ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO

VIBRACIONES 01/07/2015

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Tiempo 50 minutos

Problema #1 El sistema de la figura representa un modelo de la suspensión de un automóvil de dos grados de libertad. La masa Mv representa la masa equivalente del vehículo y la masa mn la equivalente del neumático. La rigidez y amortiguamiento viscoso del sistema de suspensión es Ks y Fs respectivamente y los del neumático Kn y Fn. Ambos amortiguamientos son menores que el crítico y el sistema se supone que puede desplazarse únicamente en la dirección vertical. La rugosidad del asfalto se toma como una amplitud vertical de valor r(t) en el punto de contacto. Para este sistema se pide:

1. Ecuaciones que describen los pequeños movimientos del sistema. (2 puntos)

2. Utilizando la matriz de transferencia [H(iΩ)] obtener la respuesta del sistema a una excitación armónica de frecuencia Ω. Para simplificar la notación denomine como Δ(iΩ) al determinante de la matriz de coeficientes. (3 puntos)

3. Determine la ecuación característica que permite obtener las frecuencias propias y los coeficientes de amortiguamiento del sistema en función de los

parámetros siguientes: , , , ,

. (2.5 puntos)

4. En el caso de que 42.2 , 5.2 , 0.4736, 0.012 ,

10 la ecuación característica se puede aproximar por una cuadrática. Determine en este caso la velocidad V a la que la amplitud del movimiento de la masa Mv es máxima cuando el asfalto es ondulado con una longitud de onda de 20 m. (2.5 puntos)

Mv

mn

Ks

Kn

Fs

Fn

V

SOLUCIÓN PROBLEMA #1

1. La energía cinética del sistema vale . La energía potencial

del sistema es . La función de disipación

vale . Aplicando las ecuaciones de Lagrange

se obtiene: 0

00

(2 puntos) 2. La matriz de transferencia del sistema vale

ΩΩ Ω Ω

Ω Ω Ω, llamando

Δ Ω al determinante de la matriz se obtiene

Ω1

Δ ΩΩ Ω Ω

Ω Ω Ω,

La respuesta del sistema a una excitación armónica en la irregularidad del pavimento vale entonces

Ω ΩΩ Ω Ω

(3 puntos)

3. La ecuación de las frecuencias propias se obtiene de la condición Δ Ω 0.

Desarrollando el determinante y dividiendo el resultado por y usando la notación que se define en el apartado se obtiene la ecuación

Ω2Ω

1Ω

1 41

2 1 0 (2.5 puntos)

4. Sustituyendo en la expresión anterior los valores numéricos se obtiene la

ecuación característica Ω

0.01518 2Ω

0.06036Ω

1.25463 2Ω0.07036 1 0

Despreciando los términos más pequeños la ecuación característica queda como

1.25463 1 y resolviendo se obtiene que en este caso la frecuencia propia vale

Ω 4.64243 / . La frecuencia de excitación por un asfalto ondulado de

longitud de onda y viajando a una velocidad V vale Ω , por lo tanto la

velocidad a la que el vehículo entra en resonancia y como consecuencia la amplitud del movimiento es máxima es 14.78 / . (2.5 puntos)

Nom

Ape

Prob

ComrespuanalirepremasaentreequivEl enmedregiscapta

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SOLUCIÓN PROBLEMA #2 1. Tomando las coordenadas absolutas y las energías cinética y potencial son

12

126

12

126

En forma matricial ante cargas externas son

00 6 11

(2 puntos)

2. La ecuación característica del sistema que determina las frecuencias propias es:

11 60 →

176

106

0

Cuyas soluciones son las frecuencias propias del sistema: y 2

Los modos propios no normalizados son 61 y

11 respectivamente.

La matriz modal una vez normalizados con la matriz de inercia resulta

Φ

6

√42

1

√71

√42

1

√7

(2 puntos)

3. Las ecuaciones del sistema en el espacio modal son

56

6

√42sin Ω

21

√7sin Ω

con condiciones iniciales nulas ya que 0 Φ 0 00 y 0

Φ 0 00.

La solución de cada modo será de la forma

cos sin

Así, los modos propios del sistema resultan:

6

√42

1Ω

sin ΩΩsin

1

√7

1Ω

sin ΩΩsin

El movimiento del motor es

1

√42

1

√7

71Ω

sin ΩΩsin

1Ω

sin ΩΩsin

(2.5 puntos)

4. En este caso la respuesta libre del sistema vendrá determinado por la respuesta homogénea de las ecuaciones modales aunque el sistema se puede plantear directamente mediante el teorema de expansión como:

cos sin 61

cos sin 11

00

61

11

11→ 6 1

1 111

→

12757

00

61

11

00

→ 6 11 1

00

→00

Por lo que el movimiento del sistema tras el fallo será:

727

cos57

cos

127

cos57

cos

(2.5 puntos)

5. Con la instalación del ensayo de fatiga se puede realizar un ensayo estático aplicando una carga P en la punta de ala y obtener el desplazamiento de la punta de ala y del motor . Por lo tanto es posible determinar el equilibrio estático del sistema que en general será:

P0

De este equilibrio pueden obtenerse el valor de las rigideces:

→

De la segunda ecuación, o del equilibrio de la sección entre el motor y el encastre se obtiene

(1 punto)