Volumen 10, Número 1, enero–junio 2020, publicación ...

Estocástica:FINANZAS Y RIESGO

Dependencia en el modelo colectivo de riesgo de una compañía de seguros en México

David Conaly Martínez Vázquez Christian Bucio Pacheco

Héctor Alonso Olivares Aguayo

Teorías de paridad y valuación de dos monedas con descuento de

flujos mediante lógica borrosa

Gastón S. Milanesi Germán Weins

Daniel Pequeño

Volumen 10, Número 1, enero–junio 2020, publicación semestral, ISSN: 2007-5383

VOLUMEN 10, NúMErO 1 ENErO - JUNIO 2020

FIN

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020

Estocástica:

Desempeño de ocho de las criptomonedas de mayor capitalización de mercado

Francisco López-Herrera Luis Guadalupe Macías Trejo

Oscar Valdemar de la Torre Torres

Red neuronal autorregresiva difusa tipo Sugeno con funciones

de membresía triangular y trapezoidal: una aplicación al

pronóstico de índices del mercado bursátil

José Eduardo Medina Reyes Judith Jazmin Castro Pérez

Agustín Ignacio Cabrera Llanos Salvador Cruz Aké

Directorio

Universidad Autónoma MetropolitanaRector General Dr. Eduardo Abel Peñalosa Castro

Unidad AzcapotzalcoRector de la Unidad Dr. Oscar Lozano Carrillo

Director de la División de Ciencias Sociales y Humanidades Lic. Miguel Pérez López

Jefe del Departamento de Administración Dr. Jesús Manuel Ramos García

Coordinador de Difusión y Publicaciones de la División de Ciencias Sociales y Humanidades Dr. Alfredo Garibay Suárez

Comité EditorialPresidenta Dra. María G. Henaine-Abed Departamento de Sistemas, Universidad Autónoma Metropolitana--Azcapotzalco Cd. de México, México

Editora Dra. Marissa R. Martínez-Preece Departamento de Administración, Universidad Autónoma Metropolitana--Azcapotzalco Cd. de México, México

Coeditor Mtro. Carlos Zubieta-Badillo Departamento de Ciencias Básicas, Universidad Autónoma Metropolitana--Azcapotzalco Cd. de México, México

Dirección de este número

Dra. María G. Henaine-AbedDra. Marissa R. Martínez-Preece Mtro. Carlos Zubieta-Badillo

Consejo Editorial

Dr. Diego Agudelo-Rueda Área de Mercados Financieros, Universidad EAFIT Medellín, Colombia

Dr. Marco Avellaneda División de Matemáticas Financieras Instituto Courant Universidad de Nueva York Nueva York, EE. UU.

Dr. Miguel Ángel Gutiérrez-Andrade Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa, Cd. de México, México

Dr. Onésimo Hernández-Lerma Departamento de Matemáticas, CINVESTAV, Instituto Politécnico Nacional. Cd. de México, México

Dr. Francisco López-Herrera Facultad de Contaduría y Administración, Universidad Nacional Autónoma de México, Cd. de México, México

Dr. Edgar Ortiz Facultad de Ciencias Políticas y Sociales, Universidad Nacional Autónoma de México, Cd. de México, México

Dr. Dan Rosen Facultad de Ciencias Aplicadas e Ingeniería Universidad de Toronto, Toronto, Canadá

Dra. Patricia Saavedra-Barrera Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa, Cd. de México, México

Dr. Roberto J. Santillán-Salgado EGADE Business School Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey, Monterrey, Nuevo León, México

Dr. Francisco Venegas-Martínez Escuela Superior de Economía, Instituto Politécnico Nacional, Cd. de México, México

Volumen 10, número 1enero - junio 2020

Estocástica: finanzas y riesgo es una revista académica de acceso abierto, especializada en finanzas, dirigida a investigadores/as y

académicos/as interesados/as en el análisis de los riesgos financieros y temáticas relacionadas con éstos, editada semestralmente por la Universidad Autónoma Metropolitana, en versión impresa y electró-nica. Todos los artículos son sometidos a arbitraje bajo la modalidad doble ciego, los cuales pueden ser publicados en inglés o español. Su objetivo es contribuir al desarrollo del conocimiento de las finanzas, la administración y modelado de riesgos, y la ingeniería financiera, así como promover la comunicación de resultados de investigación original, tanto teórica como empírica, relacionada con el estudio y práctica de estas disciplinas.


2 Volumen 10, número 1, enero - junio, 2020 pp. 9-36


ESTOCÁSTICA: FINANZAS Y RIESGO. Volumen 10, número 1, enero–junio de 2020, es una publi-cación semestral de la Universidad Autónoma Metropolitana, a través de la Unidad Azcapotzalco, Di-visión de Ciencias Sociales y Humanidades, Departamento de Administración. Prolongación Canal de Miramontes 3855, Col. Exhacienda San Juan de Dios, Alcaldía Tlalpan, C.P. 14387, Ciudad de México, México, Av. San Pablo 180, Col. Reynosa Tamaulipas, Alcaldía Azcapotzalco, C.P. 02200. Ciudad de México, México, teléfono 53-18-94-54 extensiones 157 y 154. Página electrónica de la revista: http://estocastica.azc.uam.mx, y dirección electrónica: [email protected]. Editora responsable Dra. Marissa del Rosario Martínez Preece. Certificado de Reserva de Derechos al Uso Exclusivo número 04-2011-102016113300-203, ISSN 2007-5383, ambos otorgados por el Instituto Nacional del Derecho de Autor. Responsable de la última actualización de este número, Dra. María Guadalupe Henaine-Abed, Departamento de Sistemas, División de Ciencias Básicas e Ingeniería, Unidad Azcapotzalco, Av. San Pa-blo 180, Col. Reynosa Tamaulipas, Alcaldía Azcapotzalco, C.P. 02200, Ciudad de México, México, fecha de última modificación: 31 de enero de 2020. Tamaño del archivo: 6.96 MB.

Las opiniones expresadas por los/as autores/as no necesariamente reflejan la postura del/la editor/a de la publicación.

ISSNe 2007-5383 versión digital, ISSN 2007-5375 versión impresa 3


CONTENIDO


David Conaly Martínez Vázquez Christian Bucio Pacheco Héctor Alonso Olivares Aguayo

Teorías de paridad y valuación de dos monedas con descuento de flujos mediante lógica borrosa

Gastón S. Milanesi Germán Weins Daniel Pequeño

Red neuronal autorregresiva difusa tipo Sugeno con funciones de membresía triangular y trapezoidal: una aplicación al pronóstico de índices del mercado bursátil

José Eduardo Medina Reyes Judith Jazmin Castro Pérez Agustín Ignacio Cabrera Llanos Salvador Cruz Aké

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Francisco López-Herrera Luis Guadalupe Macías Trejo Oscar Valdemar de la Torre Torres 103


ISSN 2007-5383 versión digital, ISSN 2007-5375 versión impresa 5

Dependencia en el modelo colectivo de riesgo de una compañía…URL: estocastica.azc.uam.mxVolumen 10, número 1, enero-junio 2020, pp. 5-26


Dependence in the Collective Risk Model of an Insurance Company in Mexico

David Conaly Martínez Vázquez*

Christian Bucio Pacheco**

Héctor Alonso Olivares Aguayo***

(Fecha de recepción: 1o de noviembre de 2019. Fecha de aceptación: 30 de diciembre de 2019)

* Unidad Académica Profesional Huehuetoca, Universidad Autónoma del Estado de México, Huehuetoca, Edo. de México, México [email protected], ORCID: 0000-0003-3337-7165

** Unidad Académica Profesional Huehuetoca, Universidad Autónoma del Estado de México, Huehuetoca, Edo. de México, México [email protected], ORCID: 0000-0002-0860-199X

*** Facultad de Negocios, Universidad La Salle, Ciudad de México, México [email protected], ORCID: 0000-0003-2609-8627

Resumen

En la literatura actuarial, el modelo colectivo de riesgo es una importante herra-mienta en el análisis de la distribución del riesgo para una compañía de seguros. No obstante, por comodidad en los textos actuariales se supone un comportamiento independiente entre el monto y número de reclamaciones. El objetivo de este artí-culo es demostrar que bajo ciertas condiciones hay evidencia de dependencia entre dichas variables; para demostrar lo anterior, se hace uso de funciones cópula, elíp-ticas y arquimedianas. La evidencia empírica proviene de una aplicación a uno de los portafolios de reclamaciones del ramo daños de la compañía de seguros Afirme Seguros en la Ciudad de México, dicha evidencia demuestra que existe dependencia



D. C. Martínez Vázquez, C. Bucio Pacheco y H. A. Olivares Aguayo

Introducción

El impacto de las reclamaciones en una compañía de seguros puede des-equilibrar la estabilidad de la misma. Por esta razón, es fundamental una

adecuada administración, evaluación y previsión de la siniestralidad dentro de un horizonte de tiempo finito; particularmente considerando las condi-ciones económicas y sociales de los asegurados, para garantizar un correcto nivel de reservas y cálculo de primas (cumpliéndose el principio de ganancia neta dentro del seguro).1

El modelo colectivo de riesgo, describe el agregado de reclamaciones como un fenómeno adverso para el patrimonio de una aseguradora, que pue-de presentarse durante un período de tiempo [0,T]. Uno de los supuestos, que generalmente se considera por comodidad, es que existe independencia

entre el número de reclamaciones y el monto de las mismas, lo que contrapone lo estipulado por la teoría del modelo colectivo de riesgo. Clasificación JEL: G22, D81, C15.Palabras clave: modelo colectivo de riesgo, seguros, cópula, reclamaciones depen-dientes.

AbstRAct

The collective risk model is defined in the actuarial literature as an important risk distribution analysis tool for insurance companies. Actuarial textbooks assume an independent behavior between the number of claims and their amount. The main objective of this paper is to show that under certain circumstances evidence of dependency between the variables studied may be found. To ascertain this objective copula functions, such as Elliptical and Archimedeans, were used. A Complaints Portfolio on the damage section of Afirme Seguros Company from Mexico City, Mexico, was analyzed. The empirical evidence found showed the existence of dependency between the number of claims and their amount, this finding contradicts what is stated in the Collective Risk Model Theory.JEL Classification: G22, D81, C15.Keywords: Collective Risk Model, Insurances, Copula, Dependent Claims.

1 La esperanza de pérdida para la compañía debe ser menor a lo que se cobra en primas (Klugman, 2012).



Dependencia en el modelo colectivo de riesgo de una compañía…

entre el número de reclamaciones

3

entre el número de reclamaciones 𝑁𝑁, y el monto de las mismas 𝑌𝑌𝑖𝑖, ambas siendo variables

aleatorias. Lo anterior debido a que este fenómeno puede ser modelado mediante un proceso de

Poisson compuesto, que es un proceso estocástico a tiempo continuo, donde el número de

reclamaciones que ocurren en el intervalo de tiempo [0,T] no está relacionado con el monto de las

mismas. A partir de este hecho, se construyen diversas estructuras para el cálculo de la distribución

del riesgo (comportamiento de reclamaciones) para un portafolio. No obstante, el objetivo de este

artículo es demostrar que bajo ciertas condiciones en México; esta independencia no sucede, debido

a las características de los asegurados, número de pólizas y el periodo de observación. Con el

propósito de incluir en el análisis de riesgo para una compañía de seguros, elementos característicos

del portafolio que afectan de manera considerable el cálculo de primas, reservas y reaseguro,

esenciales tanto para la compañía de seguros como para los asegurados. Al existir esta dependencia

entre el monto de las reclamaciones y el número de las mismas, se evidenciaría la necesidad de

construir funciones de densidad condicionales que puedan capturar de una forma más precisa la

severidad o frecuencia dentro del portafolio. Por esta razón, se han elegido las funciones cópula

para el análisis de la dependencia entre ambas variables, puesto que las formas tradicionales de

cálculo de correlación solo miden en términos reales este fenómeno y las funciones cópula arrojan

toda una estructura de dependencia.

La hipótesis fundamental dentro de la investigación, es que existen factores que propician un mayor

número de reclamaciones dentro de una compañía de seguros en un determinado periodo de tiempo

y que la relación de éstas respecto a sus montos es diversa, es decir, no nula; en otras palabras,

dependiendo el periodo de tiempo bajo análisis y los diversos factores que envuelven a las

reclamaciones y a los montos establecidos por las aseguradoras, existe relación entre las

reclamaciones y sus respectivos montos. Para ello, en este trabajo se analiza un portafolio de

reclamaciones de la compañía de seguros AFIRME SEGUROS en México; cabe decir, el portafolio

bajo análisis sólo corresponde al ramo de Daños, Automóviles de Servicio Público. La información

considerada pertenece al periodo del 02 de Enero de 2017 al 31 de Diciembre del 2018. La

evidencia empírica demuestra que en el periodo de estudio se tiene la existencia de dependencia

entre el número de reclamaciones y el monto de las mismas; en particular en determinados periodos

de tiempo (finales de año) por lo tanto, no se cumple el supuesto modelo colectivo de riesgo

referente a la independencia entre estas variables.

, y el monto de las mismas

3

entre el número de reclamaciones 𝑁𝑁, y el monto de las mismas 𝑌𝑌𝑖𝑖, ambas siendo variables

aleatorias. Lo anterior debido a que este fenómeno puede ser modelado mediante un proceso de

Poisson compuesto, que es un proceso estocástico a tiempo continuo, donde el número de

reclamaciones que ocurren en el intervalo de tiempo [0,T] no está relacionado con el monto de las

mismas. A partir de este hecho, se construyen diversas estructuras para el cálculo de la distribución

del riesgo (comportamiento de reclamaciones) para un portafolio. No obstante, el objetivo de este

artículo es demostrar que bajo ciertas condiciones en México; esta independencia no sucede, debido

a las características de los asegurados, número de pólizas y el periodo de observación. Con el

propósito de incluir en el análisis de riesgo para una compañía de seguros, elementos característicos

del portafolio que afectan de manera considerable el cálculo de primas, reservas y reaseguro,

esenciales tanto para la compañía de seguros como para los asegurados. Al existir esta dependencia

entre el monto de las reclamaciones y el número de las mismas, se evidenciaría la necesidad de

construir funciones de densidad condicionales que puedan capturar de una forma más precisa la

severidad o frecuencia dentro del portafolio. Por esta razón, se han elegido las funciones cópula

para el análisis de la dependencia entre ambas variables, puesto que las formas tradicionales de

cálculo de correlación solo miden en términos reales este fenómeno y las funciones cópula arrojan

toda una estructura de dependencia.

La hipótesis fundamental dentro de la investigación, es que existen factores que propician un mayor

número de reclamaciones dentro de una compañía de seguros en un determinado periodo de tiempo

y que la relación de éstas respecto a sus montos es diversa, es decir, no nula; en otras palabras,

dependiendo el periodo de tiempo bajo análisis y los diversos factores que envuelven a las

reclamaciones y a los montos establecidos por las aseguradoras, existe relación entre las

reclamaciones y sus respectivos montos. Para ello, en este trabajo se analiza un portafolio de

reclamaciones de la compañía de seguros AFIRME SEGUROS en México; cabe decir, el portafolio

bajo análisis sólo corresponde al ramo de Daños, Automóviles de Servicio Público. La información

considerada pertenece al periodo del 02 de Enero de 2017 al 31 de Diciembre del 2018. La

evidencia empírica demuestra que en el periodo de estudio se tiene la existencia de dependencia

entre el número de reclamaciones y el monto de las mismas; en particular en determinados periodos

de tiempo (finales de año) por lo tanto, no se cumple el supuesto modelo colectivo de riesgo

referente a la independencia entre estas variables.

, ambas siendo variables aleatorias. Este fenómeno puede ser modelado mediante un proceso de Poisson Compuesto, que es un proceso estocástico a tiempo continuo, donde el número de reclamaciones que ocurren en el intervalo de tiempo [0,T] no está relacionado con el monto de las mismas. A partir de este hecho, se construyen diversas estructuras para el cálculo de la distribución del riesgo (comportamiento de reclamaciones) para un portafolio. El objeti-vo de este artículo es demostrar que bajo ciertas condiciones en México es-ta independencia no sucede, debido a las características de los asegurados, número de pólizas y el periodo de observación. Por lo tanto, se incluyeron en el análisis de riesgo de una compañía de seguros, elementos característicos del portafolio que afectan de manera considerable el cálculo de primas, re-servas y reaseguros, mismos que son esenciales tanto para la compañía de seguros como para los asegurados. Al existir dependencia entre el monto de las reclamaciones y el número de las mismas, resulta necesario construir funciones de densidad condicionales que puedan capturar, de una forma más precisa, la severidad o frecuencia de la dependencia dentro del porta-folio. Por esta razón, se han elegido las funciones cópula para el análisis de la dependencia entre ambas variables, puesto que las formas tradicionales de cálculo de correlación sólo miden en términos reales este fenómeno y las funciones cópula muestran una estructura de dependencia.

La hipótesis fundamental dentro de la investigación, es que existen fac-tores que propician un mayor número de reclamaciones dentro de una com-pañía de seguros en un determinado periodo de tiempo y que la relación de éstas respecto a sus montos es diversa, es decir, no nula; en otras pala-bras, dependiendo el periodo de tiempo bajo análisis y los diversos factores que envuelven a las reclamaciones y a los montos establecidos por las ase-guradoras, existe relación entre las reclamaciones y sus respectivos mon-tos. Para ello, en este trabajo se analiza un portafolio de reclamaciones de la compañía de seguros AFIRME SEGUROS en México; cabe señalar que el portafolio bajo análisis sólo corresponde al ramo de Daños, Automóviles de Servicio Público. La información considerada pertenece al periodo del 2 de enero de 2017 al 31 de diciembre de 2018. La evidencia empírica demuestra que en el periodo de estudio se tiene la existencia de dependencia entre el número de reclamaciones y el monto de las mismas; en particular en deter-minados periodos de tiempo (finales de año) por lo tanto, no se cumple el supuesto del modelo colectivo de riesgo referente a la independencia entre estas variables.




El trabajo está estructurado de la manera siguiente, en el subsecuente apartado se presenta el marco teórico, así como su relevancia para la estruc-tura del mismo. Posteriormente, se enuncia la metodología utilizada para el análisis de dependencia estipulada en esta investigación, dependencia entre el número de reclamaciones y el monto de las mismas. A continuación se ex-ponen los resultados en el apartado de evidencia empírica. Y finalmente se ofrecen las conclusiones obtenidas en esta investigación.

1. Marco teórico

El modelo colectivo de riesgo parte de la posibilidad de un arribo de distintos montos de reclamaciones

4

El trabajo está estructurado de la manera siguiente, en el subsecuente apartado se presenta el marco

teórico, así como su relevancia para la estructura del mismo. Posteriormente, se enuncia la

metodología utilizada para el análisis de dependencia estipulada en esta investigación, dependencia

entre el número de reclamaciones y el monto de las mismas. Consecutivamente se exponen los

resultados en el apartado de evidencia empírica. Y finalmente se tienen las conclusiones arrojadas

por esta investigación.

Marco Teórico

El modelo colectivo de riesgo parte de la posibilidad de un arribo de distintos montos de

reclamaciones (𝑌𝑌𝑖𝑖) en un horizonte de tiempo finito y a corto plazo.2 El agregado de 𝑌𝑌𝑖𝑖, representa

el riesgo para la compañía de seguros, evidentemente son variables aleatorias y el número total de

reclamaciones también es aleatorio.

Gráfica 1. Diagrama modelo colectivo

𝑺𝑺 =∑𝒀𝒀𝒊𝒊𝑵𝑵𝒕𝒕

𝒊𝒊=𝟏𝟏

Fuente: Elaboración propia.

La esperanza de pérdida para la compañía, es el producto de la distribución del número de

reclamaciones por las expectativas del monto de las mismas. En este modelo es indiferente el

número total de pólizas dentro del portafolio, ya que lo único que interesa al administrador del

riesgo, es el número de reclamaciones y la distribución de las 𝑌𝑌𝑖𝑖 en dicho intervalo de tiempo [0,T].

Por esta razón, la pérdida esperada suponiendo independencia, es el producto de la esperanza de

ambas variables aleatorias.

2 Para mayor referencia sobre el modelo colectivo de riesgo véase Klugman (2012), Bowers (1997), Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J., & Denuit, M. (2008).

en un horizonte de tiempo finito y a corto plazo.2 El agregado de

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Marco Teórico







𝒊𝒊=𝟏𝟏









, representa el riesgo para la compañía de seguros, evidentemente son variables aleatorias y el número total de reclamaciones también es aleatorio.


Fuente: elaboración propia.

4







Marco Teórico







𝒊𝒊=𝟏𝟏









La esperanza de pérdida para la compañía, es el producto de la distri-bución del número de reclamaciones por las expectativas del monto de las mismas. En este modelo es indiferente el número total de pólizas dentro del portafolio, ya que lo único que interesa al administrador del riesgo, es el nú-

2 Para mayor referencia sobre el modelo colectivo de riesgo véase Klugman (2012), Bowers (1997), Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J. y Denuit, M., (2008).




mero de reclamaciones y la distribución de las

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Marco Teórico







𝒊𝒊=𝟏𝟏









en un intervalo de tiempo [0,T]. Por esta razón, la pérdida esperada suponiendo independencia, es el producto de la esperanza de ambas variables aleatorias.

5

𝐸𝐸(𝑆𝑆) = 𝐸𝐸(𝑁𝑁)𝐸𝐸(𝑌𝑌) (1)

Donde 𝐸𝐸(𝑆𝑆) es el riesgo para la aseguradora en dicho horizonte de tiempo, 𝐸𝐸(𝑁𝑁) el número de

reclamaciones esperadas y 𝐸𝐸(𝑌𝑌) la expectativa de las variables aleatorias 𝑌𝑌𝑖𝑖 (o monto de

reclamaciones). En este sentido, es entendible el por qué en la mayoría de los análisis actuariales

se considera la independencia de ambas variables, si los montos de reclamaciones se consideran

variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, el número de ellas que puedan

efectuarse en un intervalo de tiempo no tendrían relación.

Para contrarrestar el supuesto de independencia entre las variables: número de reclamaciones y

monto de las mismas; es decir, entre 𝑁𝑁 y 𝑌𝑌𝑖𝑖, se necesita de una metodología que cuantifique el

grado de dependencia existente entre estas variables. En este sentido, se han desarrollado trabajos

que han abordado dependencia dentro del modelo, ya sea entre las reclamaciones, en el monto de

las variables y el número de las mismas; entre ellos Dhaene y Goovaerts (1996), consideran la

existencia de dependencia en pares de reclamaciones de un portafolio de pólizas de vida, lo cual

afecta directamente a la prima stop-loss para el asegurado. Klugman, Panjer y Willmot (1998),

desarrollan el modelo colectivo de forma tradicional, considerando independencia entre la

distribución del número de reclamaciones así como del monto de las mismas, destacando algunas

ventajas de modelar de forma independiente ambas variables; como por ejemplo la variación del

número esperado de reclamaciones considerando que también cambia el número de pólizas.

Asimismo, resaltan que el impacto de fenómenos económicos se ve reflejado de mejor forma en

las pérdidas sufridas por los asegurados y la compañía de seguros, y que el efecto de cambiar los

deducibles individuales y los límites de las políticas resulta más eficiente; asimismo, que se cuenta

con una captación más precisa de las variables, tanto en las reclamaciones como en los deducibles,

en los modelos para las pérdidas no cubiertas a los asegurados en los costos de las reclamaciones

a los reaseguradores, ponderando que todos éstos pueden ser mutuamente consistentes. Estipulan

también que la forma de la distribución de S depende de las distribuciones de 𝑁𝑁 y 𝑌𝑌𝑖𝑖.

Escalante y Arango (2004) analizan la importancia del modelo colectivo de riesgo dentro del campo

actuarial así como la administración de riesgos para una compañía de seguros partiendo de las

características de la distribución del riesgo y de la independencia de las variables. Por su parte, Lin

y Willmot (2014), abordan diversos modelos agregados de reclamaciones cuando existe reemplazo

en las pólizas considerando independencia y dependencia, primordialmente analizando las

(1)

Donde

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es el riesgo para la aseguradora en dicho horizonte de tiem-po,

5































el número de reclamaciones esperadas y

5































la expectativa de las variables aleatorias

5































(o monto de reclamaciones). En este sentido, es entendible el por qué en la mayoría de los análisis actuariales se considera la independencia de ambas variables, si los montos de reclamaciones se con-sideran variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, el número de ellas que puedan efectuarse en un intervalo de tiempo no ten-drían relación.

Para contrarrestar el supuesto de independencia entre las variables: número de reclamaciones y monto de las mismas; es decir, entre

5































, se necesita de una metodología que cuantifique el grado de dependencia exis-tente entre estas variables. En este sentido, se han desarrollado trabajos que han abordado dependencia dentro del modelo, ya sea entre las reclamacio-nes en el monto de las variables y el número de las mismas; entre ellos Dhae-ne y Goovaerts (1996), consideran la existencia de dependencia en pares de reclamaciones de un portafolio de pólizas de vida, lo cual afecta directamen-te a la prima stop-loss para el asegurado. Klugman, Panjer y Willmot (2012), que desarrollan el modelo colectivo de forma tradicional, considerando in-dependencia entre la distribución del número de reclamaciones y el monto de las mismas, destacando algunas ventajas de modelar de forma indepen-diente ambas variables; como por ejemplo la variación del número esperado de reclamaciones considerando que también cambia el número de pólizas. Asimismo, resaltan que el impacto de fenómenos económicos se ve reflejado de mejor forma en las pérdidas sufridas por los asegurados y la compañía de seguros, y que el efecto de cambiar los deducibles individuales y los límites de las políticas resulta más eficiente; asimismo, que se cuenta con una cap-tación más precisa de las variables, tanto en las reclamaciones como en los deducibles en los modelos para las pérdidas no cubiertas a los asegurados y en los costos de las reclamaciones a los reaseguradores, considerando que todos éstos pueden ser consistentes. Estipulan también que la forma de la distribución de S depende de las distribuciones de

5































.




Escalante y Arango (2004) analizan la importancia del modelo colectivo de riesgo dentro del campo actuarial así como la administración de riesgos para una compañía de seguros partiendo de las características de la distri-bución del riesgo y de la independencia de las variables. Por su parte, Lin y Willmot (2014), abordan diversos modelos agregados de reclamaciones cuando existe reemplazo en las pólizas considerando independencia y de-pendencia, primordialmente analizando las consecuencias de la dependencia en las variables aleatorias, número de reclamaciones y monto de las mismas. Hernández-Bastida, et al. (2011), suponen independencia entre el monto de las reclamaciones y el número de las mismas para analizar la distribución de las primas colectivas con un enfoque Bayesiano, bajo el principio de la prima de la varianza, en el clásico modelo de riesgo colectivo exponencial Poisson. Gómez y Calderín (2013), estudian el modelo colectivo de riesgo aplicado a daños en automóviles asumiendo la pérdida de Erlang, cuando la frecuencia del reclamo sigue la distribución discreta generalizada de Lindley suponien-do independencia. Por su parte, Ricotta y Clemente (2016), analizan el riesgo de reserva en la suscripción de seguros diferentes a seguros de vida median-te el modelo colectivo, incorporando técnicas Bayesianas a la estimación de los parámetros de dicho modelo. Asimismo, investigan la correlación entre las variables del modelo suponiendo dependencia.

Recientemente, Bazyari y Roozegar (2019) analizan el modelo Poisson compuesto, suponiendo dependencia entre el monto de los reclamos y el tiempo entre llegadas de los mismos, para posteriormente hacer una aproxi-mación a la probabilidad de ruina en tiempo finito, graficando para el valor del umbral fijo asociado al tiempo entre llegadas de reclamo y también para el parámetro de dependencia fija en cópulas. Oh, R., Ahn, J. Y. y Lee, W. (2019) analizan la dependencia flexible entre las variables frecuencia y severidad de las reclamaciones para una compañía de seguros en el ramo daños me-diante funciones de cópula bivariadas.

Se puede constatar, dada la revisión de la literatura, que la indepen-dencia entre las variables que comprenden al modelo colectivo de riesgo es cuestionable y por lo tanto debe ser analizada antes de asumir lo que regu-larmente se admite en el modelo colectivo de riesgo, i.e., que las variables monto de las reclamaciones y el número de reclamaciones, son independien-tes. Por ello, es de suma importancia, poder elegir aquellas herramientas que hagan un análisis más específico de la correlación entre variables alea-torias. La búsqueda de nuevas y mejores metodologías que ofrezcan resulta-dos más precisos en la medición de riesgos en el mercado actuarial, y toma




de decisiones, brindan una mayor estabilidad y eficiencia tanto para el mer-cado asegurador, como para los reguladores.

La metodología tradicional utilizada para cuantificar la relación que existe entre variables aleatorias es el coeficiente de correlación de Pear-son, el cual permite cuantificar la relación lineal que se tiene entre variables aleatorias. Sin embargo, se tiene registrado que dependiendo de las caracte-rísticas que tengan las variables aleatorias éstas pueden no corresponder a una función gaussiana, la cual precede a la linealidad. Por ende, en la mayo-ría de los casos se requiere de una metodología más robusta con respecto a la cuantificación del grado de relación existente entre variables aleatorias. Para ello, se cuenta con la metodología de cópulas.3 Cabe hacer mención que las cópulas estiman patrones de dependencia que tienen como característi-cas la no linealidad y la dependencia asintótica; a diferencia del análisis de correlación lineal de Pearson. Asimismo, es primordial enfatizar que vía la estimación a través de cópulas se ha demostrado la obtención de mejores resultados respecto a la descripción de la relación existente entre variables aleatorias con características de no linealidad.

La metodología de cópulas está sustentada en el Teorema de Sklar, el cual es el siguiente:

Teorema de Sklar

Sea una función de distribución n-dimensional F con distribuciones marginales continuas

7

precede a la linealidad. Por ende, en la mayoría de los casos se requiere de una metodología más

robusta con respecto a la cuantificación del grado de relación existente entre variables aleatorias.

Para ello, se cuenta con la metodología de cópulas.3 Cabe hacer mención que las cópulas estiman

patrones de dependencia teniendo como características la no linealidad y la dependencia asintótica;

a diferencia del análisis de correlación lineal de Pearson. Asimismo, es primordial enfatizar que

vía la estimación a través de cópulas se ha demostrado la obtención de mejores resultados respecto

a la descripción de la relación existente entre variables aleatorias con características de no

linealidad.


Teorema de Sklar


𝐹𝐹1, 𝐹𝐹2, … , 𝐹𝐹𝑛𝑛 existe una única n-cópula 𝐶𝐶: [0,1]𝑛𝑛 → [0,1], tal que:

𝐹𝐹(𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛) = 𝐶𝐶 (𝐹𝐹1(𝑥𝑥1), … , 𝐹𝐹𝑛𝑛(𝑥𝑥𝑛𝑛)) (2) Por tanto, la función cópula une las marginales para generar una función de distribución

multivariada. Cabe hacer mención que en esta investigación se estima sólo el caso de dependencia

bivariada debido a que interesa conocer el patrón de dependencia entre el monto de los siniestros

y el número de reclamaciones, lo cual procede de solamente dos variables aleatorias, por lo cual

pertenece al caso bivariado.

Existen un número considerable de cópulas, por simplicidad en este trabajo sólo se estiman cópulas

de la familia elíptica (cópula Gaussiana y cópula t-Student) y arquimediana (cópula Clayton, cópula

Gumbel y cópula Frank).4

Las cópulas elípticas juegan un papel esencial dentro de las finanzas y economía, debido a que

constituyen una fuente de distribuciones multivariantes que poseen propiedades de la distribución

normal y facilitan la obtención de modelos multivariantes para valores extremos y otras formas de

dependencia. Dentro de esta familia de cópulas las curvas de nivel de las variables aleatorias tienen

un comportamiento semejante al de las elipses. Las dos cópulas más importantes de esta familia de

cópulas son la cópula Gaussiana (o Normal) y la cópula t- Student, las cuales se derivan de las

3 El término cópula fue utilizado por primera vez en el Teorema de Sklar (Sklar, 1959). 4 Para mayor referencia respecto a Teoría de Cópulas, familias de cópulas, estimación, etc., véase, Nelsen (1999).

, pero existe una única n-cópula

7








linealidad.


Teorema de Sklar


















, tal que:

7








linealidad.


Teorema de Sklar


















(2)

Por tanto, la función cópula une las marginales para generar una fun-ción de distribución multivariada. Cabe hacer mención que en esta investi-gación se estima sólo el caso de dependencia bivariada debido a que interesa conocer el patrón de dependencia entre el monto de los siniestros y el núme-ro de reclamaciones, lo cual procede de solamente dos variables aleatorias, por lo cual pertenece al caso bivariado.

3 El término cópula fue utilizado por primera vez en el Teorema de Sklar (Sklar, 1959).




Existen un número considerable de cópulas, por simplicidad en este tra-bajo sólo se estiman cópulas de la familia elíptica (cópula Gaussiana y cópula t-Student) y arquimediana (cópula Clayton, cópula Gumbel y cópula Frank).4

Las cópulas elípticas juegan un papel esencial dentro de las finanzas y economía, debido a que constituyen una fuente de distribuciones multiva-riadas que poseen propiedades de la distribución normal y facilitan la ob-tención de modelos multivariantes para valores extremos y otras formas de dependencia. Dentro de esta familia de cópulas las curvas de nivel de las va-riables aleatorias tienen un comportamiento semejante al de las elipses. Las dos cópulas más importantes de esta familia de cópulas son la cópula Gaus-siana (o Normal) y la cópula t- Student, las cuales se derivan de las funciones de distribución multivariada que poseen estos mismos nombres. Su rango más característico es que representan relaciones de dependencia simétricas sin importar que se analice la cola izquierda o derecha de las distribuciones implicadas (Maldonado y Pazmiño, 2008). La cópula bivariada Gaussiana es,

8

funciones de distribución multivariada que poseen estos mismos nombres. Su rango más

característico es que representan relaciones de dependencia simétricas sin importar que se analice

la cola izquierda o derecha de las distribuciones implicadas (Maldonado y Pazmiño, 2008).

La cópula bivariada Gaussiana es,

C (u1, u2) = Φρ,2(Φ−1(u1), Φ−1(u2)) (3)

Donde, Φ denota la distribución Normal (acumulada) y Φρ,2 denota la distribución Gaussiana 2-

dimensional con matriz de correlación ρ.

La cópula bivariada t-Student es,

C2,ρ,ν(u1, u2) = T2,p,ν (Tν−1(u1), Tν

−1(u2)) (4)

Donde Tν es la distribución t-Student (acumulada) con ν grados de libertad y T2,p,ν denota la

distribución t-Student 2-dimensional con matriz de correlación ρ y ν grados de libertad.

En lo que respecta a la familia de cópulas arquimedianas, éstas son de gran utilidad para representar

relaciones que dan mayor énfasis entre los sucesos extremos de las distribuciones marginales. La

familia Arquimediana es una clase especial e importante de cópulas que se caracterizan por surgir

de funciones seudoinvertibles, han sido utilizadas ampliamente en el cálculo actuarial, hidrología

y pruebas de resistencia bancaria (bank stress test). En general, son cópulas capaces de capturar

amplios rangos de dependencia, lo cual les ha permitido diferenciarse de las cópulas elípticas

(simétricas).

Existen varias cópulas que pertenecen a la familia Arquimediana, en lo referente a este trabajo sólo

se enuncian tres cópulas de esta familia, las cuales como en el caso elíptico son las más usuales

dada su aparentemente fácil estimación y características; las cuales son: la cópula Clayton, la

cópula Gumbel, y la cópula Frank.

La distribución bivariada perteneciente a la familia de las cópulas Arquimedianas está representada

como,

C𝛼𝛼(u1, u2) = 𝜙𝜙𝛼𝛼−1[𝜙𝜙𝛼𝛼(u1) + 𝜙𝜙𝛼𝛼(u2)], 0 ≤ u1, u2 ≤ 1 (5)

(3)

Donde,

8





C (u1, u2) = Φρ,2(Φ−1(u1), Φ−1(u2)) (3)




C2,ρ,ν(u1, u2) = T2,p,ν (Tν−1(u1), Tν

−1(u2)) (4)









(simétricas).






como,


denota la distribución Normal (acumulada) y

8





C (u1, u2) = Φρ,2(Φ−1(u1), Φ−1(u2)) (3)




C2,ρ,ν(u1, u2) = T2,p,ν (Tν−1(u1), Tν

−1(u2)) (4)









(simétricas).






como,


denota la distribución Gaussiana -dimensional con matriz de correlación

8





C (u1, u2) = Φρ,2(Φ−1(u1), Φ−1(u2)) (3)




C2,ρ,ν(u1, u2) = T2,p,ν (Tν−1(u1), Tν

−1(u2)) (4)









(simétricas).






como,


.La cópula bivariada t-Student es,

8





C (u1, u2) = Φρ,2(Φ−1(u1), Φ−1(u2)) (3)




C2,ρ,ν(u1, u2) = T2,p,ν (Tν−1(u1), Tν

−1(u2)) (4)









(simétricas).






como,


(4)

Donde

8





C (u1, u2) = Φρ,2(Φ−1(u1), Φ−1(u2)) (3)




C2,ρ,ν(u1, u2) = T2,p,ν (Tν−1(u1), Tν

−1(u2)) (4)









(simétricas).






como,


es la distribución t-Student (acumulada) con

8





C (u1, u2) = Φρ,2(Φ−1(u1), Φ−1(u2)) (3)




C2,ρ,ν(u1, u2) = T2,p,ν (Tν−1(u1), Tν

−1(u2)) (4)









(simétricas).






como,


grados de li-bertad y

8





C (u1, u2) = Φρ,2(Φ−1(u1), Φ−1(u2)) (3)




C2,ρ,ν(u1, u2) = T2,p,ν (Tν−1(u1), Tν

−1(u2)) (4)









(simétricas).






como,


denota la distribución t-Student 2-dimensional con matriz de correlación

8





C (u1, u2) = Φρ,2(Φ−1(u1), Φ−1(u2)) (3)




C2,ρ,ν(u1, u2) = T2,p,ν (Tν−1(u1), Tν

−1(u2)) (4)









(simétricas).






como,


grados de libertad.En lo que respecta a la familia de cópulas arquimedianas, éstas son de

gran utilidad para representar relaciones que dan mayor énfasis entre los sucesos extremos de las distribuciones marginales. La familia Arquimedia-na es una clase especial e importante de cópulas que se caracterizan por surgir de funciones seudoinvertibles, han sido utilizadas ampliamente en el

4 Para mayor referencia respecto a Teoría de Cópulas, familias de cópulas, estima-ción, etcétera, véase, Nelsen (1999).




cálculo actuarial, hidrología y pruebas de resistencia bancaria (bank stress test). En general, son cópulas capaces de capturar amplios rangos de depen-dencia, lo cual les ha permitido diferenciarse de las cópulas elípticas (simé-tricas).

Existen varias cópulas que pertenecen a la familia Arquimediana, en lo referente a este trabajo sólo se enuncian tres cópulas de esta familia, las cuales como en el caso elíptico son las más usuales dada su aparentemente fácil estimación y características; las cuales son: la cópula Clayton, la cópula Gumbel, y la cópula Frank.

La distribución bivariada perteneciente a la familia de las cópulas Ar-quimedianas está representada como,

8





C (u1, u2) = Φρ,2(Φ−1(u1), Φ−1(u2)) (3)




C2,ρ,ν(u1, u2) = T2,p,ν (Tν−1(u1), Tν

−1(u2)) (4)









(simétricas).






como,

C𝛼𝛼(u1, u2) = 𝜙𝜙𝛼𝛼−1[𝜙𝜙𝛼𝛼(u1) + 𝜙𝜙𝛼𝛼(u2)], 0 ≤ u1, u2 ≤ 1 (5) (5)

donde

9

donde 𝜙𝜙𝛼𝛼 es convexa y decreciente tal que 𝜙𝜙𝛼𝛼 ≥ 0. A la función 𝜙𝜙𝛼𝛼 se le denomina generador de

la cópula C𝛼𝛼 y la inversa del generador 𝜙𝜙𝛼𝛼−1 es la transformada de Laplace de una variable latente

denotada 𝛾𝛾, la cual induce la dependencia 𝛼𝛼. De esta manera, la selección de un generador da como

resultado diferentes cópulas de la familia arquimediana.

La cópula bivariada Clayton es,

C𝛼𝛼(u1, u2) = {u11−𝛼𝛼 + u2

1−𝛼𝛼 − 1}1 (1−𝛼𝛼)⁄ , 𝛼𝛼 > 1 (6)

La cópula bivariada Gumbel es,

C𝛼𝛼(u1, u2) = exp{−[(− ln u1)1 𝛼𝛼⁄ + (− ln u2)1 𝛼𝛼⁄ ]𝛼𝛼}, 0 < 𝛼𝛼 < 1 (7)

Y la cópula bivariada Frank es,

C𝛼𝛼(u1, u2) = ln[1 + (𝛼𝛼u1 − 1)(𝛼𝛼u2 − 1) (𝛼𝛼 − 1)⁄ ] ln 𝛼𝛼 , 𝛼𝛼 > 0⁄ (8)

Complementando la estimación de dependencia, la metodología de cópulas cuenta con su

respectiva implementación a través de la correlación de rango, dicha correlación de rango está

estipulada vía las medidas de concordancia Tau de Kendall y Rho de Sperman. En este trabajo por

simplicidad y por viabilidad de interpretación sólo se hace uso de la medida de concordancia Tau

de Kendall.

