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Departamento de matemáticaLiceo técnico bicentenarioJuanita Fernández Solar

5° Etapa, Guía de trabajo “Función exponencial” Nombre: ______________________________ Curso: 3° ___

Objetivo: Aplicar modelos matemáticos que describen fenómenos o situaciones de crecimiento y decrecimiento, que involucran las funciones exponenciales.

Indicaciones: A continuación, se presentará una serie de conceptos ya visto en años anteriores, y otros nuevos acompañados de ejercicios y resolución de problemas, los cuales se emplean como modelo para el posterior desarrollo de ejercicios propuestos, tanto en las guías bicentenario como en los de su texto de estudio.

A. Ecuación exponencial

Una ecuación exponencial corresponde a una igualdad de expresiones algebraicas que tiene la incógnita en el exponente.

¿Cómo resolver una ecuación exponencial?

I. Si ambos lados de la igualdad tienen igual base, entonces se igualan exponentes y se despeja.

1

Recordemos que ….Recordemos

Expresión algebraica esta compuesta por:

Actividad propuesta 1: Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales en tu cuaderno


II. Si ambos lados de la igualdad no tienen igual base, pero son potencias del mismo número, se aplican las propiedades de potencia hasta dejarlas de igual base, entonces se igualan exponentes y se despeja. Por ejemplo:

III. Si ambos lados de la igualdad no tienen igual base y no son potencias del mismo número, se puede aplicar el concepto de logaritmo para reinterpretar la ecuación. Por ejemplo:

2

Propiedades de logaritmo

Actividad propuesta 2: Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales

Recordemos las propiedades de

potencias


Lee la siguiente situación y analiza:

Valentina estudia el comportamiento de dos cultivos de bacterias, 1 y 2. Ambos comenzaron inicialmente con una cantidad de 1.000 bacterias

- El cultivo 1 se encuentra en condiciones muy favorables y se triplica cada hora

- Mientras tanto, en el cultivo 2 se está probando un antibiótico y, a cada hora, la población disminuye a su tercera parte

Para hacer el estudio, Valentina construye una tabla de valores y escribe lo que se muestra a continuación:

Tiempo (horas) Cantidad de bacterias

0 1.000

1 3.000

2 9.000

3 27.000

4 81.000

3

Valentina se cuenta de lo siguiente con respecto al primer cultivo

Actividad propuesta 3: Resolver los siguientes ejercicios


Francisca, la compañera de laboratorio de Valentina, le pregunta si puede saber ¿cuántas bacterias habrá al transcurrir 10 horas? Ya que ella lo intentó, pero al realizar los cálculos se equivocaba al multiplicar tantas veces, a lo que Valentina le explica lo siguiente:

Tiempo en horas Cantidad de bacteria producto Potencia

0 1.000 1.000 1.000 ∙30

1 3.000 1.000 ∙3 1.000 ∙31

2 9.000 1.000 ∙3 ∙3 1.000 ∙32

3 27.000 1.000 ∙3 ∙3 ∙3 1.000 ∙33

4 81.000 1.000 ∙3 ∙3 ∙3 ∙3 1.000 ∙34

5 243.000 1.000 ∙3 ∙3 ∙3 ∙3∙3 1.000 ∙35

⁞ ⁞ ⁞ ⁞

10 1.000 ∙3 ∙3 ∙3 ∙3∙3 ∙3 ∙3 ∙3 ∙3 ∙3 1.000 ∙310

x 1.000 ∙3 ∙3 ∙3 ∙…∙3 1.000 ∙3x

Así Valentina le explica a Francisca que el aumento de bacterias esta dado por 1.000 ∙3x donde x es la cantidad de

horas(tiempo) que transcurre, Planteando la siguiente función que le permitiría calcular el número de bacterias en cualquier hora:

f ( x )=1.000 ∙3x con x variable independiente

o también podría ser expresada f ( t )=1.000 ∙3t con t variable independiente ( t por referencia al tiempo)

Siendo el tipo de función en que la variable independiente (en este caso x o t) se encuentra en un exponente recibe el nombre de función exponencial.

B. Función exponencial

4

Actividad propuesta 4, resuelve en tu cuaderno: Determina la función para el cultivo 2 donde se está probando un antibiótico y, a cada hora, la población disminuye a su tercera parte (ayúdate del ejemplo del cultivo 1)

X veces


Una función exponencial tiene la forma y=f ( x )=b ∙ax, con x en los Reales, a un número Real positivo distinto de 1 y

b un número real distinto de 0.

f ( x )=b ∙ax xϵR,aϵ R+¿, cona≠1 y bϵR conb≠0¿

Algunos ejemplos de función exponencial son:

f ( x )=2x g ( z )=3 ∙52 z

1. Evaluar la función

Para evaluar la función, toma el valor dado de x (variable independiente) y sustituye ese valor por x ( u otra letra según corresponda) en la expresión, como se muestra a continuación:

Sea la función y=f ( x )=2 ∙3x con x nuestra variable independiente evaluaremos la función cuando x =2 y cuando x= -2

x F(x) =y

2 18

-2 29

3

-3

4

-4

y=f (2 )=2 ∙32con xϵR y=f (−2 )=2 ∙3−2 con xϵR

y=f (2 )=2 ∙9 y=f (−2 )=2 ∙(13 )

2

y=f (2 )=18 y=f (−2 )=2 ∙ 19

f (2 )=18 y=f (−2 )=29

5

Tabla de valores 1


y=18 f (−2 )= 29

y=f (−2 )=29

2. Gráfica de la función exponencial

Una función exponencial tiene la forma y=f ( x )=b ∙ax, con x en los reales, a un número real positivo distinto de 1 y b

un número real distinto de 0. Su gráfico corresponde a una línea curva asintótica al eje X, que es creciente o decreciente dependiendo del valor de a. Luego, existen cuatro tipos de gráfico posibles para una función exponencial, con x en los

reales:

Ejemplo: Identifica en las siguientes graficas de las funciones

exponenciales como son los valores de a y b

6Respuesta: La grafica de la función

crece de izquierda a derecha como en el caso 4, entonces el valor de

0 y el valor de

Respuesta: La grafica de la función crece de izquierda a derecha y

sobre el eje X como en el caso 1, entonces el valor de y el valor de

BA Caso 4Caso 3

Caso 2Caso 1

Asíntota: En geometría, línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca progresivamente a una

curva sin llegar nunca a encontrarla.

Actividad propuesta 6: evaluar los siguientes valores 2,-2,3,-3 en la función

Actividad propuesta 5: Completar la tabla de volares 1, evaluando en la función los valores de 3,-3,4,-4.


3. Grafica de la función exponencial con una tabla de valores

Sea la función g ( x )=3 ∙2x, evaluamos en la función algunos

valores en este caso 0,1,-1,2,-2 lo que vemos en la siguiente tabla de valores:

7

Graficamos en el plano cartesiano los

puntos obtenidos de evaluar la

función

Actividad propuesta 8: Bosquejar en tu cuaderno las gráficas de las funciones exponenciales, presentes a continuación tomando como referencia los caso 1,2,3,4.

Respuesta :Respuesta :Respuesta :

321

Actividad propuesta 7: Identifica en las siguientes graficas de las funciones exponenciales como son los valores de y


x y=f ( x )=3 ∙2x (x , y )

0 y=f (0 )=3∙20=3 (0,3) A

1 y=f (1 )=3 ∙21=6 (1,6) B

-1 y=f (−1 )=3 ∙2−1=1.5 (−1,1.5) C

2 y=f (2 )=3 ∙22=12 (2,12) D

-2 y=f (−2 )=3 ∙2−2=0.75 (−2,0.75) E

8

Bosquejamos la curva siguiendo los puntos, considerando de la función.

