vib_2gdl

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DEPA EPART RTAMENTO NTODE DE I NGENIERÍA MECÁNICA, E NERGÉTICA CA Y DE DE M A T TE R RIALE ALE S S T EMA 4 – S IS TEM AS DE 2 G RADOS DE L IBE RT A D 3º I NG NG ENI NIER ÍA ÍAI NDUS TR TRIAL ELEM EN T TOS DE M ÁQU ÁQU IN INAS Y Y - 4.1 - Sistemas de 2 Gradosde Libertad

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investigación

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FUNDAMENTOS PARA EL ANLISIS DINMICO

Sistemas de2 Grados deLibertad

4.1 IntroduccinHasta el momento, se han estudiado los sistemas con 1 gdl vindose que:

Si un sistema no amortiguado es sacado de su posicin de equilibrio y dejado en libertad, comienza a oscilar armnicamente con una frecuencia caracterstica del sistema llamada frecuencia natural.

El fenmeno de la resonancia se presenta al excitar el sistema con una fuerza armnica de frecuencia igual a la frecuencia natural.

Los sistemas con 2 gdl presentan importantes diferencias respecto a los sistemas con 1 gdl; de hecho, su comportamiento es cualitativamente muy similar al de un sistema con N gdl. Sin embargo, si bien los conceptos matemticos y fsicos que aparecen en los sistemas con 2 gdl son idnticos a los de sistemas con N gdl, tienen la ventaja de que sus ecuaciones algebraicas son todava relativamente manejables y los ejemplos accesibles. Permiten, por ello, una formulacin analtica sencilla y no dependiente del lgebra matricial.

Figura 23 Sistemas mecnicos con 2 gdl

Se ver como si un sistema con 2 gdl sin amortiguamiento es desplazado de su posicin de equilibro y dejado en libertad, no siempre realiza un movimiento armnico y ni tan siquiera peridico, sino slo para determinadas formas (tantas como gdl) de perturbar el equilibrio. Slo para dos tipos (2 gdl) de perturbaciones el movimiento subsiguiente es armnico y, en general, con distinta frecuencia para cada tipo de perturbacin.

Un sistema con 2 gdl tendr, por lo tanto, dos frecuencias naturales y, sometido a una excitacin armnica, llegar a la condicin de resonancia para dos frecuencias de excitacin diferentes. El estudio del comportamiento dinmico de este tipo de sistemas facilitar la introduccin de conceptos como respuesta sncrona, frecuencias y modos naturales de vibracin y anlisis modal.

4.2

Ecuaciones del movimiento: Formulacin matricialSea el sistema discreto con 2 gdl de la Figura 24.a. En este caso tan sencillo, las ecuaciones diferenciales del movimiento pueden obtenerse aplicando a cada una de las masas el Principio de DAlembert y estableciendo el equilibrio de fuerzas en la direccin del movimiento.

Figura 24 Sistema con dos grados de libertad

As, teniendo en cuenta que la fuerza en el resorte y amortiguador centrales dependen de la posicin y velocidad relativas entre ambas masas, estableciendo el equilibrio de fuerzas en direccin x (Fig.24.b) resulta:

m1x1 k1x1 c1x 1 k2 x2 x1 c 2 x 2 x 1 F1 t 0 m2 x2 k3 x2 c 3 x 2 k2 x 2 x1 c 2 x 2 x 1 F2 t 0Ecuaciones diferenciales, que no son independientes y constituyen un sistema ya que ambas incgnitas x1(t) y x2(t) aparecen en las dos, y pueden expresarse matricialmente: m1

0 x1

c1 c 2

c 2

x 1

k1 k 2

k 2

x1

F1 (t)

0 m2

x 2

c 2

c 2 c 3

x 2

k 2

k 2 k 3

x2

F2 (t)o, de forma ms abreviada, con notacin matricial: M x Cx Kx F(t)Las matrices [M], [C] y [K], llamadas respectivamente matriz de inercia, matriz de amortiguamiento y matriz de rigidez, son simtricas, como se puede observar.

Se observa, adems, en este ejemplo que la matriz [M] es diagonal. Esta es una caracterstica de los sistemas de parmetros discretos que no se presenta en muchas otras ocasiones. Si en la expresin las tres matrices [M], [C] y [K] fueran diagonales, las dos ecuaciones seran independientes o estaran desacopladas, siendo en tal caso resolubles cada una de ellas por las tcnicas desarrolladas para los sistemas con 1 gdl.

4.3 Vibraciones libres no amortiguadas. Modos de vibracinLa resolucin del problema de vibraciones libres no amortiguadas permitir la determinacin de los parmetros modales caractersticos del sistema de dos grados de libertad: sus dos frecuencias naturales y sus dos modos naturales de vibracin.

Suponiendo que no hay fuerzas exteriores aplicadas al sistema y que los trminos disipativos de energa son nulos, el sistema de ecuaciones del movimiento se reduce a (k11=k1 + k2 k22=k2 + k3): m1

0 x

k11

k 2

x1

0

0 m2

x 2

k2

k 22

x 2 0La solucin de este sistema de ecuaciones diferenciales puede abordarse por distintos procedimientos. Estando interesados en la posibilidad de que el sistema realice un movimiento armnico sncrono, se supondrn, anlogamente a como se haca con sistemas de 1 gdl, soluciones de la forma: x1(t)=X1eit, x2(t)=X2eitSustituyendo estos valores y sus derivadas segundas se obtendrn dos ecuaciones: m 2 k

X

k 2 X 2 0 k2 X1

m 2 k

X 0

lo que constituye un sistema de ecuaciones en X1 y X2. Para que dicho sistema tenga solucin distinta de la idnticamente nula, se tendr que cumplir que el determinante del sistema sea nulo. Desarrollando el determinante y ordenando, se obtiene una ecuacin bicuadrtica cuyas raices son:

m k

m k

m k

m k

2 4m m k22

1 22

2m1m2

2 11

1 22

2 11

2m1m2

1 2 2

Si 1

y 2

son las dos soluciones de la ecuacin, slo podr tener lugar movimientoarmnico en estas dos frecuencias 1 y 2 que son las frecuencias naturales del sistema.

El sistema de dos ecuaciones en X1 y X2 puede ponerse, a su vez, en la forma:X1 k22

X k 2m1 22 2X 2 k11 m1

X 2 k2Sustituyendo en cualquiera de estas expresiones los valores de 1

y 2

se determina larelacin existente entre las amplitudes de los movimientos de las dos masas. Los movimientos sncronos que cumplen esta relacin de amplitudes son armnicos, y reciben

el nombre de modo natural de vibracin. Hay dos modos naturales, (X1 , X2 ) y (X1 , X2 ),1 1 2 2

uno para cada frecuencia, 1 , 2 . Al desplazar el sistema de su posicin de equilibrio2 2

segn un modo natural y soltarlo, comenzar a oscilar libre y armnicamente a la frecuencia del modo.

Se puede demostrar que, ambos modos son ortogonales entre s respecto a las matrices de inercia y rigidez; es decir:

2 k

k X 2 X1 ,X1 m1

0 X 1 0

X1 ,X1 11

2

1 01 2

22 2

1 2 k

k 22 2Como las dos amplitudes de un modo no estn determinadas ms que en la relacin existente entre ellas, es una prctica habitual el normalizar los modos de forma que:

j X j , X j m1

0 X 1 1

j = 1,21 2

m2

X j

4.4

Coordenadas naturales. Introduccin al Anlisis ModalAdems de las coordenadas x1(t) y x2(t) empleadas para definir el movimiento del sistema (Fig. 25), un cambio de coordenadas interesante es:

x1 t X1

y1 t X1

y 2 t x2 t X 2 y1 t X 2 y 2 t 1 2

o bien, matricialmente:1 2 x x1 X1

X1 y1 X y x 2

2 2

y 2donde se ha llamado matriz [X] a la matriz cuyas columnas son los modos naturales de vibracin - matriz de modos -.

Introduciendo esta transformacin de coordenadas en la ecuacin matricial de movimiento del sistema y

premultiplicando por [X]T: Figura 25 Sistema de 2 gdl

XT M X y XT K X y 0Teniendo en cuenta las ortogonalidades y ortonormalidad resulta:

1 0

y1

2

0 y1

0 1

0 1

y 2

0 2

y 2 0o bien, teniendo en cuenta que las matrices presentes son diagonales:2 2

y1 t 1 y1 t 0

y 2 t 2 y 2 t 0Estas dos ecuaciones son independientes, y puede cada una de ellas resolverse con los mtodos estudiados para los sistemas con 1 gdl.

