷ = =
− ÷ = − = −
÷ = =
1. Factor común
• Caso especial:En algunos casos el factor común puede ser un binomio o en general un polinomio. Ejemplo:
3 2 3 3 28 4 2 2 4 12
9 3 6 3 3 2a b ab b b a ab b
− + = − + ÷
2 33 ( ) 6 ( ) 12 ( )xm x y m x y m x y− + + + − +
1. Factor común• La expresión (x + y) es común a los tres
términos del polinomio. Por lo tanto el factor común es 3m(x + y).
• Se divide cada termino del polinomio entre el factor común:
2
32
3 ( ) 6 ( ) 2
3 ( ) 3 ( )
12 ( )4
3 ( )
xm x y m x yx m
m x y m x y
m x ym
m x y
− + += − =+ +
− + = −+
1. Factor común• Los binomios (x + y) se simplifican en las
tres divisiones:• Entonces:
2 33 ( ) 6 ( ) 12 ( )xm x y m x y m x y− + + + − + =2
2
3 ( )( 2 4 )
3 ( )( 2 4 )
m x y x m m
m x y x m m
+ − + −= − + − +
1. Factor común• Ejercicios: Factorizar
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 3 2 2 3
2 2 2
3 4 5 7 3 3
3 3
3 2
a) 3 9 6
b) 14 21 49
c) 13 11 10
3 15 9d)
35 49 21
e) 7 1 9 1
16 24f) 4 4
27 63
xy x y x y
a x m a x a x m
am a m am
p q q p q p
w w w
p m p m
+ −+ −
− + +
+ −
+ − +
+ − +
2. Factor común por agrupación de
términos
2. Factor común por agrupación de términos
• En algunos casos en el polinomio que se busca factorizar no hay un factor común para todos sus términos, pero al agruparlos se puede determinar una expresión común para cada agrupación
• Por ejemplo en el polinomio am+bm+an+bn, no hay un factor común, pero si se agrupan los términos es posible factorizarlo.
2. Factor común por agrupación de términos
• Ejemplo:Factorizar
• Se forman dos grupos con el mismo numero de términos
am bm an bn+ + +
am bm an bn+ + +( ) ( )am an bm bn= + + +
( ) ( ) a m n b m n= + + +( )( )m n a b= + +
Se busca el factor común en cada grupo
Se factoriza el binomio común
2. Factor común por agrupación de términos
• Entonces:
• Ejemplo: Factorizar
• Se forman tres grupos con el mismo numero de términos. Si al agrupar queda un signo menos antes del un paréntesis, las expresiones dentro del paréntesis cambian de signo.
( )( )am bm an bn m n a b+ + + = + +
2 3 4 2 3 2 4 2 2 2 23 3a b n a b x n x z a z x a− + − − −
2. Factor común por agrupación de términos
• Se saca el factor común de cada uno de los grupos.
• Se factoriza el binomio común
2 3 4 2 3 2 4 2 2 2 23 3a b n a b x n x z a z x a− + − − −2 3 2 3 2 4 4 2 2 2 2( ) ( ) (3 3 )a b a b x n n x z a z x a= + − + − +
( ) ( ) ( )2 3 2 4 2 2 21 1 3 1a b x n x z a x= + − + − +
( ) ( )2 2 3 4 21 3x a b n z a= + − −
2. Factor común por agrupación de términos
• Ejercicios: Factorizar2
2
3 2 2 2 2
3 2 2 2
a)
b) 2 3 4 6
c) 4 4 4 3 3 3
d) 3 12 3 4
w wz wy zy
x xy x y
w w y wy zw zwy zy
x nx xy xz nz ny
+ + +− − +− − − + +− + + − −
3. Diferencia de cuadrados perfectos
3. Diferencia de cuadrados perfectos
• Expresiones como:
son denominadas diferencias de cuadrados perfectos, pues los términos que las forman tienen raíz cuadrada exacta.
2 2 2 2 2 21, 4 ,
9a b x y m n− − −
3. Diferencia de cuadrados perfectos
• Factorizar una diferencia de cuadrados perfectos es el proceso inverso a encontrar el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.
• La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de dos binomios; uno con suma y el otro con resta. Los términos de estos binomios son raíces cuadradas de cada uno de los términos de la diferencia planteada inicialmente
3. Diferencia de cuadrados perfectos
• Caso genérico
• Ejemplo: Factorizar la siguiente expresión.
• Se buscan las raíces cuadradas de cada uno de los términos
( ) ( )2 2a b a b a b− = + −
2 2 2 44 9a b x y−
2 2 2 4 24 2 9 3a b ab x y xy= =
3. Diferencia de cuadrados perfectos
• Se factoriza la expresión
• Ejemplo 2: Factorizar la siguiente expresión.
• Se buscan las raíces cuadradas de cada uno de los términos.
