Asignatura: Matemáticas Nombre del docente: Hugo González Siguenza

Tema (s): RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Subtemas: SUCESIONES NUMÉRICASSERIES ESPACIALES

Numero de Sesión 2 Teoría

Fecha de revisión: Nov. 2017 Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

Un matemático, es como un pintor o poeta, es un fabricante de patrones.—G. H. Hardy, A mathematician’sApology, 1940

A. Sucesiones numéricas

Una de las tareas más importantes de las matemáticas es descubrir y caracterizar patrones regulares, tales como los relacionados con los procesos que se repiten. La principal estructura matemática que se utiliza en el estudio de los procesos que se repiten es la sucesión y la principal herramienta matemática que se usa para comprobar suposiciones acerca de las sucesiones es la inducción matemática.

Imagina que una persona te pregunta por tus antepasados. Tú tienes dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos y así sucesivamente, estos números se pueden escribir en un renglón como:

2, 4, 8,...

El símbolo “...” se llama puntos suspensivos. Es la abreviatura de “y así sucesivamente”. Para expresar el patrón de los números, suponga que cada uno está etiquetado por un entero que indica su posición en el renglón.

Generación Padres Abuelos Bisabuelos Tataraabuelos …Posición 1 2 3 4 … nNúmero 2 4 8 16 …

Si te preguntan ¿Cuántos tatarabuelos tienes? Y te dan las siguientes opciones:

A. 8B. 12C. 16D. 20

La opción que debes señalar es la C. pues en general las personas tenemos 16 tatarabuelos. Por otra parte es común que se presenten sucesiones numéricas y se necesite obtener el patrón que éstas obedecen. En este caso específico el patrón que se obedece es an=2n, pues si sustituimos el valor de la posición n, obtendremos el número de padres, abuelos, bisabuelos, etcétera que tenemos.

a1=21=2El número de padres,

a2=22=4Abuelos,

a3=23=8Bisabuelos, etcétera.

Es importante que te des cuenta que los números presentados obedecen a una sucesión particular y de ser posible obtengas el modelo general o patrón del mismo. También es común que debas

2018

encontrar los términos siguientes de una sucesión que se te proporciona, para ello hay varias técnicas, por ejemplo:

Encontrar el siguientetérmino de la sucesión: 3, 10, 17, 24, 31,____

En este caso podemos darnos cuenta de que entre dos términos consecutivos hay siete unidades, es decir, dado un término de la sucesión, para obtener su sucesor es necesario sumar siete unidades a éste:

De este modo el término siguiente es 38. Hay casos en los cuales en lugar de sumar hay que restar, multiplicar, dividir o realizar alguna mezcla de operaciones, puede que los incrementos no sean constantes, observa el siguiente ejemplo:

Encontrar los siguientes dos términos de la sucesión: 1, 3, 7, 15, 31, ____, _____

Aquí vemos que entre dos términos consecutivos hay un incremento, pero este incremento no es constante sino que también se va incrementando a cada paso, es decir, observando algunos pasos podemos encontrar una regularidad y vemos que los incrementos son 2, 4, 8, 16, de esta manera los dos incrementos siguientes serán 32 y 64 respectivamente:

Los patrones que podemos encontrar en las sucesiones puede que no sean únicos y que haya alguna manera diferente de resolverlos, en el caso anterior se puede resolver de la siguiente forma:

Si tenemos una sucesión como la siguiente: 1, 3, 6, 10, 15, 21,… y deseamos obtener (más concretamente identificar) el patrón que obedece entre una lista de opciones tales como:

A. bn=n(n+1)

2B. bn=

n(n−1)2

C. bn=n2

2D. bn=

(n−1)(n+1)2

Lo que debemos hacer es identificar cada término de la sucesión con el lugar o posición que ocupa y sustituirlo en las expresiones que se nos muestran como candidatas a ser término general.

N 1 2 3 4 5 6

bn=n(n+1)

21 3 6 10 15 21

bn=n(n−1)

20 1 3 6 10 16

bn=n2

2½ 2 9/2 8 25/2 18

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bn=(n−1)(n+1)

20 3/2 4 15/2 12 35/2

De aquí podemos observar que la opción A. es la correcta.

Si la pregunta por el contrario fuera: “Dada la siguiente sucesión 1, 3, 6, 10, 16, 21,…, ¿Cuál será el décimo término?” en este caso primero debemos identificar el término general

bn=n(n+1)

2como ya se vio, al sustituirn=10:

b10=10(10+1)

2=10(11)

2=110

2=55

Otro caso bastante frecuente es cuando se tienen dos sucesiones que están intercaladas formando una nueva sucesión, en este caso decimos que cada una de las dos primeras son subsucesiones de la última. Veamos esto con un ejemplo, indicar cuales son los dos términos siguientes en la sucesión:

Está compuesta por dos subsucesiones intercaladas, cada término de una subsucesión está alternado con un término de la otra, así las dos sucesiones componentes son:

Y podemos darnos cuenta que los términos generales de cada una de ellas son 2n y −3n respectivamente, y también podremos notar que los términos de la sucesión original alternan su signo, dónde las posiciones pares son negativas. Entonces los términos siguientes de la sucesión son 32 y -15.Ahora ha llegado el momento de que pongas en práctica tus razonamientos resolviendo los ejercicios siguientes.

B. Series espaciales

De la misma manera que se busca encontrar un patrón de comportamiento en sucesiones numéricas, se pueden presentar series espaciales en las cuales nos piden identificar cuáles son los siguientes movimientos o estados de la sucesión, por ejemplo:

¿Qué imagen sigue en la siguiente serie?

A. B. C. D.

Podremos darnos cuenta de que la opción correcta es el inciso B.

En otras ocasiones vamos a encontrar problemas que no nos piden el estado inmediato sino cierta característica de éste o de un estado mucho más adelante:

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¿Cuántos cuadros se requieren para construir una pirámide de 10 niveles?

A. 50B. 45C. 66D. 55

Aquí debes notar que cada nivel agrega tantos cuadros como el mismo nivel nos indica, así para el primer nivel tenemos 1 cuadro, para construir una pirámide de dos niveles necesitamos 1+2 cuadros, para una de tres 1+2+3 cuadros, de esta forma una de diez niveles requerirá 1+2+3+…+8+9+10=55 cuadros.

BIBLIOGRAFIA

Epp, Susana, (2012), Matemáticas Discretas Con Aplicaciones, CENGAGE LEARNING, Mexico.

Stewart, James (2012): "Precálculo, matemáticas para el cálculo". 6ª edición. CengageLearning Editores.

Larson, Ron. (2012) Precálculo. 8ª edición. CengageLearning Editores.

https://es.slideshare.net/augustocabrerabecerril/habilidad-matemtica-series-espaciales

http://roa.uveg.edu.mx/repositorio/bachillerato2015/171/Seriesespacialesynumricas.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=Vlmgmlt7t9U

http://profe-alexz.blogspot.mx/2012/10/series-numericas-razonamiento.html

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Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Subtemas: IMAGINACIÓN ESPACIALNumero de Sesión

3 TEORIA

Fecha de revisión: Nov. 2017 Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

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Imaginación espacial

Capacidad del individuo de analizar y visualizar objetos en su mente

Rotación de imágenes Construcción de figuras Descubrir semejanzas

METODOLOGIA PARA UNA MEJOR COMPRENCIÓN DE PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO

Para resolver problemas de razonamiento, debemos tener una organización al momento de comprender, analizar, clasificar y entender el resultado, puesto que si nos guiamos por conjeturas, podemos llegar a un resultado erróneo, por lo anterior se han dado a conocer estrategias o procesos para resolver problemas de razonamiento matemático. Con base al método de cuatro pasos de George Polya:

Paso 1. Comprenda el problema. Entender que piden calcular (el objetivo). Analizar y leer cuidadosamente el problema. Finalmente preguntar ¿Qué debo calcula?

Paso 2. Elabore un plan. Primero identificar los datos que nos proporciona el problema, clasificar los datos, elaborar un Plan o estrategia utilizando (diagramas, esquemas, operación matemática, sentido común).

Paso 3. Aplique un Plan. Una vez que ha clasificado el problema, ponga en práctica la estrategia.

Paso 4. Revise y Verifique. Revisar la respuesta para ver si es razonable. Preguntar: ¿Satisface las condiciones del problema?, ¿Se han contestado todas las preguntas del problema?, ¿Es posible resolver de otra manera y llegar al mismo resultado?

Ejemplo 1

1.- Observando la figura:

¿Cuál de las siguientes figuras corresponde a la anterior después de haberla girado 90 ˚a la IZQUIERDA?

a) b) c) d)

Resolución:

Primero observa detenidamente la figura:

2018

Toma un solo punto de referencia en este caso tomaremos el 2, ahora imagina en que posición debe de quedar al girarlo 90°, como lo pide el ejercicio:

Valida que en las opciones aparezca la forma de la referencia que tomamos

Una vez que validaste que la referencia si corresponde con una de las opciones debes validar que las demás referencias coincidan:

Una vez encontrada la respuesta regresamos al problema:

1.- Observando la figura:

¿Cuál de las siguientes figuras corresponde a la anterior después de haberla girado 90 ˚a la derecha?

a) b) c) d)

2018

Por lo tanto la respuesta correcta debe de ser “C”

Ejemplo 2

1. ¿Qué opción contiene los números de la siguiente figura?

a) 9, 36

b) 11,44

c) 10, 40

d) 12,48

Primero observa detenidamente las figuras:

En este caso se debe tomar en cuenta que el tipo de problema es de sucesiones numéricas, por lo tanto se analizara buscando patrones de diferencias entre cada cifra:

Notara que en el caso de la sucesión de arriba existe una diferencia de 3 y en la sucesión de abaj existe una diferencia de 12, por lo tanto siguiendo esa lógica la siguiente sucesión deberá quedar como:

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25 8

8 3220

Una vez encontrada la respuesta regresamos al problema:

1. ¿Qué opción contiene los números de la siguiente figura?

a) 9, 36

b) 11,44

c) 10, 40

d) 12,48

BIBLIOGRAFIA

https://books.google.com.mx/books?id=0F_pWjrT1CYC&pg=PA63&lpg=PA63&dq=razonamiento+aritmetico&source=bl&ots=vYzMXi9xbY&sig=1Ip4liJ7SKNIh9xIS4mmqXcehNs&hl=es-419&sa=X&ved=0ahUKEwjytIDwuqHXAhUe0IMKHVtECU0Q6AEIVzAJ#v=onepage&q=razonamiento%20aritmetico&f=false

https://www.tropaymarineria.es/test/Tropa%20y%20Mariner%C3%ADa%20-%20Ejemplo%20Test%20Razonamiento%20Espacial.pdf

https://www.pinterest.com.mx/pin/401875966739416406/?lp=true

2018

25 8

8 3220

Por lo tanto la respuesta correcta debe de ser

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

Subtemas: NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS, OPERACIONES BASICASNumero de Sesión

4 TEORIA

Fecha de revisión: Nov. 2017 Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

Cuando pensamos en números, lo que escribimos es 101 ,8.5 , 12,0 , ¿y qué hay de los números

negativos −7 o de √4o el número π ? Todos ellos pertenecen a un conjunto de números llamados los Números Reales. A continuación se muestra la clasificación y a qué conjunto pertenecen estos números.

Ahora, con ayuda de los números Naturales, N={1 ,2,3 ,…,+∞ }, podemos identificar los números COMPUESTOS y los número PRIMOS.

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Con el conjunto de los Números Enteros podemos realizar las siguientes operaciones:FACTORIZACIÓN DE UN NÚMERO COMPUESTO

Los factores primos de 84 se obtienen por diagrama T: 84 Expresado en Factores primos 84 = __________________

Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números:

Ej. 1. m.c.m (8,10)= 40

8 10 24 5 22 5 21 5 5

1

Ej. 2. m.c.m (9, 15)=

9 15 3

3 5 31 5 5

1

Ej. 3.

¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se pueda llenar en un número exacto de segundos por cualquiera de tres llaves que vierten: la 1ra, 2 litros por segundos; la 2da, 30 litros en 2 segundos y la tercera 48 litros en 3 segundos?

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Números Compuestos

4=2x210=5x2111=11x

11

Números Naturales

Números Primos2,3,5,7,11,13,17,…

3 (3 ) (5 )=45

2 30 48 2

1 15 24 215 12 215 6 215 3 35 1 51

Para operar números con signos, se requiere de la aplicación de la Ley de los Signo:

Multiplicación:

Ej. 1. (32 ) (−2 )=−64

Ej. 2. −1 (−3 )=3

Ej. 3. 103.5 (2 )=207

Ej. 4. (−1 ) (4 ) (−2 ) (−3 )=−24

Ej. 5. (−3 ) (3 ) (−1 ) (−7 ) (−5 )=315

División:

Ej. 1. (−32 )÷ (4 )=−8

Ej. 2. −2211

=−2

Ej. 3. −144−2

× 16−8

=−144

Ej. 4. (−1 )÷ (−1 )=1

Ej. 5. −2 (3 )÷2

−5 (−3 )÷−5=1

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2(2)(2)(2)(3)(5)=240 litros

Suma o Adición:

Para efectuar la suma o adición de números enteros tenemos los siguientes casos.

1) Reducción de números con signo: en este tipo de operación se recomienda sumar primero los términos positivos, sumar luego los términos negativos y por último restar las dos sumas:

Ej. 1. 2+3−5+8−7+4=5

Ej. 2. 6−2−7+9+8−12=2

Ej. 3. 8+5+3−13−2−1=0

2) Uso de paréntesis: cuando el signo exterior del paréntesis es positivo, los términos dentro del paréntesis no cambian su signo. Cuando el signo exterior del paréntesis es negativo, los términos del paréntesis cambian su signo.

Ej. 1. 5+ (−3 )=2

Ej. 2. 7−(−8 )=15

Ej. 3. −3+4−(−1+1 )=1

Nota 1: Cuando existe un paréntesis y dentro de este se encuentra una operación, primero deberá de realizar la operación.

Ej. 4. 7+ (5−3 )− (2−5 )+6=18

Ej. 5. 6+ [2−(3+4 )+(5−7 )−3 ]−2=−6

Ej. 6.

−[−13+(24−68 )]−(−48+95 )(−48+32 )−(67−82 )

=−10

Bibliografía:

AritméticaTeórico practicaA BaldorDécima cuarta impresión 1998Publicaciones Cultural.

Cuadernillo gratuito de Habilidad matemática.

PLANEA 2016 y 2017INEE (Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación en México)

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Numerador

Denominador

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES

Subtemas: OPERCIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS

Numero de Sesión

5 TEORIA

Fecha de revisión: Nov. 2017

Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

NÚMEROS FRACCIONARIOS

El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales.

ab

Numerador: Indica las partes que se toman.

Denominador: Indica las partes iguales en que se divide la unidad.

25

820

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Tipos de fracciones

Las fracciones se clasifican de acuerdo al denominador, estas son:

Fracciones Propias: son aquellas cuyo numerados es menor que el denominador. Su valor comprendido esta entre 0 y 1.

Ejemplos: 45, 5

9, 3

8, 23

Fracciones Impropias: son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1.

Ejemplo: 53, 14

9, 7

5, 2311

Fracción mixta

La fracción mixta está compuesta de una parte entera y una fraccionaria.

Convertir fracciones mixtas a impropias.

Las fracciones mixtas pueden representar el mismo valor que una fracción impropia, es decir, son fracciones equivalentes. Por esta razón podemos convertir una fracción mixta a impropia.

Para convertir lo primero que hay que hacer es multiplicar el entero por el denominador de la fracción, después sumar el numerador por el resultado de la multiplicación anterior. Todo esto sobre el denominador de la fracción.

1 3/5 = (5)(1) + 3 = 8/5

Convertir fracciones impropias a mixtas

Para realizar la conversión de una fracción impropia a mixta se efectúa la división del numerador entre el denominador, el cociente es la parte entera, el residuo es el numerador de la fracción y el divisor es el denominador.

178

=817=2 18

Fracciones decimales

Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.

101=10, 102=100, 103=1000, 104=10000, etc.

Ejemplos:

2018

2

1

0.4= 410 0.23=

23100 0.724=

7241000

Suma de fracciones

Para sumar fracciones que tienen el mismo denominador, se suman los numeradores, conservando el mismo denominador.

Ejemplos: 27+ 3

7+ 1

7=6

7

38+ 2

8=5

8

Para realizar una suma con distinto denominador, se sigue el procedimiento de productos cruzados.

ab+ cd=ad+bc

bd

Ejemplo:

27+

35=

2 (5 )+3(7)7 (5)

=10+21

35 =3135

Resta de fracciones

Para restar fracciones que tienen el mismo denominador, se suman los numeradores, conservando el mismo denominador.

Ejemplos: 89−3

9=5

9

911

− 511

= 411

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar fracciones se realiza lo siguiente: se multiplican los numeradores, se multiplican los denominadores y se simplifica la fracción.

Ejemplo:

38× 2

7= 6

56= 3

28

División de fracciones

2018

Concepto previoClasificación

Aplicación

Para dividir dos o más fracciones, se multiplican en cruz. Es decir, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción (se obtiene el numerador), y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción (este es el denominador).

35

18= 3×8

5×1=24

5

BIBLIOGRAFÍA:

https://www.matematicasonline.es/cidead/libros/1eso/temas/05-Fracciones.pdf

http://www.clarionweb.es/5_curso/matematicas/tema506.pd

https://matesyciencias.files.wordpress.com/2012/10/apuntes-de-fracciones.pdf

https://es.khanacademy.org/math/eb-1-secundaria/eb-fracciones-5

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES

Subtemas: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Numero de Sesión

6

Teoría

Fecha de revisión: Nov. 2017

Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES

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Razón

Cociente entre números

Igualdad entre razones

Inversas

Directas

Porcentaje

Regla de tres

Escala

Proporcionalidad

RAZÓN Es una comparación entre dos cantidades por medio del cociente entre ellas. ó a:b Se lee “ a es b”

No se trata de repartir al azar, por ejemplo si al grupo de 15 alumnos le doy 36 libros y al grupo de 10 alumnos le doy 14 libros, el reparto no es proporcional. En cambio, si al grupo de 15 alumnos le doy 30 libros y al segundo grupo le doy 24 libros, el reparto es proporcionalmente directo.  

Si el total de estudiantes que hay es 25 y el total de libros es 50.

La Razón correspondiente es

2550

PROPORCIÓN Es una comparación entre dos razones, esta relación puede ser de forma directa e inversa.

Un primer grupo tiene 15 estudiantes y se necesita conocer el número de libros que le corresponde

Primera razón

2550 = Segunda razón

15x

PROPORCIÓN DIRECTA Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar o disminuir una de ellas la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción.

Con estas dos razones planteamos la proporción y resolvemos.

Acabamos de averiguar que al grupo de 15 alumnos le corresponde 30 libros.

PROPORCIÓN INVERSA

Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando haciéndose mayor o menor la primera cantidad, la segunda por el contrario se hace menor o mayor respectivamente el mismo número de veces. Observa la tabla:

Primera magnitud 1 2 3 4 5 6

Segunda magnitud 120 60 40 30 24 20

Un grupo de 18 alumnos ha ganado un premio por un trabajo realizado y han recibido $ 200 cada uno. ¿Cuánto recibirían si hubieran participado sólo 10 alumnos?

alumnos dinero

18 200

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a + alumnos – dinero

a – alumnos + dinero Proporcionalidad inversa

2550

=15x

x=(50 )(15)25

=30

10 x

Por tanto se aplica el inverso multiplicativo

1810

= 200x x =

18 ( 200 )10

1810

= x200 x = 360

· Recibirían $ 360 cada uno de los 10 alumnos

Una de las aplicaciones de las razones y proporciones es el porcentaje.

PORCENTAJE Un porcentaje es una forma de expresar una proporción como una fracción de denominador 100, en otras palabras es el número de unidades que se toma de cada cien. Es de utilidad para realizar comparaciones entre cantidades.

8 por ciento es lo mismo que la fracción 8 % =

8100

=0 .08

35 % =

35100

=0 .35 15.8 % =

15 . 8100

=0 . 158

Existen los siguientes tipos de porcentaje.

PORCENTAJE DE AUMENTO

El precio final, aplicando un porcentaje se calcula sumando el AUMENTO al precio inicial.

PORCENTAJE DE DESCUENTO

El precio final del, aplicando un porcentaje se calcula restando el DESCUENTO del precio inicial.

Ejemplos En una escuela que tiene una población de 30 alumnos el 30 % fue de visita al

museo, ¿cuántos alumnos no fueron al museo?Considera:

Fueron al museo 30 %

No fueron al museo: 70 %

En un almacén de ropa, hay un descuento en los artículos para caballero. Calcula el descuento que me hicieron en un artículo si pague $105 cuyo precio normal es de $150.00.

Considera:

Pago: $105

Costo normal: $150

2018

Resuélvelo

BIBLIOGRAFÍA

Para mayor información puedes consultar las siguientes páginas:

http://lasmatematicas.eu/matematicas-y/algebra/porcentajes

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/porcentajes.html

http://www.clarionweb.es/6_curso/matematicas/tema10.pdf

http://www.clarionweb.es/6_curso/matematicas/tema10.pdf

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): POTENCIACIÓN Y RADICACIÓNSubtemas:

LEYES DE LOS EXPONENTESOPERACIONES COMBINADASJERARQUIA DE OPERACIONES

Numero de Sesión 7

Teoría

Fecha de revisión: Nov. 2017 Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Potenciación:

Las potencias o exponentes se utilizan para denotar la multiplicación repetida de un número por sí mismo; por ejemplo:

24 = (2)(2)(2)(2) = 16 y 63 = (6)(6)(6) = 216

En estas expresiones, 2 y 6 son la base y 4 y 3 son el exponente.