La 𝜏𝜏 de Kendall es una medida de concordancia que puede obtenerse a partir de la siguiente función

cópula:

𝜏𝜏 = 4 ∫ ∫ 𝐶𝐶𝜑𝜑(𝑢𝑢1, 𝑢𝑢2)𝑑𝑑𝐶𝐶𝜑𝜑(𝑢𝑢1, 𝑢𝑢2) − 110

10 (9)

Y respecto a la estimación de los parámetros asociados a una cópula. En este trabajo se hace uso

de la estimación a través de máxima verosimilitud.5 Este mecanismo obtiene la estimación de los

parámetros de la cópula a través de la maximización de su función de log-verosimilitud.

l(𝜑𝜑) = ∑ ln c (F1(xj,1), … , Fn(xj,n))nj=1 + ∑ ∑ ln fi(xj,i)d

i=1nj=1 (10)

en donde 𝜑𝜑 es el conjunto de parámetros tanto de las marginales como de la cópula. De esta manera,

dados el conjunto de marginales y una cópula, la función de log-verosimilitud puede ser

maximizada obteniendo de esta forma el estimador de máxima verosimilitud,

5 Para mayor referencia sobre el mecanismo de estimación a través de máxima verosimilitud así como para mayor referencia sobre otros mecanismos de estimación en teoría de cópulas, véase, Sklar (1959) y Nelsen, R. (1999).

es convexa y decreciente tal que

9






C𝛼𝛼(u1, u2) = {u11−𝛼𝛼 + u2

1−𝛼𝛼 − 1}1 (1−𝛼𝛼)⁄ , 𝛼𝛼 > 1 (6)









de Kendall.


cópula:


10 (9)





i=1nj=1 (10)





. A la función

9






C𝛼𝛼(u1, u2) = {u11−𝛼𝛼 + u2

1−𝛼𝛼 − 1}1 (1−𝛼𝛼)⁄ , 𝛼𝛼 > 1 (6)









de Kendall.


cópula:


10 (9)





i=1nj=1 (10)





se le denomina generador de la cópula

9






C𝛼𝛼(u1, u2) = {u11−𝛼𝛼 + u2

1−𝛼𝛼 − 1}1 (1−𝛼𝛼)⁄ , 𝛼𝛼 > 1 (6)









de Kendall.


cópula:


10 (9)





i=1nj=1 (10)





y la inversa del generador

9






C𝛼𝛼(u1, u2) = {u11−𝛼𝛼 + u2

1−𝛼𝛼 − 1}1 (1−𝛼𝛼)⁄ , 𝛼𝛼 > 1 (6)









de Kendall.


cópula:


10 (9)





i=1nj=1 (10)





es la transformada de Laplace de una variable latente denotada

9






C𝛼𝛼(u1, u2) = {u11−𝛼𝛼 + u2

1−𝛼𝛼 − 1}1 (1−𝛼𝛼)⁄ , 𝛼𝛼 > 1 (6)









de Kendall.


cópula:


10 (9)





i=1nj=1 (10)





, la cual induce la dependencia

9






C𝛼𝛼(u1, u2) = {u11−𝛼𝛼 + u2

1−𝛼𝛼 − 1}1 (1−𝛼𝛼)⁄ , 𝛼𝛼 > 1 (6)









de Kendall.


cópula:


10 (9)





i=1nj=1 (10)





. De esta manera, la selección de un generador da como resultado diferentes cópulas de la familia arquimediana.


9






C𝛼𝛼(u1, u2) = {u11−𝛼𝛼 + u2

1−𝛼𝛼 − 1}1 (1−𝛼𝛼)⁄ , 𝛼𝛼 > 1 (6)









de Kendall.


cópula:


10 (9)





i=1nj=1 (10)





(6)


9






C𝛼𝛼(u1, u2) = {u11−𝛼𝛼 + u2

1−𝛼𝛼 − 1}1 (1−𝛼𝛼)⁄ , 𝛼𝛼 > 1 (6)









de Kendall.


cópula:


10 (9)





i=1nj=1 (10)





(7)


9






C𝛼𝛼(u1, u2) = {u11−𝛼𝛼 + u2

1−𝛼𝛼 − 1}1 (1−𝛼𝛼)⁄ , 𝛼𝛼 > 1 (6)









de Kendall.


cópula:


10 (9)





i=1nj=1 (10)





(8)

Complementando la estimación de dependencia, la metodología de có-pulas cuenta con su respectiva implementación a través de la correlación de




rango, dicha correlación de rango está estipulada vía las medidas de concor-dancia Tau de Kendall y Rho de Sperman. En este trabajo por simplicidad y por viabilidad de interpretación sólo se hace uso de la medida de concordan-cia Tau de Kendall.

La τ de Kendall es una medida de dependencia no paramétrica que iden-tifica los pares concordantes y discordantes de dos variables. Para su esti-mación se asigna una clasificación a las observaciones de cada variable, es decir, se generan bloques de observaciones y posteriormente se estudia la relación de dependencia existente entre las variables dadas. La τ de Kendall es una medida de concordancia que puede obtenerse a partir de la siguiente función cópula:

9






C𝛼𝛼(u1, u2) = {u11−𝛼𝛼 + u2

1−𝛼𝛼 − 1}1 (1−𝛼𝛼)⁄ , 𝛼𝛼 > 1 (6)









de Kendall.


cópula:


10 (9)





i=1nj=1 (10)





(9)

Y respecto a la estimación de los parámetros asociados a una cópula. En este trabajo se hace uso de la estimación a través de máxima verosimilitud.5 Este mecanismo obtiene la estimación de los parámetros de la cópula a tra-vés de la maximización de su función de log-verosimilitud.

9






C𝛼𝛼(u1, u2) = {u11−𝛼𝛼 + u2

1−𝛼𝛼 − 1}1 (1−𝛼𝛼)⁄ , 𝛼𝛼 > 1 (6)









de Kendall.


cópula:


10 (9)





i=1nj=1 (10)





(10)

en donde

9






C𝛼𝛼(u1, u2) = {u11−𝛼𝛼 + u2

1−𝛼𝛼 − 1}1 (1−𝛼𝛼)⁄ , 𝛼𝛼 > 1 (6)









de Kendall.


cópula:


10 (9)





i=1nj=1 (10)





es el conjunto de parámetros tanto de las marginales como de la cópula. De esta manera, dados el conjunto de marginales y una cópula, la función de log-verosimilitud puede ser maximizada obteniendo de esta forma el estimador de máxima verosimilitud,

10

��𝜑MLE = max𝜑𝜑∈Θ

l(𝜑𝜑) (11)

La Tabla 1 muestra los intervalos en donde están determinados los parámetros estipulados por las

cópulas de la familia elíptica y arquimediana y su consecuente interpretación a través de la medida

de concordancia 𝜏𝜏 de Kendall; cabe decir, la 𝜏𝜏 de Kendall se encuentra dentro del intervalo [-1,1],

i.e., 𝜏𝜏 ∈ [−1,1] para todas las familias de cópulas y por ende su viabilidad e interpretación es fácil

y factible.

Tabla 1. Parámetro y Tau de Kendall de las Cópulas Elípticas y Arquimedianas

Cópula Parámetro 𝜏𝜏 de Kendall

Fam

ilia

Elíp

tica

Normal

𝜑𝜑 ∈ [−1,1] 2𝜋𝜋 arcseno 𝜑𝜑

t-Student

Fam

ilia

Arq

uim

edia

na

Clayton

𝜑𝜑 > −1

𝜑𝜑

𝜑𝜑 + 2

Gumbel

𝜑𝜑 > 1

𝜑𝜑 − 1

𝜑𝜑

Frank 𝜑𝜑 ∈ IR 1 − 4𝜑𝜑 [1 − 𝐷𝐷1(𝜑𝜑)]


Por ende, la relevancia del análisis propuesto en este trabajo, reside en analizar un portafolio de

reclamaciones de dos años, del ramo de Daños, Automóviles Servicio Público de la compañía de

seguros AFIRME SEGUROS en México, y comprobar en este caso en específico que no se cumple

la independencia entre las variables monto de las reclamaciones versus número de reclamaciones,

para posteriormente proponer esta perspectiva en la evaluación de primas y cálculo de riesgos en

esta compañía de seguros, y por consiguiente sugerir un análisis similar en las demás compañías

de seguros.

(11)

La Tabla 1 muestra los intervalos en donde están determinados los pa-rámetros estipulados por las cópulas de la familia elíptica y arquimediana

5 Para mayor referencia sobre el mecanismo de estimación a través de máxima vero-similitud así como para mayor referencia sobre otros mecanismos de estimación en teoría de cópulas, véase, Sklar (1959) y Nelsen, R. (1999).




y su consecuente interpretación a través de la medida de concordancia de

10


l(𝜑𝜑) (11)





y factible.



Fam

ilia

Elíp

tica

Normal


t-Student

Fam

ilia

Arq

uim

edia

na

Clayton

𝜑𝜑 > −1

𝜑𝜑

𝜑𝜑 + 2

Gumbel

𝜑𝜑 > 1

𝜑𝜑 − 1

𝜑𝜑









de seguros.

Kendall; cabe decir, la

10


l(𝜑𝜑) (11)





y factible.



Fam

ilia

Elíp

tica

Normal


t-Student

Fam

ilia

Arq

uim

edia

na

Clayton

𝜑𝜑 > −1

𝜑𝜑

𝜑𝜑 + 2

Gumbel

𝜑𝜑 > 1

𝜑𝜑 − 1

𝜑𝜑









de seguros.

de Kendall se encuentra dentro del intervalo

10


l(𝜑𝜑) (11)





y factible.



Fam

ilia

Elíp

tica

Normal


t-Student

Fam

ilia

Arq

uim

edia

na

Clayton

𝜑𝜑 > −1

𝜑𝜑

𝜑𝜑 + 2

Gumbel

𝜑𝜑 > 1

𝜑𝜑 − 1

𝜑𝜑









de seguros.

,

10


l(𝜑𝜑) (11)





y factible.



Fam

ilia

Elíp

tica

Normal


t-Student

Fam

ilia

Arq

uim

edia

na

Clayton

𝜑𝜑 > −1

𝜑𝜑

𝜑𝜑 + 2

Gumbel

𝜑𝜑 > 1

𝜑𝜑 − 1

𝜑𝜑









de seguros.

, para todas las familias de cópulas y por ende su viabilidad e interpretación es fácil y factible.

Por ende, la relevancia del análisis propuesto en este trabajo, reside en analizar un portafolio de reclamaciones de dos años, del ramo de Daños, Au-tomóviles Servicio Público de la compañía de seguros AFIRME SEGUROS en México, comprobar que en este portafolio en específico no se cumple la in-dependencia entre las variables monto de las reclamaciones versus número de reclamaciones, para posteriormente proponer esta perspectiva en la eva-luación de primas y cálculo de riesgos en esta compañía de seguros, y por consiguiente sugerir un análisis similar en las demás compañías de seguros.

Del mismo modo debe considerarse, que este tipo de seguro, no es un elemento aislado dentro del mercado, ya que se tienen diferentes ramos den-tro del mercado asegurador, lo cual remite a los administradores de ries-go dentro de las compañías de seguros a cuestionarse la no independencia entre las variables que conforman el modelo de riesgo colectivo para los

Tabla 1. Parámetro y Tau de Kendallde las Cópulas Elípticas y Arquimedianas


Cópula Parámetro

10


l(𝜑𝜑) (11)





y factible.



Fam

ilia

Elíp

tica

Normal


t-Student

Fam

ilia

Arq

uim

edia

na

Clayton

𝜑𝜑 > −1

𝜑𝜑

𝜑𝜑 + 2

Gumbel

𝜑𝜑 > 1

𝜑𝜑 − 1

𝜑𝜑









de seguros.

de Kendall

Normal

10


l(𝜑𝜑) (11)





y factible.


Cópula Parámetro 𝜏𝜏 de Kendall Fa

mili

a El

íptic

a Normal


t-Student

Fam

ilia

Arq

uim

edia

na

Clayton

𝜑𝜑 > −1

𝜑𝜑

𝜑𝜑 + 2

Gumbel

𝜑𝜑 > 1

𝜑𝜑 − 1

𝜑𝜑









de seguros.

10


l(𝜑𝜑) (11)





y factible.



mili

a El

íptic

a Normal


t-Student

Fam

ilia

Arq

uim

edia

na

Clayton

𝜑𝜑 > −1

𝜑𝜑

𝜑𝜑 + 2

Gumbel

𝜑𝜑 > 1

𝜑𝜑 − 1

𝜑𝜑









de seguros.

t-Student

Clayton

10


l(𝜑𝜑) (11)





y factible.



mili

a El

íptic

a Normal


t-Student

Fam

ilia

Arq

uim

edia

na

Clayton

𝜑𝜑 > −1

𝜑𝜑

𝜑𝜑 + 2

Gumbel

𝜑𝜑 > 1

𝜑𝜑 − 1

𝜑𝜑









de seguros.

10


l(𝜑𝜑) (11)





y factible.



Fam

ilia

Elíp

tica

Normal


t-Student

Fam

ilia

Arq

uim

edia

na

Clayton

𝜑𝜑 > −1

𝜑𝜑

𝜑𝜑 + 2

Gumbel

𝜑𝜑 > 1

𝜑𝜑 − 1

𝜑𝜑









de seguros.

Gumbel

10


l(𝜑𝜑) (11)





y factible.



mili

a El

íptic

a Normal


t-Student

Fam

ilia

Arq

uim

edia

na

Clayton

𝜑𝜑 > −1

𝜑𝜑

𝜑𝜑 + 2

Gumbel

𝜑𝜑 > 1

𝜑𝜑 − 1

𝜑𝜑









de seguros.

10


l(𝜑𝜑) (11)





y factible.



Fam

ilia

Elíp

tica

Normal


t-Student

Fam

ilia

Arq

uim

edia

na

Clayton

𝜑𝜑 > −1

𝜑𝜑

𝜑𝜑 + 2

Gumbel

𝜑𝜑 > 1

𝜑𝜑 − 1

𝜑𝜑









de seguros.

Frank

10


l(𝜑𝜑) (11)





y factible.



Fam

ilia

Elíp

tica

Normal


t-Student

Fam

ilia

Arq

uim

edia

na

Clayton

𝜑𝜑 > −1

𝜑𝜑

𝜑𝜑 + 2

Gumbel

𝜑𝜑 > 1

𝜑𝜑 − 1

𝜑𝜑









de seguros.

10


l(𝜑𝜑) (11)





y factible.



mili

a El

íptic

a Normal


t-Student

Fam

ilia

Arq

uim

edia

na

Clayton

𝜑𝜑 > −1

𝜑𝜑

𝜑𝜑 + 2

Gumbel

𝜑𝜑 > 1

𝜑𝜑 − 1

𝜑𝜑









de seguros.

Fam

ilia

Elíp

tica

Fam

ilia A

rqui

med

iana




diferentes ramos del sector asegurador, y en este sentido considerar varia-bles y funciones de distribución condicionales para el cálculo de reservas y primas. Se pueden encontrar elementos de cada región así como grupos de asegurados que presentan más reclamaciones, pero se han elegido las más recurrentes y fácilmente identificables, un análisis más detallado sobre este fenómeno excede los propósitos de esta investigación.

2. Metodología y evidencia empírica

En la primera etapa de análisis, se hace un estudio estadístico de la base de datos, la cual corresponde a un portafolio de 928 reclamaciones dentro del ramo Daños de la compañía de seguros Afirme Seguros, el periodo bajo análisis de esta investigación es del 8 de enero de 2017 al 30 de diciembre de 2018, lo cual representa 2 años de estudio. El análisis se llevó a cabo mediante la agrupación tanto del número de reclamaciones como de los montos (lo anterior debido a la periodicidad de los siniestros, había días donde no existían reportes de los mismos), la agrupación fue realizada de forma semanal, dando un total de 104 observaciones. La Gráfica 2 muestra el número de reclamaciones y sus respectivos montos.

A través de la Gráfica 2 se observa que en este caso no se cumple con lo estipulado por la teoría del modelo colectivo de riesgo; existen ciertos periodos de tiempo donde hay evidencia de dependencia temporal entre las variables monto de los siniestros y número de reclamaciones, especial-

Gráfica 2. Número de reclamaciones versus el monto de las reclamaciones


12

- Fuente: Elaboración propia.

Cabe decir que la razón principal por la cual se propone el uso de la metodología de cópulas para

el estudio de la dependencia entre el número de reclamaciones versus la severidad de las mismas,

es debido a que se presume que el comportamiento de estas variables no cuenta con características

de linealidad y por ende métodos tradicionales como el coeficiente de correlación de Pearson

únicamente subestimarían o sobreestimarían la relación existente entre estas variables (generando

así resultados espurios), así como al hecho de no verificar con certeza la independencia de las

mismas.

En una segunda etapa del análisis, se generan los estadísticos descriptivos de la información, lo

anterior para corroborar las características de no linealidad de las series número de reclamaciones

y monto de las mismas, se complementa el análisis mediante la estimación de diversos estadísticos

descriptivos que apoyan en la determinación de dicha característica de no normalidad. Es de suma

importancia identificar las variables que no cumplen con estricta linealidad dado que la propuesta

de esta investigación principalmente está sustentada en que el comportamiento de las variables es

dependiente pero también en que dichas variables tienen características de no linealidad y por ende

la estimación de su grado de dependencia debe ser vía mecanismos que capturen de mejor manera

estas características.

En la Tabla 2 se muestran algunos estadísticos descriptivos a partir de los cuales se puede aseverar

que la distribución estadística de las variables monto de las reclamaciones (Yi), así como el número

de las mismas (N), distan de la normalidad. El monto de las reclamaciones tiene una mayor

concentración de los datos alrededor de la media (leptocurtosis), así como un sesgo hacia la cola

181614121086420

$ 50,000,000.00$ 50,000,000.00$ 50,000,000.00$ 50,000,000.00$ 50,000,000.00

8 de

ene

ro 2

2017

12 d

e fe

brer

o de

201

7

19 d

e m

arzo

201

7

23 d

e ab

ril 2

017

28 d

e m

ayo

2017

2 de

julio

201

7

06 d

e ag

osto

201

7

10 d

e se

ptie

mbr

e 20

17

15 d

e oc

tubr

e 20

17

19 d

e no

viem

bre

2017

24 d

e di

ciem

bre

2017

28 d

e en

ero

de 2

018

04 d

e m

arzo

de

2018

08 d

e ab

ril d

e 20

18

13 d

e m

ayo

de 2

018

17 d

e ju

nio

de 2

018

22 d

e ju

lio d

e 20

18

26 d

e ag

osto

de

2018

30 d

e se

ptie

mbr

e de

2018

04 d

e no

viem

bre

de 2

018

09 d

e di

ciem

bre

de 2

018

N Y




mente se puede observar esto mediante la severidad. Particularmente, es posible observar este comportamiento dependiente a finales de año, don-de existe un incremento en ambas series a lo largo del periodo de tiempo analizado.

Cabe decir que la razón principal por la cual se propone el uso de la metodología de cópulas para el estudio de la dependencia entre el número de reclamaciones versus la severidad de las mismas, es debido a que se pre-sume que el comportamiento de estas variables no cuenta con caracterís-ticas de linealidad y por ende de métodos tradicionales como el coeficiente de correlación de Pearson únicamente subestimarían o sobreestimarían la relación existente entre estas variables (generando así resultados es-purios), así como al hecho de no verificar con certeza la independencia de las mismas.

En una segunda etapa del análisis, se generan los estadísticos des-criptivos de la información, lo anterior para corroborar las características de no linealidad de las series, número de reclamaciones y monto de las mismas, se complementa el análisis mediante la estimación de diversos estadísticos descriptivos que apoyan en la determinación de dicha carac-terística de no normalidad. Es de suma importancia identificar las varia-bles que no cumplen con estricta linealidad dado que la propuesta de esta investigación principalmente está sustentada en que el comportamiento de las variables es dependiente, pero también en que dichas variables tie-nen características de no linealidad y por ende la estimación de su grado de dependencia debe ser vía mecanismos que capturen de mejor manera estas características.

En la Tabla 2 se muestran algunos estadísticos descriptivos a partir de los cuales se puede aseverar que la distribución estadística de las variables monto de las reclamaciones (Yi), así como el número de las mismas (N), dis-tan de la normalidad. El monto de las reclamaciones tiene una mayor con-centración de los datos alrededor de la media (leptocurtosis), así como un sesgo hacia la cola derecha de la distribución. Por el contrario el número de reclamaciones tiene menor concentración en la media de su distribución lo que implica un comportamiento platicúrtico, asimismo, presenta también asimetría hacia la cola derecha aunque en menor medida que el monto de las reclamaciones.

En la tercera etapa del análisis, se procede a generar un análisis más es-pecífico de la normalidad de los datos. Por lo que respecta a una prueba de normalidad más específica, en esta investigación se hace uso de la prueba




de normalidad Jarque-Bera, se observa que este estadístico no es apropiado al 95% de confianza para el caso del monto de las reclamaciones; sin embar-go, para el caso del número de reclamaciones sí pasa dicha prueba, aunque

es importante resaltar que la asimetría y curtosis presentada por esta últi-ma variable no es la apropiada para una distribución normal.6

En la cuarta etapa del análisis, se generan las funciones marginales para la aplicación de las funciones cópulas, es importante señalar que para esto se hace un suavizamiento de los datos. Cabe recordar que en este trabajo se estipuló que el análisis será realizado mediante el uso de cópulas bivariadas, es decir, cópulas compuestas sólo por dos funciones de distribución margi-nal. En este sentido, es importante señalar que a partir de la característica de no linealidad de los datos, i.e., de la variable número de reclamaciones y de la variable monto de las reclamaciones, se propone una suavización de las funciones de distribución marginales que generan cada una de estas varia-bles, para un mejor ajuste de las características no lineales de estas mismas.

La suavización de las marginales propuesta en esta investigación, es generada a través de un ajuste vía una distribución Kernel. Cabe mencio-nar que la distribución Kernel es una representación no paramétrica de una función de densidad de una variable aleatoria y se utiliza cuando una distri-

6 El supuesto de comportamiento distribucional normal se cumple a partir de la verifi-cación de los siguientes estadísticos: Asimetría = 0, Curtosis=3 y Jarque-Bera < 5.99.

Tabla 2. Estadísticos descriptivos del número de reclamaciones y del monto de las reclamaciones

Fuente: elaboración propia, datos estimados con el software R.

Estadísticos Estadísticos descriptivos N Yi descriptivos N Yi

Media 8.9231 4762439.62 Curtosis -0.6056 10.2172

Error típico 0.2891 738425.627 Asimetría 0.1787 2.9121

Mediana 9 1623701.02 Rango 14 45944855.7

Moda 7 0 Mínimo 2 -16060

Desviación estándar 2.9484 7530493.37 Máximo 16 45928795.7

Varianza 8.6931 5.6708E+13 Jarque-Bera 2.2797 548.43




bución paramétrica no puede describir correctamente los datos. La distri-bución Kernel está definida por una función de suavizamiento y un valor de ancho de banda, que controlan la suavidad de la curva de densidad resultan-te.7 En sí, sea X una variable aleatoria, el estimador de densidad Kernel está dado por,

14

La suavización de las marginales propuesta en esta investigación, es generada a través de un ajuste

vía una distribución Kernel. Cabe mencionar que la distribución Kernel es una representación no

paramétrica de una función de densidad de una variable aleatoria y se utiliza cuando una

distribución paramétrica no puede describir correctamente los datos. La distribución Kernel está

definida por una función de suavizamiento y un valor de ancho de banda, que controlan la suavidad

de la curva de densidad resultante.7 En sí, sea 𝑋𝑋 una variable aleatoria, el estimador de densidad

Kernel está dado por,

𝑓𝑓ℎ(𝑥𝑥) = 1𝑛𝑛ℎ ∑ 𝐾𝐾 (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖

ℎ )𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 (11)

donde 𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 son los valores aleatorios de una función de distribución desconocida, 𝑛𝑛 es el

tamaño de la muestra, 𝐾𝐾(∙) es la función de suavizamiento Kernel y ℎ es el ancho de banda.

En este trabajo para el suavizamiento Kernel se emplea una función de distribución Gaussiana, por

ende el ajuste (suavización) a las funciones de distribución marginal, es estipulado como un ajuste

Kernel Gausiano.

Determinadas las funciones marginales a ser utilizadas en la metodología de cópula, es necesario

recordar qué cópulas serán estimadas en este trabajo. Estas cópulas son las cópulas bivariadas

establecidas en el apartado de metodología de este trabajo, y son las cópulas pertenecientes a la

familia de cópulas elípticas: la cópula normal y la cópula t-Student, y a la familia de cópulas

arquimedianas: la cópula Clayton, la cópula Gumbel y la cópula Frank. Estas dos familias se han

elegido por las características antes mencionadas en el marco teórico.

En la quinta etapa del análisis, para cada cópula propuesta se estiman tanto su parámetro, el cual

funge como indicador del nivel de dependencia que se tiene entre las variables número de

reclamaciones y monto de dichas reclamaciones, así como también su parámetro de concordancia

Tau de Kendall, el cual funge también como un indicador del grado de dependencia entre las

variables antes mencionadas, pero en este caso éste es un indicador que contempla una estimación

más refinada al ser una estimación estipulada en rangos, cabe decir que el parámetro de

concordancia Tau de Kendall estimado particularmente en las cópulas arquimedianas a

7 Para mayor referencia véase, Hill (1985)

(11)

donde

14









ℎ )𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 (11)





Kernel Gausiano.















son los valores aleatorios de una función de distribución desconocida,

14









ℎ )𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 (11)





Kernel Gausiano.















es el tamaño de la muestra,

14









ℎ )𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 (11)





Kernel Gausiano.















es la función de suavizamiento Kernel y

14









ℎ )𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 (11)





Kernel Gausiano.















es el ancho de banda. En este trabajo para el suavizamiento Kernel se emplea una función de

distribución Gaussiana, por ende el ajuste (suavización) a las funciones de distribución marginal, es estipulado como un ajuste Kernel Gausiano.

Determinadas las funciones marginales a ser utilizadas en la metodo-logía de cópula, es necesario recordar qué cópulas serán estimadas en este trabajo. Estas cópulas son las cópulas bivariadas establecidas en el apartado de metodología de este trabajo, y son las cópulas pertenecientes a la fami-lia de cópulas elípticas: la cópula normal y la cópula t-Student, y a la familia de cópulas arquimedianas: la cópula Clayton, la cópula Gumbel y la cópula Frank. Estas dos familias se han elegido por las características antes men-cionadas en el marco teórico.

En la quinta etapa del análisis, para cada cópula propuesta se estiman tanto su parámetro, el cual funge como indicador del nivel de dependencia que se tiene entre las variables número de reclamaciones y monto de dichas reclamaciones, así como también su parámetro de concordancia Tau de Ken-dall, el cual funge también como un indicador del grado de dependencia en-tre las variables antes mencionadas, pero en este caso éste es un indicador que contempla una estimación más refinada al ser una estimación estipu-lada en rangos, lo cual quiere decir que para su estimación se requiere que los datos de este indicador estén basados en rangos (bloques de datos) y no en los datos originales (datos en crudo, datos no ordenados en bloques). De

7 Para mayor referencia véase, Hill (1985).




este modo, el parámetro de concordancia Tau de Kendall se ve poco afecta-do ante la presencia de pequeños valores atípicos (extremos) y pone mayor énfasis en la conjunción de los bloques; cabe decir, las variables que tengan la característica de presentar clusters debiesen ser medidas a través de un indicador que capture de mejor manera dichas características. En este tra-bajo, el parámetro de concordancia Tau de Kendall estimado vía las cópu-las arquimedianas a comparación de su respectivo parámetro cópula, sirve para generar una interpretación símil de la dependencia entre las variables analizadas.

La Tabla 3 muestra las estimaciones de los parámetros y de los Tau s de Kendall de las cópulas elípticas y arquimedianas propuestas. Inicialmente, se observa en el caso elíptico que los parámetros estimados para la cópula normal y la cópula t-Student distan de ser cero o cercanos a cero, siendo va-lores alrededor del 0.2. Asimismo, realizando un análisis de la dependencia pero visto a través del parámetro de concordancia Tau de Kendall, es posible

Tabla 3. Parámetros y Tau’s de Kendall de las Cópulas Elípticas y Arquimedianas generadas entre el número de reclamaciones y el monto de las reclamaciones

Fuente: elaboración propia, datos estimados con el software R.

Cópulas Arquimedianas

Cópula Clayton Cópula Frank Cópula Gumbel

Parámetro Tau de Kendall Parámetro Tau de Kendall Parámetro Tau de Kendall

0.654 0.246 1.733 0.187 1.1564 0.135

Cópulas Elípticas

Cópula Normal Cópula t-Student

Parámetro Tau de Kendall Parámetro Tau de Kendall

0.211 0.135 0.2547 0.164

observar que todos estos resultados distan de ser cero o en su caso cerca-nos a cero, cabe decir que el parámetro de concordancia Tau de Kendall nos permite hacer una interpretación símil entre todas las cópulas estimadas teniendo un estimador

15

comparación de su respectivo parámetro cópula, sirve para generar una interpretación símil de la

dependencia entre las variables analizadas.

La Tabla 3 muestra las estimaciones de los parámetros y de los Tau´s de Kendall de las cópulas

elípticas y arquimedianas propuestas. Inicialmente, se observa en el caso elíptico que los

parámetros estimados para la cópula normal y la cópula t-Student distan de ser cero o cercanos a

cero, siendo valores alrededor del 0.2. Asimismo, realizando un análisis de la dependencia pero

visto a través del parámetro de concordancia Tau de Kendall, es posible observar que todos estos

resultados distan de ser cero o en su caso cercanos a cero, cabe decir que el parámetro de

concordancia Tau de Kendall nos permite hacer una interpretación símil entre todas las cópulas

estimadas teniendo un estimador 𝜏𝜏 ∈ [−1,1] el cual tiene una interpretación similar al parámetro

de correlación de Pearson, 𝜌𝜌 ∈ [−1,1]; es decir, valores cercanos al 1, i.e., (1 > 𝜏𝜏 > 0.7),

representan una buena relación positiva; valores cercanos al -1, i.e., (−1 > 𝜏𝜏 > −0.7), representan

una buena relación negativa; valores cercanos al cero, i.e., (0 > 𝜏𝜏 > −0.3) ó (0 < 𝜏𝜏 < 0.3), representan poca relación; y el valor cero, i.e., (𝜏𝜏 = 0), representa nula relación.

Tabla 3. Parámetros y Tau’s de Kendall de las Cópulas Elípticas y Arquimedianas

generadas entre el número de reclamaciones y el monto de las reclamaciones

Cópulas Elípticas Cópula Normal Cópula t-Student Parámetro Tau de Kendall Parámetro Tau de Kendall 0.211 0.135 0.2547 0.164

Cópulas Arquimedianas Cópula Clayton Cópula Frank Cópula Gumbel

Parámetro Tau de Kendall Parámetro Tau de Kendall Parámetro Tau de Kendall 0.654 0.246 1.733 0.187 1.1564 0.135

Fuente: Elaboración propia, datos estimados con el software R.

Los resultados mostrados en la Tabla 3 confirman que existe dependencia entre las variables monto

de las reclamaciones 𝑌𝑌𝑖𝑖 y número de estas reclamaciones 𝑁𝑁; aunque esta dependencia es poca dado

que los valores Tau de Kendall mostrados en la Tabla 3 son valores menores al 0.25, la dependencia

existe, no es nula o cerca a ser nula. De los resultados mostrados en la Tabla 3 resalta el caso del

parámetro Tau de Kendall de la cópula Clayton siendo un valor alrededor del 0.25, lo cual indica

que se tiene dependencia asimétrica, porque aunque ésta sea pequeña, existe, por lo que se tiene

mayor concentración de valores en la cola izquierda generada a través de esta función cópula.

el cual tiene una interpretación similar al parámetro de correlación de Pearson,

15



























; es decir, valores cercanos




al

15



























, representan una buena relación positiva; valores cercanos al

15



























, representan una buena relación negati-va; valores cercanos al cero,

15



























, represen-tan poca relación; y el valor cero,

15



























, representa nula relación.Los resultados mostrados en la Tabla 3 confirman que existe dependen-

cia entre las variables monto de las reclamaciones

15



























y número de estas re-clamaciones

15



























; aunque esta dependencia es poca dado que los valores Tau de Kendall mostrados en la Tabla 3 son valores menores al 0.25, la depen-dencia existe, no es nula o cerca a ser nula. De los resultados mostrados en la Tabla 3 resalta el caso del parámetro Tau de Kendall de la cópula Clayton siendo un valor alrededor del 0.25, lo cual indica que se tiene dependencia asimétrica, porque aunque ésta sea pequeña, existe, por lo que se tiene ma-yor concentración de valores en la cola izquierda generada a través de esta función cópula.

Complementando el estudio de la dependencia vía cópulas entre las va-riables monto de las reclamaciones

16

Complementando el estudio de la dependencia vía cópulas entre las variables monto de las

reclamaciones 𝑌𝑌𝑖𝑖 y número de estas reclamaciones 𝑁𝑁, en la sexta etapa del análisis se hacen mil

simulaciones en tres dimensiones con las respectivas funciones de densidad cópula que fueron

propuestas y estimadas, para de esta manera tener un panorama visual del comportamiento de

dichas funciones cópula. La Gráfica 3 muestra esta realización de mil simulaciones en 3

dimensiones a través del software estadístico R de cada una de las cópulas estimadas: la cópula

Normal, la cópula t-Student, la cópula Clayton, la cópula Gumbel, y la cópula Frank.

La manera de determinar visualmente vía la función de densidad cópula que se tiene dependencia

entre las variables monto de las reclamaciones 𝑌𝑌𝑖𝑖 y número de reclamaciones 𝑁𝑁, es a través de la

visualización no completa de la función de densidad cópula, en otras palabras, la independencia

entre variables aleatorias vista a través de una función de densidad conjunta se comprueba cuando

el espacio está completamente saturado, en este caso, el caso de tres dimensiones sería que el cubo

de densidad generado esté completamente lleno.

y número de estas reclamaciones

16














, en la sexta etapa del análisis se hacen mil simulaciones en tres dimensiones, con las respectivas funciones de densidad cópula que fueron propuestas y estimadas, para de esta manera tener un panorama visual del comporta-miento de dichas funciones cópula. La Gráfica 3 muestra esta realización de mil simulaciones en 3 dimensiones a través del software estadístico R de cada una de las cópulas estimadas: la cópula Normal, la cópula t-Student, la cópula Clayton, la cópula Gumbel, y la cópula Frank.

La manera de determinar visualmente vía la función de densidad cópu-la que tiene dependencia entre las variables monto de las reclamaciones

16














y número de reclamaciones

16














, es a través de la visualización no completa de la función de densidad cópula, en otras palabras, la independencia en-tre variables aleatorias vista a través de una función de densidad conjunta se comprueba cuando el espacio está completamente saturado, en este mo-mento, el caso de tres dimensiones sería que el cubo de densidad generado esté completamente lleno.

Mediante la Gráfica 3 se puede reafirmar que los resultados obtenidos en esta investigación indican que existe dependencia entre las variables número de reclamaciones

16














y monto de las reclamaciones

16














, ya que se tiene que ninguno de los cubos en donde se plasman las funciones de den-sidad cópula propuestas tiene la característica de estar saturado, todos los gráficos de densidad de las cópulas estimadas muestran diversas estruc-turas de dependencia, i.e., diversas curvaturas; las cópulas elípticas y la




Gráfica 3. Densidad de las Cópulas Elípticas y Arquimedianasgeneradas entre el número de reclamaciones y el monto de las reclamaciones

Fuente: elaboración propia, simulaciones de las funciones de densidad cópula realizadas con el software R.

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Gráfica 3. Densidad de las Cópulas Elípticas y Arquimedianas generadas entre el número de reclamaciones y el monto de las reclamaciones

Densidad Cópulas Elípticas Densidad Cópula Normal Densidad Cópula t

Densidad Cópulas Arquimedianas Densidad Cópula Clayton Densidad Cópula Frank Densidad Cópula Gumbel

Fuente: Elaboración propia, simulaciones de las funciones de densidad cópula realizadas con el software R.

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Densidad Cópulas Elípticas

Densidad Cópula Normal

Densidad Cópula t




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17





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Densidad Cópula Clayton

Densidad Cópula Frank

Densidad Cópula Gumbel

Densidad Cópulas Arquimedianas

Fuente: elaboración propia, simulaciones de las funciones de densidad cópula realizadas con el software R.




cópula Frank muestran mayor concentración de densidad en las esquinas del cubo, y las cópulas Clayton y Gumbel muestran mayor concentración en la esquina izquierda y derecha respectivamente, lo cual es una carac-terística especifica de estas cópulas dado que éstas se centran en analizar dichos extremos.

En síntesis, los resultados obtenidos en esta investigación confirman que existe dependencia entre las variables monto de las reclamaciones

16














y el número de estas reclamaciones

16














, del ramo daños de la compañía de se-guros Afirme Seguros en el periodo de 2017 a 2018. Aunque cabe decir, que si bien esta dependencia es pequeña, dado los resultados presentados, sí exis-te, no es nula o cerca a ser nula, lo cual es el objetivo de este trabajo.

Conclusiones

El objetivo de este trabajo fue demostrar que bajo ciertas condiciones hay evidencia de dependencia entre las variables número de reclamaciones

18

Mediante la Gráfica 3 se puede reafirmar que los resultados obtenidos en esta investigación

indican que existe dependencia entre las variables número de reclamaciones 𝑁𝑁 y monto de

las reclamaciones 𝑌𝑌𝑖𝑖, ya que se tiene que ninguno de los cubos en donde se plasman las

funciones de densidad cópula propuestas tiene la característica de estar saturado, todos los

gráficos de densidad de las cópulas estimadas muestran diversas estructuras de dependencia,

i.e., diversas curvaturas; las cópulas elípticas y la cópula Frank muestran mayor

concentración de densidad en las esquinas del cubo y las cópulas Clayton y Gumbel muestran

mayor concentración en la esquina izquierda y derecha respectivamente, lo cual es una

característica especifica de estas cópulas dado que éstas se centran en analizar dichos

extremos.

En síntesis, los resultados obtenidos en esta investigación confirman que existe dependencia

entre las variables monto de las reclamaciones 𝑌𝑌𝑖𝑖 y número de estas reclamaciones 𝑁𝑁, del

ramo daños de la compañía de seguros Afirme Seguros en el periodo del 2017 al 2018.

Aunque cabe decir, que si bien esta dependencia es pequeña, dado los resultados presentados,

sí existe, no es nula o cerca a ser nula, lo cual es el objetivo de este trabajo.

Conclusiones

El objetivo de este trabajo fue demostrar que bajo ciertas condiciones hay evidencia de

dependencia entre las variables número de reclamaciones 𝑁𝑁 y el monto de las reclamaciones

𝑌𝑌𝑖𝑖, reflejando que existen ciertos factores que intervienen en el grado de siniestralidad para

una compañía de seguros que hacen que la distribución de ambas variables esté relacionada

en determinados periodos de tiempo. Para demostrar esto se llevó a cabo un análisis del ramo

daños, Automóviles de Servicio Público, de la compañía de seguros Afirme Seguros tomando

como periodo de análisis los años 2017 y 2018.

La estimación y comprobación de la dependencia se realizó a través de la metodología de

cópulas, dicha metodología es una herramienta de gran magnitud en el análisis de

dependencia ya que a diferencia de la medición tradicional (la correlación de Pearson), ésta

estima la dependencia asintótica, es decir, pone énfasis dependiendo de qué cópulas se trate,

particularmente estimando la dependencia en los extremos de las funciones multivariadas

generadas a través de dichas cópulas. La metodología de cópulas se propuso y se utilizó

y el monto de las reclamaciones

18










extremos.






Conclusiones














, reflejando que existen ciertos factores que intervienen en el grado de siniestralidad para una compañía de seguros, que hacen que la distribución de ambas variables esté relacionada en determinados periodos de tiempo. Para demostrar esto se llevó a cabo un análisis de ramos de Daños, Automóviles de Servicio Público, de la compañía de seguros Afirme Seguros tomando como periodo de análisis los años 2017 y 2018.

La estimación y comprobación de la dependencia se realizó a través de la metodología de cópulas, dicha metodología es una herramienta de gran mag-nitud en el análisis de dependencia ya que a diferencia de la medición tra-dicional (la correlación de Pearson), ésta estima la dependencia asintótica, es decir, pone énfasis dependiendo de qué cópulas se trate, particularmente estimando la dependencia en los extremos de las funciones multivariadas generadas a través de dichas cópulas. La metodología de cópulas se propuso y se utilizó considerando las características de los datos analizados; otro as-pecto considerado, fue que actualmente dicha metodología es ampliamente utilizada en el análisis de dependencia.

Los resultados obtenidos en esta investigación confirmaron que existe dependencia entre las variables monto de las reclamaciones

18










extremos.






Conclusiones














y número de estas reclamaciones

18










extremos.






Conclusiones














, en el caso específico del ramo daños de la compañía de seguros Afirme Seguros en los años 2017 al 2018. Aunque, dicha depen-




dencia es poca, dado que los valores estimados tau de Kendall están por de-bajo del 0.25 para todas las cópulas analizadas, dicha dependencia existe.

Asimismo, un resultado esencial de esta investigación es proponer que en la estimación del grado de exposición al riesgo de cualquier compañía de seguros (riesgo en el modelo colectivo), debe considerarse una densidad conjunta entre la severidad de los siniestros (reclamaciones) y el número de estos mismos. Por comodidad, la mayoría de las investigaciones suponen que existe independencia, para la generación de los primeros momentos del modelo colectivo de riesgo, pero hay situaciones y portafolios donde esto no se cumple.

La propuesta es que los administradores de riesgo en cualquier compa-ñía de seguros consideren estas singularidades, puesto que de eso depende el cobro de primas, reaseguro y reservas. Igualmente, la importancia de es-te análisis, reside en incluir esta perspectiva en la evaluación de primas y cálculo de riesgos para cualquier tipo de seguro. Debe considerarse que el tipo de seguro analizado en esta investigación, no es el único tipo de seguro, existe una amplia gama de seguros (seguro de vida, seguro de gastos médi-cos, etcétera). Por ende, cabe mencionar que la metodología utilizada en este artículo podría ser aplicada a otros tipos de seguros.

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Teorías de paridad y valuación de dos monedas con descuento de flujos…

* Departamento de Ciencia de la Administración, Centro de Estudios en Administración, Universidad Nacional del Sur. Centro de Estudios para Análisis Financiero y Facultad de Ciencias Económicas, Universidad de Buenos Aires.

Departamento de Licenciatura en Organización Industrial, Facultad Regional Bahía Blanca, Universidad Tecnológica Nacional, Argentina. Correo electrónico: [email protected], ORCID: 0000-0003-1759-6448

** Instituto Universitario Escuela Argentina de Negocios, Buenos Aires, Argentina. *** Instituto Universitario Escuela Argentina de Negocios, Buenos Aires, Argentina.

Teorías de paridad y valuación de dos monedas con descuento de flujos mediante lógica borrosa

Parity Theories and Two Currencies Valuation with Discounted Cash Flow using Fuzzy Logic

Gastón S. Milanesi*

Germán Weins**

Daniel Pequeño***

(Fecha de recepción: 29 de junio de 2019, Fecha de aceptación: 15 de enero de 2020)

Resumen

El modelo descuento de flujos de fondos debe incorporar, en sistemas económicos emergentes, un marco conceptual para el tratamiento de la inflación y valuación en dos monedas. El punto de partida son las teorías de paridad en los tipos de interés, poder de compra y efecto Fisher, añadiendo lógica borrosa para proyectar variables inciertas: tasas de interés, inflación, tipo de cambio y cantidad de producción siendo este uno de los principales aportes de este artículo. Además el trabajo adaptó las ecua-ciones del modelo para planillas de cálculo dentro del entorno de MatLab® mediante matrices para números borrosos. El trabajo se estructura de la siguiente manera: se desarrollan las teorías de paridad y las ecuaciones del modelo en el marco de la lógica

URL: estocastica.azc.uam.mxVolumen 10, número 1, enero-junio 2020, pp. 27-76


28 Volumen 10, número 1, enero - junio 2020, pp. 27-76

Gastón S. Milanesi, Germán Weins y Daniel Pequeño

Introducción

La valuación de empresas mediante el modelo de descuento de flujos de fondos presenta importantes desafíos, como: proyección de las magnitu-

des financieras, determinación de una tasa apropiada de descuento, defini-ción del horizonte de proyección explícito y el planteo del valor terminal o de continuidad. Cuando el contexto se caracteriza por su condición de emergen-te, inestabilidad en precios y volatilidad en el tipo de cambio de la moneda doméstica en relación a la moneda extranjera o “dura”,1 requiere considerar

borrosa. Su funcionamiento es ilustrado con un caso de una empresa radicada en una economía emergente e inflacionaria como Argentina utilizando planillas de cálculo. Seguidamente es explicada la programación en MatLab®, adaptando los números borrosos mediante matrices y tensores. Finalmente, los resultados obtenidos demos-traron la consistencia de las teorías de la paridad, incorporando lógica borrosa para el tratamiento de la incertidumbre, en el marco de un modelo integral de descuento de flujos de fondos de dos monedas.Claqsificación JEL: G30 G32Palabras Claves: teorías de paridad, valuación, matemáticas borrosas.

AbstRAct

The discounted cash flow model must incorporate, in emerging economic systems, a conceptual framework to study inflation and its effects in the valuation of two currencies. The starting point are the Parity Theories and the Fisher Effect, adding fuzzy logic to project uncertainty variables: interest rate, inflation, exchange rates and production. This addition is one of the main contributions of this paper. Moreover, this paper adapted the model´s equation to be used with spreadsheets within the MatLab environment, using matrixes for fuzzy numbers. The structure of the paper is as follows: First, Parity Theories and model´s equation within a fuzzy logic framework are developed. Then, its operation is applied to a firm located in an emerging and inflationary economy like Argentina, using spreadsheets. Next, MatLab programming is explained, adapting fuzzy numbers by matrixes and tensors. Finally, the results obtained showed consistency with the Parity Theories, adding fuzzy logic to treat uncertainty, within a comprehensive framework of discounted cash flow model applied to two currencies.JEL Classification: G30 G32Keywords: Parity Theories, Valuation, Fuzzy Logic.

1 En economía se conoce a la moneda como “dura”, cuando ésta reúne condiciones de: irrestricto poder de cancelación de obligaciones y sirve como reserva de valor, no depreciándose en el futuro. Estas monedas suelen contar con demanda eleva-da, tendiendo a aumentar su tipo de cambio debido a su alta demanda en relación a la oferta. En la mayoría de los países de América Latina la moneda dura es el dólar




el impacto de la inflación en el modelo de valuación. En especial en las pro-yecciones de las magnitudes financieras y estimación de las tasas de descuen-to, dentro de un marco conceptual coherente e integral. En temas financieros entre naciones, las relaciones o teorías de paridad constituyen las bases teó-ricas para explicar las relaciones de precio de tasas de interés, tipo de cam-bio e inflación esperada entre dos economías (Levy, 1997), (Taylor y Taylor, 2004), (Emery y Finnerty, 2007). En tal sentido, la literatura especializada abordó los temas vinculados al descuento de flujos de fondos, valuación en dos monedas y los efectos de la inflación, de manera específica, es decir, ana-lizando parcialmente los efectos sobre las variables del modelo (Modigliani y Cohn, R, 1984; Copeland, Koller y Murrin, 2000; Velez Pareja, 2006; Titman y Grinblatt, 2002; Damodaran, 2006; Emery y Finnerty, 2007; Bradley y Gregg, 2008; Pratt y Grabowski; 2008; Tahn y Velez Pareja, 2011; Fornero, 2012; López Dumrauf, 2014). En términos generales, los trabajos citados ponen de manifiesto la importancia de considerar el impacto de la inflación en la pro-yección de las magnitudes financieras y estimación de tasas, a partir de los supuestos de las relaciones de paridad entre tasas de interés, poder adquisi-tivo y precios. No obstante, Bradley y Gregg (2008) y Fornero (2012), se con-centran en los errores de especificación del modelo de descuento de flujos de fondos al no considerar el impacto de la inflación, por ejemplo en tasas de crecimiento. Por otro lado, López Dumrauf (2014) explica un procedimiento general para estimar tasas mediante curvas de rendimientos y valuar en dos monedas.

En base a lo expuesto, el presente trabajo tiene como objetivo y prin-cipal motivación desarrollar un modelo integral de valuación en contextos inflacionarios y en dos monedas, a partir del descuento de flujos de fondos e incorporando la lógica fuzzy (matemáticas borrosas) en el planteo de las teoría de la paridad. El modelo permite calcular el número borroso triangu-lar (NBT) correspondiente al valor intrínseco de la firma, en dos monedas, bajo equilibrio y considerando las relaciones contenidas en las teorías de paridad.

El punto de partida son los trabajos de Milanesi, (2017 a) y b)), conjugan-do operaciones de matemáticas de la lógica borrosa para el tratamiento de la incertidumbre de variables nominales (inflación, tasas, tipos de cambio y

estadounidense y el euro, en contraposición a las monedas domésticas (débiles); sirviendo las primeras como referencia de valor de transacciones vinculadas a in-versiones de largo plazo.




precios) y variables reales (cantidad de producción), (Zadeh, 1965; Dubois y Prade, 1980; Kaufmann, Gil Aluja y Terceño, 1994; Mallo et al. Martínez, 2004). Por un lado se aporta una herramienta que se suma al listado de mo-delos financieros basados en matemática borrosa para modelar la incerti-dumbre (Buckley, 1987; Chiu y Park, 1994 y 1997; Carlsson y Fuller, 2001 y 2003; Fuller y Majlender, 2003; Muzzioli y Torricelli, 2004; Rebiaz, 2007; Carlsson et al. 2007; Garcia Sastre y Roselló Miralles, 2007; Liao y Ho, 2010; Zdnek, 2010; Milanesi, 2013 y 2014; Guerra, Magni y Stefanini, 2014; Milane-si, 2015 y 2016), entre otros. Estos trabajos toman los modelos financieros de valuación, ya sea métricas tradicionales, descuento de flujos de fondos y opciones reales, adaptándolos a las matemáticas borrosas. En tal sentido, la lógica fuzzy es planteada como alternativa para tratar la ambigüedad en contextos de alta volatilidad y con falta de información.

Otro aporte consiste en plantear las ecuaciones del modelo con alge-bra matricial y tensores con el propósito de presentar los argumentos pa-ra programar en el entorno de MatLab, conforme se establece en el Anexo A.3. La estructura del trabajo es la siguiente: en el apartado 1 se desarrolla el conjunto de ecuaciones del modelo de valuación. En primer término se presentan las teorías de paridad y a continuación la valuación con descuen-to de flujos de fondos y matemática borrosas. Esto abarca la construcción del número borroso triangular (NBT) para la proyección de variables reales (cantidades) y nominales (tasas de interés, tipo de cambio futuro e inflación esperada), insumo para construir el NBT de magnitudes financieras (flujos) y tasas. En la sección 2, a partir del método de casos, se presentan las bases del modelo a implementar. La sección 3 expone los resultados obtenidos em-pleando planillas de cálculo, las cuales son desarrolladas en el anexo B. Al final, se presentan las principales conclusiones. El anexo A en sus secciones 1 y 2 se exponen nociones de operaciones matriciales con matemática bo-rrosa. La sección 3 del anexo presenta los argumentos para implementar con MatLab, la programación de números borrosos mediante álgebra matricial.

1. Marco teórico: desarrollo del modelo

En la siguiente sección se desarrolla el modelo. En primer lugar, se plantean los antecedentes relativos a las teorías de paridad, a continuación, se muestra la secuencia lógica para proyectar el NBT correspondiente al valor de la empresa mediante el método de descuento de flujos de fondos, con inflación y para dos monedas.




1.1. Teorías de la paridad

Se presentan las relaciones conocidas como paridad, las cuales, en los modelos de valuación en finanzas internacionales determinan, dadas las condiciones de equilibrio de mercado, las relaciones de valor correspondientes a tasas de interés, inflación y tipo de cambio esperado, para dos economías. Estas relaciones son:

a) Paridad en la tasa de interés (TPI): manifiesta la relación entre tasas nominales de interés local

5

con matemática borrosa. La sección 3 del anexo presenta los argumentos para implementar

con MatLab, la programación de números borrosos mediante álgebra matricial.

1. Marco teórico: Desarrollo del modelo.

En la siguiente sección se desarrolla el modelo. En primer lugar, se plantean los antecedentes

relativos a las teorías de paridad, a continuación, se muestra la secuencia lógica para proyectar

el NBT correspondiente al valor de la empresa mediante el método de descuento de flujos de

fondos, con inflación y para dos monedas.


Se presentan las relaciones conocidas como paridad, las cuales, en los modelos de valuación

en finanzas internacionales determinan, dadas las condiciones de equilibrio de mercado, las

relaciones de valor correspondientes a tasas de interés, inflación y tipo de cambio esperado,

para dos economías. Estas relaciones son:

a) Paridad en la tasa de interés (TPI): manifiesta la relación entre tasas nominales de interés

local (𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑,𝑛𝑛) y extranjera (𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑒𝑒,𝑛𝑛) explicando la relación entre el tipo de cambio de contado

(spot); (𝑆𝑆) y el tipo de cambio futuro nominal (𝐹𝐹t,𝑛𝑛) .

𝐹𝐹𝑡𝑡,𝑛𝑛𝑆𝑆 = (1+𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑,𝑛𝑛)

(1+𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑒𝑒,𝑛𝑛) (1)

b) Paridad en el poder de compra (PPC): La ley del precio único indica que un mismo bien,

comercializado en dos mercados diferentes, debe valer lo mismo en términos de poder

adquisitivo de la población. La diferencia nominal en el valor del bien se explica por el tipo

de cambio. El tipo de cambio es un precio dentro de la economia, bajo esta teoría, este precio

se ajusta por el diferencial de tasas de inflación esperadas entre los dos países (Emery y

Finnerty, 2007), 𝐸𝐸[𝑆𝑆𝑡𝑡,𝑛𝑛]

𝑆𝑆 = (1+𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑)(1+𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑒𝑒) (2)

Donde 𝐸𝐸[𝑆𝑆𝑡𝑡,𝑛𝑛] representa el tipo de cambio esperado. A partir de la ecuación 2 se puede inferir

la tasa de inflación para un periodo,

𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑 = 𝐸𝐸[𝑆𝑆𝑡𝑡,𝑛𝑛]𝑆𝑆 × (1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑒𝑒) − 1 (3)

y extranjera

5




























explicando la relación entre el tipo de cambio de contado (spot);

5




























y el tipo de cambio futuro no-minal

5




























.

5




























(1)

b) Paridad en el poder de compra (PPC): La ley del precio único indica que un mismo bien, comercializado en dos mercados diferentes, debe valer lo mismo en términos del poder adquisitivo de la población. La diferencia nominal en el valor del bien se explica por el tipo de cambio. El cual es un precio dentro de la economía, bajo esta teoría, este precio se ajusta por el diferencial de tasas de inflación esperadas entre los dos países (Emery y Finnerty, 2007),

5




























(2)

Donde

5




























representa el tipo de cambio esperado. A partir de la ecuación 2 se puede inferir la tasa de inflación para un periodo,

5



























𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑 = 𝐸𝐸[𝑆𝑆𝑡𝑡,𝑛𝑛]𝑆𝑆 × (1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑒𝑒) − 1 (3) (3)

c) Teoría de expectativas del tipo de cambio esperado contado y futuro: In-dica que en equilibrio de mercado se cumple la convergencia entre el tipo de




cambio futuro

6

c) Teoría de expectativas del tipo de cambio esperado contado y futuro: Indica que en

equilibrio de mercado se cumple la convergencia entre el tipo de cambio futuro 𝐹𝐹𝑡𝑡,𝑛𝑛 y el tipo

de cambio contado esperado para el horizonte del contrato futuro, tal que;

𝐸𝐸[𝑆𝑆𝑡𝑡,𝑛𝑛] = 𝐹𝐹𝑡𝑡,𝑛𝑛 = 𝑆𝑆 × (1+𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑,𝑛𝑛)(1+𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑒𝑒,𝑛𝑛) (4)

d) Efecto Fisher: Bajo el nombre de efecto Fisher2, se supone que el mercado revela

información sobre tasas de interés nominales, al incorporar las expectativas inflacionarias en

ellas. Bajo este supuesto se formaliza la distinción entre tasas de interés real y nominal,

(Argandoña, 2013), siendo la tasa esperada nominal;

𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑,𝑛𝑛 = (𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑) × [𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 × 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑] (5)

Por lo tanto, la diferencia entre las tasas de interés de dos economías se determina mediante

los diferenciales de inflación (1+𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑,𝑛𝑛)(1+𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑒𝑒,𝑛𝑛) = (1+𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑)

(1+𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑒𝑒). En términos reales la tasa queda expresada

como; (1+𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑,𝑛𝑛)(1+𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑) = (1+𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑒𝑒,𝑛𝑛)

(1+𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑒𝑒) = 1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 (6)

El efecto Fisher supone que la tasa real entre ambos países 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 , debe ser similar y converger.

La ecuación de arbitraje de Fisher entre tasas nominales y reales es,

(1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑)(1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟) = (1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑,𝑛𝑛) (7)

La tasa real es un dato no observable, que debe despejarse de la tasa nominal, siendo 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑,𝑛𝑛 =𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑 + (𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 × 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑)3

1.2. Descuento de flujos de fondos con dos monedas y las matemáticas borrosas:

A continuación se desarrolla el modelo propuesto. Se parte del supuesto que el

comportamiento ambiguo, fuente de incertidumbre, corresponde a variables reales como las

cantidades y nominales como la inflación. El siguiente gráfico expone la secuencia lógica del

2 Irving Fisher planteó el hecho que las tasas nominales de interés reflejan la expectativa colectiva inflacionaria, y que dicha tasa compensa a los agentes de los efectos negativo de la inflación sobre el rendimiento real de sus inversiones (Fisher, 1965). 3 Si partimos de una tasa de interés real 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 = (1+𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑,𝑛𝑛)

(1+𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑) ; despejando en función de la tasa nominal, se tiene

𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑,𝑛𝑛 = 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑 + (𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 × 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑), o 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑,𝑛𝑛 = 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑(1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟). La expresión anterior indica que la tasa nominal varía en función de las expectativas inflacionarias, sin perjuicio que la tasa real se mantenga constante. Para dos periodos de tiempo es 𝑟𝑟𝑑𝑑,𝑛𝑛,1 − 𝑟𝑟𝑑𝑑,𝑛𝑛,0 = 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 + 𝜋𝜋𝑑𝑑,1(1 + 𝑟𝑟𝑟𝑟) − 𝑟𝑟𝑟𝑟 + 𝜋𝜋𝑑𝑑,0(1 + 𝑟𝑟𝑟𝑟), y reagrupando términos se obtiene 𝑟𝑟𝑑𝑑,𝑛𝑛,1 − 𝑟𝑟𝑑𝑑,𝑛𝑛,0 = (𝜋𝜋𝑡𝑡,1 − 𝜋𝜋𝑡𝑡,0) × (1 + 𝑟𝑟𝑟𝑟). Consecuentemente, al variar la tasa de inflación de un periodo a otro, la tasa nominal se debe modificar proporcionalmente a dicha variación con el fin de mantener constantes las tasas reales.

y el tipo de cambio contado esperado para el horizonte del contrato futuro, tal que;

6


























(4)

d) Efecto Fisher: Bajo el nombre de efecto Fisher,2 se supone que el mer-cado revela información sobre tasas de interés nominales, al incorporar las expectativas inflacionarias en ellas. Bajo este supuesto se formaliza la dis-tinción entre tasas de interés real y nominal, (Argandoña, 2013), siendo la tasa esperada nominal;

6


























(5)

Por lo tanto, la diferencia entre las tasas de interés de dos economías se determina mediante los diferenciales de inflación

6


























. En términos reales la tasa se expresa como;

6


























(6)

El efecto Fisher supone que la tasa real entre ambos países

6


























, debe ser similar y converger. La ecuación de arbitraje de Fisher entre tasas nominales y reales es,

6


























(7)

La tasa real es un dato no observable, que debe despejarse de la tasa no-minal, siendo

6

























𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑,𝑛𝑛 = 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑 + (𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 × 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑), o 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑,𝑛𝑛 = 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑(1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟). La expresión anterior indica que la tasa nominal varía en función de las expectativas inflacionarias, sin perjuicio que la tasa real se mantenga constante. Para dos periodos de tiempo es 𝑟𝑟𝑑𝑑,𝑛𝑛,1 − 𝑟𝑟𝑑𝑑,𝑛𝑛,0 = 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 + 𝜋𝜋𝑑𝑑,1(1 + 𝑟𝑟𝑟𝑟) − 𝑟𝑟𝑟𝑟 + 𝜋𝜋𝑑𝑑,0(1 + 𝑟𝑟𝑟𝑟), y reagrupando términos se obtiene 𝑟𝑟𝑑𝑑,𝑛𝑛,1 − 𝑟𝑟𝑑𝑑,𝑛𝑛,0 = (𝜋𝜋𝑡𝑡,1 − 𝜋𝜋𝑡𝑡,0) × (1 + 𝑟𝑟𝑟𝑟). Consecuentemente, al variar la tasa de inflación de un periodo a otro, la tasa nominal se debe modificar proporcionalmente a dicha variación con el fin de mantener constantes las tasas reales. 6


























.3

2 Irving Fisher planteó el hecho que las tasas nominales de interés reflejan la ex-pectativa colectiva inflacionaria, y que dicha tasa compensa a los agentes de los efectos negativo de la inflación sobre el rendimiento real de sus inversiones (Fisher, 1965).

3 Si partimos de una tasa de interés real

6


























; despejando en función

de la tasa nominal, se tiene

6





























1.2. Descuento de flujos de fondos con dos monedas y las matemá-ticas borrosas:

A continuación se desarrolla el modelo propuesto. Se parte del supuesto que el comportamiento ambiguo, fuente de incertidumbre, corresponde a variables reales como las cantidades y nominales como la inflación. El siguiente gráfico expone la secuencia lógica del modelo propuesto con

6


























La expresión anterior indica que la tasa nominal varía en función de las

expectativas inflacionarias, sin perjuicio que la tasa real se mantenga constante. Pa-

ra dos periodos de tiempo es

6


























7

modelo propuesto con sus respectivas ecuaciones. En el anexo A se explican las nociones

básicas de operaciones con números borrosos, su representación matricial e implementación

en el entorno de MATLAB ®.

Gráfica 1: Proceso de valuación con dos monedas a partir de la teoría de paridad en entornos borrosos

Fuente: elaboración propia

A continuación, cada una de las etapas indicadas en la gráfica precedente, cobra forma

matemática a través de un conjunto de ecuaciones que integran el modelo de valuación

propuesto.

1.2.1. Estimación de las tasas de inflación esperada a partir de las teorías de paridad:

La tasa de inflación es calculada proyectando las tasas de interés local y extranjera, en este

caso, a partir de las respectivas curvas de rendimientos de bonos soberanos locales expresados

en moneda doméstica y extranjera. Una vez obtenidas las tasas para cada periodo, se procede

Paso 1: Estimaciones Puntuales

•Estimación puntual tasas de inflación doméstica y extranjera esperada a partir de las teorías de paridad (ecuaciones 1 a 7)

Paso 2: Construcción NBT inflación, interés, tipo de

cambio y costo del capital

•Estimación NBT inflación esperada, tasas de interés nominal doméstica y extranjera (ecuaciones 8 a 11)•Estimación NBT tipo de cambio futuro (ecuaciones 12 a 14)•Estimación NBT costo promedio ponderado del capital doméstico y extranjero (ecuaciones 15 a 19)

Paso 3: Construcción NBT cantidades y flujos de fondos

•Estimación NBT cantidades proyectadas •Estimación NBT flujos de fondos libres en moneda doméstica y extranjera (ecuaciones 20 a 24)

Paso 4: Descuento Flujos de Fondos en

dos monedas

•Estimación NBT descuento de flujos de fondos en moneda doméstica y extranjera (ecuaciones 25 a 27)

Gráfica 1. Proceso de valuación con dos monedas a partir de la teoría de paridad en entornos borrosos





sus respectivas ecuaciones. En el anexo A se explican las nociones básicas de operaciones con números borrosos, su representación matricial e implementación en el entorno de MATLAB ®.

A continuación, cada una de las etapas indicadas en la gráfica preceden-te, cobra forma matemática a través de un conjunto de ecuaciones que inte-gran el modelo de valuación propuesto.

1.2.1. Estimación de las tasas de inflación esperada a partir de las teorías de paridad

La tasa de inflación es calculada proyectando las tasas de interés local y extranjera, en este caso, a partir de las respectivas curvas de rendimientos de bonos soberanos locales expresados en moneda doméstica y extranjera. Una vez obtenidas las tasas para cada periodo, se procede a calcular al tipo de cambio futuro esperado (ecuaciones 1 y 2). Seguidamente se proceden a despejar la tasa de inflación doméstica (ecuación 3). Para ello se toma como insumo, la proyección correspondiente a la tasa de inflación esperada del mercado extranjero. Finalmente, y suponiendo convergencia de crecimientos, se obtiene la tasa real (ecuación 6).

1.2.2. Estimación NBT inflación, interés, tipo de cambio y costo del capital

a) Inflación esperada como número borroso triangular (NBT): Con la inflación calculada en el paso 1 para cada periodo se obtiene el desvío estándar correspondiente a la curva de inflación esperada. A partir de allí se construye el NBT,4

8

a calcular al tipo de cambio futuro esperado (ecuaciones 1 y 2). Seguidamente se proceden a

despejar la tasa de inflación doméstica (ecuación 3). Para ello se toma como insumo, la

proyección correspondiente a la tasa de inflación esperada del mercado extranjero.

Finalmente, y suponiendo convergencia de crecimientos, se obtiene la tasa real (ecuación 6).

1.2.2 Estimación NBT inflación, interés, tipo de cambio y costo del capital:

a) Inflación esperada como número borroso triangular (NBT): Con la inflación calculada en

el paso 1 para cada periodo se obtiene el desvío estándar correspondiente a la curva de

inflación esperada. A partir de allí se construye el NBT , 𝜋𝜋𝛼𝛼 = [(𝜋𝜋 − 𝜎𝜎)𝛼𝛼; 𝜋𝜋; (𝜋𝜋 + 𝜎𝜎)𝛼𝛼] , donde las variables quedan expresadas de la siguiente manera:

Inflación doméstica (d):

��𝜋𝑑𝑑 = ∀ 𝜶𝜶 ∈ [𝟎𝟎; 𝟏𝟏] → ��𝜋𝑑𝑑,𝑡𝑡𝜶𝜶[𝝅𝝅𝒅𝒅,𝒕𝒕𝟏𝟏(𝜶𝜶), 𝝅𝝅𝒅𝒅,𝒕𝒕𝟐𝟐(𝜶𝜶)] (8)

Inflación extranjera (x):

��𝜋𝑥𝑥 = ∀ 𝜶𝜶 ∈ [𝟎𝟎; 𝟏𝟏] → ��𝜋𝑥𝑥,𝑡𝑡𝜶𝜶[𝝅𝝅𝒙𝒙,𝒕𝒕𝟏𝟏(𝜶𝜶), 𝝅𝝅𝒙𝒙,𝒕𝒕𝟐𝟐(𝜶𝜶)] (9)

En el presente trabajo se utiliza el símbolo (~) para notar números borrosos

b) Tasa interés nominal borrosa: Partiendo de las tasas estimadas a través de las curvas de

rendimientos (ecuación 5), se obtiene una tasa real convergente (ecuación 6). Con la tasa real

y el componente de inflación borrosa se construye la tasa de interés nominal fuzzy doméstica

y extranjera:

��𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑 = 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 + [𝜋𝜋𝑑𝑑,𝑡𝑡1(𝛼𝛼), 𝜋𝜋𝑑𝑑,𝑡𝑡2(𝛼𝛼)] + {𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 × [𝜋𝜋𝑑𝑑,𝑡𝑡1(𝛼𝛼), 𝜋𝜋𝑑𝑑,𝑡𝑡2(𝛼𝛼)]} (10)

Con la tasa nominal borrosa extranjera se utiliza la inflación extranjera ��𝜋𝑥𝑥,𝑡𝑡; obteniendo

��𝑟𝑡𝑡,𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 + [𝜋𝜋𝑥𝑥,𝑡𝑡1(𝛼𝛼), 𝜋𝜋𝑥𝑥,𝑡𝑡2(𝛼𝛼)] + {𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑟𝑟 × [𝜋𝜋𝑥𝑥,𝑡𝑡1(𝛼𝛼), 𝜋𝜋𝑥𝑥,𝑡𝑡2(𝛼𝛼)]} (1)

c) Tipo de cambio futuro: con los datos de las tasas se procede a estimar el tipo de cambio

futuro,

��𝐹𝑡𝑡,𝑛𝑛 = 𝑆𝑆𝑡𝑡 × (1+��𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑)(1+��𝑟𝑡𝑡,𝑒𝑒) (2)

4 El NBT se construye suponiendo que la variación máxima y mínima se explica por la desviación estándar. Por lo general, se estima una medida denominada coeficiente de variación (CV), que permite calcular el posible intervalo de máximo y mínimo valor para la media de la volatilidad (σ), basada en datos observados o juicios de expertos (Liao y Ho, 2010)

donde las variables se expresan de la siguiente manera:


y reagrupando términos se obtiene

6


























. Conse-

cuentemente, al variar la tasa de inflación de un periodo a otro, la tasa nominal

se debe modificar proporcionalmente a dicha variación con el fin de mantener

constantes las tasas reales.4. El nbt se construye suponiendo que la variación máxima y mínima se explica por la

desviación estándar. Por lo general, se estima una medida denominada coeficiente de variación (CV), que permite calcular el posible intervalo de máximo y mínimo valor para la media de la volatilidad

8

















y extranjera:





futuro,



, basada en datos observados o juicios de expertos (Liao y Ho, 2010).




8

















y extranjera:





futuro,



(8)


8

















y extranjera:





futuro,



(9)

En el presente trabajo se utiliza el símbolo (~) para notar números bo-rrosos

b) Tasa interés nominal borrosa: Partiendo de las tasas estimadas a tra-vés de las curvas de rendimientos (ecuación 5), se obtiene una tasa real con-vergente (ecuación 6). Con la tasa real y el componente de inflación borrosa se construye la tasa de interés nominal fuzzy doméstica y extranjera:

8

















y extranjera:





futuro,



(10)

Con la tasa nominal borrosa extranjera se utiliza la inflación extranjera

8

















y extranjera:





futuro,



; obteniendo

8

















y extranjera:





futuro,



(11)

c) Tipo de cambio futuro: con los datos de las tasas se procede a estimar el tipo de cambio futuro,

8

















y extranjera:





futuro,



(12)

Para el conjunto de números reales (R) la forma expandida de la ecua-ción 12 queda planteada como;

9

Para el conjunto de números reales (R) la forma expandida de la ecuación 12 queda planteada

como;

��𝐹𝑡𝑡,𝑛𝑛 = ��𝑆𝑡𝑡 × [(1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑1)(𝛼𝛼), (1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑2)(𝛼𝛼)] × {𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚[(1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑥𝑥1)(𝛼𝛼), (1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑥𝑥2)(𝛼𝛼)]−1

; 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚[(1 +

𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑥𝑥1)(𝛼𝛼), (1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑥𝑥2)(𝛼𝛼)]−1

} (3)

Al ser las variables positivas, se puede trabajar con el subconjunto de números reales positivos

(R+). La expresión se reduce a,

��𝐹𝑡𝑡,𝑛𝑛 = ��𝑆𝑡𝑡 × [(1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑1)(𝛼𝛼), (1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑2

)(𝛼𝛼)] × {[(1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑚𝑚2)(𝛼𝛼), (1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡,𝑚𝑚1

)(𝛼𝛼)]−1

} (4)

La expresión anterior requiere de un punto de partida para proyectar valores. El primer periodo

se inicia a partir del tipo de cambio observado (𝑆𝑆) en t=0. Seguidamente, el resto de los

periodos futuros se calcula con el tipo de cambio borroso obtenido mediante el valor futuro

inmediato anterior borroso. En otras palabras, se aplica la teoría de expectativas 𝐸𝐸[��𝑆𝑡𝑡,𝑛𝑛] =

��𝐹𝑡𝑡,𝑛𝑛 = ��𝑆 × (1+��𝑟𝑡𝑡,𝑑𝑑,𝑛𝑛)(1+��𝑟𝑡𝑡,𝑒𝑒,𝑛𝑛).

d) Costo promedio ponderado del capital: La tasa del costo del capital propio nominal (𝑘𝑘𝑒𝑒𝑡𝑡,𝑛𝑛)

se estima mediante el modelo CAPM no borroso. Un procedimiento similar se utilizó en el

cálculo de la tasa nominal correspondiente al costo del capital ajeno (𝑘𝑘𝑖𝑖𝑡𝑡,𝑛𝑛) y sus

participaciones conforme la siguiente ecuación

𝑘𝑘𝑜𝑜𝑡𝑡,𝑛𝑛 = 𝑊𝑊𝑑𝑑 × (1 − 𝑡𝑡) × 𝑘𝑘𝑖𝑖𝑡𝑡,𝑛𝑛 + 𝑊𝑊𝑊𝑊 × 𝑘𝑘𝑒𝑒𝑡𝑡,𝑛𝑛 (5)

Una vez que se obtienen las tasas nominales proyectadas del costo de capital para cada

periodo, éstas se convierten a tasas expresadas en términos reales, utilizando la tasa de

inflación para ��𝜋𝑑𝑑(𝛼𝛼 = 1),

𝑘𝑘𝑜𝑜𝑡𝑡,𝑟𝑟 = 𝑘𝑘𝑜𝑜𝑡𝑡,𝑛𝑛−��𝜋𝑑𝑑(𝛼𝛼=1)(1+��𝜋𝑑𝑑(𝛼𝛼=1)) (6)

La tasa de costo de capital borrosa se obtiene añadiendo la inflación estimada a la tasa real

(ecuación 16).

��𝑘𝑜𝑜𝑡𝑡,𝑛𝑛 = 𝑘𝑘𝑜𝑜𝑡𝑡,𝑟𝑟 + (1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑1)(𝛼𝛼), (1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑2)(𝛼𝛼) × {𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚[(1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑1)(𝛼𝛼), (1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑2)(𝛼𝛼)]; 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚⌊(1 +𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑1)(𝛼𝛼), (1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑2)(𝛼𝛼)⌋} (7)

Para transformar el costo del capital borroso de moneda doméstica a extranjera se utiliza la

siguiente expresión,

(13)

9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).




9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).







Al ser las variables positivas, se puede trabajar con el subconjunto de números reales positivos (R+). La expresión se reduce a,

9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).




(14)

9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).




La expresión anterior requiere de un punto de partida para pro-yectar valores. El primer periodo se inicia a partir del tipo de cambio observado

9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).




. Seguidamente, el resto de los periodos futuros se calcula con el tipo de cambio borroso obtenido mediante el valor fu-turo inmediato anterior borroso. En otras palabras, se aplica la teoría de expectativas

9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).




9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).




.

d) Costo promedio ponderado del capital: La tasa del costo del capital propio nominal

9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).




se estima mediante el modelo CAPM no borroso. Un procedimiento similar se utilizó en el cálculo de la tasa nominal correspon-diente al costo del capital ajeno

9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).




y sus participaciones conforme la siguiente ecuación

9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).




(15)

Una vez que se obtienen las tasas nominales proyectadas del costo de capital para cada periodo, éstas se convierten a tasas expresadas en térmi-nos reales, utilizando la tasa de inflación para

9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).




,

9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).




(16)

La tasa de costo de capital borrosa, se obtiene añadiendo la inflación estimada a la tasa real (ecuación 16).

9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).




(17)

9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).




9


como;




} (3)





)(𝛼𝛼)]−1

} (4)
















(ecuación 16).







Para transformar el costo del capital borroso de moneda doméstica a extranjera se utiliza la siguiente expresión,

10

𝑘𝑘��𝑘𝑡𝑡,𝑥𝑥 = 𝑘𝑘��𝑘𝑛𝑛,𝑡𝑡 × ��𝜋𝑡𝑡,𝑥𝑥��𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑

(8)

Al ser todas las variables positivas, se puede estimar directamente para el subconjunto de

números borrosos positivos (R+),

𝑘𝑘��𝑘𝑡𝑡,𝑥𝑥 = 𝑘𝑘��𝑘𝑛𝑛,𝑡𝑡 × {[(𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑥𝑥1)(𝛼𝛼), (𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑥𝑥2)(𝛼𝛼)] × [(𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑2)(𝛼𝛼), (𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑1)(𝛼𝛼)]−1

} (9)

1.2.3. Flujo de fondos borrosos:

La otra fuente de incertidumbre la constituyen las variables reales, es decir las cantidades

proyectadas (��𝑞). El NBT se construye de manera similar a la inflación, a partir de los extremos

del desvío estándar proyectado 𝑞𝑞𝛼𝛼 = [(𝑞𝑞 − 𝜎𝜎)𝛼𝛼; 𝜋𝜋; (𝑞𝑞 + 𝜎𝜎)𝛼𝛼]. En primer término, se estima

la contribución marginal borrosa como el producto entre la contribución marginal, (𝑐𝑐𝑐𝑐) y las

cantidades borrosas

𝑐𝑐��𝑐𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 × [(1 + 𝑞𝑞𝑡𝑡,1)(𝛼𝛼), (1 + 𝑞𝑞𝑡𝑡,2)(𝛼𝛼)](20)

Seguidamente se aplican los coeficientes borrosos de inflación, con el fin de obtener la

(𝐶𝐶��𝐶𝑡𝑡,𝑛𝑛)

𝐶𝐶��𝐶𝑡𝑡,𝑛𝑛 = 𝑐𝑐��𝑐𝑡𝑡 × {𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚[(1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑1)(𝛼𝛼), (1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑2)(𝛼𝛼)]; 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚⌊(1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑1)(𝛼𝛼), (1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑2)(𝛼𝛼)⌋} (10)

Un procedimiento igual se utiliza para los costos fijos, los cuales son ajustados por la inflación

doméstica borrosa correspondiente a cada periodo de proyección.

𝐶𝐶��𝐶𝑡𝑡,𝑛𝑛 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 × {𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚[(1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑1)(𝛼𝛼), (1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑2)(𝛼𝛼)]; 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚⌊(1 + 𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑1)(𝛼𝛼), (1 +𝜋𝜋𝑡𝑡,𝑑𝑑2)(𝛼𝛼)⌋} (11)

Los valores absolutos que representan la inversión periódica en capital de trabajo surgen del

producto del porcentaje de capital de trabajo (%𝑐𝑐𝑐𝑐) por la contribución marginal borrosa

(𝐶𝐶��𝐶𝑡𝑡,𝑛𝑛). La inversión incremental en capital de trabajo se calcula como la diferencia entre la

inversión borrosa absoluta del periodo actual y la del período anterior.

∆𝐶𝐶��𝐶𝑡𝑡,𝑛𝑛 = [%𝑐𝑐𝑐𝑐 × 𝐶𝐶��𝐶𝑡𝑡,𝑛𝑛 − %𝑐𝑐𝑐𝑐 × 𝐶𝐶��𝐶𝑡𝑡−1,𝑛𝑛] (12)

La suma de las variables borrosas (ecuaciones 21 a 23) arroja el flujo de fondo borroso después

de impuestos, donde t representa la tasa de impuesto sobre las ganancias,

𝐶𝐶𝐶𝐶��𝐹𝑡𝑡,𝑛𝑛 = [𝐶𝐶��𝐶𝑡𝑡,𝑛𝑛 − 𝐶𝐶��𝐶𝑡𝑡,𝑛𝑛 × (1 − 𝑐𝑐)] − ∆𝐶𝐶��𝐶𝑡𝑡,𝑛𝑛 (13)

El valor de la empresa mediante el descuento de flujos de fondos borroso con magnitudes

financieras nominales, en moneda local, se obtiene actualizando las magnitudes monetarias

obtenidas mediante la ecuación 24 y la tasa de costo de capital doméstica (ecuación 17 y 18).

(18)

Al ser todas las variables positivas, se puede estimar directamente para el subconjunto de números borrosos positivos (R+),

10


(8)




} (9)






cantidades borrosas



















(19)

1.2.3. Flujo de fondos borrosos

La otra fuente de incertidumbre la constituyen las variables reales, es decir las cantidades proyectadas

10


(8)




} (9)






cantidades borrosas



















. El NBT se construye de manera similar a la inflación, a partir de los extremos del desvío estándar proyectado

10


(8)




} (9)






cantidades borrosas



















. En primer término, se estima la contribución marginal borrosa como el producto entre la contribución marginal,

10


(8)



} (9)

1.2.3. Flujo de fondos borrosos: La otra fuente de incertidumbre la constituyen las variables reales, es decir las cantidades proyectadas (��𝑞). El NBT se construye de manera similar a la inflación, a partir de los extremos del desvío estándar proyectado 𝑞𝑞𝛼𝛼 = [(𝑞𝑞 − 𝜎𝜎)𝛼𝛼; 𝜋𝜋; (𝑞𝑞 + 𝜎𝜎)𝛼𝛼]. En primer término, se estima la contribución marginal borrosa como el producto entre la contribución marginal, (𝑐𝑐𝑐𝑐) y las cantidades borrosas


Seguidamente se aplican los coeficientes borrosos de inflación, con el fin de obtener la (𝐶𝐶��𝐶𝑡𝑡,𝑛𝑛)


Un procedimiento igual se utiliza para los costos fijos, los cuales son ajustados por la inflación doméstica borrosa correspondiente a cada periodo de proyección.


Los valores absolutos que representan la inversión periódica en capital de trabajo surgen del producto del porcentaje de capital de trabajo (%𝑐𝑐𝑐𝑐) por la contribución marginal borrosa




La suma de las variables borrosas (ecuaciones 21 a 23) arroja el flujo de fondo borroso después de impuestos, donde t representa la tasa de impuesto sobre las ganancias,


El valor de la empresa mediante el descuento de flujos de fondos borroso con magnitudes financieras nominales, en moneda local, se obtiene actualizando las magnitudes monetarias obtenidas mediante la ecuación 24 y la tasa de costo de capital doméstica (ecuación 17 y 18).

y las cantidades borrosas

10


(8)



} (9)














(20)


10


(8)



} (9)














10


(8)



} (9)














(21)

10


(8)



} (9)














Un procedimiento igual se utiliza para los costos fijos, los cuales son ajustados por la inflación doméstica borrosa correspondiente a cada perio-do de proyección.




10


(8)



} (9)














(22)

10


(8)



} (9)














10


(8)



} (9)














Los valores absolutos que representan la inversión periódica en capital de trabajo surgen del producto del porcentaje de capital de trabajo

10


(8)



} (9)














por la contribución marginal borrosa

10


(8)



} (9)














. La inversión incremental en capital de trabajo se calcula como la diferencia entre la inversión borrosa absoluta del periodo actual y la del período anterior.

10


(8)



} (9)














(23)


10


(8)




} (9)






cantidades borrosas



















(24)

El valor de la empresa mediante el descuento de flujos de fondos bo-rroso con magnitudes financieras nominales, en moneda local, se obtiene actualizando las magnitudes monetarias obtenidas mediante la ecuación 24 y la tasa de costo de capital doméstica (ecuación 17 y 18).

11

𝑉𝑉𝑡𝑡,𝑛𝑛 = ∑ [𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝑡𝑡,1(𝛼𝛼), 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝑡𝑡,2(𝛼𝛼)] × {𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚[(1 + 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡,𝑑𝑑1)𝑡𝑡(𝛼𝛼), (1 + 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡,𝑑𝑑2)𝑡𝑡(𝛼𝛼)]−1

; 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚[(1 +𝑛𝑛𝑡𝑡=1

𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡,𝑑𝑑1)𝑡𝑡(𝛼𝛼), (1 + 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡,𝑑𝑑2)𝑡𝑡(𝛼𝛼)]−1

} (25)

La conversión a moneda extranjera expresada en términos nominales (��𝐹𝑡𝑡,𝑥𝑥,𝑛𝑛), se lleva a cabo

primero, transformando los flujos de fondos en pesos (ecuación 24) a moneda extranjera. Para

ello se utilizan los tipos de cambio futuros calculados mediante la ecuación 14,

��𝐹𝑡𝑡,𝑥𝑥,𝑛𝑛 = [𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝑡𝑡,1(𝛼𝛼), 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝑡𝑡,2(𝛼𝛼)] ×{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚[(��𝐹𝑡𝑡,𝑥𝑥2)(𝛼𝛼), (��𝐹𝑡𝑡,𝑥𝑥1)(𝛼𝛼)]

−1; 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚[(��𝐹𝑡𝑡,𝑥𝑥2)(𝛼𝛼), (��𝐹𝑡𝑡,𝑥𝑥1)(𝛼𝛼)]

−1 } (14)

1.2.4. El descuento de flujos de fondos (VAN) borroso para dos monedas.

El valor de la empresa mediante el descuento de flujos de fondos borroso en moneda extranjera

queda planteado de la siguiente manera,

𝑉𝑉𝑡𝑡,𝑥𝑥 = ∑ [𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝑡𝑡,𝑥𝑥1(𝛼𝛼), 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝑡𝑡,𝑥𝑥2(𝛼𝛼)] × {𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚[(1 + 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡,𝑥𝑥1)𝑡𝑡(𝛼𝛼), (1 + 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡,𝑥𝑥2)𝑡𝑡(𝛼𝛼)]−1


𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡,𝑥𝑥1)𝑡𝑡(𝛼𝛼), (1 + 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡,𝑥𝑥2)𝑡𝑡(𝛼𝛼)]−1

} (15)

Los flujos de fondos proyectados borrosos surgen de la ecuación 26 y la tasa del costo de

capital borroso de la ecuación 18. La consistencia de resultados entre el valor actual estimado

con variables expresadas en términos reales y su par borroso en términos nominales, se

verifica para el caso (𝛼𝛼 = 1). Lo mismo acontece para el valor actual en moneda extranjera.

Esto es así ya que en t = 0, no existe riesgo de inflación y la consistencia con los valores en

términos reales se presenta para el caso de las variables de partida.

2. Metodología. Aplicación del modelo mediante el análisis de caso:

La metodología propuesta para analizar el funcionamiento del modelo y demostrar su

consistencia con el modelo en su versión determinística (no borrosa) es el estudio de casos en

administración. Bajo este método se persigue analizar el funcionamiento y robustez de las

proposiciones teóricas contenidas, en este caso en las ecuaciones del modelo, que permiten

explicar y fundamentar la estimación del valor intrínseco de la firma. (Castro Monge, 2010)

y (Yin, 1994).

Como unidad de análisis se seleccionó una empresa del tipo pequeña-mediana que opera y

funciona en un mercado emergente como el sistema económico argentino. Se calculó su valor

(25)

11




} (25)






−1 } (14)







} (15)













y (Yin, 1994).



11




} (25)






−1 } (14)







} (15)













y (Yin, 1994).



La conversión a moneda extranjera expresada en términos nominales

11




} (25)






−1 } (14)







} (15)













y (Yin, 1994).



, se lleva a cabo primero, transformando los flujos de fondos en pesos (ecuación 24) a moneda extranjera. Para ello se utilizan los tipos de cambio futuros calculados mediante la ecuación 14,




11




} (25)






−1 } (14)







} (15)













y (Yin, 1994).



(26)

11




} (25)






−1 } (14)







} (15)













y (Yin, 1994).



1.2.4. El descuento de flujos de fondos (VAN) borroso para dos monedas

El valor de la empresa mediante el descuento de flujos de fondos borroso en moneda extranjera queda planteado de la siguiente manera,

11




} (25)






−1 } (14)







} (15)













y (Yin, 1994).



(27)

11




} (25)






−1 } (14)







} (15)













y (Yin, 1994).



11




} (25)






−1 } (14)







} (15)













y (Yin, 1994).


funciona en un mercado emergente como el sistema económico argentino. Se calculó su valor 11




} (25)






−1 } (14)







} (15)













y (Yin, 1994).



Los flujos de fondos proyectados borrosos surgen de la ecuación 26 y la tasa del costo de capital borroso de la ecuación 18. La consistencia de re-sultados entre el valor actual estimado con variables expresadas en térmi-nos reales y su par borroso en términos nominales, se verifica para el caso

11




} (25)






−1 } (14)







} (15)













y (Yin, 1994).



. Lo mismo acontece para el valor actual en moneda extranjera. Esto es así ya que en

11




} (25)






−1 } (14)







} (15)













y (Yin, 1994).



, no existe riesgo de inflación y la consistencia con los valores en términos reales se presenta para el caso de las variables de par-tida.

2. Metodología. Aplicación del modelo mediante el análisis de caso

La metodología propuesta para analizar el funcionamiento del modelo y demostrar su consistencia con el modelo en su versión determinística (no borrosa) es el estudio de caso en administración. Bajo este método se persigue analizar el funcionamiento y robustez de las proposiciones teóricas contenidas, en este caso en las ecuaciones del modelo, que permiten explicar y fundamentar la estimación del valor intrínseco de la firma (Castro Monge, 2010) y (Yin, 1994).




Como unidad de análisis se seleccionó una empresa del tipo pequeña-mediana que opera y funciona en un mercado emergente como el sistema económico argentino. Se calculó su valor intrínseco a través del modelo propuesto, expresando valores en moneda local y extranjera. Considerado, como primer moneda al peso argentino y como segunda al dólar estadou-nidense. La aplicación del modelo desarrollado en la sección precedente se obtuvo mediante el empleo de las planillas de cálculo.5 El desarrollo de las mismas se expone en la sección 3 y en el anexo B. Las matrices, tensores, ar-gumentos de programación para la implementación del caso en MatLab ® y las gráficas del NBT correspondientes al valor en moneda local y extranjera, son expuestas en anexo A.3.

3. Resultados. Estimación del valor a través del descuento de flujos borrosos para dos monedas

En esta sección se desarrollan las etapas y secuencias del modelo planteadas en el primer apartado, exponiendo en cada una de ellas los datos de mercado utilizados y los resultados obtenidos, hasta llegar a la estimación del NBT mediante el descuento de flujos de fondos para dos monedas.

3.1. NBT para la proyección de las variables macroeconómicas: tasas de interés, inflación y tipo de cambio (pasos 1 y 2)

Primero se proyectaron las tasas esperadas de interés local y extranjera, aplicando la proyección de la estructura temporal de los tipos de interés (ETTI) mediante la curva logarítmica de rendimientos. Se usaron los datos de mercado correspondientes a la duración modificada y TIR de bonos soberanos emitidos en moneda doméstica6 y dólares estadounidenses publicados por el Instituto Argentino de Mercados de Capitales (IAMC). Estos son presentados en el anexo B, tablas B13 y B14. En las siguientes gráficas se exponen las curvas de rendimientos a ser empleadas en la proyección de las tasas. Para la TIR en pesos la expresión es: -0,22ln(x)+0,5413;

5 Se emplearon planillas bajo el sistema MS Excel®.6 El rendimiento de los bonos indexados por el coeficiente de estabilización de re-

ferencia (ceR) fue ajustado por una inflación proyectada de 41.82%, que surge del cociente entre el coeficiente ceR de diciembre de 2018, de 11.88% sobre el coeficiente ceR de diciembre 2017 de 8.22% (ver Banco Central de la República Argentina, Estadísticas http://www.bcra.gob.ar/PublicacionesEstadisticas/Princi-pales_variables_datos.asp?descri=21&fecha=Fecha_Cer&campo=Cer.




Gráfica 2. ETTI proyectada en pesos (Tabla B13 anexo)

(ETTI bonos soberanos en pesos al 29 de marzo de 2019)


13

Gráfica 2: ETTI proyectada en pesos (Tabla B13 anexo)


Gráfica 3: ETTI proyectada en dólares (Tabla B14 anexo)

Para la ETTI de bonos argentinos en dólares, la expresión de la curva es 0,009ln(x)+0,1464;


Para la proyección de la inflación local (Πt,d) se aplicó la ecuación 3, previa estimación de la

proyección de la inflación de Estados Unidos. Esta última fue estimada mediante la

y = -0.22ln(x) + 0.5413R² = 0.7866

-10.00%

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

0 2 4 6 8 10 12

Rend

imie

ntos

Duration

ETTI bonos soberanos en pesos al 29/03/2019

y = -0.009ln(x) + 0.1464R² = 0.3837

0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

12.00%

14.00%

16.00%

0 1 2 3 4 5 6 7 8

ETTI bonos soberanos en dólares al 29/03/2019

Gráfica 3. ETTI proyectada en dólares (Tabla B14 anexo)

(ETTI bonos soberanos en dólares al 29 de marzo de 2019)


13

Gráfica 2: ETTI proyectada en pesos (Tabla B13 anexo)


Gráfica 3: ETTI proyectada en dólares (Tabla B14 anexo)

Para la ETTI de bonos argentinos en dólares, la expresión de la curva es 0,009ln(x)+0,1464;


Para la proyección de la inflación local (Πt,d) se aplicó la ecuación 3, previa estimación de la

proyección de la inflación de Estados Unidos. Esta última fue estimada mediante la

y = -0.22ln(x) + 0.5413R² = 0.7866

-10.00%

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

0 2 4 6 8 10 12

Rend

imie

ntos

Duration

ETTI bonos soberanos en pesos al 29/03/2019

y = -0.009ln(x) + 0.1464R² = 0.3837

0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

12.00%

14.00%

16.00%

0 1 2 3 4 5 6 7 8

ETTI bonos soberanos en dólares al 29/03/2019

La ETTI de bonos argentinos en dólares es 0.009ln(x) + 0.1464, véase Gráfica 3.




Para la proyección de la inflación local (Πt,d) se aplicó la ecuación 3, previa estimación de la proyección de la inflación de Estados Unidos. Esta última fue estimada mediante la curva de tendencia logarítmica a partir de la serie de datos históricos de inflación extranjera (Πt,e). Para ello se tra-bajó con la inflación promedio anual de Estados Unidos desde el año 1998-2018.7 La ecuación de la curva de tendencia es Πt,e =-149.1 ln(x) + 1136.4, (véase gráfica 4).

Gráfica 4. Curva de ajuste de la inflación proyectada para EE.UU.(1998-2018)


14

proyección de datos, con la curva de tendencia logarítmica a partir de la serie de datos

históricos de inflación extranjera (Πt,e) (gráfico 4). Para ello se trabajó con la inflación

promedio anual de Estados Unidos desde el año 1998-20187. La ecuación de la curva de

tendencia es Πt,e =-149,1ln(x)+1136,4, véase gráfica 4.

Gráfica 4: Curva de ajuste inflación proyectada EE.UU


Las curvas permiten proyectar las variables macro. El número borroso (NBT) correspondiente

a la inflación se obtiene aplicando las ecuaciones 8 y 9. El valor de a=ε(1) para la inflación

de EE.UU surge de la estimación puntual. Los valores de a-α y a+β se obtienen sustrayendo

o adicionando la variación estimada (CV). Esta se supone constante durante el periodo de

proyección. Para el caso de la inflación de EE.UU, el desvío estándar de la serie de datos

proyectados es de σ= 0.10%. En el caso de Argentina su desvío es σ=11.29%. A continuación

se muestran las tablas con proyección puntual y los intervalos de valores, veáse Cuadro 1 y 2.

Cuadro 1. Inflación proyectada extranjera ETTI desvío estimado 0,10% anual (B1) (ecuación 9)

t Inflación (1-CV)*a a, ε(1) (1+CV)*a proyectada a-α, ε(0) a, ε(1) a+β, ε(0)

1 1.70% 1.60% 1.70% 1.79%

7 Obtenida del sitio https://www.rateinflation.com/inflation-rate/usa-historical-inflation-rate?start-year=1998&end-year=2018.

y = -149.1ln(x) + 1136.4R² = 0.1625

-1

0

1

2

3

4

5

1995 2000 2005 2010 2015 2020

Inflación EE.UU 2018-1998

Inflación EEUU 2017-1998 Logarítmica (Inflación EEUU 2017-1998)

Las curvas permiten proyectar las variables macro. El número borro-so (nbt) correspondiente a la inflación se obtiene aplicando las ecuaciones 8 y 9. El valor de a=ε(1) para la inflación de EE.UU surge de la estimación puntual. Los valores de a-α y a+β se obtienen sustrayendo o adicionando la variación estimada (cv). Esta se supone constante durante el periodo de proyección. Para el caso de la inflación de EE.UU, el desvío estándar de la serie de datos proyectados es de σ= 0.10%. En el caso de Argentina su desvío es σ = 11.29%. A continuación se muestran las tablas con proyección pun-tual y los intervalos de valores, (veáse Cuadro 1 y 2).

7 Obtenida del sitio https://www.rateinflation.com/inflation-rate/usa-historical-inflation-rate?start-year=1998&end-year=2018.




En el anexo B, para cada uno de los α-cortes que componen el NBT, se expone el cuadro correspondiente a las inflaciones local y extranjera (Cua-dros B.1 y B.2).

3.2. NBT tasas de interés nominal en pesos y dólares (paso 2)

El objetivo consiste en proyectar la NBT nominal en ambas monedas, siendo el principal insumo, es la tasa real de interés convergente con la tasa doméstica. Se supone que la relación entre las tasas de dos países es explicada por los diferenciales de inflación (ecuación 6). Primero, se calculó la tasa real puntual proyectada, a partir de las tasas nominales de interés obtenidas mediante la curva de rendimientos (Gráficas 2 y 3). Se utilizaron datos correspondientes a la inflación proyectada (segunda columna Cuadros

Cuadro 1. Inflación proyectada extranjera ETTI (Desvío estimado 0.10% anual (B1).

(ecuación 9)

t Inflación (1-CV)*a a,ε(1) (1+CV)*a proyectada a-α,ε(0) a,ε(1) a+β,ε(0)

1 1.70% 1.60% 1.70% 1.79%

2 1.62% 1.53% 1.62% 1.72%

3 1.55% 1.45% 1.55% 1.64%

4 1.47% 1.38% 1.47% 1.57%


Cuadro 2. Inflación proyectada doméstica. (ETTI desvío estimado 11.29% anual (B2).

(ecuación 8).


t Inflación (1-CV)*a a,ε(1) (1+CV)*a proyectada a-α,ε(0) a,ε(1) a+β,ε(0)

1 36.73% 25.44% 36.73% 48.02%

2 23.81% 12.52% 23.81% 35.10%

3 16.15% 4.86% 16.15% 27.44%

4 10.68% -0.61% 10.68% 21.97%




1 y 2). Después se despejó en función de la tasa real (ecuación 7). La tasa real determinística proyectada para los cuatro periodos subsiguientes es: t1=12.73%, t2=12.18%, t3=11.89% y t4=11.70%.

El NBT para las tasas nominales se obtiene incorporando la inflación borrosa proyectada con los datos contenidos en Cuadro 2, Cuadro B.2 del anexo B y la ecuación 10. Así, la tasa queda expresada en moneda local, veáse Cuadro 3.

Cuadro 3. NBT Tasa nominal doméstica proyectada.(ecuación 10)

Α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 41.40% 66.86% 26.22% 51.55% 17.33% 42.59% 11.02% 36.24%

0.1 42.68% 65.58% 27.48% 50.28% 18.59% 41.33% 12.28% 34.98%

0.2 43.95% 64.31% 28.75% 49.01% 19.85% 40.07% 13.54% 33.72%

0.3 45.22% 63.04% 30.02% 47.75% 21.12% 38.80% 14.80% 32.46%

0.4 46.49% 61.77% 31.28% 46.48% 22.38% 37.54% 16.06% 31.20%

0.5 47.77% 60.49% 32.55% 45.21% 23.64% 36.28% 17.33% 29.94%

0.6 49.04% 59.22% 33.81% 43.95% 24.91% 35.01% 18.59% 28.68%

0.7 50.31% 57.95% 35.08% 42.68% 26.17% 33.75% 19.85% 27.41%

0.8 51.58% 56.68% 36.35% 41.41% 27.43% 32.49% 21.11% 26.15%

0.9 52.86% 55.40% 37,61% 40.15% 28.70% 31.22% 22.37% 24.89%

1 54.13% 54.13% 38,88% 38.88% 29.96% 29,96% 23.63% 23.63%


Un procedimiento similar se sigue para estimar el NBT correspondiente a la tasa nominal extranjera, suponiendo relaciones de paridad en equili-brio (ecuación 6).8 La variable borrosa se construye a partir de la inflación extranjera proyectada, utilizando los datos del Cuadro 1 y el Cuadro B.1 del Anexo B y la ecuación 11, véase Cuadro 4.

3.3. nbt tipo de cambio futuro (paso 2)

Se proyectó el tipo de cambio futuro puntual, donde sus valores para a (ε=1) son los mismos que para su estimación puntual obtenidos al aplicar las ecuaciones 1 y 2. Se partió de un tipo de cambio spot al 31 de diciembre de

8 Por ende, las tasas de interés reales de las economías bajo examen son similares.




Cuadro 4. NBT Tasa nominal extranjera proyectada (ecuación 11)


α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 14.53% 14.75% 13.89% 14.10% 13.51% 13.72% 13.43% 13.64%

0.1 14.54% 14.74% 13.90% 14.09% 13.52% 13.71% 13.44% 13.63%

0.2 14.55% 14.73% 13.91% 14.08% 13.53% 13.70% 13.45% 13.62%

0.3 14.56% 14.72% 13.92% 14.07% 13.54% 13.69% 13.46% 13.61%

0.4 14.58% 14.70% 13.93% 14.06% 13.55% 13.68% 13.47% 13.60%

0.5 14.59% 14.69% 13.94% 14.05% 13.56% 13.67% 13.48% 13.59%

0.6 14.60% 14.68% 13.95% 14.04% 13.58% 13.66% 13.49% 13.58%

0.7 14.61% 14.67% 13.96% 14.03% 13.59% 13.65% 13.50% 13.57%

0.8 14.62% 14.66% 13.97% 14.02% 13.60% 13.64% 13.51% 13.55%

0.9 14.63% 14.65% 13.98% 14.01% 13.61% 13.63% 13.52% 13.54%

1 14.64% 14.64% 14.00% 14.00% 13.62% 13.62% 13.53% 13.53%


α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 $ 75.77 $ 89.58 $ 83.82 $ 119.20 $ 86.47 $ 149.74 $ 84.48 $ 179.86

0.1 $ 76.46 $ 88.89 $ 85.44 $ 117.28 $ 89.10 $ 146.01 $ 88.05 $ 173.74

0.2 $ 77.15 $ 88.20 $ 87.07 $ 115.38 $ 91.78 $ 142.34 $ 91.72 $ 167.78

0.3 $ 77.84 $ 87.51 $ 88.72 $ 113.49 $ 94.52 $ 138.74 $ 95.51 $ 161.97

0.4 $ 78.53 $ 86.82 $ 90.39 $ 111.62 $ 97.31 $ 135.19 $ 99.42 $ 156.32

0.5 $ 79.22 $ 86.13 $ 92.07 $ 109.76 $ 100.15 $ 131.71 $ 103.45 $ 150.81

0.6 $ 79.91 $ 85.43 $ 93.77 $ 107.92 $ 103.05 $ 128.29 $ 107.59 $ 145.46

0.7 $ 80.60 $ 84.74 $ 95.48 $ 106.10 $ 106.00 $ 124.93 $ 111.87 $ 140.25

0.8 $ 81.29 $ 84.05 $ 97.21 $ 104.29 $ 109.01 $ 121.63 $ 116.27 $ 135.18

0.9 $ 81.98 $ 83.36 $ 98.96 $ 102.50 $ 112.08 $ 118.39 $ 120.79 $ 130.25

1 $ 82.67 $ 82.67 $ 100.72 $ 100.72 $ 115.21 $ 115.21 $ 125.45 $ 125.45

Cuadro 5. NBT Tipo de cambio futuro (ecuaciones 12, 13 y 14)




2019 de t0 = $44.35, por ser este el momento de valuación. Las proyecciones son: t1 = $61.49,9 t2 = $82.67, t3 = $100.72 y t4 = $115.21. En la construcción del NBT fueron empleadas las ecuaciones 12, 13 y 14. En el Cuadro 5 se exponen los resultados.

3.4. NBT Costo promedio ponderado del capital (paso 2)

El objetivo consiste en proyectar el ccpp real y transformarlo en NBT mediante la inflación local borrosa proyectada. Primero se calcula el ccpp puntual nominal correspondiente a cada horizonte de proyección (ecuación 14). Luego se sustrae la inflación puntual proyectada y se obtiene el ccpp real puntual proyectado (ecuación 15). Con las inflaciones de ambos países (Tablas 1 y 2) se construye el NBT (ecuaciones 16 y 18) del costo del capital. Los supuestos son: (i) estructura objetivo deuda-capital constante, (ii) inexistencia riesgo fiscal, (iii) costo financiero de la deuda igual a la tasa libre de riesgo.

Para estimar el ccpp se debe calcular el costo del capital propio. Se em-pleó el modelo Capital Asset Princing Model (CAPM). Se optó por una variante adaptada para mercados emergentes, a partir del modelo G-CAPM (Global CAPM) ajustado por riesgo país.10 El costo de capital propio primero se es-timó en dólares estadounidenses. Para la tasa libre de riesgo (rf ), se utilizó la tasa nominal proyectada EE.UU de la curva de rendimientos (Gráfico 2). El riesgo de mercado adicional se calculó como el promedio aritmético de la diferencia entre el índice S&P500 y T-Bonds.11 El coeficiente beta apalanca-do (βl) se obtuvo apalancado los betas unlevered (βu ) de 0.85 para empresa comparables. La estructura de capital se supone en 16% deuda, 84% capital

9 Para el primer contrato se toma como valor el Tipo de cambio futuro al 29 de marzo de 2019 para contratos negociados a diciembre de 2019, Dólar futuro DLR122019. Los siguientes contratos son determinados realizando un roll-over sobre el primero https://www.rofex.com.ar/cem/FyO.aspx

10 En relación con el CAPM, son conocidas las limitaciones que presenta, en particular para estimar tasas de rendimiento requerido en contextos emergentes, una exce-lente revisión actualizada del tema se puede ver en Fama y French, (2004). En lo que respecta a soluciones empleadas por los profesionales para estimar tasas de rendimiento que reflejen los riesgos de emergentes, existe un importante cuerpo literario, entre los que se puede citar a Copeland et al. (2000); Fornero, (2003); Damodaran (2006); Pratt y Grabowski (2008); Damodaran (2009).

11 Los datos fueron extraídos del sitio elaborado por A. Damodaran, Discount rate estimation, Annual returns on stock, bonds and t-bills 1928-current. http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pc/datasets/histretSP.xls




Cuadro 6. nbt ccpp doméstico (ecuaciones 17 y 19)


α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 52,17% 79,57% 36,40% 63,78% 27,16% 54,54% 20,59% 47,99%

0,1 53,54% 78,20% 37,77% 62,41% 28,53% 53,17% 21,96% 46,62%

0,2 54,91% 76,83% 39,14% 61,04% 29,90% 51,80% 23,33% 45,25%

0,3 56,28% 75,46% 40,51% 59,67% 31,27% 50,43% 24,70% 43,88%

0,4 57,65% 74,09% 41,88% 58,30% 32,64% 49,06% 26,07% 42,51%

0,5 59,02% 72,72% 43,25% 56,93% 34,00% 47,70% 27,44% 41,14%

0,6 60,39% 71,35% 44,61% 55,56% 35,37% 46,33% 28,81% 39,77%

0,7 61,76% 69,98% 45,98% 54,19% 36,74% 44,96% 30,18% 38,40%

0,8 63,13% 68,61% 47,35% 52,83% 38,11% 43,59% 31,55% 37,03%

0,9 64,50% 67,24% 48,72% 51,46% 39,48% 42,22% 32,92% 35,66%

1 65,87% 65,87% 50,09% 50,09% 40,85% 40,85% 34,29% 34,29%

propio. Como riesgo de mercado emergente se tomó el riesgo país (Coun-try Risk Premium, CR) sobre la base del modelo de Damodaran (2015). Para Argentina, en marzo 2019 representaba 764 puntos básicos. Los datos de coeficientes betas no apalancados comparables y riesgo de país son obte-nidos del sitio de Damodaran.12 Obtenida la tasa de rendimiento en dólares estadounidenses (ke x,), esta se convierte a pesos domésticos (ke,n) (ecuación 17). El costo de la deuda nominal en pesos surge de la curva de rendimien-tos de bonos locales en moneda doméstica (Gráfico 2). Todo el desglose de las variables correspondiente al modelo aditivo utilizado, para estimar el costo del capital propio es expuesto en el anexo B, Cuadro B.3. Con los datos del Cuadro del anexo B, Cuadro B.4 (ccpp estimado en términos reales) fue construido el NBT para el ccpp, incorporando la variable inflación domésti-ca, empleando el Cuadro 2, anexo B, Cuadro B.2, ecuaciones 17 y 19, (véase Cuadro 6).

El ccpp expresado en moneda extranjera se obtuvo a partir del ccpp bo-rroso en moneda doméstica. Se utilizaron los datos del Cuadro 6, Cuadro B.1, Cuadro B.2 y ecuación 18, (véase Cuadro 7).

12 Los datos son obtenidos del sitio de A. Damodaran, correspondiente al riesgo país depurado de riesgo crediticio, http://people.stern.nyu.edu/adamodar/New_Ho-me_Page/datafile/ctryprem.html




3.5. NBT el flujo de fondos (paso 3)

Para estimar el NBT correspondiente al flujo de fondos proyectados, se debe trabajar en forma individual cada elemento, destacando que las cantidades adoptan un comportamiento borroso independiente del proyectado para las variables nominales (precios). A continuación se detallan cada una de las variables que integran la magnitud financiera. La información detallada correspondiente a los α-cortes se expone en el anexo B.

a) Cantidades borrosas: se proyectó un NBT para cantidades. Las magni-tudes proyectadas de manera puntual son t1 = 10,000, t2 = 11,000, t3 = 11,500 y t4 = 12,000, con desvío estándar estimado de 20%, el cuál oficia de CV. Con estos datos se elaboró el NBT correspondiente a α-cortes de cantidades, con-forme se expone en el Cuadro B.5 del anexo.

b) Contribución marginal borrosa: se parten de valores en t0 para el pre-cio unitario de venta ($152), costo variable unitario ($108) y contribución marginal ($44). Para proyectar los valores en moneda de cierre borrosa de cada periodo, se utilizó la ecuación 20 y los datos del Cuadro B.2. En el Cua-dro B.6 del anexo, son presentados los valores para α-cortes.

Cuadro 7. NBT ccpp extranjero (ecuación 18)


α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 4.45% 45.72% 2.70% 48.06% 1.23% 49.51% 0.24% 51.24%

0.1 6.21% 43.30% 4.60% 45.35% 3.24% 46.62% 2.33% 48.14%

0.2 8.00% 40.93% 6.52% 42.69% 5.29% 43.80% 4.47% 45.11%

0.3 9.82% 38.60% 8.48% 40.09% 7.38% 41.03% 6.64% 42.15%

0.4 11.66% 36.31% 10.48% 37.53% 9.51% 38.31% 8.86% 39.26%

0.5 13.54% 34.06% 12.50% 35.03% 11.67% 35.66% 11.12% 36.42%

0.6 15.44% 31.85% 14.57% 32.57% 13.88% 33.05% 13.43% 33.65%

0.7 17.37% 29.68% 16.67% 30.16% 16.13% 30.50% 15.78% 30.94%

0.8 19.34% 27.54% 18.80% 27.80% 18.42% 28.00% 18.18% 28.28%

0.9 21.34% 25.44% 20.98% 25.47% 20.76% 25.54% 20.63% 25.67%

1 23.37% 23.37% 23.20% 23.20% 23.14% 23.14% 23.12% 23.12%




c) Contribución marginal borrosa por cantidades borrosas: se obtuvo con la ecuación 21 y los datos de los Cuadros B.5 y B.6. En el Cuadro B.7 del ane-xo, se expresa los valores para los periodos proyectados,

d) Costos fijos borrosos: en moneda inicial ascienden a $2,000,000, su proyección en moneda de cierre borrosa se obtuvo empleando la ecuación 22 y los datos del Cuadro B.2. Los valores proyectados del nbt se exponen en el Cuadro B.8

f) Capital de trabajo borroso: se supone que el giro del negocio requiere de una inversión en capital de trabajo de 5% del valor correspondiente a la contribución marginal. El NBT correspondiente a la inversión incremental en capital de trabajo se obtuvo empleando la ecuación 23 y los datos del Cuadro B.7. Los valores proyectados del NBT para el capital de trabajo se exponen en el Cuadro B.9.

g) Flujo de fondos libres borroso en moneda doméstica: finalmente se lle-gó al flujo de fondos libres, empleando la ecuación 24 y los valores corres-pondientes en los Cuadros B.7, B.8 y B.9. Se supone una tasa de interés que con ganancias de 35% se mantiene constante. Los valores correspondientes para α-cortes, para cada periodo son expuestos en la siguiente tabla, véase Cuadro 8.

3.6. NBT descuento de flujos de fondos en moneda local y extran-jera (paso 4)

Finalmente se calculó el valor actual de los flujos de fondos expresados en moneda de cierre doméstica. Se aplicó la ecuación 25 con los elementos borrosos (nbt) los cuales son: costo del capital nominal en moneda doméstica (ecuaciones 17 y 18) y los flujos de fondos proyectados (ecuación 24). El Cuadro 9 expone los valores actuales correspondientes a los extremos inferiores y superiores para α-cortes. El Cuadro B.10 presenta el valor actual para α-cortes, de los flujos de fondos.

El valor en dólares de cierre se estimó aplicando las ecuaciones 26 y 27. La primera estima el NBT de los flujos de fondos en dólares futuros, median-te las ecuaciones 14, 24 y los datos del anexo B, tabla B.11. La ecuación 27 es utilizada para calcular el NBT del valor actual en dólares, mediante la ecua-ción 18 y 26 y los datos del anexo B, Cuadro B.12, véase Cuadro. 10.




Cu

adro

8. N

BT

flujo

de

fon

do

s lib

res

(ecu

acio

nes

21

, 22

, 23

y 2

4)

Fuen

te: e

lab

ora

ció

n p

rop

ia.

α

1i

1s

2i

2s

3i

3s

4i

4s

0

$ 5

55,0

05.3

7

$ 3

,228

,495

.54

$

903

,999

.15

$

3,8

10,3

79.1

1

$ 9

33,3

16.1

8

$ 3

,846

,814

.63

$

969

,055

.68

$

3,9

08,1

04.9

9

0.1

$

677

,353

.61

$

3,0

83,4

94.7

6

$ 1

,035

,915

.39

$

3,6

51,6

57.3

6

$ 1

,064

,927

.64

$

3,6

87,0

76.2

5

$ 1

,101

,331

.18

$

3,7

46,4

75.5

6

0.2

$

800

,894

.08

$

2,9

39,6

86.2

2

$ 1

,169

,242

.45

$

3,4

94,3

46.4

2

$ 1

,198

,019

.48

$

3,5

28,8

18.2

4

$ 1

,235

,151

.63

$

3,5

86,3

91.0

8

0.3

$

925

,626

.80

$

2,7

97,0

69.9

2

$ 1

,303

,980

.33

$

3,3

38,4

46.3

0

$ 1

,332

,591

.67

$

3,3

72,0

40.5

9

$ 1

,370

,517

.02

$

3,4

27,8

51.5

4

0.4

$

1,0

51,5

51.7

5

$ 2

,655

,645

.85

$

1,4

40,1

29.0

2

$ 3

,183

,957

.00

$

1,4

68,6

44.2

3

$ 3

,216

,743

.30

$

1,5

07,4

27.3

6

$ 3

,270

,856

.94

0.5

$

1,1

78,6

68.9

4

$ 2

,515

,414

.03

$

1,5

77,6

88.5

3

$ 3

,030

,878

.51

$

1,6

06,1

77.1

5

$ 3

,062

,926

.38

$

1,6

45,8

82.6

4

$ 3

,115

,407

.29

0.6

$

1,3

06,9

78.3

8

$ 2

,376

,374

.44

$

1,7

16,6

58.8

5

$ 2

,879

,210

.84

$

1,7

45,1

90.4

4

$ 2

,910

,589

.82

$

1,7

85,8

82.8

6

$ 2

,961

,502

.58

0.7

$

1,4

36,4

80.0

5

$ 2

,238

,527

.10

$

1,8

57,0

39.9

9

$ 2

,728

,953

.98

$

1,8

85,6

84.0

9

$ 2

,759

,733

.62

$

1,9

27,4

28.0

2

$ 2

,809

,142

.81

0.8

$

1,5

67,1

73.9

6

$ 2

,101

,871

.99

$

1,9

98,8

31.9

5

$ 2

,580

,107

.94

$

2,0

27,6

58.1

0

$ 2

,610

,357

.79

$

2,0

70,5

18.1

3

$ 2

,658

,327

.99

0.9

$

1,6

99,0

60.1

1

$ 1

,966

,409

.12

$

2,1

42,0

34.7

3

$ 2

,432

,672

.72

$

2,1

71,1

12.4

8

$ 2

,462

,462

.32

$

2,2

15,1

53.1

8

$ 2

,509

,058

.11

1

$ 1

,832

,138

.50

$

1,8

32,1

38.5

0

$ 2

,286

,648

.32

$

2,2

86,6

48.3

2

$ 2

,316

,047

.22

$

2,3

16,0

47.2

2

$ 2

,361

,333

.17

$

2,3

61,3

33.1

7




Cuadro 9. NBT valor actual en moneda doméstica (ecuación 25)

Α i S

0 $ 965.905-97 $ 6.642.585-26

0-1 $ 1.147.744-40 $ 6.220.399-89

0-2 $ 1.337.390-74 $ 5.817.737-49

0-3 $ 1.535.215-04 $ 5.433.534-79

0,4 $ 1.741.609,05 $ 5.066.797-94

0-5 $ 1.956.987-82 $ 4.716.597-33

0-6 $ 2.181.791-28 $ 4.382.062-77

0-7 $ 2.416.486-06 $ 4.062.379-11

0-8 $ 2.661.567-32 $ 3.756.782-23

0-9 $ 2.917.560-91 $ 3.464.555-33

1 $ 3.185.025-56 $ 3.185.025-56


Α i S

0 $ 10,803.53 $ 166,634.69

0.1 $ 13,347.41 $ 148,773.61

0.2 $ 16,147.60 $ 132,802.24

0.3 $ 19,231.07 $ 118,502.69

0.4 $ 22,628.00 $ 105,684.25

0.5 $ 26,372.23 $ 94,179.77

0.6 $ 30,501.74 $ 83,842.62

0.7 $ 35,059.19 $ 74,543.92

0.8 $ 40,092.61 $ 66,170.30

0.9 $ 45,656.07 $ 58,621.88

1 $ 51,810.57 $ 51,810.57


Cuadro 10. NBT valor actual en moneda extranjera (ecuación 27)




Cu

adro

11

. Co

mp

rob

ació

n N

BT

VA

N

α=1

1i

1s

2i

2s

3i

3s

4i

4s

FF

en

mon

eda

$ 1

,832

,138

.50

$

1,83

2,13

8.50

$

2,28

6,64

8.32

$

2,2

86,6

48.3

2

$ 2

,316

,047

.22

$

2,31

6,04

7.22

$

2,3

61,3

33.1

7

$ 2

,361

,333

.17

de

cie

rre

FF

en

mon

eda

$ 1

,340

,000

.00

$

1,34

0,00

0.00

$

1,35

0,84

0.01

$

1,3

50,8

40.0

1

$ 1

,177

,923

.58

$

1,17

7,92

3.58

$

1,0

85,0

90.7

9

$ 1

,085

,090

.79

de

inci

o

C

CPP

en

21.3

2%

21.3

2%

21.2

3%

21.2

3%

21.2

6%

21.2

6%

21.3

4%

21.3

4%

té

rmin

os re

ales

VA

FFα=1

$1,104,560.63$1,104,560.63$918,506.37

$918,506.37

$660,500.83

$660,500.83

$501,457.74

$501,457.74

VA

Nα=1

$3,185,025.56

α=0

1i

1s

2i

2s

3i

3s

4i

4s

FF

en

mon

eda

$ 5

55,0

05.3

7

$ 3

,228

,495

.54

$

903

,999

.15

$

3,8

10,3

79.1

1

$ 9

33,3

16.1

8

$ 3

,846

,814

.63

$

969

,055

.68

$

3,9

08,1

04.9

9

de c

ierr

e

FF

en

mon

eda

$ 4

42,4

58.8

4

$ 2

,181

,166

.88

$

640

,515

.57

$

1,9

05,5

20.8

1

$ 6

30,6

14.4

2

$ 1

,509

,476

.24

$

658

,796

.02

$

1,2

57,3

18.1

9

de in

cio

C

CPP

en

2.81

%

43.1

5%

0.97

%

45.5

6%

.0.2

2%

47.3

7%

-1.1

3%

48.9

0%

té

rmin

os re

ales

VA

FFα=0

$309,079.82$2,121,586.01$307,391.45

$1,835,727.07

$205,357.26$1,457,446.49

$144,077.43

$1,227,825.69

VA

FFα=0(i)

$965,905.97

VA

FFα=0(s)

$6,642,585.26

Fu

ente

: ela

bo

raci

ón

pro

pia

.




3.7. Validación matemática nbt y paridades tipos de cambio (paso 4)

En equilibrio, la diferencia en las tasas de inflación entre dos países, explica el precio expresado en dos monedas para un mismo bien (empresa). El valor de la firma se explica por el interés, el tipo de cambio de contado y futuro, los precios de productos e insumos y el costo del capital. Para corroborar la consistencia de cálculos en α = 1, las magnitudes de flujos en moneda de cierre doméstica y tasa de costo de capital son transformadas en moneda inicial (términos reales). El Valor Actual de las magnitudes reales debe ser el mismo que el obtenido en los Cuadros 9 y en el anexo B, Cuadro B.10, expresadas en términos nominales, véase Cuadro 11.

El NBT triangular correspondiente al valor actual de los flujos reales, es el mismo que el obtenido a partir de los nominales: VA a-α, ε(0)=$965,905.97; a, ε(1)=$3,185,025.56; a+β, ε(0)=$6,642,582.26. En moneda extranjera se co-rrobora la consistencia con α-corte =1, el cual se obtuvo del cociente entre el valor actual de los flujos de fondos en pesos y dólares (anexo B, Cuadros B.10 y B.12), véase Cuadro 12.

El valor en moneda extranjera de u$ 51, 810.57 representa para α = 1 el valor actual esperado en moneda extranjera de la corriente de flujos de fondos nominados en pesos, convertidos a tipos de cambio futuros, y actua-lizado a tasa de costo de capital en moneda extranjera y explica la relación presente en el tipo de cambio, ya que el cociente entre los valores actuales en pesos y en moneda extranjera expresan la paridad del tipo de cambio.

Cuadro 12. Comprobación NBT VAN u$-VAN

α=1 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

VA(FF $)/ $ 61.49 $ 61.49 $ 61.49 $ 61.49 $ 61.49 $ 61.49 $ 61.39 $ 61.39 VA (FF u$)

FF u$ $ 21,792.16 $ 21,792.16 $ 21,968.45 $ 21,968.45 $ 19,156.34 $ 19,156.34 $ 17,675.01 $ 17,675.01 reales

CCPP en 21.32% 21.32% 21.23% 21.23% 21.26% 21.26% 21.34% 21.34% términos reales

VA FF $ 17,963.26 $ 17,963.26 $ 14,937.49 $ 14,937.49 $ 10,741.60 $ 10,741.60 $ 8,168.23 $ 8,168.23 u$α=1

VANu$α=1 $51,810.57





3.8. Desarrollo del modelo en MatLab mediante matrices

El anexo A desarrolla el mismo caso utilizando el programa MatLab®. El aporte consiste en programar, mediante matrices y tensores, los NBT correspondientes a cada una de las variables. Los argumentos, variables y salidas son expuestos en la sección A.3.

Conclusiones

El modelo propuesto es una alternativa válida para valorar empresas en marcha en contextos emergentes, volátiles y con un impacto significativo del tipo de cambio, tanto en el precio de las transacciones como en las proyecciones. Adicionalmente éste se erige como un modelo integral, cuyo punto de partida son las teorías de paridad, las cuales sirven de sostén para las proyecciones de los precios correspondientes a las variables macroeconómicas como tasas de interés y tipo de cambio. Permiten inferir y proyectar la inflación esperada de la economía emergente, la cual en casos como el analizado, se encuentra fuertemente explicada por la variación en el tipo de cambio. De las proyecciones correspondientes a las variables nominales, como la proyección de las variables reales, se obtienen los flujos de fondos y tasas de costo de capital, que culminan en la determinación del valor intrínseco de la firma, en términos nominales y reales, expresados en moneda local y extranjera, con tan sólo cuatro pasos. A esto cabe agregar, dentro de un marco integral y coherente con la lógica de las teorías de paridad en el marco de las finanzas internacionales y del modelo de descuento de flujo de fondos.

El trabajo aporta la matemática borrosa al modelo, en particular, a par-tir de la construcción de los valores para variables nominales como tasas de interés e inflación y variables reales (cantidades producidas), lo que permite que el tipo de cambio futuro esperado, flujos de fondos esperados y costo del capital esperado en moneda local y extranjera adquieren el formato de NBT. En tal sentido se brinda un abanico de posibles resultados según el grado de ambigüedad para α-cortes. En un nivel α = 1 se expuso la consistencia del modelo en moneda extranjera y doméstica, como la paridad entre el NBT del descuento de flujos de fondos estimado con magnitudes financieras no-minales y reales. La matemática borrosa es una herramienta de utilidad, en especial, para contextos caracterizados por la ambigüedad en los datos. Adi-cionalmente, se incorpora el álgebra matricial para las operaciones con NBT en el programa MatLab®, como alternativa al empleo de planillas de cálculo.





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del”. European Journal of Operational Research, núm. 207, pp. 1096-1103.




Anexo A

A.1. Representación matricial de un número borroso

Todo número borroso puede ser expresado a partir de sus cortes-

27

Titman, S y Grinblatt, M. (2002). Financial Markets and Corporate Strategy. NY: McGraw-

Hill.

Velez Pareja, I. (2006). Valoración de flujos de caja en inflación. El caso de la regulación en

el Banco Mundial. Academia. Revista Latinoamericana de Administración(36), 24-49.

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Zdnek, Z. (2010). Generalised Soft Binomial American Real Option Pricing Model. European

Journal of Operational Research(207), 1096-1103.

ANEXO A

A.1 Representación Matricial de un Número Borroso

Todo número borroso puede ser expresado a partir de sus cortes-𝛼𝛼. De alguna manera esto es

discretizarlo para distintos valores de su función de membresía. Para cada corte-𝛼𝛼, la única

información necesaria para definirlo son los límites inferior y superior.

Considerando lo anterior, se puede ver que existe una biyección entre los números borrosos

expresados mediante sus cortes y las matrices de dos columnas. Cualquier número borroso

expresado a partir de sus cortes se puede representar como una matriz de 𝑛𝑛 filas y 2 columnas,

donde cada fila representa un corte 𝛼𝛼 distinto, y las columnas representan los límites inferior

y superior. De manera arbitraria podemos situar la máxima posibilidad en la última fila y la

mínima posibilidad en la primera fila, los demás cortes quedan escalonados acorde.

Sin embargo, la aritmética matricial no resulta aplicable en su totalidad, es decir, hay

operaciones entre números borrosos que no se pueden trasladar directamente a las matrices.

Por lo tanto, es necesario incorporar algunas funciones simples que permitan realizar las

operaciones básicas de los números borrosos usando matrices. La principal ventaja de esta

representación es que muchos lenguajes de programación están diseñado para operar con

matrices (y de manera general con tensores) lo que resulta en menor tiempo de cálculo y en

procesos más simples cuando se implementan programas que tengan que realizar un gran

. De alguna manera esto es discretizarlo para distintos valores de su función de membresía. Para cada corte-

27


Hill.




