VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA...

VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS VIII. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL A continuación se evaluará el efecto que tiene introducir un controlador sobre la

respuesta temporal de un sistema, siendo los tipos de controladores a analizar los

siguientes:

Proporcional (P)

Proporcional derivativo (PD)

Proporcional integral (PI)

Proporcional integral derivativo (PID)

Inicialmente se describirá el efecto que tiene cada uno de ellos sobre la respuesta

temporal del sistema y más adelante se plantearán dos metodologías para especificar

el valor de los parámetros del controlador, una de ellas fundamentada en la reubicación

de los polos del sistema a lazo cerrado y la otra será una sintonización empírica del

controlador. Cada tipo de controlador será introducido tal como se puede apreciar en el

siguiente sistema de control, a partir del cual se realizará el estudio aquí planteado.

8.1 Controlador Proporcional (P) Un controlador proporcional tiene como función de transferencia solamente una

ganancia, KP, conocida como la ganancia proporcional, es decir, es de la siguiente

forma:

PC K(s)G =

Este tipo de controlador tiene su efecto tanto en la parte transitoria como en la parte

permanente de la respuesta transitoria, ya que la ecuación característica del sistema a

lazo cerrado será 1+ KPG(s)H(s) = 0, por lo tanto la ubicación de los polos dependerá

del valor de KP. En cuánto a la respuesta permanente, el error del sistema depende de

la ganancia a lazo abierto, a mayor ganancia menor error. De allí, que se podrá diseñar

el valor de KP tal que el sistema cumpla con ciertos requisitos. A partir de allí se puede

concluir que, la introducción de un controlador proporcional tiene influencia sobre la

respuesta transitoria y la permanente, pero limitada.

VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS 8.2 Controlador Proporcional Derivativo (PD) En este caso el controlador añade tanto una ganancia como un cero en el eje real, que

dependerán de KP y TD, ganancia proporcional y tiempo derivativo respectivamente,

quedando la función de transferencia de la siguiente forma:

s)T(1K(s)G DPC +=

Al introducir dicho controlador en el lazo abierto, se presentará una modificación mayor

en la ecuación característica a lazo cerrado, que la introducida con un controlador

proporcional, tal que la reubicación de los polos dependerá de los valores de KP y TD.

Por ello, con este tipo de controlador se tendrá un mayor manejo de la respuesta

transitoria a lazo cerrado, en tanto que, la respuesta permanente solamente se verá

influencia por el valor de KP. Esto último se confirma al verificar que la ganancia del

sistema a lazo abierto no se ve afectada por el valor de TD.

Resumiendo, se puede concluir que la introducción de un controlador PD tendrá los

siguientes efectos sobre el sistema, una mejora apreciable de la respuesta transitoria y

una mejora del error similar a la proporcionada por un controlador proporcional.

8.3 Controlador Proporcional Integral (PI) En este caso el controlador añade una ganancia, un cero en el eje real y un polo en el

origen, que dependerán de KP y TI, ganancia proporcional y tiempo integral

respectivamente, quedando la función de transferencia del controlador como sigue:

+

=+=s

T1sK)

sT1(1K(s)G I

PI

PC

Su efecto sobre la respuesta transitoria es relativamente negativo, pues desmejora la

estabilidad relativa del sistema a lazo cerrado, en tanto que, su efecto sobre la

respuesta permanente es una mejora radical. Esto es debido a la introducción de un

polo en el origen, lo que aumenta el tipo del sistema a lazo abierto mejorando de

manera importante el error del sistema.

8.4 Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID) En este caso el controlador añade una ganancia, dos cero en el eje real y un polo en el

origen, que dependerán de KP, TD y TI, ganancia proporcional, tiempo derivativo y

tiempo integral respectivamente, quedando la función de transferencia del controlador

VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS como sigue:

++=++=

s1sTsTT

TK

)sT

1sT(1K(s)G I2

ID

I

P

IDPC

Su efecto resulta en un buen manejo de la respuesta temporal y una mejora radical en

la respuesta permanente. Lo primero se alcanza gracias a la reubicación de los polos a

lazo cerrado y lo segundo, proviene del aumento del tipo de sistema a lazo abierto.

Es importante hacer resaltar que la escogencia del tipo de controlador a utilizar

dependerá de las condiciones o restricciones preestablecidas para el sistema de

control.

A continuación se muestra un sistema de control al cual se le añadirán diferentes tipos

de controladores con el efecto de observar el efecto sobre la respuesta temporal, tanto

transitoria como permanente.

Gc(s)25

s2 + 50 s + 25

R(s) C(s)

Inicialmente se considerará que el controlador es del tipo proporcional y se le darán

diferentes valores a la ganancia proporcional del controlador, tal como se observa en la

tabla 8.1, en la cual también se pueden observar los valores característicos de la

respuesta a lazo cerrado para dichas variaciones, los cuales fueron calculados a partir

de la función de transferencia a lazo cerrado que se muestra a continuación.

)K1(2550K25

(s)GP

2P

LC +++=

ss

Kp ωn ζ ts(2%) Mp(%) Error

7,07 3,54 0,50

2 8,66 2,89 0,33

10 16,58 1,51 0,09

20 22,91 1,09 0,05

30 27,84 0,90 0,16 0,16 0,03

50 35,71 0,70 0,16 4,59 0,02

Tabla 8.1 Parámetros Característicos de la función de transferencia a lazo cerrado para

variaciones de KP

VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS Posteriormente en las Figura 8.1 y 8.2 se pueden apreciar las simulaciones de la

respuesta del sistema de control ante estas variaciones.

Figura 8.1 Respuestas a lazo cerrado para KP =1, 2 y 10

Figura 8.2 Respuestas a lazo cerrado para KP =20, 30 y 50

A partir de los cálculos mostrados en la tabla anterior, así como en las figuras, se

puede concluir que gracias a la introducción de un controlador proporcional es posible

lograr lo siguiente a medida que aumenta KP.

Disminución del error

Disminución del factor de amortiguación, aumentando así el máximo pico.

VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

No se modifica el tiempo de establecimiento para los sistemas subamortiguados.

De esta forma se puede concluir que la introducción del controlador proporcional

proporcionó mejoras significativas en la respuesta transitoria y permanente, pero no

radicales.

Si ahora se introduce un controlador proporcional derivativo la función de transferencia

a lazo cerrado se ve modificada como se muestra y en la tabla 8.2 se observan los

valores característicos de la respuesta a lazo cerrado para variaciones de KP y TD.

)K25(1)sT25K(50ss)T(125K

(s)GPDP

2DP

LC +++++

=

KD TD ωn ζ ts(2%) Mp(%) Error 50 - 35,71 0,70 0,16 4,59 0,02 50 0,005 35,71 0,79 0,14 1,80 0,02 50 0,01 35,71 0,88 0,13 0,34 0,02 100 - 42,13 0,59 0,16 9,87 0,01 100 0,005 50,25 0,62 0,13 8,25 0,01 100 0,01 50,25 0,75 0,11 2,95 0,01 100 0,02 50,25 1,00 0,08 0,00 0,01

Tabla 8.2 Parámetros Característicos de la función de transferencia a lazo cerrado para

variaciones de KP y TD

Posteriormente en las Figura 8.3 y 8.4 se pueden apreciar las simulaciones de la

respuesta del sistema de control ante estas variaciones.

Figura 8.3 Respuestas a lazo cerrado para KP = 50 y TD = 0.005 y 0.01

VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

Figura 8.4 Respuestas a lazo cerrado para KP = 50 y TD = 0.005 y 0.01 A partir de los cálculos mostrados en la tabla anterior, así como de las figuras, se

puede apreciar que, para un KP fijo se puede concluir que, a medida que aumenta TD.

Disminuye el ts

El error no se modifica

Disminuye el seda y por ende el Máximo Pico

Más aún, se puede apreciar que la modificación en la respuesta permanente solamente

depende del valor asignado a KP, tal como se esperaba. Por lo tanto, es posible

concluir que, gracias a la introducción de un controlador proporcional derivativo, la

respuesta transitoria presenta una mejoría considerable, en tanto que la permanente

solamente puede ser modificada en igual magnitud que si se tuviese un controlador

proporcional.

Finalmente, si se utiliza un controlador proporcional Integral la función de transferencia

a lazo cerrado se ve modificada como se muestra en función de los valores de KP y TI.

)TK25)sK(12550s)T1(s25K

(s)GIPP

23IP

LC +++++

=s

A partir de allí, se pueden obtener las respuestas del sistema a lazo cerrado para un

valor fijo de KP y diferentes valores de TI, de forma tal que se aprecie el efecto de la

parte integral del controlador. Esto puede ser observado en las figuras 8.5 y 8.6, en las

VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS cuales se muestran las respuestas obtenidas para una entrada escalón y una entrada

rampa respectivamente.

Figura 8.5 Respuestas a lazo cerrado para KP = 2 y TI = 0.5, 1 y 2

Figura 8.6 Respuestas a lazo cerrado ante el escalón para KP = 2 y TI = 1 y 2

El controlar proporcional integral añade un orden al sistema y aumenta el tipo del

sistema de lazo abierto.

De allí, que el lazo cerrado tenga un error cero ante el escalón y finito ante la rampa

A medida que disminuye TI aumenta la acción integral con lo cual:

Mejora el error finito

Desmejora la respuesta transitoria

IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS Este método consiste en reubicar los polos a lazo cerrado de un sistema variando el

tipo de controlador a añadir y los parámetros del mismo. A continuación se mostrarán

algunos ejemplos de diseño, utilizando el método de reubicación de polos para

sistemas sencillos, los cuales ponen en evidencia el efecto que cada tipo de

controlador tiene sobre la respuesta a lazo cerrado.

Ejemplo Los helicópteros son inestables sin adecuados sistemas de control. A continuación se

muestra un esquema de control para el ángulo de avance, dada una referencia en la

posición de la varilla de control del helicóptero.

Diseñe un controlador (Gc(s)) tal que la respuesta tenga 0,707 ≤ ζ ≤ 1 y un tiempo de

establecimiento al 2% menor o igual a 2. Especifique posibles rangos para los

parámetros del controlador.

Si además se requiere que el ess≤ 1 (ante una entrada tipo rampa), verifique si el

controlador escogido anteriormente cumple con esto y de no ser así diseñe uno nuevo.

En cada caso especifique claramente la función de transferencia del controlador, así

como, el rango para el valor de sus parámetros y unos valores particulares escogidos

por usted.

Controladores disponibles Proporcional Prop. Derivativo Prop. Intergral Prop. Intergral Derivativo

PC K(s)G = s)T(1K(s)G DPC += )sT

1(1K(s)GI

PC += )sT

1sT(1K(s)GI

DPC ++=

Solución Inicialmente se debe analizar la respuesta que tiene el sistema a lazo cerrado sin

introducir ningún controlador para verificar si cumple o no con las restricciones

impuestas.

De no ser así, se debe analizar que parte de la respuesta temporal, transitoria o

IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS permanente, no cumple con lo establecido, para iniciar el diseño en forma razonada.

Para ello, se debe revisar la Ecuación característica a Lazo Cerrado (ECLC) sin

controlador y verificar las restricciones.

ECLC (sin controlador)

0)2(

)05,0(101 2 =−+

+ss → 05,482 =++ ss →

5,4

822 =

=

n

n

ω

ξω

24≤=

nst

ξω → 2≥nξω Esta restricción se cumple

5,42 =nω → 12,2=nω → 88,1=ξ No cumple con la otra restricción.

Como se puede observar, el sistema no está muy lejos de cumplir ambas restricciones,

por lo tanto, como sólo se debe mejorar ligeramente la respuesta transitoria, se puede

intentar el diseño de un controlador proporcional. Dicho controlador, además de ser el

más sencillo, es también el más fácil de diseñar. Para ello, se introduce en la ECLC el

controlador escogido.

ECLC (Controlador Proporcional)

02)(s0,05)10K(s1 2 =

−+

+ → 00,5K)4(2)s(10Ks2 =++−+ → 0,5K4

210K22 +=

−=

n

n

ω

ξω

K > 0,2 (Criterio de estabilidad) → ξωn = 5K – 1 > 2 → K > 0,6 (obligatorio)

24≤=

nst

ξω → 215 ≥−= Knξω → K ≥ 0,2 Esta restricción se cumple

Ahora se escogerá un valor para ξ =1 y se verificará que valor de K cumple con todas

las restricciones.

ξ = 1 → ωn ≥ 2 → 4 + 0,5K ≥ 4 (para todo K ≥ 0)

Por lo tanto, si se escoge un controlador proporcional cuyo parámetro K sea mayor que

0,6 se cumplirá con el requerimiento de la estabilidad, del tiempo de establecimiento y

del ξ. Ahora, se verifica si se cumple con la restricción del error.

)45,0(11

11

KKe

Pss +

=+

= → 15,04

4≤

+=

Kess → K ≥ 0

Un controlador proporcional cuya ganancia sea mayor de 0,6 cumplirá todos los

requisitos.

IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS Ejemplo Para un esquema de control como el mostrado a continuación se requiere que el error

ante un escalón sea cero y que el tiempo de establecimiento (criterio del 5%) sea

menor que 0.5 (considere una entrada escalón unitario).

Controladores disponibles

Proporcional Prop. Derivativo Prop. Integral Prop. Integral Derivativo

PC K(s)G = s)T(1K(s)G DPC += )sT

1(1K(s)GI

PC += )sT

1sT(1K(s)GI

DPC ++=

a) Calcule los parámetros del controlador escogido para que esto se cumpla.

b) Si además se solicitase que el sistema no tuviese sobrepico (ξ=1), verifique si

ésto se cumple con el controlador diseñado y de no ser así modifique el

controlador y calcule los nuevos parámetros.

c) Discuta el comportamiento del PID en este caso en cuánto a mejoras en el

estado estacionario y en la respuesta transitoria, sin realizar el diseño del

controlador.

Solución Ecuación Característica a Lazo Cerrado (Sin controlador)

2s + 3 = 0 → ts = 3τ = 2 → ess es finito ante el escalón

De allí se puede concluir que, el sistema original sin controlador no cumple, ni las

restricciones transitorias ni las permanentes. Se analizará que tipo de controlador se

debe añadir.

El controlador proporcional mejorara el ts pero el error no será cero, de igual manera

será con el controlador PD. El controlador PI, al aumentar el tipo del sistema, cumple

con el requerimiento del error, aún cuando desmejora la respuesta transitoria se

intentará diseñar este tipo de controlador utilizando la parte proporcional para manejar

la respuesta transitoria.

IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS a) Ecuación Característica a Lazo Cerrado (Controlador Proporcional Integral)

012

2s

T1sK1 I

P =

+

++

s → 0K2)K21(Ts2T PPI

2I =+++ s

0TK

2)K21(

sI

PP2 =++

+ s → IPn

Pn

TK

K

=

+=2

5,02

ω

ξω

El único requerimiento que se debe cumplir es que el tiempo de establecimiento sea

menor o igual a 3, de allí que se verifica el valor que debe deben tener los parámetros

del controlador.

5,05,0

63≤

+==

Pns K

tξω

→ 5,012 +≤ PK → 5,11≥PK

Ti puede tener cualquier valor.

b) Si además se solicita ξ = 1 entonces se verificaran los valores de los parámetros del

PI en el límite. Se toma KP = 11.5, con lo cual se satisface el establecimiento y se

calcula un TI de forma tal que se cumpla con el ξ.

125,02 =+= Pn Kξω → 6=nξω → 6=nω

IPn TK=2ω → IIP TTK 5,1136 == → 3194,0=IT

c) Caso PID. Si se añade una parte derivativa se tiene que

ECLC (con controlador PID)

012s

2s

T1ss)T(1K1 I

DP =

+

+++

0TK2)K21()sT2K(2 IPP2

DP =++++ s

De esta expresión para la ecuación característica se observa que es posible lograr un

mayor manejo de todos los términos de la ecuación, lo que fundamentalmente se

revierte en mayores posibilidades de manejo de la respuesta temporal.

X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID El diseño de controladores se realiza en función del conocimiento del proceso, es

decir, a partir del modelo del proceso y del esquema de control. Si no se dispone de la

información antes descrita se plantea el uso de reglas de sintonización para

controladores, PID, donde la función de transferencia del controlador PID es de la

forma:

++=++=

s1sTsTT

TK

)sT

1sT(1K(s)G I2

ID

I

P

IDPC

Ziegler y Nichols propusieron reglas para determinar los valores de la ganancia

proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td basados en las

características de respuesta transitoria de una planta dada. La determinación de los

parámetros de los controladores PID puede ser realizada por ingenieros en el sitio

mismo efectuando experimentación en la planta.

Hay dos métodos denominados reglas de sintonización de Cohen – Coon y Ziegler –

Nichols, fundamentados en la experimentación en los cuales se pretende obtener, a

lazo cerrado, un sobrepaso máximo del 25 %.

10.1 Método de Cohen – Coon (Reacción) En este método se obtiene experimentalmente la respuesta de la planta al aplicar un

escalón unitario, como se muestra en la siguiente figura. Si la planta no incluye

integrador(es) o polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta al

escalón unitario puede tener el aspecto de una curva en forma de S, como se observa

en dicha figura, en el caso en que la curva no presente esta forma, no se puede aplicar

el método.

La curva en forma en S se puede caracterizar con dos parámetros, el tiempo del

atraso L y la constante de tiempo τ. El tiempo de atraso y la constante de tiempo se

determinan trazando una línea tangente a la curva en la forma de S en el punto de

inflexión y se determinan las intersecciones de esta línea tangente con el eje del


tiempo y con la línea c(t) = K, como se muestra en la siguiente figura. Entonces la

función de transferencia C(s)/U(s) se puede aproximar por un sistema de primer orden

con atraso de transporte.

( )( ) 1s

eKsUsC sL

+⋅τ⋅

=⋅−

Una vez identificado los parámetros del proceso, se obtienen los parámetros del

controlador utilizando la siguiente tabla.

Tipo de controlador Kp TI Td

P τ/L ∞ 0

PI 0,9 τ/L L/0,3 0

PID* 1,2 τ/L 2L 0,5L

*tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -1/L

10.2 Método de Ziegler – Nichols (Oscilación Continua) En este método, primero se hace Ti = ∞ y Td = 0 y usando solamente la acción del

controlador proporcional, tal como muestra en la siguiente figura, se incrementa Kp

desde cero hasta un valor crítico Kcr en el cual la salida exhiba por primera vez

oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas con periodo

para cualquier valor que pueda tomar Kp, entonces no se puede aplicar este método.

De esta forma se puede determinar experimentalmente la ganancia crítica Kcr y el


período correspondiente Pcr de las oscilaciones sostenidas, a partir de los cuales se

calculan los valores de los parámetros del controlador PID tal como se muestran a

continuación.

Tipo de controlador Kp Ti Td

P 5Κcr ∞ 0

PI 0,45Κcr 1/1,2Pcr 0

PID* 5Κcr 0,5Pcr 0,125Pcr

*tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -4/Pcr

Ejemplo Se solicita que se sintonicen los parámetros del siguiente controlador utilizando el

método de oscilación continua.

Solución Se debe calcular el valor de la ganancia critica (si existe). Para ello se utiliza el criterio

de estabilidad de Routh en la ecuación característica a lazo cerrado. Tomando la

función de transferencia del controlador como Gc(s) = Kp.

Ecuación Característica a Lazo Cerrado

08)4)(ss(s

K1 P =

+++ → 0K32s12ss P

23 =+++

P0

11

P2

3

Ks0bs

K12s321s

→ 012

K-12.32b P1 ≥= → 384Kcr ≤

Con dicho valor de Kcr se sustituye en la ecuación característica y se calcula la

frecuencia de la oscilación sustituyendo s = jω

Ecuación Característica a Lazo Cerrado

03843212 23 =+++ sss ωjs = 0)32()12384(

0384321222

23

=−+−

=++−−

ωωω

ωωω

jjj


Como la solución que se busca es una raíz cuya parte real es cero, se tiene que:

012384 2 =− ω 5.66ω32ω2 =⇒=

A partir de dicho valor de ω se puede calcular el Período Crítico, Pcr, como:

11.132

22===

πωπPcr

Con dichos valores de Kcr y Pcr se calculan los parámetros del controlador.

13875.0125.0555.05.0

4.2306.0

====

==

PcrTdPcrTiKcrKp

En la Figura 10.1 se muestran las simulaciones correspondientes a la respuesta a lazo

cerrado, sin controlador y con el PID sintonizado con los parámetros originales, así

mismo, en la Figura 10.2, se muestran dos simulaciones adicionales en las cuales se

han modificado el valor de los parámetros del controlador logrando mejoras

sustanciales en las respuestas.

Fig. 10.1 Respuesta a lazo cerrado del sistema sin controlador y con el controlador sintonizado

con los parámetros originales


Fig. 10.2 Respuesta a lazo cerrado con el controlador sintonizado con dos juegos de parámetros

modificados a partir de los originales

XI. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

_____________________________________________________________________________________ ___ PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO PROF. YAMILET SANCHEZ MONTERO

XI. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES (LGR) 11.1 Definiciones ¿Qué ocurre con los polos de un sistema a lazo cerrado cuando existe un parámetro K

del sistema que puede variarse con el rango Kmín. < K < Kmáx. ?

