Vibraciones de modo normal en sistemas

continuos

Características y aspectos a tener en cuenta:

- Los sistemas tienen masa y elasticidad

continuamente distribuidas.

- Se asumen como cuerpos homogéneos e

isotrópicos.

- Obedecen la ley de Hooke (En el rango elástico).

- La posición de una partícula está dada por infinitas

coordenadas (debido al carácter elástico), por ende

tienen infinitos grados de libertad.

Cuerdas Vibrantes:

Se plantea la sumatoria de fuerzas para el eje y:

Teniendo en cuenta que:

Al reemplazar y hacer el despeje correspondiente se

obtendrá la ecuación diferencial de movimiento:

Donde “c” es la velocidad de propagación de la onda

en la cuerda, y está dada por:

Por el método de la separación de variables, para la

solución de ecuaciones diferenciales parciales se

plantea:

La cual al ser sustituida resulta ser:

Donde se concluye que ambos términos son iguales a

una constante= -(w/c)2

De donde se obtienen las dos homogéneas con las

que se dará solución al problema:

,

Para las cuales se tienen como soluciones generales:

EJEMPLO: Solucionando para una cuerda tendida

entre dos puntos que distan un valor “l” se tendrá

que:

Para y(0,t)=0 => B = 0 , combinando las expresiones

se tiene:

Para y(l,t) = 0 : Se debe satisfacer:

Esto se dará para: , con n=1 ,2 ,3…

con lo que se obtiene finalmente la frecuencia

natural del sistema:

Vigas:

Haciendo sumatoria de fuerzas en el eje y:

Haciendo sumatoria de momentos:

Las siguientes ecuaciones resultan de el análisis de

los diagramas de cortante y momento flector:

,

Reemplazando las anteriores ecuaciones en la

sumatoria de momentos:

De la deformación de vigas se obtiene la siguiente

ecuación:

Reemplazando en la ecuación general:

Haciendo sumatoria de fuerzas en el eje y:

n de el análisis de

los diagramas de cortante y momento flector:

Reemplazando las anteriores ecuaciones en la

De la deformación de vigas se obtiene la siguiente

Reemplazando en la ecuación general:

Como p(x) representa la amplitud de una excitación

que se supone armónica la respuesta será de la

forma:

Agrupando términos para obtener la frecuencia

natural:

Y la ecuación diferencial que rige la amplitud del

movimiento es:

Resolviendo la ecuación diferencial:

Con lo que finalmente se obtiene:

enta la amplitud de una excitación

que se supone armónica la respuesta será de la

Agrupando términos para obtener la frecuencia

Y la ecuación diferencial que rige la amplitud del

Resolviendo la ecuación diferencial:

Con lo que finalmente se obtiene: