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Grafos. Reglas básicas, semánticas y estructurales. por Juan C. Dürsteler

Los grafos son la representación natural de las redes, en las que estamos cada vez más incluidos. Exploramos qué son los grafos, para qué sirven y algunas reglas para dibujarlos bien.

Los grafos permiten expresar de una forma visualmente muy sencilla y efectiva las relaciones que se dan entre elementos de muy diversa índole. Un grafo simple está formado por dos conjuntos:

• Un conjunto V de puntos llamados vértices o nodos.

• Un conjunto de pares de vértices que se llaman aristas o arcos y que indican qué nodos están relacionados.

De una manera más informal podemos decir que un grafo es un conjunto de nodos con enlaces entre ellos, denominados aristas o arcos.

La red de metro de Barcelona. Los mapas de las líneas del ferrocarril metropolitano son grafos que muestran la conectividad de las estaciones. Fuente: TMB (Transports Metropolitans de Barcelona).

Fue Leonhard Euler quien ideó los grafos como una manera muy potente y elegante de resolver el problema de los puentes de Königsberg. Ejemplos de grafos que todos conocemos son los organigramas que explicitan la estructura formal de la empresa, los árboles genealógicos o los circuitos de los chips electrónicos. Se usan regularmente para resolver problemas en la eficiencia del transporte, en sociología, electrónica y electricidad, detección de fraude y en general en aquellos campos en los que la conectividad es importante.

De hecho vivimos en una sociedad interconectada en la que, por definición, las redes (que son simplemente una forma de grafos dirigidos en los que cada arco tiene un valor) forman cada vez más parte de nuestra experiencia diaria. Internet es el arquetipo de la red y su conectividad nos une a todos.

Como anécdota, al parecer la captura de Saddam Hussein se realizó en parte gracias a la labor de construcción del grafo de su red de soporte, basada en las relaciones funcionales de Saddam con miembros de su partido pero sobre todo de las relaciones tribales y familiares que le unen a su ciudad natal de Tikrit.

No es fácil representar apropiadamente un grafo. De hecho no es fácil representar bien prácticamente cualquier cosa que tenga utilidad. Sin embargo el estudio de las grandes posibilidades que ofrece la representación automática de grafos ha dado lugar a una serie de reglas que vale la pena citar aquí.

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Según Kozo Sugiyama en su libro “Graph Drawing and Applications”* las reglas estáticas (que sirven para dibujar un solo grafo y no una sucesión de ellos de forma dinámica) se dividen en

Reglas básicas:

Se refieren a aspectos elementales como el solapamiento entre aristas, vértices o ambos.

Reglas Básicas

KO OK KO OK KO OK

No solapar vértices No solapar aristas No solapar vértices con aristas

Reglas semánticas:

Son reglas de posicionamiento de vértices y de dibujo de arcos o aristas (enrutado) derivadas del significado de vértices y aristas. Por ejemplo dibujar el tamaño de un vértice o el grosor de una arista en función de su importancia. Suelen venir dadas por el usuario o son deducidas de la información de sus etiquetas asociadas.

Reglas Semánticas

Alinear vértices específicos Disponer vértices específicos en curva Dibujar vértices específicos con distinto tamaño

Emplazar vértices específicos en la frontera Agrupar vértices específicos Centrar vértices específicos

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Reglas estructurales

Son reglas de posicionamiento relacionadas sólo con las propiedades de la teoría de grafos. Por ejemplo colocar los vértices de mayor orden en el centro del dibujo o minimizar la longitud total de aristas, minimizar el número de cruces entre vértices, etc.

Reglas estructurales

KO OK OK KO OK KO OK

Centrar los vértices con orden alto Colocar los grafos isomorfos

(igual forma) de idéntica manera. Emplazar en forma jerárquica

KO OK KO OK KO OK

Minimizar los cruces de aristas Buscar equilibrio en las dimensiones del dibujo Organizar simétricamente

KO OK KO OK KO OK

Minimizar las esquinas en aristas Dibujar caras como polígons convexos Colocar los hijos simétricamente

KO OK KO OK KO OK

Evitar cruces de ramas diferentes Emplazamiento uniforme Minimizar el área de dibujo

KO OK KO OK KO OK

Minimizar la longitud total de aristas Minimizar la diferencia de tamaño de los vértices Minimizar la longitud media de las aristas

Estas reglas persiguen la optimización del dibujo y pretenden facilitar la representación de la forma más sencilla y clara posible.

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