El LGR responde a esta pregunta ya que indica gráficamente la posición de los polos del

sistema a lazo cerrado, en el plano s, en función de un parámetro. Sea un sistema

retroalimentado con la siguiente topología,

La Función de Transferencia a Lazo Abierto es )s(H)s(GK ⋅⋅

La Función de Transferencia a Lazo Cerrado es )s(H)s(GK1

)s(GKG LC ⋅⋅+⋅

=

Los polos del sistema a lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica de la

Función de Transferencia a Lazo Cerrado, es decir,

0)s(H)s(GK1 =⋅⋅+

Por lo tanto, si S1 es un polo del sistema a lazo cerrado cumple con la siguiente

ecuación,

0)s(H)s(GK1 11 =⋅⋅+

Ahora, suponiendo que la FTLA tiene m ceros y n polos, tal como se muestra a

continuación.

)ps(...)ps()ps()zs(...)zs()zs(K

)s(H)s(GKn21

m21+⋅⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅+⋅=⋅⋅ con n ≥ m

se pueden definen los ceros como z y polos como p, tal como se indica,

[ ] { }m21 z,...,z,z)s(H)s(GKZ −−−=⋅⋅ ceros de FTLA

[ ] { }n21 p,...,p,p)s(H)s(GKZ −−−=⋅⋅ polos de FTLA

expresando la ecuación anterior como una multiplicatoria de raíces, tanto en el

numerador como en el denominador, se puede expresar el Lugar de las raíces de la

ecuación característica a lazo cerrado en función de K, tal como sigue:



0)(

)(1

1

1 =+

+⋅+

∏

∏

=

=n

jj

m

ii

ps

zsK →

Kps

zs

n

jj

m

ii 1

)(

)(

1

1 −=+

+

∏

∏

=

=

lo cual puede expresarse en forma vectorial, considerando que cada uno de los términos

de dicha expresión tiene un módulo y un ángulo, tal como se muestra a continuación.

π⋅

=

= ⋅=+

+

∏

∏j

n

1jj

m

1ii

eK1

)ps(

)zs(

→ π⋅

ψ−ϕ⋅

=

=

=

= ⋅=

δ

γ

=

+

+ ∑∑==

∏

∏

∏

∏j

j

n

1jj

m

1ii

n

1jj

m

1ii

eK1e

)ps(

)zs( n

ijj

m

iii

donde,

ii zs +=γ ji ps +=δ )zsarg( ii +=ϕ )psarg( jj +=ψ

Entonces, s1 es un polo del sistema a lazo cerrado si se cumplen la condición de

magnitud y de fase que se muestran a continuación.

Condición de magnitud Condición de fase

K1

n

1jj

m

1ii

=

δ

γ

∏

∏

=

= °⋅∑ +⋅±=−∑==

180)12(n

ijj

m

iii rψϕ ; r = 0,1...

La interpretación gráfica de la condición de fase es que cualquier punto s1 sobre el LGR

(que corresponde a un valor positivo de K) debe satisfacer la siguiente condición: “La

diferencia entre la suma de los ángulos de los vectores dibujados desde los ceros y los

dibujados desde los polos de G(s)H(s) a s1 es un múltiplo impar de ±180°”.

Una vez que el lugar de las raíces completo ha sido construido, los valores de K a lo

largo del LGR pueden ser determinados utilizando la condición de magnitud, es decir:

K

)zs(

)ps(

m

1ii

n

1jj

=

+

+

∏

∏

=

=

Gráficamente, el numerador de la ecuación anterior representa el producto de las



longitudes de los vectores dibujados desde los polos de G(s)H(s) a s1; y el denominador

representa el producto de las longitudes de los vectores dibujados desde los ceros de

G(s)H(s) a s1. Si el punto s1 está sobre el lugar de las raíces, K es positivo y si s1 está

sobre el lugar de las raíces complementario, K es negativo.

La posición del lugar de las raíces cuando K varía de 0 a ∞, es decir K ≥ 0, se llama

Lugar de las Raíces.

La porción de lugar de las raíces cuando K varía de -∞ a 0, es decir K < 0, se llama

Lugar de las Raíces Complementario.

Si -∞ < K < ∞, construimos el Lugar de las Raíces Completo.

Ejemplo

Obtención no metodológica del LGR de un sistema cuya función de transferencia a lazo

abierto sea la siguiente:

)()()()()(

32

1

pspsszsKsHsGK

+⋅+⋅+⋅

=⋅⋅

Sea s1 un punto seleccionado arbitrariamente. Si s1 es un punto sobre el LGR (0 ≤ K <

∞), este debe satisfacer la condición de fase.

)12(1803211 +⋅⋅°=−−− rψψψϕ

Si s1 satisface esta ecuación se usa la condición de magnitud para determinar el valor

de K en ese punto.



ABCDK =

Dada la función G(s)H(s) como un factor multiplicador y los polos y ceros conocidos, la

construcción del LGR involucra los siguientes pasos:

1. Búsqueda de todos los puntos s1 en el plano s que satisfacen la condición de fase.

2. Determinación de de los valores de K en los puntos sobre el LGR usando la condición

de magnitud.

Estas son las condiciones básicas para construir el LGR. Sin embargo, si se aplica este

método de ensayo y error, la búsqueda de todos los puntos de LGR que satisfacen

estas ecuaciones sería interminable.

Ejemplo Obtención no metodológica del LGR de un sistema cuyo diagrama de bloques sea el

siguiente:

Se obtiene la función de transferencia a lazo cerrado y a partir de allí se obtienen las

raíces de la ecuación característica a lazo cerrado para variaciones de K.

KssK

sUsY

++= 2)(

)( 0 ≤ K < ∞

Los polos del sistema a lazo cerrado son: K4121

21s 2,1 ⋅−⋅±−=

Para K = 0, los polos del sistema a lazo cerrado {-1, 0}, son precisamente los polos del

sistema a lazo abierto. Para construir el LGR de este sistema, se escoge un punto de

prueba s1. Para que s1 pertenezca al lugar geométrico debe cumplirse

°=+ 18021 ψψ . Cualquier s1 en la recta Re(s) = -1/2 es un polo de lazo cerrado.



Para hallar los valores de K:

∏∏

+

+=

i

j

zsps

K 22121 pKpppKpp =→==→=⋅

Finalmente, el lugar geométrico de las raíces es:

11.2 Reglas para la construcción del LGR A continuación se mostrarán unas reglas para la construcción del LGR con la intención

de simplificar la misma.

Regla 1 El LGR tiene tantas ramas como polos tenga el sistema a lazo abierto.



))()(1(# sHsGKderaícesdeRamas ⋅⋅+=

Cada rama se origina (K = 0) en un polo de )()( sHsGK ⋅⋅ y termina en un cero de

)()( sHsGK ⋅⋅ . Además (n -m) ramas van a ∞, las cuales se conocen como asíntotas.

El punto K = 0 sobre el LGR son los polos de G(s)H(s)

KsHsG 1)()( =⋅

Cuando K → 0, |G(s)H(s)|→ ∞, s debe aproximarse a los polos de G(s)H(s).

Los puntos K → + ∞ sobre el LGR son los ceros de G(s)H(s).

Regla 2 El LGR es simétrico con respecto al eje real (si hay raíces complejas, estas son

conjugadas).

Regla 3 Una sección del eje real es parte de LGR si para un punto arbitrario de la sección, este

tiene un número impar de polos y/o ceros a su derecha.

Ejemplo

)3()2()1()()(+⋅+⋅

+⋅=⋅⋅

ssssKsHsGK

{ } { }{ } { }3,2,0)()(

1)()(−−=⋅⋅

−=⋅⋅sHsGKPsHsGKZ

Esto se puede justificar mediante la condición de fase: la contribución de los polos de la

derecha del punto es ±180°, la contribución de los polos a la izquierda de punto es 0°,



por lo tanto, debe haber un número impar de polos y ceros para que la fase sea

±180°(2.r + 1).

Regla 4 Los ángulos de salida del LGR (desde los polos) y los ángulos de llegada del LGR (a los

ceros) se calculan considerando la ubicación de una raíz s1, como sigue:

a. Ángulo de salida desde un polo.

Como |p-s1|<<1

ii

jj

zszp

pspp

−≈−

−≈−

)12(180)()()( 121 +⋅⋅°±=++−=⋅∠ rsHsG ϕψψ

112 )12(180 ψϕψ −++⋅⋅°±= r)12(180 +⋅⋅°±=− ∑∑ r

poloscerosψϕ

)12(180)arg()arg(1

11+⋅⋅°±=

+−−− ∑∑

−

==

rppzpn

ii

m

ii θ

)12(180)arg()arg(1

11

+⋅⋅°±−−−= ∑∑−

==

rppzpn

ii

m

iiθ

b. Ángulo de llegada a un cero.

