Vectores y rectas, Pgs. 111 1

Vectores y rectas

1. Definiciones

Llamamos Magnitud a algo que se puede medir.

Magnitud escalar se puede determinar con un nmero y una unidad.

Para determinar una Magnitud vectorial necesitamos ms de un nmero.

Los vectores los nombramos con una letra minscula y una echa encima apun-

tando a la derecha. El vector v lo escribimos v .Consideraremos un vector como el desplazamiento de un punto a otro del plano.

Lo representaremos como un par de nmeros que llamaremos componentes. Se es-

criben como dos nmeros entre parntesis, separados por una coma. El primero

representa lo que nos movemos horizontalmente y el segundo lo que nos movemos

verticalmente. Es decir, el vector

v = (2, 5) lo entenderemos como el desplazamientode 2 unidades a la derecha y 5 hacia arriba.

Si queremos indicar los puntos donde empieza y termina el vector, lo indicamos

escribiendo el nombre de los puntos con la echa encima. As el vector que empieza

en A y termina en B se escribira

AB

2 Vectores y rectas

1.1. Clculo de las componentes de un vector a partir de los puntos

inicial y final

Si A = (a1, a2) y B = (b1, b2) entoncesAB = (b1 a1, b2 a2)Es decir, restamos las coordenadas del punto nal a las del punto inicial.

1.2. Mdulo y direccin de un vector

Podemos considerar un vector como un segmento orientado. As tenemos dos

cantidades que pueden denir el vector.

Una es su longitud que llamaremosmdulo y lo representaremos por unas barras

verticales |~v|.

Y la otra su direccin que es el ngulo que forma con el eje X y lo representa-

remos por una letra griega, por ejemplo .

Clculo del mdulo y la direccin

a partir de las componentes

Si tenemos el vector ~v = (v

1

, v

2

).

Para calcular su mdulo y direccin:

|~v| =

v

2

1

+ v

2

2

= arctan

(

v

2

v

1

)

Clculo de las coordenadas a par-

tir del mdulo y la direccin

Si tenemos el mdulo |~v| y la direccin .

Para calcular las componentes:

v

1

= |~v|cos

v

2

= |~v|sen

Matemticas ? Apuntes 3

2. Operaciones con vectores

2.1. Producto por un nmero

Para calcular el producto de un nmero por un vector multiplicamos el nmero

por cada componente del vector.

Si ~v = (v1, v2) entonces k ~v = (k v1, k v2)Grcamente se obtiene un vector en la misma direccin que ~v pero k veces sulongitud. Observar que si k > 1 es ms largo y que si k < 1 es ms corto.

2.2. Suma

Para calcular la suma de un vector con otro se suman componente a componente.

Si ~u = (u

1

, u

2

) y ~v = (v

1

, v

2

) entonces ~u+ ~v = (u

1

+ v

1

, u

2

+ v

2

).

Grcamente la calculamos con la Regla del Paralelogramo.

Si ponemos los vectores consecutivamente, en los lados consecutivos del parale-

logramo, el resultado es el mismo y nos permite sumar grcamente de un forma

cmoda cualquier cantidad de vectores.

4 Vectores y rectas

Para la resta el clculo es igual pero restando. Grcamente la podemos ver como

una suma haciendo ~u ~v = ~u+ (~v)

Es decir, para restar dos vectores se unen los extremos y se pone la echa apun-

tando al primero.

2.3. Combinacin lineal de vectores

Cuando utilizamos las dos operaciones anteriores para obtener otro decimos que

hemos realizado una combinacin lineal de vectores. Es decir, un vector es combi-

nacin lineal de otros cuando lo obtenemos multiplicando estos por nmeros y los

sumamos despus.

Por ejemplo si ~v = (2, 5) y ~u = (1, 3) con la combinacin lineal 4~v 7~u obtene-mos

4~v 7~u = 4(2, 5) 7(1, 3) = (8, 20) + (7,21) = (8 + 7, 20 21) = (15,1)

y decimos que el vector (15,1) es combinacin lineal de ~v y ~u

Matemticas ? Apuntes 5

2.4. Vector unitario

Un vector unitario es el que tiene mdulo 1.

Si tenemos un vector cualquiera podemos obtener un vector unitario en la misma

direccin que l. Basta con dividirlo entre su mdulo.

Por ejemplo, si ~v = (2, 5) su mdulo es |~v| = 22 + 52 = 29.El vector ~u =

~v

|~v| =129

(2, 5) =

(229,

529

)Comprobamos que ~u tiene mdulo 1.

|~u| =(

229

)2+(

529

)2=

(22

(29)2

)+(

52

(29)2

)=

429 +

2529 =

2929 = 1

2.5. Base ortonormal del plano

Cualquier vector del plano se puede poner como combinacin lineal de dos vec-

tores que no tengan la misma direccin, es lo que se llama una base.

Para los clculos es mejor que esos vectores sean perpendiculares y tengan mdulo

uno. Es lo que llamamos base ortonormal del plano. La base que se suele utilizar son

los vectores

~i = (1, 0) y ~j = (0, 1).

La ventaja de poner los vectores en funcin de estos es que podemos sustituir las

componentes del vector por ellos y utilizar las operaciones de los vectores para hace

clculos.

De esta forma el vector ~v = (2, 5) lo pedemos poner como ~v = (2, 5) = 2~i+ 5~j

6 Vectores y rectas

3. Punto medio de un segmento

Si un segmento tiene como extremos los puntos A = (a1, a2) y B = (b1, b2),llamamos M = (x, y) al PUNTO MEDIO.

Para calcular las coordenadas de M observamos que:

AB = 2

AM

(b1 a1, b2 a2) = 2(x a1, y a2)(b1 a1, b2 a2) = (2x 2a1, 2y 2a2){

b1 a1 = 2x 2a1b2 a2 = 2y 2a2{b1 a1 + 2a1 = 2xb2 a2 + 2a2 = 2y

x =b1 + a1

2

y =b2 + a2

2

4. Punto simtrico

Para calcular el punto simtrico de un segmento respecto de otro utizamos la

frmula del punto medio tomando como un extremo el punto simtrico y como

punto medio el punto respecto del cual queremos hacer la simetra.

De esta forma la frmula sera

(O1, O2) =

(a1 + x

2,a2 + y

2

)Despejando

(x, y) = (2O1 a1, 2O2 a2)

Matemticas ? Apuntes 7

5. Puntos alineados

Para saber si tres puntos A = (a

1

, a

2

), B = b

1

, b

2

) y C = (c

1

, c

2

) estn alineados

vemos si los vectores

AB y

AC son proporcionales.

AB = k

AC

(b

1

a

1

, b

2

a

2

) = k(c

1

a

1

, c

2

a

2

) k =

b

1

a

1

c

1

a

1

=

b

2

a

2

c

2

a

2

6. Rectas

Una de las formas de obtener una recta es con un punto por el que pasa y la

direccin que sigue esta.

A esta forma de obtener la ecuacin de la recta la llamamos ecuacin vectorial

de la recta, que da lugar a la ecuacin paramtrica de la recta.

Si tenemos un punto de la recta P = (p

1

, p

2

) y un vector ~v = (v

1

, v

2

), que

llamamos vector director de la recta, podemos obtener culaquier punto de ella X =

(x, y) partiendo del punto y movindonos en la direccin del vector.

Esto lo escribimos con vectores:

~

OX =

~

OP +

~

PX

~

OX =

~

OP + t~v

(x, y) = (p

1

, p

2

) + t(v

1

, v

2

)

(x, y) = (p

1

+ tv

1

, p

2

+ tv

2

))

{

x = p

1

+ v

1

t

y = p

2

+ v

2

t

Ecuacin Paramtrica

8 Vectores y rectas

Desde la ecuacin paramtrica obtenemos el resto de las ecuaciones que conoces.{x = p1 + v1ty = p2 + v2tt =

x p1v1

t =y p2v2

x p1v1

=y p2v2Ecuacin continua

y p2 = v2v1

(x p1) v2(x p1) = v1(y p2)

y p2 = m (x p1) v2x v2p1 = v1y v1p2Ecuacin punto-pendiente v2 x v1 y+ v1p2 v2p1 = 0y p2 = v2

v1x v2

v1p1 Ax+By + C = 0

y =v2v1

x v2v1p1 + p2 Ecuacin general

y = m x+ n

Ecuacin explcita

6.1. Obtener el vector director y un punto de la ecuacin explcita

Para otener de la ecuacin explcita y = mx + n el vector director tenemos que

utilizar la pendiente. Si m =v2v1basta encontrar dos nmeros que den como cociente

la pendiente.

A la vista de esto podemos decir que una recta tiene innitos vectores directores

(todos proporcionales) que solamente dan una sola pendiente. Por lo tanto solo

tendremos una nica ecuacin explcita de la recta.

Para obtener el punto basta con dar valores a la x.Ejemplo:

Para la ecuacin explcita y = 3x+ 7 tenemos que m = 3, que podemos obtenercon distintos pares de nmeros.

m = 3 =3

1 ~v = (1, 3)

m = 3 =6

2 ~v = (2, 6)

m = 3 =93 ~v = (3,9)El punto lo obtenemos dando valores a la x.Para x = 0, y = 7 por lo tanto P = (0, 7).

Matemticas ? Apuntes 9

6.2. Obtener el vector director y un punto de la ecuacin general

De la ecuacin general de la recta Ax + By + C = 0 tenemos que saber que lascomponentes del vector director son ~v = (B,A).Ejemplo:

Para la ecuacin general

v23 x+

v12 y 7 = 0 vemos que el vector director es

~v = (2, 3).El punto lo obtenemos como antes, dando un valor a la x y despejando la y, porejemplo P = (0, 72 )

6.3. Dados el vector director y un punto calcular la ecuacin expl-

cita

Dados el punto P = (4,1) y el vector director ~v = (3, 1) sabemos que m =v2v1

=1

3 = 1

3

Por lo tanto la ecuacin tendra la forma y = 13x + n. La n la calculamos

sustituyendo las coordenadas del punto en la ecuacin. As

1 = 13(4) + n

n = 1 + 43=

1

3

Por lo tanto la ecuacin explcita es y = 13x+

1

3.

6.4. Dados el vector director y un punto calcular la ecuacin gene-

ral

Dados el punto P = (4,1) y el vector director ~v = (3, 5) sabemos que laecuacin general tendr esta forma

v25 x v13 y + C = 0.Para obtener la C sustituimos las coordenadas del punto en la recta

5 4 3 (1) + C = 020 + 3 + C = 0

C = 23Por lo tanto la ecuacin general es 5x 3y 23 = 0.

6.5. Posicin relativa de rectas

El estudio de la posicin relativa de dos rectas es estudiar que posicin tienen

una respecto de la otra en el plano.

Estudiamos cmo tienen que ser los elementos de estas rectas en cada caso.

Tenemos dos rectas r y s con vectores directores ~vr = (vr1 , vr2) y ~vs = (vs1 , vs2)y puntos Pr y Ps.

10 Vectores y rectas

6.5.1. Rectas que se cortan

Las rectas que se cortan tienen vectores directores no proporcionales. Es decir

v

r

1

v

s

1

6=

v

r

2

v

s

2

6.5.2. Rectas paralelas

Las rectas paralelas tienen vectores directores proporcionales Es decir

vr1vs1

=vr2vs2

y ningn punto en comn. Esto lo vemos tomando un punto de r (cualquiera) y

sustituyndolo en s. Ese punto no debe cumplir la ecuacin.

Matemticas ? Apuntes 11

6.5.3. Rectas coincidentes

Las rectas coincidentes tienen vectores directores proporcionales Es decir

v

r

1

v

s

1

=

v

r

2

v

s

2

y todos los puntos en comn. Esto lo vemos tomando un punto de r (cualquiera) y

sustituyndolo en s. Ese punto debe cumplir la ecuacin.

Referencias

[1] Jos Colera, M

a

Jos Oliveira, Ignacio Gaztelu, Matemticas 4 Opcin

B, Anaya, 2011.

[2] Profesores de la asignatura, MATINFO, http://www.matinfo.

milaulas.com