En este caso


4. Dominio y recorrido de la función exponencial

Una función exponencial tiene la forma y=f ( x )=b ∙ax, con x en los reales, a un número real positivo distinto de 1 y b

un número real distinto de 0. Su dominio es IR y su recorrido es IR+¿¿ si b > 0 o IR−¿¿ si b < 0.

Atreves del análisis de su grafica

Analizando las gráficas de las posibles formas de nuestra función exponencial:

El dominio( Dom¿ de la función exponencial es el conjunto de los números

Reales (IR) Domf : IR.

9

X puede tomar cualquier valor

en los números reales

Recordemos que :

Dominio: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable

independiente (x) o también llamado el conjunto de partida.

Recorrido: Llamado también imagen, codominio o rango es el conjunto de

valores que toma la variable dependiente (y) o también llamado el

conjunto de llegada

X puede tomar cualquier valor en los números reales

X puede tomar cualquier valor

en los números reales

Una función, f, relaciona los elementos de dos conjuntos, A y B.

Normalmente, se escribe f:A→B

Actividad propuesta 9: Graficar la función , utilizando tabla de valores ( 5 valores para x como mínimo, similar al ejemplo ) para obtener los puntos y luego trazar la curva según corresponda .


El Recorrido( Rec ¿ de una función exponencial es IR+ ¿¿ si b > 0 o IR−¿¿ si b < 0.

5. Crecimiento y decrecimiento exponencial

Crecimiento exponencial Decrecimiento exponencial

En casos reales, si a > 1 y b > 0, entonces corresponde a una situación de crecimiento exponencial. Por ejemplo, si una colonia de microorganismos se triplica cada una hora e inicialmente había 100 de ellos, entonces la función P(x) que representa la cantidad de microorganismos que habrá al cabo de x horas es

P ( x )=100 ∙3x representada gráficamente

Por otro lado, si 0 < a < 1 y b > 0, entonces corresponde a una situación de decrecimiento exponencial. Por ejemplo, si un elemento químico pierde la cuarta parte de su masa cada un mes e inicialmente había 800 gramos de él, entonces la función Q(x) que representa la masa, en gramos, del

elemento al cabo de x meses es Q ( x )=800 ∙( 34 )

x

representada gráficamente:

10

y toma solo valores en los números reales positivos

y toma solo valores en los números reales positivos

X puede tomar cualquier valor en los números reales


Ejemplo; Determinar si las siguientes funciones son Crecientes o Decreciente:

h ( x )=200 ∙120x−1 Analizando la función podemos decir que a=120 yb=200 así a>0 yb>0por lo tanto podeos decir

que la función es CRECIENTE.

G ( x )=30 ∙( 34 )

x

Analizando la función podemos decir que a=34=0,75 yb=30 así 0<a<1 yb>0por lo tanto podeos

decir que la función es DECRECIENTE.

6. Función exponencial en distintos contextos

La función exponencial modela muchas situaciones de diversas áreas. Por ejemplo, en ciencias sociales, el crecimiento demográfico; en biología, el crecimiento bacteriano, y en economía, el interés compuesto, entre otras.

Ejemplo: Marcos decide abrir una cuenta de ahorro para financiar en el futuro los estudios de su hijo recién nacido. Por su parte, el banco le ofreció la tasa de interés anual que se muestra en la imagen. El monto que depositó Marcos en la cuenta fue de $1.000.000 . Si no retira el dinero ni los intereses, ¿qué capital tendrá dentro de un año?

c0=capital inicial=1.000 .000 el interes anual

11

Actividad propuesta 10: Determinar en las siguientes funciones si son crecientes o decreciente y justificar su respuesta.

_____________________________ _______________________________

______________________________ _________________________

___________________________ ______________________________


Transformaremos el 4,8% a decimal para poder trabajarlo 4,8100

=0,048

Ahora para obtener el dinero total de la cuenta al transcurso de un año realizaremos el siguiente calculo

c1=1.000 .000+1.000 .000 ∙0,048donde c1=capital alaño1

Factorizando por 1.000.000 tenemos que c1=1.000 .000 ∙ (1+0,048 )

c1=1.000 .000 ∙ (1,048 )

c1=1.048 .000

El Capital que tendrá dentro de un año es $1.048.000

¿qué capital tendrá al año 2,3,4,5 y X?

Año Forma de obtenerlo Potencia capital

0 c0=1.000 .000 c0=1.000 .000 ∙ (1,048 )0 1.000 .000

1 c1=1.000 .000 ∙ (1,048 ) c1=1.000 .000 ∙ (1,048 )1 1.048 .000

2 c2=1.048 .000 ∙ (1,048 ) c2=1.000 .000 ∙ (1,048 )2 1.098 .304

3 c3=1.098 .304 ∙ (1,048 ) c3=1.000 .000 ∙ (1,048 )3 1.151.022,592

4 c4=1.151.022,592 ∙ (1,048 ) c4=1.000 .000∙ (1,048 )4 1.206 .271,676

5 c5=1.206 .271,676 ∙ (1,048 ) c5=1.000 .000 ∙ (1,048 )5 1.264 .172,717

⁞ ⁞ ⁞

x c x=1.000.000 ∙ (1,048 )x

Así con la expresión c x=1.000.000 ∙ (1,048 )x podemos calcular el monto del capital en cualquier año donde x es el n° de

años. Esa expresión es una función exponencial.

12

Actividad propuesta 12: Un bosque tiene 28000 de madera y aumenta 3,5% cada año. Si sigue creciendo en las mismas condiciones. Determinar la función que permite calcular la cantidad de madera () ayúdate siguiendo el modelo del ejemplo.

¿cuánta madera tendrá al cabo de 15 años?

¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la cantidad de madera?

Actividad propuesta 11: ¿Qué capital tendrá cuando su hijo tenga 18 años?


Instrucciones Guía Evaluada “Tercero Medio” 5º ETAPA INSTRUCCIONES GENERALES

Estimada estudiante, en la plataforma de Aula Virtual del establecimiento encontrarás una guía de aprendizaje y guía evaluada, las que debes desarrollar para alcanzar los aprendizajes esperados para esta etapa. Comienza estudiando la guía de aprendizaje, ya que, esta es la base para lograr responder correctamente la guía evaluada.

INSTRUCCIONES PARA EL PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN

En la plataforma de Aula Virtual del establecimiento encontrarás una Guía Evaluada, la que deberás desarrollar para poder demostrar los aprendizajes adquiridos en esta QUINTA ronda de trabajo.

13

Actividad propuesta 13: Se administra 100 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada hora.

- Determinar la función

- ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?


Esta guía evaluada la puedes imprimir, pero si no tienes acceso a impresora la puedes escribir en tu cuaderno de matemática. En ningún caso puedes sobreescribir el documento Word, ya que, no se observa el desarrollo de cada ejercicio que demuestra tu aprendizaje, por ende este no será revisado.

Debes escribir con lápiz pasta azul o negro. Escribe con letra clara y legible el desarrollo y respuesta final para cada ejercicio o problema.

En esta guía evaluada se detallan los puntajes e instrucciones específicas para cada ítem.

CORREOS ELECTRÓNICOS PARA RECEPCIÓN DEL MATERIAL DE ESTUDIO

Nicolás Parra [email protected]

Loreto Hermosilla [email protected]

Patricio Undurraga [email protected]

César Tapia [email protected]

FORMAS DE ENVÍO

Sólo debes sacar fotos con tu celular de la guía evaluada (o escanear el documento), recuerda escribir claro y legible, para que en la foto esté nítida la información, ya que, esto podría afectar la corrección de tu trabajo. Recuerda anotar tu nombre y curso en los espacios correspondientes.

Las fotos capturadas de la guía las debes enviar al correo del profesor de matemática de tu curso. En el asunto debes escribir Evaluación 5 y en la descripción del mensaje debes agregar tu nombre y curso.

FECHA DE ENTREGA

VIDEOS DE APOYO

https://www.facebook.com/groups/592601018323885

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