( ) ( )2 22 3 2 3ab xy ab xy+ −
2 22516
4m n−
2 225 5 16 4
4 2m m n n= =
3. Diferencia de cuadrados perfectos
• Se factoriza la expresión
• Entonces
5 54 4
2 2m n m n
+ − ÷ ÷
2 225 5 516 4 4
4 2 2m n m n m n
− = + − ÷ ÷
3. Diferencia de cuadrados perfectos
• Ejercicios: Factorizar las siguientes expresiones
4 2
10 12 10
2 6
a) 16 b) 4 9
1 81c) 81 d)
49 529
e) 36 25
t w
m n p
w d
− −
− −
−
4. Suma o diferencia de cubos perfectos
4. Suma o diferencia de cubos perfectos
• A partir del trabajo con cocientes notables, se sabe que:
• Como las expresiones anteriores son cocientes exactos, entonces:
3 3 3 32 2 2 2
m n m nm mn n m mn n
m n m n
+ −= − + = + ++ −
( ) ( )( ) ( )
3 3 2 2
3 3 2 2
m n m n m mn n
m n m n m mn n
+ = + − +
− = − + +
4. Suma o diferencia de cubos perfectos
Por lo anterior: La suma de dos cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores
• El primer factor es la suma de las raíces cubicas
• El segundo factor es el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz
4. Suma o diferencia de cubos perfectos
• Ejemplo: Factorizar
• Se buscan las raíces cubicas de cada termino
• Se factoriza
3 6 927 8x y x+
3 3 6 9 2 3327 3 8 2x x y x y x= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 3 2 3 2 33 2 3 3 2 2x x x x x x x y x + − +
4. Suma o diferencia de cubos perfectos
• Se resuelven las operaciones indicadas:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 3 2 3 2 33 2 3 3 2 2x x x x x x x x x + − +
( ) ( )2 3 2 4 2 6 43 2 9 6 4x x x x x y x y= + − +
4. Suma o diferencia de cubos perfectos
La diferencia de dos cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores
• El primer factor es la diferencia de las raíces cubicas
• El segundo factor es el cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz
4. Suma o diferencia de cubos perfectos
• Ejemplo: Factorizar
• Se buscan las raíces cubicas de cada término
6 12164
27m n−
36 2 12 431 1
64 427 3m m n n= =
4. Suma o diferencia de cubos perfectos
• Se factoriza y se resuelven las operaciones indicadas
• Entonces
( ) ( )2
22 4 2 2 4 41 1 14 4 4
3 3 3m n m m n n
= − + + ÷ ÷ ÷
6 12 2 4 4 2 4 81 1 1 464 4 16
27 3 9 3m n m n m m n n
− = − + + ÷ ÷
4. Suma o diferencia de cubos perfectos
• Ejercicios: Factorizar las siguientes expresiones
3 3 12
3 6 12 9 3 3
3 9
) 1 b) 1 c) 64
125d) 512 e)
81
f) 273
a w x a
x y z t p q
m b
+ − −
− +
−
5. Suma o diferencia de potencias iguales
5. Suma o diferencia potencias iguales
• Antes de plantear una regla general para factorizar expresiones de la forma
, es necesario recordar algunas conclusiones con respecto a los cocientes de la forma
n nx a±n nx a
x a
±±
5. Suma o diferencia potencias iguales
es divisible entre , si y solo si n es impar.
nunca es divisible entre .
es divisible entre para todo valor de n
(par
n nn n
n nn n
n nn n
x ax a x a
x a
x ax a x a
x a
x ax a x a
x a
+ + +++ + −−− − −−
o impar).
es divisible entre si y solo si n es par.n n
n nx ax a x a
x a
− − ++
5. Suma o diferencia potencias iguales
• Las expresiones de la forma se pueden factorizar, teniendo en cuenta las conclusiones anteriores y la siguiente regla.
• Si es divisible entre se puede expresar como el producto de dos factores. Así:El primer factor es de la forma
n nx a±
n nx a± x a±
x a±
5. Suma o diferencia potencias iguales
• El segundo factor es un polinomio de n términos con las siguientes características– El primer termino es y el ultimo es– Los otros términos son productos de x y a
en donde los exponentes de x disminuyen de uno en uno a partir del primer termino y los exponentes de a aumentan a partir del segundo termino.
1xn− 1an−
5. Suma o diferencia potencias iguales
– Si es un factor de , los signos del segundo factor son todos positivos.
– Si es un factor de los signos del segundo factor se escriben alternados.
Ejemplo: Factorizar
x a− n nx a±
x a+ n nx a±
5 5m n+
5. Suma o diferencia potencias iguales
• Se tienen en cuenta las condicionas anteriores no es divisible entre
. Así que solo es divisibles entre
• Por lo tanto
5 5m n+m n− 5 5m n+
m n+
( ) ( )5 5 4 3 2 2 3 4m n m n m m n m n mn n+ = + − + − +
5. Suma o diferencia potencias iguales
• Ejemplo 2: Factorizar• es divisible entre y
por lo tanto la expresión se puede factorizar de dos formas
8 8a b−8 8a b− a b− a b+
( ) ( )( ) ( )
8 8 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
8 8 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
a b a b a a b a b a b a b a b ab b
a b a b a a b a b a b a b a b ab b
− = − + + + + + + +
− = + − + − + − + −
5. Suma o diferencia potencias iguales
• Ejercicios: Factorizar
5 7 7
4 8 10 5
a) 1 b)
1 1c) d) 243
16 32
w w x
w t p q
+ +
− −