FRACCIONESLA RELACION PARTE-TODO

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Colección:MATEMATICAS : CULTURA Y APRENDIZATE

14. Proporcionalidad geométrica y semejanzaGrupo Beta

15. Poüedros

1. Arc¡ dG cotrocimietrto: didáctica de las rn¡temÁticrs Gcco¡i¡ cuillén so¡d

A¡s.l Guri&Ea Bdr&do cón@ A¡roM,r@ Dhz @iro, Luú Rio Rl)ll@, M. Si@vázqw 1ó Una m€todotogíe ¡ctiv¡ y ¡údic¡ p¡ra l¡ e||seña¡z¡ de la geomehíN

¿.1lumeG}opcEc¡on*AngelMlrdE¿R4io.Ftrc iso'U4RieyáLuis Rico Róllm. Encll@iú¡ csto Ma¡tlM, Búiqu. C¡úo Mal@z 17. El probleE¡ de l¡ medidr

3. Nuúer&cidn y cáIculo c¡,- chu^ nat¡'

'w M B'l'-lc Gó,*

Bd.rdo CónsAr@lo 1& Cirq¡lando por el círrulo

4. [,¡accion€s Fr¡rctu? PrdiI¡,Dfú. Adulfo Setor Hmárdcq Fi¡bh vcuzqu¿,

sdvádór Llin@ cis, M,' vi.loda s¡l&h.z Cñl¡19. Sup€rficie y volumctr

5. Núñeft6 decim¡ls: po¡ qué y para q¡lé M.. A¡eel* del orm Rofm, Frscisa M@no carErñ, F¡ücisco cil cu¿dÉ .Juli¡C¿ cúo PéÉz

1 20. ProporcioD¡Iil¡d dfurcta6, NúrÍ€¡os e¡temó M,'Lui!¿Fiol Mo¡a, rosé Ml Forüny ayreni

tosé L. GonzáLz M¡í, M.'Dd@ Iri¡rt Bü¡tor, Arono Oniz Coms, In¡Ñld¿ V.rg&M¡chuc¡, Msúl¡ tilmo P&É2, A¡ronio onir vilñjo, Bs¡c¡on sdz rimérez 21. Nudos y n€xo6. Red€s €n I¡ $cuel¡

Mob¿s Con.t Bcn@ch, Jü@ Sücho Ci[ Adonio Mlrft d.l MmL7. Divi¡ibilirl¿d Pib. Go¡z¡lo Mdrln

Mode.b Siem Vázqez, A¡d¡!,s G@l¡, M,' T, Co¡zás tutudilo,Mdoco¡z¡lezaccl¡ 22, Por los caminos de la lógics

ha. Sd¿ l¿rn¡, Modqro Ari.t¡ U¡mndi, Eltr Ph¡do RuizL Probl€mr¡ ¡ritméticos Écolarcr

Lüis Puig Espi¡o¡q, Fm4do (¡dá¡ ltM 23. Inictsción ¡l áIg€br¡Meel Marl¡ 506 Robayra, Matlas C{@lD M!.hlI, M.¡ M.ecdas PrlaM Medins,

9. EstiE¡ción eD cdlcolo y mcdiit¡ Júef¡HdúÍlezDonJnsH

¡sidoo Seepvia A¡.x, Er@ión C¡m,o Mardr¿, EdiqÉ Cstro Ms¡dez,Lu¡! Rso Ro4re 24. E¡|3eñ¡nz¡ de l¡ suma y d€ Ia rc.lt¡

A!¡os M@ GóreZ10. Aritmétic¡ y c¡lcul¡dor¡

FEddic udin! i abeló 25. Ens€ñanza de I¡ multitr üc*ión y d€ h divi.iónC¡rtor M@C6M

11. Msteüalec pala cotrstluir la g€omehíacam¡ Bürgués Fl{Ei€h, cr&di alsiúcr.lá, rcep M.'Fo.túy Ay¡)mi

26' tr',uncione! y grÁllcrs¡o¡di Drulofd Piqet, Ca¡rM AúÁr'úcoitúM

rZ Inútacitu a l¡ didictic¡ ile l¡ geometrí¡ |

craldi alsim catal4 Joep M,. l¡o¡tuny AtM, c¡@n Büguas Fl@ich 27' au¡r y probabilidad

Jm Dle Godi¡o. C.@o Bataoñ Bflabéu. M,' t lrtu C¡¡li@s Catellúo

13. Simctrí¡ din,ímic{R¿hel péÉz cóM, ct¡u¡í Akiú cata¡á, c.f.rino Ruiz oarido |

28' EncüG3tas j¡ prcciosA¡d.¿t No¡tcs CIEa

29. Prensa y matemáticasAntonio Fernández Cano, Luis Rico Romero

30. Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso

José A. Cajaraville Pegito

31. Ordenar y clasificarCarlos Maza Gómez, Carlos Arce Jiménez

32. Juegos y pasatiempos en la enseñanza de la matemática elemental

Josefa Fernández Sucasas, M.' Inés Rodúguez Vela

33. Ideas y actividades para enseñar álgebra

Grupo Azarquiel

34. Recursos en el aula de matemáticasFrancisco Hernán Siguero, Elisa Carrillo Quintela

Consejo etitor:Luis Rico Romero, José M." Fortuny Aymemi, Luis Puig Espinosa

FRACCIONESLA RELACION PARTE.TODO

CoonnrN¡.¡onrs:

S¡,r,vnoon Lr,w¡nns Crsc¡,nM." Vrcronr¡ SANcnnz Glncfn

Profesores Titulares de Didácticade las Matemáticas de la Universidad de Sevilla

EDITORIAL

SINTESIS

ft-. L??'?"X. barras -\,}üilForma de adquisición: karr\oCarnpra Canje -techa de adqursrciónAño- MesFecha de Procesa¡niento

Proveedor-iPrgcesado por

-

Primera reimpresión: diciembre 1997

Diseño de cubierta: Juan José Vázquez

Reservados todos los derechos. Está prohibido, bajo lassanciones penales y el resarcimiento civil previstos enlas leyes, reproducir, registrar o transmitir esta publi-cación, íntegra o parcialmente, por cualquier sistemade recuperación y por cualquier medio, sea mecánico,electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia opor cualquier oEo, sin la autorización previa por escritode Editorial Síntesis, S. A.

@ Salvador Llinares CiscarM." Victoria Sánchez García

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INDICE

Introducción

l. Creencias sobre las fracciones1.1. Las fracciones y el lenguaje cotidiano1.2. Tus creencias sobre las fracciones

1.2.t. Sí o no a las fracciones en la escuela1.2.2. Acerca del aprendizaje del concepto de fracción y el lugar que

deben ocupar en el curriculum ...1.2.3. Sobre los algoritmos de las operaciones con fracciones . . . .

1.3. Otras opiniones sobre las fracciones1.3.1. Las fracciones y su permanencia en los primeros niveles . . .1.3.2. Las fracciones y las nuevas tecnologías1.3.3. El proceso de enseñanza aprendizaje de las fracciones ]filas

operaciones con las fracciones.1.4. Nuestras creencias

2. Las fr¡cciones en l¡ escuel¡ 352.1. Las fracciones y las reformas curriculares ..... 36

2.1.1. Las fracciones €n los distintos curricula antes de la instaura-ción de la EGB 36

2.1.2. Las fracciones en la EGB. 47

3. Las fracciones; rliferentes interpretaciones ....3.1. La existencia de diferentes interpretaciones de las fracciones ......3.2. La relación parte-todo y la medida

3.2.1. Representaciones continuas y discretas3.2.2. Decimales3.2.3. Las fracciones como puntos sobre la recta numérica . . . . . .

3.3. Las fracviones como cociente3.3.1. Diüsión indicada. Reparto3.3.2. Las fracciones como elementos de una estructura algebraica

l3

t718202l

2222242429

3033

515255565959636367

3.4. Las fracciones como raz6n .3.4.L. La probabil idad ....3.4.2. Los porcentajes . . . .

3.5. Las fracciones y los operadores ..3.6. Una visión global de las fracciones

3.ó.1. Relaciones entre las distintas interpretaciones . . ..3.6.2. Papel destacado de la relación parte-todo

La relación parte-todo y las fracciones ....4.1. Introducción

4.1.1. Los atributos de la relación parte-todo4.1.2. Los contextos de la relación parte-todo4.1.3. La relación parte-todo como generadora del lenguaje y sím-

bolos .4.1.4. La relación parte-todo y el conocimiento informal de los niños.

4.2. Relaciones entre situaciones concretas, descripción de situaciones,modelos y símbolos

4.3. El trabajo inicial con la relación parte-todo4.3.1. Introducción4-3-2- El tamañode launidad . . . . . . . !s4.3.3. Situaciones en las que la idea de fracción no es aplicable .4.3.4. Dos direcciones ... .4.3.5. Una recapitulación .

4.4. Una secuencia para la enseñanza del concepto de fracción4.4.1- Diferentes nociones en el concepto de fracción4.4.2. Una primera aproximación4.4.3. Las primeras traslaciones entre las representaciones. El pa-

pel de las fracciones unitarias4.4.4. La forma escrita de la relación parte-todo: las fracciones . .4.4.5- Los diagramas y la forma escrita .4.4.6. El problema de las citas perceptuales4.4.7. Las fracciones unitarias, el contar y las operaciones con

fracciones4.4.8. La utilización de otros concretos 1094.4.9. Los contextos discretos 1104.4.10. Larectanumérica . . . . . i . l t4

Varios nombres para la misma relación. La idea de equivalencia .. 116La comparación de fracciones. La idea de orden . 125

Las operaciones con fracciones. Los algoritmos 1315.1. Introducción 1325.2. Las interpretaciones del concepto fracción y las operaciones ...... 134

5.2.1. Unapanorámica ... 1375.3. Algunas cuestiones 138

5.3.1. El manejo de los algoritmos y la resolución de problemas 1385.3.2. Los algoritmos y el trabajo previo con las relaciones algebrai-

cas . . . l4 l

6. Errores y estimación6.1. Introducción6.2. El proceso interactivo en la enseñanza y la observación de errores6.3. Errores en las fracciones6.4. Algunos ejemplos típicos de errores con las fracciones

6.4.I. Errores en la noción de equivalencia de fracciones6.4.2. Errores en la adición y sustracción de fracciones6.4.3. Errores en la multiplicación y la división

6.5. Estimación

Referencias

677l7l72757577

5.4.5.5.5.6.

La suma y resta de fraccionesLa multiplicación de fracciones

t4lt45151La división de fracciones

79808082

4.

155155155r58159159r60r62t64

t678384

87898992939495969698

100101t02105

106

4.5.4.6.

5.

l ll0

INTRODUCCION

Al abordar un tema tan conocido y a la oez tan complejo como el de las

fracciones, hemos querido conjugar dos aspectos. Por un lado, pretendemos quelasfracciones se asocien a situaciones, que signiJiquen algo para el alumno, quesepa utilizarlas, relacionarlas y aplicarlas.

Sin embargo, no podemos oluidar que las Matemáticas son un arte. Y bajoeste segundo aspecto, queremos iniciar a los jóuenes alumnos en la <poesía> delas fracciones. De la misma manera que el buen conocedor del lenguaje utilizalas palabras para expresarse poéticamente, que el músico utiliza los sonidoscombinándolos de forma armoniosd, que el pintor juega con los colores, debe-mos enseñar a los alumnos a relacionar las ideas matemáticas para conseguirun todo qrmonioso. Sólo así podrún apreciar la uerdadera esencia de lasMatemáticas. "fi'

La idea de fracción aparece a partir de situaciones en que está implícita larelación parte-todo. Esta relación es una de las posibles interpretaciones de la

fracción.Pero, por otro lado, también podemos representar mediante una fracción

situaciones en las que está implícita una relación parte-parte (o todo-todo),que nos lleuan a una interpretación de la fracción como razón.

Aun existen otras interpretaciones de las fracciones: operador, cociente dedos números, etc. El constructo teórico que sintetiza todas ellas constituye elnúmero racional.

Hay, por tanto, un largo camino que recorrer entre las primeras ideasintuitiuas de <mitades> y <<tercios¡> hastq la consideración de las fraccionescomo elementos integrantes de unq estructuro algebraíca.

Siendo consciente de la necesidad de elegir correctamente el punto departidq para el inicio del trabajo en cualquier noción matemótica, centramosnuestra atención sobre la interpretación parte-todo, que es) de alguna menera,el origen de las demás interpretaciones.

t3

Resaltamos algunas características del proceso enseñqnza-aprendizaje quecreemos de interés. Entre ellas está la necesidad de desarrollar un lenguaje desímbolos que sea coherente con el conocimiento intuitiuo, a traués de la poten-ciación de un <estilo de enseñqnzat4 que incorpore lqs oportunidades apropia-das para que los niños puedan discitir=op-inar con sus propios compañeros ocon el profesor,

El motiuo de esto es, por una parte, ayudar a hacer conscientes a los niñosdel uso de sus propias estrategias y fauorecer la autocorrección de dichasestrategias cuando no sean las idóneas para una situación determinada.

Por otra parte, creemos que un factor importante en la formación de losconceptos (en el aprendizaje en general) lo constituye el desarrollo del lenguaje(forma oral de los <<objetos> que se manejan en lqs situaciones) uinculqdo a lasnociones con las que estamos trabajando.

Otra característica que queremos destacar es que las ideqs de los profesoresen relación a su papel como tales, su concepción sobre el aprendizaje de losniños, sobre las Matemáticas como ciencia y como disciplina escolar, susopiniones en general y el contexto en el que todo esto está inmerso, actúancomo t<Jiltros> modificando la traslación de la Teoría a su Práctica coü*diana.

El hacer que eslas ideas afloren de alguna manera puede ayudar a raciona-lizar un proceso tan complejo como el de la actiuidod docente.

Así, en el primer capítulo se reflexiona sobre la propia actuación cuando seenseñan fracciones, sobre las ideas que cada profesor tiene respecto a las

fracciones y sobre su proceso de enseñanza aprendizaje, con el fin de llegar aser conscientes de las opiniones personales.

Las opiniones de <otros> ayudan a ampliar perspectiuas en relación al temay pueden ser útiles al ser contrqstadas con las de uno mismo.

Siguiendo cen esta línea, en el capítulo 2 hacemos un repqso descriptiuo ysomero de la trayectoria de las fracciones en nuestros currículos escolares enlos últimos años, de la que esperamos que cada uno saque sus propias reflexio-nes.

El hecho de que la idea de fracción esté uinculada a distintas situacionesnos lleua a intentar describirlas. Es necesario conocer los distintos aspectosbajo los que puede aparecer la idea de fracción a la hora de plantearnos suenseñanza. Este es el motiuo por el que en el capítulo 3 damos una descripciónde algunas de ellas. Un objetiuo a largo plazo del proceso de enseñanza delnúmero racional lo constituye la integración de todas estas interpretaciones.

La elección de comenzar desde un punto intuitiao el desarrollo de lasnociones que constituirán la red de relaciones integrantes del constructo núme.ro racional nos lleua a desarrollar detenidamente la relación parte-todo en elcapítulo cuqrto.

A continuación, en el capítulo cinco discutimos la problemáiica que presen-ta la introducción de las operaciones con fracciones y sus algoritmos.

t4

El aceptar que los niños construyen su conocimiento, combinando la infor-mación nueua con sus experiencias preuias, hace que consideremos los erroresdesde una perspectiua distinfa a la contemplada hasta ahora. Algunas estrate-gias erróneas se oen como feniendo en (germen, los procedimientos correctos.

El conocímiento de los procedimientos que utilizan los niños al resoluer swtqreqs permite hacer inferencias sobre el proceso de aprendizaje. En el capítuloseis se comentan algunas de estas ideas.

Nos gustaría que estas páginas siruan como marco de discusión en un temntqn controvertido como la enseñanza inicial de las fracciones. Si conseguimosque se tome conciencia de las propias creencias sobre estas ideas, que seinlercambien, rompiendo el tradicional hermetismo en que se ue enuueho nues-tro trabajo docente, y siendo capaces de hacer de ellas un cauce de discusióncon nuestros compañeros, pensamos que nuestro trabajo habrá merecido lapena.

Para Jinalizar, queremos expresar nuestro agradecimienlo a todos aquellaspersonas que, de una forma o de otra, han inJluido en nosotros, desde lasdiferentes promociones de alumnos de la Escuela Uniuersitaria de Magisteriode Seuilla, hasta nuestrq relación con profesores con experiencia, como Marga-rita Garrudo, José Antonio Riuero, Laura Drake y Rosario Mora. Asimismoagradecemos a nuestros compañeros Carmen Pereda, Luis Rico y Luis Puig lassugerencias y comenlarios realizados q este texto.

SR¡-vnoon LUN¡,nrsM. Vrcronr¡, SÁNcnnz

15

1.Creencias sobre

las fracciones

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1.1. LAS FRACCIONES Y EL LEGUAJE COTIDIANO

Una de las primeras circunstancias que hay que tener en cuenta alcomenzar a tratar un tema matemático es el hecho de que los conceptos quevamos a desarrollar pueden estar vinculados a un lenguaje cotidiano, utiliza-do por las personas en general. Este lenguaje o <vocabulario> a veces puedeestar identihcado más o menos estrechamente con la noción matemática y aveces no. Por tanto, debemos considerar que, en la mayoría de las ocasiones,las palabras que se van a utilizar no están desprovistas de signiflrcado ni paralos niños, ni para los adultos.

De una forma u otra, el alumno está influenciado por el uso que de ellasse hace en la vida cotidiana. En nuestro caso particular, la palabra fibcciónforma parte de un vocabulario relativamente familiar. Pero, ¿qué significafracción?

El diccionario ya separa en su significado dos acepciones bien diferencia-das. Aclarado su origen (del Latín fractio, romper), por un lado se nospresenta como <la división de un todo en sus partes) o <las partes de untodo>. Po otro lado, dentro de los significados propios de la Aritmética,aparecen acepciones tales como <número quebrado>, <expresión que indicauna división que no puede efectuarse), etc.

Si formulamos la pregunta anterior a personas de escasa formaciónmatemática, la idea de división de un todo en partes prevalece sobre lasotras, siendo frecuente también asociarla con quebrado, algo que se recuerdade la infancia unido a cálculos interminables.

Sin embargo, al escuchar las conversaciones de los niños dentro y fuerade la clase, se aprecia que utilizan espontáneamente expresiones en las queaparecen las fracciones. Frecuentemente, los niños de la escuela elementalutilizan determinadas fracciones al expresarse verbalmente. Ahora bien, aun-que el niño pueda oír y usar expresiones tales como, por ejemplo, medio dia,eso no significa que piense necesariamente en la mitad de un día con relacióna un día completo.

Lo mismo sucede cuando habla de una botella de medio litro. Quizá laúnica relación que puede establecer con la de un litro es que es más pequeña.Si el término lo utiliza para pedir <dame la mitad de tu pastel>), seguramenteel énfasis del signihcado lo esté poniendo en que las dos mitades seanexactamente iguales.

18

En el caso de las fracciones el uso cotidiano se restringe en realidad amuy pocas: un medio, un tercio, un cuarto y tres cuartos principalmente; dostercios, un quinto, un octavo, mucho menos. El campo de aplicación de cadauno de ellas se va reduciendo considerablemente, salvo un medio, que tieneun uso casi universal y aparece auiomáticamente en prácticamente todas lassituaciones cuantifrcables, e incluso como una primera estimación a unacantidad: media entrada, a mitad del camino, etc.

Por tanto, hemos de tener presente que, asociada a contextos tan diver-sos como pueden ser las unidades del Sistema Métrico Decimal (medio kilo,tres cuartos de litro, etc.), períodos temporales (un cuarto de hora, mediahora, etc.), situaciones de reparto o descuento (la tercera parte de la ganan-

cia, rebajado un veinte por ciento), o bien como parte de la herencia cultural(una octava en Música, los Tercios de Flandes, en Historia, etc.) (APMA,

1984), los alumnos, para bien o para mal, ya han utilizado o simplementeoído las palabras de las que ahora, desde una vertiente matemática, nosotrosles vamos a hablar.

000/

UN ÍERCIO

t9

I.2. TUS CREENCIAS SOBRE LAS FRACCIONES

En el apartado anterior hemos visto que las palabras que vamos autilizar y los conceptos que vamos a introducir son <conocidos> por nues-tros alumnos de una u otra forma. Nosotros mismos damos un significado ala noción de fracción y hacemos un uso de ella en nuestra vida cotidiana quequizá no tiene un posterior reflejo en los aspectos de enseñanza.En ocasio-nes, al tratar estas nociones en la escuela, las vemos desde una vertienteestrictamente matemática, menospreciando otros aspectos.

Llegados a este punto, puede ser conveniente plantearnos a nivel perso-nal si somos conscientes no sólo del signilicado que damos a la palabra, sinotambién a los temas que vamos a tratar y de cuál es nuestra opinión sobreellos.

Muchas veces hemos observado cómo una misma información es inter-pretada de muy distintas maneras por personas de ideologías diferentes.Parece lógico, entonces, que en un proceso tan complejo como el que sedesarrolla en una clase las teorías subjetivas del profesor, sus actitudes,creencias y expectativas, juegen un papel relevante.