)12(180 +⋅⋅°±=− ∑∑ rpolosceros

ψϕ

)12(180)arg()arg(1

11+⋅⋅°±−−−= ∑∑

−

==

rzzpzn

ii

m

iiη

c. Ángulo de salida del LGR desde un doble polo p.

+⋅⋅°−−−−⋅= ∑∑

−

==

)12(180)arg()arg(21 1

11

rppzpn

ii

m

iiθ



Regla 5 (sobre los puntos de ruptura) En los puntos de ruptura el sistema tiene polos coincidentes, tal como se muestra en

siguiente ejemplo.

s* es un punto de ruptura si cumple con las siguientes condiciones:

[ ] 0)()(

0)()(1

*

**

=⋅⋅

=⋅⋅+

=SSsHsGKdsd

sHsGK

Nota: no toda raíz es punto de ruptura.

Ejemplo

)4()2()1()()(

+⋅+⋅+=⋅⋅

sssKsHsGK

Para hallar los puntos de ruptura:

0)4()2()1(

=

+⋅+⋅+ sss

Kdsd

0)2()1()4()1()4()2( =+⋅+++⋅+++⋅+ ssssss

0234586 222 =+⋅⋅+++⋅+++⋅+ ssssss

014143 2 =+⋅+⋅ ss

62814

616819614 ±−

=−±−

=s

45,145,1 *1 −=→−= ss



21,32 −=s no pertenece al lugar geométrico

Regla 6 Cuando K→ ∞, las ramas del LGR que terminan en ∞ son asintóticas a las líneas rectas

con ángulos:

°⋅−

+⋅= 18012

mnr

rθ r = 0,..., |n-m| -1 n ≠ m

Estas líneas se encuentran sobre el eje real en un punto llamado centroide o centro de

masa del LGR, σ*, dado por:

mnzp ii

−

−= ∑ ∑σ

pi = polo de KG(s)H(s)

zi = cero de KG(s)H(s)

Regla 7

Los puntos de corte del LGR con el eje jω se hallan a través del criterio de Routh-

Hurwitz y resolviendo las ecuaciones auxiliares correspondientes, tal como se muestra

en el siguiente ejemplo.

Ejemplo Halle el LGR del sistema retroalimentado cuya FTLA es la siguiente,

)2()1()()(

+⋅+⋅=⋅⋅

sssKsHsGK 0 ≤ K< ∞

1. Secciones del eje real pertenecen al LGR

2. Ramas del LGR que van a ∞ cuando K→ ∞ (Asíntotas)



°⋅+⋅

= 1803

12 rrθ r = 0, 1, 2 → θ0 = 60°, θ1 = 180°, θ2 = 300° ( )1

3210

−=−−

=σ

3. Puntos de ruptura

0)2()1(

=

+⋅+⋅ sss

Kdsd 0)2()1()2()1( =+⋅+++⋅++⋅ ssssss

0232 2222 =+⋅⋅++⋅+++ ssssss 0263 2 =+⋅+⋅ ss

624366 −±−

=s

42,03311 −=+−=s

57,13311 −=−−=s no pertenece al LGR s* = -0,42

4. Puntos de intersección con el eje imaginario

)()(1)()´(

sHsGKsGKsG⋅⋅+

⋅= KssssD +⋅+⋅+= 23)( 22

Aplicando el método de Routh – Hurwitz:

s3 : 1 2 El sistema es estable si K > 0

s2 : 3 K 6 – K > 0 → 6 > K

s1 : 3

)6( K− 0 Sistema estable para 0 < K < 6

s0 : K

Cuando K = 6 0)2(3063 22 =+⋅→=+⋅ ss s1,2 = ± j⋅2



11.3 Algunos lugares geométricos de las raíces 11.3.1 Sistemas de 1er orden (m = ceros finitos) a. m = 0

b. m = 1



11. 3. 2. Sistemas de 2do orden 1. Polos reales

a. m = 0



b. m = 1



2. Polos complejos conjugados

a. m = 0



b. m = 1

11.4 Efectos de agregar polos o ceros a la FTLA 11.4.1 Efecto de agregar polos a G(s)H(s)



4.2. Efecto de agregar ceros a G(s)H(s)

VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA...

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