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MATEMÁTICA II

Profesor: Rafael Valdez

™§Funciones Elementales™§1_Explique por qué la grafica de la ecuación x2+ y2=1 no es la grafica de una función. 2_Demuestre que los siguientes triángulos con vértices A, B Y C es un triángulo rectángulo y encuentre área de cada uno.

a) A (−3,4 ) , B (2,−1 ) ,C (9,6 )b) A (7,2 ) , B (−4,0 ) , C ( 4,6 )

3_En cada uno de los ejercicios encuentre una ecuación del círculo que satisfaga las condiciones dadas.

a) Centro C (3 ,−2 ) , radio 4b) Centro C (−5,2 ) , radio5c) Centro enel origen , pasa por P (−3,5 )d) Centro C (−4,2 ) , tangente al eje xe) Extremos de un diametro A (4 ,−3 ) y B (−2,7 )f) Tangente aambos ejes , centro enel primer cuadrante , radio 2

4_Encuentre el centro y el radio del círculo con la ecuación dada.a) x2+ y2+4 x−6 y+4=0b) x2+ y2+6x=0c) 2 x2+2 y2−x+ y−3=0d) 9 x2+9 y2−6 x+12 y−31=0

™§ Operación de hallar los limites ™§Comparación de las magnitudes infinitesimales

a) lim ¿n → ∞n+1

n¿

b) lim ¿n→ ∞(n+1 )2

2 n2 ¿

c) lim ¿n→ ∞(n+1 )3−( n−1 )3

(n+1 )2+(n−1 )2¿

d) lim ¿n→ ∞n3−100 n2+1100 n2+15 n

¿

e) lim ¿n→ ∞1000 n3+3 n2

0,001 n2−100 n3+1¿

f) lim ¿n→ ∞(n+1 )4−(n−1 )4

(n+1 )4+ (n−1 ) 4 ¿

Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE

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g) lim ¿n→ ∞(2n+1)4−(n−1)4

(2n+1)4+(n−1)4 ¿

h) lim ¿n→ ∞

3√n3+2 n−1n+2 ¿

i) lim ¿n→ ∞

3√n2+nn+1 ¿

j) lim ¿n→ ∞(√n2+1+n)2

3√n6+1¿

k) lim ¿n→ ∞√n3−2n2+1+ 3√n4+1

4√n6+6 n5+2− 5√n7+3 n3+1¿

l) lim ¿n→ ∞

4√n5+2− 3√n2+15√n4+2−√n3+1

¿

m) lim ¿n→ ∞n !

(n+1 ) !−n!¿

n) lim ¿n → ∞(n+2 ) !+(n+1 )!

(n+3 )!¿

o) lim ¿n→ ∞(n+2 ) !+( n+1 )!(n+2 ) !− (n+1 )!