Reglas de los exponentes: A continuación se mencionan algunas reglas. En cada regla se da por hecho que x y y son bases y números reales mayores a cero. También, que los exponentes a y b son enteros, a menos que se especifique lo contrario.

2018

Regla 1 : x−a= 1xa

Ejemplo 1: 2−5= 125 =

132 Ejemplo 2:

15−3 =53=125

Regla 2 : (xa)(xb)=xa+b

Ejemplo 1: (22)(23)=22+3=25=32Ejemplo 2: (x−3)(x5)=x5−3=x2

Regla 3: xb

xa=xb−a= 1

xa−b

Ejemplo 1: 25

22=25−2=23=8Ejemplo 2: x2

x6 =x2−6= 1x6−2 =

1x4

Regla 4: x0=1

x1=x

Ejemplo 1: 50 = 1Ejemplo 2: (-5)0 = 1

* 00 no está definido.

Regla 5: (xa)( ya)=(xy )a

Ejemplo 1: (52)(22)=102=100Ejemplo 2: (2 x)4=24 x4=16 x4

Regla 6:( xy )3

= x3

y3

Ejemplo 1: ( 23)

3

=23

33 =8

27Ejemplo 2: ( x

2 y)

2

= x2

4 y2

Regla 7: (xa)b=xab

Ejemplo 1: (24)2=24∗2=28=256Ejemplo 2: (2 x3)3=(23)(x3∗3)=8 x9

2018

Radicación:

La raíz cuadrada de un número positivo n es un número m, por lo tanto m2 = n. Donde m es la raíz, 2 es el orden y n es el radicando.

Por ejemplo, 5 es la raíz cuadrada de 25 dado que 52 = 25. También, la raíz cuadrada de 25 es -5 dado que (-5)2 = 25 ya que todos los números positivos tienen una raíz cuadrada positiva y otra negativa.Una raíz cuadrada es una raíz de orden 2, órdenes mayores, por ejemplo 3 y 4 se escriben de la siguiente manera: 3m y 4n. A continuación se muestran algunos ejemplos de raíces.

√9 = 3 ya que el cuadrado de 3 es 9, la raíz de 9 es igual a 3.

√25= 5 √81 = 9√100 = 10 √121= 11√144= 12

√169 = 13√196= 14√225 = 15√625= 25

Las raíces más comúnes con órdenes mayores son:

3√8 = 2 ya que 23 = 8 por lo tanto la raíz cúbica es 2, 3 es el orden y 8 es el radicando.

3√27 = 34√81 = 3

Jerarquía de operaciones:

Para realizar operaciones mixtas, utilizando sumas, restas, divisiones, multiplicaciones, paréntesis y potencias se debe seguir el siguiente orden:

Operaciones combinadas:

2018

Operaciones con sumas y restas:

2+3-5-2+6= 4

Cuando existen dos o más operaciones de la misma jerarquía juntas se resuelven por orden de aparición.

Operaciones con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones:

2x4-5-6/3+7 = 7

Se resuelve primero la multiplicación, después la división y la sumas y restas de izquierda a derecha.

Operaciones con sumas, restas, divisiones, multiplicaciones, paréntesis y potencias:

-(5x3)+2-9/3+32 = -7

Se resuelven utilizando la jerarquía de operaciones y de izquierda a derecha cuando poseen la misma jerarquía.

Nunca olvides la ley de los signos para resolver estas operaciones.

BIBLIOGRAFÍA:

Arias Cabezas, José María y MazaSáez Ildefonso. 2008. Aritmética y Álgebra. En Carmona Rodríguez, Manuel y DíazFernández Francisco Javier. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial Bruño, SociedadLimitada. p. 19.

http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapI/1_6_3_rad.htm (Se consultó el 05/11/2017)

http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapI/1_6_3_pot.htm (Se consultó el 05/11/2017)

http://ciencias.udea.edu.co/semilleros/Semilleros%202009/Taller%207/PDF/Taller%207%20grado%207.pdf(Se consultó el 05/11/2017)

https://www.ditutor.com/numeros_naturales/jerarquia_operaciones (Se consultó el 11/11/2017)

2018

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): EXPRESIONES ALGEBRAICASSubtemas:

LENGUAJE ALGEBRAICO, OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICASNumero de Sesión 8

Teoría

Fecha de revisión: Nov. 2017 Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Es una combinación de números y letras que representan números (variables) cualesquiera.

Algunas ocasiones se sugiere que las últimas letras del alfabeto para las variables (x,y,z,) y las primeras (a,b,c) para las constantes.

Por ejemplo:

3 x2 -7xy + 2y3, ( √5 xyz+2z)(3 a2+2k)

LENGUAJE ALGEBRAICO

2018

En algebra es la parte de la matemática que estudia la relación entre números, letras y signos. Por lo tanto, el lenguaje algebraico es aquel que emplea símbolos y letras para representar números. Dicho en otras palabras, permite expresar números desconocidos y realizar operaciones matemáticas con ellos; siendo más preciso al expresarse en forma breve.

EL lenguaje algebraico tiene como finalidad, establecer y diseñar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética donde sólo se emplean los números y sus operaciones básicas.

Ejemplo

El sucesor de n n+1El antecesor de n n−1Entero siempre par 2nEntero siempre impar 2n+1Dos pares consecutivos 2n y 2n+2Dos impares consecutivos 2n+1 y 2n+3

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TÉRMINO INDEPENDIENTE

Sólo consta de un valor numérico

−2 xy

TÉRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos que sólo se diferencian en su coeficiente. Por ejemplo, -2xy, 4xy son términos semejantes, mientras que 2ab,3a2b3 no lo son.

POLINOMIO

Es una expresión algebraica de más de un término.

Por ejemplo.

a) 7 x3 y 4 es un monomio, ya que sólo consta de un término.b) 2 x+3 y es llamado binomio, por constar de dos términos.c) 3 x2+4 x – 2recibe el nombre de trinomio pues es una expresión algebraica de tres

términos.

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

1.-SUMASe efectúa agrupando los términos semejantes.

7 x+3 y2−4 xy ; 3 x−2 y2+xy ; x−6 y2−2xy

(7 x+3 y2−4 xy )+(3x−2 y2+xy )+(x−6 y2 2−2 xy) =

7 x+3 y2−4 xy+3 x−2 y2+xy+x−6 y2−2 xy=

11 x−5 y2−5 xy

2.- RESTA Se lleva a cabo efectuando la suma de la expresión del minuendo con el inverso aditivo del sustraendo, la cual se obtiene cambiando el signo de todos sus términos.

2 x2−xy+4 y2de5 x2−3 xy+ y2

( 5 x22−3 xy+ y 2) -(2 x2– xy+4 y2) =

5 x2−3 xy+ y2−2x2+xy−4 y2=

3 x2−2xy−3 y2

2018

3.- MULTIPLICACIÓN Hay tres casos y debemos recordar:

i) Producto de dos o más monomios. Para realizarlo se aplican las leyes de los exponentes

(−3 x2 y3 z)(2 x y2 z5)=

[(−3)(2)][ x2x ][ y3 y2][ z z5]=

−6 x3 y5 z6

ii) Producto de un monomio por un polinomio. Se efectúa multiplicando el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio y sumando los productos.

(5 x2 y4)(3 x y2−4 x3+2 x y2)=

(5 x2 y4)(3 x y2)+(5 x2 y 4)(−4 x3)(5x2 y4)(2x y2)=

15 x33 y5−20 x5 y 4+10x3 y6

i) Producto de un polinomio por un polinomio. Se multiplican todos y cada uno de los términos de un polinomio por todos y cada uno de los términos del otro y sumando los productos obtenidos.

(x+3)(x2+9x−2)=¿

(x)( x¿¿2 )+( x)(9 x )-( x)¿¿

x3+6 x2+29 x+6

4.- DIVISION Hay dos casos:

Monomio entre monomio.

Se inicia la división aplicando leyes de los signos, los coeficientes se dividen y para las letras que son iguales se aplican las leyes de los exponentes.

75c2 e15 f 11

−5c e7 f = 75

−5c2

ce15

e7f 11

f

= −15c e8 f 10

Polinomio entre monomio

Cada uno de los términos de polinomio se divide entre el monomio (que se encuentra en el denominador)

32x2+20 x−12x3

4 x

32x2

4 x+ 20 x

4 x−12 x3

4 x=¿

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8 x+5−3 x2

BIBLIOGRAFÍA

PiotrWisniewski, Marian y Gutiérrez Banegas,Ana Laura, s.f., Introducción a las matemáticas Universitarias, México, D.F., Ed. Mc Graw Hill- Schaum,

Earl w. Swokowski y Jeffery A. Cole, Diciembre de 2007, Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica, , México, D.F., Ed. CengajeLearning.

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Expresiones_algebraicas

https://www.youtube.com/watch?v=IN_CIbJF0-s

https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/alg-basics-algebraic-expressions

http://www.estoy-aprendiendo.com/algebra.html

https://www.google.com.mx/search?q=que+es+el+lenguaje+algebraico&oq=QUE+ES+EL+LENGUAJE&aqs=chrome.1.69i57j0l5.7048j0j8&sourceid=chrome&ie=UTF-8

http://conceptodefinicion.de/lenguaje-algebraico/

2018

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): PRODUCTOS NOTABLES

Subtemas: BINOMIO: AL CUADRADO, CONJUGADOS, TÉRMINO COMÚN

PRODUCTOS NOTABLES

Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables.

Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término.

CUADRADO DE UN BINOMIO

El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un binomio. El desarrollo del cuadrado del binomio a + b se puede obtener multiplicando término a término

El cuadrado de un binomio a + b es igual al cuadrado del primer término

más el doble del producto delos términos más el cuadrado del segundo término.

Ej.

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS

Dos binomios son conjugados si difieren sólo por el signo de uno de sus términos.

Al efectuar el producto de un binomio a + b por su conjugado a - b , se tiene:

Es decir, Dos binomios son conjugados si difieren sólo por el signo de uno de sus términos

Ej.

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

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el producto de binomios con un término común es el cuadrado del término común, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos.

Para representar el producto de dos binomios con un término común se utiliza un cuadrado de lado x . A uno de los lados se le agrega una cantidad a y a otro se le agrega una cantidad b , por lo que se forma una superficie con cuatro regiones

Ej.

Esto significa que el producto de binomios con un término común es el cuadrado del término común, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos.

BINOMIO CON TERMINO SEMEJANTE

son aquellos términos que solo difieren en el coeficiente. En el caso del producto de dos binomios con términos semejantes (2x + 3) (3x + 4) cuando el coeficiente del término semejante en cada binomiosea el mismo, se tiene el caso de binomios con un término común.

Para obtener el producto de dos binomios con términos semejantes, se puede hacer la multiplicación directamente.

El polinomio que se obtiene como producto de dos binomios con términos semejantes se forma con un termino que es el producto de los dos términos semejantes, otro termino que es el producto de los otros dos términos, y la suma del producto de los extremos (el termino semejante del primer binomio con el otro término del segundo binomio) con el producto de los medios (el otro término del primer binomio con el termino semejante del segundo binomio).

2018

Los términos semejantes se separan de acuerdo al producto de dichos términos mas el producto e los otros dos términos.

BIBLIOGRAFIAS

https://www.youtube.com/watch?v=OP_WX8TjeI4

http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/AlgebraProductosnotables.htm

http://www.escolares.net/matematicas/productos-notables/

2018

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): FACTORIZACION

Subtemas: POR TERMINO COMUN, TRINOMIO CUADRADO PERFECTO, DIFERENCIA DE CUADRADOS, TRINOMIO CON TERMINO COMUN, BINOMIO CON TERMINO SEMEJANTE

FACTORIZACIÓN

Un factor es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto.Nótese como el número 2 aparece como factor común de 6, 10 y 30 porque cada uno de estosnúmeros se divide exactamente entre dicho factor común.Cuando una expresión algebraica está contenida exactamente en todos y cada uno de los términos de unpolinomio, se dice que es factor común de ellos.

(3)(2)= 6 , por lo que factores de son 3 y 2.

(5)(2)=10 , por lo que factores de son 5 y 2 .

(5)(3)(2)= 30, por lo que factores de 30 son 5, 3 y 2 .

Para encontrar el factor común de los términos de un polinomio se busca el máximo común divisor (MCD)de los coeficientes de todos los términos, y de las literales que aparezcan en todos los términos, seescogen las que tengan el menor exponente.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales, es decir, es elcuadrado de otra cantidad. Por ejemplo, 9a2 es cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de

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3a.Se conoce como trinomio cuadrado perfecto (TCP) al resultado que se obtiene de elevar al cuadrado un binomio.

Para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto, se debe cumplir que dos de sus términos seancuadrados perfectos y que el otro término corresponda al doble producto de las raíces cuadradas de lostérminos cuadráticos.

Ej.

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Una diferencia de cuadrados es el resultado del producto de dos binomios conjugados. Esto implica que para factorizar una diferencia de cuadrados, se extraen las raíces cuadradas de lostérminos y se forma un binomio. Finalmente se expresa el producto de este binomio por su conjugado.

Forma:

Es lo mismo que factor común de binomios solo que con trinomio, porque el procedimiento es exactamente el mismo, con las mismas reglas.

El factor común es aquel factor que está presente en cada términodel trinomio. El factor común puede ser numeral,literal, o ambos a la vez. Si es un factor común literal se extrae el de menor exponente.Si el factor común es numeral se saca el máximo común divisor.El proceso para aplicar el factor común en trinomio, se realiza igualmente de los binomios.

producto de dos binomios los cuales sólo tienen en común un sólo término, su forma general es ( a + b ) ( a + c ) la cual trata del producto de dos binomios, los cuales tienen en común el término “a” y los

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términos NO comunes son los términos “b, c”. El producto de binomios con término común es un trinomio cuadrado, para lo cual existe una regla de 3 pasos en donde cada paso nos da un término de dicho trinomio.

1) El cuadrado del término común.

2) La suma de los términos NO comunes, por el término común.

3) El producto de los términos NO comunes.

Ej.

Bibliografías

https://www.youtube.com/watch?v=ROGt8u81FxM

https://es.wikiversity.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n

http://math.uprm.edu/academic/courses-help/mate0066/m0066_ver09/sol_factorizacion.pdf

2018

Las incógnitas son las literales que aparecen en la

ecuación.

La solución es el valor único que toma la incógnita para que la igualdad sea cierta.

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Subtemas: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADOPLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS

Numero de Sesión

12 Teoría

Fecha de revisión: Nov. 2017 Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.Los términos son los sumandos que forman los miembros.

2018

El grado de una ecuación es de primer grado el

exponente de la literal.

ECUACIÓN BASICA

Pasamos las x a un lado de la igualdad (izquierda) y los números al otro lado (derecha):

En la derecha, la x está restando. Pasa a la izquierda sumando:

Sumamos los monomios con x:

En la izquierda, el -3 está restando. Pasa a la derecha sumando:

Sumamos los monomios de la derecha:

El coeficiente de la x es 2. Este número está multiplicando a x, así que pasa al otro lado dividiendo:

2018

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

En general para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

Por tanto, la solución de la ecuación es x = 3.

ECUACIÓN CON PARENTESIS

Recordamos que los paréntesis sirven para agrupar elementos, para simplificar o para evitar ambigüedades.

El signo negativo de delante del paréntesis indica que los monomios que contiene tienen que cambiar de signo:

Sumamos 3 y -2 en el lado derecho:

Pasamos los monomios con x a la izquierda y los números a la derecha:

Sumamos 1 y -1. Como el resultado es 0, no lo escribimos:

Pasamos 2x a la izquierda restando y sumamos los monomios:

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Luego la solución de la ecuación es x = 0.

ECUACIÓN CON FRACCIONES

Tenemos varias formas de proceder con las fracciones:

Sumar las fracciones de forma habitual. Multiplicar la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

En esta ecuación aplicaremos la segunda opción. De este modo los denominadores van a desaparecer.

Multiplicamos, pues, por m.c.m. (2, 3) = 6:

Para simplificar, calculamos las divisiones:

Nótese que hemos escrito un paréntesis al eliminar la fracción de la derecha. Esto se debe a que el 3 debe multiplicar al numerador que está formado por una suma.

Calculamos los productos:

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Para eliminar el paréntesis, multiplicamos por 3 todos los elementos que contiene:

Pasamos las x a la izquierda:

Sumamos los monomios:

Finalmente, el coeficiente de la x pasa dividiendo al otro lado:

La solución de la ecuación es x = 3/4.

La fracción no se puede simplificar más puesto que ya es irreductible (el máximo común divisor del numerador y del denominador es 1).

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Para resolver este tipo de problemas, el enunciado se transforma al lenguaje algebraico, de esta manera se obtiene una ecuación de primer grado.

¿Cuál es el modelo matemático que resuelve el problema: “La suma de 2 números es 60, el mayor excede al menor en 20”?

Utilizas una literal para generalizar

Número menor : xNúmero mayor: x+20

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Se plantea la ecuación: Número mayor + Número menor =60 ( x+20 )+x=60

Norma tiene 15 años y Aidé 35. ¿Dentro de cuántos años Aidé tendrá el doble de años que Norma?

Edad Actual Dentro de x añosNorma

15 15+x

Aidé 35 35+x

Edad de Aidé = 2(edad de Norma)35+x=2(15+ x)35+x=30+2 x35−30=2 x−x

5=x

BIBLIOGRAFIA

https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-ecuaciones-ec.html

https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-ecuaciones-ec.html

http://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-primer-grado.htm

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Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRÁTICAS)Subtemas:

CLASIFICACION DE ECUACIONES CUADRÁTICASRESOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN Y FÓRMULA GENERALINTERPRETACIÓN GEOMETRICARESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Numero de Sesión

13

Teoría

Fecha de revisión: Nov. 2017 Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

Se clasifican en

De la forma De la forma

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ECUACIONES COMPLETAS ECUACIONES INCOMPLETAS

a x2+bx+c=0 MIXTAS

ax2+bx=0

PURAS

a x2+c=0

Métodos de Resolución

FÓRMULA GENERAL

x=−b±√b2−4ac2a

x1 y x2 son lasraiceso soluciones de laecuación

Para aplicar la fórmula general deben obtenerse los valores de a ,b y c, en el orden de la ecuación de segundo grado igualada a cero. a x2+bx+c=0

a :coeficiente del términocuadrático b :coeficiente del término linealc : términoindependiente

Observa: En la ecuación de la forma: ax2+bx=0 considera c=0 En la ecuación de la forma: ax2+c=0 considera b=0

COMPLETA: contiene el término de segundo grado, el de primer grado y el independiente

x2+5 x−6

Solución: (Formula General)

x=−b±√b2−4ac2a

a= 1 b= 5 c = -6x=−5±√52−4 (1 )(−6)

2(1)

2018

FÓRMULA GENERAL

FACTORIZACIÓN

a x2+bx+c=0

x=−5±√25−(−24 )2(1)

x=−5±√25+24¿ ¿2(1)

x=−5±√492(1)

x=−5±72

x1=−5−7

2x2=

−5+72

x1=−6 x2=1

DISCRIMINANTE

Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al ser sustituidos en la ecuación la convierten en una identidad.Llamamosdiscriminante , a partir del signo del discriminante conoceremos el número de soluciones de la ecuación, así:

Discriminante Ejemplo Discriminante Carácter de las Raíces

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Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.

Si el discriminante es 0 hay una solución.

Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.

∆> 0POSITIVO

x2+5x−6=0 52−4 (1 )(−6)=49 Dos raíces realesy diferentes

−6 ,1

∆= 0CERO

4 x2+12 x+9=0 122−4 (4 )(9)=0 Reales e iguales −32

, 32

∆< 0NEGATIVO

5 x2−3 x+2=0 (−3)2−4 (5 ) (2 )=−31 ImaginariasNo hay solución

PURA: es aquella donde la variable a encontrar esta elevada al cuadrado y carece del termino de primer grado:

Solución:

MIXTA: Es aquella ecuación donde carece del término independiente.

22 x2-14 x = 0

Solución: (Método de Factorización)2 x( x−7)=0

2 x=0( x−7 )=0

x1=0 /2 x1=0 ;x2=7

INTERPRETACION GRAFICA

La interpretación geométrica de la ecuación de segundo grado se obtiene a partir de la gráfica de la función y=ax2+bx+c, que es una parábola; donde la solución de

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ax+c=03 x2-27=0

3 x2-27=0

3 x2=27x2=27/3x2=9x=±√ 9

x2=−3 x1=3

a x2+bx+c=0

la ecuación ax2+bx+c=0 son los puntos de dicha gráfica cuando y=0, es decir, los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas (eje X).

PROBLEMAS QUE IMPLICAN EL USO DE ECUACIONES DE

SEGUNDO GRADO

Hallar la suma de dos números es 16 y cuyo producto es 63x=primer numero

y=segundonumero

Despejamos(y ) de la ecuación ①

x+ y = 16…① y=16−x…③

x∗y= 63…②

sustituir el valor obtenido de la ecuación ③ en ecuación ② para obtener la ecuación con una sola incógnita

x∗y = 63… ②

x∗(16−x ) = 63… ②

16 x−x2=63Igualamos esta ecuación a cero

x2−16+63=0 a = 1 b = -16 c = 63x=−(−16)±√¿¿¿

x=16±√256−4 (1)(63)2

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En la imagen de la izquierda podemos observar la gráfica de y = x2+2x-3 donde los puntos de intersección en el eje de las abscisas son: (-3,0) y (1,0).

Por lo tanto la solución de la ecuación cuadrática es:

x1= -3

x2= 1

x=16±√256−2522

x=16±√42

x=16±22

x1=16+2

2x2=

16−22

x1=9 x2=7

BIBLIOGRAFIA

Para mayor información puedes consultar las siguientes páginas:

http://recursostic.educacion.es/eda/web/eda2009/descartes/catalunya/materials/jordi_segarra_practica_3/tema5_ccss_eda05/item_2.htm

http://www.allmathwords.org/es/q/quadraticequation.html http://www.ditutor.com/ecuaciones_grado2/discriminante.html

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Subtemas: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES SIMULTANEASPLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS EN CONTEXTOINTERPRETACIÓN DEL MÉTODO GRAFICO

Numero de Sesión

14 Teoría

Fecha de revisión: Nov. 2017 Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales esconjunto de ecuaciones lineales (Un sistema de ecuaciones donde cada ecuación es de primer grado y puede tener más de una incógnita);lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Por ejemplo: Ax+By=C

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Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y).

A ' x+B ' y=C '

a) Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.

Los métodos de solución para este sistema de ecuaciones son los siguientes:

1. Método de Sustitución

Consiste en despejar una de las variables en una de las ecuaciones del sistema y sustituir su valor en la otra ecuación.

Suponiendo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

5 x+2 y=1 ………….( 1)

−3 x+3 y=5 ………….( 2)

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MÉTODOS DE SOLUCIÓN. Reducción.Consiste en sumar ambas ecuaciones y eliminar una de las variables, obteniendo una ecuación de primer grado con una incognita. IgualaciónGráfico SustituciónConsiste en despejar una incognita de cualquiera de ambas ecuaciones para sustituir en la ecuación restante y obtener una ecuación de primer grado con una incognita.Consiste en despejar la misma incognita de ambas ecuaciones e igualarlas para obtener una ecuación de primer grado con una incognita.En este método se dan valores a x para encontrar los valores de y, y formar las parejas que al gráficar forman la recta que representa la ecuación en el plano cartesiano y la intersección de ambas rectas será la solución.

i. Despejamos en una incógnita de una de las ecuaciones.

En este caso de la ecuación (2) despejamos “y”

y=3 x+53

ii. Sustituimos en la otra ecuación,la incógnita despejada:

5 x+2(3 x+53 )=1

iii. Resolvemos la ecuación, para encontrar el valor de la incógnita.

5 x+ 6 x3

+ 103

=1→ 21x3

+103

=1→7 x=1−103

7 x=−73

→x=

737

x=−721

iv. Sustituimos el valor obtenido en la ecuación despejada al principio y resolvemos para obtener el otro valor.

y=3 x+53

→ y=3(−7

21 )+5

3→y=−1+5

3→y=4

3

Los valores de las incógnitas son:

x=−721

y= 43

2. Método de Reducción

Consiste en reducir el sistema de ecuaciones a una sola ecuación con una sola incógnita. Para esto se necesita multiplicar una ecuación y en ocasiones las dos ecuaciones por números convenientes, para que los coeficientes de una de las incógnitas sean números iguales pero con signos opuestos, al momento de realizar la suma de las dos ecuaciones, la incógnita quedará eliminada.

Suponiendo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

x+2 y=9 ………….( 1)

3 x− y=20 ………….( 2)

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i. Si queremos eliminar la incógnita x, es necesario tener el mismo número y con signo contrario los coeficientes de esta incógnita. Para ello multiplicaremos la ecuación (1) por “-3” y realizamos la sima algebraica de ambas ecuaciones:

−3 x−6 y=−27 ……………… (ecuación “1” multiplicada por “-3”)

3 x− y=20 ………………. (ecuación “2”)

−7 y=−7→ y=−7−7

→y=1

ii. Sustituimos el valor de “y” en cualquiera de las ecuaciones iniciales y resolvemos despejando la incógnita “x”.

x+2 y=9→x+2 (1 )=9→x+2=9

x=9−2→x=7

Los valores de las incógnitas son:

x=7

y=1

3. Método de Igualación

Consiste en despejar en despejar una incógnita en ambas ecuaciones e igualar para formar una ecuación con una sola incógnita.

Suponiendo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

5 x+ y=8 ………….( 1)

3 x− y=8 ………….( 2)

i. Despejamos“y” en ambas ecuaciones

y=8−5 x

y=3 x−8

ii. Igualamoslos segundos miembros del paso anteriory resolvemos para la incógnita “x”.

3 x−8=8−5x→3 x+5 x=8+8→8 x=16

x=168→x=2

2018

iii. Ya encontrada la incógnita “x” la sustituimos en una de las ecuaciones iniciales ya despejada y resolvemos.

y=8−5 x

y=8−5(2)

y=8−10

y=−2

Los valores de las incógnitas son:

x=2

y=−2

b) Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Muchos problemas que requieren la determinación de dos o más cantidades desconocidas pueden ser resueltos por medio de un sistema de ecuaciones lineales. Las cantidades desconocidas se representan con letras, por ejemplo: x, y, etc. y se establece un sistema de ecuaciones que satisfagan las diversas condiciones del problema. La resolución de este sistema conduce a los valores de las incógnitas.

Ejemplo:

El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.

Solución: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos. Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:

5 x+4 y=32

6 x+3 y=33

Utilizando los métodos antes mencionados para este tipo de ecuaciones. Para este caso utilizaremos igualación.

Despejamos “y”

y=8−54x

y=11−2 x

Igualando y resolviendo para x.

−54

x+8=11−2 x→2x−54x=11−8→ 3

4x=3

2018

x= 334

→x=4

Sustituyendo “x” en una de las ecuaciones iniciales encontramos “y”:

y=11−2 x

y=11−2(4)

y=3

La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es $4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse fácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33.

a) Interpretación del método gráfico en la solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Consiste en graficar las ecuaciones lineales de dos incógnita, donde el resultado se interpreta como continúa:

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas compatibles determinados: Dos rectas que se cortan en un punto.

Ejemplo:Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

x+2 y=4

3 x+ y=4

Representamos ahora gráficamente las dos rectas dadas por las ecuaciones del sistema:

Las dos rectas se cortan en el punto (4/5, 8/5) que es la solución del sistema.

2018

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas compatibles indeterminados: Una recta.

Ejemplo:Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

x+2 y=4

2 x+4 y=9

Representamos ahora gráficamente las dos rectas dadas por las ecuaciones del sistema:

En realidad, solo hay una recta, que es la dada por todas las soluciones del sistema.

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas incompatibles: Dos rectas paralelas.

Ejemplo:Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

x+2 y=4

2 x+4 y=8

Representamos ahora gráficamente las dos rectas dadas por las ecuaciones del sistema:

Obtenemos dos rectas paralelas. No hay soluciones para el sistema y de igual forma no hay puntos de corte de las dos rectas.

2018

BIBLIOGRAFIA

https://oggisioggino.wordpress.com/2014/02/15/sistemas-de-ecuaciones-lineales-con-dos-incognitas/http://www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htmhttp://www.algebra.jcbmat.com/id1252.htmhttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_lineales_dos_incognitas_dchg/p5_sde_3.htmlhttps://es.khanacademy.org/math/algebra/two-var-linear-equations#solutions-to-two-var-linear-equationshttp://www.vadenumeros.es/primero/sistemas-graficamente.htmhttp://www.aprendermatematicas.org/2esomate09sistemas.html

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): RECTAS Y ÁNGULOS, PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO

Subtemas: TIPOS DE RECTAS, CLASIFICACIÓN DE RECTAS FIGURAS PLANAS

Numero de Sesión

15 Teoría

Fecha de revisión: Nov. 2017 Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

RECTAS Y ANGULOS

2018

Tipos de rectas

Recta

Línea de puntos sin principio ni fin, sin curvas ni ángulos

2018

Recta

Línea de puntos sin principio ni fin, sin curvas ni ángulos

Paralelas

Rectas que nunca se cortan aunque se prolonguen. La

distancia entre ambas siempre es la misma

Recta Tangente

Recta que toca en un punto pero sin cortar a otra recta

Secante

Dos rectas tienen un punto en común (VERTICE) se

llaman secantes.

Oblicuas

Si dos rectas tienen un punto de intersección, y forman ángulos no todos

iguales se llaman rectas oblicuas

Perpendiculares

Dos rectas tienen un punto de intersección, y forman cuatro ángulos iguales y los ángulos se

llaman rectos

CLASIFICACIÓN Y RELACION DE ANGULOS ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

Dos rectas paralelas son cortadas por una recta secante creando 8 ángulos que reciben distintos

nombres según la posición que ocupan.

La recta “r” corta a las rectas paralelas “m” y “n”

2018

Ángulos correspondientes:

Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante y estos siempre son iguales.

El ángulo a se corresponde con el ángulo a’

El ángulo b se corresponde con el ángulo b’

El ángulo c se corresponde con el ángulo c’

El ángulo d se corresponde con el ángulo d’

Por lo tanto:

∠a=∠a ' ∠b=∠b ' ∠c=∠ c ' ∠d=∠ d '

ANGULOS EXTERNOS

Los ángulos externos son aquellos que se forman al exterior de las rectas paralelas m y n cuando son cruzadas por una recta secante r.

Su propiedad es:

∠a+∠ d=180 °

∠b '+∠ c '=180 °

ANGULOS INTERNOS

Los ángulos internos son aquellos que se forman al interior de las rectas paralelas m y n cuando son cruzadas por una recta secante r.

Su propiedad es:

∠b+∠ c=180°

∠a '+∠ d '=180 °

2018

ANGULOS ALTERNO EXTERNOS

Son los ángulos que estan fuera de las líneas paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la secante.Por un lado los ángulos a y c’, y por otro,los ángulos b’ y d.

Una de sus propiedades es que estos ángulos son congruentes, lo cual significa que:

∠a=∠c ' y ∠d=∠ b'

Ejemplo:

Si el ángulo a es de 135 °, determine el valor del ángulo g

Solución:Sabemos que por ser ángulos externos ∠a+∠ b=180 °, por lo tanto:

135 °+b=180° b=180 °−135 ° b=45 ° Entonces aplicando la propiedad ∠b=∠ g

b=45 ° por lo tanto g=45 °

Ángulos correspondientes:

Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante y estos siempre son iguales.

El ángulo a se corresponde con el ángulo a’

El ángulo b se corresponde con el ángulo b’

El ángulo c se corresponde con el ángulo c’

El ángulo d se corresponde con el ángulo d’

Por lo tanto:

∠a=∠a ' ∠b=∠b ' ∠c=∠ c ' ∠d=∠ d '

Figura 1

ANGULOS ALTERNO EXTERNOS

Son los ángulos que están dentro de las líneas paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la secante.Por un lado los ángulos b y d’, y por otro,los ángulos c y a’.

Una de sus propiedades es que estos ángulos son congruentes, lo cual significa que:

∠b=∠d ' y ∠c=∠ a'

Ejemplo:

2018

TRIÁNGULO

Un triángulo es una poligonal cerrada con tres lados y tres ángulos. La suma de sus ángulos es 180º.

Cada uno de los lados es menor que la suma de los otros dos, esto es

a < b + c b < a + c c < a + b

Propiedades del Triángulo

ANGULOS ALTERNO EXTERNOS

Son los ángulos que están dentro de las líneas paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la secante.Por un lado los ángulos b y d’, y por otro,los ángulos c y a’.

Una de sus propiedades es que estos ángulos son congruentes, lo cual significa que:

∠b=∠d ' y ∠c=∠ a'

Ejemplo:

Clasificación de triángulos según sus lados

Triángulos equiláteros Todos sus lados son iguales Cada uno de sus ángulos Para poder encontrar el valor de su altura, hay que proceder a hacer uso del

Teorema de Pitágoras. El perímetro de este tipo de triángulos puede calcularse multiplicando la longitud

de cualquiera de los lados por tres.

P=3a Suponiendo que a= 24cm entonces P=3(24) por tanto el perímetro queda como P=72cm

La fórmula para calcular el área de un triángulo equilátero es siempre la misma:

2018

Triángulos equiláteros Todos sus lados son iguales Cada uno de sus ángulos Para poder encontrar el valor de su altura, hay que proceder a hacer uso del

Teorema de Pitágoras. El perímetro de este tipo de triángulos puede calcularse multiplicando la longitud

de cualquiera de los lados por tres.

P=3a Suponiendo que a= 24cm entonces P=3(24) por tanto el perímetro queda como P=72cm

La fórmula para calcular el área de un triángulo equilátero es siempre la misma:

Triángulos isósceles El triángulo isósceles es un polígono de tres lados, siendo dos iguales y el otro desigual. Los ángulos también serán dos iguales (α) y el otro diferente (β) La altura (h) del triángulo isósceles se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. El perímetro de un triángulo isósceles se obtiene como dos veces el lado repetido (a) más

el lado desigual (b).

P=2a * b fórmula para calcular el área de un triángulo es siempre la misma:

Area=b∗h2

Suponiendo que a=10cm y b=12cm por lo tanto h=8cm, entonces para calcular el area:

Area=b∗h2 ; entonces Area= (12cm ) (8cm, )

2=48cm2

Triángulo escaleno Todos sus lados son desiguales a≠b≠c Cada uno de sus ángulos son diferentes ∠α ≠∠γ ≠∠ β La altura (h) del triángulo escaleno se puede calcular a partir del

teorema de Pitágoras. El área de un triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón si se

conocen todos sus lados (a, b y c).

Area=√s ( s−a ) (s−b )(s−c) donde S es el semiperimetro S=a+b+c2

El área también puede calcularse con la formula de siempre si se conoce b y h

Area=b∗h2

2018

SUMA DE ANGULOS INTERIORESLa propiedad 1 nos indica que la suma de todos los ángulos interiores siempre debe de ser igual a 180°.

α+β+δ=180°

SUMA DE DOS ANGULOS EXTERIORESLa propiedad 4 nos indica que la suma de dos ángulos exteriores X y Y será igual a 180° mas el Angulo interno no adyacente X+Y=180 °+δ

Triángulo escaleno Todos sus lados son desiguales a≠b≠c Cada uno de sus ángulos son diferentes ∠α ≠∠γ ≠∠ β La altura (h) del triángulo escaleno se puede calcular a partir del

teorema de Pitágoras. El área de un triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón si se

conocen todos sus lados (a, b y c).

Area=√s ( s−a ) (s−b )(s−c) donde S es el semiperimetro S=a+b+c2

El área también puede calcularse con la formula de siempre si se conoce b y h

Area=b∗h2

Clasificación de triángulos según sus ángulos

TRIANGULO ACUTANGULO

Sus 3 ángulos siempre son agudos

∠ A+∠B+∠C<90 °

Cumplen con las 4 propiedades de los ángulos de los triángulos

ANGULOS EXTERIORLa propiedad 2 nos indica que θ será igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.

θ=α+δ

SUMA DE LOS ANGULOS EXTERIORESLa propiedad 3 nos indica que la suma de los 3 ángulos exteriores X,Y y Z siempre será 360°

X+Y+Z=360°

Ejemplos:

Considera que las rectas PQ y RS son paralelas, calcula y anota las medidas de ángulos que hacen falta.

∢a = 47° es Opuesto por el vértice ∢b = 47° es Alterno Interno con 47°∢c = 68° 112° + ∢c = 180°

2018

TRIANGULO RECTANGULO

Su principal característica es que tiene un ángulo de 90° Sus dos ángulos agudos suman 90º La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos Cumplen con las 4 propiedades de los ángulos de los

triángulos

TRIANGULO OBTUSANGULO

Tiene un ángulo mayor a 90°

∠ A>90 ° Cumplen con las 4 propiedades de los ángulos de los

triángulos

∢d = 68° es Opuesto por el vértice∢e =65° Ángulos interiores del Δ∢f = 115° es Opuesto por el vértice∢g = 65° 115° + ∢g = 180°∢h = 133° 47° + ∢h = 180°

Calcular el valor de C, cuando a=6 x+15° y g=2x+5 °

Los ángulos ∢a y ∢g suman 180°

∢a + ∢g = 180°

(6x + 15°) + (2x + 5°) = 180°

8x + 20° = 180°

8x = 180° - 20°

8x = 160°

x = 160° ÷ 8 x = 20°

Entonces ∢a = 6(20°) + 15° = 135° y ∢c = 45°

BIBLIOGRAFÍA

http://diccionariomate.blogdiario.com/1279652640/geometria/https://sites.google.com/site/eet468conthales/conceptos-basicos/transversales/rectas-oblicuas-2https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1445431865/contido/ud6/22_posiciones_relativas_entre_una_recta_y_una_circunferencia.htmlhttp://www.aulafacil.com/cursos/l11136/ciencia/matematicas/geometria/angulos-determinado-por-rectas-paralelas-cortadas-po-una-secantehttp://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Applets/paralelas/paralelas.htmhttps://www.ematematicas.net/figurasplanas.phphttps://es.scribd.com/doc/27590449/Propiedades-basicas-de-los-triangulos

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): SEMEJANZA Y TEOREMA DE TALES

Subtemas:CONCEPTO Y DEDUCCION DE PROPORCIÓNRESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN CONTEXTO

Numero de Sesión

16 Teoría

Fecha de revisión: Nov. 2017

Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

2018

SEMEJANZA Y TEOREMA DE TALES

La semejanza de triángulos es una característica que hace que dos o más triángulos sean semejantes.

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos congruentes y sus lados correspondientes (homólogos) son proporcionales. Se les llama lados homólogos los opuestos a ángulos iguales.

En los siguientes triángulos se indican los elementos homólogos (ángulos y lados) con la igualdad o congruencia de sus ángulos y la proporcionalidad de los lados:

Para que los triángulos sean semejantes se deben de cumplir las siguientes condiciones:

A r se le denomina razón de semejanza.

Se llama razón de semejanza a la relación que existe entre la relación entre la longitud de uno de los lados de una figura con la de su homólogo.

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Para que dos triángulos sean semejantes, deben cumplir alguno de los tres criterios de semejanza, que se mencionan a continuación.

Criterio AA (ángulo – ángulo). Que tengan dos ángulos iguales.

2018

Sus lados sean proporcionales:

Sus ángulos sean iguales:

a = a´

b = b´

c = c´

Si b = b’ y c = c’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

Criterio LAL (lado – ángulo - lado). Que tengan los lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos sea igual.

Entonces:

Por lo tanto, los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

Criterio LLL (lado – lado – lado). Que tengan sus tres lados correspondientes proporcionales.

Entonces:

Por la tanto los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

TEOREMA DE TALES.

El Teorema de Tales afirma: que todo sistema de paralelas divide a dos transversales en segmentos proporcionales

2018

Cuando dos triángulos tienen un ángulo común y sus lados opuestos a ese ángulo son paralelos entre sí, entonces esos triángulos son semejantes.

Y, por tanto, se cumple que:

BIBLIOGRAFÍA

https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/41/criterios-de-semejanza-triangulos

http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/semej3.htm

https://matematica.laguia2000.com/general/semejanza-de-triangulos

http://calculo.cc/temas/temas_trigonometria/trian_semejante/problemas/p_tales.html

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): PLOGONOS Y CIRCUNFERENCIA

2018

LADOVÉRTICE

Triángulo

Pentágono

Subtemas: CARACTERISTICAS DE LOS POLIGONOS REGULARES CARACTERISTICAS DE LA CIRCUNFERENCIA

Numero de Sesión

17 Teoría

Fecha de revisión: Nov. 2017

Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA

POLÍGONOS

Un polígono es una figura cerrada y plana limitada por un mínimo de tres segmentos rectilíneos, formando una línea poligonal que denominamos contorno del polígono.

Los segmentos que forman el polígono son sus lados, y sus puntos de unión son los vértices.

a) Clasificación

Los polígonos se clasifican de la siguiente manera:

Según su número de lados

Triángulo: polígono con tres lados Cuadrilátero: polígono con cuatro lados Pentágono: polígono con cinco lados Hexágono: polígono con seis lados Heptágono: polígono con siete lados Octógono: polígono con ocho lados Eneágono: polígono con nueve lados Decágono: polígono con diez lados Undecágono: polígono con once lados Dodecágono: polígono con doce lados Y así sucesivamente…

Según su regularidad

Equilátero: si tienen todos sus lados iguales

2018

Equiángulo: si tiene todos sus ángulos iguales Polígono regular: si todos los lados son iguales y es equiángulo (todos los ángulos iguales) Polígono irregular: tiene tanto sus lados como sus ángulos desiguales.

Según sus ángulos

Convexo: Todos sus ángulos interiores tienen menos de 180º. Cóncavo: algún ángulo interior tiene más de 180º.

Según su complejidad

Simple: ningún lado del polígono intersecta con otro Complejo: al menos un par de lados se corta

b) Polígonos regulares

2018

El polígono regular consta de tres elementos básicos:

Centro “C”: Punto interior que equidista de cada vértice. Radio “r”: Es el segmento que va del centro a cada vértice. Apotema “a”: Distancia del centro al punto medio de un lado. Ángulo central “α”. Tiene el vértice en el centro del polígono y los lados pasan por

dos vértices consecutivos. En un polígono regular de “N” lados su valor es:

α=360 °N

Donde “N” es el número de lados que tiene el polígono.

i. Numeró de diagonales

Las diagonales de un polígono son segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

La cantidad de diagonales de un polígono se determina por el número de lados que tiene el polígono y su fórmula es:

D= N (N−3 )2

Para obtener la cantidad de diagonales de un vértice se utiliza la siguiente formula:

D=N−3

ii. Medida del Angulo interior

Los ángulos interiores de un polígono son los ángulos que forman dos lados contiguos y que quedan dentro del polígono.Para calcular el ángulo interior de un polígono regular de "N" lados se utiliza la fórmula:

angulo interior=180 ° (N−2)N

2018

Por ejemplo el ángulo interior de un hexágono (6 lados) es:

angulo interior=180 °(6−2)6

→angulo interior=7206

angulo interior=120°

iii. Suma de ángulos interioresLa suma de los ángulos interiores de un polígono regular depende del número de lados (N) que tiene éste y la fórmula que determina dicha suma (en grados sexagesimales) es:

sumade ángulosinteriores=180 ° (N−2)

Por ejemplo la suma de los ángulos interiores de un octágono (8 lados) es:sumade angúlosinteriores=180 ° (8−2)

sumade ángulosinteriores=1080 °

Deduciendo la fórmula:

Cualquiera que sea la forma de un triángulo, la suma de sus ángulos interiores vale 180°. Si tenemos un polígono regular y trazamos las diagonales de un vértice, observamos que el número de triángulos obtenidos en cada polígono es igual al número de lados menos 2; como los grados de un triángulo valen 180, basta con multiplicar este valor por el de lados menos 2.

Ejemplo:

Dado un hexágono regular Numero de lados N=6

DIAGONALES = N (N−3)

2=

6(6−3)2

=6

2018

El cuadrado tiene 4 ángulos interiores que miden 90°, al sumarlos nos resulta 360°. Al trazar la diagonal de un vértice se generan N-2 triángulos = 2, al multiplicar por 180°(suma de los ángulos internos del triángulo) nos resulta 360°

ÁNGULO INTERIOR = 180° (N−2)

N=

180 ° (6−2)6

=120 °

CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una línea plana y cerrada en la que todos los puntos están a igual equidistantes de un punto llamado centro O.

La circunferencia cuenta con seis elementos que la caracterizan.

• Centro: es el punto situado en su interior que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia.

• Radio: es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.

• Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia, de los dos arcos que una cuerda determina se le llama arco correspondiente al menor de ellos.

• Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

• Arco: es el segmento de circunferencia comprendido entre dos de sus puntos.

• Semicircunferencia: es el arco que abarca la mitad de la circunferencia.

2018

La longitud o perímetro de una circunferencia se determina de la siguiente formula

L=π ∙d

Donde:

L Es la longitud o perímetro de la circunferencia

D Es el diámetro de la circunferencia

De igual forma se puede determinar por la siguiente formula:

L=2 ∙ π ∙ r

Donde:

r Es el radio de la circunferencia

a) Rectas en la CircunferenciaUna recta que tiene dos puntos comunes con la circunferencia, se dice que es una secante.

Una recta que tiene un solo punto común con la circunferencia se dice que es tangente, al punto se le llama punto de tangencia o punto de contacto

Si la recta no tiene punto en común con la circunferencia, se dice que la recta es exterior.

2018

b) Ángulos en la circunferencia y el cálculo de su medidai. Ángulo central.Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. La medida del arco AB es la del ángulo central AOB.

Arco AB = Angulo AOB

ii. Ángulo inscrito.Tiene su vért ice en la c ircunferencia y sus lados son secantes a el la.Mide la mitad del arco que abarca.

iii. Ángulo interior.Tiene su centro en un punto interior del círculo.La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.

iv. Ángulo exterior.Tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.

2018

c) Corona CircularLa corona circular es la parte del plano comprendida entre dos circunferencias que tienen el mismo centro:

La zona coloreada del plano es la corona circular.Para saber su superficie necesitas conocer las medidas del radio mayor y la del radio menor.

Primero se calcula el área de un círculo con el radio mayor, seguidamente el área del círculo con el radio menor y se hallará su diferencia. Esta diferencia representa la corona circular:

Áreade la corona circular=π R2−π r2

Si extraemos el factor común que es π, la formula será:

Áreade la corona circular=π (R¿¿2−r 2)¿

Para calcular el perímetro se emplea la siguiente expresión:

Perímetrode la corona circular=2π (R+r)

Ejemplo:

En un parque de forma circular de 70m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular de 5m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

Área=π (R¿¿2−r 2)=π (702−52)=15331.8m¿

BIBLIOGRAFIA

2018

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/poligono/https://www.vitutor.com/geo/eso/s_3.htmlhttp://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/angulos-interiores-poligono/#ejemploshttp://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/poligonos-regulares.htmlhttp://calculo.cc/temas/temas_geometria/rectas_angulos/problemas/prob_ang_circun.htmlhttp://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/circunf/anguloscircun.htmhttps://www.vitutor.com/geo/eso/ac_4.html

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): CUERPOS GEOMÉTRICOS: PERÍMETROS, ÁREAS COMBINADAS Y VOLUMENSubtemas:

CÁLCULO DE PERIMETROS Y ÁREASCÁLCULO DE SOLIDOS

Numero de Sesión

18

Teoría

Fecha de revisión: Nov. 2017 Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

CUERPOS GEOMETRICOS: PERIMETRO, AREAS COMBINADAS Y VOLUMEN

¿Qué es el perímetro?

2018

CUERPOS GEOMETRICOS

- Triángulos- Cuadriláteros- Polígonos- Circulo

- Cubo- Prismas- Pirámides

- Cilindro- Cono- Esfera

FIGURAS PLANAS SOLIDOS

SOLIDOS DE REVOLUCIÓN

POLIEDROS

PERIMETRO Y AREA

VOLÚMEN

El perímetro es la suma de las medidas de los lados de un rectángulo. Esto equivale al contorno de la forma a ser calculada. Un ejemplo práctico: si quisiéramos calcular la cantidad de cerca eléctrica necesaria para delimitar un terreno que tiene 6 de largo y 8 de ancho, la expresión matemática para calcular el perímetro será:8 + 8 + 6 + 6.

Calcula el perímetro

Si tenemos una longitud cuyo valor es 10 unidades y un área de 60, ¿cuál es el perímetro del rectángulo?

Perímetro: ___________

¿Qué es el área?

El área puede ser definida como la medida de la superficie, y se descubre partir de multiplicar la base por la altura. Utilizamos esta expresión cuando vamos a calcular la superficie, por ejemplo, de un campo de fútbol u otro deporte. 

2018

Calcula el área

Si tenemos que el perímetro de un rectángulo es 34 y el ancho de uno de los lados es 5, ¿cuál es el área de la figura?

Área: ________

2018

¿Qué es el volumen?

El volumen corresponde al espacio que la forma ocupa, por lo tanto, es la multiplicación de la altura por el ancho y por el largo. El volumen sirve, por ejemplo, cuando queremos calcular la cantidad de agua en una piscina. 

Calcula el volumen

SI tenemos una caja cuya altura es 7m, su longitud es de 8m, y el ancho de 6m, ¿cuál es el volumen?

Volumen: __________

2018

COMO CALCULAR EL VOLUMEN

BIBLIOGRAFIA

Para mayor información puedes consultar las siguientes páginas:

2018

http://noticias.universia.com.ar/vida-universitaria/noticia/2014/08/20/1110073/ aprende-diferencia-perimetro-area-volumen-como-calcular-cada.html

https://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1- 8_RESOURCE/U07_L2_T2_text_final_es.html

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/ perimeter-area-volume

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): TEOREMA DE PITÁGORASSubtemas:

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Numero de Sesión

19

Teoría

Fecha de revisión:

Nov. 2017

Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

TEOREMA DE PITÁGORAS

DEMOSTRACIÓN GEOMETRICA

(Hipotenusa)2=(cateto)2+(cateto)2

c2=a2+b2

Características:

Los triángulos rectángulos son aquellos que tiene un ángulo recto (90°). “ c ” El lado mayor recibe el nombre de Hipotenusa. “ a ” Los Catetos son los ángulos que forman el lado recto. “ b ”

2018

Definición:

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.

EJEMPLOS:

Determina la hipotenusa.

a2 + b2 = c2

52 + 122 = c2

25 + 144 = 169

c2 = 169

c =√169 c = 13

2018

BIBLIOGRAFÍA

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

https://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/teorema.htm

https://www.youtube.com/watch?v=ifiHSM6QhYM

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): TRIGONOMETRÍASubtemas:

DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Numero de Sesión

20 Teoría

Fecha de revisión:

Nov. 2017

Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo. En este rubro estudiaremos al triángulo rectángulo, este triángulo tiene la característica de tener un ángulo recto (90°); (en el dibujo de este se acostumbra poner un pequeño rectángulo donde está el ángulo recto) y pueden ser isósceles o escalenos.

Pitágoras (570 a.c.) en su amor a la geometría determinó los nombres para cada uno de los lados de un triángulo rectángulo:

Cuando en un problema se da como dato un ángulo y un lado, por medio de razones trigonométrica podemos calcular la medida del otro lado faltante, para ello consideremos los siguientes conceptos:

Razón: la razón de un número a con otro número b (este distinto de cero), es el cociente que

resulta de dividir ab

; o sea, razón es el número que resulta de comparar por cociente dos

magnitudes.

2018

cateo

cateo

hipotenusa

Las razones que existen entre los lados de un triángulo rectángulo varían al variar el ángulo de que se trate (Fig. 1); es decir, que las razones son funciones del ángulo. A estas razones se les llama Razones Trigonométricas.

Las razones que resultan de comparar los lados del triángulo reciben los nombre de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante; que se expresan en forma abreviada como sen, cos, tan, cot, sec, y csc, respectivamente.

Si nos referimos a la fig. 1, para el ángulo agudo θ, estas funciones se definen como sigue:

senθ=catetoopuesto

hipotenusa

cosθ=catetoadyacente

hipotenusa

tanθ=catetoopuesto

catetoadyacente

cscθ=hipotenusacatetoopuesto

secθ=hipotenusacatetoadyacente

cot θ=catetoadyacente

catetoopuesto

Ej. 1 Expresa las 6 funciones trigonométricas correspondientes al ángulo que se indica:

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Cateto Opuesto

Cateto adyacente

hipotenusaCateto Opuesto

Cateto adyacente

hipotenusa

Fig. 1

42°

sen β=

cos β=

tan β=

csc β=

sec β=

cot β=Las razones trigonométricas son muy útiles cuando se necesita calcular alguno de los lados de un triángulo rectángulo, por ejemplo:

Ej. 2. El piloto de un avión voló 6 km hacia el oeste de A hasta C, desde C fue hacia el sur 8 km hasta B. Calcula el ángulo de vuelo y la distancia de B a A.

Ej. 3. Si el ángulo de elevación del Sol, en un determinado momento, es de 40° y un poste proyecta una sombre de 12m de longitud, calcula la altura del poste.

Altura poste

tan 42°= catetoopuestocatetoadyacente

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8 km

6 kmC A

B

Por Teorema de Pitágoras:

AB=√ (62+82)=√36+64=√100=10

Por la razón trigonométrica

tanθ= catetoopuestocatetoadyacente

=68

θ=tan−1 68=38.86 °

Aquí explicar que el ángulo se puede obtener con la inversa de las razones trigonométricas y hacer hincapié en el planteamiento de la razón.

tan 42°= x12

Despejando x:

12∗tang 42 °=x

12 (0.9004 )=x

x=10.80m

BILIOGRAFIA

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.htmlhttp://www.ematematicas.net/trigonometria.php

Asignatura: Matemáticas Nombre del docente:

Tema (s): PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICASubtemas:

INTERPRETACIÓN DE TABLAS DE FRECUENCIA RELATIVA Y ABSOLUTAINTERPRETACIÓN DE GRAFICAS Y POLIGONOS DE FRECUENCIASCALCULO DE PROBABILIDADES

Numero de Sesión 21

Fecha de revisión: Nov. 2017 Fecha de Aplicación: Enero-Junio 2018

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Estadística:

A) Interpretación de tablas de frecuencia relativa y absoluta.

Las tablas de frecuencia resumen información acerca del número de veces que se presenta un valor determinado. Esto, nos permite manipular la información de manera rápida y sencilla.

Frecuencia absoluta: Se define como la cantidad de veces que se presenta un dato. Se denota como fi. La suma de estas frecuencias absolutas es equivalente al valor total de datos en la tabla y se representa con la letra N.

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Por ejemplo: Se realizó una encuesta a los alumnos del curso COMIPEMS 2017 para determinar cúal era su primera opción de ingreso al nivel medio superior. Los resultados fueron los siguientes:

Escuela Frecuencia absolutaCECyT 1 5CECyT 2 3CECyT 3 10CECyT 4 8CECyT 5 6CECyT 6 9

Total 41La frecuencia absoluta en el CECyT 3 es de 10 estudiantes.

Frecuencia absoluta acumulada: Es la suma sucesiva de frecuencias absolutas. Este valor se conoce como Fi.

Escuela Frecuencia absoluta Frec. absoluta acumulada

CECyT 1 5 5CECyT 2 3 5+3=8CECyT 3 10 8+10=18CECyT 4 8 18+8=26CECyT 5 6 26+6=32CECyT 6 9 32+9=41

Total 41 41

Por ejemplo: en el CECyT 3 la frecuencia acumulada es de 18 alumnos (8 de la suma de CECyT 1 y 2 más los 10 estudiantes del CECyT 3).

Frecuencia relativa: Se define como la probabilidad de obtener cierto dato sobre el total. Se obtiene calculando la razón entre la frecuencia absoluta de un dato con el total. Este valor se conoce como hi. También, se puede expresar como fracción, decimal y porcentaje.

Para obtenerlo en decimal, se divide la frecuencia absoluta entre el total. Para obtenerlo en porcentaje, se multiplica el valor decimal por 100.

Escuela Frecuencia absoluta Frec. abs. acumulada

Frecuencia relativa (en fracción)

CECyT 1 5 5 5/41CECyT 2 3 8 3/41CECyT 3 10 18 10/41CECyT 4 8 26 8/41CECyT 5 6 32 6/41CECyT 6 9 41 9/41

Total 41 41 41Por ejemplo: en el CECyT 3 la frecuencia relativa es de 10/41 (fracción) o 0.24 (decimal) o 24% (porcentaje).

Frecuencia relativa acumulada: Es la suma sucesiva de frecuencias relativas. Este valor se conoce como Hi. Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta acumulada entre el total. De la misma manera que la frecuencia relativa, se puede expresar en fracción, decimal y procentaje.

Escuela Frecuencia absoluta Frec. abs. acumulada

Frecuencia relativa (en

fracción)

Frecuencia relativa

acumulada

2018

CECyT 1 5 5 5/41 5/41CECyT 2 3 8 3/41 8/41CECyT 3 10 18 10/41 18/41CECyT 4 8 26 8/41 26/41CECyT 5 6 32 6/41 32/41CECyT 6 9 41 9/41 41/41

Total 41 41 41 41Por ejemplo: la frecuencia relativa acumulada en el CECyT 3 es de 18/41 (fracción), 0.44 (decimal) o 44 % (porcentaje).

b) Interpretación de polígono de frecuencia, gráfica de barras y gráfica circular.

Polígono de frecuencias: Representa variables de una tabla de forma esquemática, lo que permite observar de manera más sencilla los cambios. Se forma interpolando los datos variables de x con y y uniendo estos puntos.

Tomando el ejemplo del punto anterior.

Gráfica de barras:Se forma de la misma manera que la anterior pero añadiendo rectángulos que representan cada uno de los datos. La altura de la barra indica la frecuencia.

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CECyT 1

CECyT 2

CECyT 3

CECyT 4

CECyT 5

CECyT 6

02468

1012

Polígono de frecuencia

EscuelaNúm

ero

de e

stud

iant

es (f

rec.

abs.)

CECyT 1 CECyT 2 CECyT 3 CECyT 4 CECyT 5 CECyT 60

2

4

6

8

10

12

Gráfica de barras

Escuela

Núm

ero

de e

stud

iant

es (F

rec.

abs.)

Escuela Frecuencia absoluta

CECyT 1 5CECyT 2 3CECyT 3 10CECyT 4 8CECyT 5 6CECyT 6 9

Total 41

Escuela Frecuencia absoluta

CECyT 1 5CECyT 2 3CECyT 3 10CECyT 4 8CECyT 5 6CECyT 6 9

Total 41

Gráfica circular: Se construye tomando el 100% como el total del circulo (360º) y determinado con base en la frecuencia el porcentaje correspondiente a cada variable.

CECyT 112%

CECyT 27%

CECyT 324%

CECyT 420%

CECyT 515%

CECyT 622%

Gráfica circular

CECyT 1 CECyT 2 CECyT 3 CECyT 4 CECyT 5 CECyT 6

Todos estos gráficos pueden calcularse con la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa.

c) Cálculo de medidas de tendencia central.

Las medidas de tendencia central sirven para evaluar una serie de variables. Estas son la media aritmética o promedio que se obtiene mediante la suma de todos los valores numéricos entre el total de estos y se expresa con el siguiente símbolo x . La mediana es un valor que esta en el centro de la distribución y se representa con las letras Md. La moda es el valor más común entre las variables y se representa con las letras Mo.

Por ejemplo: Se analizaron los promedios de 10 estudiantes de nuevo ingreso del CECyT 3 y se obtuvieron los siguientes resultados:

Estudiante Promedio de cada estudiante

1 9.12 8.63 8.84 9.45 9.96 107 108 8.39 8.610 9.7

Determine el valor de la media, la mediana y la moda.

1. Media: Se realiza una suma de todos los valores 9.1+8.6+8.8+9.4+9.9+10+10+8.3+8.6.9.7 = 92.4 y se divide entre la frecuencia total (6 grupos de calificaciones) 92.4/10= 9.24.

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2. Mediana: Para obtener este valor, se ordenan las variables de menor a mayor o viceversa y se toma el valor central. 8.3, 8.6, 8.6, 8.8, 9.1, 9.4, 9.7, 9.9, 10 y 10. En este caso hay dos valores distintos por lo que se toman ambos y se obtiene el promedio 9.25 = Md.

3. Moda: Ya que se tienen los valores ordenados, se observa que valor es el que se repite más veces. En este caso Mo = 8.6 y 10.

Probabilidad:

a) Concepto de probabilidad clásica.

La probabilidad se define como la posibilidad de que suceda un evento de manera aleatoria. Asumimos que todos los resultados posibles se conocen antes de realizar el experimento pero no se conoce el resultado. Esto se obtiene mediante la fórmula:

P(E) = n(E) / n(S)

Donde P(E) es la probabilidad de un evento, n(E) es un evento y n(S) es el total de eventos.

Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que salga un frijol de una bolsa que contiene 5 chícharos y 4 frijoles?

P (frijol) = 4 (frijoles) / 9 (total)

P = 4/9 = 0.44

Nota: Las probabilidades también se pueden expresar en fracción, decimal y porcentaje.

A continuación se mencionan algunos hechos en probabilidad.

Hecho 1: Si es seguro que un evento E ocurra entonces P(E) = 1.

Hecho 2: Si es seguro que un evento E no ocurra entonces P(E) = 0.

Hecho 3: Si es posible pero no seguro que un evento E ocurra entonces 0<P(E)<1.

Hecho 4: La probabilidad de que un evento E no ocurra es igual a 1 - P(E).

Hecho 5: La suma de las probabilidades de todos los posibles resultados del evento E es igual a 1.

Ejemplos:

En una baraja de 52 naipes, hay 13 naipes de cada grupo:

13 treboles, 13 corazones, 13 diamantes, 13 corazones.

Espaciomuestral: S = Una baraja con 52 naipes

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una carta al azar?

Evento A :

La carta es de diamantes … n ( A )=¿ 13

Probabilidad (A)

P (A )= n(A)N (S)

=1352

=14=0.25o25 %

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Evento B :

La carta es un As … n (B )=¿ 4

Probabilidad (B)

P (B )= n(B)N (S )

= 452

= 113

=0.076o7.6 %

Evento C :

La carta es de color rojo … n (C )=¿ 26

Probabilidad (C)

P (C )= n(C)N (S)

=2652

=12=0.5o50 %

Evento D:

La carta es menor que 5 y de color negra… n (D )=¿ 8

Probabilidad (D)

P (D )=n (D)N (S)

= 852

= 213

=0.153o15.3 %

¿Qué evento es más Probable de suceder? L a carta es un As

Existen eventos que son resultados de un evento y que son los únicos resultados posibles se les conoce como eventos complementarios.Por ejemplo: Lanzar un dado 1 vez y obtener un número par o un número impar.

Existen eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo y se les llama eventos mutuamente excluyentes. Todos los eventos complementarios son mutuamente excluyentes.

Por ejemplo: Si un dado de 6 lados es girado una vez, el evento de obtener un número par y un número impar es complementario y mutuamente excluyente ya que sólo puedes obtener un resultado u otro.

También, se pueden presentar eventos no mutuamente excluyentes, se le conoce como la regla de suma. Si dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes, es decir que pueda ocurrir A y B a la vez o un o u otro, se aplica la siguiente regla:

P (AUB) = (P (A) + P (B) ) - P(AB)

Por ejemplo: en una caja donde se encuentran todas la piezas de un ajedrez (32).

Dado que el evento A es tomar un alfil y el evento B tomar una pieza negra. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un peón negro en la primera pieza tomada?

P(A) = 4/32

P(B) = 16/32

P(AB) = (4/32)(16/32) = 2/32

¿Cuál es la probabilidad de tomar un alfil o una pieza negra?

P (AUB) = (P (A) + P (B) ) - P(AB)

P (AUB) = 4/32 + 16/32 - 2/32 = 18/32 = 9/16

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Bibliografía:

-https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/786/Interpretacion-de-tablas-de-frecuencias (Se consultó el 05/11/2017).

-http://calculo.cc/temas/temas_e.s.o/estadistica/teoria/poligono-frec.html(Se consultó el 05/11/2017).

-http://libros.conaliteg.gob.mx/content/restricted/libros(Se consultó el 06/11/2017).

-https://es.slideshare.net/liliawhite37/interpretacin-de-la-informacin-en-grafica-de-barras-y-circular(Se consultó el 05/11/2017).

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