Publications.




ANEXO A


















, la única información necesaria para definirlo son los límites inferior y superior.

Considerando lo anterior, se puede ver que existe una biyección entre los números borrosos expresados mediante sus cortes y las matrices de dos columnas. Cualquier número borroso expresado a partir de sus cortes se puede representar como una matriz de filas y columnas, donde cada fila re-presenta un corte distinto, y las columnas representan los límites inferior y superior. De manera arbitraria podemos situar la máxima posibilidad en la última fila y la mínima posibilidad en la primera fila, los demás cortes que-dan escalonados acorde.

Sin embargo, la aritmética matricial no resulta aplicable en su totali-dad, es decir, hay operaciones entre números borrosos que no se pueden trasladar directamente a las matrices. Por tanto, es necesario incorporar algunas funciones simples que permitan realizar las operaciones básicas de los números borrosos usando matrices. La principal ventaja de esta repre-sentación es que muchos lenguajes de programación están diseñado para operar con matrices (y de manera general con tensores) lo que resulta en menor tiempo de cálculo y en procesos más simples cuando se implementan programas que tengan que realizar un gran número de operaciones entre números borrosos. Otra ventaja, es que algunas de las operaciones entre nú-meros borrosos pueden transferirse de manera directa a la representación matricial planteada.

A.2. Implementación de la aritmética borrosa

A continuación se presenta la arítmetica de números borrosos a partir de sus cortes (Zadeh 1965). Dados dos números borrosos

28

número de operaciones entre números borrosos. Otra ventaja, es que algunas de las

operaciones entre números borrosos pueden transferirse de manera directa a la representación

matricial planteada.

A.2 Implementación de la Aritmética Borrosa

A continuación se presenta la arítmetica de números borrosos a partir de sus cortes (Zadeh

1965). Dados dos números borrosos 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵, si los consideramos a partir de sus cortes-𝛼𝛼 es

posible escribirlos como 𝐴𝐴(𝛼𝛼) = [𝐴𝐴𝑖𝑖(𝛼𝛼); 𝐴𝐴𝑠𝑠(𝛼𝛼)] y 𝐵𝐵(𝛼𝛼) = [𝐵𝐵𝑖𝑖(𝛼𝛼); 𝐵𝐵𝑠𝑠(𝛼𝛼)], donde el

subíndice 𝑖𝑖 hace referencia al límite inferior, y el subíndice 𝑠𝑠 al límite superior de cada corte.

De esta manera, los números borrosos se pueden pensar como un conjunto de intervalos

cerrados, uno por cada corte que se considere. Entonces, las operaciones básicas quedan

definidas de la siguiente forma:

• Suma: 𝐴𝐴(𝛼𝛼) + 𝐵𝐵(𝛼𝛼) = [𝐴𝐴𝑖𝑖(𝛼𝛼) + 𝐵𝐵𝑖𝑖(𝛼𝛼)]; 𝐴𝐴𝑠𝑠(𝛼𝛼) + 𝐵𝐵𝑠𝑠(𝛼𝛼)] • Inverso de la suma: −𝐴𝐴(𝛼𝛼) = [−𝐴𝐴𝑠𝑠(𝛼𝛼);−𝐴𝐴𝑖𝑖(𝛼𝛼)] • Resta: 𝐴𝐴(𝛼𝛼) − 𝐵𝐵(𝛼𝛼) = 𝐴𝐴(𝛼𝛼) + (−𝐵𝐵(𝛼𝛼)) • Producto: 𝐴𝐴(𝛼𝛼). 𝐵𝐵(𝛼𝛼) = [min𝑗𝑗=𝑖𝑖,𝑠𝑠

𝑘𝑘=𝑖𝑖,𝑠𝑠

{𝐴𝐴𝑗𝑗(𝛼𝛼). 𝐵𝐵𝑘𝑘(𝛼𝛼)};max𝑗𝑗=𝑖𝑖,𝑠𝑠𝑘𝑘=𝑖𝑖,𝑠𝑠

{𝐴𝐴𝑗𝑗(𝛼𝛼). 𝐵𝐵𝑘𝑘(𝛼𝛼)}]

• Inverso del producto: 1𝐴𝐴(𝛼𝛼) = [ 1

𝐴𝐴𝑠𝑠(𝛼𝛼); 1𝐴𝐴𝑖𝑖(𝛼𝛼)

] con 𝐴𝐴𝑖𝑖(𝛼𝛼) ≠ 0 y 𝐴𝐴𝑠𝑠(𝛼𝛼) ≠ 0 para todo 𝛼𝛼

• División: 𝐴𝐴(𝛼𝛼)𝐵𝐵(𝛼𝛼) = 𝐴𝐴(𝛼𝛼). 1𝐵𝐵(𝛼𝛼)

Para poder incorporar esta aritmética a la representación matricial que se propone, primero

definir algunas operaciones13 sobre las matrices. Dadas dos matrices ��𝐴 y ��𝐵, con dos columnas

y 𝑛𝑛 filas cada una, se definen las siguientes operaciones:

• Permutación de columnas14: (𝜎𝜎(��𝐴))𝑗𝑗1 = ��𝐴𝑗𝑗2 y (𝜎𝜎(��𝐴))𝑗𝑗2 = ��𝐴𝑗𝑗1 para todo 𝑗𝑗 • Producto elemento a elemento15: (��𝐴 ∗ ��𝐵)𝑖𝑖𝑗𝑗 = ��𝐴𝑖𝑖𝑗𝑗. ��𝐵𝑖𝑖𝑗𝑗 • Inverso del producto elemento a elemento: 𝜂𝜂(��𝐴)𝑖𝑖𝑗𝑗 =

1��𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖

Es importante notar que todas las operaciones anteriores son cerradas sobre el conjunto que

nos interesa, es decir, devuelven como resultado matrices de 𝑛𝑛 filas y 2 columnas. Ahora se

tienen las condiciones para incorporar la aritmética borrosa presentada antes a la

13 Las operaciones que se definirán son de uso muy frecuente y de implementación sencilla en lenguajes de programación matriciales como MatLab, Python (NumPy) y R 14 En ocasiones puede resultar conveniente definir la permutación de columnas a partir de un producto matricial usando una matriz de permutación adecuada. 15 También conocido como producto de Hadamard que es asociativo, conmutativo y distributivo con la suma.

si los consideramos a partir de sus cortes-

27


Hill.




Publications.




ANEXO A


















es posible escribirlos como

28





























, donde el subíndice

28





























hace referencia al límite inferior, y el subíndice

28





























al límite superior de cada corte. De esta manera, los números borrosos se pueden pensar como un conjunto de intervalos cerrados, uno por cada corte que se considere. Entonces, las operaciones básicas quedan definidas de la siguiente forma:




• Suma:

28





























• Inverso de la suma:

28





























• Resta:

28





























• Producto:

28





























• Inverso del producto:

28





























con y para todo

28





























• División:

28





























Para poder incorporar esta aritmética a la representación matricial que se propone, primero definir algunas operaciones13 sobre las matrices. Dadas dos matrices

28





























, con dos columnas y

28





























filas cada una, se definen las si-guientes operaciones:

• Permutación de columnas:14

28





























y para todo

28





























• Producto elemento a elemento:15

28





























• Inverso del producto elemento a elemento:

28





























Es importante notar que todas las operaciones anteriores son cerra-das sobre el conjunto que nos interesa, es decir, devuelven como resultado matrices de

28





























filas y columnas. Ahora se tienen las condiciones para incor-porar la aritmética borrosa presentada antes a la representación matricial desarrollada. Considerese dos números borrosos

29

representación matricial desarrollada. Considerese dos números borrosos 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 con sus

respectivas representaciones matriciales ��𝐴 y ��𝐵 con 𝑛𝑛 cortes-𝛼𝛼, la aritmética borrosa queda

representada de la siguiente manera:

1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵

Es la suma matricial usual.

2. Inverso de la suma: −𝐴𝐴 → −𝜎𝜎(��𝐴) Permutación de columnas con signo opuesto.

3. Producto:

(a) Para empezar se debe definir una matriz auxiliar ��𝐷 de 𝑛𝑛 filas y 4 columnas,

como la concatenación de la matriz ��𝐴 ∗ ��𝐵 y ��𝐴 ∗ 𝜎𝜎(��𝐵), de manera que las dos primeras

columnas de ��𝐷 son las dos columnas de ��𝐴 ∗ ��𝐵.

(b) Considerese la matriz ��𝑅 de 𝑛𝑛 filas y 2 columnas. De forma que ��𝑅𝑖𝑖1 =min

𝑘𝑘=1,2,3,4{��𝐷𝑖𝑖𝑘𝑘} y ��𝑅𝑖𝑖2 = max

𝑘𝑘=1,2,3,4{��𝐷𝑖𝑖𝑘𝑘} para todo 𝑖𝑖.

Se obtiene que 𝐴𝐴. 𝐵𝐵 → ��𝑅

4. Inverso del producto16: 1𝐴𝐴 → 𝜎𝜎(𝜂𝜂(��𝐴))

La matriz inversa del producto elemento a elemento con sus columnas permutadas.

A.3 Implementación del modelo en MatLab ®.

A.3.1. Implementación en MatLab® de las matemáticas borrosas:

En la presente sección primero se expone la implementación en MatLab de la aritmética

borrosa para la representación matricial propuesta, a continuación se procede a desarrollar el

mdoelo. En tal sentido es importante remarcar que la suma entre números borrosos como la

adición y producto por escalares son un derivado natural del álgebra de matrices. En este caso,

las operaciones fueron implementadas como funciones para luego ser utilizadas en el modelo.

A continuación se presentan los argumentos para la suma y resta: INVERSO DE LA SUMA: function I = fuzz_invsum(A) I = [-A(:,2) -A(:,1)]; %permutación de columnas con signo opuesto end

A partir de la función anterior se puede programar la resta.

16 Solo para números borrosos definido sobre ℝ +

con sus respectivas representaciones matriciales

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















con

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















cortes-

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















, la aritmética borrosa queda representada de la siguiente manera:

13 Las operaciones que se definirán son de uso muy frecuente y de implementación sencilla en lenguajes de programación matriciales como MatLab, Python (NumPy) y R

14 En ocasiones puede resultar conveniente definir la permutación de columnas a partir de un producto matricial usando una matriz de permutación adecuada.

15 También conocido como producto de Hadamard que es asociativo, conmutativo y distributivo con la suma.




1. Suma:

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:





















2. Inverso de la suma:

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















Permutación de columnas con signo opuesto. 3. Producto:

(a) Para empezar se debe definir una matriz auxiliar

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















de

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















filas y 4 co-lumnas, como la concatenación de la matriz

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















, de manera que las dos primeras columnas de

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















son las dos columnas de

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















.

(b) Considerese la matriz

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















de

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















filas y 2 columnas. De forma que

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















y para todo

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















.

Se obtiene que

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:




















4. Inverso del producto:16

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:





















A.3. Implementación del modelo en MatLab ®

A.3.1. Implementación en MatLab® de las matemáticas borrosas

En la presente sección, primero se expone la implementación en MatLab de la aritmética borrosa para la representación matricial propuesta, a continuación se procede a desarrollar el modelo. En tal sentido es importante remarcar que la suma entre números borrosos como la adición y producto por escalares son un derivado natural del álgebra de matrices. En este caso, las operaciones fueron implementadas como funciones para luego ser utilizadas en el modelo. A continuación se presentan los argumentos para la suma y resta:

INVERSO DE LA SUMA:function I = fuzz_invsum(A)

16 Solo para números borrosos definido sobre

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:























I = [-A(:,2) -A(:,1)]; %permutación de columnas con signo opuesto

endA partir de la función anterior se puede programar la resta.

RESTA:function R = fuzz_sub(A,B)R = A + fuzz_invsum(B);end

Después la programación para el producto y su inversa para la división: PRODUCTO:function P = fuzz_prod(A,B)n = length(A(:,1)); %n es la cantidad de cortes

AUX1 = [B(:,2) B(:,1)];

D = [A.*B A.*AUX1]; %matriz auxiliar de 4 columnas

for i = 1:n %para todos los cortes se toma el mínimo y el máximo

P(i,1)=min(D(i,:));

P(i,2)=max(D(i,:));

end

end

INVERSO DEL PRODUCTO:17

function I = fuzz_invprod(A)AUX = 1./A; % inverso elemento a elemento

I = [AUX(:,2) AUX(:,1)];end

Utilizando la función anterior se programa la división.DIVISIÓN:function C = fuzz_div(A,B)C = fuzz_prod(A,fuzz_invprod(B));

end

Una vez efectuado lo anterior, se definen las funciones auxiliares del modelo. En primer lugar, se define la función generadora de números borrosos

17 Solo para matrices con todos sus elementos en el conjunto de

29




1. Suma: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 → ��𝐴 + ��𝐵



3. Producto:























triangulares. Como todo NBT una grilla de valores de cortes-

30

RESTA: function R = fuzz_sub(A,B) R = A + fuzz_invsum(B); end

Después la programación para el producto y su inversa para la división: PRODUCTO: function P = fuzz_prod(A,B) n = length(A(:,1)); %n es la cantidad de cortes AUX1 = [B(:,2) B(:,1)]; D = [A.*B A.*AUX1]; %matriz auxiliar de 4 columnas for i = 1:n %para todos los cortes se toma el mínimo y el máximo P(i,1)=min(D(i,:)); P(i,2)=max(D(i,:)); end end INVERSO DEL PRODUCTO17: function I = fuzz_invprod(A) AUX = 1./A; % inverso elemento a elemento I = [AUX(:,2) AUX(:,1)]; end

Utilizando la función anterior se programa la división. DIVISIÓN: function C = fuzz_div(A,B) C = fuzz_prod(A,fuzz_invprod(B)); end

Una vez efectuado lo anterior, se definen las funciones auxiliares del modelo. En primer lugar,

se define la función generadora de números borrosos triangulares. Como todo NBT una grilla

de valores de cortes-𝛼𝛼 y los extremos del número borroso triangular, extrapolado cada corte

los vértices con el fin de obtener los valores para los extremos superior e inferior18. A

continuación se detallan los argumentos:

NBT: function M = NBT(alpha_c,a,b,c) li = alpha_c*(b - a) + a; ls = alpha_c*(b - c) + c; M = [li.’ ls.’]; end

Para ilustrar con un ejemplo la función anterior, se pueden considerar los cortes (0; 0,25; 0,5;

0,75; 1) y los vértices (1; 2; 4). Donde el vértice 2 es el asociado a la máxima posibilidad. La

aplicación de la función sería:

17 Solo para matrices con todos sus elementos en el conjunto de ℝ+ 18 Un desarrollo de la lógica de las matemáticas borrosas se puede encontrar en Zadhef (1965).

y los extremos del número borroso triangular, extrapolado cada corte los vértices con el fin de obtener los valores para los extremos superior e inferior.18 A continuación se detallan los argumentos:

NBT:function M = NBT(alpha_c,a,b,c)li = alpha_c*(b - a) + a;ls = alpha_c*(b - c) + c;M = [li.’ ls.’];end

Para ilustrar con un ejemplo la función anterior, se pueden considerar los cortes (0; 0,25; 0,5; 0,75; 1) y los vértices (1; 2; 4). Donde el vértice 2 es el asociado a la máxima posibilidad. La aplicación de la función sería:

31

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁((0; 0,25; 0,5; 0,75; 1), 1, 2, 4) =

[ 1 41,25 3,51,5 31,75 2,52 2

]

(A.1)

De la suma se desprende la implementación de la suma por páginas para un tensor19 que

representa un número borroso temporal. Se puede programar recursivamente de la siguiente

manera: SUMA POR PÃ•GINAS: function S = fuzz_sum(A) S = zeros(size(A(:,:,1))); n = length(A(1,1,:)); %cuenta la cantidad de páginas for i = 1:n S = S + A(:,:,i); end end

La implementación de la potencia de números borrosos también se puede programar

recursivamente a partir del producto de dos números borrosos representados como matrices POTENCIA: function P = fuzz_pot(A,n) P = ones(size(A)); for i=1:n P = fuzz_prod(P,A); end end

A.3.2. Número Borroso en tiempo discreto

La necesidad de utilizar la lógica borrosa en modelos dinámicos lleva a extender la

representación matricial de los números borrosos, considerando el componente temporal. Si

se considera el tiempo discreto 𝑡𝑡, con 𝑡𝑡 un número natural y un número borroso 𝐴𝐴 que puede

variar en el tiempo, entonces decimos que 𝐴𝐴𝑡𝑡 es el número borroso 𝐴𝐴 en el periodo 𝑡𝑡. Para

capturar los distintos estados que un número borroso puede tomar en el tiempo resulta natural

extender nuestra representación matricial a tensores. Un tensor es un elemento algebraico que

generaliza el concepto de matriz. En nuestro caso utilizaremos tensores de orden 3, es decir,

que tendrán filas, columnas y páginas. Estas últimas serán las que designen cada periodo del

tiempo discreto. Dado 𝐴𝐴, un número borroso que puede tomar distintos valores en el tiempo

(número borroso temporal), tenemos que su representación tensorial ��𝐴, es un tensor de orden

3, con 𝑛𝑛 filas (una por cada corte 𝛼𝛼), 2 columnas y 𝑡𝑡 páginas, donde 𝑡𝑡 es el número de periodos

19 Un tensor es un elemento algebraico que generaliza el concepto de matriz.

(A.1)

De la suma se desprende la implementación de la suma por páginas para un tensor19 que representa un número borroso temporal. Se puede progra-mar recursivamente de la siguiente manera:

SUMA POR PAGINAS:function S = fuzz_sum(A)S = zeros(size(A(:,:,1)));n = length(A(1,1,:)); %cuenta la cantidad de páginas

for i = 1:nS = S + A(:,:,i);endend

18 Un desarrollo de la lógica de las matemáticas borrosas se puede encontrar en Zad-hef (1965).





La implementación de la potencia de números borrosos también se pue-de programar recursivamente a partir del producto de dos números borro-sos representados como matrices:

POTENCIA:function P = fuzz_pot(A,n)P = ones(size(A));for i=1:nP = fuzz_prod(P,A);endend

A.3.2. Número borroso en tiempo discreto

La necesidad de utilizar la lógica borrosa en modelos dinámicos lleva a extender la representación matricial de los números borrosos, considerando el componente temporal. Si se considera el tiempo discreto t, con t un número natural y un número borroso A que puede variar en el tiempo, entonces decimos que

31

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁((0; 0,25; 0,5; 0,75; 1), 1, 2, 4) =

[ 1 41,25 3,51,5 31,75 2,52 2

]

(A.1)



















es el número borroso A en el periodo t. Para capturar los distintos estados que un número borroso puede tomar en el tiempo resulta natural extender nuestra representación matricial a tensores. Un tensor es un elemento algebraico que generaliza el concepto de matriz. En nuestro caso utilizaremos tensores de orden 3, es decir, que tendrán filas, columnas y páginas. Estas últimas serán las que designen cada periodo del tiempo discreto. Dado A, un número borroso que puede tomar distintos valores en el tiempo (número borroso temporal), tenemos que su representación tensorial

31

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁((0; 0,25; 0,5; 0,75; 1), 1, 2, 4) =

[ 1 41,25 3,51,5 31,75 2,52 2

]

(A.1)



















, es un tensor de orden 3, con

31

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁((0; 0,25; 0,5; 0,75; 1), 1, 2, 4) =

[ 1 41,25 3,51,5 31,75 2,52 2

]

(A.1)



















filas (una por cada corte

31

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁((0; 0,25; 0,5; 0,75; 1), 1, 2, 4) =

[ 1 41,25 3,51,5 31,75 2,52 2

]

(A.1)



















), 2 columnas y t páginas, donde t es el número de periodos de tiempo para los cuales está definido A. De esta manera,

31

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁((0; 0,25; 0,5; 0,75; 1), 1, 2, 4) =

[ 1 41,25 3,51,5 31,75 2,52 2

]

(A.1)



















es representado por la matriz

32

de tiempo para los cuales está definido A. De esta manera, 𝐴𝐴𝑡𝑡 es representado por la matriz ��𝐴𝑡𝑡

de 𝑛𝑛 filas y 2 columnas de la página 𝑡𝑡 del tensor ��𝐴, que representa al número borroso temporal

𝐴𝐴. A continuación se muestra un ejemplo de representación tensorial ��𝐴 que se corresponde

con un número borroso temporal 𝐴𝐴 para 𝑡𝑡 periodos de tiempo:

��𝐴 =

[ 𝑎𝑎111 𝑎𝑎121𝑎𝑎211 𝑎𝑎221⋮ ⋮𝑎𝑎𝑛𝑛11 𝑎𝑎𝑛𝑛21

]

𝑃𝑃á𝑔𝑔1


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔2

…

[ 𝑎𝑎11𝑇𝑇 𝑎𝑎12𝑇𝑇𝑎𝑎21𝑇𝑇 𝑎𝑎22𝑇𝑇⋮ ⋮𝑎𝑎𝑛𝑛1𝑇𝑇 𝑎𝑎𝑛𝑛2𝑇𝑇

]

𝑃𝑃á𝑔𝑔𝑇𝑇

(A.2)

En la lógica del MatLab ®, otra manera de definir un tensor es como un conjunto ordenado

de matrices, donde cada matriz es una página distinta. A modo de ejemplo, en el tensor ��𝐴 el

elemento 𝑎𝑎𝑖𝑖1𝑘𝑘 representa el límite superior (porque corresponde a la primera columna) del 𝑖𝑖 −é𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 corte-𝛼𝛼 correspondiente al periodo 𝑘𝑘 del NB temporal A.

A.3.3 Las ecuaciones del modelo:

La implementación en MatLab de las ecuaciones anteriores, y los valores iniciales de los

insumos. Algunas consideraciones necesarias para la representación del modelo:

a) Las ecuaciones 8 a 24 se referencian para un periodo 𝑡𝑡, quiere decir que se deben

realizar todas las operaciones por páginas20.

b) Muchas de las ecuaciones contienen operaciones entre números borrosos y escalares.

Con la representación matricial propuestas estas operaciones son directas, ya que la

suma y el producto de una matriz por un escalar se realiza elemento a elemento.

c) La determinación del valor del proyecto (ecuaciones 25, 26 y 27) requiere de la suma

del flujo de fondos descontado sobre todos los periodos. Significa sumar sobre las

páginas del número borroso temporal que representa el flujo de fondo descontado. Se

utilizó una función que suma todas las páginas de un número borroso temporal.

d) Otra función auxiliar necesaria para el modelo es la pontenciación de números

borrosos.

En primer lugar se define el periodo temporal a considerar (t = 4) a considerar y se generan

los números borrosos correspondientes a proyeciones de inflación doméstica, extranjera,

y cantidades. T = 4; %Cantidad de periodos considerados

20 La programación de todas las ecuaciones página por página se puede hacer usando un loop.

de

31

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁((0; 0,25; 0,5; 0,75; 1), 1, 2, 4) =

[ 1 41,25 3,51,5 31,75 2,52 2

]

(A.1)



















filas y 2 columnas de la página t del tensor

32





��𝐴 =


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔1


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔2

…


]


(A.2)

















borrosos.





, que representa al número borroso temporal A. A continuación se muestra un ejemplo de representación tensorial

32





��𝐴 =


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔1


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔2

…


]


(A.2)

















borrosos.





que se corresponde con un número borroso temporal A para t periodos de tiempo:

32





��𝐴 =


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔1


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔2

…


]


(A.2)

















borrosos.





(A.2)




En la lógica del MatLab®, otra manera de definir un tensor es como un conjunto ordenado de matrices, donde cada matriz es una página distinta. A modo de ejemplo, en el tensor

32





��𝐴 =


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔1


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔2

…


]


(A.2)

















borrosos.





el elemento

32





��𝐴 =


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔1


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔2

…


]


(A.2)

















borrosos.





representa el límite superior (porque corresponde a la primera columna) del

32





��𝐴 =


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔1


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔2

…


]


(A.2)

















borrosos.





ésimo corte-

32





��𝐴 =


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔1


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔2

…


]


(A.2)

















borrosos.





correspondiente al periodo k del NB temporal A.

A.3.3. Las ecuaciones del modelo

La implementación en MatLab de las ecuaciones anteriores, y los valores iniciales de los insumos. Algunas consideraciones necesarias para la representación del modelo:

a) Las ecuaciones 8 a 24 se referencian para un periodo t, quiere decir que se deben realizar todas las operaciones por páginas.20

b) Muchas de las ecuaciones contienen operaciones entre números bo-rrosos y escalares. Con la representación matricial propuesta estas operaciones son directas, ya que la suma y el producto de una matriz por un escalar se realiza elemento a elemento.

c) La determinación del valor del proyecto (ecuaciones 25, 26 y 27) re-quiere de la suma del flujo de fondos descontados sobre todos los periodos. Significa sumar sobre las páginas del número borroso tem-poral que representa el flujo de fondo descontado. Se utilizó una fun-ción que suma todas las páginas de un número borroso temporal.

d) Otra función auxiliar necesaria para el modelo es la potenciación de números borrosos.

En primer lugar se define el periodo temporal a considerar (t = 4) a con-siderar, y se generan los números borrosos correspondientes a proyecciones de inflación doméstica, extranjera y cantidades producidas.

T = 4; %Cantidad de periodos considerados

%NBT para la inflacion extranjera de cada periodo

pi_e(:,:,1) = NBT(0:0.1:1, 0.0152, 0.0160, 0.0168);pi_e(:,:,2) = NBT(0:0.1:1, 0.0146, 0.0154, 0.0162);

20 La programación de todas las ecuaciones página por página se puede hacer usan-do un

32





��𝐴 =


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔1


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔2

…


]


(A.2)

















borrosos.




20 La programación de todas las ecuaciones página por página se puede hacer usando un loop. .

32





��𝐴 =


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔1


]

𝑃𝑃á𝑔𝑔2

…


]


(A.2)

















borrosos.








pi_e(:,:,3) = NBT(0:0.1:1, 0.0140, 0.0148, 0.0156);pi_e(:,:,4) = NBT(0:0.1:1, 0.0134, 0.0142, 0.0150);%NBT para la inflacion doméstica de cada periodo

pi_d(:,:,1) = NBT(0:0.1:1, 0.1842, 0.2292, 0.2743);pi_d(:,:,2) = NBT(0:0.1:1, 0.1329, 0.1779, 0.2229);pi_d(:,:,3) = NBT(0:0.1:1, 0.1023, 0.1473, 0.1923);pi_d(:,:,4) = NBT(0:0.1:1, 0.0803, 0.1253, 0.1703);%NBT para las cantidades de cada periodo

q(:,:,1) = NBT(0:0.1:1, 80000, 100000, 120000);q(:,:,2) = NBT(0:0.1:1, 88000, 110000, 132000);q(:,:,3) = NBT(0:0.1:1, 92000, 115000, 138000);q(:,:,4) = NBT(0:0.1:1, 96000, 120000, 144000);

Los números borrosos anteriores están definidos para cada periodo que se considera, es decir, son números borrosos temporales en su representa-ción tensorial. En la Gráfica A.3.1 se puede apreciar cada proyección para los periodos considerados.

A continuación se incorporan los demás insumos del modelo;

%Tasa real estimada para cada periodo

r_r = [0.0294, 0.0376, 0.0429, 0.0469];%Tipo de cambio Spot proyectado

%Definicion auxiliar para calcular el tipo de cambio futuro F_n

S = 61.49*ones(11,2,5);

%Datos para el cálculo del costo promedio ponderado del capital

Wd = 0.4;We = 1 - Wd;tax = 0.35;K_en = [0.371, 0.3602, 0.3539, 0.3493];K_in = [0.2283, 0.1839, 0.158, 0.1396];

%Contribución marginal

cm = 44;%Costo fijo




CF = 2000000;

%Incremento en el capital de trabajo

ct = 0.05;

%auxiliar para utilizar en el descuento de flujo de fondos

KAUX=ones(11,2,5);KAUXx=ones(11,2,5);

Con todos los insumos definidos, se pueden aplicar todas las ecuaciones del modelo para calcular el valor de la firma.

for t=1:T %definimos todas las ecuaciones anteriores para cada periodo

r_dn(:,:,t) = r_r(t) + pi_d(:,:,t) + r_r(t) * pi_d(:,:,t); %tasa nominal doméstica

r_en(:,:,t) = r_r(t) + pi_e(:,:,t) + r_r(t) * pi_e(:,:,t); %tasa nominal externa

F_n(:,:,t) = fuzz_prod(S(:,:,t), fuzz_div(1+r_dn(:,:,t), 1+r_en(:,:,t))); %tipo de cambio futuro

S(:,:,t+1)=F_n(:,:,t);k_on(t) = Wd * (1 - tax) * K_in(t) + We * K_en(t); %costo capital (no bo-

rroso)

%costo real del capital, usando la máxima posibilidad

K_or(t) = (k_on(t) + pi_d(length(pi_d), 1, t)) / (1 + pi_d(length(pi_d), 1, t));

%costo nominal del capital

K_on(:,:,t) = K_or(t) + fuzz_prod(1 + r_dn(:,:,t), 1 + r_en(:,:,t));

%costo de capital en moneda extranjera

K_ox(:,:,t) = fuzz_prod(K_on(:,:,t),fuzz_div(pi_e(:,:,t), pi_d(:,:,t)));

%contribucion marginal borrosa

CM(:,:,t) = cm * q(:,:,t);

%contribucion marginal borrosa en moneda de cada periodo

CM_n(:,:,t) = fuzz_prod(CM(:,:,t), 1 + pi_d(:,:,t));

%costo fijo borroso en moneda de cada periodo

CF_n(:,:,t) = CF * (1 + pi_d(:,:,t));%inversion incremental en capital de trabajo




AUX(:,:,1)= zeros(11,2)AUX(:,:,t+1) = ct * CM_n(:,:,t)CTINC_n(:,:,t) = fuzz_sub(AUX(:,:,t+1), AUX(:,:,t));

%flujo de fondos borrosos en moneda local y extranjera

FFL_n(:,:,t) = fuzz_sub(fuzz_sub(CM_n(:,:,t), CF_n(:,:,t)) * (1-tax), CTINC_n(:,:,t));

FFL_x(:,:,t) = fuzz_div(FFL_n(:,:,t), F_n(:,:,t));

%Auxiliares para descontar FFL

KAUX(:,:,t+1) = fuzz_prod(KAUX(:,:,t), 1 + K_on(:,:,t))KAUXx(:,:,t+1) = fuzz_prod(KAUXx(:,:,t), 1 + K_ox(:,:,t))

%flujo de fondos descontados en moneda local y extranjera

FFLD_n(:,:,t) = fuzz_div(FFL_n(:,:,t),KAUX(:,:,t+1));FFLD_x(:,:,t) = fuzz_div(FFL_x(:,:,t),KAUXx(:,:,t+1));end

Gráfico A.3.1. Inflación y cantidades MatLab®


33

%NBT para la inflacion extranjera de cada periodo pi_e(:,:,1) = NBT(0:0.1:1, 0.0152, 0.0160, 0.0168); pi_e(:,:,2) = NBT(0:0.1:1, 0.0146, 0.0154, 0.0162); pi_e(:,:,3) = NBT(0:0.1:1, 0.0140, 0.0148, 0.0156); pi_e(:,:,4) = NBT(0:0.1:1, 0.0134, 0.0142, 0.0150); %NBT para la inflacion doméstica de cada periodo pi_d(:,:,1) = NBT(0:0.1:1, 0.1842, 0.2292, 0.2743); pi_d(:,:,2) = NBT(0:0.1:1, 0.1329, 0.1779, 0.2229); pi_d(:,:,3) = NBT(0:0.1:1, 0.1023, 0.1473, 0.1923); pi_d(:,:,4) = NBT(0:0.1:1, 0.0803, 0.1253, 0.1703); %NBT para las cantidades de cada periodo q(:,:,1) = NBT(0:0.1:1, 80000, 100000, 120000); q(:,:,2) = NBT(0:0.1:1, 88000, 110000, 132000); q(:,:,3) = NBT(0:0.1:1, 92000, 115000, 138000); q(:,:,4) = NBT(0:0.1:1, 96000, 120000, 144000);

Los números borrosos anteriores están definidos para cada periodo que se considera, es decir,

son números borrosos temporales en su representación tensorial. En la Gráfica A.3.1 se puede

apreciar cada proyección para los periodos considerados.

Gráfico A.3.1: Inflación y cantidades MatLab ®

Fuente: elaboración propia. A continuación se incorporan los demás insumos del modelo;

%Tasa real estimada para cada periodo r_r = [0.0294, 0.0376, 0.0429, 0.0469]; %Tipo de cambio Spot proyectado %Definicion auxiliar para calcular el tipo de cambio futuro F_n S = 61.49*ones(11,2,5); %Datos para el cálculo del costo promedio ponderado del capital Wd = 0.4; We = 1 - Wd;

Una vez efectuado lo anterior, sólo resta plantear los argumentos para estimar el valor actual utilizando la fórmula de suma sobre páginas.




%VAN borroso en moneda local y extranjera

V_n = fuzz_sum(FFLD_n);V_x = fuzz_sum(FFLD_x);

A continuación se presentan los graficos de NBT para las diferentes salidas, véase las Gráficas A.3.2 y A.3.3.

35

%Auxiliares para descontar FFL KAUX(:,:,t+1) = fuzz_prod(KAUX(:,:,t), 1 + K_on(:,:,t)) KAUXx(:,:,t+1) = fuzz_prod(KAUXx(:,:,t), 1 + K_ox(:,:,t)) %flujo de fondos descontados en moneda local y extranjera FFLD_n(:,:,t) = fuzz_div(FFL_n(:,:,t),KAUX(:,:,t+1)); FFLD_x(:,:,t) = fuzz_div(FFL_x(:,:,t),KAUXx(:,:,t+1)); end

Una vez efectuado lo anterior, sólo resta plantear los argumentos para estimar el valor actual

utilizando la fórmula de suma sobre páginas.

%VAN borroso en modena local y extranjera V_n = fuzz_sum(FFLD_n); V_x = fuzz_sum(FFLD_x);

A continuación se presentan los graficos de NBT para las diferentes salidas, véase las Gráficas

A.3.2 y A.3.3.

Gráfica A.3.2: Flujos de fondos en diferente monedas MatLab ®


GráficaA.3.3.VANborrosoenpesosydólaresMatLab®

Gráfica A.3.2. Flujos de fondos en diferente monedas MatLab ®


Gráfica A.3.3. VAN borroso en pesos y dólares MatLab ®


36


ANEXO B

Cuadro B.1: NBT inflación extranjera

α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s 0 1.60% 1.79% 1.53% 1.72% 1.45% 1.64% 1.38% 1.57%

0.1 1.61% 1.78% 1.54% 1.71% 1.46% 1.63% 1.39% 1.56% 0.2 1,62% 1,77% 1,55% 1,70% 1,47% 1,62% 1,40% 1,55% 0,3 1,63% 1,76% 1,56% 1,69% 1,48% 1,61% 1,41% 1,54% 0,4 1,64% 1,75% 1,56% 1,68% 1,49% 1,61% 1,42% 1,53% 0,5 1,65% 1,74% 1,57% 1,67% 1,50% 1,60% 1,43% 1,52% 0,6 1,66% 1,73% 1,58% 1,66% 1,51% 1,59% 1,44% 1,51% 0,7 1,67% 1,72% 1,59% 1,65% 1,52% 1,58% 1,45% 1,50% 0,8 1,68% 1,71% 1,60% 1,64% 1,53% 1,57% 1,46% 1,49% 0,9 1,69% 1,71% 1,61% 1,63% 1.54% 1.56% 1.46% 1.48% 1 1.70% 1.70% 1.62% 1.62% 1.55% 1.55% 1.47% 1.47%


Cuadro B.2. NBT inflación doméstica

Α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s 0 25.44% 48.02% 12.52% 35.10% 4.86% 27.44% -0.61% 21.97%

0.1 26.57% 46.89% 13.64% 33.97% 5.99% 26.32% 0.52% 20.84% 0.2 27.69% 45.76% 14.77% 32.84% 7.12% 25.19% 1.65% 19.71% 0.3 28.82% 44.63% 15.90% 31.71% 8.25% 24.06% 2.77% 18.58%




Cuadro B.1. NBT inflación extranjera

α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 1.60% 1.79% 1.53% 1.72% 1.45% 1.64% 1.38% 1.57%

0.1 1.61% 1.78% 1.54% 1.71% 1.46% 1.63% 1.39% 1.56%

0.2 1,62% 1,77% 1,55% 1,70% 1,47% 1,62% 1,40% 1,55%

0,3 1,63% 1,76% 1,56% 1,69% 1,48% 1,61% 1,41% 1,54%

0,4 1,64% 1,75% 1,56% 1,68% 1,49% 1,61% 1,42% 1,53%

0,5 1,65% 1,74% 1,57% 1,67% 1,50% 1,60% 1,43% 1,52%

0,6 1,66% 1,73% 1,58% 1,66% 1,51% 1,59% 1,44% 1,51%

0,7 1,67% 1,72% 1,59% 1,65% 1,52% 1,58% 1,45% 1,50%

0,8 1,68% 1,71% 1,60% 1,64% 1,53% 1,57% 1,46% 1,49%

0,9 1,69% 1,71% 1,61% 1,63% 1.54% 1.56% 1.46% 1.48%

1 1.70% 1.70% 1.62% 1.62% 1.55% 1.55% 1.47% 1.47%


Cuadro B.2. NBT inflación doméstica

Α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 25.44% 48.02% 12.52% 35.10% 4.86% 27.44% -0.61% 21.97%

0.1 26.57% 46.89% 13.64% 33.97% 5.99% 26.32% 0.52% 20.84%

0.2 27.69% 45.76% 14.77% 32.84% 7.12% 25.19% 1.65% 19.71%

0.3 28.82% 44.63% 15.90% 31.71% 8.25% 24.06% 2.77% 18.58%

0.4 29.95% 43.50% 17.03% 30.58% 9.38% 22.93% 3.90% 17.45%

0.5 31.08% 42.37% 18.16% 29.45% 10.51% 21.80% 5.03% 16.32%

0.6 32.21% 41.24% 19.29% 28.32% 11.64% 20.67% 6.16% 15.19%

0.7 33.34% 40.11% 20.42% 27.19% 12.77% 19.54% 7.29% 14.06%

0.8 34.47% 38.98% 21.55% 26.06% 13.90% 18.41% 8.42% 12.94%

0.9 35.60% 37.86% 22.68% 24.94% 15.03% 17.28% 9.55% 11.81%

1 36.73% 36.73% 23.81% 23.81% 16.15% 16.15% 10.68% 10.68%


Anexo B




Cuadro B.3. Estimación puntual tasa costo del capital propio nominal y real: rf proyectada ETTI nominal EE.UU, CR: Credit Risk Argentina (Damodaran), E(RM)

rendimiento mercado EE.UU, E(RM)-rf: adicional por riesgo de mercado, ß1 coeficiente beta apalancado, ke

(dólares reales, pesos nominales, pesos reales)

Rf CR E(Rm-rf) Βl KeU$,n Ke$,n Ke$,r

7.00% 7.64% 13.60% 0.9617 27.72% 71.72% 25.59%

6.36% 7.64% 13.60% 0.9617 27.08% 54.82% 25.05%

5.98% 7.64% 13.60% 0.9617 26.70% 44.92% 24.77%

5.71% 7.64% 13.60% 0.9617 26.43% 37.90% 24.59%


Cuadro B.4. Estimación puntual ccpp nominal y real estructura de capital cons-tante (deuda 16%-capital propio 40%) y tasa de impuesto a las ganancias 35%

anual

ke,n ki,n ko,n kor

71.72% 54.13% 65.87% 21.32%

54.82% 38.88% 50.09% 21.23%

44.92% 29.96% 40.85% 21.26%

37.90% 23.63% 34.29% 21.34%





Cuadro B.5. Estimación NBT cantidades

α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 80000 120000 88000 132000 92000 138000 96000 144000

0,1 82000 118000 90200 129800 94300 135700 98400 141600

0,2 84000 116000 92400 127600 96600 133400 100800 139200

0,3 86000 114000 94600 125400 98900 131100 103200 136800

0,4 88000 112000 96800 123200 101200 128800 105600 134400

0,5 90000 110000 99000 121000 103500 126500 108000 132000

0,6 92000 108000 101200 118800 105800 124200 110400 129600

0,7 94000 106000 103400 116600 108100 121900 112800 127200

0,8 96000 104000 105600 114400 110400 119600 115200 124800

0,9 98000 102000 107800 112200 112700 117300 117600 122400

1 100000 100000 110000 110000 115000 115000 120000 120000


Cuadro B.6. Estimación NBT contribución marginal en moneda de cierre

α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 $ 52.11 $ 56.07 $ 49.85 $ 53.81 $ 48.50 $ 52.46 $ 47.53 $ 51.49

0.1 $ 52.30 $ 55.87 $ 50.04 $ 53.61 $ 48.70 $ 52.27 $ 47.73 $ 51.30

0.2 $ 52.50 $ 55.67 $ 50.24 $ 53.41 $ 48.90 $ 52.07 $ 47.93 $ 51.10

0.3 $ 52.70 $ 55.47 $ 50.44 $ 53.21 $ 49.10 $ 51.87 $ 48.13 $ 50.90

0.4 $ 52.90 $ 55.28 $ 50.64 $ 53.02 $ 49.29 $ 51.67 $ 48.32 $ 50.70

0.5 $ 53.10 $ 55.08 $ 50.84 $ 52.82 $ 49.49 $ 51.47 $ 48.52 $ 50.50

0.6 $ 53.29 $ 54.88 $ 51.04 $ 52.62 $ 49.69 $ 51.27 $ 48.72 $ 50.31

0.7 $ 53.49 $ 54.68 $ 51.23 $ 52.42 $ 49.89 $ 51.08 $ 48.92 $ 50.11

0.8 $ 53.69 $ 54.48 $ 51.43 $ 52.22 $ 50.09 $ 50.88 $ 49.12 $ 49.91

0.9 $ 53.89 $ 54.28 $ 51.63 $ 52.03 $ 50.28 $ 50.68 $ 49.32 $ 49.71

1 $ 54.09 $ 54.09 $ 51.83 $ 51.83 $ 50.48 $ 50.48 $ 49.51 $ 49.51





Cuadro B.7. Estimación NBT contribución marginal por cantidades en moneda de cierre

