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VIBRACIONES-CTA 5/06/2015 Nombre: Apellidos:

Tiempo 30 minutos Problema #1 Una puerta de masa uniformemente distribuida tiene un ancho de 0.8m y una masa de 20 kg. Para cerrarse se instala un muelle a torsin en un lado de rigidez 100 Nm/rad y un amortiguador viscoso de coeficiente F. Se pide:

1. Ecuacin que describe los movimientos del sistema en funcin de los parmetros del enunciado. (2 puntos)

2. Obtener la solucin del movimiento de la puerta cerrndose cuando el amortiguamiento es menor que el crtico, igual al crtico y mayor que el crtico. (3 puntos)

3. Con el amortiguamiento igual al crtico la puerta se abre 90 y se suelta. Determinar el tiempo que tarda la puerta en cerrarse 89. (2 puntos).

Solucin problema #1 1. La ecuacin diferencial es

+ + = 0

Donde es el momento de inercia de la puerta respecto del eje de giro y vale 20 1

3(0.8)2 = 4.27 2. La frecuencia natural del sistema vale entonces

0 = 4.8 /. (2 puntos)

2. Partiendo de una condicin inicial de desplazamiento 0 y velocidad inical nula, las

soluciones en el caso de amortiguamiento mayor, igual y menor al crtico son:

a. () = 121

201 10

2 para F>Fc.

b. () = (0 + 1) para F=Fc c. () = 0 cos + 0 sin para F

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VIBRACIONES-CTA 05/06/2015 Nombre: Apellidos:

Tiempo 90 minutos Problema #2 Se desean estudiar dos actuaciones del sistema de propulsin de la Discovery One. Para ello se propone usar un modelo unidimensional (longitudinal) de masas concentradas. Los elementos de inters son la planta propulsora (de masa 10m), el centro de comunicaciones (masa m) y el mdulo habitable (masa 5m). Para modelar la estructura que une estos tres puntos de inters se propone un modelo de masa despreciable y rigidez distribuida. De este modo, la seccin entre la planta propulsora y el centro de comunicaciones se puede asimilar a una viga de mdulo compresin/traccin constante 2EA y masa despreciable, y la seccin entre el centro de comunicaciones y el mdulo habitable como una viga de mdulo constante EA y masa despreciable. Cada seccin se considera de longitud L. Para caracterizar el sistema determinar:

1. La matriz de inercia del sistema. (1 punto) 2. La matriz de rigidez del sistema aplicando el mtodo de los desplazamientos. (2

puntos) 3. Las frecuencias y modos propios (sin normalizar) del sistema. (2 puntos)

La primera actuacin que se desea estudiar es cmo afectara una posible fluctuacin en el empuje a la estabilidad del centro de comunicaciones. Para ello, considrese que la fluctuacin en el empuje es equivalente a una carga armnica de mdulo T y frecuencia .

4. Obtener la matriz de rigidez dinmica D ([D]{q}={P}) que determina la respuesta permanente del sistema y obtener el movimiento del centro de comunicaciones debido a la fluctuacin en el empuje. (2 puntos)

5. El ordenador de a bordo puede controlar el apuntamiento hacia la Tierra siempre que la perturbacin sea menor a un 2% de una cierta desviacin esttica T/(EA/L). Cul es la frecuencia min de la fluctuacin para poder seguir comunicndose con la Tierra durante las maniobras orbitales? (1 punto)

Planta propulsora Centro de comunicaciones Mdulo habitable

(Contina en el reverso)

La segunda actuacin que se desea estudiar es referida a la seguridad de los tripulantes de la Discovery One. El sistema de propulsin est diseado para realizar pequeos ajustes de rbita mediante pequeos impulsos instantneos. Este efecto puede modelarse como un cambio instantneo de la velocidad de la planta propulsora V. Cuando este incremento repentino alcanza el mdulo habitable puede poner en peligro a la tripulacin no en hibernacin por lo que hay dos cabinas de amortiguamiento en el mdulo habitable.

6. Calcular la expresin de la velocidad del mdulo habitable ante esta velocidad inicial en la planta propulsora para que el ordenador de a bordo pueda avisar a la tripulacin a tiempo de ocupar las cabinas de amortiguamiento. (2 puntos)

Solucin problema #2

Se eligen como coordenadas generalizadas las coordenadas absolutas de la planta propulsora, 1, el centro de comunicaciones, 2, y el mdulo habitable 3. 1. La expresin de la energa cintica es = 1

21012 + 1222 + 12 532, de donde se

obtiene la matriz de inercia como:

= 10 0 00 00 0 5 (1 punto) 2. Para obtener la matriz de rigidez, se restringe en primer lugar el modo como slido rgido

restringiendo el movimiento del centro de comunicaciones. Las deformaciones del sistema sern entonces 1 = 1 2 para la planta propulsora y 2 = 3 2 para el mdulo habitable. Esto define la matriz de transformacin {} = []{} con [] = 1 1 00 1 1. La matriz de desplazamientos [] resulta entonces [] = 2 00

y la matriz de rigidez

del sistema resulta [] = [][]1[] =

2 2 02 3 10 1 1

Llamando =

las ecuaciones del sistema resultan:

10 0 00 00 0 5 123 + 2 2 02 3 10 1 1 123 = 123

(2 puntos) 3. Las frecuencias propias corresponden a los autovalores de la ecuacin anterior que

asumiendo : | 2| = ( 25)[(2 210)(3 2) 62] = = ( 25)(32 + 2102)2

Las frecuencias propias, y sus modos propios correspondientes son entonces:

1 = 0,1 = 111 2 = 15 ,2 = 1 201 3 = 165 ,3 = 1151 (2 puntos)

4. Para una carga armnica de frecuencia la matriz de rigidez dinmica [] es [] 123 = 00 [] = [] 2[] = 2 210 2 02 3 2 0 1 25

F1 F2

u1 u2

El movimiento del centro de comunicaciones debido a esta carga puede obtenerse mediante la regla de cramer:

2 = 2 210 0

2 0 0 0 1 252 210 2 0

2 3 2 0 1 25 = 20

El mdulo ser:

20 = 2( 25)( 25)(32 + 2102)2 = (252 16)2 (2 puntos)

5. Llamando = 2 el movimiento del centro de comunicaciones puede expresarse como: 20 = (5 16) = 1(5 16)

El lmite admisible de la fluctuacin resultar de la ecuacin:

20 = 0.02

= 0.02

= 1(5 16) 52 16 50 = 0 = 5.144 Por lo que el apuntamiento podr mantenerse si la frecuencia de la fluctuacin cumple

> 5.144

(1 punto) 6. La respuesta de la Discovery One y por lo tanto del mdulo habitable ser la respuesta a las

condiciones iniciales

(0) = 000 , (0) = 00

Teniendo en cuenta que el primer modo es como slido rgido y los otros dos son flexibles se puede aplicar el teorema de expansin para definir la respuesta del sistema:

() = ( + ) 111 + [ cos(1) + sin(1)] 1/201 + [ cos(2) + sin(2)] 1151 Aplicar las condiciones de contorno permite obtener las constantes como:

= 1524, = 0, = 0, = 231 , = 0, = 1242 Y por lo tanto la velocidad del mdulo habitable ser

3() = 1524 23 cos(1) + 124 cos(2) (2 puntos)

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Tiempo 45 minutos Teora

1. Un sistema de 3gdl posee amortiguamiento histertico. Se pide: De la matriz de transferencia del sistema significado fsico de

los elementos H31 y H12. ( El primer subndice indica fila y el segundo columna).(2 puntos)

Explique cmo realizara un ensayo para obtener el elemento de la matriz de transferencia H23.(2 puntos)

Si se suponen conocidos las formas modales del sistema, las frecuencias propias y los coeficientes de amortiguamiento, exprese el elemento de la matriz modal H31 en funcin de los mismos.(2 puntos)

2. Dado un sistema de 1gdl con amortiguamiento viscoso y menor que el crtico se pide:

a. Calcule la funcin de memoria del mismo (2 puntos) b. Tome la transformada de Fourier de la funcin de memoria

(TXF(f(t))= ()+ ) identifique e indique el significado fsico de la funcin resultante. (2 puntos)

3. Una mquina representada por un sistema de un grado de libertad no amortiguado es excitada a una frecuencia muy prxima a su frecuencia natural. Para evitar la gran amplitud del movimiento se instala un absorbedor de vibraciones. Se pide:

a. Demostrar que eligiendo de forma adecuada el absorbedor de vibraciones la amplitud de la mquina a la frecuencia de excitacin puede hacerse nula. (2 puntos).

b. Explique fsicamente como puede ser ese resultado posible (1 punto)

Solucin teora 1. a) 31() representa la respuesta en la coordenada generalizada #3 cuando en la

coordenada generalizada #1 se aplica una carga armnica de intensidad unidad y frecuencia . 12() representa la respuesta en la coordenada generalizada #1 cuando en la coordenada #2 se aplica una carga armnica de intensidad unidad y frecuencia .

(2 puntos) b) Para obtener 23() se debe aplicar una excitacin armnica sobre la

coordenada #3 y poner un registrador de seal de movimiento en la coordenada #2. El cociente de la seal medida a la seal de excitacin es 23().

(2 puntos) c) En el caso de amortiguamiento estructura se tiene que [()] = [] 1

22

[] donde 2 = 2(1 + ). Para el elemento 31 sera 31() = 31 122 donde 3 representa el tercer elemento del modo r y 1 el primer elemento del modo r.

(2 puntos) 2. a) La funcin de memoria del sistema es () = 1

sin.

(2 puntos) b) Tomando la transformada de Fourier a la funcin anterior se obtiene que

(() = 1(+) sin =

0

102 2 + 20 = ()

es decir es la funcin de transferencia del sistema. (2 puntos)

3. a) Llamando 1 a la coordenada que describe el movimiento de la mquina y 2 el movimiento del absorbedor dinmico. Las ecuaciones del movimiento del sistema de dos grados de libertad son

1 + ( + )1 2 = 0 sin 2 + (2 1) = 0

Resolviendo por la amplitud de 1 se obtiene que

10 = 0( 2)( 2)( + 2) 2 (2 puntos)

Puede observarse que haciendo 2 = 0 la amplitud de la mquina puede llegar a anularse.

b) En ese caso la amplitud del absorbedor vale 20 = 0 por lo que el absorbedor ejerce una fuerza sobre la mquina igual y de sentido contrario a la de excitacin y por eso la mquina est en reposo.

(1 punto)

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1. Un sistema de 3gdl posee amortiguamiento histertico. Se pide: