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REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE Repartir proporcionalmente significa dividir en partes un conjunto (manzanas, euros, agua, DVDs., etc.) de un modo en que se cumplan unas determinadas condiciones. Ejemplos: Repartir el agua de un pantano entre tres pueblos con la condición de que el pueblo que más habitantes tiene le corresponda más agua. En proporción al número de habitantes. Repartir 300 euros entre tres hermanos de 14, 10 y 7 años con la condición de que el que más años tiene reciba más dinero. En proporción al número de años de cada uno. Repartir el número de horas de riego de 3 campos de patatas con relación al número de metros cuadrados de cada parcela. El agua que se reciba estará en proporción a la superficie de cada terreno. Repartir un tonel de gasolina entre cuatro coches con la condición de que el coche que más cilindrada tiene reciba más litros de combustible. En proporción a la cilindrada de cada vehículo. Repartir 100000 €, procedentes de una herencia, entre dos hermanos de 69 y 48 años de modo que el hermano más joven reciba más dinero. En proporción a los posibles años que le quedan por vivir. Se trata siempre de hacer un reparto, una división de un modo razonable y justo.
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REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE
Repartir proporcionalmente significa dividir en partes un conjunto (manzanas, euros, agua, DVDs., etc.) de un modo en que se cumplan unas determinadas condiciones.
Ejemplos:
Repartir el agua de un pantano entre tres pueblos con la condición de que el pueblo que más habitantes tiene le corresponda más agua. En proporción al número de habitantes.
Repartir 300 euros entre tres hermanos de 14, 10 y 7 años con la condición de que el que más años tiene reciba más dinero. En proporción al número de años de cada uno.
Repartir el número de horas de riego de 3 campos de patatas con relación al número de metros cuadrados de cada parcela. El agua que se reciba estará en proporción a la superficie de cada terreno.
Repartir un tonel de gasolina entre cuatro coches con la condición de que el coche que más cilindrada tiene reciba más litros de combustible. En proporción a la cilindrada de cada vehículo.
Repartir 100000 €, procedentes de una herencia, entre dos hermanos de 69 y 48 años de modo que el hermano más joven reciba más dinero. En proporción a los posibles años que le quedan por vivir.
Se trata siempre de hacer un reparto, una división de un modo razonable y justo.
El cálculo de los repartos proporcionales es muy sencillo.Basta que tengas en cuenta dos cosas:
Cantidad a repartir y número de partes.
Después haces uso de la regla de tres o de las proporciones.
Pasemos a la práctica:
6.45 Repartir 1800 € entre tres hermanos que tienen Andrés de 14 años, Elena de 12 y Pedro de 9 años. Hay que repartir de modo que el más años tiene recibirá más dinero. ¿Cuánto recibirá cada uno?
Respuesta: Andrés 720 €, Elena 617,14 € y Pedro 462,86 €
Solución:
Cantidad a repartir: 1800 €Número de partes es el del total de los años: 14 + 12 + 9 = 35 años.
Ahora aplico la regla de tres por lo que se refiere a Andrés:
A menos años corresponderán menos euros: Directa
Elena debe recibir:
A menos años corresponderán menos euros: Directa
A Pedro hay que darle:
A menos años corresponderán menos euros: Directa
La suma de lo recibido por los 3 debe ser igual a 1800:
Podemos resolverlo por medio de las proporciones:En el caso de Andrés:
Para Elena y Pedro hacemos por el mismo procedimiento.
Otra forma de resolver este problema es usando la constante de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad se calcula dividiendo la cantidad a repartir (1800 €)entre el total de partes (en el problema actual el total de años).
Una vez calculada la constante de proporcionalidad la multiplicamos por cada cantidad (en este caso, por los años de cada hermano):
Es un modo muy sencillo de resolverlo.
¿Qué método debes utilizar? El que te resulte más cómodo, más sencillo.
REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE (CONTINUACION)
6.46 El agua de un pantano se estima en 1000000 m3(1 m3 = 1000 litros) . Hay que repartir entre los habitantes de dos pueblos que tienen 2500 y 4000 habitantes. ¿Cuántos m3corresponde a cada pueblo?
Respuesta: 384615,38 m3 y 615384,62 m3
Solución:
Total de habitantes para habitantes.
Al primer pueblo le corresponderán:
Por regla de tres:
A menos habitantes se necesitarán menos litros de agua. Directa
Al segundo pueblo le corresponderán:
Por regla de tres:
A menos habitantes se necesitarán menos litros de agua. Directa
Para comprobar si está bien resuelto, sumamos las dos cantidades obtenidas nos deben dar 1000000 m3
Resolver este problema por medio de las proporciones verás que no ofrece dificultad alguna.
Lo calculamos utilizando la constante de proporcionalidad:
La constante de proporcionalidad será:
Al primer pueblo le corresponderán:
Al segundo pueblo le corresponderán:
6.47 Dividir al número 900 en partes directamente proporcionales a
Respuesta: 234,78 €, 313,04 €, 352,18 €
Solución:
Hallamos la suma de las partes:
La regla de tres para la primera parte:
Como se trata de una regla de tres directa:
La regla de tres para la segunda parte:
La regla de tres para la tercera parte:
Lo resolvemos por proporciones:
1ª
El mismo procedimiento utilizamos para las otras dos partes.
Calculamos utilizando la constante de proporcionalidad:
Cantidad a repartir: 900
Total de partes:
Constante de proporcionalidad:
Al primero le corresponderán 469,5652174
Al segundo le corresponderán 469,5652174
Al tercero le corresponderán 469,5652174
6.48 Divide el número 2000 en partes directamente proporcionales a:
por el método que prefieras.
Respuestas: 722,8916 € --- 674,698 € --- 602,4096 €
REPARTO PROPORCIONAL INVERSO
Hasta ahora hemos tratado únicamente lo que se refiere al reparto proporcional directo. Los ejercicios que hemos hecho se refieren a repartos que cumplen las condiciones:
En la práctica surgen casos que cumplen las condiciones:
En estos dos últimos casos estamos refiriéndonos al reparto proporcional inverso.
Recuerda que el inverso de un número es igual a la unidad dividida por dicho
número: el inverso de 5 es .
Si nos dicen que tenemos que repartir 300 € inversamente proporcionales a los números 2 y 3 significa que hemos de repartir entre:
Para ello sumo estas cantidades
Ahora no tengo más que dividir 300 en partes proporcionales a:
1º 2º
1º 2º
Un modo de resolver sería haciendo lo que hemos hecho hasta ahora (simplifico algunas cantidades):
1º
2º
Otra forma de resolver sería haciendo aplicación de la constante de proporcionalidad.
La constante de proporcionalidad es: Ahora se multiplica cada parte por la constante de proporcionalidad:
La primera parte que es multiplico por 360 = 180
La segunda parte que es multiplico por 360 = 120
6.49 Hay que repartir un premio de 3600 € entre dos personas cuyos sueldos mensuales son 1200 y 1600 €, de modo que quien menos gane reciba mayor gratificación (repartir 3600 € inversamente proporcional a los sueldos).
Resuélvelo haciendo uso de la constante de proporcionalidad.
Respuesta: 2057,14 y 1542,86 €
Solución:
Tengo que repartir los 3600 € inversamente a 1200 y 1600 € . Sus inversos son:
Hallamos constante de proporcionalidad =
El m.c.m. (1200 y 1600) = 4800
Calculada la constante de proporcionalidad no tengo más que multiplicarla por cada una de las partes:
6.50 Divide 3000 inversamente proporcional a 2, 3 y 5 primero, sin aplicar laconstante de proporcionalidad y segundo, aplicándola.
Respuesta: La constante de proporcionalidad = 2903,23; 1ª parte: 1451,62 €, 2ª parte: 967,74 € y tercera parte: 580,64 €
REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO (DIRECTO):
Hasta ahora hemos hecho problemas que tenían que ver un solo tipo de datos.
Por ejemplo: Repartir 100 € entre dos hermanos, Juan de 15 anos y María de 16 años, de modo que quien más edad tiene reciba más dinero. El tipo de datos en este caso son las edades. La cantidad a repartir son los 100 €.
Pero puede suceder que tengamos más tipos de datos a la hora de hacer uso de los repartos o divisiones de modo proporcional.
Por ejemplo:
6.51 Repartir 100 € entre dos hermanos, Juan de 15 años y María de 16 años que al final de curso han obtenido unas notas cuyas medias han sido de 8 y 9, de modo que quien más edad y mejores notas ha sacado debe recibir más dinero.
Como ves, se trata de un reparto proporcional compuesto directo.
Respuesta: 45,45 € y 54,55 €
Solución:
Es sumamente sencillo el modo de resolver.1) Los tipos de datos los colocamos debidamente ordenados:
2) Los dos tipos de datos los multiplicamos cada dato de una serie o tipo por su correspondiente en la otra ( u otras) serie o tipo y luego sumamos:
Calculamos la constante de proporcionalidad:
Ahora multiplicamos cada dato compuesto por la constante de proporcionalidad y obtenemos las respuestas:
Puedes simplificar cuando las cantidades te lo permiten. Podemos simplificar por 24 la última columna de:
Calculamos la constante de proporcionalidad:
Ahora multiplicamos cada dato compuesto simplificado por la constante de proporcionalidad y obtenemos las respuestas:
Los resultados no varían.
REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO (INVERSO)
El reparto proporcional compuesto es inverso cuando las cantidades a repartirse son inversamente proporcionales a los tipos de datos.
6.52 Una cantidad de 5000 € han de repartirse entre tres empleados cuyas edades son 25, 45 y 55 años y sus sueldos mensuales son 1000, 1200 y 1400 € respectivamente. El reparto ha de ser proporcional a la edad y al sueldo: quien menos años tiene recibirámás dinero y quien menos gana ha de recibir más euros de gratificación.
Como ves, se trata de un reparto proporcional compuesto inverso.
Respuesta: 2796,98, 1294,90 y 908,12 €
Solución:
1)Los tipos de datos los colocamos debidamente ordenados:
Simplificamos los datos(1ª columna por 5, y la 2ª por 200):
2) Los dos tipos de datos los multiplicamos cada dato de una serie o tipo por su correspondiente en la otra ( u otras) serie o series, tipo o tipos:
Sus inversos son:
Calculamos la suma de las partes:
Hallamos la constante de proporcionalidad:
Multiplicamos esta cantidad por cada una de las partes y de este modo calculamos la parte que ha de percibir cada operario:
REPARTO PROPORCIONAL MIXTO
El reparto proporcional mixto se refiere a que la cantidad a dividir o repartir se hace de forma directa respecto a uno o varios tipos de datos o series de datos e inversa respecto a otros.
El modo de resolver es muy simple, basta multiplicar uno de los tipos o series de datos por los inversosde sus correspondientes en la otra u otras.
6.53 Una cantidad de 5000 € han de repartirse entre tres empleados cuyas edades son 30, 40 y 50 años y sus sueldos mensuales son 1200, 1400 y 1600 € respectivamente. El reparto ha de ser directamente proporcional a la edad e inversamente proporcional al sueldo: quien menos años tiene recibirá menos dinero y quien menos gana recibirá máseuros de gratificación.
Como ves, se trata de un reparto proporcional mixto.
Respuesta: 1473,68424, 1684,21056 y 1842,1053 €
Solución:
1) Los tipos de datos los colocamos debidamente ordenados:
Simplificamos los datos:
2) Los dos tipos de datos los multiplicamos cada dato de una serie o tipo por su correspondiente en la otra teniendo en cuenta que en este segundo tipo los datos son inversamente proporcionales:
Calculamos el m.c.m.de los denominadores de = 56
Las fracciones entre paréntesis podemos escribirlas:
=
Cuando todos los denominadores de cada parte son iguales PODEMOS PRESCINDIRLOS y nos quedan los numeradores. El problema se reduce ahora a repartir en partes proporcionales a 28, 32 y 36.
Hallamos la constante de proporcionalidad:
6.54 Descomponer el número 1587 en tres partes que sean directamente proporcionales a 1, 2 y 3 e inversamente proporcionales a 4, 5 y 6.
Respuestas:
