ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

VIBRACIONES

Vibración libre de un sistema traslacional no amortiguado

VIBRACION LIBRE DE SISTEMAS DE UN SOLO GRADO DE LIBERTAD

• Se dice que un sistema experimenta vibración libre cuando oscila solo debido a una perturbación inicial sin que más adelante actúen fuerzas externas.

• Ejemplo:• Las oscilaciones de un péndulo de reloj del

abuelo.• El movimiento oscilatorio vertical percibidos por

un ciclista después de pasar por un tope y el movimiento de un niño en un columpio después de un empujón inicial.

En las figuras se muestra un sistema masa – resorte que presenta el sistema de un solo grado de libertad

VIBRACION LIBRE DE UN SISTEMA TRASLACIONAL NO AMORTIGUADO

• Se utilizara el siguiente procedimiento:• Seleccione una coordenada adecuada para describir la posición de

la masa o el cuerpo rígido en el sistema.• Determine la configuración de equilibrio estático del sistema y

mida el desplazamiento de la masa o el cuerpo rígido.• Trace el diagrama de cuerpo libre de la masa o el cuerpo rígido

cuando se le imparten un desplazamiento y velocidades positivas.• Aplique la segunda ley de newton. La segunda ley de newton se

puede formular como:• La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento (momento)

de una masa es igual a la fuerza que actúa en ella.

ELEMENTOS DE AMORTIGUAMIENTO

• En muchos sistemas la Energía Vibratoria se convierte gradualmente en calor o sonido. Debido a la reducción de energía, la respuesta como el desplazamiento del sistema se reduce gradualmente.

• Es importante para predecir con exactitud la respuesta a la vibración de un sistema.

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

• Ecuación Principal:

𝑚𝑒𝑞 𝑋 + 𝐾𝑒𝑞𝑋 = 0

Auxiliar: 𝑚𝑒𝑞𝑠

2 + 𝑘𝑒𝑞 = 0

𝑠2 = −𝑘𝑒𝑞

𝑚𝑒𝑞

𝑠 = ∓[−𝑘/𝑚] 12=∓𝑖𝑊𝑛

Frecuencia Natura

𝑊𝑛 = 𝐾𝑒𝑞𝑚𝑒𝑞

Forma Paramétrica

X(t)=𝐴1 cos(𝑤𝑛𝑡) + 𝐴2sin(𝑊𝑛𝑡)

Donde:X(t)=Desplazamiento

𝑋 𝑡 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

X(t)=𝐶1𝑒𝑖𝑊𝑛𝑡 + 𝐶2

−𝑖𝑊𝑛𝑡

X(t)=𝑋0 cos 𝑤𝑛𝑡 + 𝑋0 𝑊𝑛 𝑆𝑖𝑛 (𝑊𝑛𝑡)

Modelo Armónico

• Movimiento Simétrico

• Velocidad Máxima

• Ecuación Desplazamiento hacia extremos velocidad cero y aceleración máxima.

𝑋 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠[𝑤𝑛𝑡 − ∅]

Para Amplitud Inicial :

𝐴0 = 𝐴 = [𝑋2 + ( 𝑥/𝑊𝑛)2]2

∅0 = 𝑡𝑎𝑛−1[ 𝑥0. 𝑤𝑛

𝑋0]

2.6 La velocidad máxima alcanzada por la masa de un oscilador armónico simple es de 10 cm/s, y el periodo de oscilación es de 2 seg. Si la asa se suelta con un desplazamiento inicial 2 cm determine:a) la amplitud b) la velocidad inicial c) la aceleración máxima d) el Angulo de fase

• Datos Hallar

• 𝑥= 10 𝑐𝑚𝑠 A=? ∅=?

• T=2 seg 𝑥 =?

• 𝑥0 = 2𝑐𝑚

Si x= A cos (Wnt-∅o) 𝑥 = −𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑊𝑛𝑡 − ∅𝑜 𝑊𝑛

𝑥 = −𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑊𝑛𝑡 − ∅𝑜)𝑤𝑛2

𝑊𝑛 = 2𝜋𝑇 = 2𝜋

2 = 𝜋( 𝑟𝑎𝑑𝑠𝑒𝑔)

a) A max sin 𝑊𝑛 − ∅𝑜 = 1 𝑥 = −𝐴 𝑊𝑛

A= 0,13,14 = 0,032𝑚

d) 𝑥 = −𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑊𝑛𝑡 − ∅𝑜si t=0 → 𝑊𝑛 = 0

0.2=0.032cos(∅𝑜)∅𝑜 = −51.2°

b) 𝑥 = −𝐴𝑤𝑛 sin 𝑤𝑛𝑡 − ∅𝑜t=0→ 𝑊𝑛𝑡 = 0 𝑥=-0,032[𝜋]sin(+51.2°)

𝑥 =0,0077 𝑚 𝑠

𝑥 = −𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑊𝑛𝑡 − ∅𝑜 𝑤𝑛2

𝑥 = −0,032𝜋2

𝑥 =-0.316 𝑚 𝑠2

SISTEMA VIBRACIONAL LIBRE TRANSLACION CON AMORTIGUAMIENTO

• Reducción energía→ Desplazamiento Disminuye

• Energía vibracional se convierte en calor

• Mecanismo reducción energía es amortiguamiento.

Amortiguamiento Viscoso

• Sistema mecánico vibra en medio de un fluido (aire, gas, agua o aceite) resistencia ofrecida por un fluido disipa la energía

• Factores:

• Tamaño y forma del cuerpo vibratorio

• La viscosidad del fluido

• Frecuencia de vibración

• Velocidad del cuerpo vibratorio

Ejemplo:La película de fluidos entre superficies deslizantes El flujo del fluido alrededor de un pistón en un cilindro El flujo de fluido a través de un orificio Amortiguamiento de coulomb de fricción en seca El resultado de la fricción entre la superficie que al frotar están secas y no tiene lubricación

suficiente.

Vibración forzada con Amortiguamiento de Coulomb

• La ecuación del movimiento es:

El signo es negativo cuando la masa se mueve de izquierda a derecha.

• El sistema sería el siguiente:

La solución exacta a la ecuación planteada por el sistema es muy complicada.

• La energía disipada por amortiguamiento de fricción es:

• La energía disipada por amortiguamiento viscoso:

• Al igualar las ecuaciones:

• La respuesta de estado estable:

• Donde:

Amplitud

Ángulo de fase

Vibración forzada con amortiguamiento de Histéresis

• Se considera un sistema de un solo grado de

libertad con amortiguamiento de histéresis

sometido a una fuerza armónica. De esta

consideración la ecuación sería:

La fuerza de amortiguamiento:

• Un esquema del sistema:

A pesar de que la solución general para la ecuación planteada para este sistema es muy difícil de obtener, se obtiene una solución alternativa que consiste en tomar en cuenta que la fuerza F(t) es armónica.

• Tomando en consideración que la fuerza que actúa es

armónica.

Ecuación Estado estable Ecuación de

amplitud

Ángulo de fase