¿

p) lim ¿n → ∞

1+ 12+ 1

4+…+ 1

2n

1+ 13+ 1

9+…+ 1

3n

¿

q) lim ¿n → ∞1n2 (1+2+3+…+n ) ¿

r) lim ¿n→ ∞(1+2+3+…+nn+2

−n2 )¿

s) lim ¿n → ∞(1−2+3−4+…−2 nn2+1 )¿

t) lim ¿n→ ∞( 11.2

+ 12.3

+… 1(n−1 )n )¿

u) lim ¿n→ ∞2n−12n+1

¿


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v) lim ¿n→ ∞2

1n−1

21n +1

¿

w) limx →0

x2−23 x2−5 x+1

x) limx →2 ( 1

2−x− 3

8−x3 )y) lim

x →1

x2−2 x+1x3−x

Función de argumento continúo. Hallar los límites en cada caso

a) lim ¿x → 2x2+5x2−3

¿

b) lim ¿x → 0( x3−3x+1x−4

+1)¿c) lim ¿x → 1

x1−x

¿

d) lim ¿x → √3x2−3

x 4+ x2+1¿

e) lim ¿x → 1x2−2 x+1

x3−x¿

f) lim ¿x →−2x3+3 x2+2 x

x2−x+6¿

g) lim ¿x → 1( x−1 ) √2−x

x2−1¿

h) lim ¿x → 1

2

8 x3−16x2−5 x+1

¿

i) lim ¿x → 1x3+ x−2

x3−x2−x+1¿

j) lim ¿x → 1( 11−x

− 31−x3 )¿

k) lim ¿x → 2[ 1x ( x−2 )2

−1

x2−3 x+2 ]¿


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l) lim ¿x → 1[ x+2x2−5 x+4

+x−4

3 ( x2−3 x+2 ) ]¿m) lim ¿x → 1

xm−1xn−1

(m y n sonn+nú meros enteros)¿

n) lim ¿x → ∞x3+x

x4−3 x2+1¿

o) lim ¿x → ∞x4−5 x

x2−3 x+1¿

p) lim ¿x → ∞x2−1

2 x2+1¿

q) lim ¿x → ∞1+x−3 x3

1+x2+3 x3 ¿

r) lim ¿x → ∞( x3

x2+1−x)¿

s) lim ¿x → ∞( x3

2 x2−1− x2

2 x+1 )¿t) lim ¿x → ∞[ 3 x2

2 x+1−

(2 x−1 ) (3x2+x+2 )4 x2 ]¿

u) lim ¿x → ∞( x+1 )10+ (x−2 )10 . …+( x+100 )10

x10+1010 ¿

v) lim ¿x →+∞√x2+1+√ x4√ x3+x−x

¿

w) lim ¿x → ∞√x2+1− 3√ x2+14√ x4+1− 5√ x4+1

¿

x) lim ¿x → ∞

5√ x7+3+ 4√2 x3−16√x8+x7+1−1

¿

y) lim ¿x → ∞

3√ x4+3− 5√x3+43√x7+1

¿

z) lim ¿x → 0√1+x2−1

x¿


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aa) lim ¿x → 0√1+x−1

x2 ¿

bb) lim ¿x → 0√x2+1−1√ x2+16−4

¿

cc) lim ¿x → 5√x−1−2

x−5¿

dd) lim ¿x → 1x2−√x√x−1

¿ r

ee) lim ¿h →0√x+h−√x

h¿

ff) lim ¿x → 0

3√1+x2−1x2 ¿

gg) lim ¿x → 0

3√1+x−3√1−xx

¿

hh) lim ¿x → a√ x−b−√a−b

x2−a2 (a>b ) ¿

ii) lim ¿x → 1

n√ x−1m√x−1

(n ym sonnú meros enteros )¿

jj) lim ¿x → 0

3√1+x2− 4√1−2xx+x2 ¿

kk) lim ¿x → 1

3√7+ x3−√3+ x2

x−1 ¿

ll)¿ De qu é manera var í an las ra í ces de laecuaci ó ncuadradaa x2+bx+c=0 cuando b y cconservan sus valores cosntantes?mm) lim ¿x → ∞ ¿¿nn) lim ¿x → ∞ (√x2+1−√x2−1)¿oo) lim ¿x → ±∞ (√ x2+1−x )¿pp) lim ¿x → ±∞ x (√x2+1−x )¿qq) lim ¿x → ±∞ (√ ( x+a ) ( x+b )−x )¿rr) lim ¿x → ±∞(√x2−2 x−1−√ x2−7 x+3)¿ss) lim ¿x → ∞ ¿¿


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tt) lim ¿x → ∞ x32 ( 3√ x3+1−√x3−1)¿

uu) lim ¿x → ±∞ x (√x2 √x4+1−x√2 )¿vv) lim ¿x → ±∞

ax

ax+1( a>0 ) ¿

ww) lim ¿x → ±∞ax−a−x

ax+a− x (a>0)¿

™§Limites Trigonométricos§™

a) lim ¿x → ∞senx

x¿

b) lim ¿x → ∞arctgx

x¿

c) lim ¿x → ∞x+senxx+cosx

¿

d)lim ¿x → 1

arcsenx

tang πx2

¿

e) lim ¿h→0sen (a+3 h )−3 sen (a+2h )+3 sen (a+h )−sena

h3 ¿

f) lim ¿x → π

2tang2 x ¿¿

g) lim ¿x → 01−cos (1−cosx )

x4 ¿

h) lim ¿n→ ∞(cos x2

.cos x4

…cos x2n )¿

i) lim ¿x → ∞(cos√ x+1−cos √x )¿

j) lim ¿x → ∞ x (arctg x+1x+2

−π2 )¿

k) lim ¿x → ∞ x (arctag x+1x+2

−arctag xx+2 )¿

l) lim ¿x → 0sen3 x

x¿

m) lim ¿x → 0tang kx

x¿


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n) lim ¿x → 0senαxsenβx

¿

o) lim ¿x → 0tang2 xsen5 x

¿

p) lim ¿α →0sen ( αn )(senα )m

(m yn sonnumerosenteros positivos)¿

q) lim ¿x → 02arcsenx

3 x¿

r) lim ¿x → 02x−arcsenx2 x+arctgx

¿

s) lim ¿x → 01−cosx

x2 ¿

t) lim ¿x → 01−csn3 xxen2 x

¿

u) lim ¿α →0tangα

3√(1−cosα )2¿

v) lim ¿x → 01+senx−cosx1−senx−cosx

¿

w) lim ¿α →0tangα−senα

α3 ¿

x) lim ¿α →0(1−cosα)2

tang3 α−sen3 α¿

y) lim ¿x → 0( 1senx

− 1tangx )¿

z) lim ¿x → π

2

cosx3√(1−senx )2

¿

aa) lim ¿x → πsen3 xsen 2 x

¿

bb) lim ¿x → π

2( π

2−x) tangx ¿

cc)lim ¿α → π

senα

1−α2

π2

¿


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dd) lim ¿x → 1 (1−z ) tang π 2

2¿

ee) lim ¿y → a(sen y−a2

. tang πy2a )¿

ff) lim ¿x → π

4

cosx−senxcos2 x

¿

gg) lim ¿x → π

6

sen (x−π6 )

√32

−cosx¿

hh) lim ¿x → π

1−sen x2

cos x2(cos x

4−sen x

4)¿

ii) lim ¿x → π

2(2x tangx− π

cosx )¿jj) lim ¿x → 0

cos (a+ x )−cos (a−x )x

¿

kk) lim ¿x → 0cosαx−sen2 β

x2 ¿

ll)lim ¿h→ 0 sen (α +2h )−2 sen8 a+h¿+senα

h2

mm) lim ¿h→0tang (a+2h )−2 tang (a+h )+senα

h2 ¿

nn) lim ¿x → 0√2−√1+cosx

sen2 x¿

oo) lim ¿x → 0√1+senx−√1−senx

tangx¿

pp)lim ¿x → 0

√1+x senx−√cos2 x

tang2 x2

¿

qq) lim ¿x → 01−cosx √cos2 x

x2 ¿


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rr) lim ¿x → 0

3√1−arcta3 x−3√1−arcsen3 xx2 ¿

ss) lim ¿x →−1√π−√arcosenx

√x+1¿

tt) lim ¿x → 0arcsenx−arctagx

x3 ¿

uu) lim ¿x →+∞(1+ 1xn )

x

(n>0 )¿

vv) lim ¿x → 0 ( cosx )1

senx ¿

ww) lim ¿x → 0lncosx

x2 ¿

xx) lim ¿x → 0( senxx )

senxx−senx ¿

yy) lim ¿x → 0 ( cosx+senx )1x ¿

zz) lim ¿x → 0(cosx+αsenbx)1x ¿

§™Limites por Definición§™

∀ ε>0∃ δ>0 /|f (x)|<ε siempre que0<|x−a|<δ o bien ∀ ε>0∃ δ>0 /si 0<|x−a|<δ , entoces|f ( x )−L|<εUse cualquiera de las definiciones para demostrar los siguientes limites:

a) limx →2

(5x−3 )=7

b) limx→−3

(2x+1 )=−5

c) limx→−6

(√10−9 x )=8

d) limx→ 4

(8x−15 )=17

e) limx →6 (9− x

6 )=8

f) limx →5 ( x

4+2)=13

4


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g) limx →3

5=5

h) limx →5

3 x−1x−3

=7

i) limx→ π

x=π

j) limx →3

|x−3|x−3

k) limx→−2

x+2|x+2|

l) limx→−5

1x+5

m) limx →1

1( x−1 )2

n)™§ Otros casos de Limites ™§

a) limx→ ∞ ( x

1+x )x

b) limx→ ∞ (1+ 1

x )x+1

x

c) limx→ ∞ ( x+1

x−2 )2 x−1

d) limx→ ±∞ ( 2x+1

x−1 )x


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™§ Función derivada §™a) Hallar el incremento de la función y=x3 en el punto x1=2, poniendo el incremento

∆ x de la variable independiente igual a: 1¿2;2 ¿1;3¿0.54 ¿0.1.

b) Hallar la razón ∆ y∆ x para las siguientes funciones :

1) y=2x3−x2+1 para x=1 ;∆ x=0.1 ;

2) y=1x

para x=2 ;∆ x=0.01 :


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3)y=√x para x=4 ;∆ x=0.4. Mostar que cuando ∆ x →0, el límite de la referida

razón en el primer caso es igual a 4, en el segundo, −14 , en el tercer,

14

.

c) Dada la función y=x2 , hallar los valores aproximados de la derivada en el punto x=3, poniendo sucesivamente ∆ x igual a: 1) 0.5 ; 2) 0.1 ; 3) 0.01 ; 4) 0.001.

d) f ( x )=x2 .Hallar f ´ (5 ); f ´ (−2 ); f ´ (−32 )

e)f ( x )=x3 . Hallar f ´ (1 ); f ´ (0 ); f ´ (−√2 ) ; f ´ ( 13 ) .

f) f ( x )=x2 . ¿En que punto f ( x )=f ´ ( x ) ? Partiendo de la definición de derivada, hallar las derivadas de las siguientes funciones:

1) y=x3−3 x2+4

2) y= 15 x−3

3) y=√3 x+2

4) y= 1√ x

5) y=sen x

Hallar las derivadas de las funciones:1) y=x4+3 x2−6

2) y= x5

a+b− x2

a−b

3) y=2ax3− x2

b+c

4) y=√3 x+ 3√x+ 1x

5) y= xm

+ mx+ x2

n2 +n2

x2

6) y=( x2−3 x+3 ) ( x2+2 x−1 )7) y=( x3−3 x+2 ) ( x4+x2−1 )

8) y= (√x+1 )( 1√ x

−1)

17) y=(√ t3+1 ) t18) y=(7 x2−4

x+6)

6

19) y=( x+1x−1 )

2

20) y= ( s+4 )2

s+3

21) y= t3

(1−t )3

22) y= 1+√x1+√2 x

23) y=1− 3√2 x1+ 3√2 x

24) y=√1− x2


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9) y=( 2√x

−√3)(4 x 3√ x+3√ x2

3 x )10) y=( 3√x+2 x )(1+

3√x2+3 x )11) y= x+1

x−1

12) y= xx2+1

13) z= x2+13 ( x2+1 )

+(x¿¿2−1)(1−x)¿

14) y=1−x2

√π

15) y= ax+bx2

am+bm2

16) y= 35−t

+ t 2

5

25) y=(1−2 x12 )4

26) y= 1√a2− x2

27) y= 3√ 11+x2

28) y= 1√1−x4−x3

29) y= x2

√ x2+a2

30) y= 13√2x−1

+ 54√( x2+2 )3

™§ Funciones Trigonométricas§™1) y=senx+cosx

2) y= x1−cosx

3) y= tagxx

4) y=φsenφ+cosφ

5) y= senαα

+ αsenα

6) y=cos2 x

7) y= senβ1+cosβ

8) y= xsenx+cosx

9) y= 14

tag4 x

10) y=cosx−13

cos3 x

13) y=sec2 x+cosec2 x14) y=sen3 x

15) y=acos x3

16) y=3 sen (3 x+5 )