α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 $ 4,168,405.57 $ 6,728,106.23 $ 4,386,477.69 $ 7,102,764.19 $ 4,462,069.40 $ 7,239,926.65 $ 4,563,117.00 $ 7,415,272.95

0.1 $ 4,288,861.89 $ 6,592,592.48 $ 4,514,010.42 $ 6,958,668.28 $ 4,592,304.23 $ 7,092,375.76 $ 4,696,690.34 $ 7,263,630.69

0.2 $ 4,410,110.70 $ 6,457,871.23 $ 4,642,414.91 $ 6,815,444.11 $ 4,723,450.44 $ 6,945,736.25 $ 4,831,214.67 $ 7,112,939.43

0.3 $ 4,532,152.01 $ 6,323,942.47 $ 4,771,691.14 $ 6,673,091.69 $ 4,855,508.03 $ 6,800,008.10 $ 4,966,690.00 $ 6,963,199.17

0.4 $ 4,654,985.82 $ 6,190,806.21 $ 4,901,839.11 $ 6,531,611.02 $ 4,988,476.98 $ 6,655,191.33 $ 5,103,116.33 $ 6,814,409.90

0.5 $ 4,778,612.12 $ 6,058,462.45 $ 5,032,858.83 $ 6,391,002.09 $ 5,122,357.30 $ 6,511,285.93 $ 5,240,493.65 $ 6,666,571.62

0.6 $ 4,903,030.92 $ 5,926,911.18 $ 5,164,750.30 $ 6,251,264.90 $ 5,257,148.99 $ 6,368,291.90 $ 5,378,821.96 $ 6,519,684.34

0.7 $ 5,028,242.21 $ 5,796,152.41 $ 5,297,513.52 $ 6,112,399.47 $ 5,392,852.06 $ 6,226,209.23 $ 5,518,101.28 $ 6,373,748.06

0.8 $ 5,154,246.01 $ 5,666,186.14 $ 5,431,148.48 $ 5,974,405.78 $ 5,529,466.49 $ 6,085,037.94 $ 5,658,331.58 $ 6,228,762.77

0.9 $ 5,281,042.29 $ 5,537,012.36 $ 5,565,655.18 $ 5,837,283.83 $ 5,666,992.30 $ 5,944,778.02 $ 5,799,512.89 $ 6,084,728.48

1 $ 5,408,631.08 $ 5,408,631.08 $ 5,701,033.63 $ 5,701,033.63 $ 5,805,429.48 $ 5,805,429.48 $ 5,941,645.19 $ 5,941,645.19


Cuadro B.8. Estimación NBT costos fijos en moneda de cierre

α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 $ 2,368,412.26 $ 2,548,525.09 $ 2,265,742.61 $ 2,445,855.44 $ 2,204,579.74 $ 2,384,692.57 $ 2,160,566.76 $ 2,340,679.59

0.1 $ 2,377,417.90 $ 2,539,519.45 $ 2,274,748.25 $ 2,436,849.80 $ 2,213,585.38 $ 2,375,686.93 $ 2,169,572.40 $ 2,331,673.95

0.2 $ 2,386,423.54 $ 2,530,513.80 $ 2,283,753.89 $ 2,427,844.16 $ 2,222,591.02 $ 2,366,681.29 $ 2,178,578.04 $ 2,322,668.31

0.3 $ 2,395,429.18 $ 2,521,508.16 $ 2,292,759.53 $ 2,418,838.51 $ 2,231,596.67 $ 2,357,675.65 $ 2,187,583.69 $ 2,313,662.67

0.4 $ 2,404,434.82 $ 2,512,502.52 $ 2,301,765.17 $ 2,409,832.87 $ 2,240,602.31 $ 2,348,670.01 $ 2,196,589.33 $ 2,304,657.03

0.5 $ 2,413,440.46 $ 2,503,496.88 $ 2,310,770.81 $ 2,400,827.23 $ 2,249,607.95 $ 2,339,664.36 $ 2,205,594.97 $ 2,295,651.39

0.6 $ 2,422,446.11 $ 2,494,491.24 $ 2,319,776.46 $ 2,391,821.59 $ 2,258,613.59 $ 2,330,658.72 $ 2,214,600.61 $ 2,286,645.74

0.7 $ 2,431,451.75 $ 2,485,485.60 $ 2,328,782.10 $ 2,382,815.95 $ 2,267,619.23 $ 2,321,653.08 $ 2,223,606.25 $ 2,277,640.10

0.8 $ 2,440,457.39 $ 2,476,479.96 $ 2,337,787.74 $ 2,373,810.31 $ 2,276,624.87 $ 2,312,647.44 $ 2,232,611.89 $ 2,268,634.46

0.9 $ 2,449,463.03 $ 2,467,474.31 $ 2,346,793.38 $ 2,364,804.66 $ 2,285,630.52 $ 2,303,641.80 $ 2,241,617.54 $ 2,259,628.82

1 $ 2,458,468.67 $ 2,458,468.67 $ 2,355,799.02 $ 2,355,799.02 $ 2,294,636.16 $ 2,294,636.16 $ 2,250,623.18 $ 2,250,623.18





Cuadro B.9. Estimación NBT capital de trabajo en moneda de cierre

α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 $ 208,420.28 $ 336,405.31 $ 219,323.88 $ 355,138.21 $ 223,103.47 $ 361,996.33 $ 228,155.85 $ 370,763.65

0.1 $ 214,443.09 $ 329,629.62 $ 225,700.52 $ 347,933.41 $ 229,615.21 $ 354,618.79 $ 234,834.52 $ 363,181.53

0.2 $ 220,505.54 $ 322,893.56 $ 232,120.75 $ 340,772.21 $ 236,172.52 $ 347,286.81 $ 241,560.73 $ 355,646.97

0.3 $ 226,607.60 $ 316,197.12 $ 238,584.56 $ 333,654.58 $ 242,775.40 $ 340,000.41 $ 248,334.50 $ 348,159.96

0.4 $ 232,749.29 $ 309,540.31 $ 245,091.96 $ 326,580.55 $ 249,423.85 $ 332,759.57 $ 255,155.82 $ 340,720.49

0.5 $ 238,930.61 $ 302,923.12 $ 251,642.94 $ 319,550.10 $ 256,117.86 $ 325,564.30 $ 262,024.68 $ 333,328.58

0.6 $ 245,151.55 $ 296,345.56 $ 258,237.52 $ 312,563.25 $ 262,857.45 $ 318,414.59 $ 268,941.10 $ 325,984.22

0.7 $ 251,412.11 $ 289,807.62 $ 264,875.68 $ 305,619.97 $ 269,642.60 $ 311,310.46 $ 275,905.06 $ 318,687.40

0.8 $ 257,712.30 $ 283,309.31 $ 271,557.42 $ 298,720.29 $ 276,473.32 $ 304,251.90 $ 282,916.58 $ 311,438.14

0.9 $ 264,052.11 $ 276,850.62 $ 278,282.76 $ 291,864.19 $ 283,349.61 $ 297,238.90 $ 289,975.64 $ 304,236.42

1 $ 270,431.55 $ 270,431.55 $ 285,051.68 $ 285,051.68 $ 290,271.47 $ 290,271.47 $ 297,082.26 $ 297,082.26


Cuadro B.10. Estimación NBT valor actual flujos de fondos en moneda de cierre

Α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 $ 309,079.82 $ 2,121,586.01 $ 307,391.45 $ 1,835,727.07 $ 205,357.26 $ 1,457,446.49 $ 144,077.43 $ 1,227,825.69

0.1 $ 380,114.33 $ 2,008,224.26 $ 357,946.46 $ 1,726,244.79 $ 240,234.79 $ 1,356,110.55 $ 169,448.81 $ 1,129,820.29

0.2 $ 452,923.50 $ 1,897,636.71 $ 410,605.62 $ 1,621,168.59 $ 277,143.96 $ 1,260,348.31 $ 196,717.66 $ 1,038,583.89

0.3 $ 527,548.91 $ 1,789,750.42 $ 465,452.44 $ 1,520,311.06 $ 316,196.54 $ 1,169,840.43 $ 226,017.14 $ 953,632.88

0.4 $ 604,033.42 $ 1,684,494.98 $ 522,574.26 $ 1,423,494.07 $ 357,511.05 $ 1,084,287.85 $ 257,490.32 $ 874,521.04

0.5 $ 682,421.26 $ 1,581,802.41 $ 582,062.43 $ 1,330,548.18 $ 401,213.12 $ 1,003,410.33 $ 291,291.01 $ 800,836.40

0.6 $ 762,758.07 $ 1,481,607.07 $ 644,012.55 $ 1,241,312.21 $ 447,436.08 $ 926,945.17 $ 327,584.59 $ 732,198.32

0.7 $ 845,090.96 $ 1,383,845.51 $ 708,524.70 $ 1,155,632.71 $ 496,321.38 $ 854,645.94 $ 366,549.01 $ 668,254.96

0.8 $ 929,468.59 $ 1,288,456.43 $ 775,703.67 $ 1,073,363.59 $ 548,019.25 $ 786,281.36 $ 408,375.82 $ 608,680.85

0.9 $ 1,015,941.17 $ 1,195,380.57 $ 845,659.22 $ 994,365.68 $ 602,689.22 $ 721,634.32 $ 453,271.30 $ 553,174.76

1 $ 1,104,560.63 $ 1,104,560.63 $ 918,506.37 $ 918,506.37 $ 660,500.83 $ 660,500.83 $ 501,457.74 $ 501,457.74





Cuadro B.11. Estimación NBT flujos de fondos en dólares

Α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 $ 6,195.51 $ 42,606.96 $ 7,583.75 $ 45,459.91 $ 6,232.88 $ 44,485.03 $ 5,387.77 $ 46,260.14

0.1 $ 7,620.11 $ 40,326.59 $ 8,832.67 $ 42,740.69 $ 7,293.51 $ 41,380.37 $ 6,338.91 $ 42,551.70

0.2 $ 9,080.56 $ 38,102.34 $ 10,133.99 $ 40,131.55 $ 8,416.44 $ 38,447.47 $ 7,361.78 $ 39,100.87

0.3 $ 10,577.70 $ 35,932.75 $ 11,489.79 $ 37,627.81 $ 9,605.11 $ 35,676.46 $ 8,461.43 $ 35,889.16

0.4 $ 12,112.40 $ 33,816.37 $ 12,902.28 $ 35,224.98 $ 10,863.18 $ 33,058.08 $ 9,643.31 $ 32,899.52

0.5 $ 13,685.55 $ 31,751.84 $ 14,373.72 $ 32,918.83 $ 12,194.52 $ 30,583.67 $ 10,913.28 $ 30,116.22

0.6 $ 15,298.09 $ 29,737.81 $ 15,906.53 $ 30,705.30 $ 13,603.25 $ 28,245.09 $ 12,277.63 $ 27,524.70

0.7 $ 16,950.97 $ 27,773.01 $ 17,503.21 $ 28,580.57 $ 15,093.74 $ 26,034.73 $ 13,743.14 $ 25,111.53

0.8 $ 18,645.18 $ 25,856.18 $ 19,166.37 $ 26,540.95 $ 16,670.63 $ 23,945.43 $ 15,317.11 $ 22,864.30

0.9 $ 20,381.73 $ 23,986.13 $ 20,898.77 $ 24,582.97 $ 18,338.83 $ 21,970.49 $ 17,007.40 $ 20,771.49

1 $ 22,161.9 $ 22,1.1.69 $ 22,703.30 $ 22,703.30 $ 20,103.60 $ 20,103.60 $ 18,822.48 $ 18,822.48


Cuadro B.12. Estimación NBT valor actual flujos de fondos en dólares

V

Α 1i 1s 2i 2s 3i 3s 4i 4s

0 $ 4,251.73 $ 40,790.29 $ 3,515.14 $ 42,377.32 $ 1,932.27 $ 40,966.30 $ 1,104.39 $ 42,500.78

0.1 $ 5,317.50 $ 37,967.35 $ 4,240.62 $ 38,472.36 $ 2,388.19 $ 36,078.91 $ 1,401.10 $ 36,254.99

0.2 $ 6,443.28 $ 35,279.45 $ 5,039.37 $ 34,883.22 $ 2,910.58 $ 31,740.13 $ 1,754.37 $ 30,899.44

0.3 $ 7,631.79 $ 32,720.50 $ 5,917.63 $ 31,585.03 $ 3,507.84 $ 27,889.19 $ 2,173.82 $ 26,307.97

0.4 $ 8,885.85 $ 30,284.66 $ 6,882.16 $ 28,554.94 $ 4,189.41 $ 24,472.17 $ 2,670.57 $ 22,372.47

0.5 $ 10,208.43 $ 27,966.40 $ 7,940.31 $ 25,771.92 $ 4,965.88 $ 21,441.18 $ 3,257.61 $ 19,000.27

0.6 $ 11,602.65 $ 25,760.47 $ 9,100.00 $ 23,216.63 $ 5,849.12 $ 18,753.65 $ 3,949.97 $ 16,111.86

0.7 $ 13,071.74 $ 23,661.85 $ 10,369.84 $ 20,871.29 $ 6,852.44 $ 16,371.76 $ 4,765.17 $ 13,639.02

0.8 $ 14,619.13 $ 21,665.76 $ 11,759.16 $ 18,719.51 $ 7,990.77 $ 14,261.86 $ 5,723.54 $ 11,523.17

0.9 $ 16,248.39 $ 19,767.67 $ 13,278.06 $ 16,746.21 $ 9,280.89 $ 12,394.02 $ 6,848.73 $ 9,713.98

1 $ 17,963.26 $ 17,963.26 $ 14,937.49 $ 14,937.49 $ 10,741.60 $ 10,741.60 $ 8,168.23 $ 8,168.23





Cuadro B.13. Bonos soberanos en pesos (IAMC al 29 de marzo de 2019), CER: 41,85%

PesosbonosajustablesporCERen$ Sticker TIR DM CER:41.85%

BONCER 2020 TC 20 15.92% 0.96 57.77%

BOGAR 2020 NO 20 16.56% 0.72 58.41%

BONCER 2021 TC21 11.98% 2.11 53.83%

BONCER 2023 TC 23 10.64% 3.44 10.64%

BONCER 2025 TC 25 10.90% 4.91 10.90%

Cuasipar $ Ley Arg reestructuración 2005 CUAP 10.35% 10.74 10.35%


Cuadro B.14. Bonos soberanos en dólares (IAMC al 29 de marzo de 2019)

Dólar Sticker TIR DM

BONAR 2020 A020D 14.02% 1.51

BONAR 2024 AY24D 13.66% 1.95

BONAR 2025 AA25D 14.64% 3.83

BONAR 2037 AA37D 12.07% 7.55




Red neuronal autorregresiva difusa tipo Sugeno con funciones de…

Red neuronal autorregresiva difusa tipo Sugeno con funciones de membresía triangular y trapezoidal: una aplicación al pronóstico de índices del mercado bursátil

Sugeno Type Fuzzy Nonlinear Autoregressive Neural Networks with Triangular and Trapezoidal Membership Functions: An Application to Forecast the Stock Market Index

José Eduardo Medina Reyes*

Judith Jazmin Castro Pérez**

Agustín Ignacio Cabrera Llanos***

Salvador Cruz Aké****

(Fecha de recepción: 27 de octubre de 2019, Fecha de aceptación 26 de diciembre de 2019)

Resumen

La presente investigación desarrolla una comparación entre la nueva Red Neuronal Autorregresiva no Lineal Difusa y la Red Neuronal Autorregresiva para evaluar el pronóstico de Índices bursátiles. Para ello se aplica la metodología a la rentabilidad de cuatro índices accionarios, IPC, IBEX 35, S&P 500 y el Nikkei 225 en formato diario

* Escuela Superior de Economía, Instituto Politécnico Nacional (IPN), Ciudad de México, México [email protected], ORCID: 0000-0001-6320-9299

** Escuela Superior de Economía, Instituto Politécnico Nacional (IPN), Ciudad de México, México [email protected], ORCID: 0000-0002-3412-2079

*** Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología, Instituto Politécnico Nacional (IPN), Ciudad de México, México [email protected], ORCID: 0000-0003-3540-7313

**** Escuela Superior de Economía, Instituto Politécnico Nacional (IPN), Ciudad de México, México [email protected], ORCID: 0000-0003-1452-377X

URL: estocastica.azc.uam.mxVolumen 10, número 1, enero-junio 2020, pp. 77-101



J. E. Medina Reyes, J. J. Castro Pérez, A. I. Cabrera Llanos y S. Cruz Aké

Introducción

La presente investigación desarrolla la comparación entre la eficiencia de una nueva propuesta de Red Neuronal Autorregresivas basada en teoría

difusa y la Red Neuronal Autorregresiva tradicional o Red Neuronal Auto-rregresiva No Lineal, para generar pronóstico de los índices bursátiles. Para realizar el estudio se tomaron los siguientes índices: IPC; IBEX 35; S&P 500 y Nikkei 225; en un formato diario desde enero de 2015 hasta diciembre de 2018, anexando los cinco primeros días de enero de 2019 para efectuar el

desde enero de 2015 hasta diciembre de 2018, adjuntando los primeros cinco días de enero de 2019 para pronóstico fuera de muestra. Se estimó una Red Neural Autorre-gresiva No Lineal con tres rezagos y con algoritmo de aprendizaje Bayesiano y la Red Neuronal Difusa fue estimada con tres rezagos y con el algoritmo Backpropagation. Los resultados muestran que los modelos propuestos generan un mejor pronóstico dentro y fuera de la muestra en comparación con la Red Neuronal Autorregresiva No Lineal. Lo anterior es consecuencia de que las redes neuronales pueden aprender de la dinámica de las series temporales y si se añade la teoría difusa, también pueden aprender de la incertidumbre inherente a las variables financieras, esta situación hace que el método propuesto sea mejor que la red neuronal tradicional.Clasificación JEL: C01; C32; C45.Palabras clave: Red neuronal difusa, función de pertenencia triangular, función de pertenencia trapezoidal, series de tiempo difusas.

AbstRAct This article compares the results obtained when forecasting the Stock Market Index applying a proposed Fuzzy Nonlinear Autoregressive Neuronal Network with those obtained using the Autoregressive Neuronal Network. For this purpose, the methodology is applied to four stock indices, IPC, IBEX 35, S&P 500 and the Nikkei 225 using daily data from January 2015 to December 2018, the first five financial days of January 2019 are added to carry out a forecast outside the sample. A Nonlinear Autoregressive Neural Network with three lags and Bayesian learning algorithms and the Fuzzy Nonlinear Autoregressive Neural Networks with three lags and a Backpropagation algorithm were used to calculate a forecast. The results have shown that the models proposed generate better forecasts considering in-sample and out-sample tests than the Nonlinear Autoregressive Neural Network. It was shown that the neural networks can learn from the dynamics of time series, and if fuzzy theory is added, they can also learn from the uncertainty around financial variables. This indicates that method proposed yields better results than the traditional network method.Classification JEL: C01; C32; C45Keywords: Fuzzy Nonlinear Autoregressive Neuronal Network; Triangular Member-ship Function; Trapezoidal Membership Function; Fuzzy Time Series.




análisis fuera de muestra. El principal argumento de este documento es que la dinámica de las series de tiempo financieras puede modelarse con un me-jor ajuste si se otorgan grados de membresía a la volatilidad.

Desde que la teoría de Series de Tiempo Difusas fue propuesta por Song y Chissom (1993a) se han generado varias aplicaciones en el pronóstico de series asociadas a temas como aplicaciones a universidades, economía, fi-nanzas y otros. Se asume que la serie de tiempo es un conjunto difuso y por lo tanto puede ser analizado mediante relaciones de lógica difusas y razo-namiento aproximado. Este modelo se basa en la incertidumbre y el cono-cimiento impreciso que contienen los datos de las series temporales. Song y Chissom (1993b) presentaron la definición de serie temporal difusa a partir de procesos esencialmente dinámicos en los que las observaciones son valo-res lingüísticos.

Tseng et al. (2001) a partir del modelo de series de tiempo ARIMA y el modelo de regresión difusa desarrolló una nueva metodología llamada mo-delo ARIMA-Difuso (Fuzzy-ARIMA). Éste se aplicó para pronosticar el tipo de cambio del dólar taiwanés contra el dólar americano. La importancia de este modelo es que proporciona a los tomadores de decisiones los mejores y peores escenarios posibles.

Tsaur (2012) elaboró un modelo de series temporales difusas con Cade-nas de Markov para realizar pronósticos; mediante este modelo las series temporales difusas se modelan y se analizan mediante lógica difusa y el pro-nóstico se determina mediante inferencia difusa.

Otras formas de analizar las series temporales difusas fueron revisadas por Singh (2017); las principales características de sus investigaciones son: la determinación de la longitud de los intervalos, el establecimiento de rela-ciones de lógica difusa entre diferentes factores y la desdifusificación en un modelo de hibridación. También realizó una revisión de los trabajos que se han desarrollado con esta metodología.

Dash et al. (2016), desarrollaron una nueva metodología en la que con-sideran a la volatilidad de las series financieras como un proceso difuso. A partir de la ecuación de varianza del modelo EGARCH se crea una función de membresía gaussiana para modelar la volatilidad, y se genera un pronóstico a partir de reconocer que la volatilidad de las series de tiempo sigue un com-portamiento normal. Se encontró que este modelo híbrido mejora significa-tivamente los resultados con respecto a los modelos de menor complejidad. Pal et al. (2017) desarrollan un modelo que utiliza la técnica de Algoritmo Genético para decidir el tamaño y el número de intervalos y relaciones difu-




sas en la Serie de Tiempo Difusa. Este trabajo mejora el pronóstico con res-pecto a investigaciones anteriores sobre el tema.

Pal et al. (2018), desarrollan un estudio sobre el pronóstico de series temporales sobre diversos temas, donde se destaca el análisis de redes neu-ronales que modifican sus pesos sinápticos bajo modelos difusos tipo-2. Los resultados numéricos indican que su modelo logra captar la incertidumbre de las diversas situaciones en que está inmersa la sociedad. Otros trabajos similares son (Yu y Huarng, 2010); (Xiao, 2017); (Han, Zhong, y Han., 2018); (Egrioglu, Aladag y Yolcu, 2013); (Souza y Torres, 2018).

Srinivasan et al. (2019) analizan el pronóstico de las series temporales del mercado bursátil utilizando las Series Temporales Difusas y el Algoritmo de Búsqueda Gravitacional, partiendo de reconocer la incertidumbre de la acción a partir de su precio de apertura, máximo, mínimo y cierre. La meto-dología aplicada para este análisis muestra una mejora en comparación con los resultados de otras metodologías de Series Temporales Difusas.

Medina-Reyes et al. (2019), desarrollaron una serie de modelos median-te lógica difusa y modelos de varianza condicional, en los que se destaca la incorporación de parámetros difusos gaussianos a la ecuación de varianza de los modelos. Se encontró que los modelos híbridos, generan mejor pro-nóstico que los modelos tradicionales de econometría financiera.

Los sistemas difusos se han destacado por mejorar la solución de diver-sos problemas en los que existe ambigüedad en la información, y han sido de gran ayuda para identificar mejor las características de eventos difíciles de observar. Por tanto, esta investigación tiene por objeto incorporar los siste-mas difusos para mejorar el aprendizaje de las redes neuronales (Moham-madian, 2020), (Cox, 2019).

El objetivo de este trabajo es realizar una comparación entre las redes neuronales autorregresivas tradicionales y los métodos difusos propuestos, para ello, la hipótesis es que los modelos difusos recono-cen mejor la volatilidad de los índices bursátiles que los modelos tra-dicionales. Con el fin de mostrar la aplicabilidad y eficacia del método propuesto, se genera el pronóstico de los índices bursátiles Nikkei 225, IBEX 35, IPC y S&P 500. El resultado muestra que la metodología propuesta obtiene mejores pronósticos que los modelos tradicionales (Red neu-ronal autorregresiva no lineal).

La estructura de este trabajo se organiza de la siguiente manera: en la primera sección se examinan los conceptos de series temporales difusas y redes adaptativas basadas en el modelo del sistema de inferencia difusa. En




la sección 2, se formulan y proponen el modelo híbrido de Series Tempora-les Difusas y Redes Neuronales No Lineales. En la sección 3, los modelos se aplican para pronosticar los índices bursátiles de EE. UU., España, México y Japón; y se comparan con los pronósticos obtenidos con la Red Neural Auto-rregresiva No Lineal. Por último, se presentan las conclusiones.

1. Revisión conceptual de los modelos de series temporales difusas y redes neuronales adaptativas basadas en sistemas de inferencia difusa

Las series de tiempo difusas se entienden según Song y Chissom (1994), como un proceso

5

Los sistemas difusos se han destacado por mejorar la resolución de diversos

problemas en los que existe ambigüedad en la información y han sido de gran ayuda para

identificar mejor las características de los eventos difíciles de observar. Por lo tanto, esta

investigación tiene por objeto incorporar los sistemas difusos para mejorar el aprendizaje de

las redes neuronales (Mohammadian, 2020), (Cox, 2019).

El objetivo de este trabajo es realizar una comparación entre las redes neuronales

autorregresivas tradicionales y los métodos difusos propuestos, para ello, la hipótesis es que

los modelos difusos reconocen mejor la volatilidad de los índices bursátiles que los modelos

tradicionales. Con el fin de mostrar la aplicabilidad y eficacia del método propuesto, se

genera el pronóstico de los índices bursátiles Nikkei 225, IBEX 35, IPC y S&P 500. El

resultado muestra que la metodología propuesta obtiene mejores pronósticos que los modelos

tradicionales (Red neuronal autorregresiva no lineal).

La estructura de este trabajo se organiza de la siguiente manera: En la primera sección

se examinan los conceptos de series temporales difusas y redes adaptativas basadas en el

modelo del sistema de inferencia difusa. En la sección 2, se formulan y proponen el modelo

híbrido de Series Temporales Difusas y Redes Neuronales No Lineales. En la sección 3, los

modelos se aplican para pronosticar los índices bursátiles de EE. UU., España, México y

Japón; y se comparan con los pronósticos obtenidos con la Red Neural Autorregresiva No

Lineal. Por último, se analizan las conclusiones.

1. Revisión conceptual de los modelos de series temporales difusas y redes neuronales

adaptativas basadas en sistemas de inferencia difusa

Las series de tiempo difusas se entienden según Song and Chissom (1994), como un proceso

𝑌𝑌(𝑡𝑡) (𝑡𝑡 = ⋯ ,0,1 ⋯ ) , un subconjunto de 𝑍𝑍 y el universo discurso del conjunto difuso

𝜇𝜇𝑖𝑖(𝑡𝑡) (𝑖𝑖 = 1,2, ⋯ ), y tal que sea 𝐹𝐹(𝑡𝑡) una colección de 𝜇𝜇1(𝑡𝑡), 𝜇𝜇2(𝑡𝑡), … funciones de

membresía. Entonces, 𝐹𝐹(𝑡𝑡) será conocida como una serie de tiempo difusa en 𝑌𝑌(𝑡𝑡) (𝑡𝑡 =⋯ ,0,1 ⋯ ). Donde el universo discurso Song y Chissom (1993a) es un conjunto difuso, de

forma que su cota inferior y superior es delimitada por la información de la serie de tiempo.

𝑈𝑈 = [𝐿𝐿𝑏𝑏𝑏𝑏, 𝑈𝑈𝑏𝑏𝑏𝑏] (2.1)

(1)

, un subconjunto de

5




























(1)

y el correspondiente discurso del conjunto difuso

5




























(1)

, y tal que sea

5




























(1)

una colección de

5




























(1)

funciones de membresía. Entonces,

5




























(1)

será conocida como una serie de tiempo difusa en

5




























(1)

5




























(1)

. Donde el universo discurso Song y Chissom (1993a) es un conjunto difuso, de forma que su cota inferior y superior es delimitada por la información de la serie de tiempo.

5




























(1) (1)

Tomando a

6

Tomando a 𝐹𝐹(𝑡𝑡 − 1) = 𝐴𝐴𝑖𝑖 y 𝐹𝐹(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑗𝑗 , se dice que existe una relación de lógica

difusa entre 𝐹𝐹(𝑡𝑡 − 1) y 𝐹𝐹(𝑡𝑡), si 𝐴𝐴𝑖𝑖 → 𝐴𝐴𝑗𝑗 . Por otro lado, las reglas IF-THEN de 𝐹𝐹(𝑡𝑡) en

función de 𝐹𝐹(𝑡𝑡 − 1) se expresan como 𝐹𝐹(𝑡𝑡) = 𝐹𝐹(𝑡𝑡 − 1)°𝑅𝑅(𝑡𝑡, 𝑡𝑡 − 1) y esto se conoce como

modelo de primer orden de 𝐹𝐹(𝑡𝑡) Song y Chissom (1993a).

También si 𝑅𝑅(𝑡𝑡, 𝑡𝑡 − 1) = 𝑅𝑅(𝑡𝑡 − 1, 𝑡𝑡 − 2) ∀𝑡𝑡 entonces 𝐹𝐹(𝑡𝑡) será llamada serie de

tiempo difusa en tiempo invariante, y en caso contrario, como serie de tiempo difusa en

tiempo variante. De esta manera, si 𝐹𝐹(𝑡𝑡) es función de 𝐹𝐹(𝑡𝑡 − 1), 𝐹𝐹(𝑡𝑡 − 2), ⋯ , 𝐹𝐹(𝑡𝑡 − 𝑛𝑛) se

dice que es un modelo de orden superior 𝐹𝐹(𝑡𝑡 − 𝑛𝑛), ⋯ , 𝐹𝐹(𝑡𝑡 − 2), 𝐹𝐹(𝑡𝑡 − 1) → 𝐹𝐹(𝑡𝑡) Song and

Chissom (1993b).

Hasta el momento se asume que la serie de tiempo es un conjunto difuso y toda la

información para conocer su dinámica está en su historia. Sin embargo, la dificultad de

modelar series financieras obliga a utilizar modelos de mayor complejidad y como respuesta

a ello se usan los modelos lineales difusos y su combinación con modelos autorregresivos.

Otras formas de analizar las series temporales difusas fueron examinadas por Singh

(2017) y Yu (2005), donde las principales características de las investigaciones son: la

determinación de la longitud de los intervalos, el establecimiento de relaciones lógicas

difusas entre diferentes factores y la desfuzzificación de los valores de las series temporales

difusas.

A partir de Wu et al (2000), se propone un modelo de redes neuronales, donde la

premisa fundamental es que la información que alimenta la red es un conjunto difuso. En

cada fase de la red, los nodos pueden expresarse a través de funciones de pertenencia. Estas

últimas, buscan extraer el grado de pertenencia de la información sobre el conjunto de

estudio.

1.1.RedesNeuronalesAdaptivasbasadasenSistemasdeInferenciaDifusos

Según Jang (1993), es necesario considerar una variable 𝑥𝑥 que genera otra variable de salida

𝑧𝑧 a través de una red neuronal, a partir de la cual se forma un modelo difuso de primer orden

del tipo Sugeno, en el que las reglas de If-Then se determinan de la siguiente manera:

, se dice que existe una re-lación de lógica difusa entre

6









Chissom (1993b).









difusas.





estudio.





. Por otro la-do, las reglas IF-THEN de

6









Chissom (1993b).









difusas.





estudio.





en función de

6









Chissom (1993b).









difusas.





estudio.





se expresan como

6









Chissom (1993b).









difusas.





estudio.





esto se conoce como modelo de primer orden de

6









Chissom (1993b).









difusas.





estudio.





Song y Chissom (1993a).También si

6









Chissom (1993b).









difusas.





estudio.





entonces

6









Chissom (1993b).









difusas.





estudio.





será llamada serie de tiempo difusa en tiempo invariante, y en caso contrario, como serie de tiempo difusa en tiempo variante. De esta manera, si

6









Chissom (1993b).









difusas.





estudio.





es función de

6









Chissom (1993b).









difusas.





estudio.





se dice que es un modelo de orden superior

6









Chissom (1993b).









difusas.





estudio.





Song y Chissom (1993b). Hasta el momento se asume que la serie de tiempo es un conjunto difuso

y toda la información para conocer su dinámica está en su historia. Sin em-bargo, la dificultad de modelar series financieras obliga a utilizar modelos de mayor complejidad y como respuesta a ello se usan los modelos lineales difusos en combinación con modelos autorregresivos.




Otras formas de analizar las series temporales difusas fueron examina-das por Singh (2017) y Yu (2005), donde las principales características de las investigaciones son: la determinación de la longitud de los intervalos, el establecimiento de relaciones lógicas difusas entre diferentes factores, y la desfuzzificación de los valores de las series temporales difusas.

A partir de Wu et al. (2000), se propone un modelo de redes neuronales, donde la premisa fundamental es que la información que alimenta la red es un conjunto difuso. En cada fase de la red, los nodos pueden expresarse a través de funciones de pertenencia. Estas últimas, buscan extraer el grado de pertenencia de la información sobre el conjunto de estudio.

1.1. Redes neuronales adaptivas basadas en sistemas de inferencia difusos

Según Jang (1993), es necesario considerar una variable x que genera otra variable de salida z a través de una red neuronal, a partir de la cual se forma un modelo difuso de primer orden del tipo Sugeno, en el que las reglas de If-Then se determinan de la siguiente manera:

7

𝑅𝑅1: if 𝑥𝑥 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴1 then 𝑓𝑓1 = 𝑝𝑝1𝑥𝑥 + 𝑟𝑟1𝑅𝑅2: if 𝑥𝑥 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴2 then 𝑓𝑓2 = 𝑝𝑝2𝑥𝑥 + 𝑟𝑟2

(2)

En la primera fase de la estructura de red neuronal, cada nodo representa una variable

de tipo lingüístico. En otras palabras, existe un subconjunto difuso para cada nodo de entrada

de la red neuronal. En la segunda fase, cada nodo estará representado por una función de

pertenencia, de la siguiente forma:

𝜇𝜇ij(𝑥𝑥𝑖𝑖) = 𝑒𝑒−

(𝑥𝑥𝑖𝑖−𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖)2

𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)

Donde, 𝜇𝜇it(𝑥𝑥𝑖𝑖) es una función de membresía con elementos 𝑥𝑥𝑖𝑖 y, 𝜎𝜎𝑗𝑗2 es el ancho y

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑗𝑗 el centro de la función. Las variables que alimentan la red son 𝑟𝑟 y el número de funciones

de membresía es 𝑢𝑢. En la tercera fase, cada nodo representa una parte de la regla difusa If, y

en la 𝑗𝑗 − é𝑖𝑖𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 regla 𝑅𝑅𝑗𝑗, su salida viene dada por:

𝜑𝜑𝑗𝑗 = 𝑒𝑒−

∑ (𝑥𝑥𝑖𝑖−𝑐𝑐𝑖𝑖𝑗𝑗)2𝑟𝑟𝑖𝑖=1

𝜎𝜎𝑗𝑗2 (4)

𝑋𝑋 = (𝑥𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑥𝑟𝑟 𝐶𝐶𝑗𝑗 es el centro de la 𝑗𝑗 − é𝑖𝑖𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 representa la unidad de la función

de base radial. En la cuarta fase, los perceptrones se denotan como nodos normalizados. El

número de nodos normalizados 𝑁𝑁 es igual al número de nodos 𝑅𝑅.

𝜃𝜃𝑗𝑗 =𝜑𝜑𝑗𝑗

∑ 𝜑𝜑𝑘𝑘𝑢𝑢𝑘𝑘=1

(5)

En la quinta fase, cada nodo está representado por las variables de salida como la

suma de las señales de entrada a esta fase, de tal manera que:

𝑦𝑦(𝑋𝑋) = ∑ 𝑤𝑤2𝑘𝑘 ∙ 𝜑𝜑𝑘𝑘

𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)

Donde 𝒚𝒚 es el valor de la variable de salida y 𝑤𝑤2𝑘𝑘 es el peso de cada regla. Los pesos

están dados por:

if

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

then

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

(2)

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

if

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

then

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

En la primera fase de la estructura de red neuronal, cada nodo represen-ta una variable de tipo lingüístico. En otras palabras, existe un subconjunto difuso para cada nodo de entrada de la red neuronal. En la segunda fase, ca-da nodo estará representado por una función de pertenencia, de la siguiente forma:

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

(3)

Donde,

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

es una función de membresía con elementos

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

,

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

es el ancho y

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

el centro de la función. Las variables que alimentan la red son r y el número de funciones de membresía es u. En la terce-




ra fase, cada nodo representa una parte de la regla difusa If, y en la

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

regla

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

, su salida viene dada por:

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

(4)

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

es el centro de la

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

representa la unidad de la función de base radial. En la cuarta fase, los perceptrones se denotan como nodos normalizados. El número de nodos normalizados N es igual al número de nodos R.

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

(5)

En la quinta fase, cada nodo está representado por las variables de sa-lida como la suma de las señales de entrada a esta fase, de tal manera que:

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

(6)

Donde y es el valor de la variable de salida y

7


(2)







𝜎𝜎𝑖𝑖2 ; 𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , 𝑢𝑢. (3)













(5)




𝑢𝑢

𝑘𝑘=1 (6)


están dados por:

es el peso de cada regla. Los pesos están dados por:

8

𝑤𝑤2𝑘𝑘 = 𝑘𝑘𝑗𝑗0 + 𝑘𝑘𝑗𝑗1𝑥𝑥1 + ⋯ + 𝑘𝑘𝑗𝑗𝑗𝑗𝑥𝑥𝑗𝑗 (7)

En conclusión, este modelo nos permite modelar las series temporales difusas

utilizando los componentes de una red neuronal. Se asume, que las funciones de pertenencia

son de tipo gaussiano, lo que permite identificar la pertenencia del valor de entrada en el

subconjunto difuso. Por lo tanto, se reconoce que es posible desarrollar el pronóstico del

mercado de valores mediante la teoría difusa y las redes neuronales artificiales.

2. Formulación del modelo Hybrid Fuzzy Nonlinear Autoregressive Neural Network:

Fuzzy Triangular NARNET y Fuzzy Trapezoidal NARNET

Esta sección muestra la estructura teórica de la Red Neural Autoregresiva Difusa para dos

casos. En el primero, la red neuronal con función de membresía triangular y su capacidad de

generar predicciones de la volatilidad de las variables financieras. Y en segundo, la red

neuronal con función de membresía trapezoidal y sus cualidades teóricas para generar

estimaciones de series de alta volatilidad. Estos modelos se construyerón a partir de dos

metodologias existentes, las “Series Temporales Difusas” y las “Redes Neuronales

Autoregresivas”.

La red neuronal Fuzzy Triangular NARNET es un modelo de lógica difusa de primer

orden del tipo Sugeno, y sus reglas If-Then en la capa de entrada se determinan de la siguiente

manera:

𝑅𝑅1: 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴1 𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖1 = 𝑤𝑤11𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝑤𝑤12𝑦𝑦𝑡𝑡−2 + ⋯ + 𝑤𝑤𝑛𝑛1𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑛𝑛𝑅𝑅2: 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴2 𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖2 = 𝑤𝑤21𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝑤𝑤22𝑦𝑦𝑡𝑡−2 + ⋯ + 𝑤𝑤𝑛𝑛2𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑛𝑛𝑅𝑅3: 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴3 𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖3 = 𝑤𝑤31𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝑤𝑤32𝑦𝑦𝑡𝑡−2 + ⋯ + 𝑤𝑤𝑛𝑛3𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑛𝑛

(8)

Donde 𝑅𝑅 representa las reglas If-Then de la serie de tiempo difusa, 𝐴𝐴 es el subconjunto

triangular difuso para cada función 𝑖𝑖, que denota cada perceptrón con sus respectivos pesos

sinápticos 𝑤𝑤. La Gráfica 1, muestra la función de membresía asociada a cada regla If-Then

𝑅𝑅 que corresponde a un subconjunto difuso 𝐴𝐴. En este caso, los subconjuntos difusos son los

niveles de volatilidad y las reglas If-Then son las funciones de aprendizaje difuso de la red

neuronal de la primera capa.

(7)

En conclusión, este modelo nos permite modelar las series temporales difusas utilizando los componentes de una red neuronal. Se asume, que las funciones de pertenencia son de tipo gaussiano, lo que permite identificar la pertenencia del valor de entrada en el subconjunto difuso. Por lo tanto, se reconoce que es posible desarrollar el pronóstico del mercado de valores mediante la teoría difusa y las redes neuronales artificiales.




2. Formulación de la Red Neuronal Autorregresiva Difusa No Lineal Híbrida: NARNET Triangular difusa y NARNET trapezoidal difusa

Esta sección muestra la estructura teórica de la Red Neuronal Autorregresiva Difusa para dos casos. En el primero, la red neuronal con función de membresía triangular y su capacidad de generar predicciones de la volatilidad de las variables financieras. Y en segundo, la red neuronal con función de membresía trapezoidal y sus cualidades teóricas para generar estimaciones de series de alta volatilidad. Estos modelos se construyeron a partir de dos metodologías existentes, las “Series Temporales Difusas” y las “Redes Neuronales Autoregresivas”.

La red neuronal NARNET Triangular Difusa (Fuzzy Triangular NAR-NET)1 es un modelo de lógica difusa de primer orden del tipo Sugeno, y sus reglas If-Then en la capa de entrada se determinan de la siguiente manera:

8















Autoregresivas”.



manera:


(8)







(8)

8















Autoregresivas”.



manera:


(8)







8















Autoregresivas”.



manera:


(8)







donde R representa las reglas If-Then de la serie de tiempo borrosa, A es el subconjunto triangular difuso para cada función

8















Autoregresivas”.



manera:


(8)







, que denota cada perceptrón con sus respectivos pesos sinápticos w. La Gráfica 1, muestra la función de membresía asociada a cada regla If-Then R que corresponde a un subconjunto difuso A. En este caso, los subconjuntos difusos son los niveles de volatilidad y las reglas If-Then son las funciones de aprendizaje difuso de la red neuronal de la primera capa.

Las reglas If-Then en la capa oculta son:

9

Gráfoca 1. Función de Membresía Triangular

Fuente: elaboración propia en MatLab.


𝑅𝑅1: 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴1 𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑙𝑙 = 𝑤𝑤𝑘𝑘1𝑖𝑖1 + 𝑤𝑤𝑘𝑘2𝑖𝑖1

𝑅𝑅2: 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴2 𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑙𝑙 = 𝑤𝑤𝑚𝑚1𝑖𝑖2 + 𝑤𝑤𝑚𝑚2𝑖𝑖2𝑅𝑅3: 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴3 𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑙𝑙 = 𝑤𝑤𝑚𝑚1𝑖𝑖3 + 𝑤𝑤𝑚𝑚2𝑖𝑖3

(9)

Donde 𝐴𝐴 es el subconjunto triangular difuso de cada 𝑖𝑖 perceptrón difuso con sus

respectivos pesos 𝑤𝑤 para la capa oculta de la red neuronal.

La ventaja de este método con respecto a la Red Neural Autoregresiva tradicional, es

que el modelo propuesto aprende de la volatilidad de tres maneras: alta volatilidad causada

por buenas noticias; alta volatilidad generada por malas noticias; y en baja volatilidad. Por

ejemplo, la técnica propuesta genera un pronóstico con relación a la volatilidad de la serie

financiera por medio de una función de membresía, lo que permite generar estimaciones

según el grado de volatilidad.

La segunda red neuronal es la Fuzzy Trapezoidal NARNET. Se utiliza una red

neuronal autorregresiva y un modelo difuso de primer orden del tipo Sugeno, para identificar

sus componentes. Las reglas If-Then en la capa de entrada se determinan de la siguiente

manera:

(9)

9






(9)












manera:

9






(9)












manera:

1 NARNET por sus siglas en inglés Non Linear Autoregressive Neural Network, Red Neuronal Autorregresiva No Lineal Difusa Híbrida.




9






(9)












manera:

Gráfica 1. Función de Membresía Triangular


donde A es el subconjunto triangular difuso de cada

9






(9)












manera:

perceptrón difuso con sus respectivos pesos para la capa oculta de la red neuronal.

La ventaja de este método con respecto a la Red Neural Autoregresiva tradicional, es que el modelo propuesto aprende de la volatilidad de tres ma-neras: alta volatilidad, causada por buenas noticias; alta volatilidad, genera-da por malas noticias; y en baja volatilidad. Por ejemplo, la técnica propuesta genera un pronóstico con relación a la volatilidad de la serie financiera por medio de una función de membresía, lo que permite generar estimaciones según el grado de volatilidad.

La segunda red neuronal es la NARNET trapezoidal difusa (Fuzzy Tra-pezoidal NARNET). Se utiliza una red neuronal autorregresiva y un modelo difuso de primer orden del tipo Sugeno, para identificar sus componentes. Las reglas If-Then en la capa de entrada se determinan de la siguiente ma-nera:

10

𝑅𝑅1: 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴1 𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖1 = 𝑤𝑤11𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝑤𝑤12𝑦𝑦𝑡𝑡−2 + ⋯ + 𝑤𝑤1𝑛𝑛𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑛𝑛𝑅𝑅2: 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴2 𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖2 = 𝑤𝑤21𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝑤𝑤22𝑦𝑦𝑡𝑡−2 + ⋯ + 𝑤𝑤2𝑛𝑛𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑛𝑛𝑅𝑅3: 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴3 𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖3 = 𝑤𝑤31𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝑤𝑤32𝑦𝑦𝑡𝑡−2 + ⋯ + 𝑤𝑤3𝑛𝑛𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑛𝑛𝑅𝑅4: 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴4 𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖4 = 𝑤𝑤41𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝑤𝑤42𝑦𝑦𝑡𝑡−2 + ⋯ + 𝑤𝑤4𝑛𝑛𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑛𝑛

(10)

Donde 𝑹𝑹 representa las reglas If-Then de la serie de tiempo difuso, 𝑨𝑨 es el subconjunto

difuso trapezoidal de cada función 𝒇𝒇 asociado a un perceptrón difuso con sus respectivos

pesos 𝒘𝒘. En este caso, se asume que la volatilidad puede capturarse a través de cuatro

subconjuntos difusos.

Gráfica 2. Función de Membresía Trapezoidal


En este sentido sea 𝐴𝐴 es el subconjunto difuso trapezoidal de cada función 𝑖𝑖 asociado

a un perceptrón difuso con sus respectivos pesos 𝒘𝒘 en la capa oculta de la red neuronal.

Ahora las reglas de If-Then en la capa oculta son:


𝑅𝑅2: 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴2 𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑙𝑙 = 𝑤𝑤𝑚𝑚1𝑖𝑖2 + 𝑤𝑤𝑚𝑚2𝑖𝑖2𝑅𝑅3: 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴3 𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑙𝑙 = 𝑤𝑤𝑚𝑚1𝑖𝑖3 + 𝑤𝑤𝑚𝑚2𝑖𝑖3𝑅𝑅4: 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴4 𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑙𝑙 = 𝑤𝑤𝑚𝑚1𝑖𝑖4 + 𝑤𝑤𝑚𝑚2𝑖𝑖4

(11)

En la primera fase de la red, cada nodo se concentra con la respectiva función de

pertenencia del subconjunto difuso. Esto significa que 𝑦𝑦𝑡𝑡 es la variable que alimenta cada

nodo 𝑖𝑖 y 𝐴𝐴𝑖𝑖 es el subconjunto difuso denotado como valor lingüístico.

𝑦𝑦𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝑖𝑖

(10)

10


(10)












(11)





10


(10)












(11)





10


(10)












(11)








donde R representa las reglas If-Then de la serie de tiempo difuso, A es el subconjunto difuso trapezoidal de cada función f asociado a un perceptrón difuso con sus respectivos pesos w . En este caso, se asume que la volatilidad puede capturarse a través de cuatro subconjuntos difusos.

En este sentido sea A el subconjunto difuso trapezoidal de cada función asociado a un perceptrón difuso con sus respectivos pesos w en la capa ocul-ta de la red neuronal. Ahora las reglas de If-Then en la capa oculta son:

10


(10)












(11)





(11)

10


(10)












(11)





10


(10)












(11)





10


(10)












(11)





En la primera fase de la red, cada nodo se concentra con la respectiva función de pertenencia del subconjunto difuso. Esto significa que

10


(10)












(11)





es la variable que alimenta cada nodo

10


(10)












(11)





es el subconjunto difuso denotado como valor lingüístico.

10


(10)












(11)







10


(10)












(11)








donde

11

Donde 𝐴𝐴𝑖𝑖 es el conjunto difuso de 𝑦𝑦𝑡𝑡 y expresa la serie temporal difusa. En específico,

las funciones de membresía de tipo triangular o trapezoidal. Y después para mejorar la

función de aprendizaje, la información se suaviza de la siguiente manera García et al (2002):

𝑧𝑧𝑡𝑡−1 = 𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝑦𝑦𝑡𝑡−2 + ⋯ + 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑛𝑛)𝜎𝜎(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝑦𝑦𝑡𝑡−2 + ⋯ + 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑛𝑛)

(12)

En la segunda fase, en la red neuronal, cada uno de los nodos está representado para

una función determinada por las reglas If-Then (3.1) o (3.3). Esto significa que el nodo es la

multiplicación de las diferentes señales y su suma es la salida.

𝑓𝑓 = 𝑤𝑤1𝑧𝑧𝑡𝑡−1 + 𝑤𝑤2𝑧𝑧𝑡𝑡−2 + ⋯ + 𝑤𝑤𝑛𝑛𝑧𝑧𝑡𝑡−𝑛𝑛 (13)

En la tercera fase, la salida del paso anterior se transforma a través de una función

sigmoidal, así se tiene, la capa oculta se determina por las reglas If-Then (3.2) o (3.4).

𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑓𝑓) = 11 + 𝑒𝑒−𝑓𝑓 (14)

Por lo tanto, la capa oculta es denotada por la siguiente ecuación:

𝑓𝑓𝑙𝑙 = 𝑤𝑤1𝑓𝑓𝑠𝑠 + 𝑤𝑤2𝑓𝑓𝑠𝑠

(15)

En el último nodo se realiza la suma de todas las señales de salida de la tercera fase y

la variable de salida 𝑦𝑦��𝑡 se representa como:

𝑦𝑦��𝑡 = 𝑓𝑓𝑙𝑙 ∗ 𝜎𝜎(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝑦𝑦𝑡𝑡−2 + ⋯ + 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑛𝑛) + 𝜇𝜇(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝑦𝑦𝑡𝑡−2 + ⋯ + 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑛𝑛) (16)

Donde 𝑦𝑦��𝑡 es el pronóstico de 𝑦𝑦𝑡𝑡, 𝜎𝜎 es la varianza de los valores pasados y μ

representa la media de los valores pasados.

La función de costos se define por medio de la desviación media absoluta, tal como:

es el conjunto difuso de

11





(12)







𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑓𝑓) = 11 + 𝑒𝑒−𝑓𝑓 (14)



(15)







y expresa la serie temporal difusa. En específico, primero se usan las funciones de membresía de tipo triangular o trapezoidal y después, para mejorar la función de aprendizaje, la información se suaviza de la siguiente manera García et al. (2002):

11





(12)







𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑓𝑓) = 11 + 𝑒𝑒−𝑓𝑓 (14)



(15)







(12)

En la segunda fase, en la red neuronal, cada uno de los nodos está repre-sentado para una función determinada por las reglas If-Then (8) o (10). Esto significa que el nodo es la multiplicación de las diferentes señales y su suma es la salida.

11





(12)







𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑓𝑓) = 11 + 𝑒𝑒−𝑓𝑓 (14)



(15)







(13)

En la tercera fase, la salida del paso anterior se transforma a tra-vés de una función sigmoidal, así se tiene, la capa oculta se determina por las reglas If-Then (9) o (11).

11





(12)







𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑓𝑓) = 11 + 𝑒𝑒−𝑓𝑓 (14)



(15)







(14)

Por tanto, la capa oculta es denotada por la siguiente ecuación:

11





(12)







𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑓𝑓) = 11 + 𝑒𝑒−𝑓𝑓 (14)



(15)







(15)

En el último nodo se realiza la suma de todas las señales de salida de la tercera fase y la variable de salida

11





(12)







𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑓𝑓) = 11 + 𝑒𝑒−𝑓𝑓 (14)



(15)







se representa como:

11





(12)







𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑓𝑓) = 11 + 𝑒𝑒−𝑓𝑓 (14)



(15)







(16)

11





(12)







𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑓𝑓) = 11 + 𝑒𝑒−𝑓𝑓 (14)



(15)










donde

11





(12)







𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑓𝑓) = 11 + 𝑒𝑒−𝑓𝑓 (14)



(15)







es el pronóstico de

11





(12)







𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑓𝑓) = 11 + 𝑒𝑒−𝑓𝑓 (14)



(15)







es la varianza de los valores pasados y

11





(12)







𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑓𝑓) = 11 + 𝑒𝑒−𝑓𝑓 (14)



(15)








La función de costos se define por medio de la desviación media abso-luta, tal como:

12

𝜖𝜖 =𝐸𝐸|𝑦𝑦𝑡𝑡 − ��𝑦𝑡𝑡|

𝑛𝑛

(17)

El algoritmo de aprendizaje de la red adaptativa basado en la inferencia difusa. Está

dado por las reglas If-Then y la observación de los parámetros de los modelos, lo que puede

ser expresado por una combinación lineal de resultados generales expresado de la siguiente

manera:

𝑓𝑓 = 𝑤𝑤1 (𝑝𝑝1𝑦𝑦𝑡𝑡 + 𝑟𝑟1) + 𝑤𝑤2 (𝑝𝑝2𝑦𝑦𝑡𝑡 + 𝑟𝑟2)

Gráfica 3. Estructura del modelo Hybrid Fuzzy Nonlinear Autoregressive Neural Network


La principal ventaja de las redes neuronales difusas en relación con la Red neuronal

autorregresiva es que la red difusa permite decidir, además de los rezagos de las series

temporales, la membresía de la volatilidad. En otras palabras, el método propuesto permite

definir el aprendizaje de la red neuronal tanto en los patrones del pasado como en la función

de membresía de la serie temporal.

3. Pronóstico del modelo Hybrid Fuzzy Autoregressive Neural Network.

Los modelos Hybrid Fuzzy Autoregressive Neural Network se aplicaron a los datos diario de

cuatro índices bursátiles: IPC, IBEX 35, S&P 500 y el Nikkei 225, desde enero de 2015 hasta

diciembre de 2018, anexando los primeros 5 días de enero de 2019 para el análisis fuera de

muestra (Yahoo!, 2019). Se estimó una Red Neural Autorregresiva No Lineal con tres

(17)

El algoritmo de aprendizaje de la red adaptativa basado en la inferencia difusa, está dado por las reglas If-Then y la observación de los parámetros de los modelos, lo que puede ser expresado por una combinación lineal de resultados generales expresado de la siguiente manera:

12


𝑛𝑛

(17)




manera:














La principal ventaja de las redes neuronales difusas en relación con la red neuronal autorregresiva es que la red difusa permite decidir, además de los rezagos de las series temporales, la membresía de la volatilidad. En otras palabras, el método propuesto permite definir el aprendizaje de la red neu-ronal tanto en los patrones del pasado como en la función de membresía de la serie temporal.

12


𝑛𝑛

(17)




manera:



















3. Pronóstico de la Red Neuronal Autorregresiva Difusa Híbrida

Las Redes Neuronales Autorregresivas Difusas Híbridas se aplicaron a los datos diario de cuatro índices bursátiles: IPC, IBEX 35, S&P 500 y el Nikkei 225, desde enero de 2015 hasta diciembre de 2018, anexando los primeros cinco días de enero de 2019 para el análisis fuera de muestra (Yahoo!, 2019). Se estimó una Red Neural Autorregresiva No Lineal con tres rezagos, y un algoritmo de aprendizaje Bayesiano (NARNET), y se comparó con los resultados obtenidos con las redes neuronales difusas que se proponen en esta investigación.

El Cuadro 1, muestra los estadísticos generales de la rentabilidad de los índices bursátiles analizados, los resultados muestran que las cuatro varia-bles tienen exceso de curtosis y distribución leptocúrtica, además la desvia-ción estándar diaria está alrededor de 1% y la asimetría es negativa. De esta manera, las estadísticas indican que los valores extremos tienen una alta probabilidad de ocurrir, por lo que el pronóstico es aún más complicado de realizar. Por otro lado, la volatilidad en esta investigación se mide por la ren-tabilidad, y el modelo propuesto intenta estimar su comportamiento.

Los resultados se han compilado e ilustrado en una serie de gráficos y cuadros que se muestran en la Gráfica 4. La estructura de estos elementos se distribuye para tener en cuenta los índices bursátiles de México, Japón, EE. UU. y España. La razón para hacer esto, es identificar qué metodología pue-de modelar mejor la volatilidad de los diversos mercados. En este sentido, es importante reconocer los tres principales mercados del mundo, el europeo, el americano y el asiático (representados por un índice de cada continente).

Cuadro 1. Estadísticos generales de la rentabilidad de los índices bursátiles

Fuente: elaboración propia en Excel y MatLab con información de Yahoo Finance.

13

rezagos y un algoritmo de aprendizaje Bayesiano (NARNET) y se comparó con los resultados

obtenidos con las redes neuronales difusas que se proponen en esta investigación.

El Cuadro 1, muestra los estadísticos generales de la rentabilidad de los índices

bursátiles analizados, los resultados muestran que las cuatro variables tienen exceso de

curtosis y distribución leptocúrtica, además la desviación estándar diaria está alrededor del

1% y la asimetría es negativa. De esta manera, las estadísticas indican que los valores

extremos tienen una alta probabilidad de ocurrir, por lo que el pronóstico es aún más

complicado de realizar. Por otro lado, la volatilidad en esta investigación se mide por la

rentabilidad, y el modelo propuesto intenta estimar su comportamiento.

Cuadro 1. Estadísticos generales de la rentabilidad de los índices bursátiles


Los resultados se han compilado e ilustrado en una serie de gráficos y cuadros que se

muestran a continuación. La estructura de estos elementos se distribuye para tener en cuenta

los índices bursátiles de México, Japón, EE. UU. y España. La razón para hacer esto es

identificar qué metodología puede modelar mejor la volatilidad de los diversos mercados. En

este sentido, es importante reconocer los tres principales mercados del mundo, el europeo, el

americano y el asiático (estudiados por un índice de cada continente).

La relación existente entre las variables económicas y los eventos sociales y políticos;

causan cambios repentinos en el comportamiento de las variables financieras, y al mismo

tiempo el incremento de la incertidumbre (medida por la volatilidad) ocasionando que el

pronóstico sea cada vez más complicado (Rossi, 2013).

Estadísticos \ índice Bursátil

IPC IBEX 35 S&P 500 Nikkey 225

Media 0.0042% -0.0129% 0.0266% 0.0177%Desviación Estandar 0.86% 1.21% 0.87% 1.29%Sesgo -0.63 -1.39 -0.45 -0.34Curtosis 4.6 14.29 3.88 5.58




14

Gráfica 4. Cotización de cierre diario y rentabilidad de los índices bursátiles

Fuente: Elaboración propia en Excel con información de Yahoo Finance.

El Cuadro 2 ilustra los subconjuntos difusos de cada índice bursátil o las series

temporales difusas asociadas a las variables. Las subsecciones (a, b, c y d) indican la función

de pertenencia trapezoidal difusa del IPC, Nikkey 225, IBEX 35 y el S&P 500,

respectivamente, y las subsecciones (e, f, g y h) indican la función de pertenencia triangular

Gráfica 4. Cotización de cierre diario y rentabilidad de los índices bursátiles

Fuente: elaboración propia en Excel con información de Yahoo Finance.




La relación existente entre las variables económicas y los eventos so-ciales y políticos; causan cambios repentinos en el comportamiento de las variables financieras, y al mismo tiempo el incremento de la incertidumbre (medida por la volatilidad) ocasionando que el pronóstico sea cada vez más complicado (Rossi, 2013).

El Cuadro 2 ilustra los subconjuntos difusos de cada índice bursátil o las series temporales difusas asociadas a las variables. Las subsecciones (a, b, c y d) indican la función de pertenencia trapezoidal difusa del IPC,

15

difusa de la serie temporal. Hay que destacar que los subconjuntos de mayor amplitud en sus

subconjuntos difusos son los de mayor incertidumbre (como lo indican sus estadísticos).

Cuadro 2. SubconjuntoDifusos


En el Cuadro 2 se define la clasificación de la volatilidad asociada a los índices

bursátiles. Por ejemplo, la función de membresía trapezoidal IPC tiene cuatro pasos de

comportamiento (subsección a) el primero corresponde a los subconjuntos [-0.06, -0.01]

asociado a volatilidad negativa (malas noticias), [-0.01, 0] negativo estable (insignificante

pero noticias negativas), [0, 0.01] positivo estable (insignificante pero noticias positivas) y

[0.01, 0.04] positivo (buenas noticias); este subconjunto representa el aprendizaje clasificado

A1 -0.06 -0.01a) A2 -0.01 0

A3 0 0.010A4 0.01 0.04

IPC

A1 -0.09 -0.01b) A2 -0.01 0

A3 0 0.010A4 0.01 0.09

Nikkei 225

A1 -0.06 -0.01c) A2 -0.01 0

A3 0 0.010A4 0.01 0.04

IBEX 35

A1 -0.06 -0.01d) A2 -0.01 0

A3 0 0.01A4 0.01 0.05

S&P 500

A1 -0.06 -0.01e) A2 -0.01 0.012

A3 0.012 0.04

IPC

A1 -0.07 -0.01f) A2 -0.01 0.01

A3 0.01 0.02

Nikkei 225

A1 -0.06 -0.01g) A2 -0.01 0

A3 0 0.02

IBEX 35

A1 -0.06 -0.01h) A2 -0.01 0.005

A3 0.005 0.04

S&P 500

Cuadro 2. Subconjunto Difusos





Nikkey 225, IBEX 35 y el S&P 500, respectivamente, y las subsecciones (e, f, g y h) indican la función de pertenencia triangular difusa de la serie tem-poral. Hay que destacar que los subconjuntos de mayor amplitud en sus subconjuntos difusos son los de mayor incertidumbre (como lo indican sus estadísticos).

En el Cuadro 2 se define la clasificación de la volatilidad asociada a los índices bursátiles. Por ejemplo, la función de membresía trapezoidal IPC tie-ne cuatro pasos de comportamiento (subsección a) el primero corresponde a los subconjuntos [-0.06, -0.01] asociado a volatilidad negativa (malas noti-cias), [-0.01, 0] negativo estable (insignificante pero noticias negativas), [0, 0.01] positivo estable (insignificante pero noticias positivas) y [0.01, 0.04] positivo (buenas noticias); este subconjunto representa el aprendizaje clasi-ficado de la NARNET Trapezoidal Difusa de cuatro grados.

La subsección e define los subconjuntos difusos del índice Nikkei 225, [-0,07, -0,01] asociados a volatilidad negativa (malas noticias), [-0,01, 0,01] estable (noticias no significativas) y [0,01, 0,02] positivo (buenas noticias); este subconjunto muestra el aprendizaje clasificado de la Fuzzy Triangular NARNET de tres grados. La interpretación de los conjuntos difusos asocia-dos a otros índices bursátiles es la misma, la única diferencia son las cotas superior e inferior de cada subconjunto difuso.

La Gráfica 5 muestra la comparación entre el pronóstico de la NARNET Trapezoidal Difusa (lado derecho) y la NARNET tradicional (lado izquierdo), en ambos casos, la línea gris claro representa el pronóstico y la línea negra la rentabilidad. En el caso del IBEX 35, el método tradicional señala, que la estimación no captaba la alta volatilidad de esta variable, por otro lado, la red difusa genera un mejor pronóstico; como consecuencia de que se acerca más al comportamiento real. Esta situación es similar en el índice bursátil ipc, S&P 500 y el Nikkei 225, condición que se puede corroborar en el Cuadro 2, el cual indica que el error medio absoluto de la NARNET Tra-pezoidal Difusa es 0.13% menos que el modelo NARNET para el S&P 500, la red difusa del IBEX 35 tiene un error menor de 0.22%, el pronóstico difuso del ipc tiene un error inferior al 0.16% del pronóstico tradicional y por úl-timo la NARNET Trapezoidal Difusa aplicada al Nikkei tiene un error diario de 0.21% menor que la NARNET tradicional.

La Gráfica 6 indica la comparación de la NARNET Triangular Difusa (la-do izquierdo) y la NARNET tradicional (lado derecho), en ambos casos re-presentada por la línea gris claro. La predicción del IBEX 35 señala que el método propuesto genera una mejor estimación que la red tradicional,




esto se puede ver en la Gráfica 6 en que la predicción difusa se ajusta mejor al índice bursátil español que el modelo no-difuso. Una situación similar se da con el Índice Mexicano, el Índice de Estados Unidos y el Índice de la Bolsa de Valores de Japón.

Gráfica 5. Comparación del pronóstico de los modelos NARNET Trapezoidal Difuso y NARNET tradicional


Gráfica 5. Comparación del pronóstico de los modelos NARNET Trapezoidal Difuso y NARNET tradicional

Párrafo 1

La Gráfica 5 muestra la comparación entre el pronóstico de la NARNET Trapezoidal Difusa (lado derecho) y la NARNET tradicional (lado izquierdo), en ambos casos, la línea gris claro representa el pronóstico y la línea negra la rentabilidad.

-0.14

-0.11

-0.08

-0.05

-0.02

0.01

0.04

02/01/2015 02/01/2016 02/01/2017 02/01/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

IBEX 35 Pronóstico NARNET

-0.14

-0.11

-0.08

-0.05

-0.02

0.01

0.04

02/01/2015 02/11/2015 02/09/2016 02/07/2017 02/05/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

IBEX 35 Pronóstico Fuzzy Trapezoidal NARNET

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

05/01/2015 05/11/2015 05/09/2016 05/07/2017 05/05/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

IPC Pronóstico NARNET

-0.08-0.06-0.04-0.02

00.020.040.060.08

05/01/2015 05/11/2015 05/09/2016 05/07/2017 05/05/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

IPC Pronóstico Fuzzy Trapezoidal NARNET

-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02

00.020.040.060.08

0.1

05/01/2015 05/11/2015 05/09/2016 05/07/2017 05/05/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

Nikkei 225 Pronóstico NARNET

-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02

00.020.040.060.08

0.1

05/01/2015 05/11/2015 05/09/2016 05/07/2017 05/05/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

Nikkei 225 Pronóstico Fuzzy Trapezoidal NARNET

-0.070

-0.050

-0.030

-0.010

0.010

0.030

0.050

0.070

05/01/2015 05/11/2015 05/09/2016 05/07/2017 05/05/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

S&P 500 Pronóstico NARNET

-0.0700

-0.0500

-0.0300

-0.0100

0.0100

0.0300

0.0500

0.0700

05/01/2015 05/11/2015 05/09/2016 05/07/2017 05/05/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

S&P 500 Pronóstico Fuzzy Trapezoidal NARNET




Estos resultados muestran que el aprendizaje clasificado de las redes propuestas mejora significativamente la predicción de las variables de al-ta volatilidad, ya que al incorporar una función de membresía triangular al aprendizaje de las redes neuronales autorregresivas, se identifican tres

Gráfica 6. Comparación del pronóstico de los modelos NARNET Triangular Difu-sa y la NARNET tradicional


Párrafo 2

La Gráfica 6 indica la comparación de la NARNET Triangular Difusa (lado izquierdo) y la NARNET tradicional (lado derecho), en ambos casos representada por la línea gris claro.

Figura 6. Comparación del pronóstico de los modelos NARNET Triangular Difusa y la NARNET tradicional

-0.14

-0.11

-0.08

-0.05

-0.02

0.01

0.04

02/01/2015 02/01/2016 02/01/2017 02/01/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

IBEX 35 Pronóstico NARNET

-0.180000

-0.130000

-0.080000

-0.030000

0.020000

0.070000

02/01/2015 02/01/2016 02/01/2017 02/01/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

IBEX 35 Pronóstico Fuzzy Triangular NARNET

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

05/01/2015 05/11/2015 05/09/2016 05/07/2017 05/05/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

IPC Pronóstico NARNET

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

05/01/2015 05/01/2016 05/01/2017 05/01/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

IPC Pronóstico Fuzzy Triangular NARNET

-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02

00.020.040.060.08

0.1

05/01/2015 05/11/2015 05/09/2016 05/07/2017 05/05/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

Nikkei 225 Pronóstico NARNET

-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02

00.020.040.060.08

0.1

05/01/2015 05/11/2015 05/09/2016 05/07/2017 05/05/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

Nikkei 225 Pronóstico Fuzzy Triangular NARNET

-0.070

-0.050

-0.030

-0.010

0.010

0.030

0.050

0.070

05/01/2015 05/11/2015 05/09/2016 05/07/2017 05/05/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

S&P 500 Pronóstico NARNET

-0.07-0.05

-0.03-0.01

0.010.030.05

0.070.09

02/01/2015 02/11/2015 02/09/2016 02/07/2017 02/05/2018

Ren

tabi

lidad

Tiempo

S&P 500 Pronóstico Fuzzy Triangular NARNET




grados de membresía de la volatilidad de las series temporales financieras, es decir, se obtienen los pesos sinápticos que modelan el comportamiento de la variable con un entorno positivo (buenas noticias), estable (noticias no significativas) y uno negativo (malas noticias); permitiendo así obtener mejores predicciones. Por otro lado, al incorporar la función de membresía trapezoidal, se clasifican cuatro grados de volatilidad, un entorno positivo (buenas noticias), estable positivo (noticias insignificantes pero positivas), estable negativo (noticias insignificantes pero negativas) y negativo (malas noticias); generando una mejor adaptación a la incertidumbre de la serie temporal.

La principal diferencia de los modelos propuestos es que depende de los grados de incertidumbre asociados a las series de tiempo financieras que las redes neuronales aprenderán mejor con una función triangular o trape-zoidal. Por lo tanto, según el grado de volatilidad, se debe elegir la función de membresía que mejor se adapte a las condiciones de mercado estudiado.

El Cuadro 3 ilustra la comparación de la desviación media absoluta para los cuatro índices analizados, el principal resultado en relación con las redes difusas y la NARNET es que los modelos difusos tienen un error más bajo que el modelo tradicional, por ejemplo, el pronóstico difuso del S&P 500 tie-ne un 0.16% menor de error, el pronóstico difuso del IBEX 35 tiene un error 0.105 más bajo, en el pronóstico difuso del IPC el error es 0.14 más bajo que el de la red tradicional y el pronóstico difuso del Nikkei tiene un error 0.13% menor, para datos diarios en todos los casos.

Es importante reconocer que con la metodología propuesta se obtiene una mejora significativa en términos de reducción del error con respecto a los modelos tradicionales de redes neuronales y según (Medina-Reyes,

Cuadro 3. Comparación de la desviación media absoluta diaria

Fuente: elaboración propia en Excel.

19

Fuente: Elaboración propia en Excel.

El Cuadro 3 ilustra la comparación de la desviación media absoluta para los cuatro

índices analizados, el principal resultado en relación con las redes difusas y la NARNET es

que los modelos difusos tienen un error más bajo que el modelo tradicional, por ejemplo, el

pronóstico difuso del S&P 500 tiene un 0.16% menor error, el pronóstico difuso del IBEX

35 tiene un error 0.105 más bajo, el pronóstico difuso del IPC el error es 0.14 más bajo que

el de la red tradicional y el pronóstico difuso del Nikkei tiene un error 0.13% menor esto de

forma diaria en los los casos.

Es importante reconocer que con la metodología propuesta se obtiene una mejora

significativa en términos de reducción del error con respecto a los modelos tradicionales de

redes neuronales y según (Medina-Reyes, 2019) esta mejora no sólo se da en las redes

neuronales, sino también en los modelos lineales, (ARIMA) y no lineales (GARCH). Por lo

tanto, los modelos propuestos modelan el comportamiento de las variables financieras mejor

que los modelos y metodologías anteriores, mostrando que los modelos difusos son mejores

que las metodologías mencionadas.

La Gráfica 7 muestra la comparación del modelo propuesto y la prueba de la red

neuronal autorregresiva no lineal fuera de muestra durante los primeros cinco días cotizados

por cada índice en 2019. En el lado derecho está el pronóstico del índice de acciones y en el

lado izquierdo está el error porcentual de pronóstico, el pronóstico NARNET es la línea verde

en los cuatro casos, se observa un pronóstico consistente en comparación con los valores

reales (línea negra). Por otro lado, la línea roja es el Fuzzy Trapezoidal NARNET el cual

genera un mejor pronóstico que el NARNET y en el caso del Nikkei 225 y el IPC, la línea

roja tiene un comportamiento muy similar al valor real del índice bursátil. Es posible

Índice Bursátil Fuzzy Trapezoidal

NARNETFuzzy Triangular NARNET

NARNET

IPC 0.4650% 0.4670% 0.6302%IBEX 35 0.6146% 0.7392% 0.8378%S&P 500 0.4626% 0.5814% 0.6288%

Nikkey 225 0.6749% 0.7594% 0.8870%

NARNET Trapezoidal Difusa

NARNET Triangular Difusa

NARNET




2019) esta mejora no sólo se da en las redes neuronales, sino también en los modelos lineales, (ARIMA) y no lineales (GARCH). Por lo tanto, los modelos propuestos modelan el comportamiento de las variables financieras mejor que los modelos y metodologías anteriores, mostrando que los modelos di-fusos son mejores que las metodologías mencionadas.

La Gráfica 7 muestra la comparación del modelo propuesto y la prueba de la red neuronal autorregresiva no lineal fuera de muestra durante los pri-meros cinco días cotizados por cada índice en 2019. En el lado derecho está el pronóstico del índice de acciones y en el lado izquierdo está el error por-centual de pronóstico, el pronóstico NARNET tradicional es la línea gris cla-ro con marcadores cuadrados en los cuatro casos, se observa un pronóstico consistente en comparación con los valores reales (línea negra). Por otro la-do, la línea gris claro es NARNET Trapezoidal Difusa, la cual genera un mejor pronóstico que la NARNET tradicional y en el caso del Nikkei 225 y el IPC, la línea gris claro tiene un comportamiento muy similar al valor real del índice bursátil. Es posible identificar que el pronóstico difuso se adapta mejor a las variaciones en la serie temporal de la muestra que la metodología tradicio-nal de la red neuronal.

La Gráfica 7 también ilustra los resultados del pronóstico fuera de la muestra en escala de grises; la sección izquierda muestra el pronóstico de los 4 índices bursátiles. Se destaca que la predicción NARNET, denotada con la línea con marcadores cuadrados, tiende a ser una línea recta que pierde potencial de pronóstico a lo largo del tiempo. Por otra parte, un resultado destacable en la estimación fuera de muestra de los modelos basados en teo-ría difusa, indicados con las líneas con marcadores de triángulos y de equis, es que estos se adaptan mejor a la volatilidad de los mercados y generan buenos pronósticos en comparación con los modelos de redes bayesianas.

La NARNET Triangular Difusa genera una mejor estimación que el mo-delo tradicional en el Nikkei 225 y el IPC, pero para el S&P 500 y el IBEX 35 todos los modelos no tienen un buen pronóstico. Esto se puede apreciar en el porcentaje de error diario (gráfico de la izquierda) donde el error del índice de EE. UU. y España fue mayor que el de Japón y México. En este gráfico, al-gunos días no tienen valores debido a que para esos días el mercado no gene-ró precios. La NARNET Triangular Difusa no generó error en el primer día de pronóstico en el Nikkey 225 y en los índices bursátiles fue el mejor modelo, pero en los días siguientes el error aumentó para los tres modelos. El S&P 500 tiene una alta volatilidad y los modelos no capturan su comportamiento,




Gráfica 7. Pronóstico fuera de muestra y porcentaje de error diario

Fuente: elaboración propia en Excel con información de Yahoo Finance.

Figura 7. Pronóstico fuera de muestra y porcentaje de error diario




pero el error disminuye en las predicciones de los siguientes días, la misma situación ocurre en el IBEX.

Por último, los modelos propuestos generan un mejor pronóstico den-tro de muestra y fuera de muestra que la Red Neuronal Autorregresiva No Lineal. Por lo tanto se concluye que las redes neuronales pueden aprender de la dinámica de las series temporales y si se añade la teoría difusa tam-bién pueden aprender de la incertidumbre de las variables financieras. Esta situación hace que el método propuesto se considere mejor que la red tradi-cional.

Conclusión

Los modelos tradicionales de redes neuronales son generalmente aceptados en la ciencia económica por su gran contribución al estudio y pronóstico de la no linealidad de las series temporales financieras; en la presente investigación, el análisis se realiza con la metodología de las redes neuronales autorregresivas basadas en teoría difusa que incorpora en su estructura las funciones de membresía triangular y trapezoidal. Los resultados sugieren que la metodología propuesta genera una mejor estimación de la volatilidad de los índices bursátiles IBEX 35, S&P 500, IPC y Nikkei 225 en comparación con las redes neuronales tradicionales.

La mejora en la estimación de los modelos presentados se atribuye a la incorporación de un elemento muy relevante dentro de la teoría difusa, es decir, la función de membresía. En estos métodos se considera que la función de membresía como clasificadora de la volatilidad juega un papel de suma importancia para el pronóstico de las series temporales, apoyado específi-camente en la identificación de los grados de incertidumbre asociados a las diversas condiciones económicas, políticas y sociales que pueden impactar en el comportamiento del mercado de valores.

El principal resultado obtenido es que la aplicación de la teoría difu-sa dentro de la metodología tradicional de redes neuronales constituye una contribución relevante en el estudio de la no linealidad de las series de tiem-po financieras, esto se atribuye a que los modelos propuestos reconocen mejor la incertidumbre de las variables con gran volatilidad en su compor-tamiento, lo anterior se debe a que la combinación de ambas metodologías ocasiona un aprendizaje clasificado de la incertidumbre existente en las se-ries temporales para lograr así pronósticos más precisos.




Un aspecto importante por destacar es que, al incorporar una función de membresía triangular al aprendizaje de las redes neuronales autorregre-sivas, se identifican tres grados de membresía de la volatilidad en las series de tiempo financieras. Es decir, se obtienen los pesos sinápticos que modelan el comportamiento de la variable con un entorno positivo (buenas noticias), estable (noticias no significativas) y negativo (malas noticias); permitiendo así obtener mejores predicciones. Por otro lado, al incorporar la función de membresía trapezoidal, se clasifican cuatro grados de volatilidad, un entor-no positivo (buenas noticias), estable positivo (noticias insignificantes pero positivas), estable negativo (noticias insignificantes pero negativas) y nega-tivo (malas noticias); generando una mejor adaptación a la incertidumbre de las series temporales. La principal diferencia entre los modelos propuestos consiste en que, dependiendo de la incertidumbre asociada a una serie tem-poral financiera, las redes neuronales aprenderán mejor con una función triangular o trapezoidal.

Otro hallazgo es que al realizar la comparación con investigaciones pre-cedentes sobre el tema, la incorporación de la función de membresía en las redes neuronales se adapta de forma diferente, porque en lugar de suponer que la serie temporal tiene una función de membresía, la función se utiliza como clasificadora de la volatilidad, lo que permite variar los perceptrones para mejorar el aprendizaje de la no linealidad de las series temporales fi-nancieras.

Estos modelos no sólo pueden predecir el índice del mercado de valores, si no también otras variables financieras como los tipos de cambio, el flujo de caja, los tipos de interés, las acciones y otras variables multidisciplinarias con la característica de alta volatilidad en su comportamiento.


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Desempeño de ocho de las criptomonedas de mayor capitalización…


Performance of Eight of the Cryptocurrencies of Greater Market Capitalization

Francisco López-Herrera*

Luis Guadalupe Macías Trejo**

Oscar Valdemar de la Torre Torres***

(Fecha de recepción: 20 de noviembre de 2019, Fecha de aceptación 27 de enero de 2020)

* División de Investigación, Facultad de Contaduría y Administración, Universidad Nacional Autónoma de México, Ciudad de México, México. [email protected], ORCID: 0000-0003-2626-9246

** Facultad de Contaduría y Ciencias Administrativas. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Morelia, Michoacán, México.

*** Facultad de Contaduría y Ciencias Administrativas. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Morelia, Michoacán, México. [email protected], ORCID: 0000-0001-9281-974X

Resumen

Este artículo muestra los resultados de un análisis del desempeño de ocho de los criptoactivos más importantes entre la gran variedad que actualmente existe en el mercado. Se estudia su riesgo de mercado con base en métricas ampliamente utilizadas para activos financieros. El análisis se complementa con la evaluación de su desempeño dentro de portafolios formados con criterios convencionales. Se encuentra un comportamiento bastante heterogéneo entre los activos estudiados, sugiriendo que tal comportamiento obedece a las características específicas de cada uno de ellos, más que a las características comunes como una clase específica de activos.

www.estocastica.azc.uam.mxVolumen 10, número 1, enero-junio 2020, pp. 103-126



Francisco López-Herrera, Luis G. Macías Trejo y Oscar V. de la Torre Torres

Clasificacion JEL: G12, G14, G19Palabras clave: criptomonedas, portafolios, riesgo, Drawdown, VAR, Expected Shortfall.

AbstRAct

This paper shows the results of an analysis of eight of the most important cryptocurrencies among the great variety that currently exists in the market. Their market risk is studied based on measures widely used in financial asset markets. The analysis is complemented by the evaluation of their performance within portfolios formed with also conventional criteria. A fairly heterogeneous behavior is found among the assets studied, suggesting that such behavior is due to the specific characteristics of each of them, rather than their common characteristics as a specific class of assets.JEL Codes: G12, G14, G19.Keywords: Cryptocurrencies, Portfolios, Drawdown, VAR and Expected Shortfall.

Introducción

Como consecuencia de la explosiva aparición de criptomonedas,1 ha creci-do el interés por parte de la academia en estudiar sus características, en

particular el desempeño y el riesgo de mercado que presentan, pues además de facilitar las operaciones cambiarias y la obtención de financiamiento para las empresas, han alcanzado una gran popularidad por haberse convertido en novedosos vehículos de inversión. De acuerdo con Beneki et al. (2019), una criptomoneda es un medio digital de intercambio que ha captado gran atención por parte de las empresas, medios de comunicación, institutos fi-nancieros y gubernamentales e inversionistas. La moneda virtual o cripto-moneda es un símbolo o sinónimo de valor considerado como un sistema de pago tecnológico, el cual ha continuado desarrollándose durante las dos últi-

1 A lo largo de este trabajo se usa “criptomoneda” a diferencia de “criptoactivos” o “criptodivisas”, para referirse a los medios digitales de intercambio que utilizan criptografía, por ser el término más utilizado, aunque formalmente no constituyen una moneda sino un activo.




mas décadas (Rogojanu y Badea, 2015). A su vez, Maftei (2014) explica que las criptomonedas tienen su fundamento en la idea de intercambiar valor sin la aprobación de una institución financiera.

Actualmente el número de criptomonedas disponibles en el mercado su-pera las cinco mil, sin embargo, la mayor parte de la investigación académica se ha centrado en Bitcoin (BTC), considerada la primera criptomoneda, la cual fue introducida en octubre de 2008 mediante la publicación de “The Bitcoin Whitepaper”2 en forma anónima por un individuo o grupo de per-sonas, bajo el seudónimo “Satoshi Nakamoto”. A pesar de la gran y, al pare-cer, siempre creciente cantidad de nuevas criptomonedas, según Klein et al. (2018), el mercado es dominado por Bitcoin, Ethereum y Ripple que en con-junto rebasan el 60% de la capitalización total del mercado. El seis de marzo de 2019 esas monedas se mantenían junto con Litecoin, Tether, Bitcoin Cash, EOS y Tron, como las ocho criptomonedas de mayor capitalización de mer-cado.

Litecoin (LTC), creada en 2011 por Charlie Lee, es conocida como el pri-mer sustituto de la Bitcoin, según Tu y Xue (2018) fue desarrollada con una versión modificada del algoritmo de Bitcoin. Ethereum,3 fue desarrollada por Vitalik Buterin, e inició su operación en 2015. Su objetivo fue que a tra-vés de su plataforma sea posible operar aplicaciones descentralizadas y co-laborativas. El precio de su criptomoneda se ha incrementado notoriamente a pesar de su corto periodo de tiempo en el mercado. Por su parte, Ripple es considerado un activo digital orientado a transferencias bancarias y una opción de liquidación más eficiente para las instituciones financieras y los proveedores de liquidez que buscan un alcance global, porque el costo de sus transacciones es menor que el de otras criptomonedas. Tether es una criptomoneda con un valor destinado a reflejar el valor del dólar estadouni-dense. La idea original de su creación, según Wei (2018), fue tener una crip-tomoneda estable que pudiera fungir como dólar digital como un sustituto estable del dólar. EOS y BitcoinCash comparten características de elimina-ción de tarifas de transacción, descentralización y anonimato. Tron es una criptomoneda china creada en 2017 por Justin Sun, sus características son similares al resto de las criptomonedas y su uso principal es decentralizar los contenidos de internet de forma tal que artistas, creadores, músicos y au-

2 El nombre del documento original es: Bitcoin a Peer to Peer Electronic Cash System. 3 Ethereum es la plataforma que provee el criptoactivo llamado Ether.




tores puedan compartir sus contenidos sin recurrir a intermediarios como Amazon, Facebook, Youtube y otros.

