Matemática Básica(Ing.)1 Continuidad, Funciones crecientes y decrecientes, Función acotada, ...

Matemática Básica(Ing.) 1

Continuidad, Funciones crecientes y decrecientes, Función acotada, Extremos locales y absolutos, Simetrías, Asíntotas,

Propiedades de las funciones

Funciones: Conceptos Básicos


A partir de la grafica determine:

• El dominio y el rango. • Puntos de discontinuidad.• Intervalos de monotonía.• Cotas superior e inferior.• Extremos locales y absolutos.• Simetrías.• Asíntotas.• Los ceros de la función.

Introducción


Investigue acerca de las discontinuidades que se dan en cada caso:

x

y

f(x) = 1/x

Continuidad

x

y

-0.5


Concepto geométrico de función continua

x

y

Continua en toda x Discontinuidad removible Discontinuidad removible

xa

f(a)y

xa

y

x

y

a

Discontinuidad de salto Discontinuidad infinita

x

y

a

Resolver ejercicios 21, 22, 23 y 27. Pág. 102


Continuidad

Una función f(x) es continua en x = a si

afxfax

lim

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

f

¿En qué puntos, la gráfica de f

no es continua?


Con base en las gráficas, ¿cuáles de las siguientes figuras muestran funciones, que sean discontinuas en x = 2? ¿Algunas de las discontinuidades es removible?

x

y

23

)(

xx

xf

x

y

)2)(3()( xxxf

Ejemplo

x

y

2,3

2,24

)(

2

x

xxx

xf




Introducción


Monotonía:

Una función f es creciente en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio positivo en f(x).

Una función f es decreciente en un intervalo

si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio negativo en f(x).

Una función f es constante en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio nulo en f(x).


Determine los intervalos en que f es creciente, decreciente o constante.

2)2()( xxf 1)(

2

2

xx

xf

Ejemplo




Introducción


Concepto geométrico de acotamiento

No acotada por arribaNo acotada por debajo

x

y

Acotada por arribaNo acotada por debajo

x

y

No acotada por arribaAcotada por debajo

y

x

Acotada

x

y


Acotamiento Una función f está acotada por debajo si existe

algún número b que sea menor o igual a todo número en el rango de f. Cualquiera de estos números b se denomina cota inferior de f.

Una función f está acotada por arriba si existe

algún número B que sea mayor o igual a todo número en el rango de f. Cualquiera de estos números B se denomina cota superior de f.

Una función f está acotada si está acotada por arriba y por debajo.

Desarrolle: el ejemplo 7 (página 95). Resolver: ejercicios 21, 33 y 37. Pág. 102. Use Winplot o el Derive.




Introducción


Se dice que cD es un punto de máximo absoluto de f si

x

y

P

Q

R

Extremos

)()( xfcf

Sea D el dominio de f.

para todo xD.

El número f(c) se llama valor máximo absoluto de f en D.

)()( xfcf

Se dice que cD es un punto de mínimo absoluto de f si

para todo xD.

El número f(c) se llama valor mínimo absoluto de f en D.Los valores máximo y mínimo se conocen genéricamente como valores extremos absolutos de f.


Valores máximos y mínimos locales

)()( xfcf

Se dice que c es un punto de máximo relativo o local de f si

para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c.

)()( xfcf

Se dice que c es un punto de mínimo relativo o local de f si

para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c.

Los valores máximo y mínimo locales se conocen genéricamente como valores extremos locales de f.


Ejemplo

máximo absoluto

puntos de máximo absoluto

y

xa c1 bc2 c3c4d1 d2 d3

puntos de mínimo local




Introducción


Simetría con respecto al eje Y

Forma gráfica Forma numérica Forma algebraica

x f(x)

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

)(

)()(

fdomx

xfxf

Las funciones con esta propiedad sonllamadas funcionesPARES

(-x; y) (x; y)


Forma gráfica Forma numérica Forma algebraica

x f(x)

-3 -27

-2 -8

-1 -1

1 1

2 8

3 27

)(

)()(

fdomx

xfxf

Las funciones con esta propiedad sonllamadas funcionesIMPARES

(x; y)

(-x; -y)

Resolver el ejemplo 9 (página 98) u otros similares

Simetría con respecto al origen


Ejemplos

Determine si las siguientes funciones son simétricas, clasifique las mismas:

45 a) 24 xxxf

4

b) 2

3

xx

xf

1 c) 2 xxf

23 d) 2 xxxf




Introducción


Asíntotas: La recta y = b es una asíntota

horizontal de la gráfica de una función y = f(x), si f(x) se aproxima a b como límite, cuando x tiende a +∞ o –∞.

En la notación de límites:

La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de una función y = f(x), si f(x) tiende a +∞ o –∞, cuando x se aproxima a a por cualquier dirección.

En notación de límites:

)(lim xfax

)(lim xfax

bxfx

)(lim bxfx

)(lim


Ceros de una función:

Determinar los ceros de una función, es equivalente a determinar las intersecciones x de la gráfica de y = f(x), o las soluciones de la ecuación f(x) = 0.

x

y

-0.5

a) Determine los ceros de la función, cuya grafica se presenta.

b) Determine los ceros de las funciones.

0,3

0,32)()3

24)()2

32)()1

2

2

xx

xxxk

xxg

xxxf


Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios de la sección 1.2

Pág. 102 - 105

Sobre la tarea

Esta publicada en el AV Moodle

Importante

Matemática Básica(Ing.)1 Continuidad, Funciones crecientes y decrecientes, Función acotada, ...

Documents

Transcript of Matemática Básica(Ing.)1 Continuidad, Funciones crecientes y decrecientes, Función acotada, ...