17) y=tag x+12

18) y=√tag x2

19) y=sen√1+x2

20) y=ctag 3√1+x2

21) y=( 1+sen2 x )4

22) y=√1+tag(x+ 1x )


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11) y=3 sen2 x−sen3 x

12) y=13

tag3 x−tagx+x23) y=cos2 1−√x

1+√x24) y=sen2 (cos3 x )

™§ Funciones Trigonométricas inversas§™a) y=xarcsenx

b) y=arcsenxarccosx

c) y= (arcsenx )2

d) y=xarcsenx+√ x−12

e) y= 1arcsenx

f) y=x sen x arctag x

g) y=arccosxx

h) y=√x . arctagx .i) y= (arccosx+arcsenx )n

j) y=arcsenx

k) y= x1+x2−arctagx

l) y=arcsenx√1−x2

m) y= x2

arctagx.

n) y=arcsen (x−1 )

o) y=arccos 2x−1√3

p) y=arctag x2

q) y=arcsen x2

r) y=arcsen (senx ) .

s) y=arctag2 1x

t) y=√1−¿¿

u) y=arcsen√ 1−x1+x

v) y=12

4√arcsen√ x2+2 x

w) y=arcsen senαsenx1−cosαsenx

x) y=arctag (x−√1+x2 )

™§ Funciones Logarítmicas ™§a) y=x2 log3 xb) y=ln2 xc) y=xlgxd) y=√lnx

e) y= x−1log2 x

f) y=xsen xln x

g) y= 1lnx

k) y=xn lnxl) y=√1+ ln2 xm) y=ln (1−2x )n) y=ln ( x2−4 x )o) y=lnsenxp) y= log3 ( x2−1 )q) y=ln tagxr) y=ln arccos2 xs) y=ln4 senx


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h) y= lnxxn

i) y=1−lnx1+lnx

j) y= lnx1+x2

t) y=arctag [ ln (ax+b ) ]u) y= (1+ ln senx )n

v) y=ln arctag√1+ x2

™§ Funciones Exponenciales ™§a) y=2x

b) y=10x

c) y= 13x

d) y= x4x

e) y=x .10x

f) y=x ex

g) y= xex

h) y= x3+2x

ex

i) y=ex cosx

j) y= ex

senx

k) y= cosxe x

l) y=2x

lnx

m) y=x3−3x

n) y=√1+e x

o) y=( x2−2 x+3 ) ex

p) y= 1+e x

1−ex

q) y=1−10x

1+10x

r) y= ex

1+x2

s) y=x ex (cosx+senx )t) y=e−x

u) y=102 x−3

v) y=e√ x+1

w) y=sen (2x )x) y=3senx

y) y=α sen3 x

z) y=earcsen 2 x

aa) y=23 x

bb) y=e√ lnx

cc) y=sen (ex2

+3 x−2)dd) y=101−sen4 3x

ee) y=e√ ln ( ax2+bx+c )

ff) y=ln sen 3√arctag e3 x

gg) y=ae−b2 x2

hh) y=x2 e−x2

a2

ii) y=A e−k2 x sen (ωx+α )jj) y=ax xa


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™§ Derivación Logarítmica ™§ a) y=x x2

b) y=x x x

c) y=( senxcosx )d) y= ( ln x )2

e) y= (x+1 )2 / x

f) y=x3 ex2

sen2 x

g) y= ( x−2 )2 3√x−2( x−5 )3

h) y=x lnx

i) y=√xsenx √1−ex

j) y=√ 1−arcsenx1+arcsenx

k) y=x1x

l) y=( x1+ x )

x

m) y=2 x√x

n) y= x4 ( x+3 )2❑√3 x−2( x2−4 )3

Integral indefinidaLa integral se puede definir como un antiderivada, o primitiva de una función F(x) tal que su derivada sea f(x).Por tanto si F´(x)=f(x) dx, entonces F(x)=∫f(x) dxEjemplo: Sea la función F(x)= 2x4- x3 + 2x – 6, siendo la derivada de F(x), la funciónF´(x)=8x3 – 3x2 +2. Por tanto la integral de F`(x) en la función F(x).

Propiedades de la integral indefinidaDistributividad de la integral respecto de la suma y la diferencia∫[f(x)+g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx∫[f(x)-g(x)] dx = ∫f(x) dx - ∫g(x) dxHomogeneidad de la integral respecto de un factor constante∫k.f(x) dx = k.∫f(x) dx

Integrales de funciones inmediatas


∫ tag x dx= ln|sec x|+c

∫cotag x dx=ln|sen x|+c

∫sec x . tag x dx=sec x +c

∫sec x dx=ln|sec x+ tag x|+c

∫cosec x dx=ln|cosec x−cotag x|+c

∫ dxa2+x2 =

1a tag−1 x

a +c

∫ dx√a2+x2

=ln|x+√x2+a2|+c

∫ dx√a2−x2

=sen−1 xa

+c

∫ dxx2−a2 =

12a ln|

x−ax+a |+c

∫ dx√x2−a2

= ln|x+√ x2−a2|+c

∫ dx=x+c

∫ k dx=k . x+c k∈R

∫ xndx=xn+1

n+1 +c

∫ ex dx=ex+c

∫dxx =Ln |x|+c

∫m√ xn dx=∫ xnm dx= x

nm +1

nm +1

+c

∫ ax dx=ax

lna+c

∫sen x dx=−cos x+c

∫cos x dx=sen x+c

∫sec2 x dx=tagx +c

∫cosec2 x dx=−cotag x +c

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1.- Resolver las siguientes integrales, realizando operaciones algebraicas para reducirlas a integrales inmediatas.

1 .∫ 3√ x dx 2 .∫ dxx3

3 .∫7x dx

4 .∫ xdx√ x

5 .∫ax ex dx 6 .∫3√x+2x2−5x+33x2

dx

7 .∫ (3x2−2)2 dx 8 .∫(√ x+2−x ) .( 3√x−x2−1)dx 9 .∫(2-√x )2

x √xdx

10 .∫ x 4√x−3√x2

√xdx 11 .∫ dt

√3-3t 12 .∫ds

2s2+8

13 .∫(2x2−√ x )2

x √x3dx 14 .∫ 1+cos2 x

1+cos 2x dx 15 .∫cos 2x

cos2 x . sen2 xdx

16 .∫(2x3−2sen2 x ) dx 17.∫3 dxsen2 x . cos2 x

18.∫dxcos 2x+sen2 x

19 .∫dxsen x . cos x

20.∫secx+cosecx1+ tagx

dx 21 .∫sen x+cotg xtag x+cosec x

dx

22 .∫2tagx1+ tag2 x

dx 23.∫(ex+2x )2dx 24 .∫ (ex+2 )3

e xdx


∫ tag x dx= ln|sec x|+c

∫cotag x dx=ln|sen x|+c

∫sec x . tag x dx=sec x +c

∫sec x dx=ln|sec x+ tag x|+c

∫cosec x dx=ln|cosec x−cotag x|+c

∫ dxa2+x2 =

1a tag−1 x

a +c

∫ dx√a2+x2

=ln|x+√x2+a2|+c

∫ dx√a2−x2

=sen−1 xa

+c

∫ dxx2−a2 =

12a ln|

x−ax+a |+c

∫ dx√x2−a2

= ln|x+√ x2−a2|+c

∫ dx=x+c

∫ k dx=k . x+c k∈R

∫ xndx=xn+1

n+1 +c

∫ ex dx=ex+c

∫dxx =Ln |x|+c

∫m√ xn dx=∫ xnm dx= x

nm +1

nm +1

+c

∫ ax dx=ax

lna+c

∫sen x dx=−cos x+c

∫cos x dx=sen x+c

∫sec2 x dx=tagx +c

∫cosec2 x dx=−cotag x +c

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MATEMÁTICA II


2.- Resolver las siguientes integrales usando el teorema de invarianza de la fórmula de integración. Integración por cambio de variables o por sustitución.

1 .∫dx(3x+4 )4 2 .∫ x3

5√3x4−6dx 3 .∫ x2 4√( x3+4 )3 dx

4 .∫ x2 dx√2x3+5

5 .∫ (2x+3) dx3√( x2+3x−4 )2

6 .∫ x . sen 3x2 dx

7 .∫ senxcos2 x

dx 8 .∫ 5 sen (3x+4 ) dx 9 .∫3√ ln xx

dx

10 .∫cos3 x . sen2x dx 11 .∫e x cosex dx 12 .∫ ( x-2) dxx2−4x+3

13 .∫ esenx cosx dx 14 .∫ (x ex2+cos3x )dx 15 .∫(a3x-1+5x2 e−x3

)dx

16 .∫ x dx√x4 +1

17 .∫ x3 dx√1−x8 18 .∫2x

√1−4x dx

19 .∫dxx . ln x

20 .∫sen 2x1+cos2 x

dx 21 .∫ex

ex +2 dx

22 .∫dxsen2 3x

21 .∫ sen2 x . cosx dx 24 .∫dxcos2 x √ tagx−1

3.- Integración de funciones racionales, por división de polinomios

1 .∫ x2x+3

dx 2 .∫ x3+32x−1

dx 3 .∫ 2x+3x-1

dx

4 .∫ x2+1x2−1

dx 5 .∫(1+x2)2

x2−1 dx 6 .∫ x4

x2+1 dx

7 .∫ x2+3x+2x+2

dx 8.∫ x3

1-x dx 9 .∫ (2-3x )3

1−x dx

4.- Integración de funciones racionales, por completación de cuadrados


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1 .∫dxx2+3 x−10

2 .∫ dx4x2+4 x+5

3 .∫dxx2−7 x+10

4 .∫dxx2+2 x+3

5 .∫ dxx-x2−5

2

6 .∫dx2-3x2

7 .∫ dx(x-1 )2+4

8 .∫dx4x2−9

9 .∫ dx

√1- (2x+3 )2

10 .∫ dx√4x−3-x2

11 .∫ dx√8+6x-9x2

12.∫dx√2-6x-9x2

5.- Integración de funciones racionales, por separación en fracciones parciales o método de descomposición del integrando

1 .∫dxx2+4x+3

2 .∫ dx4x2+4x+5

3 .∫dxx2−7x+10

4 .∫dxx2+3x−10

5 .∫dxx-x2−5

2

6 .∫ dx4-9x2

7 .∫ dxx ( x+1)

8 .∫ dx( x+1)(2x-3 )

9 .∫dx(a-x )( b-x )

10 .∫ x dx( x+1 )(2x+1 )

11 .∫ x dx2x2−3x−2

12 .∫dx6x3−7x2−3x

13 .∫2x2+41x−91( x−1)( x+3)( x−4 )

dx 14 .∫ x5+x4−8x3−4x

dx 15 .∫ x3−14x3−x

dx

16 .∫32 x dx(2x-1 )(4x2−16x+15)

17 . ∫ ( x2 −3x+2) dxx ( x2+2x+1)

18 .∫ x2 dxx3+5x2+8x+4

19 .∫ x3−6x2+11x−5( x−4 )4 dx 20 .∫dx

x4−x2 21 .∫ 3x2+1( x2−1)2 dx

22 .∫(x+2x−1 )

2 dxx

23 .∫ x3−6x2+9x+7( x−2)3( x−5 )

dx 24 .∫ x5 dx( x−1)2( x2−1)

6.- Integración de funciones racionales, por cambio de variable y completación de cuadrados


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1 .∫ x−2x2−2x+2

dx 2 .∫(8x-11 )

√5+2x-x2 dx 3 .∫( x-3 ) dx

√3-2x-x2

4 .∫2x+5√9x2+6x+2

dx 5 .∫3-4x2x2−3x+1

dx 6.∫x dx√3x2−11x+2

7 .∫ x3+4x−2x2+2x−1

dx 8 .∫ 4-3x5x2+6x+18

dx 9 .∫2-5x√4x2+9x+1

dx

7.-Integrales trigonométricas aplicando las distintas relaciones entre funciones trigonométricas

1 .∫cos2x dx 2 .∫sen2 x dx 3 .∫dx1-cosx

4 .∫dx1+senx

5 .∫ 1-cosx1+cosx

dx 6 .∫1+senx1-senx

dx

7 .∫ cos 2x1+senx cosx

dx 8 .∫ sen3 xcosx

dx 9 .∫cos2x cos 3x dx

10 .∫cosx sen 3x dx 11 .∫sen 2x sen 5x dx 12 .∫dxcos x

13 .∫1-senxcosx

dx 14 .∫ tg4 xdx 15 .∫( tag2 x+ tag4 x ) dx

16 .∫ sen5 x dx 17 .∫cosxsen3 x

dx 18 .∫ sen3 x3√cos4 x

dx

8.- Integración por partes: Fórmula ∫ u . dv = u . v - ∫ v . du


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1 .∫ x cos x dx 2.∫ x sen 2x dx 4 .∫ x e -x dx4 .∫ x 3x dx 5 .∫ x4 lnx dx 6 .∫ ln x dx7 .∫ x actag x dx 8 .∫ arccosx dx 9 .∫arcsen x dx

10 .∫ log xx3 dx 11 .∫ x arctagx

√1+x2dx 12 .∫arcsen √x

√1−x dx

13 .∫ x2 e-x dx 14 .∫ x3senx dx 15 .∫ ln3 xx2 dx

16 .∫ ex senx dx 17 .∫sec3 x dx 18 .∫ ln2 x√x5

dx

19 .∫arctag √ x dx 20.∫ x2 ln( x+1) dx 21 .∫ x2ax dx22 .∫sen lnx dx 23 .∫ cos lnx dx 24 .∫ x2ex senx dx9.- Integración por sustitución o cambio trigonométrico (analogía trigonométrica)Recuerde las expresiones de referencia: cos2 θ = 1 - sen2 θ; sec2 θ = tag2 θ + 1; tag2 θ = sec2 θ – 1Inversos multiplicativos:Sen θ . Cosec θ = 1; Cos θ . Sec θ = 1; Tag θ . Cotag θ = 1Razones trigonométricas, en un triangulo rectángulo:

sen θ=coH

; cos θ=caH

; tag θ=coca

; Cosec θ= Hco

; sec θ= Hca

; Cotag θ=caco donde

“co, ca y H” se refiere al cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa respectiva de un triangulo rectángulo.


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1 .∫ x2

√4−x2dx 2 .∫8x

x2+9 dx 3 .∫( x-3 ) dx

√3-2x-x2

4 .∫2x+5√9x2+6x+2

dx 5 .∫3-4x2x2−3x+1

dx 6 .∫ x dx√3x2−11x+2

7 .∫ x3+4x−2x2+2x−1

dx 8 .∫ dx5x2+6x+18

9 .∫5 dx√4x2+9x+1

10 .∫ √a2−x2

x2 dx 11 .∫ x2 √4−x2 dx 12 .∫dxx2√1+ x2

13 .∫ √x2−a2

xdx 14 .∫ dx

√(a2+x2)2 15 .∫dx

√4x2−25

16 .∫ x3 dx√9x2+49

17 .∫ dxx √25x2+16

18 .∫3x-5√1-x2

dx

10.- Integrales de funciones hiperbólicas. Recordemos:

senh x= ex−e− x

2; cosh x= ex+e−x

2; tagh x =senh x

cosh x= ex−e− x

e x+e− x

Expresiones inverso multiplicativo: senh x . cosech x = 1; cosh x . sech x = 1; tagh x . cotgh x = 1.Identidades hiperbólicas:

cosh2 x – senh2 x = 1 cosech2 x = 1 - cotgh2 x

1 .∫cosh x dx 2 .∫senh x dx 3 .∫dxcosh2 x

4 .∫ ex

cosh x+senh x dx 5 .∫ tagh2 xdx 6 .∫dx

senh x

7 .∫ senh2 x cosh3 x dx 8 .∫ dxcosh x senh x

9 .∫cotgh2 x dx

10 .∫ √ tagh x dx 11 .∫cosh3 x dx 12 .∫ senh3 x dx

Integral DefinidaPropiedades del la integral definidaSi f es una función integrable en [a, b] y k un número real cualquiera, entonces k.f es integrable en [a, b]


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∫ a

bk . f (x ) dx= k ∫ a

bf ( x ) dx

Si f y g son funciones integrable en [a, b], entonces f ± g es integrable en [a, b]

∫ a

b[ f ( x )±g( x ) ] dx=∫ a

bf ( x ) dx±∫ a

bg (x ) dx

Si f es una función continua e integrable en [a, b], entonces

∫ a

bf ( x ) dx=−∫ b

af (x ) dx

Teorema del valor medio para integrales definidasSi f es una función continua e integrable en [a, b], entonces existe un número real z en el intervalo abierto (a, b) tal que

∫ a

bf ( x ) dx= f ( z )( b- a ) ⇒ f ( z )= 1

b-a ∫ a

bf ( x ) dx

Teorema fundamental del cálculoSi f es una función continua e integrable en [a, b],Parte I. Si se define G como

G( x )=∫ 0

x f ( t ) dt

Para todo x en [a, b], entonces G es una antiderivada de f en [a, b].Parte II. Si F es una antiderivada de f, entonces

∫ a

bf ( x ) dx= F(b ) - F (a)

Resolver las siguientes integrales definidas


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1 .∫ 1

4(3x2+2x+6 ) dx 2 .∫ -2

3(8z5−2z3+zz−2 ) dz 3.∫ 1

4 √16x5 dx

4 .∫ 0

3t ( 3√t−√t ) dt 5 .∫ 4

9 t−3√ t

dt 6.∫ -1

3/2w (w2+2)2 dw

7 .∫ 4

1 x2−1x+2

dx 8 .∫ 1

3 2x3−4x2+5√x−22x2 dx 9 .∫ -3

-1( r-1

r)2(1−r ) dr

10 .∫ 2

2ex 2

dx 11.∫−2

6|2x−4| dx 12 .∫ -1

4|3x-2| dx

13 .∫ 2

3 x−2(x2−4 x+3 )3 dx 14 .∫ -1

3(2x2−3 )5 dx 15 .∫ 1

2 (√u+3 )4

√u du

16 .∫ 0

4 x√x2+9

dx 17 .∫ -1

1 2 x2

( x3−2 )2 dx 18.∫ 2

4 dx√x (√ x+1 )

19 .∫ 0

14x 3-x2

dx 20 .∫ 2

0 (2x +1)2

2x dx 21 .∫ 0

2 3x

√3x+4 dx

22 .∫ 1

10 dxx log x

23.∫ 1

2 10x+10−x

10x−10−x dx 24 .∫ 1

2 x2 +1x3 +3x

dx

25 .∫ 1

4 dx√x e√x 26 .∫ 1

4 dxx2+16

27 .∫ 0

1 e x

1+e x dx

28 .∫ 0

√2 /2 x dx√1-x4

29 .∫ 2/√3

2 dxx √ x2−1

30.∫ 0

π /2 sen xcos2 x+1

dx

31 .∫ 0

π /2 cos x1+sen2 x

dx 32.∫ 0

π /4sec2 x (1+ tag x)2 dx 33.∫ 0

π /2sen 3x cos 2x dx

34 .∫ 0

π /4sen3 x dx 35.∫ 0

1tag2( π x

4) dx 36 .∫ 2

4 6x−11(x−1)2 dx

37 .∫ 0

1 x+16x2+2x−8

dx 38.∫ 1/2

3/2 37-11x( x+1)( x-2)(x-3 )

dx 39 .∫ 3

5x2 √4x2−16 dx

40 .∫ 1/2

1 dxx √2+3x2

41.∫ 0

2 x2

(3x+4 )10 dx 42.∫ 1

2 dx( x2 +4x+5 )2

Aplicaciones de la integral definidaÁrea: Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y suponga que f(x) >0, para todo x en [a, b]. Entonces el área bajo el gráfico de f entre a y b es:


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A=∫ a

bf ( x ) dx

Si g(x) es una función continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b] y f(x) > g(x) para todo x en [a, b], entonces el área A de la región acotada por las graficas de f y g en el intervalo [a, b] es:

A=∫ a

b[ f ( x ) -g ( x )] dx

Algunas veces resulta más sencillo calcular el área respecto del eje y que calcularle respecto del eje x. Para esos casos el área A entre las funciones f(y) y g(y) para todo y en [c, d] y f(y) > g(y) es:

A=∫ c

d[ f ( y ) -g ( y )] dy

En cada una de las situaciones, dibuja la región acotada por el gráfico de las ecuaciones dada y calcule el área de la región.

1 . y=1x2

; y= -x2 ; x=1; x=2 . 2 . y=√x ; y=- x; x=1; x=4 .

3 . y2=−x; x-y=4; y=-1; y=2 . 4 . x= y2 ; y-x=2; y=-2; y=3

5 . y=x2+1 ; y=4 6 . y=4-x2 ; y=-4 7 . y=4x; y=x2

28 . y=x3−1 ; y=x2−1 9 . y=1-x2 ; y=2x-1 10 . x+ y=3; y+x2=3

11. y2=2x+1: x-y-1=0 12. y= x2 ; y=√x 13. y2+8x=16; y2 - 24 x =48 14 . y=x2 ; y=x3 /3 15. x2+ y2=8; y=x2 /2 16 . y2=6x; x2+ y2=1617 . y2=4+x; y 2+x=2 18 . x= y2 ; x-y-2=0 19. y=x; y=3x; x+ y=420 . x-y+1=0; 2x+ y+2=0; 2x+ y+2=0 21 . y=x3−x; y=0

22 . y=11+x2 ; y=x2

2 23 . y= ln x

4; y=x ln x 24 . y=tag x; y=2

3 cos x

25 y=x3−x2−6x; y=0 26 . x=4y-y3 ; x=0 27 . x=3√ y2 ; x= y2

28 . y=x √4-x2 ; y=0 29 . y= x √x2−9 ; y=0; x=5 30 . y=x (x-1 )2 ; y=0Cálculo de volumen de sólido de revoluciónMétodo de las arandelas o discos (rebanado)Sea f una función continua en [a, b]. El volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje x la región acotada por la gráfica de f, x=a, x=b y por el eje x, está dado por:


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V=∫ a

bπ [ f ( x ) ]2 dx

Cuando el sólido es rebanado por el eje y, su volumen viene dado por.

V=∫ c

dπ [ g ( y ) ]2 dy

En cada uno del los ejercicios propuestos a continuación dibuje la región R acotada por las gráficos de las ecuaciones dadas y calcule el volumen del sólido que genera le región R al girar alrededor del eje indicado.1 . y = 1/x; x=1; x=3; y=0; Eje x 2 . y=√x ; y=0; x=4; Eje x3 . y= x; 2y=x ; y=3 Eje y 4 . y= 2x; y= 4x2 ; Eje y5 . y=x2 ; y=2; Eje y 6 . y=1 / x; x=0; y=1; y=3; Eje y 7 . y=x2−4 x ; y=0; Eje x 8 . y=x3 ; x=-2; y=0; Eje x; La recta y=39 . y= x2 ; y=4-x2 ; Eje x 10 . x= y3 ; x2+ y=0 ; Eje x11. x= y2 ; y-x+2=0; Eje y 12. x+ y=1; y=x+1; x=2; Eje y13 . y=x2 ; y=4; La recta y=4; La recta y=5 14 . y=√x ; y=0; x=4 La recta x=4 ; La recta x=6

Integrales impropiasIntegrales con limites de integración al infinito: Si f en una función continua en [a, +∞), entonces por definición

∫a

+∞

f ( x ) dx =Limt→+∞

∫a

t

f ( x ) dx

La integral de f es convergente, si y solamente si; el limite planteado existe. De manera de análoga hacemos referencia a las funciones f continuas en el intervalo (-∞, a] y en el intervalo (-∞, + ∞)

∫−∞

a

f ( x ) dx =Limt→−∞

∫t

a

f ( x ) dx

∫−∞

+∞

f ( x ) dx =Limt→−∞

∫t

a

f ( x ) dx +Limt→+∞

∫a

t

f ( x ) dx

Integrales con extremos indeterminados: Si f en una función continua en [a, b), o f es una función continua en (a, b], entonces por definición

∫a

b

f ( x ) dx =Limε→0

∫a

b−ε

f ( x ) dx

∫a

b


∫a+ε

b

f ( x ) dx


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La integral de f es convergente, si y solamente si; el limite planteado existe.

Integrales con un punto c en el intervalo de definición [a, b], tal que f es indeterminada, entonces por definición:

∫a

b


∫a

c−ε

f ( x ) dx + Limε→0

∫c+ε

b

f (x ) dx

De manera análoga a los casos anteriores, f es convergente, si y solamente si; los limites planteados existen.

Estudiar la convergencia de las siguientes integrales, en caso de ser convergente calcule su valor.

1.∫1

∞ dxx4 2 .∫

1

∞ dx√ x

3 .∫0

∞

e-ax dx a ¿ 0 ¿4.∫0

∞ x1+ x2 dx 5 .∫

−∞

215-2x

dx 6 .∫−∞

+∞ xx2+9

dx ¿7.∫0

∞

e-2x dx 8 .∫−∞

∞

x e-x 2dx 9 .∫

−∞

∞

cos2 x dx ¿10.∫−∞

0 1x2−3x+2

dx 11.∫4

∞ x+18x2 +x−12

dx 12.∫√2

∞ dxx √ x2−1

¿¿


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13 .∫0

∞

e-x sen x dx 14 .∫1

∞ √ x(1+x2 )2 dx 15.∫

0

∞ x3+1x4 dx

16 .∫1

∞ ln ( x2+1 )x

dx 17.∫0

∞ xarctgx√1+ x4

dx 18.∫−∞

∞ dx( x2+1)2

19 .∫0

2 dxx2−4x+3

20.∫1

2 x dx√x-1

21.∫0

1

x ln x dx

22 .∫0

1/edxx ln2 x

23.∫-1

1dx(x-2 )√1-x2

24 .∫-1

1x-13√x5

dx

25 .∫0

2 √x√1-x4

dx 26 .∫-1

1 dxe√ x−1

27 .∫1

3 xx2−2

dx

28 .∫1

3x√x2−2

dx 29.∫0

1dxx √x-1

30.∫0

π/2ln sen x√ x

dx


Web view3_En cada uno de los ejercicios encuentre una ecuación del círculo que...

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