LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS1. NOCIÓN DE LÍMITE

El cálculo de límites consiste en responder a la pregunta: “¿a dónde va y=f(x) cuando x se mueve?

1.1. Movimientos de la variable independiente- Acercarse a un punto x 0 por la izquierda: es darse una sucesión ordenada cualquiera de valores x < x0, que

superan (se hacen mayores que) cualquier valor a la izquierda de x0. Se denota por el símbolo x→ x0−

, que se lee “x tiende a x0 por la izquierda”.Ejemplo:

x→1− quiere decir que x toma valores;

X : 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 ……

O también toma valores

X : 1-12 1-

14 1-

18 1-

116 1-

132 ……

- Acercarse a un punto x 0 por la derecha: es darse una sucesión ordenada cualquiera de valores x > x0, que

superan (se hacen menores que) cualquier valor a la derecha de x0. Se denota por el símbolo x→ x0+

, que se lee “x tiende a x0 por la derecha”.Ejemplo:

x→1+ quiere decir que x toma valores; X : 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 ……

- Alejarse indefinidamente hacia la derecha: es darse una sucesión ordenada cualquiera de valores cada vez mayores, y que superan cualquier posible valor que pudiéramos interponer como barrera. Se denota por el símbolo x→∞ y se lee “x tiende a infinito”.Ejemplo:x→∞ quiere decir que x toma valores;

X :

1 10 100 1000 10000 ……

o también que x toma valores;

X : 1 2 4 8 16 …

- Alejarse indefinidamente hacia la izquierda : es darse una sucesión ordenada cualquiera de valores cada vez menores, y que superan cualquier posible valor que pudiéramos interponer como barrera. Se denota por el símbolo x→−∞ . También se lee “x tiende a menos infinito”.Ejemplo:x→−∞ quiere decir que x toma valores;

X : -1 -10 -100 -1000 -10000 ……

NOTA 1: acercarse a un punto implica elegir una sucesión ordenada CUALQUIER de valores que están cada vez más cerca del punto pero SIN LLEGAR JAMÁS A ALCANZARLO. Esto es importante a la hora de simplificar expresiones.

NOTA 2: La similitud entre las frases “x tiende a 7” y “x tiende a infinito”, o entre los símbolos x→∞ y x→7 ; invita a identificar el símbolo ∞ con un número, mayor que todos los números; o con un punto situado en al final de

1

la recta real. Esto a veces ayuda, pero es falso y debemos tener cuidado al tratar las operaciones con el símbolo ∞ , desconfiando de las reglas aprendidas para los números. Paradojas con el infinito.

1.2. Movimientos de la variable dependiente

Cuando x se mueve, de cualquiera de las 4 formas estudiadas anteriormente sobre el eje horizontal (Utilizaremos el

símbolo * para referirnos genéricamente a cualquiera de las cuatro posibilidades x→ x0+

; x→ x0−

; x→∞ ó x→−∞ ), la variable dependiente y = f(x) se mueve sobre el eje vertical según los dictados de la función f. Hay tres opciones posibles.

- f(x) tiene límite, L (un número) cuando x→∗¿ ¿: si PARA CUALQUIER sucesión de valores de x→∗¿ ¿ que podamos inventar, la sucesión de valores de y correspondiente se acerca a L. También se dice que f(x) es convergente o que f(x) converge a L cuando x→∗¿ ¿. En símbolos se escribe

y→L cuando x→∗¿ ¿ ; ó lim

x→∗¿ f ( x)=L¿

- f(x) tiende a ± ∞ cuando x→∗¿ ¿: si PARA CUALQUIER sucesión de valores de x→∗¿ ¿ que podamos inventar, la sucesión de valores de y correspondiente se hace indefinidamente grande (o pequeña). También se dice que f(x) es divergente o que f(x) diverge cuando x *. En símbolos se escribe

y→±∞ cuando x→∗¿ ¿ ; ó lim

x→∗¿f ( x)=±∞¿

- f(x) oscilante x→∗¿ ¿: si f(x) no es convergente ni divergente cuando x→∗¿ ¿; pero sin embargo esté definida para los valores de x correspondientes a x→∗¿ ¿.

f(x) = senx cuando x→∞

NOTA: Los símbolos lim

x→x0−

f ( x ) y

limx→x

0+

f ( x ) se denominan los límites laterales de f(x) en el punto x = x0. Cuando

ambos son iguales (a un número finito) se dice que existe el límite en el punto y se escribe simplemente limx→x 0

f ( x ).

2

limx→x 0

f ( x )= L⇔{ limx→ x

0−

f ( x )= L

limx→ x

0+

f ( x )= L

Ejemplos: vamos a estudiar los siguientes casos y vamos a decidir a qué situación corresponde cada uno de ellos.

1. f(x)=x2 en x=2; 2. : f ( x )={ x+1 si x>0

-x−1 si x≤0 en x = 0 3. f(x) = 1/x en x=0

4. f ( x )=2+ 1

x2sen (4 π x )

cuando x→∞ 5. f ( x )=sen 1

x cuando x→0+

2. CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES

En la práctica podemos aplicar los métodos gráfico y numérico sólo para el cálculo de límites de funciones elementales. Para funciones NO elementales tenemos que utilizar otras técnicas que vemos a continuación.

2.1. Propiedades de los límites

Sean f (x) y g(x ) dos funciones convergentes cuando x→∗¿; es decir, que tienden a dos números Lf y Lf dos números (no pueden ser infinitos)

limx→∗¿ f ( x )=L f y lim

x→∗¿g (x )=Lg¿¿¿¿

Entonces :

a) limx→∗¿[ f ( x )+g ( x )]=L f+Lg¿

¿

b) limx→∗¿[ f ( x ) · g (x )]=L f · Lg¿

¿

c)lim

x→∗¿ f (x)g( x)

=¿Lf

Lg¿¿

¿ ; si es que además Lg ≠ 0.

d) limx→∗¿ f (x)g( x)=L f

Lg¿¿; si además NO son Lf=0 y Lg=0 a la vez.

e) Si limx→∗¿ f ( x )=L f y lim

x→ Lf

g ( x )=Lg¿¿; entonces lim

x→∗¿ g[ f ( x )]=Lg¿¿

Estas propiedades nos ayudan a calcular un límite de una función, pues ésta se puede separar en sus “trocitos elementales”; calcular los límites de éstos (normalmente sustituyendo x por el valor al que tiende); y luego operarlos todos.

Ejemplo:

limx →2

x2−3 x+12x =

limx →2

x2−limx→ 2

3 x+limx→ 2

1

limx →2

2x =4−6+14

=−14

2.2. Indeterminaciones. ¿Qué son?

Sin embargo, al hacer un proceso como el anterior podemos obtener un número o una expresión de la que no podemos deducir una solución concreta, por ejemplo ∞ -∞.

Ejemplo:

3

limx→ ∞

x2−x=∞-∞=∞

x 1 10 100 1000 … ∞

x2 1100

10000 1000000 … ∞

x 1 10 100 1000 … ∞

x2-x 0 90 9900 999000 … ∞

limx→ ∞

x−x2=∞− ∞=−∞

x 1 10 100 1000 … ∞

x2 1 100 10000 1000000 … ∞

x 1 10 100 1000 … ∞

x-x2 0 -90 -9900 -999000 … -∞

limx→ ∞

x−x=∞-∞=0 limx→ ∞

(x¿¿2¿−7)−x2=∞-∞=limx →∞

7=7¿¿

Se dice que la expresión ∞ -∞ es una indeterminación porque, como se aprecia en el ejemplo, su valor no está determinado a priori, puede ser cualquiera. Hay ocho posibilidades de indeterminaciones en total.

Para resolver las indeterminaciones es necesario utilizar técnicas analíticas; es decir, operar con la expresión algebraica de la función antes de calcular el límite. Aprenderemos diferentes “trucos analíticos” según el tipo específico de función que tengamos delante. A partir de ahora estudiamos algunos casos importantes.

2.3. Límites polinómicos lim

x→∗¿ p( x )¿

x→ x0

El límite de un polinomio en un punto se calcula evaluando limx→ x0

p(x )=p(x0)

limx →2

x2+3 x−5=22+3· 2−5=5

Conclusión importante: Todo polinomio tiene gráfica continua

No hay indeterminación

x→ ∞

Si todos los términos elementales tienden a ∞ o -∞ , el resultado es ∞ o -∞ ,

respectivamente: limx→ ±∞

p (x)=± ∞

limx→ ∞

x2+3x−5=∞+∞-5=∞

Si no, Indeterminación. Se multiplica y divide por el monomio de mayor grado.

limx→∞

x4−x+3= infinity - infinity =limx→∞

x4−x+3x4 x4=lim

x→∞ (1− 1x3+

3x4 ) x4=}1 . size 13{ infinity =∞

limx→−∞

4 x3−7 x+2= - infinity + infinity =¿=limx→−∞ (4− 7

x2+2x3 ) x3=}4 . left ( - size 13{ infinity } right )=−∞ ¿¿

Conclusión: El límite de un polinomio en ±∞ coincide con el límite en ±∞ de su término dominante (el de mayor grado).

Domina el término de

mayor grado. Se multiplica

y se divide por él.

4

1057

3)12(

337)12)(7(

300

214276263

7limlimlim

xxx

xxxxxx

xxx

xxxx

limx→±∞

an xn+an−1 xn−1+. ..+a1 x+a0=limx→±∞

an xn

2.4. Límites racionales lim

x→∗¿ p( x )q ( x)

¿

x→ x0 donde x0 no anula el denominador

Basta con evaluar la función.

38

333

53.243

33524

3lim

x

xxx

No hay indeterminación

x→ x0 donde x0 anula el denominador pero no el numerador. CASO I

01

2122

2lim

xxx

x

Indeterminación, solo hay dos posibilidades ∞ ó -∞ . Se estudian límites laterales:

limx→ 2+

x2−2 x+1x−2

= 10+=∞ lim

x→2−

x2−2x+1x−2

= 10−=−∞

Puesto que si x→ 2+¿¿, entonces x – 2 toma valores mayores que 0; y si x→ 2−¿ ¿, entonces x – 2 toma valores menores que 0.

n0 con

n≠0

Estudiar límites

laterales, que pueden valer

+∞ o -∞.

x→ x0 donde x0 anula el denominador y el numerador. CASO II

00

3652

3lim

xxx

x

Indeterminación. Factorizamos para poder simplificar.

1233

)2)(3(33

652

3limlimlim

x

xxxx

xxxx

x

136

Para factorizar el polinomio numerador se utiliza el método de Ruffini, haciendo uso del dato de que x = 7 es una raíz.

00

Factorizar los polinomios, simplificar el factor x−x0,

y volver a calcular el

límite.

x→ ± ∞

Indeterminación. Se dividen numerador y denominador por el término de mayor grado.

limx→∞

x4−2 x+62x3+3 x+1

= { { infinity } over { infinity } } =limx→∞

x4−2x+6x4

2 x3+3 x+1x4

=limx→∞

1− 2x3 +

6x4

2x− 3

x3 +1x4

= 10

=+∞

Dividir

numerador y denominador

por xn

, siendo n el

mayor grado que aparezca en la función

5

32

47

323

43

252

47243

432542

""7243

32542 limlimlim

xx

xxx

x

xxx

xx

xxx

xxx

El límite de una función racional en ±∞ coincide con el límite en ±∞ del cociente de los términos dominantes de numerador y numerador.

limx→±∞

an xn+an−1 xn−1+. ..+a1 x+a0

bm xm+bm−1 xm−1+. ..+b1 x+b0

= limx→±∞

an xn

bm xm

racional.

6

2.5. Límites irracionales

limx→∗¿

n√ p( x)+q (x )m√r ( x)+s (x )

¿

x→ x0 donde x0 no anula el denominador

No hay indeterminación, basta con evaluar la función.

limx→4

√x−2x+1

=05=0

No hay indeterminación

x→ x0 donde x0 anula el denominador pero no el numerador. CASO I

Indeterminación tipo n0 , hay que tomar límites laterales. Uno de ellos puede no

existir, por tomar el radicando del denominador valores negativos.

limx→2

x2+1√x−2

= { {5} over {0} }

limx→2+

x2+1√x−2

= 50+

=+∞

limx→2−

x2+1√x−2

= 5NO∃

=NO∃

n0 con

n≠0

Estudiar límites laterales, que pueden valer ∞ , −∞ o

pueden no existir.

x→ x0 donde x0 anula el denominador y el numerador. CASO II

Se intenta simplificar la función utilizando el conjugado de la expresión radical.

limx→9

√ x−3x−9

=00=lim

x→9

(√x−3 ) (√x+3 )( x−9 ) (√ x+3 )

=limx→9

x−9( x−9 ) (√ x+3 )

=limx→9

1(√x+3 )

=16

00

Utilizar el conjugado,

simplificar el factor x−x0, y

volver a calcular el límite.

x→ ± ∞. CASO I

Si se restan dos expresiones que tienden a ±∞ , Indeterminación. Para resolverla, se multiplica y divide por el conjugado de la expresión radical y se opera.

limx→∞

√ x2+1−x=∞−∞=limx→∞

(√ x2+1−x ) (√x2+1+x )(√ x2+1+x )

= limx→∞

x2+1−x2

(√x2+1+x )=

¿ limx→∞

1(√x2+1+ x )

=1∞+∞ =0

∞−∞

Utilizar el conjugado de la

expresión radical que tienda a

∞−∞ , y volver a calcular

el límite.

x→ ± ∞. CASO II

Si se dividen dos expresiones que tienden a ±∞ , Indeterminación. Para resolverla, se divide numerador y denominador por la potencia de x de mayor grado, teniendo en cuenta que las raíces indican grado fraccionario.

limx→∞

√x2+72 x

=∞∞=limx→∞

√ x2+7x

2 xx

=limx→∞

√ x2+7x2

2=lim

x→∞

√1+ 7x2

2=√1

2=1

2

∞∞

Dividir numerador y denominador

por la potencia de x de mayor

grado (las raíces indican grado fraccionario).

7

2.6. Funciones del tipo lim

x→∗¿ f ( x)g ( x)

¿

Las posibilidades que pueden presentarse en el cálculo de un límite de este tipo son muchas, y no tiene sentido enumerarlas todas. Examinaremos cada caso particular teniendo en cuenta que, como en todos los ejemplos, influyen:

- El signo del límite de la base y el signo del límite del exponente.- Si la base tiende a un valor a >1 ó a < 1.

Teniendo en cuenta estos aspectos, se observa que en muchos casos no aparece una indeterminación.

1

limx→∞ ( x2+3

1−x2 )2 x+4

x = left ( { { infinity } over { infinity } } right ) rSup { { { infinity } over { infinity } } } = (−1 )2=1

2lim

x→∞(x2+3 x−1)

2 x2−1

x2= size 12{ infinity rSup { size 8{ { { infinity } over { infinity } } } } =∞2=∞¿

3lim

x→0(−1

x )x2−3

= left ( -+ infinity right ) rSup { - 3} = 1(∓∞ )

3=1∓∞=0

4lim

x→3+ (x

x2−9 )1

3√x−3= left ( { {3} over {0 rSup {+{}} } } right ) rSup { { {1} over {0 rSup {+{}} } } } =∞∞=∞

5

limx→∞ ( 4 x3−2 x

3 x3+7 )x2

= left ( { {4} over {3} } right ) rSup { infinity } =∞ Puesto que el límite de la base es > 1.

6limx→−∞ ( 5 x5−6 x4+3 x−5

7 x5+3 )|x|

= left ( { {5} over {7} } right ) rSup { infinity } =0 Ya que la base tiene límite < 1.

7lim

x→∞ ( 12− 1√ x )

−x

=( 12 )−∞

=2∞=∞

No hay indeterminación

8

x→∗¿ donde la base tiende a ∞ y el exponente a 0

Indeterminación, puede dar lugar a cualquier valor como se ve en estos ejemplos.

limx→∞

x(1x )=¿∞0=¿?=1 ¿

limx→∞

(2x )( 1ln x )=¿∞0=¿?=¿∞ ¿¿lim

x→∞x( 1log3 x )

=¿∞0=¿?=¿3 ¿¿puesto que

esta función es constante, y = 3

∞0

No estudiamos estas

indeterminaciones por el

momento.

x→∗¿ donde tanto la base como el exponente tienden a 0

Indeterminación. Haciendo una tabla de valores se observa que los siguientes límites resultan ser valores muy diferentes.

limx→ 0+

x x=00=¿?=1

limx→0+

x( 1

ln (√ x−x ) )=00=¿?=e2

00

No estudiamos estas

indeterminaciones por el

momento.

x→∗¿ donde la base tiende a 1 y el exponente a ± ∞

Indeterminación. Tanto gráfica como numéricamente podemos determinar que:

limx→±∞

(1+ 1x )

x

=1±∞=e≈¿2,71828183 .. . ¿

Este límite es clave y se utiliza para calcular muchos otros a través de diversas manipulaciones y cambios de variable adecuados:

limx→∞

(1+ 1x )

2 x

=1∞=limx→∞ [(1+ 1

x )x

]2

=e2

limx→∞

(1+ 13 x )

3 x

=1∞=limz→∞

(1+1z )

z

=¿e ¿ donde

z=3 x⇔ x=z3

x→∞⇔ z→∞

En general:

limx→∗¿(1+ 1

h( x) )h( x)=1±∞=e

¿

Siempre que se cumpla

x→∗⇔h( x )→±∞ , puesto que bastará hacer el cambio z = h(x)

De forma aún más general, cuando nos encontramos una indeterminación tipo 1± ∞ se aplica la siguiente fórmula

1± ∞ Se utiliza que

limx→±∞

(1+ 1x )

x

=e

Y la fórmula general

limx→∗¿ f g=1±∞=eA

¿

donde

A= limx→∗¿ g (x ) [f ( x )−1 ]

¿

9

limx→∗¿ f g=1±∞=eA donde A= lim

x→∗¿ g( x)[ f ( x)−1 ]¿¿

limx→∞

( x2+1x2−1 )

3 x

=(∞∞ )∞=1∞=elimx→∞

3 x ( x2+1x2−1

−1)=e

limx→∞

3 x ( x2+1−x2+1

x2−1 )=

=¿elimx→∞

6 x

x2−1=e∞∞=¿e0=1

¿

¿

3. CONTINUIDAD

3.1. Definición de continuidad

Hasta ahora hemos manejado la idea intuitiva de que “una función es continua si se puede trazar sin levantar el lápiz del papel”. Este curso vamos a formalizar un poco más esta idea. Para esto vamos a pensar por oposición. ¿De qué formas puede no ser continua una función?

Ejemplos

f(x) no es continua en x0 porque no existe en el punto. “Hay un agujero”

f(x) no es continua en x0 porque no tiene límite en el punto. “Está rota”

f(x) no es continua en x0 porque lo que vale en la función no coincide con lo que vale el límite. “Han dado mal el valor de la función”

Definición formal de función continua en un punto (Teorema de la bañera)

A la vista de estos ejemplos ya podemos formular qué tres condiciones deben darse para que una función sea continua en un punto x0 :

1. La función debe estar definida en el punto x0, es decir, x0 es un punto del dominio de f.

∃ f (x0)⇔ x0∈Domf

2. Existe el límite de la función en x0, es decir, coinciden los límites laterales en x0.

∃ limx→ x0

f ( x )=L⇔ limx → x0

−¿ f ( x )=L=¿ limx→ x0

+ ¿f ( x ) ¿¿ ¿¿¿

3. El valor de la función en x0 coincide con el límite en el punto.

limx→ x0

f (x )=L= f (x0)

3.2. Clasificación de discontinuidades

Para el estudio gráfico de una función nos va a interesar localizar los puntos donde no se da alguna o varias de estas tres características, es decir, las discontinuidades de la función. Éstas las debemos buscar entre:

10

- Puntos excluidos del dominio de la función (ejemplo: raíces del denominador).- Puntos del borde del dominio.- Puntos de cambio de rama en las funciones a trozos.

Según cuál o cuáles de las tres característica s anteriores fallen en x0 se le da un nombre diferente a la discontinuidad.

Pero más importante que el nombre es que seamos capaces de formarnos una imagen mental de cómo será la representación gráfica de la función en el entorno de dicho punto x0. Para eso se muestran a continuación algunos ejemplos que debes clasificar.

3.3. Ejemplos de funciones con discontinuidades

1

f(1) = 2 limx→ 1+

f ( x )=0 limx→1−

f ( x )=2

limx→1+

f ( x )¿ limx→1−

f (x )

Discontinuidad _____________________

Salto = _________

2

f(3) NO ∃ limx→3+

f ( x )=∞ limx→3−

f ( x )=−∞

limx→3+

f ( x )¿ limx→3−

f (x )

Discontinuidad _______________________________

Hay una ___________________________, x = 3.

Esta situación se da siempre que alguno de los límites laterales sea infinito o menos infinito, sean o no iguales.

3 f(-2) NO ∃ limx→−2+

f ( x )=1 limx→−2−

f ( x )=2

11

o Esencial

limx→−2+

f ( x )¿ limx→−2−

f ( x )

Discontinuidad _________________________________

Salto = _____________

4

f(2) = 1 limx→ 2+

f ( x )=−45

limx→2−

f ( x )=−45

limx→ 2+

f ( x )= limx→2−

f ( x )¿ f (2 )

Discontinuidad ____________________________.

El verdadero valor de f(2) es _______, el indicado por los límites

5

f(0) NO ∃ limx→0+

f ( x )=−∞ limx→0−

f ( x )=2

limx→0+

f ( x )¿ limx→0−

f (x )

Discontinuidad ________________________________

Hay una _______________________________, x = 0.

6

f(1) NO ∃ limx→ 1+

f ( x )=1 limx→1−

f ( x )=1

limx→1+

f ( x )= limx→1−

f ( x )¿ f (1)

Discontinuidad _________________________.

El verdadero valor de f(1) es _______ (el que indican los límites)

7 f(1)=2 limx→1+

f ( x )=2 limx→1−

f ( x )=2

12

limx→1+

f ( x )=limx→1−

f ( x )=f (1)

_______________________________

Ahora estudiamos la continuidad de las siguientes funciones:

8.f ( x )= x2−4

x−2 9. f ( x )= x2−4

x+3 10.

f ( x )=¿ { −xx+5

si x<0¿ {sen( πx ) si 0≤x<2 ¿¿¿¿

4. ASÍNTOTAS

Definición Informal: Decimos que una recta r es asíntota de una función y = f(x) si y sólo si “un punto, P, que se desplace indefinidamente por la gráfica de f se encuentra cada vez más próximo a la recta r“. Con esta definición somos capaces de distinguir tres tipos de asíntotas a partir de su gráfica: verticales, horizontales y oblicuas.

Ejemplos Generales

Pero el problema al que nos enfrentamos suele ser el contrario. No conocemos la gráfica de una función y para hacernos una idea de cómo es, debemos calcular las asíntotas. Veamos cómo se calculan en cada caso.

4.1. Asíntotas Verticales

Observando los ejemplos notamos que x=x0 es Asíntota Vertical (AV) de f si la función diverge en x0, es decir, si

13

limx→x 0

f ( x )=±∞ y/o

limx→x 0

f ( x )=±∞

Para calcular las A.V de una función tenemos en cuenta lo siguiente:

- Buscaremos los puntos x0 por los que pasa una A.V. x=x0 entre los puntos que NO estén en el dominio de f. (Aunque, OJO, esto no quiere decir que por todo punto que no está en el dominio de f pase una A.V., ver Ejemplo 8 de la página 13)

- ¿Cuántas asíntotas verticales puede haber como mucho?

Ejemplo de cálculo de AV: y= x+3

x2−9 . Tiene una AV en x=3, pero no en x= -3.4.2. Asíntotas Horizontales

Observando los ejemplos notamos que y=k es Asíntota Horizontal (HV) de f si la función converge cuando x→ ± ∞, es decir, si

limx→−∞

f ( x )=k y/o

limx→ ∞

f ( x )=k

Por tanto, para calcular las AH de y = f(x) calculamos ambos límites y tenemos en cuenta lo siguiente:

- Si uno, o ambos dan como resultado un mismo nº, k, entonces y = k es A.H.- Si cada límite da como resultado un nº distinto, tenemos dos A.H.: y = k1; y = k2

- Si ninguno de los límites da como resultado un nº, entonces y = f(x) no tiene A.H.- ¿Cuántas asíntotas horizontales puede haber como mucho?

Ejemplo de cálculo de AH: y= 3 x2

x2+1 Comolim

x→±∞

3 x2

x2+1=3 ⇒

A.H.: y = 3

4.3. Asíntotas Oblicuas

Observando los ejemplos generales vemos que una Asíntota Oblicua (AO) de la función y = f(x) es una recta de ecuación y = mx + n con la pendiente m ≠ 0. Veamos cómo podemos hacer para calcularlas.

Supongamos que sabemos de antemano que existen una o más AO; y = mx + n; de la función f(x), pero que desconocemos los valores de m y n. ¿Cómo calcularlos?:

Un punto de la recta será P(x,y) = P(x, mx +n). El punto de la gráfica de f que tiene la misma abscisa será Q (x,y) = Q(x,f(x))

Si la función y = f(x) tiene a la recta por A.O. se cumple:

limx→±∞

dist (P ,Q )=0⇔ limx→±∞

|f (x )−(mx+n )|=0⇔

⇔ limx→±∞

f ( x )−(mx+n)=0⇔ limx→±∞

f ( x )−(mx+n )x =0⇔

⇔ limx→±∞

f ( x )x

−m+nx=0⇔ lim

x→±∞

f ( x )x

−m=0

14

D(P,Q) = |f(x) - (mx+n)|

Q(x,f(x))

P(x,mx+n)

Entonces, para encontrar las AO de y = f(x), calculamos los límites limx→∞

f ( x )x y

limx→−∞

f ( x )x y vemos si éstos

convergen o no, es decir, dan como resultado un número. En este cálculo debemos tener en cuenta lo siguiente:

- Si uno, o ambos dan como resultado un mismo nº, m, entonces y = mx + n es A.O. La pendiente, “m”, es la que hemos obtenido con el límite, y queda por hallar “n”.

- Si cada límite da como resultado un nº distinto, tenemos dos A.O.: y = m1x + n1; y= m2x + n2; Las pendientes, “m1” y “m2”, son las que hemos obtenido con los límites, y quedan por hallar “n1” y “n2”.

- Si ninguno de los límites da como resultado un nº, entonces y = f(x) no tiene AO.- Para calcular “n” recordamos que, ya sabiendo la pendiente, m, de la AO. Si n = ∞ ó n = -∞; significa que no

hay A.O.

limx→±∞

f ( x )−(mx+n)=0⇔ limx→±∞

f (x )−mx−n=0⇔n= limx→±∞

f ( x )−mx

- ¿Cuántas asíntotas oblicuas puede tener una función? ¿Es posible encontrar asíntotas oblicuas de funciones que ya tengan asíntotas horizontales? ¿Y verticales?

Ejemplo de cálculo de AO: y= x2−4

x−1

limx→∞

f ( x )x= lim

x→∞

x2−4x−1

x=lim

x→∞

x2−4x2−x

=1⇒m=1;

n= limx→∞

f ( x )−x= limx→∞

x2−4x−1

−x= limx→∞

x2−4−x2+xx−1

= limx→∞

x−4x−1

=1

Por lo que la recta y = x + 1 es A.O. de esta función.

limx→−∞

f ( x )x= lim

x→−∞

x2−4x−1

x= lim

x→−∞

x2−4x2−x

=1⇒m=1;

n= limx→−∞

f ( x )−x= limx→−∞

x2−4x−1

−x= limx→−∞

x2−4−x2+xx−1

= limx→−∞

x−4x−1

=1

No obtenemos nueva A.O, al alejarnos hacia la izqda. Este último cálculo nos informa de que la función se aproxima a la misma recta tanto si nos alejamos hacia ∞, como si lo hacemos hacia -∞.

5. OPERACIONES CON EXPRESIONES INFINITAS

Aunque ∞ no es un número con el que podamos operar, a lo largo del tema hemos visto algunas situaciones que se repiten y que podemos resumir a continuación. Los casos no que no se incluyen son indeterminaciones.

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6. CHISTES SOBRE LÍMITES

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