Esta influencia del pensamiento del profesor es de estudio reciente (Vr-nln ANcuro, L. M., 1986) (MmcELo, C., 1987). Siempre se habían conside-rado factores que podríamos denominar ambientales (esctructuras ejecutivas

20

y organizadoras del sistema escolar, tipos de escuela, nivel de los compañe-ros, condiciones de trabajo, etc.) (Orrn, 1979) en el estudio del proceso deenseñanza-aprendizaje.

Hoy día se da también especial relieve a lo que piensa un profesor sobresu propia actuación como profesor de Matemáticas, sobre las Matemáticasen general (y en nuestro caso, sobre las fracciones), su opinión sobre elproceso de enseñanza-aprendizaje, etc., ya que de alguna manera estas ideasactúan como un filtro a la hora de transformar la información teórica enrecursos prácticos (Bnounann y Bnornv, 1986).

En el caso de un concepto que organiza los conocimientos cuyo uso eincidencia en su medio social es significativo, las ideas del profesor condi-cionan sus decisiones, tanto en relación al contenido, como a su selección,planificación y en la evaluación del proceso.

¿Nos hemos parado a pensar cuáles son nuestras creencias acerca de lasfracciones? Quizá, llegados a este punto, sea conveniente plantearnos algu-nas preguntas sobre ellas. Probablemente, muchos de nosotros nos las haya-mos hecho alguna vez, por ejemplo, al preparar nuestras clases, pero esposible también que sea la primera vez que nos las formulemos.

En cualquier caso, te pedimos que pienses sobre ellas. O mejor, queescribas tus respuestas a las cuestiones que te vamos a plantear a continua-ción. Puede ser de utilidad conservarlas y volver sobre ellas cuando lalectura de este libro haya concluido. Tanto si se mantienen tus opiniones,como si se produce algún cambio, creemos que te servirá para entendermejor tus propias decisiones.

El hacer surgir nuestras propias concepciones como profesores es de vitalimportancia para poder maximizar el resultado de las conexión entre laTeoría y la Práctica cotidiana. Proporcionar las razones que expliquen tantolas decisiones tomadas en relación a la enseñanza, el aprendizaje y el conteni-do que vamos a trataÍ, como el camino seguido para tomar estas decisionesy no otras, puede ayudarnos a ser profesionales reflexivos y no simplestransmisores de las ideas de otros.

La serie de cuestiones indicativas que vamos a presentar está dividida entres grupos. Las del primer grupo se referirán a las fracciones y la utilidad ono de su enseñanza en la escuela, las del segundo a lo que significa aprenderel concepto de fracción y el lugar que deben ocupar las fracciones en elcurrículum, y las del'ultimo grupo a la valoración que damos al aprendizajede las operaciones con fracciones.

1.2.1. SÍ o no a las fracciones en Ia escuela

Quizá a veces te has planteado el por qué tienes que enseñar fracciones alos niños. O, a lo mejor, piensas que éste no es tu problema, ya que el

0

2r

contenido de los programas escolares está lijado en los planes de estudio.Pero, ¿te has parado a considerar qué es lo que se pretende con su enseñan-za? ¿Crees que la raz6n para enseñarlas es que son útiles en la vida cotidia-na? ¿O quizá su interés reside en que son necesarias para otros contenidosescolares? ¿Condicionan estas opiniones el contenido que vas a explicar? ¿Dequé forma la metodología que empleas en clase para tratar estos contenidosrefleja tus ideas?

Otro aspecto que a veces nos preocupa es lo que debemos enseñar sobrelas fracciones. ¿Qué es lo básico? ¿Hay que añadir algo a lo que viene en loslibros de texto que usas? ¿Por qué? ¿O quizá éstos no tienen en cuenta lascaracterísticas de tus alumnos y ofrecen demasiado contenido, de forma queno sólo no hay que añadir, sino que debes reducirlo?

Por otro lado la aparición de las calculadoras y su notación decimal¿crees que afecta de alguna manera a la enseñanza de las fracciones? ¿Puedenllegar a hacerla innecesarla? ¿O, por el contrario, hacen más necesario el queel énfasis se ponga en la comprensión de los conceptos y no en el tratamientoalgorítmico?

1.2.2. Acerca del aprendizaje del concepto de fracción '3'

y el lugar que debe ocupar en el currlculo

Vamos a plantearnos ahora algunas preguntas que pueden surgir cuandovamos a enseñar las fracciones. ¿Piensas que plantean problemas de aprendi-zaje a los niños? Estos problemas, si crees que existen, ¿son de la mismaíndole de los que te encuentras en otros conceptos matemáticos? ¿Has tenidoen cuenta que las fracciones pueden tener interpretaciones diferentes? ¿Creesque su uso es complicado? ¿Crees que las dificultades de manejo por parte delos niños obedecen a que deberían enseñarseles de forma distinta? ¿Te hasplanteado que algunas veces utilizamos las fracciones para representar situa-ciones distintas, como por ejemplo <quedaba un tercio de tartar (descripciónde una situación) o <<dame un cuarto de tarta> (descripción de una acción)?

A lo mejor consideras que su <lugar> en el currículo no es apropiado, yque deberían cambiarse a otros cursos. ¿Anteriores o posteriores? ¿Por qué?Quizá piensas que esto estará en función de los conocimientos previos que elniño necesite. ¿Qué nociones crees que son básicas? ¿Qué destrezas hay quemanejar para poder introducir las fracciones?

1.2.3. Sobre los algoritmos de las operacionescon fracciones

Vamos a cuestionarnos ahora aspectos relacionados con las operacionescon fracciones. ¿Crees que los niños identifrcan la noción de operación con

22

fracciones en las situaciones cotidianas? ¿Crees que los niños utilizan losalgoritmos relativos a las operaciones con las fracciones en las situacionescotidianas? ¿Qué relación existe entre el algoritmo que puedo enseñar en laescuela y el proceso personal que un niño utiliza ante una situación similar,planteada fuera de ella? ¿Te has planteado alguna vezlarelación entre 1/3 xll2 y la situación: <Había media tarta y me he comido una tercera parte>?

¿Piensas que es necesario mantener la enseñanza de los algoritmos de lasoperaciones con fracciones vinculada a situaciones concretas? ¿O crees queesta enseñanza debe pertenecer a un nivel superior, más abstracto (desvincu-lado de las situaciones concretasf O, por otra parte, ¿es realmente útilenseñar los algoritmos de las operaciones con fracciones en la escuela? ¿Nosería más operativo pasar las fracciones a números decimales y utilizar lacalculadora para realizar los cálculos?

Por otro lado, a lo mejor has observado durante el proceso de aprendiza-je que los niños cometen errores ante problemas de la misma estructura.Estos errores ¿son comunes a varios niños? ¿O bien, hay algún niño enparticular que repite algún procedimiento erróneo de forma sistemática? ¿Aqué pueden ser debido estos errores o el uso de estos procedimientos erró-neos? ¿Cómo y cuándo los has detectado? Cuando los has detectado ¿quéexplicación les has dado? Esta explicación, si ha existido, ¿ha influido en elenfoque posterior de las mismas cuestiones? ¿Los has tenido en cuenta a lahora de continuar el proceso de enseñanza?

El modo de responder a las preguntas anteriores depende en parte denuestras creencias. Es evidente que el procesamiento de información que elprofesor realiza a la hora de tomar sus decisiones, su forma de pensar, susopiniones, influyen de forma decisiva a la hora de plantearse el proceso deenseñanza aprendizaje, y en la puesta en marcha de unas <rutinas> decomportamiento que marcan su actuación.

De hecho, nuestras propias creencias han influido a la hora de plantearestas preguntas. Las creencias afectan no sólo al contenido que selecciona-mos para una clase, sino también a lo que hacemos al darla y al evaluarla, yal tipo de aprendizaje que en ella se produce. Pensamos que, en ciertosaspectos su influencia es mucho mayor que el conocimiento de técnicaso planteamientos especílicos, por acertados que éstos sean en el plano teó-rico.

Por tanto, es importante conocer nuestras propias creencias sobre cadaaspecto de la enseñanza, pafa que la dinámica de renovación y mejora delproceso no se quede anquilosada. Y, una vez conocidas, hay que buscaroportunidades (reuniones, seminarios, centros de profesores, etc.) para poderintercambiarlas con otros compañeros. El confrontar opiniones puede ayu-dar a justificar y a aclarar pensamientos distintos y enfoques dispares para

los mismos temas.

I,!N IVf RSiDAO DISTRi.TALrnniilriiir iost DÉ cAtDAs 23

0q0

I.3. OTRAS OPINIONES SOBRE LAS FRACCIONES

Una vez que has respondido a las preguntas formuladas en el apartadoanterior, con respuestas que serán probablemente diferentes en otros compa-ñeros, nos parece interesante presentar las opiniones de algunos autoressobre las fracciones, ya que el conocerlas puede ser útil para rcforzar, cam-biar, o clarificar nuestras propias opiniones, o ser motivo para la polémica.

Esta revisión no va a ser en ninguna forma exhaustiva, sino que noslimitaremos a algunas opiniones que nos parecen más relevantes y represen-tativas.

1.3.1. Las fracciones y su permanencia en los primeros niveles

La aparición de los primeros conceptos fraccionarios no es reciente nimucho menos en la Historia de las Matemáticas. El conocimiento de sutrayectoria, desde los babilonios y los egipcios hasta nuestros dias, puedeayudarnos a comprenderlas mejor y ser una fuente de motivación en suestudio. Sin embargo, una revisión histórica de las fracciones está fuera delos fines planteados en este libro (una excelente revisión histórica es larealizada en Nnwu¿.N, J., El mundo de las Matematicas, Ed. Grijalbo).

Reconociendo la importancia objetiva de las fracciones, 1o que aquí nosocupa es si deben considerarse o no como parte del currículum escolar y aqué nivel. Las reformas sociales, que han conducido a una mayor escolariza-

24

ción infantil hasta llegar a la obligatoriedad actual, la gran cantidad de

materias a trataÍ, el fracaso escolar, y otros motivos, han llevado a reformas

curriculares en las que se ha cuestionado la necesidad de la enseñanza de los

conceptos relacionados con las fracciones y, sobre todo, de sus algoritmos,

cn los primeros niveles.Ahora bien, la decisión de si las fracciones deben permanecer o suprimir-

se en la escuela elemental, no puede tomarse aisladamente, sino que depende

directamente de los criterios que guien la elección del currículum para losprimeros niveles. Si estos criterios son puramente prácticos y atienden exclu-

sivamente a las necesidades de la sociedad, entonces algunos autores cuestio-nan la permanencia de las fracciones.

Ya en 1937 WnsoN y Dlrnvure (citados por Frv, 1980) llevaron a cabo

una investigación sobre los usos sociales y comerciales de las fracciones. Apartir de la tabulación de la frecuencia con que se utilizaban las fraccionespor distintas personas en su trabajo, concluyeron que <la necesidad de

manejar con soltura las fracciones en la vida ordinaria se limita a las

mitades, tercios, cuartos, doceavos,... la resta de fracciones se presenta rara-

mente... la división no aparece casi nunca...>r. En consecuencia, sugirieron que

podría reducirse enormemente la enseñanza de las fracciones en la escuela.Con la implantación paulatina del Sistema Métrico Decimal en los países

anglosajones, la polémica acerca de la conveniencia o no de enseñar fraccio-

nes en los primeros niveles se ha agudizado. El argumento de su poca

utilidad práctica, y que en el Sistema Métrico Decimal las unidades métricas

requieren fracciones decimales, pero no ordinarias, se cuenta entre los más

frecuentes utilizados por los que dehenden que deben ser suprimidas o

reducidas en gran medida. Sirva como ejemplo el hecho, cada vez más usual

de sustituir un tercio por 0,33 o 0,32 cl en la gran mayoría de latas de cervezay refrescos. Algunos llegan a afirmar que permanecen en el currículo escolarpor inercia y no por necesidad real.

Curiosamente, el argumento de la poca utilización de las fracciones por

parte de niños y adultos, es el hecho en el que se apoyan otros para mantener

su permanencia: si no son comprendidas, ¿cómo van a ser utilizadas?El periodista, el político, el estadístico, etc. prefteren utilizar expresiones

como <dos de cada tres personas> o <cinco de cada cien> en lugat de 213 o

del 5 oA. ¿Nos será esto quizá debido a que pretenden ser entendidos por

mayor número de personas? Una mejor enseñanza del concepto de fracción

haría aumentar inmediatamente su utilización en la vida cotidiana.Pero, como habíamos señalado anteriormente, pueden ser otros criterios,

distintos de las necesidades sociales, los que se sigan a la hora de seleccionar

el contenido matemático. Así, podemos considerar si las fracciones son

básicas para el posterior desarrollo de otros contenidos matemáticos (o de

otras disciplinas), o simplemente, si las debemos considerar como conoci-

mientos de cultura general.

25

Por otro lado, la constatación del bajo entendimiento conceptual y lapoca destreza computacional con fracciones, lleva a cuestionarse el nivelapropiado para su enseñanza. A este respecto, FnnuNonNrHAL (1973)llega adecir que <das fracciones complicadas y las operaciones con ellas son inven-ciones del maestro que sólo pueden entenderse a nivel superiou.

Mención aparte merece la perspectiva que nos presenta VAN HInrn.Vamos a extendernos algo más en ella, porque su trabajo aporta críticas yalternativas a las fracciones y a las operaciones con ellas que son interesantesde considerar.

Una de las razones que se muestran para apoyar la permanencia delcálculo con fracciones en la enseñanza elemental es el uso que de él se hace altrabajar las proporciones (igualdad de dos razones expresadas en forma defracción). Bajo esta perspectiva, el tratamiento de la proporción va asociadoal tratamiento algorítmico de las fracciones, con las dihcultades que conllevael que el denominador no pueda ser cero. Pues bien, este autor sugiere quemediante la construcción de lo que él llama una <matriz proporción> sepueden trabajar las proporciones sin utilizar el cálculo de fracciones.

La matriz proporción se forma a partir de una primera fila de números,excluido el cero; lás filas sucesivas se obtienen multiplicando la primeih pordistintos números.

Esta matriz asi formada cumple las siguientes propiedades:

- cualquier matriz de proporción se transforma en otra si se inter-cambian filas por columnas;

- una fila se puede obtener a partir de otra multiplicando por un ciertonúmero;

- si consideramos cuatro elementos de forma tal que ocupen los vérticesde un rectángulo, el producto de los elementos pertenecientes a unadiagonal es igual al producto de los pertenecientes a la otra;

-cada matriz proporción se puede ampliar con nuevas filas o columnascon la condición de que sean combinación lineal de las anteriores.

Para aclarar el uso de estas matrices proporción consideremos el siguien-te ejemplo: Supongamos que queremos elaborar un pastel, y la receta nosviene dada de la siguiente forma:

Brzcocno A LA CREMA. Ingredientes para cuatro personas:

- 12 bizcochos,- 6 yemas de huevo,- 250 cc de leche,-90 g de azicar;

¿qué sucede si el número de personas es mayor o menor que cuatro? Esta

situación podríamos expresarla por medio de la siguiente tabla:

Personas

Bizcochos 6121824

lo que expresado en forma de matriz sería

Si ampliamos los datos, considerando el total de los ingredientes

Personas 8 . . .

(246 8 \\6 Lz 18 24 . . )

BizcochosYemas de huevo

LecheLzicar

llegamos a

61236

125 2504s 90

18 24912

37s 500135 180

¡ 2 4 6 8 " '1I e t2 18 24 . . . \

l : 6 s 12 I\ 125 2s0 37s 500 /\ +s 90 13s 180 . . . 1

Es evidente que esta matriz se puede ampliar tanto en filas (añadiendonuevos ingredientes) como en columnas (aumentando el número de comen-sales). También se puede comprobar sin difrcultad que cumple las propieda-des antes citadas.

¿Cómo obtendríamos ahora los ingredientes para doce personas? Basta-ría multiplicar por un número alguna de las columnas precedentes. Tambiénpodríamos sin difrcultad reconstruir nuestra receta si hubiésemos perdidoparte de los datos correspondientes a un determinado número de personas,encontrar dos números conocida su razón y su producto (o su razón y susuma) y, en general resolver todos los casos de cálculo de proporcionesaplicando a nuestra matriz sus propiedades (VlN HInLE, P.' 1986).

No vamos a extendernos en el tratamiento de las proporciones a partirde estas matrices, porque evidentemente se sale del tema específico que

2627

estamos considerando, pero de este planteamiento surge una pregunta, que elmismo autor se formula y que a nosotros nos afecta directamente: Si lasproporciones se pueden trabajar-sin necesidad de utilizar las fracciones(uno de los motivos clásicos que justihcaban su permanencia en el currícu-lum escolar), ¿se puede prescindir de éstas? ¿Cuál es la aplicación práctica desus algoritmos?

Si las fracciones de uso cotidiano son muy reducidas y las decimales sepresentan con notación decimal, lo que lleva al uso de los algoritmos con losdecimales, ¿es necesario calcular con fracciones? V¡,N Htelc añade que quizádebamos encaminar nuestros esfuerzos a buscar alguna forma de simplificareste cálculo, y propone, apoyándose en un planteamiento axiomático, lasustitución de alb por a'b-t.

Ahora bien, estos planteamientos, serían válidos para alumnos de segun-da enseñanza, que hubiesen alcanzado un nivel cognoscitivo adecuado. Pero,si aceptamos esto en la segunda etapa, lo que se cuestiona entonces es supermanencia en la primera.

El mismo autor señala como ventajas en su su presión el hecho derenunciar a técnicas aisladas dentro de las Matemáticas, las ventajas deexpresarse en productos en lugar de cocientes y otras como la valoración delconcepto de grupo, aportando las bases para una visión global estructuradade las Matemáticas, y la preparación para la posterior introducción deexponentes negativos.

Entre los mayores inconvenientes a este planteamiento, el mismo autorseñala el de romper nuestra propia costumbre, la resistencia al cambio y querealmente no se ha intentado todavía de forma generalizada, por lo que no seconocen bien todas las implicaciones que acarrearia una decisión de estetipo. En cualquier caso, esta postura merece tenerse en cuenta y no serolvidada para el futuro.

Por otra parte, algunos autores (Jov, R., 1981; Cnnn, J., 1981) dehendenla permanencia de las fracciones apoyándose en que las operaciones como lamultiplicación y división de decimales sólo podrían entenderse correcta-mente si se saben las correspondientes operaciones con fracciones. Otrosconsideran que las fracciones son esenciales como factores de comparación,es decir, números utilizados para establecer cómo se comparan dos cantida-des. Las personas que conocieran sólo los números naturales verían limitadosu vocabulario a afrrmar, por ejemplo, <he tardado tres veces más que tú enhacer un trabajo> y no serían capaces de formular la proposición inversa.Estas características se aprecian aún más claramente en la siguiente frase,<las naranjas cuestan ahora dos veces y media rhas que hace cinco años>.

También conviene hacer una reflexión desde la perspectiva de los cuatroprincipios de enseñanza de las Matemáticas formulados por DtnNns (DmNns,2., l97O). La aplicación de su principio de variabilidad matemática lleva aque, si queremos mantener la enseñanza de las fracciones decimales en la

28

introducción del número decimal, para que sean bien entendidas pornuestros alumnos es necesario que tomen conciencia de la existencia de otrasfracciones, de las que la decimal es un caso particular. Esto sería análogo a lanecesidad de presentar distintas bases de los sistemas de numeración.

Otros autores (!ftF_n¡N_r 19751.v,99.e-a -taq tra,_qcio*ggs tln*fgI,(gtgglg,paralas relaciones alsebraicas poteriores, v consideran que la comprensión de losnúmeros ráóiónIl"s éb'básica párá el'desarroilo y control"de ias iá-eas mate-máticas. Al utilizar estos números los niños deben ser conscientes de laiqüivatencia de fracciones, manejar una operación suma compleja, más axio-mática que intuitiva, considerar que la relación entre suma y producto no sepresenta de forma natural y trabajar la fracción inversa, por lo que losproblemas de tipo algebraico que se presentan son evidentes.

Por último existen opiniones que consideran que las fracciones son partede nuestro bagaje cultural y que no sería lógico restringir los conocimientosde las generaciones futuras respecto de las presentes (Cenrn, J., 1981).

Hemos tratado de recoger opiniones sobre si deben o no permanecer lasfracciones (concepto u operaciones, o las dos cosas) en el currículum elemen-tal. Evidentemente, su tratamiento está estrechamente vinculado a las ideasque se tengan sobre el proceso de enseñanza aprendizaje.

1.3.2. Las fracciones y las nuevas tecnologfas

El desarrollo espectacular de los ordenadores, acompañado de la mayoraccesibilidad que se tiene en la actualidad a las calculadoras personales, estámodilicando profundamente diversos aspectos de la enseñanza de todas lasdisciplinas y muy particularmente de las Matemáticas.

Tradicionalmente, los currículos de Matemáticas en los niveles elementa-les ponían mucho énfasis en el desarrollo de un gran número de procedi-mientos mecánicos y rutinarios, en particular, de los algoritmos de cálculo dela Aritmética.

En el presente, con la llegada de las calculadoras, la eficacia y rapidez decálculo de los alumnos, y en general de los seres humanos, ha perdido granparte de su valor. Esto debe implicar una disminución en el tiempo que sededica a la práctica algoritmica, especialmente de expresiones complicadas,empleándolo en profundizar en los conceptos, en incluir temas hasta ahorano considerados y en desarrollar destrezas de un nivel cognitivo más alto,como puede ser el cálculo aproximado, la estimación, etc.

Así pues, el centro de interés se desplaza hacia una mejor comprensión delos conceptos y del significado de las operaciones, siendo menos importanteel desarrollo de destrezas para grandes cálculos.

En el caso concreto de las fracciones, la mayoría de las calculadorasmuestran sus resultados en notación decimal, lo que se ha traducido en una

29

reducción aún mayor del uso de las fracciones en cálculos prácticos. Este selimita casi exclusivamente a fracciones sencillas, como rnaáior, cuartos, etc.En este contexto, algunos autores consideran que en un nivel elemental sedebería realizar un menor trabajo numérico con fracciones, insistiendo másen la comprensión de su uso y en establecer una conexión sólida entre lasfracciones pequeñas y su equivalente decimal (Dónrlnn y McLoNn, l9g6).

Estos puntos de vista no deben tomarse en una forma absoluta. Es dificilp-redecir el papel que en el futuro jugarán las fracciones y las operaciones conellas. Evidentemente, el profesor debe ser consciente dé las pósibilidades detoda clase que le ofrece la calculadora, pero también debe prever los efectosadversos que su uso pueda provocar. No obstante, la recienie aparición en elmercado de calculadoras personales que realizan operaciones aigebraicas deun modo simbólico ha hecho cambiar las perspectivas respecto a las de haceunos años, dejando abierto un interrogante acerca del papel que con lasnuevas tecnologías corresponderá jugar a las fracciones.

1.3.3. El proceso de enseñanza-aprendizaje de las fraccionesy de las operaciones con fracciones t,

Todos somos conscientes de las dificultades que presenta para los niñosel aprendizaje de las fracciones, sobre todo en los niveles elementales. Estasdificultades, que abarcan tanto la comprensión conceptual como la destrezade cálculo, han sido constatadas por numerosos investigadores de distintospaíses. Ello ha motivado la realizaci(tn de estudios que tratan de detectar elorigen de las dificultades para, a partir de su conocimiento, proponer solu-ciones, buscando aproximaciones alternativas para la enseñanza de las frac-ciones (Suvoau, 1979).

Sin tratar de hacer una descripción detallada de cada una de las opinio-nes, investigaciones, etc., nosotros pensamos que es conveniente señalar aquíalgunas de ellas. La falta de una visión pluralista en algunos manuales quenosotros hemos estudiado nos han privado muchas veces de ser conscientesde que sobre un tema puede haber variadas opiniones.

Según señala PrvNn (1976) en las investigaciones relativas a la enseñanza-aprendizaje de las fracciones realizadas en la decada de los sesenta y setentase pueden distinguir dos períodos: En un primer momento, el énfasis de los tra-bajos se centra en ((comparar y analizar las ventajas e inconvenientes de los al-goritmos de las operaciones con fracciones>. Para ello se estudiaban diferentesaproximaciones a la enseñanza de dichos algoritmos, que facilitan su com-prensión-manejo a través de diagramas, materiales manipulativos, etc.

En un segundo período el interés de las investigaciones se traslada a quées lo que los niños aprenden cuando las secuencias de enseñanza son desa-rrolladas minuciosamente.

30

Por otra parte, M. Gouuno (1964) ya atribuye las dificultades con lasfracciones a la falta de experiencia con las mismas señalando que la diversi-dad de puntos de vista es esencial en su estudio a un nivel elemental, ya quesu introducción de una forma única lleva a un conocimiento atrofiado.

Según lo anterior, la auténtica comprensión del concepto de fracción sólopuede alcanzarse mediante presentaciones plurales de dicho concepto. Estaes una de las razones que llevan a M. GourARD a defender las regletasCuisinaire, siguiendo los trabajos de GnrrncNo, como uno de los procedi-mientos a utilizar para la introducción de las fracciones.

Precisamente GtrrncNo puede considerarse un precursor en la idea deintroducir las fracciones considerándolas desde el principio como razones(vinculadas también a la idea de operador). El material Cuisinaire resultaespecialmente adecuado para este modo de proceder. El otro método tradi-cional de introducir las fracciones era el presentado por la relación partetodo, dividir un <todo> en partes y considerar algunas de ellas, lo que porotra parte parece ser la más intuitiva de las interpretaciones de la fracción.

La aproximación a las fracciones como operador ha sido desarrollada yestructurada dentro de su teoría general por DnNns. Este modo de procedertiene, como todos, sus defensores y detractores. Así, KEnsN (1975) escribe:<¿A qué conduqe centrarse en la interpretación de los números racionalescomo operadores? Esta noción lleva a la de multiplicación de racionales, yesto conduce a las propiedades de grupo. No lleva de forma natural aconsiderar los números racionales como medida, o a las actividades aditivasrelacionadas con ella, sino que debido a su base de raz6n conduce natural-mente a los axiomas de cuerpo. Así, la contribución primaria de la noción deoperador es algelraicu.

Por otro lado, otros autores centran su interés más en la equivalencia delas fracciones que en las fracciones propiamente dichas, para a partir de ahíformar las clases de equivalencia que conducen al número racional. Estainterpretación aún la podemos ver en muchos de nuestros manuales escola-res.

En la actualidad, parece ser una creencia bastante general la necesidad deproporcionar a los niños una adecuada experiencia con las muchas posiblesinterpretaciones de las fracciones si se quiere que lleguen a comprender elconcepto (KmnrN, 1976; SrnenrLAND, 1978). En particular es necesario in-corporar ciertos aspectos y características de las fracciones que no han sidoprácticamente considerados en la bibliografía hasta muy recientemente. En-tre ellos de deben incluir los aspectos que potencian el papel de las fraccionescomo razón, como transformación, como cociente de números naturales ensituaciones de reparto, su vinculación con los decimales, etc.

Una opinión que creemos debe ser conocida es la representada porFnsuNonNrulr (1973). Según él <los niños pueden trabajar intuitivamentecon fracciones intuitivas, siendo esta la razon por la que la introducción

i¿it

- J^tfY:l?lqRfl,TlÁ'$1's 3 I

intuit iva que tradicionalnrclrlc se lr¡rec tlc l i ts l i ' i tccirlttcs funcione excelente-

mente. Niños de cort¿r cda(l ¡rttedctt tcttcr óxito l l trabajar con medios,

cuartos, etc. Este éxito l lcva al lnlrcstlo ¿r unir l)t 'cnl¿ltura introducción de los

algoritmos y ahí es dondc crn¡"riezittt l t lpit l 'cuüt' los problemas>. El caso más

extremo 1o constituye la divisii l t, c¡rtc scgirtr cl citaclo autor, dentro de la

Aritmética elemental no es natla inttt it ivlt, tto cstit motivada y no tiene

significado, incluso cuando sc ctlnsidcran fl'¿tccittltcs muy sencillas.La opinión de FnnuNoENrl{AL cs quc tlcntt 'o dc esta Aritmética sólo

debe explicarse aquella parte de las fracciorrcs quc sea accesible por los

métodos intuitivos. El estudio de las fraccioncs dcbc continuarse después,

dentro del Algebra.No hace falta señalar la influencia que adoptar una u otra postura tiene

sobre el enfoque que se dé a las fracciones y a las operaciones con ellas

dentro del currículum. Por señalar un ejemplo, si pensamos con SrnnsrlaNlque <la búsqueda de soluciones ante situaciones problemáticas que conllevanimplícitamente la idea de fracción (situaciones de reparto, medida, etc.)forman parte ineludible del proceso de <dotar> de significado a la idea

matemática>, esto implicaría, desde la perspectiva de aprendizaje, que el

concepto y los algoritmos se desarrollan al mismo tiempo y, desde unaperspectiva de enseñanza, la necesidad de buscar situaciones problemáticas<reales> en las que el proceso de búsqueda de soluciones nos lleve al desarro-

llo de esa idea matemática (SrnnnnleNl, 1984). Es muy importante entonces,a la hora de adoptar un criterio u otro, estudiar seriamente las implicaciones

curriculares que pueda tener.No debe olvidarse que lo que acabamos de exponer son opiniones de los

distintos expertos en la materia, pero que lo que realmente importa son las

creencias propias, ya que éstas son las que influyen decisivamente en la

enseñanza práctica. Debemos por tanto reflexionar sobre las distintas posibi-

lidades y eÍperimentar con ellas hasta alcanzar un modelo del que estemospersonalmente convencidos.

N0S01R0! cREEHos

0q0

I.4. NUESTRAS CREENCIAS

Evidentemente nuestras creencias con respecto a las fracciones estánimplícitas tanto en la fomulación de las preguntas de los apartados anterio-res como en el desarrollo de los capítulos siguientes. Queremos, no obstante,resaltar algunos aspectos que nos parecen interesantes.

Pensamos que es muy importante que los niños vean las Matemáticas en elmundo que les rodea, y es tarea nuestra ayudarles, por un lado, a apreciar la pre-sencia de los conceptos matemáticos en general, y de las fracciones en particu-lar, en lo que ven y en lo que oyen, y por otro, a integrar los procedimien-tos de razonamiento, resolución de problemas, etc. en su actividad cotidiana.

Bajo esta perspectiva, los criterios guiados por necesidades sociales nonos parecen los más adecuados para decidir el sí o no a las fracciones, yaque, aunque muchos de los estudiantes no continuarán estudios superiores,no creemos correcto establecer discriminaciones (a prioril> entre los queserán futuros matemáticos y científrcos de los que no. Por ello, no debemoslimitar el currículo a las estrictas necesidades de la vida diaria, y somospartidarios de mantener las fracciones en la escuela elemental.

Ahora bien, mantener las fracciones no quiere decir perpetuar el descono-cimiento de su significado, la infrautilización del concepto y la sobrevalora-ción de los algoritmos con que en muchas ocasiones nos encontramos.Debemos dar a los alumnos un conocimiento intuitivo profundo de lasfracciones, presentando al niño contextos significativos tanto para el concep-

taJJ

to como para su campo de aplicación, y buscando conexiones conceptualescon decimales, porcentajes, razones, etc.

Pensamos que hay que mantener la enseñanza de los procesos algorítmi-cos, intentando que no se vean aislados de todo lo anterior, presentándoloscomo síntesis de procesos personales de resolución de situaciones problemá-ticas y no como <reglas> para ser utilizadas. Este enfoque debe condicionaralgunos planteamientos de clase, ya que se deben primar los procesos que losniños utilizan para solucionar las situaciones presentadas, encauzándolospara que al final del <<camino>> se puedan ver las reglas del cálculo algorítmi-co como la síntesis de los procesos utilizados. Esta postura implica el cues-tionarse el lugar de los algoritmos de las fracciones en el currículum.

Por otro lado, debemos ser conscientes de que estamos inmersos en unaevolución tecnológica constante, que hace que operaciones que antes sólopodían ser resueltas a través de complicados cálculos sean ahora fácilmentesolucionadas. El ignorar esto por parte del profesor puede desanimar profun-damente a los alumnos.

Este mismo avance tenológico que en los últimos años, con la apariciónde las calculadoras y su notación decimal, hizo que muchos se cuestionasenel futuro de las fracciones y sus algoritmos en la enseñanza elementalfrhora,con la aparición de los ordenadores personales de pequeño tamaño queoperan de forma algebraica ha abierto un nuevo interrogante. ¿Servirán parapotenciar las fracciones y sus algoritmos? ¿Conducirán a su progresiva desa-parición? ¿O quizá ahora más que nunca se necesitará una buena compren-sión como paso previo a su utilización? Nosotros apostamos por esto último.

Todas estas opiniones sobre las fracciones no son un hecho aislado.Nuestras crrencias vienen condicionadas por la propia Matemática, por elconocimiento de otras disciplinas, por el entorno social, la tradición escolar,nuestra visión de las Didácticas de las Matemáticas, etc. y marcan la visiónglobal que tenemos sobre el proceso de enseñanza aprendizaje.

Este proceso nos lo planteamos como una actividad en la que inter-vienen, por una parte, el procesamiento de información de los conocimientosteóricos, la posesión de un conocimiento práctico (experiencias), etc. querealiza el profesor para tomar decisiones y, por otra, el procesamiento quehace el alumno para transformar la información ofrecida, y reestructurar sus<capacidades>r, actitudes y conocimientos. Todo lo anterior desarrollado enuna situación de enseñanza de las Matemáticas. (PÉnez Góunz, 1983). Estosaspectos están íntimamente relacionados, ya que los procesos de aprendizajedel alumno deben condicionar la actuación del profesor.

Por tanto, el admitir que los niños construyen el conocimiento por símismos, la necesidad de valorar el conocimiento que ya poseen, y la interac-ción social como base esencial de todo el proceso, nos lleva a una aproxima-ción constructivista de la enseñanza aprendizaje de las Matemáticas (Hnnco-vrcs, N., y BnncnnoN, J. C., 1984).

34

Las fraccionesen la escuela

2.

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2.I. LAS FRACCIONES Y LAS REFORMASCURRICULARES

2.1.1. Las fracciones en los distintos currículas antesde la instauración de la EGB

Antes de pasar a situar las fracciones en el currículum actual, es conve-niente hacer un breve repaso de la trayectoria que han seguido en nuestropais a lo largo de las distintas reformas. Como veremos, ello no es tarea fácil,ya que las fracciones aparecen dispersas en distintos cursos de varios niveleseducativos.

A comienzos de siglo, el objetivo prioritario que se perseguía'len losprimeros niveles con la enseñanza de las Matemáticas era eminentementeutilitario, en un esfuerzo por relacionar los problemas de la AritméticaElemental con los problemas que el adulto podía encontrar en su vidacotidiana. La Primera Enseñanza se centraba en desarrollar habilidadesrutinarias de cálculo, reservando para cursos posteriores el desarrollo de lalógica (Fig. 2.1).

En los años cuarenta. las recomendaciones sobre la Enseñanza Primariaen nuestro país (Ley del 17 de julio de 1945) clasifican los conocimientos entres grupos: instrumentales, formativos y complementarios. Dentro de losprimeros, que se consideraban indispensables, estaba incluido el cálculo, asícomo la lectura y la expresión gráfrca en sus distintas vertientes. Los formati-vos se definían como la base de la formación moral e intelectual, abarcandoesta última a las Matemáticas. Los conocimientos complementarios eranaquellos que se creían necesario para completar la cultura mínima primaria.La misma Ley señalaba que, según el tipo de escuela, debería primarse uno uotro de los distintos grupos.

Estas normas genéricas se reflejaron en unos cuestionarios publicadosocho años más tarde (1953). Hemos recogido algunas frases que aparecen enla introducción de dichos cuestionarios, procurando no sacarlas del contextoen el que están escritas, con objeto de que cada uno elabore sus propiasconclusiones.

En la primera parte se señala que <los Cuestionarios (son) respetuososcon una tradición escolar que ha convertido la <asignatura) en realidadinesquivable... La enseñanza será concreta, vida y activa. Partirá del ambien-

36

LBCCION VII.

De los rluebrados clr??.?¿nes , reducciont 'á zt?t co??t?.t?r, denonúnador , y sím-

Ttlif cací0n.,

f;: l$::,3'"Í",'"0,'i.1lin r ou" rrac-cion 6 quebra( lo , es aquel n{rmero queconsta solo de parres de lb ur¡ idad , ó óueexpresa r¡na eant idad nrenor que Ja unic jadentera. Por ejemplo : una l i6ra consra deI6 onzas i esto es, l6 por.c iones ó unidadesenteras menores que la l ibra.

P. ¿ Conro se l lamr el númer.o one ex-p.re: l las partes que se roman de ja üni-dad I

R. Numerador , y e.s el que se pone €D-cima de la rava.

P. ¿ Cómó se l lama el número de par-tes en que se considera div id ida la uniüad?

R. f )enont inador, 1 ' es el que se ¡1o¡ede. jo de la r :aya. Por ejémplo + i e l z es 'aquiet t )ueterador, porque numera cuat) tas par-tes.hay cle la ui l id"d, J el 5 e- i e l denorni-l ld.o. ' : I gue expresa en cuantas parres estádiv ic l ida- la n¡ i i rna unic lad, Esta f ' raccion se]ee dos 7u,¿:ntos.

l-"^"*.1? ! Reprod,ucción de una página de un libro de Aritmética Elemental publicado en1828. (Título de la obra: Lecciones de Aritmétit.a. Auror: MARTANo c¡no. lÁprént" de Don

Mariano Caro, Sevi l la, 1828.)

) t

te próximo... Claro está que el material de enseñanza es indispensable; pero

¿qué mejor material que el que ofrece la vida misma?... Si se trata de cálculo,

ahí están las adquisiciones que satisfacen las necesidades domésticas, el coste

de los libros y juguetes, los juegos de comprar y de vender que pueden

realizarse en la misma escuela, además de utilizar el cálculo --cosa que se

olvida tantas veces- para menesteres que no sean solamente los de la

ganacia y el despertamiento del espiritu de lucro... La palabta ftá refotzada

por la intuición y por la acción. Un aspecto importantísimo de la acción

como medio didáctico son las manualizaciones. Toda lección, para merecer

tal nombre debe terminar con una serie de actividades o ejercicios, entre los

cuales no debe faltar -a menos que lo vede la índole de las materias- los

de construcóión manuab.Dentro de las noÍnas didácticas específicas para la enseñanza de las

Matemáticas señala como fundamental <la fundamentación sólida de los

conocimientos como punto de partida indispensable para la ampliación y

adquisición de otros nuevos. Las repeticiones, el ejercicio constante de cada

mecanismo adquirido son indispensables medios didácticos... Los problemas

deben ir graduados en progresión creciente de dificultad y agrupados,dentro

de lo posible en tipos anáiogos, (Fig.2.2). 'tr

Hemos querido recoger estas precisiones para resaltar la importancia del

contexto a la hora de interpretar las palabras. Es evidente que aquí <acción>

no tiene el mismo significado que ahora le damos, y lo mismo sucede con

<<graduación de problemasD, etc. Estas orientaciones, que nos pueden parecer

muy lejanas en el tiempo y en la forma, fueron, sin embargo, las que guiaron

los primeros pasos de toda una generación que, en este momento, está entre

nosotros. Conviene que seamos conscientes de ello.Respecto a las fracciones en particular, éstas aparecen diseminadas en los

distintos cursos. No se aprecia ninguna indicación específica para su intro-

ducción, sino que parece subyacer la idea de que sea la práctica repetitiva la

que lleve a su comprensión y a un dominio, de carácter rutinario, de las

reglas de cálculo. Y, de hecho, los libros de texto de la época nruestran una

mayor preocupación en el <cómo>> se usan las fracciones que en el <<qué> son'

En el primer curso del Período de Enseñanza Elemental aparece la

iniciación, mediante ejercicios prácticos, a la idea de doble y mitad. En el

curso siguiente, después de repasar las ideas de doble y mitad se introduce la

idea de triplo y tercio, y cuarto y octavo. En el tercer trimestre de este curso

se señala también como contenido una idea general del Sistema Métrico

Decimal. Así pues, éste precede a la introducción del quebrado (utilizan este

término) y su representación por cifras, que junto con ejercicios de hallar la

mitad, el tercio, el cuarto, y el octavo de números dados, se encuentran en los

trimestres segundo y tercero del tercer curso.En cuarto curso, desglosado meticulosamente como todo el cuestionario

por trimestres, se encuentran ejercicios de medida y peso de los cuerpos y

38

Frcunn 2.2. Recomendaciones que aparecen en un libro de Aritmética para Primera Enseñan-za editado en 1947. (Título de la obra: Mi librito de Cálculo. Autor: Jnsui GoNzArnz. Editorial:

El Mensajero del Corazón de Jesús, apartado 73,Bilbao, 1947.)

representación de los números enteros, quebrado y mixtos resultantes; inicia-ción a la simplificación y equivalencia de quebrados; simplificación y reduc-ción a común denominador de quebrados comunes; suma de quebrados y,por primera yez, apareee la palabra fracción en el apartado <reducción defracciones ordinarias a decimales>. También se incluye la suma y resta dequebrados. La multiplicación y la división se dejan para el período dePerfeccionamiento.

Tres consejos dados por el erninente pedagcgoespañol don Andrés Manjón para aproyechar enAritmética:

Prime'ro

PrácticaEiercicio

Habíiuacíón

Segundo

Mucha tízaMucho lápiz

Mucha tínta

Tercero

La memoria por adames

La pízarra por anobas

Los problemas por quíntales

39

Es de destacar que la idea general de quebrado y su representactón en ct-fras focupa un solo trimestre de un curso, y la iniciación a la simplificación y laequivalencia otro. Las operaciones aparecen en siete trimestres de los 18 que

componen los Períodos Elemental y de Perfeccionamiento. También se obser-va que los términos quebrado y fracción coexisten en el cuestionario (Fig. 2.3).

En los años cincuenta la UNESCO elabora unas directrices, con carácterde sugerencia, paÍa la enseñanza de las Matemáticas en los niveles elementa-les, lo que trasladado al sistema educativo español incluía los primeroscursos del Bachillerato. Estas directrices no tuvieron demasiado reflejo en losplanes de estudio de Bachillerato aparecidos en el (B.O.E.) de fecha 2l deenero de 1954. En los Cuestionarios correspondientes al primer curso (equi-

valente al 5.o curso de la EGB actual) aparecen, dentro del apartado deAritmética, <las fracciones ordinarias y sus propiedades elementales; adición,sustracción, multiplicación y división de fracciones>. Curiosamente, la reduc-ción a fracciones irreducibles y la reducción de fracciones al mínimo comúndenominador no aparece hasta el curso siguiente (Fi9.2.4).

Las orientaciones metodológicas que se proponían para desarrollar loscontenidos del primer curso recomendaban omitir todo razonamiento abs-trac|o, hacer notar las propiedades numéricas con la repetición de ejercicios,y realizando el mayor número posible de ellos, a fin de que al finalizar elcurso los alumnos manejasen números naturales, fracciones ordinarias y

números decimales con soltura, es decir, sin equivocarse en cálculos excesiva-mente complicados.

En esta misma década comenzó en distintos países, principalmente Fran-cia y EE.UU., la introducción de las Matemáticas Modernas, a las quesirvieron de vehículo de desarrollo las corrientes estructuralistas. La denomi-nación Matemática Moderna merece algunos comentarios, pues la mayorparte de los contenidos de los llamados (programas modernos> ya eraconocido por los teóricos en el siglo pasado. De lo que realmente se trató fuede una aunténtica revolución de la orientación y de los contenidos de loscurrículos matemáticos en la escuela.

Es dificil identificar las causas que desencadenaron este brusco cambio.Desde un punto de vista formal, podría decirse que se pretendía dotar a losestudiantes de una formación más versátil, de manera que pudiesen adaptar-se más tácilmente al avance continuo y vertiginoso que estaba teniendo lugaren un mundo cada dia más tecnológico y que demandaba una mayor compe-

-tencia matemática. Parecia como si se aceptase el hecho de que no eraposible enseñar a los alumnos unos conocimientos perdurables, en el sentidode permanentemente útiles. En lugar de ello, había que intentar dotarles deunas estructuras que les permitieran adaptarse a las variadas situaciones quepudieran encontrar en el futuro.

También es interesante señalar que, justo por estos años, surge en distin-tos países una gran preocupación por el análisis e innovación de los currícu-

40

F¡cuu 2.3. Página de un texto escolar de 1954 en la que se aprecia la coexistencia de los

términos quebradó y fracción. (Titulo de la obra: Aritmética de 2.o grado, pág. 93. Editorial LuisY iv es, Zar agoza, 19 54.)

Don Ju¡n dividc cl portcl y lo reparto cotrc todo

LUCCTON r0

QUEURADOS T STIS PROI'¡EDADES

P¡or¡t¡¡r.- lt?, Qr¡rbr¡do o lrltcifd¡,- 153. Té¡miuo¡ dcl qrcbrrdo. - 159. ü.¡om¡c¡d,'r.Nur,".rr,r,,r.-lür. Euiltrn dc ro q.r.ü¡¡rjo.-l l i l . Lntr3¡ dr r¡ r¡r.t,r.rlrr.-tt¡¡. l¡ lsr d¡un qrrcbndo ¡rr rl mirnn. - 16l, Qut rc vcrf,c¡ cu¡ndo dn qlrbrr,l,r tc ?rl¡rt?D I l¡rni¡lr¡ trnrdlrj.- lü. l.rn qrr'brrrl 'r y l:r rrl*.¡:rc¡ún dt ¡l¡r,r[¡.-lt i l j i l t l | l , drl s¡letdc h Incc¡in dc un ntinem. - lt¿. lloprrl¡.¡$ rlr ll qnr.l'rrrl,s. - l¡¡. D¡vr\lio dt ¡^r¡rtbndc: prugio, hngrr,gru y [l i¡t6. - lt4l. Cómo |. ndu¡c un rah].o ¡ qúr5¡¡do. -l€, ld. uq 0i¡ro ¡ qurt¡t¡do.

I57. Lh¡¡rasc gucbrutlo o fruccióo cl nú¡r¡cro que e.\prL-sa una o va-rias partes igualcs dc l¡ unidad.

Divisiún rJc un prutd

l in cl grabatlt' quc cncnlxra csta ¡r/rgino vúnt(x t¡ut rl.rrr Juan ha tlivitJid¡r

el g:r-<tcl cD 8 p.1rtc! iiualcs. Cada parto 6 en ocluuo: i. ¡-"" I partes vrn

tlocho ocluuos:

T. Soo cl pastcl total. C¿da Pcrloue ¡ccibe una p¡.rlc, ¡n o(l¿.

r t2uo.'¡. Los I aiños reciben csol?o oclovos,

i. L"" 2 ¡iñas ¡tcibco dos oclauos:

I.

El padrc recibe una prrtc. ün oclavo: ¡

Lo atisoo recibc ru sc6or¡.

El oümcro 8, que escribülos debajo, significa que el pasttl sc ba divididoen I prr tes. iguelcs.

Los oúnreros 1.2. a, que e..cribinr<x cncim¡. sigorfican lirr p:rrtes que tooÁ-oos dcl pastcl.

4l

Ir{INIMO COMITN MúLTIPLO

62, DErrNrcróN. - Se uo.mq iltnínta centln ,ntilttpl'o ite doto ,t¿tis ,Lúr¿eros, V se ir.dlca por nL c. m. dl menor de los ntúi-ttplos contutres aie dlcllos ruitneros.

Sean los númcros 28,42 y 63.Mu¡ülpllcando cad¿ uno de el¡os por los de Ia suces¡ón,de

números naturalcs. ob¿€ndremos ires colecctones llhrftr-das de múltlplos, cn las que veremos hay lnnnldad de nú-meros como 252, 604,756, I 008, eüc., que .¡r [a vez son múlilplotdel 28, del 42 y del 63. De todos esos mül¡lplos comunes elmenor es 252i lua.¿o

i l t . c. m. (28,42 Y 63):252.

Obtendrenros el ?¿. c. m. haclendo uso de las slguientesreglas:

63, Rscr.r l.a - Pa,ro, hallar el,n, c. trt. de dos ltúrneros, sed¡uide ¡l¿ prod(c¿o po¡ s¿r Dl. c, (¿, o, lo (rae ¿.$ rr¿ds bre¿e, sc..rultípllcd, r.tro de los tui'l¿eros por el coclentc de d.i)id,¿r c¿olro por el ,n, c. d. d,e antbos.

Ejemplo: Hallar el nr. c, ,t., de 56? y 891.P¡ocederemos asi:

i l t. c. d. (367 V 891) : 91n¡. c. ,¿. (567 y 89r) : (567 : 8¡) X 8gr

- ? x 891:0 23?

Gl. R¡c¿¡ 2,a- para t¿aud,r et,n. c. ,ra, d.e aulos taúnrctosse d.etermlna. eI d,e dos d,e ellos ; después se lrlla el d.el n. c. n..obtenido lt otro d.e los núrneros dad.os; !! ¿sl ¡e cor¿tinri¿ tics_lc lraúer opercd.o cot¿ ¿odos ¡os ,¿1ú.meros.

Se:r, por ejemplo, hallar e¡ n. c. nr, de 9Z{, I 761 y 7 gl2.Tendremos I

m. ¿. n. (s24 y I ?64) : t9 4q4.,n. c. n. (rg 404 9 7 812) : 69¡ 524

lüego r,,tr, c. t¡r (921,1 76{ y ? 812) : 601 SZ4

.65. Rsr¿r 3.4-Se pued.e hallar et nr, c, rn. de dos o nr,s::iameros d.$contponléradolos en. sus lactores |rfí.||!os U mú¡i_plicando.tas nd.yores potenclas d¿ !'odos tos'¡actoreí prlÁosq! e conteng dt¿ a.qt¿ea¿os.

EJemplo: ¡fallar el rt. c. t,t. de los nútncros 924. ¡?64y 7 812.

92{:2! .3.?, l l ; 1764:2! .9! . , t ! . 1 gl2.=22.3: .?.glñ.c.nt , . (924, 176.1 y?Btz) 2! .32.1! . l l .J t_ 001 S24.

APLICACIONES AL SSTUDIO DE LAS FRACCIONES

. 66. .Recordemos algo de lo dtcho en el curso anter¡or, :rlb¡aer él esüudlo de ¡as fracctones, con el nn de amp¡la¡to.

.SitnpltÍicar una !ra.c.c!ón es ¡mllat otra eqult:aiente a taFrimero, pero ¡le térmlnos menores.

Ftcun¡ 2.4. Introducción al m.c.d. y m.c.m. como paso previo a la simplificación de fraccionesen 2.o curso de Bachillerato del plan del 54. (Título dt la obra: Márcmáticas 2.o curso de

Bachillerato. Autor: Benigno Ba¡atech. Editorial: Imprenta Heraldo de Aragón, 1954.)

42

los, lo que se traduce en el desarrollo de numerosos proyectos de investiga-ción educativa. Ello favoreció la implantación y extensión de la reforma.

Para poder entender bien el enfoque didáctico de las Matemáticas Mo-dernas es, quizá, importante situarlas en su contexto. Por un lado, y a unnivel puramente matemático, se habia avanzado mucho en el desarrollo decstructuras, así como en la unificación de conceptos. Por otro, se había<Iesarrollado enormemente, el conocimiento acerca de los procesos de apren-dizaje de los niños. Estos hechos parecen suficientes para entender las razo-nes que llevaron a abandonar una enseñanza de las Matemáticas Elementa-les basada en un desarrollo <utilitarista>, y S€ pasase a una enseñanzabasada en un desarrollo <estructuralista>.

Estas corrientes no llegaron a España hasta años más tarde. En 1965(Ley del 8 de julio), aún aparecen unos cuestionarios de Matemáticas para laEnseñanza Primaria en los que, a modo de introducción, se señala: (La

nueva sistemática de los Cuestionarios de Matemáticas, divididos en ejerci-cios y adquisiciones, exige en primer lugar actividades de carácter operativo,ya que el aprendizaje de las Matemáticas debe ser activo. A los conceptos sellegará únicamente mediante una serie de ejercicios cuya realización conduceal dominio de las nociones y garantiza el desarrollo de hábitos y destrezaspertinentes. La enseñanza de las Matemáticas debe ser funcional. Su aprendi-zaje se vinculará a la solución de los problemas que la vida ordinaria planteapermanentemente en los niños, y esto de tal forma que ellos vean de algúnvalor su aprendizaje...>. Llamamos de nuevo la atención sobre el significadoque se da quí a la palabra activo.

Una comparación de los contenidos de este plan con los cuestionarios delaño 1953 muestra que el tratamiento dado a las fracciones no varía sustan-cialmente. Así, en el 3."' curso aparece <idea general de quebrado> en loscuestionarios, y (reconocimiento de fracciones ordinarias> en el Plan del 65;en cuarto curso figuran en ambos la suma y la resta (Fig. 2.5), y en el cursosiguiente el resto de las operaciones y propiedades. La única variación seaprecia en la reducción de fracciones a común denominador que en el plandel 65 se retrasa a 4.o curso. Se mantiene un enfoque preferentemente algorít-mico, y quizá el hecho anecdótico más relevante sea la desaparición de lapalabra quebrado.

Es de destacar el tratamiento desigual que se dan a las Matemáticas enlos últimos cursos de la Enseñanza Primaria en relación al llamado Bachille-rato Elemental. Así, en el caso de las fracciones, mientras que el 3."'curso delBachillerato Elemental (Plan del 57) aparecen englobadas en un tema sobre<el Número Racional>, en el curso correspondiente de la Enseñanza Prima-ria una de las adquisiciones que se señala es la simplificación de fracciones ylas fracciones irreductibles. En cierto modo, los dos planes parecen corres-ponder a una dicotomía entre una forma de introducción <más avanzada>> yotra más <elementab> (Fi5.2.6 y 2.7).

UNIVERSIDADDISTRIIAL 43

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A

CURSO ?.- (t2-13 AñOs)

F.¡urctc¡os Aoou¡! i r . ( l t rNLs

- Dr'scomposición f¡rctorial de l<¡s númcrt¡s.

- Prr¡blt'n¡;rs dc a¡rlic:rciór¡ dc la pruporciorralitl¡¡tl tlc| |r :¡gr u I u(lcs.

- Rcprcscntación gráfica de' magnitudcs dir('cta c irl'vcr s¡ nrc¡r lL' propurcionalcs.

- lijercicios. dg cunversirin v rc¡luccirirt dc fr¡¡t'cinttr'sor¡ l i rrarias v dcci¡t t :¡ l t 's.

- EjJreicios sobrc rc'gla de trcs compucsl¡r, inlcrtrs vt lcsCU(n 10.

- fijt'rcicios s<¡hrc raíz cu¡clrada dc númcros ('nl('ros,r jsci lnalcs y tr¡ccio¡tarius.

- Cr¡nstrucción dc tr iángulos y polígonos sctttcj l t l t lcsüun cnrl)lc(, dul pantógrafo.

- Ejcrcicios sobrc simctría axial y central.

- Ejcrcicios sr.lbrc traslitción de segmcntos y geoPlanos.

- Ejcrcicios sobrc giro y Iraslación dcl rt 'ct lngulo, tr i 'áñgulo rcctángulo, ciróunfr 'r 'cncia, circulo, st '¡ l t ic ircun'Ic¡cr¡cia y scrrr icirculo.

- Prr.¡blcnras sohrc áreas y volúment's de tos cucrposdc rcvuluciór¡.

- Ejcrcicir.rs sobre igualdad, equivalcncia y scmejanzadc liguras.

- Dcmostración t'xperimental dt:l teorem¡¡ dc Pitágoras.

- Problcm¡¡s sobre mczclas y alcacioncs.

- Ejcrcicios dc t¡r¡trción litcr¡l dc ma¡¡nitudt's.

- Ejcrcicios scncillos ¡Jc mon<¡¡nios y polinomios.

- tLcsolución ¡!c ccuaciones dc primcr grado ctrn unairrcógnit¡r.

- Rcprcscntación gráfica de ecuacioncs lineaL's.

- ldc¡t y fundamentos de l¡ r turncr:rción en basc cu¡r l-(lu rcra¡.

- Div is i l r i l i rJad: M. C.D.y M, C. I l .

- Sirnpl i f icación de fracci<¡rrcs. Fr:rcci¡rnes irreductiblcs.- Rcgla d(' trcs compuesta.- Mczr' l ¡rs y alcaciones.- Reg,la dc irrtcrés y descucnto.- ll:rí¿ culdr¡dr.- Fi¡1uras gconrdtricas iguales, cc¡uivalentes y setnc.

jan tcs.- Suucjirnza de triángulos.

- Pro¡xrrcionalid¡d Je segmentos en cl triángul¡¡ rcc-tiirrgukr: tcorcilr¡¡ de Pitó¡¡orus.

- Arcas dc los cucrpos rctlondr¡s.

- l'r'r¡yccció¡r de puntos. sc8mcntos y planos.

- Nrriúrr de álgebra, mon<¡n¡iu y polinonrio.

- F.cu¡¡ción lincal.

Frcunt 2.6. Programa correspondiente al curso 7.u de Enseñanza Primaria del Plan de 1965 (Cuestionarios Oficiales).

I\fATE¡UATICAS

LECCTON I

,,,Lo: ttti¡ncros negatív.os.-lulagnitudes absotutas y magnitudes relativas.-N untcros posrt¡vos y númcros ncgativos.-Números raciónalcs.-Reprcscnla-cir irr gráf ica.-\ ,alor lbsolrrto dc un nt 'rrncro.-fgualdaci dc númcros r¡ciona.l , :s.-Dcsigtr l l t l l r l dc númcros racionalcs.-Ejcrcicios.

LECCTON 2

_ .Qperacíottes co¡t ttútn¿ros racíonal¿s.-Adición: Propiedades.-sustracción.Polinomio ¡ritmiticc dc términos racionalcs.-ñtultipliiación: propicda<Ii.s.-División: Propiccladcs,-Ejercicioi.

LECCTON J

Operaciones con nú¡neros racíonales (continuacíón).-Potenciación.-propic<Iadcs dc las potcncias.-Racliq¡ción: Propiedacles.-Ejcrcicios.

LECCTON 4 É'r,

E.tpresíones algebraicas.-E.rprcsiones algebraices- Clasificación.-Valornumirico dc una expresión algebraica.-E.rpiesioncs algebraicas eouivalcn-tes. fdcntidad. Educaiión.-Monbmios y poliñomios.{ra-do de un mbnomio.Grado de un polinomio.-Polinomio hómogéneo.-Ejercicios.

LECCION 5

Operaciones con monomios y polinomios.-Suma de monomios semeian-tes.-Suma y difcrcncia de polinomios,-Producto de monomios.-Prodüctode un polinomio por un monomio.-Producto de polinomios Propicdades.-EJerc¡c¡os.

LECCION ó

Divísíón algebraíca--Cociente de dos monomios.{ociente de un polinomio por un monomio.-Cociente entero de dos polinomios.-Relaciones- en¡relos elementos de un división entera.-Cociente-e.racto de dos polinomios.-Fracción algeb raica.-Ejercicios.

LECCION 7

Operacíones con fraccíones algebraícas.-Adición. Sustr¡cción.-Multiplica.ción.-División.-Propiedades de las operaciones con fracciones algcbraiias.-Elefc¡clos-

FIcune 2.7. Primeras lecciones del total de 24 que componían el programa de Maternáticas de3."r curso de Bachillerato del Plan de 1957. Nótese la diferencia con el corresoondiente al 7.o

curso de la Enseñanza Primaria (Plan del 65) (Cuestionarios Oficiales).

46

2.1.2. Las fracciones en la EGB

LaLey General de Educación de 1970 ((B.O.E.)) del 6 de agosto) intro-duce en los planes de estudio españoles de EGB las Matemáticas Modernasantes citadas. En los objetivos y directrices metodológicas del M.E.C. se danlas razones que, a su juicio, hacen necesaria su introducción. Así, por ejem-plo, se señala que (una de las funciones fundamentales de las Matemáticas esla de ordenar conocimientos y crear estructuras formales que los resuman yexpresen. Las estructuras formales están caracterizadas por unas leyes quepermiten aplicarles, de modo preciso, unos automatismos, entre ellos elautomatismo de la Lógica, que facilita su utilización en problemas variados)).

Los programas siguen un orden basado en la propia estructuraciónlógica de las Matemáticas, si tener en cuenta otros criterios pedagógicos (Fig.2.8). Las fracciones se introducen experimentalmente en el 5.o nivel de laPrimera Etapa pasando directamente en el 6.' nivel a la construcción delconjunto de los números racionales positivos y a las operaciones entre ellos.Es curioso señalar que no se hace ninguna referencia explícita a las fraccio-nes ni a sus posibles interpretaciones.

IJnos meses más tarde (<B.O.E. del2 de julio de 1971) se publican unasnuevas orientaciones para la segunda etapa (cursos 6.o, 7.o y 8.o de la EGB),manteniéndose los de la primera. Estas orientaciones introducen algunasprecisiones que merece la pena reseñar. Dentro del Area Matemática, losobjetivos generales señalan que (la segunda etapa de Educación GeneralBásica pretende ir hacia una mayor profundidad en el formalismo matemáti-co. Se hace preciso desarrollar en el alumno la capacidad de elaborar lossistemas formales necesarios para la resolución de los problemas. En cuantoa la adquisición de los automatismos -supuesto su conocimiento en laprimera etapa- es específico de esta segunda la formulación matemática delos mecanismos del cálculo operacionab).

Quizá la mayor innovación se manifiesta en el apartado dedicado a laMetodología. Así, en el tema que nos interesa de los números racionales sedice <parece conveniente hacer la construcción del conjunto de los númerosracionales positivos a partir de la noción de operador, llegando a la denúmero racional mediante la clase de operadores equivalentes. Respecto a laordenación, bastará que el alumno sepa decir, dados dos números racionalespositivos, cuál de los dos es el mayoo) (Fig. 2.9).

En 1981 y 1982 aparecen sucesivamente los Programas Renovados deEducación Preescolar, Ciclo Inicial, Ciclo Medio y Ciclo Superior. Una claradiscusión de las características de estos programas puede encontrarse en elvolumen 2 (Números y Operaciones) de esta misma colección.

En el Ciclo Inicial se inicia el trabajo con las fracciones más sencillas (unmedio, un cuarto) vinculadas a actividades de medida de magnitudes. Elestudio de las fracciones y los decimales se aborda conjuntamente en cuarto

47

Definic io¡r dc l racciorr

son fracciones.

Llamaremos fracclón a un par ordonado de números enteros, generalmen-a

te sscr¡ to T-,

s lendo b dlst lnto do 0.

numeradof-¿eniñiiidór-

Fracciones equivalentes

A pail ir de una fracción por eJemplo 13 , podemos obtener otras fracciones quez

ffamaremos equlvalentes a la prlmera. dol sigulerite modo: ft.

Mult¡pl¡cando el nume¡ador y el denominador de la f ¡acción dada por un mlsmonúmero entero dist¡nto de 0.

Asf, son equivalentes u f ,

f6 f racclones:

-636_9 12_t5

4, =, =. o ' = ' - io- .

En algunos casos, se pueden obtener fracciones equivalentes a una dada, de otramanera.

?. Dividiendo numcrador y denomlnador por el mismo número entero.

Por ejemplo. las sigulentes fracclones son equlvalentes a +-72

19-1 -9-t8=.=c, T' -l¡-, F

El primer método se llama camplificación" de lracciones, y es siempre posible,

El segundo método se llama .slmplificaclón¡ de fracciones, y no es siempre posl.b le: sólo en el caso de que numerador y denominador tengan algún lactor pr imo común.

r -32-10-T ' -V-,= '=La fracción f es et operador compueslo de los operadorcs ntultiplicar

pot a y dividh por b (o bien dividir por b y multiplicer por al'

El número a es el numerador de la f racción f .

El número b es el denominador de la f racción f ,

EI "t t "*t ". "" ".r . "eso

la lracción:

€-._--3-o-+O\ i

" \¿

E Calcula los números oue la¡ ten:

12 ._;.-

\3\

oLI

ü

12

\

\

A

\I

ID

¿Oué observas?

Para apl icar ta f racción f

a un númeto N. basta mult ip l icar N por a (nu'

merador) y dividir eí ,esuirsdo por b (denominador)., o bien' dividir N por b

(denomináuor¡ y mult ip l icar el resul lado por a (numerador) '

Frcu¡¡ 2.8. Presentación de las fracciones en un texto de 7.. de EGB. (Título de la obra:Matematicas orbe,7.o EGB. Autores: A. vne, y J. M. AcusrÍ. Editorial: vicens vives, Barcelo_na, 1973.\

48

Frcuu 2.9. Introducción de la fracción a partir de la noción de operador en 6.' de EGB'

según las orientaciones metodológicas para la-Segun-da Etapa Publicadas en 197,1 (Título de la

oira: Matemáticas 6.0 EGB, pagL tte-ttZ. Autór: Sns¡srrÁN Mlnstrvlcn. Editorial: Bruño,

1977.)

49

curso. Se comienza introduciendo las ideas intuitivas de décimas. céntesimasy milésimas, asociándolas a actividades dirigidas a establecer las equivalen-cias entre los múltiplos y los submúltiplos de las unidades de medida dealgunas magnitudes, para a continuación representarlas mediante fraccionesdecimales, conectando las notaciones de las fracciones decimales con suexpresión decimal.

Posteriormente se pasa a la interpretación de la fracción como cocientede dos números, dejando para el curso siguiente (5." de EGB) su inter-pretación como operador y como aproximación de una medida, así como larelación entre los distintos conceptos (haciéndose mención de la relaciónparte-todo).

Las únicas operaciones que se consideran en el Ciclo Medio son la sumay la diferencia de fracciones sencillas con el mismo denominador, abordán-dose en el Ciclo Superior un estudio más general. Nótese el gran cambiohabido con relación a los Programas del 70.

Para cerrar esta somera discusión acerca de las fracciones en los currículade Matemáticas en nuestro país queremos hacer algunas observaciones decarácter general. La primera se refiere al hecho de que en la mayor parte delos países se está produciendo una rectificación de las reformas basaüas en laMatemática Moderna. Un ejemplo significativo y de particular interés loconstituye el caso de Francia, que ya en 1977 abandonó estos planteamien-tos. Estas experiencias de otros países, junto con trabajos como el InformeCockroft, elaborado en 1982 por una comisión de expertos de Inglaterra yGales, deben ser tenidas en cuenta en un momento en que se están elaboran-do nuevas alternativas cirriculares.

La segunda es que los programas oficiales son indicaciones a las que elprofesor debe dotar de significado. Y es aquí donde aparecen muy diversasopciones, y donde cada uno de nosotros pone en juego sus opiniones,elaborando una selección y ordenación de contenidos individualizada en ladoble perspectiva de sí mismo y de sus alumnos.

3.Las fracciones:

difer ent e s int erpy et acione s

+3

50

3.1. LA EXISTENCIA DE DIFERENTESINTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES

6

Laidea de fracción, o mejor aún, la palabra <fracción> indicando un parordenado de números naturales escritos de la forma alb. es utilizado encontextos y situaciones que muchas veces puede parecer que no tengan nadaen común. Por ejemplo:

a) Para indicar la relación que existe entre la parte sombreada y un<todo>,

<tres de las cinco partes>, 3/5.

b) Si un litro de cerveza vale sesenta pesetas, ¿cuánto valdrán tres<quintos>?

c) En un grupo de niños y de niñas hay diez niñas y cinco niños. En unmomento determinado alguien dice: <Hay la mitad de niños que deniñas> (hay doble niñas que niños). La expresión mitad esta emplea-da en esta situación para describir una relación entre dos partes deun conjunto. Se ha realizado una comparación parte-parte y comoresultado de esta comparación se utiliza una fracción para cuantificarla relación.

Sin embargo si estamos utilizando el mismo (ente matemático> para.".referirnos a dichas situaciones, es de suponer que tengan algo en común.

Desde una perspectiva escolar nos podríamos plantear la siguiente situa-ción: si identif,icamos uno de los contextos en el que la idea de fracción tienesentido (contexto significativo) y desarrollamos el proceso de enseñanza(concepto, relaciones equivalencia y orden . operaciones -signifrcado yalgoritmos-) con dicha interpretación ¿cabría esperar que los niños fuerancapaces de trasladar esa comprensión y destrezas conseguidas a interpreta-ciones y contextos diferentes?

52

Parece ser que la capacidad de <trasladar esa comprensión> a situacionesdistintas no es del todo clara; es decir, puede ser que el que el niño tengaclaro el significado de una fracción en una situación, sabiendo realizar surepresentación con diagramas y de forma numérica, así como reconocer elsignificado de las diferentes operaciones en dicho contexto y esto no impli-que que sepa utilizar la misma <herramienta) en contextos distintos, aunquetambién conlleven implícitamente la idea de fracción.

Además los resultados de numerosas investigaciones (BnHn, et al., 1983KERSrasrn, 1986; LnsH, et al., 1983) relativas al proceso de enseñanza-aprendizaje de las ideas de <fraccióru> han empezado a indicar que para quecl niño pueda conseguir una comprensión amplia y operativa de todas lasideas relacionadas con el concepto de fracción se deben plantear las secuen-cias de enseñanza de tal forma que proporcionen a los niños la adecuadacxperiencia con la mayoría de sus interpretaciones (KnnrN,1976; DTENES,t972).

De todas maneras el alcanzar el concepto de fracción con todas susrelaciones conlleva un proceso de aprendizaje a largo plazo. La variedad deestructuras cognitivas a las que las diferentes interpretaciones de las fraccio-nes están conectadas condiciona este proceso de aprendizaje. En otras pala-bras, al concepto global de fracción no se llega de una vez totalmente. Desdelas primeras experiencias de los niños con <mitades> y <tercios> (relaciónparte-todo) vinculadas a la habilidad de manejar el mecanismo de dividir(repartir), y la habilidad de manejar la inclusión de clases, hasta el trabajocon las razones y la proporcionalidad de los jóvenes adolescentes, vinculadaa la habilidad de comparar y manejar dos conjuntos de datos al mismotiempo, y del desarrollo del esquema de la proporcionalidad, existe un largocamino que recorrer.

Los profesores debemos tener en cuenta todas estas caracteristicas, esdecir:

las muchas interpretaciones. y-el proceso de aprendizaje alargo plazo

cuando pensemos en el desarrollo de secuencias de enseñanza que pretendancl aprendizaje de nociones relativas a las fracciones.

De la misma forma también existe un largo camino desde el primer,contacto intuitivo de los niños con las fracciones (relación parte-todo, <<mit"{."des>, <tercios>...) hasta aftanzar el conocimiento de carácter algebraico aso-ciado a las fracciones.

Con el conocimiento de carácter algebraico nos referimos, por ejemplo, ala interoretación de la suma de fracciones como

ad+bc

bd

a( '-+-bd

53

o que la solución de la ecuación (es decir, el número que en el lugar de la <rx>

satisface la igualdad)

3'x:5

es )r : 5/3, o tambiénx : 1016 : 1519...; es decir, poder ver al conjunto delas fracciones (números racionales) formando un sistema numérico, cerradopara ciertas operaciones y con unas propiedades determinadas.

Puede ser que alguna de las dificultades que plantea la enseñanza -a-prendizaje de las fracciones, en alguno de sus aspectos, venga determinadapor encontrarnos tan rápidamente con su carácter algebraico en la secuenciacirricular. Esto es debido a que muchas veces se empieza a trabajar conreglas de carácter algebraicas, sin tener previamente un transfondo concretodesarrollado ampliamente, en raz6n de la <atracción> que puede proporcio-nar el comenzar a frabajar rápidamente con simbolos cuando nos enfrenta-mos a las fracciones, por la relativa facilidad que pueden proporcionar pararesolver situaciones.

Es decir, hay que considerar (DlcrsoN, 1984) el equilibrio qu& debeexistir entre

-el significado de las fracciones en contextos concretos prácticos (situa-ciones problemáticas), y

- en situaciones más abstractas-cálculo sin contexto karácter alsebrai-co).

Las destrezas que se pueden conseguir en el manejo de los símbolosrelativos a las fracciones y a las operaciones con fracciones, no son fáciles deretener si no hemos sido capaces de crear un esquema conceptual a partir desituaciones concretas.

La comprensión operativa del concepto de fracción (número racional)debe proporcionar la fundamentación en la que se apoyen las operacionesalgebraicas que se van a desarrollar posteriormente. Un buen trabajo con lasfracciones puede contribuir a que estas operaciones algebraicas no se con-viertan en algo sin sentido para los niños.

Llegados a este punto se nos presenta la necesidad de plantear losprocesos de enseñanza aprendizaje de las fracciones desde todas sus perspec-tivas, en todas sus interpretaciones posibles, para que un trabajo continuadocon dichas interpretaciones ayude al niño a conseguir una comprensiónconceptual (operativa) de la idea de fracción, sin crear <agujeros conceptua-les>.

Una vez determinada esta necesidad se plantea la tarea de identificar lasdiferentes interpretaciones, contextos, en los que aparezca el concepto frac-ción: la fracción como un megaconcepto.

54

La sección siguiente se va a centrar en la identificación y la caracteriza-ción de los contextos que hacen significativa la noción de fracción (inter-pretaciones o subconstructos del megaconcepto). Esta identihcación de lasinterpretaciones pricipales del número racional ha sido realizada teniendo encuenta los trabajos de T. Kr¡nnN (1976), BnuR, et al. (1983) y DrcrsoN, el c/.(1e84).

Las diferentes interpretaciones que se van a describir son:

a) La relación parte-todo y la medida.a.l. Representaciones en contextos continuos y discretos.a.2.. Decimales.a.3. Recta numérica.

bl Las fracciones como cociente.b.l. División indicada.b.2. Como elemento de un cuerpo cociente.

c) La fracción como razón.c.l. Probabilidades.c.2. Porcentajes.

d) La fracción como operador.

3.2. LA RELACION PARTE-TODO Y MEDIDA

Se presenta esta situación cuando un <todo> (continuo o discreto) sedivide en partes (congruentesr> (equivalentes como cantidad de superficie ocantidad de <objetos>r). La fracción indica la relación que existe entre unnúmero de partes y el número total de partes (que puede estar formado porvarios <todgs¡D.

El todo'^iiibe el nombre de unidad. Esta relación parte-todo dependedirectamente de la habilidad de dividir un objeto en partes o trozos iguales.La fracción aquí es siempre <fracción de un objeto>.

Sobre esta interpretación se basan generalmente las secuencias de ense-ñanza cuando se introducen las fracciones (normalmente en su representa-ción continua). Parece ser que tiene una importancia capital para el desarro-llo posterior de la idea global de número racional. El estudio de esta relaciónse realizará con detalle en el capítulo siguiente.

Para una comprensión operativa de este subconstructo se necesita pre-viamente el desarrollo de algunas habilidades como:

- tener interiorizada la noción de inclusión de clases (según la termino-logía de Pu,cnr);

- la identificación de la unidad (qué <todo> es el que se considera comounidad en cada caso concreto):

55

- la de realizar divisiones (el todo se conserva aun cuando lo dividamosen trozos, conservación de la cantidad), y

-manejar la idea de irea (en er caso de las representaciones continuas).

Las representaciones de esta relación que vamos a describir son lasdesarrolladas en contextos continuos, discretos y mediante la utilización dela recta numérica.

3.2.t. Representaciones continuas (área) y discretas

i-.En un contexto continuo, en el que ras representaciones más frecuentesrsueren ser diagramas circulares o rectangulares (dos dimensiones):

a)

entonces,

tt

<De las cinco partes del todo se han sombreado tres>>:<3 de las 5>; <3/5.>

b) O bien

¡+.<De las cinco partes del todo, se han sombreado tres>l;

<3 de las 5>>: <<3/5.>>

c) Si la unidad la representamos por

<t 314 es la parte sombreada, siendo 1 314la forma mixtade la fracción l + 314.>

56

oooooooooo57

Si utilizaramos para los diagramas lasegmento en partes iguales

magnitud longitud, al dividir

la fracción indica las partes que se toman en relación al número de partes enque se ha dividido el segmento.

En un contexto discreto ge puedg¡epres-entar"!- l* kf--!|+tt-|:* '

f aqui el <todo> está formado por el conjunto global de las cinco bolas, tres de.{ las cuales son negras. <3/5> indica la relación entre el número de bolasl,-¡egras y el número total de bolas.

Si por otra parte representamos el todo por

@@@

entonces en la situación

@@@

. . r r t iJ , r , ' \ { '

{ fJt r ' \

@oo

@@@

<2 1/3 representa la parte sombreada>.

(-o Er interesante resaltar que si se utilizan contextos discretos se fuerza a$ oue et niño amplíe su esquema de la relación parte-todo ya que en este caso,l' cuañdo usamos un conjunto de objetos discretos como unidades, por ejem-

plo

@ @@ oo

:1-q-1""t":, repr€sentar la fracción 3/5 (tres quinros) (dividir el con¡unto enclnco partes y tomar tres) los subconjuntos que resultan también estánformados cada uno de ellos por varios áU¡"to, (en este

"uro po, áor)

@@en contraposición al contexto continuo en que las partes están formadas portrozos simples.

I ógicamente la dificultad aumenta si se toma como unidad

oooooooy se piden los 3/5, es decir, situaciones en las que la fracción no se puedeaplicar.

En la caracterización de la relación parte-todo se habla de <parteslon-gruentes) lo que no indica necesariamente partes de la misma forma. En lafigura siguiente la relación entre las partes sómbreadas y el número de partestambién se puede representar por 3is (tres qffi-;' "''qr'vru '

3.2.2. Decimales

Una estandarizaciín de la relación parte todo, junto con las característi-cas de nuestro sistema de numeración decimal, dan pie a la introducción delos decimales (fracciones decimales). Por ejemplo, utilizando la representa-ción continua y el modelo rectángulo, considerando la unidad como unrectángulo y dividiéndolo en diez partes. Cada una de las partes es enrelación al todo (unidad) 1/10, una de las diez (una décima).

. L.: noción de <partes congruentes> es de

Justrllcar que en la siguiente figuravital importanciapara poder

Si cada <parte> (décima) la dividimos en otras diez partes, obtenemos <unade diez de una de diea, 1/10 de 1/10 (una centésima).

Queremos indicar con esto, que los decimales (la notación decimal dealgunas fracciones) están vinculados a la relación más general <parte-todo>.Así concebidag las fracciones como decimales forman una extensión naturalde los números naturales. (Para un estudio más detallado del caso de losDecimales podemos consultar el tomo 5 de esta colección, DECIMALES deJurn CnNrnNo).

3.2.3. Las fracciones como puntos sobre la recta numérica

En esta situación se asocia la fracción alb con un punto situado sobre larecta numérica en la que cada segmento unidad se ha dividido en ó partes (oen un múltiplo de ó) congruentes de las que se toman <o. También se puedeconsiderar como un caso particular de la relación parte-todo.

Se destaca esta interpretación ya que aquí implícitamente se realiza laasociación de un punto a una fracción.

\1+3/5=13/5

ññ¡ñ. , . - ' { . - . . - \ . . | . * . . | >.o+1- l

J lc

en este caso se puede pensar que la fracción no se asocia a una parte de unahgura o aun subconjunto de objetos, si no que se reduce a un númeroabstracto; así como el 3/5 es un número entre el cero y el uno, el 3/2 es unnúmero entre el uno y el dos.

no podemos indicar oor 315 (tres quintos) la parte sombreada, al no estarformada por partes congruentes. Esto es debidb a que en¿;J;;ls por :7s:<la figura tiene sombreada los tres quintos A" ,u ,up"rn;;;.--'^'''

58

@@@

59

Esta representación hace que se pueda pensar en las fracciones comonúmeros parecidos al 1,2,3,4,..., y que se pueden colocar entre ellos.

Aunque esta forma de representar las fracciones provoca algunas dificul-tades a algunos niños (8-12 años), también presenta algunas ventajas (Dlcr-soN, 1984):

- hace que las fracciones impropias (fracciones mayores que la unidad)aparezcan de forma mucho más natural, así como la notación comonúmeros mixtos;

- hace hincapié en el hecho de que el conjunto de las fracciones formauna extensión del conjunto de los números naturales (las fraccionesrellenan <huecos> entre los naturales):

- t iene conexiones con la idea de mediáa (uso de escalas).

Pero, como decíamos, su utilización puede presentar algunos problemas.Los resultados de algunas investigaciones sugieren que la interpretación delas fracciones mediante la recta numérica es especialmente dificil para losniños (Novlrus,1977).

uno de los problemas que se pueden plantear es la identificacién delsegmento unidad cuando la recta numérica se ha extendido más allá del uno:

012345

Si se les pide señalar el 3/5 los niños suelen indicar el punto donde está eltres, sin embargo esta dificultad no se presenta si se les proporciona larepresentación siguiente:

r l t l t lo 1-

También se plantean problemas cuando el segmento unidad está dividido enun múltiplo del denominador. Por ejemplo:

Identifrcada una unidad de media (segmento), admite subdivisiones con-

gruentes. El número de <adiciones iterativas> de la parte resultante de la

subdivisión que <cubren> el objeto, indica la medida del objeto (proceso de

contar iterativo del número de unidades -subunidades- que se han utiliza-

do en cubrir el objeto).

<Cuánto mide esta cuerda?>

, r . t l l l

0 1 2 3 4 5 .6 7

3+l l2:3112:3+0,5:3,5

Así, desde esta perspectiva más general, en un contexto de medida, este

modelo viene caracterizado por la elección de una unidad arbitraria y sus

subdivisiones (la unidad debe ser invariante bajo las divisiones) (KIennN,

1980), significando la tarea de medir, la asignación de un número a una

<región> (en el sentido general).Al considerar las fracciones (número racional) en la interpretación de

medida, se proporciona el contexto natural para la (suma)) (unión de dos

medidas), y para la introducción de los decimales (notación decimal) (Kln-

neN, 1980).Además, el manejo de la representación de las fracciones a través de la

recta numérica debe ayudar al niño a (conceptualizar>> las relaciones parte-

todo en un contexto y reconocer contextos equivalentes que proceden de

nuevas divisiones de la unidad. Es decir, el rhanejo con la recta numérica(contextos de media) puede ser una buena introducción a la noción de

equivalencia: la misma parte de la unidad recibe nombres diferentes en

función del número de divisiones.Un adecuado recurso didáctico para desarrollar estas ideas que relacio-

nan las fracciones y la noción de medida lo puede constituir los Números en

Color.Este material está formado por regletas de madera de diferentes colores y

diferentes longitudes,

Blanca (b)Roja (r)Verde clara (v)RosaAmarilla (a)Verde oscura (V)Negra (n)Marrón (m)Azul (A)Naranja (N)

It¡

u1

<Señala el 315.>

La rccta numérica sirve también como una buena representación de lainterpretación de las fracciones como medida.

60 61

con estas regletas' la pregunta <¿qué es la regleta roja de la blanca?> tieneuna traducción en términos de medida que indica <qué mide la regleta rojatomando la blanca como unidad>.

Para contestar a esta cuestión, hacemos un <(trenD de regletas blancas dela misma longitud que la regleta roja dada, tar y como indica la figura

la regleta blanca es una de las cinco que cubren a la amarilla; así, utilizandola misma notación anterior

b: l l5xa

Luego la verde clara que está formada por tres blancas, será

u:3xb:3l5xa

es decir, la verde clara es los tres quintos de la amarilla.En general, podemos indicar que la relación parte todo (tanto en su

representación continua como discreta), constituye el fundamento de la inter-pretación de las fracciones como medida.

(Para un estudio más detallado del problema de la medida recurrir altomo 17 de esta misma colección El problema de ta medida, de chamorro vBelmonte.)

62

¡,-I. LAS FRACCIONES COMO COCIENTE

lin esta interpretación se asocia la fracción a la operación de dividir un

númcro natural por otro (división indicada a: b : alb).Dividir una canti-

du{ cn un número de partes dadas. T. E. KmnnN (1980) señala la diferenciatlc csta interpretación con la anterior indicando que, para el niño que está

n¡rrcndiendo a trabajar con las fracciones, el dividir una unidad en cinco

pirrtcs y coger tres (3/5) resulta bastante diferente del hecho de dividir tres

uni<Jades entre cinco personas, aunque el resultado sea el mismo.En esta interpretación se considera que las fracciones tienen un doble

Ispocto:

a) Ver a la fracción 3/5 como una división indicada, estableciéndose laequivalencia entre 315 y 0,6 en una acción de reparto, y

b) Considerar las fracciones (números racionales) como los elementosde una estructura algebraica; es decir, como los elementos de unconjunto numérico en el que se ha definido una relación de equiva-lencia, y en el conjunto conciente resultante unas operaciones -su-ma y multiplicación- que cumplen ciertas propiedades de tal formaque dotan a dicho conjunto de una estructura algebraica de cuerpoconmutativo.

Debido a que bajo esta intepretación se concibe a las fracciones (números

racionales) pertenecientes a un sistema algebraico abstracto donde las rela-

ciones entre los elementos son de índole deductiva, esta interpretación debetener un carácter globalizador y ser posterior en la secuencia de enseñanza alas demás interpretaciones.

En las secciones siguientes vamos a intentar desarrollar ambos aspectosde esta interpretación.

3.3.1. División indicada (reparto)

La intepretación de la fracción indicando una división de dos númerosnaturales (315 : 3 : 5) aparece en un contexto de reparto:

<Tenemos tres barras de chocolate y hay que repartirlas de forma equitativa

entre cinco niños, ¿cuánto le tocará a cada uno?>

<La roja es dos veces la blanca.>

Si la pregunta fuera <¿qué es la blanca de la roja?> (¿qué mide la regletablanca cuando tomamos la roja como unidad?), entoncás la <blanca es unade las dos que cubre a la roju. Entonces la relación entre la blanca v laroja es de ll2.

b:1. l2xr

En este caso se dice que la regleta blanca es un medio de ra roja. ".,Esta situación se puede generalizar. si consideramos como unidad la

regleta amarilla y preguntamos: <¿qué mide la verde clara?), entonces sepuede volver a la regleta blanca y se tiene,

<Cinco veces la blanca es una amarilla.>

pt

/5I

t-1

,nJ/C

1/5

63

según los trabajos de la profesora Hnnr (r9g0) sólo la tercera parte de losniños de doce y trece años eran capaces de darse cuenta que dbs númerosnaturales se pueden dividir uno por otro pudiéndose

""p.óra, el resultado

exacto mediante una fracción.La resistencia de los niños a ver 3 : 5 como 3/5 puede ser debido a que

muchos de ellos se encuentran familiarizados con la interpretación parie-todo para las fracciones y por tanto ven los 3/5 como la deicripción di unasituación (de cinco partes hay tres sombreadas), mientrar qu. pó. orra parre,la división indica un proceso, precisamente el proceso de iepártir 3 paitelesentre cinco niños.

No hay que olvidar tampoco que muchos niños (incluso en el ciclo Su-perior), debido al manejo de los números naturales, dicen que la división 3 : 5no se puede realizar cuando se les presenta de forma aritmética.

Sin embargo, a pesar de esto, existen opiniones (SrnnnrrnNo, 19g4) quecentran el desarrollo de las secuencias de enseñanza de las fracciones alrede-dor de esta interpretación, indicando que la dificultad que presenta la ense-ñanza de las fracciones en la escuela, consiste en que se tiende rápidamente acentrarse en un tratamiento formal y algorítmico de estas ideas.

La alternativa consistiría en buscar situaciones de la vida real, diaiia dereparto y de medida que conllevarán el trabajo con las fracciones y, apoya-dos en el conocimiento informal que sobre éstas llevan los niños cuandoentran en la escuela, potenciar a través de estas situaciones la <construcción>del concepto, las operaciones y las relaciones en las fracciones por lospropios niños.

L. Srnnnrr¡,No al destacar esta interpretación (situaciones de reparto-medida en las que están implicadas las fracciones) marca la diferencia conotras aproximaciones indicando que ante la situación

<<En un restaurante, hay que repartir tres pizzas entre cinco niños ¿cuántocorresponde a cada uno?>

el resultado 315 aparece a partir de un proceso de diferenciar, dividir, abre-viar, representar, simbolizar,... indicando mucho más que la simple represen-tación del diagrama.

Además, la secuencia que se deriva de plantear ra situación anterior, seapoya en los procesos de verbalización que realizan los niños de los pasosrealizados.

64

De forma esquemática los principios de enseñanza de las fraccionesclefendidos por este autor con esta aproximación son (L. SrnnnnrlNo, 1984):

o Lo que es importante es la <construcción> de las operaciones con lasfracciones por los propios niños;

- construcción basada en la propia actividad de los niños: estimación,desarrollo de cierto sentido del orden y tamaño...;

- la valoración del trabajo de los niños, sus métodos y procedimien-tos, aunque difieran de las aproximaciones formales;

- el énfasis se traslada a la verbalización de los niños, verbalizacióndel conocimiento adquirido, ser capaz de formular una regla, com-prender el poder de las generalizaciones...;

- Se utiliza el conocimiento informal de los niños como bases paraempezar la ecuencia de enseñanza (ideas relativas a mitades, ter-cios,... los procesos básicos de dividir, repartir,...).

. Desarrollo de situaciones de comprar y ordenar en las que los niñosconstruyan procedimientos de solución mediante procesos de dividir,ordenar, medir, componer,...

. Utilización de modelos de apoyo (regiones o segmentos, recta numéri-ca, Ldblas de razones,...) y situaciones problemáticas (situaciones de lavida diaria) que sirvan de <puente> (conexión) entre las situacionesproblemáticas en diferentes contextos y el trabajo numérico.

Bajo esta perspectiva el significado de fracción y las operaciones estánconectados de tal forma que se desarrollan al mismo tiempo.

Defiende la idea de que son los niños que tienen que <construir> y no losprofesores.

Sin embargo al desarrollo de las secuencias de enseñanza con 1a inter-pretación de la idea de cociente (reparto) se le puede plantear algunasmqizaciones según se utilicen en contextos discretos o continuos (área,lo/[í ud) (Brun er a/.. 1983).

I-lado un contexto discreto:

<Repartir veinte cartas entre cinco buzones.>

o un contexto continuo:

<Tenemos una cinta de 22 cm. Hay que repartirla entre 4 niños ¿cuánto letoca a cada uno?>

los niños realizan considerablemente mejor las tareas de reparto en contex-tos discretos que en contextos continuos. Se ha señalado la explicación deque en el caso continuo los niños necesitan un (esquema anticipatorio bicn

65

desarrollado), es decir, un <plan de acción> previo a ra rearizacrón de latarea, _mientras que en el caso discreto ra tarea se puede rearizar medianteprocedimientos directos. Entonces como señala M.

^Bnun et al. (r9g3):

Debido a que las estrategias empleadas por los niños para las tareas concantidades discretas son tan diferentes a las empleadas en taieas con cantidadescontinuas, se puede asumir que la estructura cognitiva implicada en resolver unau otra tarea son diferentes.

An_te los dos ejemplos anteriores, en el contexto discreto, er proceso desolución se puede realizar simplemente empezando a repartir las cartas(proceso directo). El resultado de cuatro curias por buzón puede ser vistopor los 415 del estado unidad descrito por las veinte cartas áel principio.

En el contexto continuo no existe ese proceso tan directo. un prócedi-miento de estimación o de tanteo, o una operación aritmética puéde' se.necesarios para acercaÍnos a la solución.

Sin embargo la necesidad de un <plan de actuación> previo pa* realizarla tarea, que aumenta la dificultad de realización po. pu.i" del niño, no sóloestá vinculada al contexto continuo o discreto áe lá tarea a reali4gr sinotambién al tipo de tarea de que se trate. como veremos en el pióximocapitulo, cuando la tarea no es de <división-reparto> sino de ordenación defracciones, parece ser, según señala el profesoi T. R. posr (19g5) que es elcontexto discreto el que parece exigir la existencia de un <esquema anti-cipatorio (plan) para realizar con éxito la tarea.

Atendiendo a esto, no se puede generarizar la dificultad que presenta untipo de contexto (discreto o continuo) frente a otro sin vincularlo de antema-no a un tipo de tarea.

De todas maneras, en esta interpretación de <división-reparto), la princi-pal habilidad que se refleja es la de dividir un objeto u objet^os en un númerode partes iguales.

Retomando el ejemplo del principio de esta sección:

<Repartir tres barras de chocolate entre cinco niños de forma equitatiuu".ff ¡los procesos de solución (división-reparto) y las simbolizaciones representa_ciones de estos procesos que se pueden aiometer aquí se convierten en eltrabajo previo (preactividades) a la resolución de ecuaciones. En esre caso

5'x:3

siendo <x> la cantidad de barra de chocolate que le corresponderia a cadaniño. Es decir, este tipo de actividades r" prr"-d"n convertir en los pilaressobre los que se fundamenten el trabajo con los números racionales comoprecursor del álgebra.

66

Para frnalizar, podemos considerar que, en esta interpretación de lasfracciones como cociente y en las situaciones de división-reparto en las queuna cantidad se divide en un número de partes dadas, se pueden distinguirdos aspectos:

a) Cuando nos proporcionan la cantidad y el número de partes en lasque hay que dividirlo y nos piden lo que vale cada parte (reparto).

<Tres pizzas entre cinco niños.>

b) Cuando nos proporcionan la cantidad y lo que vale cada parte y nospiden el número de partes (medida).

<Tenemos tres pizzas y a cada niño le ha correspondido los 3/5 de una pizza.¿A cuántos niños hemos podido dar pizza?>>

3.3.2. Las fracciones como elementos de una estructura algebraica

Como hemos indicado, las actividades en situaciones de reparto-medidaconstituyen el sustrato sobre el que se construye la interpretación de lasfracciones como elementos de un cuerpo conmutativo (estructura algebraica).Se conciben las fracciones (números racionales) como elementos de la formaa/á, siendo a y b naturales (para Q +) (b * 0) que representan la solución dela ecuación

b'x: a

(Para un desarrollo detallado de las relaciones, y propiedades que se dan enel conjunto Q, se puede recurrir a cualquier libro de Algebra Elemental).

De forma clara <esta interpretación de las fracciones (números raciona-les) como elementos de un cuerpo (estructura algebraica) no está estrecha-mente vinculada al pensamiento natural del niño al dearrollarse de formadeductiva las operaciones y propiedades> (Kmnrr.r, 1975).

3.4. La fracción como razón

En las secciones anteriores se han caracterizado las fracciones en situa-ciones de comparación parte-todo, pero algunas veces las fracciones sonusadas como un <índice comparativo) entre dos cantidades de una magnitud(comparación de situaciones). Así nos encontramos con el uso de las fraccio-nes como razones. En este caso no existe de forma natural una unidad (un<todo>) como podía ocurrir en los otros.casos (podíamos entender estocomo que la comparación puede ser bidireccional).

67

fr,

, En esta situación, la idea de par ordenado de números naturales toma

nueva fuerza. En este "uro

no.-uünente la relación parte-parte (o la relación

todo-todo) se describe con a: b.Algunos ejemplos en diferentes contextos pueden ayudarnos a clarificar

esta interpretación (subconstructo) de las fracciones:

La relación entre los puntos de A y de B es de 3/5>: (3 : 5)'

La relación entre los puntos de B y de '4 es de 5/3): (5 : 3)'

a) ,4 es los 315 de B: (3 : 5).B es los 513 de A: (5 :3).

e) Las recetas de comidas, las mezclas de líquidos' las aleaciones'"'

Las comparaciones realizadas en los ejemplos anteriore-s describen una

relación <conjunto a conjunto> (todo-todo), aunque las fracciones como

razones también aparecen cuando se describen compraciones (parte-parteD'

E¡slupro l:

la relación (razon)entre bolas negras y blancas es de tres quintos (3/5)'

E¡Buplo 2. La relación de niños y niñas en este grupo es de tres quintos (3/5)'

La razl¡entre los círculos y los cuadrados es de tres quintos (3/5)'

b)

oooooooo

La altura del muñeco A es 315 de la de B; (3 : 5)'

La altura del muñeco B es 513 de la del A: (5 : 3)'

c) Las escalas en los dibujos de mapas, planos,

d\

oooT NNNT

Algunos autores utilizan contextos cotidianos para dotar_de signihcado a

la idea de razón. El particular, L. StnnnnteNo (19-84) utiliza la <situación del

restaurante) para contex tualizar (dotar de contexto como un modelo de

comprensión) la proporcionalidad (igual de razones) cuando se interpretan

las fracciones como razones.

<<Enunrestaurantedondeexistenmesasdediferentestamañosyenlosquese colocan cantidades diferentes de 60cadillos 10s niños se distribuyen por

mesas.))

E¡nuplo 3.(3 : 5).

lt¡

6869

24 = número de bocadil los

32 niños

Se pretende que los niños a través del trabajo en esta situación se den cuentade la equivalencia de situaciones (en relación al número de bocadillos que lecorresponde a cada niño), además de iniciar una esquematizaciín progresivade esta relación.

Evidentemente podemos mantener la estructura de estas situaciones va-riando el contexto. Se puede aplicar a la relación entre cantidades de puntosconseguidos por un equipo de niños y el número de niños de cada equipo. Sedetermina la relación niños : puntos.

Realmente la operación que estamos realizando (establecer una relación)se puede representar mediante una aplicación que asocie cada grupo de tresbocadillos con un grupo de cuatro niños, según indica DENES ( 19'72).

Otro contexto <natural> para esta interpretación de las fracciones comor¿Lzones lo podemos encontrar en la relación entre cantidades de una magnitud(o de magnitudes diferentes) (contextos particulares, mezclas, aleaciones...).

Si denominamos por M1 y M2 a las magnitudes y poÍ ai a las cantidadesde Ml y b, a las cantidades de M2

M1IM2a1 lo,a2

lo,

la relación entre las cantidades de Ml y M2(a,;./ \ puede no tener dimen-sión (cuando Ml y M2 son la misma magnitud) /-r'y;ede tener dimensión, loque ocasiona qve apaÍezca otra magnitud. Un ejemplo 1o tenemos al compa-rar longitudes, como en el caso de la altura de los muñedos, ejemplo á)anterior, en donde la relación que aparece es sin dimensión, y otro casoaparece cuando compramos longitudes (metros) con tiempo (segundos) parahablar de velocidades (metros/segundos).

Este camino conduce a situaciones en las que se tienen que compararrazones.

<<Un coche A recorre un trayecto de 3 km en 5 minutos. Un coche .B recorreun trayecto de 4 km en 6 minutos. ¿Qué coche lleva una velocidad. mayor?>

<Un niño compra 3 caramelos por 5 pesetas. Otro niño compra 4 caramelospor 6 pesetas ¿quién ha comprado los caramelos más baratos?>

o n buscar valores adicionales a las razones que se pueden construir (proble-nlus de regla de tres),

<Un coche A recorre un trayecto de 3 km en 5 minutos. ¿Cuánto tardará enrecorrer un trayecto de 4 km?>

<Un niño compra 3 caramelos por 5 pesetas. ¿Cuánto pagatá por 4 carame-los?>

r¡uc constituyen un marco natural para las proporciones (igualdad de razo-rres-equivalencia de fracciones) con esta interpretación.

(Para un estudio más detallado de las razones y las proporciones, recurrirnl tomo 20 de esta colección PROPORCIONALIDAD de M. LuIsn Flor y.1, M. FonruNv).

Otras interpretaciones de las fracciones como raz6n aparecen asociadas a()lros contextos como son la representación de la probabilidad y los porcen-lrrJcs.

Mostramos a continuación algunos ejemplos de estos aspectos.

.1.4.1. La probabilidad

De todos es conocida la dificultad que presenta el estudio de las probabi-lidades en los niveles superiores, desconectada de cualquier otro tópico de laenseñanza primaria. La utllizaciín de las fracciones en este contexto se le daun carácter de cálculo (aritmético) sin pensar que la estructura cognitivarubyacente a las relaciones implícitas en contextos de probabilidad estávinculada a la red de relaciones establecida para los números racionales.

Podemos considerar algunos ejemplos de su utilización, en los que secstablece una (comparación> todo-todo entre el conjunto de casos favora-bles y el conjunto de casos posibles, como en

<En una bolsa hay tres bolas negras y dos blancas. Sacamos aleatoriamenteuna bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra?

<Al lanzar un dado cuál es la probabilidad de obtener un seis.>

3,4.2. Porcentajes

La relación de proporcionalidad que se establece entre un número y 100(ó 1000) recibe el nombre particular de porcentaje. Por regla general losporcentajes tienen asignado un apecto de <operador>, es decir, al interpretar<cl 60 oA de 35¡> se concibe <actuando la fracción 60/100 sobre 35> (hacer

100 partes de 35 y coger 60). (La interpretación de las fracciones comooperador será descrita en la sección siguiente.)

70 7l

utilizando el lenguaje de aplicaciones, los porcentajes se pueden entendercomo el establecimiento de <relaciones> entri conjuntos (ázones), estable-ciéndose subconjuntos de cien partes. por ejemplo-cuando se estatlecen lasrebajas del 15 o%, estamos estableciendo uná reiación <de 15 es a r00> quepara una cantidad de 300 pesetas vendría representado por

entonces existe la <<misma reración> (definiendo la <relación>r en el sentido dela aplicación biunivoca entre subconjuntos) entre <r5 es a 100> como en <45es a 300>.De todas formas la diferencia entre estas dos interpretaciones de lasfracciones como razones (probabilidad y porcentajes) y la relación parte-tod.o descrita en la primera sección de esie^capítuto pueae ,.rultu. bastantesutil.

3.5. LAS FRACCIONES Y LOS OPERADORES

Bajo esta interpretación las fracciones son vistas en el papel de transfor-maciones: <algo que actúa sobre una situación (estado) y lá ."ám.a>. Seconcibe aquí la fracción como una sucesión ae muttipncáá"*, v ái"isiones,o a la inversa.Por ejemplo si en un_context{¡{screto tomamos como una situación departida (estado-unidad) er conjundJ drrma¿o por los 36 niños de una clase, elefecto de la aplicación del operado r 213 (d,os tercios) se puede ,.pr.r"nru,

Pof'

, De nuevo hay que insistir en que el operador lleva implícito un convenio:primero actúa la división y luego la multiplicación, identificándose asi con lainterpretación parte-todo. También se puede invertir el convenio y actuarsiempre la multiplicación en primer lugar y luego la división.

Hay que observar que, bajo esta interpretación, las fracciones se utilizanen un doble aspecto:

a) describiendo una orden, una acción a realizar (operador), yb) describiendo un estado de cosas, es decir, describiendo una situación.

En el ejemplo anterior utilizando el contexto discreto se mostraban losdos aspectos de Ia utilización de las fracciones bajo esta interpretación.

De forma esquemática, si representamos el estado unidaá por uno, elresultado de aplicarle el operador <dos tercios) nos proporcioni el estadofrnal213.

Esr¡,oo Oppnloon Esupo

I x (213)

Este doble aspecto de las fracciones en esta interpretación predeterminaun poco el estudio que se pueda realizar. En este caso, por ejemplo, podemosestablecer de dos formas la equivalencia de fracciones:

i) Equivalencia de operadores. operadores fraccionarios diferentes, queal actuar sobre el mismo estado-inicial dan el mismo estado final

Esr¡oo Open¡pon Esrlno

12t2t2

x (2/3)x @16)x (81t2)

888

Esuoo-uNrolo(srruncróN) Op¡nlnon Esrroo nlNtl-

36 niños (Dividir por 3,multiplicar por 2)

24 niños

ii) Equivalencia de estados. un mismo operador que al actuar sobreestados unidad diferentes produce la misma tranformación (comparando elestado inicial y final en el sentido descrito en la sección anteriár sobre la<<raz6n>>), lo que nos introduce de forma natural a la noción de proporción.

al estado final <<24 niños> también recibe el nombre de estado <dos tercios>como la descripción de un estado de cosas.

En un contexto continuo,_ por ejemplo cuando actúa la fraccion 213considerada como operador sobie un segmento de longitud dada, se obtieneotro segmento de longitud 213 del original.

72

Esr¡oo Oprnnoon Esr¡oo

t2t524

x (213)x (2/3)x (2/3)

8l0t6

73

la <<relación> entre el estado inicial y el estado final siempre es <dos a tres).Esta interpretación enfatiza el papel de las fracciones (números raciona-

les) como elementos del algebra de funciones (transformaciones) al mismotiempo que conduce a la idea de que los números racionales forman ungrupo (estructura algebraica) con la multiplicación.

Encontramos así un contexto natural parala composición de transforma-ciones (funciones, operador), la idea de inversa (el operador que reconstruyeel estado inicial), la idea de identidad (el operador que no modifica el estadoinicial).

Este aspecto de las fracciones ha sido tratado con detalle por Z. P.DrcNes, al desarrollar una aproximación estructuralista en la enseñanza delas Matemáticas (en la aproximación estructuralista la actividad del niño sedirige hacia la construcción de estructuras matemáticas formales). En pala-bras del propio Z. P. DIsNus (1972, pág. 111):

Se observará que todas estas diferentes facetas del estudio de las fracciones(razón,porcentajes, decimales, ...) pueden ser comprendidas dentro de un esquemade la estructura operacional de las matemáticas si consideramos una fraccióncomo la sucesión de una partición y una operación de multiplicar... a:

Como resultado de este método de tratamiento, deberá también constatarseque el estudio de las fracciones forman parte de un estudio mucho más amplio ygeneral sobre los estados y los operadores. Esta constatación se conlirmarácuando se aborde el estudio de la geometría, donde las transformaciones son losoperadores y las distintas posiciones de las figuras los estados y en el campo del ál-gebra donde los vectores serán los estados y las matrices los operadores.. .(pág. ll2).

3.6. UNA VISION GLOBAL DE LAS FRACCIONES

3.6.f. Relaciones entre las distintas interpretaciones

En las secciones previas hemos descrito las diferentes interpretacionesque se pueden asociar a la idea de fracción, caracteizándolas en sus rasgosmás relevantes.

Debido a las diversas perspectivas con las que se puede concebir elconcepto fracción, algunos autores lo consideran un megaconcepto (refirién-dose al número racional como sintetizador de todas las interpretacionesdescritas) constituido (construido) por diferentes subconceptos (lo que noso-tros hemos denominado interpretaciones).

Los rasgos generales de cada interpretación señalados en las seccionesanteriores muestran que el ser (hábib) en dichas interpretaciones conlleva eldominio de diferentes estructuras cognitivas ----entendidas como esquemas depensamiento subyacente a las acciones necesarias para desarrollar tareas queimplican la idea de número racional en cualquiera de sus interpretaciones-que se dan en el niño en diversas épocas de su desarrollo, lo que condicionalas secuencias de enseñanza en vn momento determinado.

Además, desde una perspectiva de enseñanza no es posible aislar porcompleto cada una de las interpretaciones de las demás. Algunas de ellastienen vinculaciones (naturales> que no se pueden ignorar, y hacen que altratar un determinado aspecto del número racional, implícitamente esténpresentes otros aspectos.

Estas relaciones han sido conceptualizadas para la enseñanza a través delsiguiente esquema (Bnnn, M. J. et al.,1983, pág. 100).

Diagrama 3.1

los autores indican mediante flechas continuas las relaciones establecidas ymediante flechas discontinuas las relaciones que se conjeturan.

Las recientes investigaciones sobre el aprendizaje de los conceptos relati-vos a las fracciones han señalado algunas de estas dependencias, así como laaproximación de unas interpretaciones a otras cuando nos introducimos encontextos <<más abstractos>.

I iNIVERSIDAO DISTR'TAL 75FRANrlcrn rñ{E nr rdr , .Á.

74

Por ejemplo, cuando se utiliza la relación parte-todo en contextos discre-tos, las situaciones nurhericas puede conducirnos a la idea de operador o deporcentaje (raz6n).

<315 de 20>> puede ser interpretado como una fracción actuando sobre unnúmero (operador), es decir, una acción más que la descripción de unasituación; o cuando empleamos para describir esta situación el lenguaje deporcentajes ó0 oÁ de 20>, el 60 por ciento de veinte, estamos comunicandoque existe la misma <relación>: (en el sentido de razón) <tres de cinco> queen ((sesenta de cien>.

Por otra parte, en la sección 3.5 de este mismo capítulo se mostraba larelación existente entre la interpretación de la fracción como operador ocomo razón, cuando se describía la equivalencia de estados. .r

Además, como señala el propio Z. P. DnNns, la conexión entre la inter-pretación de la fracción como operador y la idea de medida se encuentra enun contexto natural en la realización de mapas y planos (la utilización deescalas).

Para intentar clarificar estas últimas relaciones podríamos indicar que las<paredes> que pueden separar las distintas interpretaciones del número ra-cional se van haciendo más <finas> según subimos por el edificio matemáti-co, hasta que llega un momento que en <contextos abstractos> (trabajoalgebraico con números y ecuaciones) pasamos de una interpretación a otrasin impedim€ntos (conceptuales>. El poder de generalización y síntesis de lasMatemáticas se muestra para ayudarnos a desenvolvernos con facilidad.

Con todas las caracterizaciones anteriores, hemos pretendido mostrarque el concepto <fracción> (número racional) es muy complejo; formado pordiversas interpretaciones e interrelaciones entre ellas; por eso, no podemosmás que hacernos eco de la sugerencia de Suvn¡,u (1979) que, después dehaber hecho una revisión de los proyectos de investigación desarrolladoshasta 1979, en relación a la enseñanza de las ideas relacionadas con elnúmero racional señala que conviene:

- considerar objetivos a largo y corto plazo en relación a cada una delas interpretaciones;

- seleccionar las interpretaciones apropiadas para desarrollar esos obje-tivos, teniendo en cuenta las estructuras cognitivas necesarias;

- proporcionar secuencias de enseñanza (actividades) que contribuyan alcrecimiento de estas estructuras.

76

De todas formas, y como habíamos señalado al principio de esta sección,

manejar las diferentes interpretaciones viene vinculado al dominio (posesión)

de determinadas estructuras cognitivas (lo que condiciona el momento de(ver)) en la escuela estas interpretaciones). De forma esquemática, tenemos:

La necesidad de que el niño desarrolle la comprensión del número racio-

nal en todas sus interpretaciones, así como plantear las relaciones entre estas

interpretaciones diferentes ya ha sido defendida por algunos educadores

matelnáticos, como hemos señalado en el primer capítulo (véase la opinión

de KmnnN, Dmurs,...).El estudio pormenorizado, las caracterizaciones y las implicaciones en el

proceso de enseñanza de algunas interpretaciones, en particular decimales,

medida, fazon, operador, se sale fuera de este libro y ya ha sido estudiado

por otros autores.

3éZ-, Papel destacado de la relación parte-todo

Ahora bien, parece ser que la i{r-te.rpretación par(e-todo, tanto en contex-

tos continuos como discretos (caracterizado en la sección 3.2) constituye la

piéára angúlar sobre la que se van a desarrollar algunas de las restantes

interpretaciones, tal y como se indica en el diagrama anterior'

Esta <naturalidad> del concepto parte-todo se ve reflejada en la gran

atención que normalmente recibe en el desarrollo de las matemáticas escola-

res.Además, existen opiniones (E[nnnnucH, PAYNE, 1978) que dehenden la

idea de que para realizar la introducción al concepto de fraccón se_debe usar

unu int.iprétación simple (contexto de área. continuo), indicando que la

ríación parte-todo es la que constituye la interpretación más natural para

los niñoJ(además de constituir un buen modelo para dotar de significado a

la suma de fracciones).Sin embargo estas introducciones unívocas tienen que ser completadas a

lo largo de la enseñanza con otras interpretaciones del concepto de fracción

para intentar evitar las posibles limitaciones conceptuales que se podrían

lnferencias en la secuenctade enseñanza

77

derivar. Una excesiva asociación de la idea de fracción a la interpretaciónparte-todo (contexto continuo) podría plantear dificultades ante cuestionescomo la siguiente (Hanr, l98l):

<María y Juan tienen dinero en el bolsilo. María gasta 1/4 del suyo y Juanll2. ¿Es posible que María haya gastado más que Juaut

,--: D" todas formas no hay que olvidar que las nociones matemáticas no se/

desarrollan todas de una vez y al mismo nivel de <manejabilidad> (operativi-I quqr'por tanto hay que aceptar que los niños puedan desarrollar una noción/ de fracción vinculada a la relación parte-todo én un mom"nto de la enseñan_I za, y al ampliar el concepto de fracción a otros ámbitos (a otras inter-¡_ pretaciones) esta noción primitiva se reconceptualjzará (readaptará) modifr_

cándose.De esta forma concebimos el <paso)) de las diferentes interpretaciones de

la idea de fracción por la secuencia de enseñ anza, pretendiéndóse que al linalIa construcción del concepto de número racional tenga como subconceptoslas diferentes interpretaciones que ha ido adaptando i lo lurgo de sr4forma_ción (aplicabilidad a diferentes interpretacionis).

vamos a desarrollar la relación parte-todo en los próximos capítulos,intentando trasladar las consecuencias del análisis teórico de la relación asituaciones de clase.

De forma aleatoria se establecerán conexiones con las otras interpreta-ciones de tal forma que se pueda empezar a delinear la futura <<tela de araña>de relaciones que constituye las ideas relativas al número racional.

fñ!

*

4.La relacíón parte-todo

y las fracciones

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Lil.'-Er.:li

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78

4.I. INTRODUCCION

En el capítulo anterior habíamos caracterizado la interpretación parte-todo cuando un <todo> o varios (continuos o discretos) éra dividido enpartes y la fracción nos describía la relación entre las <partes> que seconsideraban y el número de partes en que se había dividido el todo.

El primer contacto que tiene el niño con esta relación es relativamentetemprano, como ya se ha señalado. Expresiones como <media manzana>>><medio vaso de leche>, <dame un trozo de tarta> pertenecen al vocabularioinfantil desde los primeros años.

Las aproximaciones que el niño realiza a estas nociones (relaciones) sonen un primer momento cualitativas y no alcanzan todavía el fango dedescripciones cuantitativas de una situación. Este hecho ha apoyado la ideade introducir la <estimación> (aproximaciones cualitativas) en el proceso deenseñanza de las nociones iniciales en relación a la fracción, como una formade ayudar al niño a anticipar la formación de <estructuras operativas>necesarias para crear (buscar) procesos de solución en situaciones problemá-ticas que conlleven de forma implícita la noción de fracción.

A partir de este momento vamos a intentar identificar las característicasde la estructura cognitiva que permite manejar la noción parte-todo.

4.1.1. Los atributos de la relacién parte todo

Independientemente de la aproximación cualitativa, algunas habilidadesnecesarias para el dominio de la relación parte-todo son la capacidad dedividir un todo en partes, reconocer el todo, realizar divisiones cóngru"nter,reconocer las partes del todo...^ El manejo de estas <habilidades> (la posesión de la estructura cognitivaque permite realizar estas acciones) ha sido estudiado por pracEr, INHer,nsny SznmNsrn (1960) indicando que la noción de fracóión en su aspecto parte-todo sostenida por los niños (en contextos continuos-área) se apbya en sieteatributos (citado por Suvoau, 1979, pág. l5).

..:¡\r,t Un todo está compuesto por elementos separables. Una región o'' superficie es vista como divisible.

(t. , 1," separación se puede realizar en un número dete.rminado de-- partes. El <todo> se puede dividir en el número de partes pedido'

3. Las subdivisiones cubren el todo; ya que algunos niños cuando se

les pedía dividir un pastel entre tres muñecos, cortaban tres trozos e

ignoraban el resto.4. El número de partes no coincide con el número de cortes'

5. Los trozos -partes- son iguales. Las partes tienen que ser del

mismo tamaño ----congruentes-.6. Las partes también se pueden considerar como totalidad (un octavo

a de un todo se puede obtener dividiendo los cuartos en mitades).

\1 El <todo> se conserva'

Estos atributos fueron ampliados por PnvNE (1976) con los que él veía como

necesarios (esenciales) para el aprendizaie inicial de estas nociones.

8. Control simbólico de las fracciones, es decir, el manejo de los símbo-los relacionados a las fracciones.

fñ Las relaciones parte-todo en contextos continuos y discretos.

0b Las fracciones mayores que la unidad.h. Subdivisiones equivalentes.

Tanto la idea de que las partes se pueden considerar a su vez como todos

(señalada por Pncnr), como la noción de las subdivisiones equivalentes(señalada por PnvNe) están estrechamente relacionadas con la noción de

iraccioneq equivalentes, es decir, con la <habilidad> de reconocer cuando

distintas partes de un mismo todo, obtenidas con diferentes divisiones, nos

dan la tnir.nu parte de la totalidad, lo cual nos lleva a admitir una misma

relación parte-todo a través de <nombres equivalentes>>.

Veámoslo con un ejemPlo:

Totalidad.

División en dos partes. División en 8 partes'

Relación 1 a 2 e¡tre Parte Y todo.

80en ambos casos tengo igual parte del total.

Relación 4 a 8 entre parte y todo.

8l

Distintas relaciones parte-todo pueden expresar la misma parte de unobjeto total. En este caso las relaciones se refieren al mismo objeto fisico, ypor ello se dicen equivalentes.

4.1.2. Los contextos de la relación parte-todo

La utilizaciín de determinados contextos pueden influenciar el desarrollode secuencias de enseñanza ctJyo objetivo sea la adquisición de las primerasnociones relativas a la relación parte-todo.

\ tos continuos, basadas en actividades de doblar papel, pajitas,... las ideasbásicas relacionadas con la noción parte-todo pueden ser adquiridas porniños de ocho años, mientras que la utilización de contextos discretos en lasactividades de enseñanza pueden ocasionar en un primer momento mayoresdificultades (PnvNn, 1978).

Esta opinión contradice las conclusiones del trabajo de Novu,us (1976)que indica que los dos contextos resultaron ser del mismo grado de dificul-tad. 't

El objetivo de las investigaciones de Novu,us consistía en identificar lasposibles dependencias conceptuales que se pudieran dar entre las ideas vin-culadas a la noción de fracción.

Entre las ideas que consideró se encontraban la de asociar una fraccióncon el área de una parte de una figura (contexto continuo), con un subcon-junto de un conjunto (contexto discreto), o con un punto de la recta numéri-ca. Aunque interesantes, los resultados deben ser considerados con precau-clon.

I:{,o.ytl¿¡S. p o n-c-lu.Ig q}e _gl de sa rr o {9 . de _ las - relasi p¡re s . "p arfe ¡-tg-d.q encontextos continuos-y discretos 5pn-reguisilos previos para el trqpajg_cq¡ larecfa .numérica.¡ Además sus experiencias indicaron que la capacidad deasocipr gna fracción a una representación en un contexto discreto o continuo¿ñi#á at-íiáliá¡o con las relaciones de équivalenciá laii'ertiiites'"hornbiespara las relaciones equivalentes).

.,--'-'^ Nuestra opinión es que para diseñar secuencias de enseñanza (actividadesde clase) debemos optar por un contexto continuo, en primer lugar, e irintegrando posteriormente actividades en las que se utilicen como fase inter-media objetos articulados para utilizar finalmente situaciones en las que el<todo> (la unidad> esté formado por elementos discretos. En este caso elobjetivo de la secuencia de enseñanza (objetivo a corto plazo) será desarro-

i llar-potenciar los atributos del concepto de fracción (asumiendo en este caso' los señalados por Pr¡,c¡r et al. y los añadidos por PevNn).

Estas consideraciones tienen inferencias en la secuencia de enseñanza. Deforma resumida se puede indicar que aunque la relación parte-todo es básica

82

e inicial para la adquisición de las nociones relativas al número racional,dentro de este concepto no todos los contextos presentan la misma dificul-tad, lo que condiciona la clase de materiales (concretos) que deben serutilizados.

De forma esquemática obtenemos:

Relación parte-todo:

a) Contextos continuos: cuart i l las,t iras de paPel, Pai i tas...

4.1.3. L¿ relación parte-todo como generadoradel lenguaje y símbolos

De alguna manera se puede entender que la relación parte-todo se en-cuentra en el origen de las demás interpretaciones del número racional. Estaintepretación es de las más intuitivas en el niño, por tanto el problema seplantea en que su uso la convierte en generadora de lenguaje y símbolos, quevan a constituir la base y origen del trabajo con las demás interpretaciones.

Debe tenerse mucho cuidado en la identihcación de los símbolos con lassituaciones, así como en la utilización del lenguaje asociado a las ideas departe-todo que se realiza en estos momentos. La atención especial que recibeesta interpretación inicial de las fracciones nos obliga a ser cuidadosos conlas ideas que en ella se transmiten.

El lenguaje y los símbolos utilizados en este primer momento puedencondicionar la comprensión de futuras ampliaciones de la noción fracción.

Así, algunas investigaciones (Krnsr-srn, 1986) han señalado que el mane-jo de las fracciones como números en determinadas tareas como pueden ser:

- colocar fracciones sobre la recta numérica,- nombrar fraccions (entreD dos fracciones dadas,...

son relativamente complicadas para los niños que sólo <ven> las fraccionescomo una descripción de una relación entre las partes en que se ha divididoun todo y el todo.

83

Por otra parte, una inferencia que se debe hacer en el desarrollo de lassecuencias de enseñanza de la noción fracción es el cuidado especial que havque tener en identificar las manipulaciones concretas, la expresión veJbal, losdiagramas, la expresión escrita y los símbolos que se manejan en estassituaciones. (Estas ideas serán descritas a lo largó de las próximas seccio_nes.)

En otras palabras, en un primer momento de la secuencia de enseñanza,el objetivo primordial de desarrollar la comprensión del concepto vienevinculado a la capacidad de <representación> que el niño pueda hacer de lanoción parte-todo.

Esta idea de intentar vincular el objetivo de conseguir la comprensión dela relación parte-todo ala capacidad de representar esta co-preniión conse-guida nos presenta otra de las características de la secuencia de enseñanza: lanecesidad de <negociar> el significado de los símbolos con los niños.

Bajo esta perspectiva, la idea de <negociar> el significado de los símbolosdebe verse como el propósito de llenar de significado los símbolos (la repre-sentación de la relación) que los niños utilizan (o van a úilizar) para descri-bir las situaciones que llevan implícitas la noción de fracción. .:

. Este hecho hace que nuestra atención se centre en las posibles representa-ciones de la noción parte-todo así como en las diferenteslraslaciones de unarepresentación a otra. (Esta cuestión será desarrollada en detalle en la sec-ción 4.4 de este capitulo.)

4.1.4. La relación parte-todo y el conocimientoinformal de los niños

una forma de comenzar a desarrollar el <lenguaje de fracciones>, quepretenda dotar de significado los símbolos que utilizamos para representar elconcepto, es dar importancia al conocimiento que de forma fragmentaria einformal llevan los niños en relación a la noción fracción (parte-iodo) cuan-do vamos a empezar a trabajar estas ideas. También conviene localizarsituaciones usuales en las que <hay fracciones> aunque nunca se hayantrabajado así.

Actividades desarrolladas en las auras normalmente que pueden no tenerninguna relación, a primera vista, con el desarrollo de conciptos matemáti-cos, pueden ser utilizadas a este respecto.

Ejemplo de este tipo de actividades pueden ser la construcción de mura-les o mosaicos en el aula. La colocación de un gran panel de papel en unapared de la clase, el cual se divide en regiones iguales pu.u gtupor de niños alos que se les pide que realicen sus dibujos pueden- ser ñtilés a través decuestiones y actividades como:

84

- <repartiros cada trozo entre los cuatro miembros de vuestro equipopara que todos tengais la misma cantidad de papel>;

- la introducción por parte del profesor de divisiones <no normales>.

pueden suscitar cuestiones como,

<¿Cómo se puede saber si son iguales las partes?>

Provocando los comentarios de los niños y dejando que sean ellos los quejustihquen sus respuestas.

La construcción de mosaicos utilizando (cuartos) de distintos colores yformas pueden introducirnos en considerar mosaicos formados por determi-nadas formas y colores de tal forma que resulten <bonitos>.

Actividades de recorte y pegado con hojas de revistas y periódicos tam-bién pueden ser utilizadas para <averiguar> este conocimiento informal quepueden manejar los niños sobre las fracciones. Sugerencias como,

-estimar el tamaño de una foto en relación a la hoja entera;- relacionar el tamaño de algunas fotos en hojas distintas de un periódi-

co, <<¿cuál es mayor? ¿por qué? ¿cómo se puede saber sin recortar nisuperponer?...

- la introducción de pequeñas <anomalías> a las regularidades maneja-das puede ayudar a <perfilao el tipo de argumentos utilizados.

La propuesta que subyace en esta sugerencia es la de que se puedenutilizar multitud de situaciones en el aula que nos ayuden a descifrar la<clase> de conocimiento que los niños tienen sobre las fracciones (la clase deMatemáticas no tiene por qué ser sólo la <hora de Matemáticas>).

Este conocimiento informal, junto al lenguaje que los niños utilizanasociado a él (mitades, cuartos, tercios, quintos,... dividir,... repartir,...) debeser el punto de partida de las secuencias de enseñanza. Esto condiciona queal principio, las fraccioneq más <normales> para plantear deban ser U2, U3,ll4, U5,... aunque M. Gournno (1964, pág. 91) señala que debido a que los<medios> y los <tercios) son los que no siguen una regla en relación alvocabulario como los <<cuartos>>, <quintos>, (sextos))... vinculados al carácterordinal de los números, presentan mayores dificultades para los niños.

85

En relación a la necesidad de tener en cuenta el conocimiento informal delos niños, cabe señalar que la única forma de poder tener en cuenta esteconocimiento es <saber en qué cantidad existe>, y eso lo sabremos si el niñonos lo <dice>>. Para eso se necesita un clima de clase en el que los niños noencuentren cortapisas a la posibilidad de <verbalizar) sus pensamientos,además de que se les presenten las <situaciones adecuadas> para que estopueda ocurrir.

Ejemplos como el anteriormente citado de los murales pueden ayudar acrear un clima de clase informal en el que los niños comenten lo que hacen,cómo lo hacen, comparen sus resultados,...

Se pretende fiunto al énfasis que se coloca en estos momentos en laverbalización de los niños en estas situaciones concretas) realizar una estrate-gia de enseñanza en la que el niño se encuentre ante una amplia variedad decontextos parte-todo.

La situación de repartos equitativos (del tipo <cinco naranjas entre tresniños), y de medida (medir el largo de la mesa con un lápiz, teniendo queindicar el posible <<algo más> de alguna forma más cuantitativa) puedenservir como sugerencias.

También deben ser utilizadas situaciones completamente artificiaies, co-mo los juegos con los Números en color (eligiendo una regleta arbitrariacomo unidad, nombrar las otras regletas) en los que los niños encuentrencontextos adecuados para verbalizar su conocimiento de la relación parte-todo.

Esta posición es defendida por M. Gourenp (1964) cuando introduce rasfracciones, usando los números en Color,

...Es natural que los niños cometan errores al dar sus primeros pasos en elmanejo de las fracciones, y no hay por qué asombrarse de ello. Se entra entoncesen una discusión colectiva donde se examinan todas las opiniones, realizandoexperiencias materiales concluyentes que decidirán si aquellas opiniones sonaceptables o es preciso modificarlas. Só1o así es posible aprender de verdad.Cuando se niega a los niños el derecho a cometer errores, se llega a sustituirlos ya decirles lo que conviene que descubran (pág. 90).

