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VECTORES

ContenidosArtículos

Vector (física) 1Producto escalar 10Producto vectorial 15

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 20Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 21

Licencias de artículosLicencia 22

Vector (física) 1

Vector (física)Un vector es utilizada para representar una magnitud física el cual necesita de un módulo y una dirección (uorientación) para quedar definido.Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos o

; es decir, bidimensional o tridimensional.Ejemplos• La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan sólo por su

módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección haciala que se dirige.

• La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además de su intensidado módulo, de la dirección en la que opera.

• El desplazamiento de un objeto.

Conceptos básicosEsta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes físicas, lascomponentes de un vector, la notación de los mismos, etc.

Magnitudes escalares y vectoriales

Representación gráfica de una magnitud vectorial, con indicación desu punto de aplicación y de los versores cartesianos.

Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como lamasa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura,etc; que quedan completamente definidas por unnúmero y las unidades utilizadas en su medida,aparecen otras, tales como el desplazamiento, lavelocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico,etc., que no quedan completamente definidas dando undato numérico, sino que llevan asociadas una dirección.Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales encontraposición a las primeras que son llamadasescalares.

Las magnitudes escalares quedan representadas por elente matemático más simple; por un número. Lasmagnitudes vectoriales quedan representadas por unente matemático que recibe el nombre de vector. En unespacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, unvector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: sulongitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, determinada por el ángulo que forma el vectorcon los ejes de coordenadas. Así pues, podemos enunciar:

Un vector es una magnitud física que tienen módulo y dirección.

Vector (física) 2

Representación de los vectores.

Se representa como un segmento orientado, con unadirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Sulongitud representa el modulo del vector y la "punta deflecha" indica su dirección.

NotaciónLas magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de lasmagnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales serepresentan colocando una flechita sobre la letra que designa su módulo (que es un escalar). Ejemplos:

• ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de unamagnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector:

...• En los textos manuscritos escribiríamos: ... para los vectores y ... o ...

para los módulos.Cuando convenga, representaremos la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmentoorientado que la representa geométricamente; así, designaremos los vectores representados en la Figura 2 en la forma

, ... resultando muy útil esta notación para los vectores desplazamiento.Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representanfrecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo .

Tipos de vectoresSegún los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirsedistintos tipos de los mismos:• Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.• Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.• Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.Podemos referirnos también a:• Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.• Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos).• Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero dirección contraria.• Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.• Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

Vector (física) 3

Componentes de un vector

Componentes del vector.

Un vector en el espacio se puede expresar como unacombinación lineal de tres vectores unitarios o versoresperpendiculares entre sí que constituyen una basevectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios serepresentan por , , , paralelos a los ejes decoordenadas x, y, z positivos. Las componentes delvector en una base vectorial predeterminada puedenescribirse entre paréntesis y separadas con comas:

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema decoordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes vector que, salvo quese indique lo contrario, son números reales.Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila,particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notación, los versores cartesianos quedan expresados en la forma:

Operaciones con vectores

Suma de vectoresPara sumar dos vectores libres vector y vector se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo finalde uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del paralelogramo.

Método del paralelogramo

Consiste en disponer gráficamente los dos vectores demanera que los orígenes de ambos coincidan en unpunto, completando un paralelogramo trazando rectasparalelas a cada uno de los vectores, en el extremo delotro (ver gráfico a la derecha). El resultado de la sumaes la diagonal del paralelogramo que parte del origencomún de ambos vectores.

Vector (física) 4

Método del triángulo.

Método del triángulo

Consiste en disponer gráficamente un vector acontinuación de otro; es decir, el origen de uno de losvectores se lleva sobre el extremo del otro. Acontinuación se une el origen del primer vector con elextremo del segundo.

Método analítico para la suma y diferencia de vectores

Dados dos vectores libres,

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

y ordenando las componentes,

Con la notación matricial sería

Conocidos los módulos de dos vectores dados, y , así como el ángulo que forman entre sí, el módulo dees:

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

Vector (física) 5

Producto de un vector por un escalar

Producto por un escalar.

El producto de un vector por un escalar es otro vectorcuyo módulo es el producto del escalar por el módulodel vector, cuya dirección es igual a la del vector, ocontraria a este si el escalar es negativo.Partiendo de la representación gráfica del vector, sobrela misma línea de su dirección tomamos tantas veces elmódulo de vector como indica el escalar.

Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se realiza multiplicando cada una delas componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notación matricial sería

Derivada de un vectorDado un vector que es función de una variable independiente

Calculamos la derivada del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de suscomponentes como si de escalares se tratara:

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.Con notación matricial sería

Vector (física) 6

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura.Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función representa el vector de posiciónen función del tiempo t. Derivando tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector de posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina elvector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. Siderivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.