A pesar de que se pueden considerar como miembros de una misma cla-se de activos para efectos de inversión, se aprecia que existe en las criptomo-nedas cierto nivel de heterogeneidad originado porque sus características son muy particulares, prácticamente específicas a cada uno de esos activos. Con esa perspectiva, este artículo ofrece, a diferencia de los trabajos previa-mente efectuados sobre criptomonedas, el ser uno de los primeros en pre-sentar un análisis del desempeño y riesgo de las ocho criptomonedas arriba mencionadas. Adicionalmente al análisis de su desempeño con base en me-didas ampliamente utilizadas en los mercados financieros mundiales, este trabajo complementa investigaciones previas, y posiblemente contribuye a la administración de portafolios de inversión, mediante una mejora al perfil del riesgo de portafolios.

La estructura de este artículo es la siguiente: en la primera parte se ofrece una revisión de la literatura pertinente, seguida, en la sección de me-todología, por la descripción de los indicadores de desempeño, que se utili-zan, posteriormente en la sección correspondiente al análisis de los datos y resultados, y se finaliza con las conclusiones.

1. Revisión de literatura

Halaburda y Gandal, (2014) analizaron si hay oportunidades para el arbitraje triangular a través del comportamiento de los tipos de cambio de diferentes monedas virtuales considerando a Bitcoin, Litecoin, Peercoin, Namecoin, Feathercoin, Novacoin y Terracoin, durante una ventana de tiempo con precios diarios del 2 de mayo de 2013 al 1º de julio de 2014. Concluyeron que Bitcoin dentro de un portafolio diversificado incrementa significativamente el rendimiento ajustado por el riesgo debido a los altos rendimientos promedio y bajo nivel de correlación con otros activos financieros. Por su parte, Yermack (2013) examinó si el Bitcoin debe considerarse una moneda y concluye que el Bitcoin se comporta más como una inversión especulativa que como una moneda.

Ciaian et al. (2014), analizan la relación entre el precio, oferta y deman-da de Bitcoin y algunos indicadores macrofinancieros globales utilizando datos para el periodo de 2009 a 2014. Mediante el modelo VAR (modelo de vectores autoregresivos) de Lütkepohl y Krätzig (2004), muestran que los fundamentales y el proceso de subasta tienen un impacto significativo en el




precio de Bitcoin. Posteriormente, Carrick (2016) analiza el valor y volatili-dad de Bitcoin en tres diferentes contextos. Primero, Bitcoin en relación con las principales monedas del mundo: dólar australiano, franco suizo, euro, libra esterlina y el yen japonés. Segundo, Bitcoin en relación con las mone-das de mercados emergentes. Tercero, el Bitcoin en relación con los ETF (Ex-change-Traded Funds) de mercados emergentes de ETF. De igual forma llevó a cabo pruebas de desempeño (índice de Sortino e índice de Sharpe) para portafolios diarios del 11 de enero de 2011 al 31 de diciembre de 2015. Sus resultados sugieren que el Bitcoin posee características que lo hacen ade-cuado para funcionar como un complemento de las monedas de mercados emergentes, y existen formas de minimizar los riesgos de Bitcoin.

Balcilar et al. (2017) desarrollaron un estudio que emplea, en contras-te, una prueba de causalidad no paramétrica en los cuantiles para analizar la relación causal entre el volumen de operaciones, los rendimientos y la volatilidad de Bitcoin sobre el conjunto de sus respectivas distribuciones condicionales. Su periodo de análisis fue del 19 de diciembre de 2011 al 25 de abril de 2016. La prueba muestra que el volumen puede predecir los rendimientos excepto en los regímenes del mercado de Bitcoin alcista y bajista. El resultado destaca la importancia de modelar la no linealidad y tener presente el comportamiento de la cola al analizar las relaciones causales entre los rendimientos de Bitcoin y el volumen de operaciones. Durante este mismo año Bariviera et al. (2017) analizaron las propiedades estadísticas del mercado a través de un estudio que compara el Bitcoin y la dinámica de monedas estándar bajo el enfoque de análisis de rendimien-tos en diferentes escalas. El periodo de análisis fue de 2011 hasta 2017 utilizando datos de transacciones de rendimientos de Bitcoin para probar la presencia de memoria larga en los rendimientos de la serie de tiempo. Posteriormente, se calculó el exponente de Hurst mediante el método DFA (Detrended Fluctuation Analysis) utilizando una ventana deslizante para medir dependencia de largo alcance. Sus resultados muestran que los ex-ponentes de Hurst y el análisis multiescala cambian significativamente du-rante los primeros años de existencia de Bitcoin y tienden a estabilizarse en los últimos tiempos.

En Bouri et al. (2017) se muestra un análisis para conocer si el Bitcoin puede ser utilizado como cobertura y refugio para los principales índices mundiales de acciones, bonos, petróleo, oro, S&P500 y el índice del dólar estadounidense. Se utilizó el modelo de correlación dinámica condicional (DCC) propuesto por Engle (2002) para el periodo de análisis con datos




diarios y semanales de julio 2011 a diciembre 2015. Sus resultados mues-tran que el Bitcoin no es adecuado para ser utilizado como cobertura, y es adecuado sólo para fines de diversificación. Sin embargo, sugieren que el Bitcoin puede servir como un fuerte refugio seguro contra los movimientos semanales de bajas en las acciones asiáticas.

Por su parte, Blau (2018) busca hechos estilizados sobre la dinámica de los precios de Bitcoin y demostrar la hipótesis de que el comercio especula-tivo en Bitcoin es responsable de su inusual volatilidad. Lo anterior se lleva a cabo mediante el uso de una medida intuitiva del comercio especulativo propuesta por Llorente et al. (2002) que captura el nivel de autocorrelación inducida por el volumen. Sus resultados no muestran influencia en el au-mento o desplome en el valor de Bitcoin a través del comercio especulativo durante el 2013 y tampoco se encontró evidencia de asociación directa del comercio especulativo con el inusual nivel de volatilidad de Bitcoin. Sin em-bargo, Corbet y Katsiampa (2018) siguiendo el enfoque propuesto por Nam et al. (2006), exploran si los rendimientos de criptomoneda, representados por el Bitcoin, presentan patrones de inversión asimétricos similares por hora, diarios y semanales para la ventana temporal de junio 2010 a febrero 2018. Sus principales resultados destacan evidencia de reversión asimétrica a la media en los rendimientos de Bitcoin.

Corbet et al. (2018), analizan las relaciones entre criptomonedas popu-lares y una variedad de otros activos financieros, mostrando que las crip-tomonedas ofrecen beneficios en la diversificación para inversionistas con horizontes de inversión cortos, y la variación del tiempo refleja las crisis económicas y financieras externas. Por otra parte Lahmiri y Bekiros (2018) investigan, evalúan y detectan la estructura de correlación temporal mul-tiescalar y caos en los rendimientos y precios del mercado virtual a lo lar-go de dos periodos distintos; primero, un periodo de régimen de bajo nivel durante el cual los precios aumentaron lentamente. Segundo, un periodo de régimen alto y turbulento donde los precios se incrementaron exponencial-mente. Para esto, utilizaron y estimaron el exponente Lyapunov, Entropia de Shannon, el exponente de Hurst y derivación de espectros de singularidad o espectro multifractal durante períodos de tiempo (precio) de régimen alto y bajo. Sus resultados muestran que, a diferencia de los rendimientos, los pre-cios incorporan y exhiben dinámicas caóticas.

Corbet et al. (2019) presentan una revisión sistemática de la literatura empírica con base en los principales temas asociados al mercado de cripto-monedas, destacando investigaciones en el campo de mercados eficientes,




beneficios de la diversificación, y cibercriminalidad desde 2009. Así mismo, Braunis y Mestel (2019) muestran evidencia de los efectos y beneficios de portafolios de múltiples criptomonedas utilizando el modelo de media-va-rianza de Markowitz (1952) con datos diarios de las 500 criptomonedas de mayor volumen de capitalización del primero de enero de 2015 al 31 de di-ciembre de 2017. Concluyen que, al combinar varias criptomonedas el nivel de riesgo se reduce sustancialmente; además, la alta volatilidad del mercado de criptomonedas puede motivar a que los inversionistas que no estén dis-puestos a correr un riesgo excesivo al invertir en criptomonedas en su for-ma individual puedan invertir en portafolios. Platanakis y Urquhart (2019), muestran evidencia en apoyo de la conveniencia de incluir bitcoins en porta-folios convencionales de acciones y bonos.

Borri (2019), utiliza la covarianza para estimar el riesgo condicional de cola en el mercado para las criptomonedas (Bitcoin, Ether, Ripple y Litecoin). Sus resultados muestran que las criptomonedas están altamente expuestas al riesgo de la cola dentro del mercado de criptomonedas. Sin embargo, al relacionarla con otros activos globales, como en mercados de renta variable estadounidense o el oro, el riesgo condicional de cola no está presente. Si bien los rendimientos de las criptomonedas están altamente correlaciona-dos, se encuentra que el riesgo puede ser reducido significativamente y que los portafolios pueden ofrecer mejores rendimientos ajustados al riesgo que las monedas individuales. Se puede decir que en parte los resultados de Bo-rri confirman la evidencia presentada por Klein et al. (2018).

2. Aspectos metodológicos

Un elemento clave en la administración de los portafolios de inversión es la evaluación del desempeño pues sirve como una medida de control de calidad de las decisiones involucradas. En la medición del desempeño, el rendimiento y la volatilidad del mismo, o riesgo, juegan un papel muy importante. Bacon (2008) sostiene que desde la perspectiva de los inversionistas, la medida de riesgo en los rendimientos más sencilla podría estar relacionada con la duración de los periodos de pérdidas continuas, es decir, lo que se conoce como el Drawdown. De manera general, el Drawdown se mide como la declinación en términos porcentuales del valor del activo que se puede observar durante un periodo. En términos formales, se considera

6

un periodo. En términos formales, se considera 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 como el máximo local en el periodo [0, 𝑇𝑇], que ocurre en el momento 𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ∈ [0, 𝑇𝑇], se define el Drawdown en 𝑡𝑡, como:4

𝐷𝐷𝑡𝑡 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚−𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 . (1)

El Drawdown máximo es la mayor declinación de valor que se observa en el periodo, es decir la pérdida de valor yendo desde el máximo alcanzado hasta el punto mínimo del periodo. En otras palabras, representa la máxima pérdida que se puede sufrir si se compra el activo al precio alcanzado en el máximo y se vende al precio correspondiente al mínimo.

Por su parte, el Drawdown promedio es el rendimiento negativo promedio durante un periodo de inversión:

��𝐷 = |∑ 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)

𝐷𝐷𝑖𝑖 es el iésimo Drawdown y n es el número total de Drawdowns, en ambos casos tomando como referencia el periodo total.

Como medida del downside risk o riesgo debido a la variabilidad de los rendimientos con un desempeño deficiente (por debajo) respecto de un rendimiento mínimo, 𝑟𝑟𝑇𝑇, que se establece como meta para el periodo de inversión, se puede utilizar la semi-desviación estándar:

𝜎𝜎𝑑𝑑 = √∑ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛[(𝑟𝑟𝑖𝑖−𝑟𝑟𝑇𝑇),0]2

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖=1 . (3)

De manera similar, para medir el upside risk, es decir, considerando los rendimientos que se encuentran por arriba de la tasa de rendimiento de referencia, se puede utilizar la siguiente variante:

𝜎𝜎𝑢𝑢 = √∑ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚[(𝑟𝑟𝑖𝑖−𝑟𝑟𝑇𝑇),0]2


La razón (ratio) de pérdidas y ganancias de Bernardo y Ledoit es un caso especial de la razón Omega, la cual captura la información en los momentos de orden superior de la distribución de rendimientos, véase Bacon (2008), ajustando implícitamente por el sesgo y la curtosis. Esta razón se puede escribir como:

𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐵𝐵𝑑𝑑𝑟𝑟𝑛𝑛𝑅𝑅𝑟𝑟𝑑𝑑𝐵𝐵 − 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑑𝑑𝐵𝐵𝐿𝐿𝑡𝑡 =1𝑛𝑛×∑ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑟𝑟𝑖𝑖,0)𝑛𝑛

𝑖𝑖=11𝑛𝑛×∑ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(0−𝑟𝑟𝑖𝑖,0)𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 (5)

Una medida ampliamente utilizada para cuantificar el nivel del riesgo de mercado de un activo es el Valor en Riesgo (VaR por el inglés Value at Risk), en términos sencillos es la máxima pérdida esperada que puede ocurrir bajo condiciones normales (regulares) dentro de un periodo de tiempo determinado y con un nivel de confianza dado. En términos formales, sea 𝜉𝜉 una variable aleatoria que representa la pérdida, dado 0 < 𝛼𝛼 < 1, el 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 − 𝛼𝛼 de 𝜉𝜉 es

4 Véase Jorion, (2011), p. 95.

como




el máximo local en el periodo

6






𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)











𝑖𝑖=1 (5)



, que ocurre en el momento

6






𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)











𝑖𝑖=1 (5)



, se define el Drawdown en

6






𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)











𝑖𝑖=1 (5)



, como:4

6






𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)











𝑖𝑖=1 (5)



(1)


Por su parte, el Drawdown promedio es el rendimiento negativo prome-dio durante un periodo de inversión:

6






𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)











𝑖𝑖=1 (5)



(2)

6






𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)











𝑖𝑖=1 (5)



es el iésimo Drawdown y n es el número total de Drawdowns, en ambos casos tomando como referencia el periodo total.

Como medida del downside risk o riesgo debido a la variabilidad de los rendimientos con un desempeño deficiente (por debajo) respecto de un ren-dimiento mínimo,

6






𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)











𝑖𝑖=1 (5)



, que se establece como meta para el periodo de inver-sión, se puede utilizar la semi-desviación estándar:

6






𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)











𝑖𝑖=1 (5)



(3)

De manera similar, para medir el upside risk, es decir, considerando los rendimientos que se encuentran por arriba de la tasa de rendimiento de re-ferencia, se puede utilizar la siguiente variante:

6






𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)











𝑖𝑖=1 (5)



(4)





La razón (ratio) de pérdidas y ganancias de Bernardo y Ledoit es un caso especial de la razón Omega, la cual captura la información en los momentos de orden superior de la distribución de rendimientos, véase Bacon (2008), ajustando implícitamente por el sesgo y la curtosis. Esta razón se puede es-cribir como:

Razón de Bernardo – Ledoit

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𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)











𝑖𝑖=1 (5)



(5)

Una medida ampliamente utilizada para cuantificar el nivel del riesgo de mercado de un activo es el Valor en Riesgo (VaR por el inglés Value at Risk), en términos sencillos es la máxima pérdida esperada que puede ocu-rrir bajo condiciones normales (regulares) dentro de un periodo de tiem-po determinado y con un nivel de confianza dado. En términos formales, sea

6






𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)











𝑖𝑖=1 (5)



una variable aleatoria que representa la pérdida, dado

6






𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)











𝑖𝑖=1 (5)



, el

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𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)











𝑖𝑖=1 (5)



de

6






𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |, (2)











𝑖𝑖=1 (5)



es

7

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝛼𝛼(𝜉𝜉): = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚{𝑐𝑐: ℙ[𝜉𝜉 ≤ 𝑐𝑐] ≥ 𝛼𝛼}. (6) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝛼𝛼(𝜉𝜉) puede interpretarse entonces como la pérdida mínima que no será excedida con probabilidad 𝛼𝛼 o como el cuantil (percentil) 𝛼𝛼 de la distribución de pérdidas o, en forma alternativa, como la pérdida más pequeña en el (1 − 𝛼𝛼) × 100% de los peores casos o la mayor pérdida en el 𝛼𝛼 × 100% de los mejores casos. Desde la perspectiva de la selección de portafolios, el modelo basado en el análisis de la media y varianza propuesto por Markowitz (1952), es ampliamente conocido y utilizado particularmente como consecuencia de la relativa facilidad para instrumentar la solución propuesta de Merton (1972). En términos simples, el problema a resolver es

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜔𝜔𝑇𝑇Ω𝜔𝜔 𝑠𝑠. 𝑉𝑉. 𝜔𝜔𝑇𝑇𝑟𝑟 = 𝑉𝑉𝑝𝑝

∗ 𝜔𝜔𝑇𝑇𝜄𝜄 = 1

𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)

𝜔𝜔 es un vector de variables de decisión, las proporciones o pesos de los activos que forman parte del conjunto de oportunidades factibles de inversión, Ω es la matriz de varianzas-covarianzas de los rendimientos de esos activos, 𝑟𝑟 es un vector de rendimientos esperados de los activos, 𝑉𝑉𝑝𝑝

∗ es un escalar representando el objetivo de rendimiento esperado y 𝜄𝜄 es un vector unitario. Al resolver el problema con diferentes objetivos de rendimientos es posible determinar la frontera eficiente o de portafolios óptimos (de mínimo riesgo para los diferentes objetivos).

A pesar de su relativa sencillez, el enfoque del análisis de media y varianza ha sido criticado desde diversos ángulos y, en particular, se han sugerido algunas alternativas para superar la limitación que tiene la varianza para tomar en cuenta las pérdidas en las colas cuando sus distribuciones están sesgadas hacia al lado de las pérdidas. Una opción es la minimización de la pérdida esperada (Expected Shortfall, ES), conocida también bajo nombres como Valor en Riesgo Condicional (CVaR), Valor en Riesgo Promedio (Average VaR, AVAR), VaR en la cola (Tail VaR) o Pérdida Esperada en la Cola (Expected Tail Loss, ETL). El ES representa la pérdida esperada en un nivel de confianza dado, cuando la pérdida es mayor que el VaR calculado a ese nivel de confianza:

𝐸𝐸𝐸𝐸𝛼𝛼(𝜉𝜉): = 𝔼𝔼[𝜉𝜉|𝜉𝜉 ≥ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝛼𝛼(𝜉𝜉)]. (8)

Es conveniente destacar que el ES ha sido también considerado como una medida coherente de riesgo, en el sentido de Artzner et al. (1999), por lo que el acuerdo de Basilea III propuso medir el riesgo del mercado con el ES en lugar del VaR, véase Chen (2014).

El problema de optimización del portafolio por medio de la minimización de la pérdida esperada sería no invertir en lo absoluto, es decir, la solución trivial al problema. Sin embargo, si se impone como restricción la inversión de todo el capital disponible, considerando además la restricción de ventas en corto, el problema del portafolio óptimo puede verse entonces como

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐸𝐸𝐸𝐸𝛼𝛼(𝜔𝜔𝑇𝑇𝑟𝑟)

𝜔𝜔𝑇𝑇𝜄𝜄 = 1

(6)

7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)









puede interpretarse entonces como la pérdida mínima que no será excedida con probabilidad o como el cuantil (percentil)

7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)









de la distribución de pérdidas o, en forma alternativa, como la pérdida más pequeña en el

7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)









de los peores casos o la mayor pérdida en el

7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)









de los mejores casos.

Desde la perspectiva de la selección de portafolios, el modelo basado en el análisis de la media y varianza propuesto por Markowitz (1952), es ampliamente conocido y utilizado particularmente como consecuencia de la relativa facilidad para instrumentar la solución propuesta de Merton (1972). En términos simples, el problema a resolver es

7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)









7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)












7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)









7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)









(7)

7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)









es un vector de variables de decisión, las proporciones o pesos de los activos que forman parte del conjunto de oportunidades factibles de inversión,

7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)









es la matriz de varianzas-covarianzas de los rendimientos de esos activos, es un vector de rendimientos esperados de los activos,

7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)









es un escalar representando el objetivo de rendimiento esperado y

7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)









es un vector unitario. Al resolver el problema con diferentes objetivos de rendimientos es posible determinar la frontera eficiente o de portafolios óptimos (de mínimo riesgo para los diferentes objetivos).

A pesar de su relativa sencillez, el enfoque del análisis de media y va-rianza ha sido criticado desde diversos ángulos y, en particular, se han su-gerido algunas alternativas para superar la limitación que tiene la varianza para tomar en cuenta las pérdidas en las colas cuando sus distribuciones están sesgadas hacia el lado de las pérdidas. Una opción es la minimización de la pérdida esperada (Expected Shortfall, ES), conocida también bajo nom-bres como Valor en Riesgo Condicional (CVaR), Valor en Riesgo Promedio (Average VaR, AVAR), VaR en la cola (Tail VaR) o Pérdida Esperada en la Cola (Expected Tail Loss, ETL). El ES representa la pérdida esperada en un nivel de confianza dado, cuando la pérdida es mayor que el VaR calculado a ese nivel de confianza:

7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)









(8)


El problema de optimización del portafolio por medio de la minimi-zación de la pérdida esperada sería no invertir en lo absoluto, es decir, la solución trivial al problema. Sin embargo, si se impone como restricción la inversión de todo el capital disponible, considerando además la restricción de ventas en corto, el problema del portafolio óptimo puede verse entonces como:




7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)









7




𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑚𝑚 ∈ 𝜔𝜔 . (7)









8

𝜔𝜔𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑖𝑖 ∈ 𝜔𝜔. (9)

III. Análisis de los datos y Resultados Los precios de las criptomonedas estudiadas se obtuvieron del sitio web https://coinmarketcap.com/. Este trabajo considera toda la información disponible para cada una de las ocho criptomonedas analizadas, mismas que fueron seleccionadas por ser las de mayor capitalización de mercado al 6 de marzo de 2019. La información obtenida no es homogénea por lo que se tienen diferentes fechas iniciales (y número de observaciones disponibles) para cada una de las series de precios, en el cuadro 1 se enuncian las fechas y número de observaciones de cada muestra.

Cuadro 1

Periodo de análisis y tamaño de muestra

ACTIVO Inicio Fin Observaciones Bitcoin Julio 18, 2010 Marzo 6, 2019 3,154 Litecoin Agosto 24, 2016 Marzo 6, 2019 925 Ethereum Marzo 10, 2016 Marzo 6, 2019 1,092 Ripple Enero 22, 2015 Marzo 6, 2019 1,505 Tether Abril 14, 2017 Marzo 6, 2019 691 BitcoinCash Agosto 3, 2017 Marzo 6, 2019 581 EOS Julio 2, 2017 Marzo 6, 2019 613 Tron Noviembre 14, 2017 Marzo 6, 2019 478

Fuente: elaboración propia con datos de https://coinmarketcap.com/

Figura 1

Precios históricos yrendimientosdeBTC,EOS,BitcoinCash,Ethereum

Fuente: Elaboración propia con datos tomados de https://coinmarketcap.com/

Precios Bitcoin Rendimientos Bitcoin Precios Bitcoin Cash Rendimientos Bitcoin Cash

PreciosEOS RendimientosEOS Precios Ethereum Rendimientos Ethereum

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3. Análisis de los datos y resultados

Los precios de las criptomonedas estudiadas se obtuvieron del sitio web https://coinmarketcap.com/. Este trabajo considera toda la información disponible para cada una de las ocho criptomonedas analizadas, mismas que fueron seleccionadas por ser las de mayor capitalización de mercado al 6 de marzo de 2019. La información obtenida no es homogénea por lo que se tienen diferentes fechas iniciales (y número de observaciones disponibles) para cada una de las series de precios, en el Cuadro 1 se enuncian las fechas y número de observaciones de cada muestra.

Cuadro 1 Periodo de análisis y tamaño de muestra

ACTIVO Inicio Fin Observaciones

Bitcoin Julio 18, 2010 Marzo 6, 2019 3,154

Litecoin Agosto 24, 2016 Marzo 6, 2019 925

Ethereum Marzo 10, 2016 Marzo 6, 2019 1,092

Ripple Enero 22, 2015 Marzo 6, 2019 1,505

Tether Abril 14, 2017 Marzo 6, 2019 691

BitcoinCash Agosto 3, 2017 Marzo 6, 2019 581

EOS Julio 2, 2017 Marzo 6, 2019 613

Tron Noviembre 14, 2017 Marzo 6, 2019 478

Fuente: elaboración propia con datos de https://coinmarketcap.com/

La Figura 1 presenta el comportamiento de los rendimientos logarítmi-cos de Bitcoin, EOS, Bitcoin Cash y Ethereum. Los rendimientos de Bitcoin de 2015 hasta finales de 2016 presentan periodos estables, sin embargo, en periodos de alta volatilidad se encuentra por encima del +1.0 y -1.0. Así




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mismo, se observan agrupaciones de volatilidad después de noticias influ-yentes como el caso presentado en Cheung, Roca y Su (2015) acerca de la noticia emitida por el gobierno chino sobre la prohibición de su uso por par-te de los bancos, provocando una caída en su precio hasta la mitad de su valor. Otro ejemplo es presentado por Higgins (2014) acerca de la noticia en Ecuador promulgada por la Asamblea Nacional sobre la prohibición del uso de Bitcoin y otras criptomonedas descentralizadas. Se observan periodos prolongados de alta volatilidad en el caso de Bitcoin Cash, especialmente al principio de julio de 2017 y hasta finales de ese año. Aunque a principios de 2018 se muestra aparentemente estable, de julio 2018 en adelante presenta nuevamente periodos de alta de volatilidad; de acuerdo con Fry (2018), este comportamiento puede estar presente por el periodo de tiempo del análisis. Los rendimientos de Ethereum de 2016 a 2019 presentan múltiples periodos de alta volatilidad; sus precios presentan un incremento de su valor en 2017 para lograr una capitalización bursátil sin precedentes. En la actualidad es-ta criptomoneda es superada sólo por Bitcoin en la lista de capitalización del mercado de criptomonedas (CoinMarketCap, 2019). De EOS se destacan sus constantes periodos de alta volatilidad.

En la Figura 2 se muestra el comportamiento de los rendimientos lo-garítmicos de Litecoin, Tether, Ripple y Tron. Litecoin destaca en su com-portamiento la característica de estabilidad ante un mercado tan volátil incrementando la atención por parte de los inversionistas porque, mientras algunas criptomonedas cayeron más de 50% durante las correcciones de mercado, Litecoin logró mantenerse con caídas menores al promedio obser-vado durante las temporadas bajistas de 2017. Tether, presenta valores con mayor sesgo hacia lo positivo con una concentración de rendimientos alre-dedor de 0 pero acotados en su mayoría entre -0.2 y 0.2 al igual que Litecoin. Por su parte, Ripple a diferencia de Tether presenta rendimientos acotados entre -0.5 y 0.5. Finalmente, Tron presenta una concentración de rendimien-tos similares a Tether, pero con la diferencia de tener rendimientos acotados a -0.4 y 0.4. Lo que indica que Tether seguido por Tron muestran unas varia-ciones porcentuales diarias, menores a las de Ripple.

En el Cuadro 2 se presenta la frecuencia de rendimientos positivos (ganancias) y negativos (pérdidas), así como el análisis del Drawdown. Se observa que Ethereum es la criptomoneda que ha proporcionado el mayor porcentaje de rendimientos positivos diarios (48.12%) y que BitcoinCash es la de menor porcentaje (44.14%), existiendo una diferencia de casi 4 puntos porcentuales de diferencia entre ambas. En cuanto a los rendimientos ne-




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gativos, se puede ver que BitcoinCash es la de mayor frecuencia (55.86%), en tanto que Bitcoin únicamente ha presentado pérdidas durante el 40.06% de los días del periodo de análisis. En términos generales se puede decir que el comportamiento de las criptomonedas en ese sentido no es muy dis-tinto; sin embargo, es conveniente señalar que este trabajo constituye una primera aproximación al análisis del problema. No obstante, a continuación, se profundiza en algunos aspectos que pueden ayudar a entender mejor el riesgo que representa el desempeño de estas criptomonedas como vehículos de inversión.

El análisis del Drawdown y el periodo de duración promedio de la caída y de la recuperación (también promedio) muestran claras diferencias, resul-tados que sugieren cierta heterogeneidad. Por ejemplo, Litecoin, Ethereum, BitcoinCash y Tron son los cuatro casos con menor duración de Drawdown, y las criptomonedas con la recuperación más rápida; también, tienen los valo-res de Drawdown promedio más bajos. Dado el menor rango de fluctuación y la menor duración del periodo de corrección, estas criptomonedas parecen ser adecuadas para inversión.

De acuerdo con el Cuadro 3, BitcoinCash es la segunda criptomoneda más riesgosa de acuerdo con el criterio del downside risk, sólo superada por EOS. Bajo ese criterio se podría decir que tanto Ripple como Bitcoin, en ese orden, son las alternativas menos riesgosas. Si se evalúa la pérdida potencial

Cuadro 2: Frecuencia de rendimientos diarios y Drawdown

Rendimientos (%) Análisis del Drawdown

10


En el cuadro 2 se presentan la frecuencia de rendimientos positivos (ganancias) y negativos (pérdidas), así como el análisis del Drawdown. Se observa que Ethereum es la criptomoneda que ha proporcionado el mayor porcentaje de rendimientos positivos diarios (48.12%) y que BitcoinCash es la de menor porcentaje (44.14%), existiendo una diferencia de casi 4 puntos porcentuales de diferencia entre ambas. En cuanto a los rendimientos negativos, se puede ver que BitcoinCash es la de mayor frecuencia (55.86%), en tanto que Bitcoin únicamente ha presentado pérdidas durante el 40.06% de los días del periodo de análisis. En términos generales se puede decir que el comportamiento de las criptomonedas en ese sentido no es muy distinto; sin embargo, es conveniente señalar que este trabajo constituye una primera aproximación al análisis del problema. No obstante, a continuación, se profundiza en algunos aspectos que pueden ayudar a entender mejor el riesgo que representa el desempeño de estas criptomonedas como vehículos de inversión.

El análisis del Drawdown y el periodo de duración promedio de la caída y de la recuperación (también promedio) muestran claras diferencias, resultados que sugieren cierta heterogeneidad. Por ejemplo, Litecoin, Ehthereum, BitcoinCash y Tron son los cuatro casos con menor duración de Drawdown, y las criptomonedas con la recuperación más rápida; también, tienen los valores de Drawdown promedio más bajos. Dado el menor rango de fluctuación y la menor duración del periodo de corrección, estas criptomonedas parecen ser adecuadas para inversión.


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En el cuadro 2 se presentan la frecuencia de rendimientos positivos (ganancias) y negativos (pérdidas), así como el análisis del Drawdown. Se observa que Ethereum es la criptomoneda que ha proporcionado el mayor porcentaje de rendimientos positivos diarios (48.12%) y que BitcoinCash es la de menor porcentaje (44.14%), existiendo una diferencia de casi 4 puntos porcentuales de diferencia entre ambas. En cuanto a los rendimientos negativos, se puede ver que BitcoinCash es la de mayor frecuencia (55.86%), en tanto que Bitcoin únicamente ha presentado pérdidas durante el 40.06% de los días del periodo de análisis. En términos generales se puede decir que el comportamiento de las criptomonedas en ese sentido no es muy distinto; sin embargo, es conveniente señalar que este trabajo constituye una primera aproximación al análisis del problema. No obstante, a continuación, se profundiza en algunos aspectos que pueden ayudar a entender mejor el riesgo que representa el desempeño de estas criptomonedas como vehículos de inversión.

El análisis del Drawdown y el periodo de duración promedio de la caída y de la recuperación (también promedio) muestran claras diferencias, resultados que sugieren cierta heterogeneidad. Por ejemplo, Litecoin, Ehthereum, BitcoinCash y Tron son los cuatro casos con menor duración de Drawdown, y las criptomonedas con la recuperación más rápida; también, tienen los valores de Drawdown promedio más bajos. Dado el menor rango de fluctuación y la menor duración del periodo de corrección, estas criptomonedas parecen ser adecuadas para inversión.


Rendimientos (%) Análisis del Drawdown 𝑟𝑟𝑡𝑡 > 0 𝑟𝑟𝑡𝑡 < 0 Máximo

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Bitcoin 47.29 40.06 99.23 33.22 216.14 164.21Litecoin 47.84 50.76 96.55 18.19 45.40 17.50Ethereum 48.49 50.23 96.44 23.93 59.33 24.39Ripple 44.28 51.13 99.99 50.06 752.50 368.50Tether 48.12 51.74 96.55 21.41 52.08 19.23Bitcoin Cash 44.14 55.86 99.36 46.86 96.00 1.50EOS 45.91 51.14 95.85 77.63 203.67 53.33Tron 46.96 53.03 98.12 34.39 78.00 20.51 La duración y la recuperación (en ambos casos promedio) está medida en días

Fuente: elaboración propia con estimaciones efectuadas en Performance Análytics y R-Cram 3.5.3.




cuantificada con el VaR o con el ES o CVar se tiene que las mejores opciones son Litecoin y Theter, en tanto que Ripple es la que presenta un riesgo ma-yor. Tron tiene el upside risk más alto, seguida por Ripple, si embargo, se aprecia también que la primera de ellas (Tron) es la que muestra un mayor sesgo en la volatilidad, siendo Litecoin y Tether las que le siguen. El upside risk más bajo corresponde a Ethereum, siendo la criptomoneda con menor sesgo de la volatilidad. Estos resultados sugieren que, en términos de riesgo, existe una importante heterogeneidad en el desempeño de las criptomone-das. En cuanto a la relación entre ganancias y pérdidas (Omega), se observa que Bitcoin tiene el mejor registro, en tanto que Bitcoin Cash presenta la peor relación. De acuerdo con la razón de Bernardo y Ledoit, las mejores op-ciones son Bitcoin, seguida por Tron y Litecoin.

Con el objetivo de contar con un periodo igual de observaciones para la evaluación del desempeño de las criptomonedas analizadas dentro de por-tafolios, se tomaron en cuenta únicamente los rendimientos observados del 15 de noviembre de 2017 al seis de marzo de 2019, siendo un total de 325 rendimientos para cada una de ellas. Se estimaron 11 portafolios con base en la propuesta de Merton (1972) para resolver el problema de selección de portafolios planteado en Markowitz (1952) como la frontera eficiente o de portafolios eficientes u óptimos según el criterio de optimización de la re-lación media-varianza (rendimiento esperado y riesgo) con restricciones de

Cuadro 3: Down/(Up)side risk – Ganancias a pérdidas (G/P)-VaR y ES

Downside Upside1 Sesgodela B-L1 VaR2 ES2

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Bitcoin 0.0333 0.0552 1.4242 1.2194 19.18 33.23Litecoin 0.0429 0.0543 1.8962 1.1463 15.22 18.42Ethereum 0.0477 0.0456 1.1725 1.1119 17.40 22.37Ripple 0.0258 0.0835 1.4081 1.0712 28.51 48.75Tether 0.0469 0.0548 1.6136 1.0982 15.32 19.39Bitcoin Cash 0.0560 0.0663 1.1975 0.9477 24.61 33.44EOS 0.0568 0.0652 1.2391 1.0138 23.29 28.25Tron 0.0520 0.0887 2.3339 1.1593 21.40 29.30

1 Razón (ratio) de Bernardo Ledonit2 Horizontedeundíaal99%deconfianza

Fuente: elaboración propia con estimaciones efectuadas en PerformanceAnalytics y R-Cran 3.5.3.




ventas en corto (no negatividad en las posiciones o pesos de cada activo en el portafolio), tal como se enuncia en la sección de aspectos metodológicos.

Las columnas del Cuadro 4 presentan 10 de los portafolios estimados, y en las filas centrales del cuadro se puede ver el peso o ponderación de cada activo. El portafolio de mínimo riesgo (mínima varianza global), está com-puesto principalmente por Bitcoin con una participación de éste en el por-tafolio de casi 92%, complementándose con Ripple (6.44%), Tether (1.52%) y Bitcoin Cash (0.18%). Destaca de inmediato que en la medida que se busca un mayor rendimiento la participación de Bitcoin tiende a disminur, has-ta desaparecer. Tron y EOS que no forman parte del portafolio de mínima varianza global, están presentes en los demás portafolios, sin embargo, só-lo la primera incrementa su participación en forma constante conforme se

Cuadro 4: Ponderaciones, rendimientos esperados y riesgo de diez portafolios óptimos en media-varianza con restricción de ventas en corto

Rendimiento -0.17 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.71Bitcoin 91.86 60.17 44.74 29.30 13.86 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Tron 0.00 10.88 18.08 25.29 32.49 40.18 53.49 74.73 95.97 98.10

Bitcoin Cash 0.18 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Etherium 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Ripple 6.44 10.11 8.93 7.75 6.58 4.86 0.00 0.00 0.00 0.00

EOS 0.00 12.60 20.82 29.04 37.25 45.22 46.51 25.27 4.03 1.90

Litecoin 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Tether 1.52 6.25 7.43 8.62 9.82 9.74 0.00 0.00 0.00 0.00

Suma 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

Desviación estándar 4.97 5.63 6.28 7.05 7.91 8.84 11.30 11.30 13.12 13.31

Fuente: elaboración propia con estimaciones efectuadas en rutinas para R-Cran 3.5.3

Todas las mediciones son porcentajes. Los rendimientos son diarios.La columna del portafolio con rendimiento -0.17% corresponde al portafolio de mínimo riesgo (mínima varianza global).El portafolio factible con máximo rendimiento corresponde a la inversión del 100% en Tron, cuyo rendimiento esperado es de 0.7189% con desviación estándar (riesgo) de 13.49%.




buscan portafolios con mayor rendimiento esperado. En los demás casos se observa que las otras criptomonedas no forman parte de los portafolios óp-timos, mientras que Ethereum y Litecoin no forman parte de ninguno de los portafolios óptimos. Debido a la restricción de ventas en corto, el portafolio con máximo rendimiento esperado está dado por una inversión de 100% de los recursos disponibles en Tron (0.7189% de rendimiento esperado y des-viación estándar de 13.49%).

También, con los 325 rendimientos de cada criptomoneda observados entre el 15 de noviembre de 2017 y el seis de marzo de 2019 se estimaron los portafolios que minimizan el Expected Shortfall (ES) al 95% y 99% de confianza del Valor en Riesgo (VaR), otra forma de interpretar lo anterior, es considerar que representa la pérdida esperada en los percentiles corres-pondientes al 5% y 1% de la cola izquierda, en ambos casos con restricción de las ventas en corto; en el Cuadro 5 se presentan los resultados corres-pondientes. Destaca a simple vista que el peso de Tron en ambos portafolios es bastante similar (4.6175% y 4.97%, respectivamente). También llama la atención el drástico cambio que se observa en el peso de Bitcoin cuando el nivel de confianza pasa de 95 a 99%, lo mismo sucede, aunque de forma más moderada, en el caso del EOS. En la situación opuesta se encuentran las otras

Cuadro 5: Ponderaciones, rendimientos esperados y riesgo de portafolios que minimizan el Expected Shortfall con restricción de ventas en corto

Fuente: elaboración propia con estimaciones efectuadas en rutinas para R-Cran 3.5.3.

Niveldeconfianza 95% 99%

Bitcoin 1.6907 78.7010

Tron 4.6175 4.9700

Bitcoin Cash 15.2000 1.6704

Etherium 8.3579 0.0653

Ripple 1.5191 0.1062

EOS 1.3286 12.4567

Litecoin 62.0000 2.0100

Tether 5.3800 0.0178

Suma 100 100

Rendimiento -0.1201 -0.0998

Desviación estándar 6.9252 5.2776

Todas las mediciones son porcentajes




monedas, es decir se reduce su participación en el portafolio en la medida en la que se requiere un nivel más alto de VaR para considerar las pérdidas es-peradas, siendo Litecoin el caso más extremo. Dado que tanto en el nivel de confianza del 95% como del 99% el rendimiento esperado es negativo, éstas pérdidas son mayores con un nivel de confianza de 95% y presentan tam-bién una mayor desviación estándar. Se puede concluir que la contribución de Bitcoin y EOS es importante para reducir el riesgo pues ambas apotan el 90% de la inversión en el portafolio con el VaR con un nivel de confianza de 99%.

Conclusiones

En este trabajo se analiza el desempeño de ocho de las principales criptomonedas (Bitcoin, Litecoin, Ethereum, Ripple, Tether, BitcoinCash, EOS y Tron) en términos de capitalización del mercado. En este estudio se observa que Ethereum es la criptomoneda que proporciona mayor porcentaje de rendimientos positivos diarios. Se observa que los ocho casos estudiados presentan comportamientos diferentes en episodios críticos como la caída de sus precios, es decir, existe un alto grado de heterogeneidad en el desempeño de los activos a pesar de la homogeneidad que podría espararse al considerarlos como activos pertenecientes a una misma clase.

Es conveniente señalar también que esa heterogeneidad persiste cuan-do se considera la posibilidad de formar portafolios con ellas. De manera particular es de destacarse que los pesos de cada criptomoneda no siguen un patrón uniforme cuando se modifica el criterio de configuración de los portafolios, por ejemplo, cuando en lugar de seleccionarlos mediante el cri-terio de media y varianza de los rendimientos se seleccionan por medio de la pérdida esperada o VaR condicional (CvaR). Incluso cuando se cambia el nivel de confianza seleccionado, en este último caso, los pesos de algunos de los activos se modifican en forma drástica. Algunos de los activos analiza-dos parecen tener poca importancia para contribuir a la administración del riesgo del portafolio mediante la diversificación pues ni siquiera son consi-derados como parte de un portafolio óptimo en el sentido de media y varian-za; sin embargo, una vez que se entra en la zona de pérdidas podrían servir para mejorar la exposición al riesgo, minimizando la máxima pérdida espe-rada, aunque nuevamente la heterogeneidad muestra que la importancia de su contribución puede ser cambiante.




Evidentemente, la inversión en criptomonedas se puede considerar al-tamente riesgosa. Sin embargo, aunque la hetereogeneidad que se ha men-cionado podría podría resultar en la irrelevancia de algunas de ellas para la diversificación de portafolios, también podría permitir que no sólo las crip-tomonedas analizadas, sino otras también, a pesar de su menor importancia relativa en el mercado, pudieran ser de interés para la administración del riesgo mediante la diversificación de portafolios. Por tal motivo, es conve-niente continuar con esta línea de investigación activa, extendiendo la agen-da al análisis de otros aspectos de la dinámica que se ha observado en las criptomonedas. En particular, dada su heterogeneidad, es conveniente con-tar con una perspectiva clara de las características generales del riesgo que conlleva la inversión en ellas.


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