A las coordenadas y1(t) e y2(t), definidas con este cambio de variable se les denomina coordenadas naturales, y en ellas las ecuaciones del movimiento estn desacopladas. El mtodo seguido a la hora de desacoplar las ecuaciones del sistema constituye la tcnica de anlisis modal.

Cabra ahora, por tanto, pensar en la posibilidad de estudiar las vibraciones libres con amortiguamiento. Pero surge entonces una nueva dificultad por el hecho de que, en general, esta transformacin de coordenadas, que diagonaliza las matrices de rigidez e inercia, no hace lo mismo con la matriz de amortiguamiento. Este caso no se estudiar ahora, pero se puede considerar incluido en el que se realizar posteriormente para sistemas de N gdl.

4.5 Vibraciones forzadas.Condiciones de resonanciaSe estudia el caso en que no existe amortiguamiento, y se prescindir tambin de la componente de la respuesta debida a las condiciones iniciales (sin amortiguamiento, esta componente no desaparecer nunca, pero como ya se han estudiado las vibraciones libres, se prescindir de ellas en virtud del Principio de Superposicin).

Supngase actuando sobre el sistema una excitacin armnica sncrona de modo que las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema respondan a la expresin:

m 0 x k 1 1 11

k 2 x1 f1 i t e 0 m2

x 2

k 2

k 22

x 2

f2Suponiendo soluciones en la forma

x t X ei t , x t X

ei t , sustituyendo estos1 1 2 2

valores y sus derivadas segundas en la ecuacin anterior y reordenando, se obtiene el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas:

m 2 k

X

k 2 X 2

f1 k 2 X1

m 2 k

X

f2Aplicando la regla de Cramer para resolver este sistema de ecuaciones se obtienen los valores de las amplitudes de los movimientos armnicos que se estn buscando:

f k

m2

2 k

2 f2X1 11

m 2 k

m2

2 k 2f k

m 2 k

2 f1X 2 11

m 2 k

m2

2 k 2que pueden expresarse:

f k

m2

2 k

2 f2X1 m m

2 2 2 2 1 2

f k

1

m 2 k

2

2 f1X 2 m m

2 2 2 2 1 2 1 2

amplitudes que se hacen infinitas cuando la frecuencia de excitacin coincide con cualquiera de las dos frecuencias naturales. Por lo tanto, un sistema de 2 gdl tiene dos condiciones de resonancia.En el ejemplo representado en la Figura 26, pueden apreciarse las amplitudes de los movimientos de las dos masas para diferentes valores de la frecuencia de excitacin, observndose claramente la presencia de dos resonancias alrededor de las frecuencias de

8 y 12 Hz, aproximadamente.

Figura 26 Doble resonancia

Considrese ahora el caso en el que hay amortiguamiento viscoso lineal. En el caso ms general, las ecuaciones de equilibrio sern

m11

m12 x1 c11

c12 x1 k11

k12 x1 f1 i t e m21

m22

x 2

c 21

c 22

x 2

k 21

k 22

x 2

f2Haciendo como antes y suponiendo soluciones de la forma i t

i tSe obtendr

x1 t

X1 e

, x 2 t

X 2 e Z11

Z12

X1

f1

donde,

Z 21

Z 22

X 2

f2Zij

2 m

ic ij

kijson las llamadas impedancias mecnicas.

Despejando por la regla de Cramer X1 y X2 de la expresin matricial del sistema de ecuaciones y teniendo en cuenta que la matriz de impedancias es simtrica

X

f1 Z 22 f2 Z12 Z11

Z 22

Z 2 X

f2 Z11 f1 Z12 Z11

Z 22

Z 2 expresiones que se suelen escribir en la forma X1

H11

H12

f1 X

H f

X HF 2 21

22 2

donde los trminos

Hij

representan algo anlogo al papel que la funcin de

transferencia desempeaba en los sistemas con 1 gdl. As, a la matriz [H] se la denomina

matriz de transferencia.

Mediante la ecuacin anterior se puede estudiar la respuesta estacionaria de cualquier sistema ante unas fuerzas armnicas sncronas de amplitudes conocidas.

1

1

11

1

22

2

2

2

2

2

2

2

0

m

X

X

2

2

0

1

2

X 2

1

X

2

1

1

11

1

2

22

2

1

22

2

k

22

1

2

11

2

k

1

22

1

22

2

11

1

ij

1

12

12

2

H