Vector (física) 7

Ángulo entre dos vectoresEl ángulo determinado por las direcciones de dos vectores y viene dado por:

Cambio de base vectorial

Cambio de base vectorial.

En matemáticas las rotaciones sontransformaciones lineales que conservanlas normas en espacios vectoriales en losque se ha definido una operación deproducto interior. La matriz detransformación tiene la propiedad de ser unamatriz unitaria, es decir, es ortogonal y sudeterminante es 1.

Sea un vector expresado en una sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z) con una base vectorial asociadadefinida por los versores ; esto es,

Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados, manteniendo fijo el origen del mismo, de modo queobtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x′, y′, z′), con una base vectorial asociada definida por losversores . Las componentes del vector en esta nueva base vectorial serán:

La operación de rotación de la base vectorial siempre puede expresarse como la acción de un operador lineal(representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector):

que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.

Vector (física) 8

Cambio de base vectorial.

EjemploEn el caso simple en el que el giro tenga magnitud alrededor del eje z, tendremos la transformación:

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos la expresión delvector en la nueva base vectorial:

siendo

las componentes del vector en la nueva base vectorial.

Requerimientos físicos de las magnitudes vectorialesNo cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente unvector físico, los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentes observadores debentransformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto conpseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensorialesantisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes que en cuya definición interviene elproducto vectorial son en realidad pseudovectores o vectores axiales.En teoría especial de la relatividad, sólo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentesobservadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen auténticas magnitudesvectoriales. Así las componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores y debenrelacionarse de acuerdo con la siguiente relación:

Vector (física) 9

Donde son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momentoangular, el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudesvectoriales sino tensoriales.

Véase también• Producto escalar• Producto vectorial• Doble producto vectorial• Producto mixto• Producto tensorial• Espacio vectorial• Combinación lineal• Sistema generador• Independencia lineal• Base (álgebra)• Base ortogonal• Base ortonormal• Coordenadas cartesianas• Coordenadas polares

Referencia

Bibliografía• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes) (en español). Monytex. ISBN 84-404-4290-4,

ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons.• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers, 6ª edición (en inglés),

Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes) (en español). Barcelona: Ed. Reverté.

ISBN 84-291-4382-3.

Enlaces externos• Juega con vectores (http:/ / www. frontiernet. net/ ~imaging/ vector_calculator. html)• Demostración gráfica de operaciones básicas con Vectores (http:/ / www. mis-algoritmos. com/ fisica)

Producto escalar 10

Producto escalarEn matemáticas el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operaciónexterna definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o número.

, * λ

para dos vectores cualesquiera del espacio, se obtendrá un escalar λ procedente del cuerpo o campo de escalares También es válida esta definición si tomamos un sólo vector del espacio para operar consigo mismo. En este casoconcreto: =

, * λ

Por componentes, sea un vector y un vector , ambos pertenecientesal espacio vectorial .El producto escalar se calcula tomando componente a componente los productos de cada una de lascoordenadas y finalmente sumándolo todo:

= =

=

ya que se trata de un escalar.

En el caso concreto que se calcula el producto escalar de un vector consigo mismo, se obtiene: Sea = = =

El cuerpo puede ser el conjunto de los números complejos o una restricción de éste, el conjunto de losnúmeros reales por tratarse de un espacio euclídeo

Definición generalEl producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica ydefinida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Una operación donde V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido,que tiene que cumplir:1. (lineal en el primer componente),2. (hermítica),3. , y si y sólo si x = 0 (definida positiva),donde x,y,z son vectores arbitrarios, a,b representan escalares cualesquiera y es el conjugado del complejo c.Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y elser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por o por .Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert oespacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se diráque es un espacio euclídeo.Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

Producto escalar 11

.

Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real

A • B = |A| |B| cos(θ).|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.

El producto escalar de dos vectores en unespacio euclídeo se define como el productode sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la basedel espacio vectorial escogida.

Proyección de un vector sobre otroPuesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es A cosθ = proy AB, será

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno deellos por la proyección del otro sobre él.

Ángulos entre dos vectores

De la expresión geométrica del producto escalar es posible calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores, despejándolo desde la ecuación.

=

Es decir, el ángulo existente entre dos vectores es el arco cuyo coseno sea el valor de la razón existente entre elproducto escalar (entre los dos vectores) y el producto de sus módulos.

Producto escalar 12

Vectores ortogonalesDos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí.Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.

En un ángulo recto, el valor del coseno es cero, por lo tanto al multiplicarse por el producto de los módulos, da lugara que el producto escalar sea cero a su vez.

Vectores paralelos o en una misma direcciónDos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o de 180 grados.Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulosvale lo mismo que el producto escalar.

Propiedades del producto escalar1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:

4. Propiedades de la norma de un vector: a.

b.

c.

Expresión analítica del producto escalarSi los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la basecanónica en formada por los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:

El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:

Producto escalar 13

Norma o Módulo de un vectorSe define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.

Se realiza la raiz cuadrada del escalar obtenido, siendo A el módulo o norma del vector

Se calcula el producto escalar de un vector consigo mismo:

= = entonces, realizamos la raíz cuadrada sobre el valor obtenido:

|A| =

Por componentes, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios {i , j , k}

El cálculo del módulo se realiza a través del producto matricial del vector consigo mismo, para ello, tomamos como vector-fila y lo multiplicamos por su vector-columna, su recíproco no es cierto ya que el producto matricial nocumple la propiedad conmutativa.Una vez realizado el producto escalar, se calcula la raíz cuadrada para obtener el módulo o norma del vector .

Productos interiores definidos en espacios vectoriales• En el espacio vectorial se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto

punto) por:

• En el espacio vectorial se suele definir el producto interior por:

Siendo el número complejo conjugado de • En el espacio vectorial de las matrices de m x n elementos

donde tr(A) es la traza de la matriz A y es la matriz traspuesta de B.• En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo acotado por a y b :C[a, b]

• En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:

Dado tal que :

Producto escalar 14

Referencias

Véase también

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.• Portal:Física. Contenido relacionado con Física.• Espacio vectorial• Combinación lineal• Sistema generador• Independencia lineal• Matriz de Gram• Base (álgebra)• Base Ortogonal• Base Ortonormal• Coordenadas cartesianas• Producto vectorial• Producto mixto• Producto tensorial

Bibliografía• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes) (en español). Monytex. ISBN 84-404-4290-4,

ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons.• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers, 6ª edición (en inglés),

Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes) (en español). Barcelona: Ed. Reverté.

ISBN 84-291-4382-3.• Navarro Camacho, Jorge y otros (julio 2007). Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria ; Matemáticas

(Volumen III) (en español). MAD. ISBN 84-665-7931-1,.• Marsden, J.E.;Tromba, A.J. (2004). Cálculo vectorial, 5ª edición (en español), Pearson educación, S.A.. ISBN

84-7829-069-9.• Reinhardt, Fritz;Soeder,Heinrich (1984). DTV Atlas zur Mathematik Band 1 Grundlagen, Algebra und Geometrie

(en español). Alianza universidad. ISBN 84-206-6203-8, ISBN 84-206-6998-9.

Producto vectorial 15

Producto vectorial

Esquema

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operaciónbinaria entre dos vectores de un espacio euclídeotridimensional que da como resultado un vector ortogonal alos dos vectores originales. Con frecuencia se lo denominatambién producto cruz (pues se lo denota mediante elsímbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con elproducto exterior).

Definición

Relaciones entre los vectores.

Sean dos vectores y en el espacio vectorial ℝ3. Elproducto vectorial entre y da como resultado un nuevovector, . Para definir este nuevo vector es necesarioespecificar su módulo y dirección:

• El módulo de está dado por

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.• La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textosmanuscritos, para evitar confusiones con la letra x, es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

Producto vectorial 16

donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la manoderecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regladel sacacorcho.

Producto vectorial de dos vectores

Sean y dos vectores concurrentes de , el espacio afíntridimensional según la base anterior.Se define el producto , y se escribe , como el vector:

En el que

, es el determinante de orden 2.

O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila,también decimos:

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia elsegundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.Con la notación matricial esto se puede escribir:

Producto vectorial 17

Ejemplo

El producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b efectuando el producto escalar yverificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores).

PropiedadesCualesquiera que sean los vectores , y :

1. , (anticonmutatividad)2. Si y , entonces implica que ; esto es, la anulación del producto vectorial

proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.3. .4. , conocida como regla de la expulsión.5. , conocida como identidad de Jacobi.6. , siendo el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al

producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.

7. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .

Bases ortonormales y producto vectorial

Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial ℝ3. Se dice que es una base ortonormalderecha si cumple con las siguientes tres condiciones:1. ; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.2. ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior,

son ortonormales).3. , , ; es decir, cumplen la regla de la mano derecha.

Vectores axialesCuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud físicaaparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Losvectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a queno todo ente formado de tres componentes es un vector físico.

Dual de HodgeEn el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puedereducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dosvectores. Así el producto vectorial es simplemente:

Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.

Producto vectorial 18

GeneralizaciónAunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede generalizarse a dimensiones, con y sólo tendrá sentido si se usan vectores, dependiendo de la dimensión en la quese esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa unvector, y el resultado es un vector ortogonal.Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado por:

Otros productos vectorialesDados dos vectores, se definen tres operaciones matemáticas de tipo producto entre ellos:• producto escalar• producto vectorial• producto tensorialEl producto escalar de vectores permite determinar ángulos y distancias (véase operador norma) de una forma fácil ydirecta. El producto vectorial proporciona un modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos pordos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado producto mixto detres vectores.En el espacio afín bidimensional, , el producto vectorial es una operación externa, ya que da como resultado unvector que no pertenece al mismo espacio vectorial, esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, porser un vector perpendicular a dicho plano. En el espacio afín tridimensional, , el producto vectorial es unaoperación interna.

Véase también• Producto escalar• Doble producto vectorial• Producto mixto• Producto tensorial• Espacio vectorial• Combinación lineal• Sistema generador• Independencia lineal• Base (álgebra)* Base ortogonal• Base ortonormal• Coordenadas cartesianas

Producto vectorial 19

Bibliografía• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes) (en español). Monytex. ISBN 84-404-4290-4,

ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons.

Enlaces externos• Cross Product [1], MathWorld• Real and Complex Products of Complex Numbers [2]

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ CrossProduct. html[2] http:/ / www. cut-the-knot. org/ arithmetic/ algebra/ RealComplexProducts. shtml

Fuentes y contribuyentes del artículo 20

Fuentes y contribuyentes del artículoVector (física)  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=36208048  Contribuyentes: Abgenis, Aibdescalzo, Airunp, Alberto Salguero, Alexav8, Algarabia, Alhen, Aliman5040, Alvaroqc, Andreasmperu, Angel.F, AngelCaído, Antur, Antón Francho, Axxgreazz, Baiji, Belgrano, BetoCG, BlackBeast, Bucephala, C'est moi, Camilo, Carmin, Carrasco carlos, Cguzmanceti, Chrispinto, Cobalttempest, CommonsDelinker, Damisoft, Daniel ASA, DasAuge, David0811, Davius, Denisdelcarmen, DerHexer, Dferg, Dianai, Diegusjaimes, Diosa, Dnu72, Dodo, Drini, Edgarjdq,Edmenb, Eduardosalg, Elliniká, Elsenyor, Emijrp, Fanikiss, Ferbr1, Fidelmoquegua, Filipo, Finwe, Fmariluis, FrancoGG, Fsd141, Gbsuar, GermanX, Gharadeldesierto, Greek, Gsrdzl, Götz,HiTe, Homero Simpson, Hprmedina, Humberto, Ialad, J.M.Domingo, JAQG, JMCC1, JQv4, Jarisleif, Jarke, Joshimath, Juan Marquez, Karshan, Kekkyojin, Kved, Laura Fiorucci, Laxmen, Locosepraix, MEUDIT MONENEGRO, Macy, Mafores, Maldoror, Malguzt, Mario modesto, Matdrodes, Matiasasb, Mercenario97, Mike.lifeguard, Muro de Aguas, Mushii, Máximo de Montemar,Natrix, Neodop, Netito777, Nixón, Numbo3, OboeCrack, Omegakent, Oscar ., Osos4, Pablo323, Pabloallo, Paintman, Pakitou, Pan con queso, Pello, Pieter, Pino, PoLuX124, Ppja, Queninosta,Racso, Rainiero.garcia, Rastrojo, Riohachero, Rojasyesid, Rondador, Roprgm, RoyFocker, RubiksMaster110, Rv53705, Rαge, Santiperez, Sapientisimo, Skr515, Soulreaper, Super braulio,Superzerocool, TMU, Tano4595, Tarkus, Tirithel, Toad32767, Tomatejc, Tostadora, Troodon, Usuwiki, Veon, Vic Fede, Victormoz, Vitamine, Windrade, Wricardoh, Xuankar, Yeza, 714ediciones anónimas

Producto escalar  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=36151860  Contribuyentes: Algarabia, Camilo, Cgb, Davius, Diegusjaimes, Dusan, Edgardo C, Eligna, Fsd141,Gengiskanhg, GermanX, Götz, Hanspore, JA Galán Baho, Juan Mayordomo, ManuelMore, Matdrodes, Ooscarr, Petronas, Pino, PoLuX124, Raulshc, Richy, SpeedyGonzalez, Tano4595, Tirithel,Wewe, Wikiwert, Wricardoh, 76 ediciones anónimas

Producto vectorial  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=36250167  Contribuyentes: Algarabia, Angel GN, Charlitos, Dante93, Davius, Diegusjaimes, Dodo, Dusan, Edgardo C,Fportales, Fsd141, GermanX, Götz, Ignacioerrico, Jorgeneo560, Jurock, Kved, LPFR, ManuelMore, Matdrodes, Muro de Aguas, PoLuX124, Rakugan, Ricardogpn, Sophistical, Tano4595,Tuncket, 76 ediciones anónimas

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