República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación SuperiorInstituto Universitario de tecnología de MaracaiboPrograma Nacional de Formadores

Elías VelazcoDepartamento de MatemáticasDel IUTM.

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Ecuaciones Diferenciales

Definición: Una ecuación que contiene las derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes es una ecuación diferencial.Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.Según el tipo: Ordinarias : si solo contiene derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Ejemplo:

y Parciales: si contiene derivadas parciales de una o mas variables dependiente, respecto de dos o mas variables independiente. Ejemplos

y Clasificación según el orden:

El orden de una E.D (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo:

E.D de segundo orden

La ecuación: se puede escribir de la forma:

Entonces es una E.D ordinaria de primer grado. Una E.D.O general del orden n se suele representar mediante los símbolos

3

Clasificación según la linealidad o no linealidadSe dice que una E.D de la forma:

es lineal cuando f es una función lineal de

. Esto significa que una E.D es lineal si se puede escribir de la forma:

Ejemplos:

a)

b)

c)

no lineales: ejemplos

a) el coeficiente depende de y

b)

Función es no lineal de y

c)

Potencia distinta de 1

d)

4

Potencia diferente de 1

Nota: la linealidad o no, la podemos expresar como el grado de la E.D, que viene dado a veces como el exponente mayor de la derivada de mayor orden, como el ejemplo d) anterior, se dice que es de 2do grado por ser 2 el exponente de y’’’ que es la derivada de mayor orden

Solución de una E.D

Definición: cuando una función ∅, definida en algún intervalo I, se sustituye en un E.D y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo.

Comprobación de una solución

a) comprobar que la función es una solución de la E.D lineal:

en el intervalo

Solución: necesitamos hallar y’’, y’ de para sustituirla en E.D

Vemos que:

= 0 (para todo numero real)

b) Comprobar que es solución de la E.D

5

Solución: necesitamos hallar

Sustituimos

c) Comprobar que es solución e la E.D

Hallamos

Sustituimos en:

d) comprobar que es solución de la E.D

Hallamos

6

Sustituimos en:

Ejercicios: Compruebe que la función indicada sea una solución de la ED dada:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

7

8) , ,

9) ,

Ecuaciones diferenciales de primer orden.

a) variables separables.

Definición: se dice que una E.D de primer orden, de la forma:

Es separable, o de variables separables es decir: si tenemos una E.D de la forma:

y la podemos reducir a la forma:

entonces es separable.

Ejemplos:

1) resolver:

Solución: dividimos por 1 .x y

8

Definimos c como y se llega

2) resolver:

Solución:

3)

Solución:

Dividiendo por da como resultado

Aplicando integrales

9

4) resolver:

Solución:

(

Luego:

Integrando:

5) resolver:

Solución:

Luego:

Ejercicios:

1)

10

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Problema 1 (aplicación de separable)

Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplico en cinco años. ¿ en cuánto tiempo se triplicara y cuadriplicara?

Solución:

11

Para t=0 se tiene personas Para t=5 se tiene 2

2 =

Por lo tanto .

Se triplica en: 3 =

Años

Se cuadruplica en: 4 =

Problema 2 (aplicación de separables)La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población en cualquier momento. Su población inicial es 500 personas y aumenta el 15% en 10 anos. ¿ cuál será la población pasados 30 años?

Solución:

12

Para t = 0 Entonces la población aumenta el 15%

500 100% X 15% X= 75

Luego para t= 10

Es decir

En 30 años personas.

Ecuación lineal exacta :

Sean continuas M(x,y) y N(x,y), con derivadas parciales continuas en una región rectangular R, definida por a < x < b, c < y < d. entonces la condición necesaria y suficiente para que M(x, y) dx + N(x, y) dy sea una diferencial exacta es que

Método de solución:

Dada una E.D de la forma: M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 se determina si es valida la condición:

en caso afirmativo, existe una función f para la cual

integrando con respecto a X. en donde la función es la constante de Integración, ahora derivamos respecto a Y,

y suponemos que

13

Eso da:

Por último integramos respecto a ‘’y’’ y el resultado se sustituye en:

Ejemplo: 1) Resolver: Solución: hacemos Comprobamos si exacta:

Entonces existe f(x,y) tal que:

Luego: También se puede escribir de la forma:

2) resolver:

Solución:

14

Es exacta

Existe

Derivamos respecto a “y”

Igualamos a

Integramos respecto a “y”

sustituimos en

Es decir:

3) Resolver:

Solución: y

Es exacta

Existe

15

Derivamos respecto a

igualamos a

Luego

4)

Exacta

Ejercicios: determine si es exacta. Si lo es, resuelva.

1)

2)

16

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

-En el caso de que no sea exacta para ello se debe de hallar un

factor integrando de la siguiente forma:

Ejemplo:

a)

17

“No exacta”

Si:

Es Exacta. Se resuelve por el método de exactas.

b)

No es exacta.

Si:

18

Es exacta. Se resuelve por el método de exactas.

c) E.D soluciones por sustitución.- E.D homogéneasUna E.D de primer orden:

Es homogénea si los coeficientes m y n, a la vez son funciones homogéneas del mismo grado. En otras palabras:

y Método de solución.

Una E.D homogénea como se puede resolver por sustitución algebraica como o estas sustituciones reducen la ecuación diferencial dada a una E.D separable de primer orden.

Ejemplo:

1) Resolver: Solución: examinar que m y n son homogéneas del mismo grado:

19

Ambas son homogéneas de grado 2.Hacemos la sustitución:

Agrupando términos semejantes

( tiene que ser separable)

Integrando:

Aplicamos la sustitución inversa

20

2) Resolver:

Solución:

Son homogéneas de grado 1.

Haciendo:

Integrando:

21

Haciendo:

3)

4)

22

5)

23

EC. Diferenciales lineales

Definición: Una Ec. Diferencial de primer orden de la forma:

Es una ecuación lineal

Al dividir ambos lados de la Ec. Anterior entre el primer coeficiente se obtiene una forma mas útil, la forma estándar de una Ec. Lineal.

*

Solución de una Ecuación lineal:1. Se debe convertir a la forma (*), para que el

coeficiente que acompañe a sea la unidad.2. Hay que identificar y definir el factor

integrante:

3. La ecuación obtenida en el paso 1 se multiplica por el factor integrante:

24

4. El lado izquierdo de la EC obtenida en el paso 3 es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente

Se integran ambos lados de la ecuación obtenida en el paso 4

Ejemplo:

1) Resolver:

i).Al dividir por x llegamos a la forma:

(*)

ii).P (x) = F.I=

F.I = =

=

25

Propiedad de logaritmo: ; F.I =

iii) multiplicamos la ecuación (*) por

.

Integrar por partes

Llegamos a:

Multiplicamos por para despejar ”y”

Ejemplo

2) Resolver:

26

i)

ii) p(x)=

F.I=

F.I=

iii)

iv)

3) Resolver

Solución

i)

ii) P(x) = F.I =F.I=X

27

iii)

iv)

Luego

4) Resolver

i)

ii) p(x)=

iii)

iv)

28

Multiplicando por el cos x

;

Uso de la sustituciones; la ecuación de bernoulliLa ecuación diferencial

En que n es cualquier numero real, es la ecuación de bernoulli. Obsérvese que cuando la n=0 y n=1, la ecuación anterior es linear cuando y

la sustitución reduce esta ecuación en una ecuación linear.Ejemplo:

1) Resolver

Solución: primeramente eliminamos la x que acompaña a

*

Observar que n=2 sustituimos en despejando “y”

29

Derivado por regla de la cadena

Sustituimos en *

Multiplicamos por

Es una E.D lineal

F.I=

Multiplicamos por el F.I que es en

Multiplicando por x:

Pero

30

2) Resolver

Solución: n=3

Podemos derivar aplicando la regla de la cadena

(a)

Multiplicando por en la ecuación original

y sustituyendo (a)

F.I= Luego

31

3) Resolver Solución:

Dividimos por “x”

a)

Sustituyendo en (a)

F.I=

32

Multiplicamos por x y resolvemos la integral

Ejercicios de Ec diferenciales 1) Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales por tipo, orden y grado

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

33

2) Compruebe q la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial dada.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

3) Resuelva la ecuación diferencial respectiva por separación de variables

a)

b)

c)

34

d) dydx ¿ y+1

x e) dxdy = x2 y2

1+x f)2 y ( x+1 ) dy=xdx

g) h)x2 y '= y−xy i)(e x+e−x ) dydx

= y2

j)(e y+1 )2 e− y dx+( ex+1 )3 e−x dy=0

4) Determinar si la ecuación respectiva es exacta. Si lo es, resuélvalaa)2 xydx+ ( x2−1 ) dy=0b) (2 x−1 ) dx+ (3 y+7 )dy=0c)(2 x+ y )dx+( x+6 y ) dy=0d)(5 x+4 y ) dx+( 4 x−8 y3 ) dy=0e)(2 y2 x−3 ) dx+ (2 y x2+4 ) dyf)( x3+ y3 ) dx+3 x y2 dy=0g)x dydx

=2 xe x− y+6 x2

h) (3 x2 y+e y ) dx+( x3+xe y−2 y ) dy=0i) (1−3x+ y)dx+(1−3

y+x)dy=0j) (4 y+2 x−5 ) dx+(6 y+4 x−1 ) dy=0k) (e x+ y ) dx+(2+x+ y e y ) dy=0l) ( 4 x3 y−15 x2− y ) dx+( x4+3 y2−x ) dy=0

5) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneasa)( x+ y ) dydx

=x− y h)dydx

= x+3 y3 x+ yb)( x− y ) dx+xdy=0 i)x y2 dy

dx= y3−x3

35

c)( x+ y ) dx+xdy=0 j)( x2+2 y2 ) dxdy

=xyd)xdx+( y−2 x ) dy=0 k)2 xy y '+ y2=2 x2e)( y2+ yx ) dx−x2 dy=0f)ydx=2 ( x+ y ) dyg)dydx

= y−xy+ x

Guía de Ejercicios*Separación de variables1)dx+e3 x dy=0 rpta: y¿ 13

. e−3 x+c

2)dxdy

= x2 y2

1+x rpta: −3+3 x ln|x|=x y3+cx

3)x √1− y2 dx=dy rpta: y=sen( x2

2+c)4)ds

dr=K .S rpta: S=c , ekr

5)dpdt

=p−p2 rpta:6)y '=e3 x +2 y rpta:−3 e−2 y=2 e3 x+c7)x y '=4 y rpta: y=c x4*Homogéneas8)y '=12 ( x

y+ y

x ) rpta: x2− y2=cx9)2 xy y '=4 x2+3 y2 rpta:y2+4 x2=c x310)( x2− y2 ) y '=2 xy rpta: y=c ( x2+ y2 )11)xy '= y+√x2+ y2 rpta: y+√ x2+ y2=c x212)x (x+ y ) y '=− y (3 x+ y ) rpta: x2 (2 xy+ y2 )+c=013)x2 y '=xy+ y2 rpta: y=x (c+ ln|x|−1 )−1

14)x y2 dydx

=x3+ y3 rpta: y3=3 x3 (c+ ln|x|)15) x (x+ y ) y '= y (x− y ) rpta: ln|xy|=c+x y−1*Exactas16)(2 x−1 ) dx+ (3 y+7 )dy=0 rpta:f =x2−x+32

y2+7 y17)(2 y2 x−3 ) dx+ (2 y x2+4 ) dy=0 rpta:f = y2 x2−3x+4 y

36

18)(5 x+4 y ) dx+( 4 x−8 y3 ) dy=0 rpta:f =52

x2+4 xy−2 y 4

19)x . dydx

=2 x ex− y+6 x2 rpta:f =xy−2 x ex+2e x−2 x3

20)(1−3x+ y)dx+(1−3

y+x)dy=0 rpta:f =x−3 lnx+xy+ y−3lny

21)(x2 y3− 11+9 x2 ) dx

dy+x3 y2=0 rpta:f = x3 y3

3−tan−1 (3 x )*No Exacta22)(−xy Senx+2 yCosx ) dx+2x Cosx dy=0 rpta: f . I=cos

−12 x23)(2 y2+3x ) dx+2 xy dy=0 rpta:f . I=x*Lineales y Bernoulli24)( x2+9 ) y '+xy=0 29)2 di

dt+4 i=12

25) x dydx

+ y=2 x 30) x dydx

+ y=x2 y2

26)y '= 1x+ y2 31) dr

do+r Sec σ=cosσ

Ecuación diferencial de RicattiEs del tipo:dydx

=P (x )+Q ( x ) . y+R ( x ) . y2

Una ecuación del Ricatti se puede resolver con dos sustituciones consecutivas, siempre y cuando conozcamos una solución particular Y1, de la ecuación. Primero empleamos la sustitución y= y1+U ( x ) para transformarla a Bernoulli.Ejemplo:Obtenga la solución general de la E.D.Odydx

−1x

. y− 1x2 y2+1=0 Con 1)Se escribe la Ec. de la forma:

dydx

=P (x )+Q ( x )+R ( x ) . y2 ,en nuestro caso

37

(A) dydx

=−1+ 1X

. y+ 1x2 . y2 donde {

P ( x )=−1

Q ( x )=1x

R ( x )= 1x2

}Sabemos que y= y1+U ( x )⟹ [ y=x+U ] Entonces[ dy

dx=1+ du

dx ] Sustituimos en (A)1+ du

dx=−1+ 1

x( x+u )+ 1

x2 ( x+u )2

1+ dudx

=−1+ 1x

. x+ ux+ 1

x2 ( x2+2 xu+u2)

1+ dudx

=−1+1+ ux+ 1

x2 . x2+ 1x2 .2 xu+ 1

x2 .u2

1+ dudx

=ux+1+ 2u

x+ u2

x2

dudx

=3ux

+ u2

x2 ⟹[ dudx

−3x

. u= 1x2 . u2](B)

Se transforma en una ecuación de BernoulliHacemos w=u1−n donde n=2 w=u−1

[u=w−1 ]⟹[ dudx

=−w−2 . dwdx ]Sustituimos u y du

dx en (B)−w−2 . dw

dx−3

x. w−1= 1

x2 . w−2

Multiplicamos por −w2

[−w−2 . dwdx

−3x

. w−1= 1x2 ] . (−w2 )

dwdx

+ 3x

w=−1x2 Ecuación lineal

38

Hallamos el factor integrante:m (x )=e

∫ 3x dx

=e3 ln x=eln x3

=x3Luego:x3 . dw

dx+3 x2 . w=−x

d ( x3 . w )=−x dx

x3. w=−∫ x dx⟹ x3. w=−x2

2+c

w= 1x3 .(−x2

2+c)⟹w=−1

2 x+ c

x3

∴u=(−12 x

+ cx3 )

−1

La solución es:[ y=x+(−1

2 x+ c

x3 )−1]

Ejercicios de Ricatti1) dy

dx=−4

x2 −1x

y+ y2 donde 2) y '−3 y− y2+4=0 donde u ( x )=13) dydx

=2−2 xy+ y2 donde

39

Ecuación de ClairautLa Ecuación diferencial:y=xy '+ f ( y ' ) se llama ecuación de clairautPara hallar la solución se deriva ambos lados de la ecuación con respecto a x, es deciry '= y '+x . y ' '+ f ' ( y ' ) . y' '

0=x y ' '+ f ' ( y ' ) . y ' '

y ' ' . ( x+ f ' ( y ' ) )=0 Se puede verificar que:y=cx+ f (c ) Es una solución de la ecuación de clairaut Otra solución:f ' ( y ' )=−x

Ejemplo:y=xy '+ ( y ' )2

y '= y '+x y ' '+2 ( y ' ) . y ' '

0=x y ' '+2 y ' . y ' '

y ' ' . ( x+2 y ' )=0 Una solución es y=cx+c2

Otra solución x+2 y '=0⟹ y '=

−x2⟹[ y=−x2

4+c ]Ejercicios

1) y=x y ' +3 ( y ' )22) y=x y ' + ( y ' )43) y=x y ' +4 ( y ' )34) y=x y ' +sen ( y ' )

40

5) y¿ x y '+ey '6) y=x y ' +cos ( y ' )