Para resumir las últimas ideas expuestas podríamos señalar que la inter-acción verbal entre profesor y alumnos y entre alumnos mismos es esencialpara:

a) que el profesor pueda obtener datos sobre el conocimiento informal yfragmentario que puedan traer en un momento dado los niños; y

b) como una fuente. de corrección de errores. El proceso de verbaliza-ción que realizan los niños para comunicar sus experiencias hace quese reformulen y pongan en acción lo que ellos conocen de la situa-ción, lo que ayuda a mostrar sus propias contradicciones.

86

4.2. RELACIONES ENTRE SITUACIONES CONCRETAS,DESCRIPCION DE SITUACIONES, MODELOS Y SIMBOLOS

En la sección anterior se había señalado que parte del hecho de compren-der una idea venía indicado por la (versatilidad> de la representaciones quese pueden realizar con ella.

Así, si el llegar a comprender una idea matemática conlleva, entre otrascosas, la habilidad de <manejarla> en diferentes representaciones y de poderrealizar traslaciones entre éstas, parece claro que habremos de identilicar lasposibles representaciones en las que se puede manifestar la idea de fracción(Lnsn el al.,1983).

Una situación concreta en la que un profesor muestra una hoja de papelcon cinco partes congruentes señaladas con tres de ellas sombreadas, o conlos números en color, tomando la regleta amarilla como unidad para inten-tar determinar el valor de la regleta verde claro, son formas de <representar>>la fracción <tres quintos>.

ao

En este caso el profesor está utilizando modelos concretos de determina-

das fracciones.Dibujar en un folio diagramas que intenten representar esta situación,

es otra forma de representar la idea de fraccton.

87

Decir en voz alta <tres quintoo>, y escribir enla pizarra<<tres quintos>r, <3quintos>r y <<315>>, también sondireréni;i;;.u, de representación.Las diferentes traslaciones entre r;; ;pi..rntu"iorres ras podríamos indi-car mediante el siguiente.diagrama pesn,-re-ar, intro¿u"" "o'rri'Jolo

tipo a"representación las situaciones del mundo real).

/

/Forma oral

p Diagramas, dibujos

/

/

<3/5>

Forma escrita<tres guintos),

Las dobles flechas indican que se deben buscar actividades ou.uf,-u" er niñodesarrolle-su capacidad para pasar de una representación a otra en ambossentidos. Por ejemplo:

Actiuidad 1. Se le muestra al niño una hoja de papel dobrad& en cincopartes congruentes, tres de ,as cuales están pintádar d; .rj", ;; le pide queindique que parte del total está pintada áe rojo.

,r"rníliirl{ t' Se le pide al niño que en una cuarrilla nos cororee de rojo sus

Estas actividades corresponderían a la traslación del modero concreto aforma oral (y viceversa). -

La representación d,e las situaciones que nevan implícitamente ra nociónde fracción a través de diagramas, dibujoi esquemas, puede ser rearizada conla intención de proporcionar a lós "inLt-

*o¿"ns de apoyo que les ayuden atrasladarse desde las situaciones_ concretas, intuitivas, a un nivel más formaly sistemático, cgmo puede ser el trabajo íumérico.La descripción detallada de algunas de estas traslaciones en el caso deldesarrollo del concepto de fracción s

"ri i"ur¡ruduen las próximas secciones.

. En particutar, y dentro del rrabajo "oo

áiugru_", rd;ü;j;; lf hs trasla_ciones a forma orar v forma escrituj "onui*,

dominar las representacionesde las fracciones más sencilas r"brÉ hJ;;ras geométricas más conocidas.Aunque el modero seométrico más usuai "o

ti ,ep."r""dtó, lráfica defracciones es el rectlngulo, no cabe duda que se pueden emplear muchasotras figuras geométricas para expresar ra reláción pl.t"-toaá.-Éiientang.rro,cuadrado y el círculo son las

-figuras que mejor se prestan a representarfracciones de denominador cualeíqui"tu=J"ui¿o a que son fácilmente divisi_bles en un número n (n : 2,4,...) i. puri", igout"r.

88

Por otra parte, existen otras figuras sencillas cuya división en partes

ila, no es ün fácil, pero que se pueden emplear para representar determi-

fracciones. Así, el triángulo equilátero se puede utilizar para represen-

,ilf medios, tercios, sextos,...

ol rombo Para representarmedios, tercios, cuartos, sextos,.'.

0 $$ 0el pentágono regular para representar quintos y décimos'

wComo habíamos dicho, estos ejemplos se pueden utilizat para las activi-

dades correspondientes a las traslaciones

diagramas < : : : = : : : : > forma verbal

diagramas < : : : : : -- : :> forma escrita

4.3. EL TRABAJO INICIAL CON LA RELACIONPARTE.TODO

4.3.1. Introducción

Según Pncnr, la habilidad de manejar la relación parte-todo se apoya en

la capácidad que tienen los niños de sostener ciertos atributos o habilidades'

La identifiiación de estos atributos condiciona la secuencia inicial en

relación a las actividades que deben ser realizadas en la escuela con el fin de

conseguir su manejo.

89

La estructura cognitiva sobre la que se basan estos atributos la constitu-ye la acción de dividir un todo en partes. La forma de realizar la división, elefecto sobre el todo, el resultado de la división,... son, cuestiones que han sidoidentificadas por Pu,cnr et al. como los fundamentos para manejar la rela-ción parte-todo.

Por ello, las actividades a desarrollar en un primer momento deben estardirigidas a que los niños adquieran el manejo de estos atributos.

Por otra parte habíamos señalado que el contexto continuo (modeloárea) podía considerarse el más natural para rcalizar la introducción de estasideas.

Al plantearse una situación de enseñanza aprendizaje se introduce lacuestión de realizar el diseño de sus secuencias. Denominaremos secuencia deenseñanza a una serie de actividades dirigidas a la consecución de uno o variosobjetivos de aprendizaje. Cada secuencia de enseñanza puede estar formadaa su vez por otras secuencias de enseñanza diferütes. Además las secuenciasde enseñanza pueden tener una duración de unas horas, unas semanas eincluso de varios años como las caracterizadas por los objetivos alargo plazo.

Tenemos identificados los atributos a conseguir, a través de ün contextocontinuo, en un primer momento, para integrar posteriormente actiftdadesen contextos discretos.

Otra cuestión a tener en cuenta es la <<representación> de las ideas, desdeel plano intuitivo (entendiendo la simbiosis que se da al considerar modelosconcretos en situaciones concretas y el conocimiento informal y fragmentarioque los niños puedan poseer de estas nociones) al plano simbólico pasandopor la utilización de diagramas y formas verbales y escritas.

Puede ser conveniente antes de introducirnos de lleno en el estudio de larelación parte-todo a través de la utilización de modelos más concretos,presentar siuaciones que se puedan considerar cotidianas al niño en las quese enfatice de una forma u otra diferentes atributos conectados con la idea defracción. (Recordar las sugerencias del apartado 4.1.4.)

Situaciones de reparto y medida, tanto en contextos continuos comodiscretos, en cuyo desarrollo intervengan ideas tales como el considerar eltamaño de la unidad, la necesidad de partes congruentes, o situaciones en lasque la propia idea de fracción no es aplicable, pueden ayudar a clarificar losdistintos atributos necesarios para el desarrollo posterior de la relaciónparte-todo.

Situaciones cotidianas a los niños como las de reparto de una tarta entreun número determinado de niños, o el dividir o repartir trozos de cinta detela para realizar determinados juegos, pueden proporcionar los momentosadecuados para que los niños verbalicen el conoci,miento que ponen enfuncionamiento en estas situaciones. La interación verbal entre los propiosniños, y entre los niños y el profesor pueden ser utilizados por este últimopara determinar el <<estado de la cuestióu.

90

Juegos y actividades en las que se fuerce al niño a repartirse distintosmateriales, así como que las partes que se formen sean congruentes, puedeniniciar el camino hacia la conceptualización de la relación parte-todo.

La sugerencia en el reparto de una pizza, pot ejemplo, de <tú haces laspartes y yo elijo> ayuda al niño a introducirse en la idea de partes congruen-tes. Este tipo de actividades también pueden ser realizadas utilizando líqui-dos conjuegos de vasos y probetas, aprovechando la experiencia que puedantener los niños en repartirse, por ejemplo, zumo de naranaja, leche... Aunqueevidentemente estas últimas actividades deben estar supeditadas al desarro-llo en el niño de la conservación de los volúmenes.

Dividir un folio o una tira de papel con unas tijeras, ensayando distintosprocedimientos para que las partes obtenidas sean iguales son actividades arealizar.

Situaciones en contextos de medida pueden utilizarse para desarrollar lashabilidades de dividir <<todos>> en partes congruentes.

La posibilidad de cubrir una mesa con folios teniendo que considerar enalgún momento ((partes) del folio para terminar la tarea, o medir la longitudde la pizarra con un láryiz y tener que volver a considerar <partes> del lápiz(en relación al todo) con el condicionante de tener que comunicar a loscompañeros de una forma clara que parte del folio o del lápiz se hanconsiderado, pueden ser actividades que nos introduzcan a las ideas de(parte de un todo> y partes congruentes en contextos familiares a los niños.

Los números en color (Regletas Cuisinaire) constituyen un material di-dáctico suficientemente conocido que también pone de manifiesto las relacio-nes parte-todo en los contextos de media (utilizándolo como representacio-nes de situaciones concretas).

9l

oAA0

4.3.2. El tamaño de la unidad

Es necesario que en las situaciones descritas anteriormente se vincule laexistencia de las fracciones a la unidad: el <tamaño> de la mitad de unanaranja está en función de lo grande que sea la naranja. Las situaciones enlas que en un primer momento las fracciones tienen un aspecto de operador(<Dame la mitad de una naranju) deben desarrollarse también desde elcomienzo del trabajo con la relación parte-todo. La integración de lasdiferentes interpretaciones del número racional puede empezar a realizarseen los primeros momentos en situaciones concretas, ya que también esnecesario integralas en el conocimiento que se está formando de la idea defracción.

Este tipo de actividades pueden resultar de vital importancia a la hora deevitar que los niños ignoren el contexto en el cual están trabajando lasfracciones en un momento dado.

La vinculación del contexto al significado que pueda tener en ese mo-mento la fracción ayuda a evitar errores con posterioridad cuando se mane-jan las fracciones en un nivel numérico.

volviendo a las situaciones de reparto en las que el <todo>> está formadopor varios elementos (unidades), se debe asumir que todos son iguales.

92

Si se plantea la tarea en clase de repartirse dos naranjas que son visible-

mente diferentes en tamaño entre cuatro niños, la división

puede no convencer de forma directa a los niños, La necesidad de que las

partes que le corresponden a cada uno sean del mismo <<todo> se presenta

directamente.

Además estas situaciones de reparto, tanto en contextos cotidianos comoutilizando material manipulativo adecuado, pueden proporcionar a los niñosexperiencias, en las que de forma implícita, se manifiestan las relacionescompensatorias que existen entre el tamaño de las partes y el número departes en las que un todo es dividido (a mayor número de partes, menor es eltamaño de las partes), como un paso previo a la idea de la ordenación.

4.3.3. Situaciones en la que la idea de fracción no es aplicable

Algg"$situaqigne¡{ergp-1{to--ensqq!exe-r-d¡!e¡9!99pf f"-gs{tFBl!e3:|"cuestión a los niños de-gue-.qq siempre es pgslble apllcalla rdea de lr-4ee!en.

Tíhü-qiie"ñü;iii cuatro ninos én tres círcuios ,lridiiirtos piñtados en elsuelo, está claro que la solución un niño y un tercio de niño en cada círculono es válida

Si hemos comprado en el mercado una bolsa con cuatro peces de colorespara nuestra panda de 3 amigos, si nos peleamos y nos tenemos que repartirlos peces, está claro que un pez y un tercio de pez para cada amigo tampocoes una solución válida.--. La necesidad de plantear estas situaciones en algún momento del procesode enseñanza es necesaria para enfatizar la relación de las fracciones con elcontexto, frente a la interpretación en la que se ve a las fracciones sólo comouna división indicada de números naturales.

93

AA0

AA0

&,rO

oo0

h

4.3.4. Dos direcciones

La necesidad de formalizar y relacionar el conocimiento y las ideas quelos niños ponen en funcionamiento en las situaciones anteriorás respecto a lanoción de fracción, y, en particular, de la relación purt"-ioáo indica lasecuencia que hay que seguir.En este punto del desarrollo es posible tomar varias direcciones. por unaparte, la realización de secuencias de enseñanza ctJyo objetivo sea formalizar

el conocimiento de los niños en relación a ros aiributás identificados porhecer y los añadidos por peyNn, a través de la utilización de materialesmás concretos y estr'.cturado-s, como los experimentados

"n ujuou, univer-sidades americanas (pevNn, Err,¡nsnucH, óoxrono,...¡.

otra dirección vendría definida por la posición de L. S'n¡¡FLAND, quedesarrolla las fracciones basándose in los procesos y producciones de losniños en situaciones sacadas de la vida reul,

"uyu, "áru"t"¡rti"u, generales

han sido descritas en la sección 3.3 del capitrrlo anterior.._De forma esquemática la posición de srnnnr,r,aND se basa en intentar

utilizar situaciones (fenómenos) de la vida rear que ,on o.guniruáo, po, tu,fracciones para que el aprendiz comience a manejar y dotar de significadoestos instrumentos de organización (las fraccionesien lstas

-is*u, situacio-

nes. con esta aproximación lo que se intenta hacár es presentar situaciones,lo más variadas posibles, en las que el concepto ¿e rracci¿n vlu, op.ru"iorr",

94

con las fracciones organizan la información subyacente. Bajo esta aproxima-ción la realidad sirve como una fuente en la formación del concepto y nosólo como medio de aplicación.

El seguir una orientación u otra viene condicionado por diferentes facto-res. Habría que tener en cuenta factores de índole interna, como pueden serlas creencias que sostenemos en relación al proceso de enseñanza-aprendiza-je de las fracciones, en relación al desarrollo de la dinámica del aula, ..., perotampoco podemos olvidar factores de índole externa como pueden ser la na-turaleza del currículo establecido que puede condicionar un desarrollo u otro.

Como vemos, la <toma de decisióu en estos momentos viene delimitadapor algunos condicionantes.

Examinando la forma en que aparecen las fracciones en nuestro currículoresulta más afin a los planteamientos reseñados en primer lugar'

Estas direcciones son las que vamos a desarrollar en las próximas seccio-nes. Aquí nuestras creencias no pueden delimitar el marco general de desa-rrollo, pero si determinados enfoques internos en la realización de las activi-dades. (Las características del desarrollo curricular de las fracciones en losprogramas actuales han sido detalladas en el segundo capítulo).

4.3.5. Una recapitulación

Lo expuesto hasta ahora son algunas de las razones y motivos básicosque deben ser tenidas en cuenta cuando se empieza a pensar en los procesosde enseñanza aprendizaie relativos a las fracciones.

Las sugerencias expuestas hasta este momento intentan ser puntos deapoyo para que el profesor, en virtud del nivel donde se encuentre, pueda darforma al diseño de su secuencia de enseñanz^ qve él crea más indóneo para

su situación-aula particular.De todas formas existen dos <principios> que se mantienen de forma

implícita en la serie de sugerencias dadas hasta este momento.En primer lugar, está la necesidad de centrar lps nociones sobre fraccio-

nes en contextos concretos, en un nivel puramente descriptivo, teniendo encuenta tanto la idea de medida como de reparto, con materiales continuos odiscretos... Cuando mencionamos los contextos concretos, nos referimos tan-to a situaciones reales como a situaciones puestas de manifiesto con materialestructurado. La idea es crear <<situaciones) para los niños donde se mani-fieste la relación parte-todo.

El motivo de insistir en este punto es la necesidad de vincular las fraccio-nes a <<algo>, intentando evitar el problema que ya ha sido señalado enalgunas partes de este libro de que, sin darnbs cuenta, a veces realizamos unatraslación demasiado rápida al trabajo algorítmico con las fracciones, sinhaberlas <<atado> suficientemente al mundo de las experiencias visuales de

95

los niños, convirtiéndose así en sólo un manejo de reglas y símbolos sinsentido.

En segundo lugar hay que recoger la idea de que el trabajo inicial con lasfracciones se considera un generador de lenguaje.

En este punto consideramos er lenguaje (verbal y escrito) como un puenteentre la situación concreta y los símbolos matemáiicos y ielaciones con lasfracciones.

La idea consiste en que los niños a través del lenguaje <llenen de signifi-cado> en primer lugar los <objetos> (concepto de fratción) que estamosmanejando y las relaciones entre estos obietos.

una vez señalado estos dos principios intentaremos derinear ros puntosconcretos a desarrollar¡al pensar en secuencias de enseñanza cuyo ob¡"tiuosea las nociones iniciales del concepto fracción.

4.4. UNA SECUENCIA PARA LA ENSEÑANZADEL CONCEPTO DE FRACCION

De forma clara, el desarrollo de una secuencia de enseñanza @n esteobjetivo queda vinculada a la <habilidad> de los niños de manejar la nociónde inclusión de las partes en el todo en la terminología de prnt¡r.

Además, en un primer momento vamos a utilizai el modelo referido acontextos continuos en particular los representado por hojas de papel, folios,cuartillas, hojas de periódico,...

La idea de utilizar el modelo rectángulo en un primer momento frente altradicional modelo de los circulos (tartas), se debe,

"o*,o yu se ha indicado, a

que es más fácil para los niños el uso de la forma rectangular para realizarpartes congruentes, y para identificarlas. Además de que resultan más fácilesde obtener hojas rectangulares que circulares.

'4.4.1,: Diferentes nociones en el concepto de fracción

Los pasos realizados en la secuencia propuesta por coxnono et at. (1975)intenta enfatizar los siguientes puntos dél cbncepto de fracción:

1. Unidad:

- identificar el número de unidades;- identificar cantidades mayores o menores de la unidad.

2. Partes de una unidad usando materiales concretos:- identificar el número de partes de una unidad;- identificar partes del mismo tamaño;- dividir una unidad en partes iguales.

96

Nombres orales para partes de la unidad:

- establecer el nombre de las fracciones;- usar las fracciones para contestar a ¿cuántos?;- identilicar fracciones iguales a uno.

Escribir fracciones para representar partes de ra unidad (traslacionesentre las representaciones ):- de forma oral a forma escrita;- de forma escrita a forma oral;- de una forma concreta a forma escrita:- de forma escrita a alguna forma concreta.

5. Representar fracciones con dibujos;

- transición de objetos a diagramas;- repetición de los pasos anteriores pero con los diagramas.

6. Ampliar Ia noción de fracción;- fracciones mayores que uno;- números mixtos;- modelo discreto, utilización de conjuntos;- comparar fracciones, fracciones equivalentes;

(Coxrono y Errrnunucu, 1975, pág. 195.)

como vemos en esta serie de puntos se enfatiza el trabajo con los objetosconcretos y se presta una atención particular a la traslación entre las diferen-tes representaciones, tomando en un primer momento como eje los modelosconcretos y luego en una segunda fase los diagramas.

De forma esquemática tenemos el siguiente cuadro que nos permite vercon mayor claridad la serie de traslaciones que se realizan entre las represen-taciones.

4.

Concreto\ l\ to l.- Forma escrita I--rysímbolos J

zDiagramas i '

Forma oral

(Cuadro 4.1)

97

A continuación vamos a intentar mostrar sugerencias de actividades queayuden a clarihcar cada uo de los puntos anteriores.

a.!,?.; Una primera aproximación

Actividades de doblar cuartillas por la mitad, consideradas éstas comounidad, nos introducen en la familia de las mitades, cuartos, octavos,...

Si proporcionamos a nuestros alumnos hojas de papel rectangulares quesean fáciles de doblar (hojas de periódico, por ejemplo), y quedamos entretodos en llamar <<unidad> a una hoja, se pueden coger otras y se doblan porla mitad. Esto se hace así para mari'üener siempre delante una representaciónconcreta de la unidad.

para denominar a cada una de las partes, las llamamos (una de las dos> (lde las 2, ll2) que cubren a la unidad, un medio

si volvemos a doblar por

un medio, I medio

la mitad, podemos obtener dos alternativas

Por otra parte, doblar cuartillas de forma irregular para que las partes

que se formen no sean congruentes, nos ayudará a potenciar la idea relativa

¿il hecho de que las partes sean congruentes. (En algunas ocasiones la com-

probación de la no congruencia obligará a la partición fisica del objeto para

superponer las partes).También, la noción de considerar la unidad y de que las partes sean

congruentes se pueden desarrollar con la idea de repartos de tartas rectangu-

lares y con la sugerencia <uno hace las partes y el otro elige>.

Obtener tercios a partir de una hoja rectangular puede ser realizado

colocando dos lápices, uno a cada lado del papel e ir acercándolos hasta que

pafezca que obtenemos tres partes congruentes en el folio, se hacen dos

ieñales en la posición de los lápices y se dobla el papel por esas señales

(Coxnono et al.,1975).

En otro momento podemos coger otro trozo de papel y rcalizar algunas

dobleces. La posibilidad de conjeturar las partes de la unidad que van a salir

antes de desdbbhr, ayuda a los niños a trasladar al terreno mental la acción

de desdoblar y llamar a cada trozo en relación con el número de partes en

que se ha dividido la unidad.La introducción de las palabras <tercios>, (<cuartos), (SextoSD, (octavos)

se hará para nombr ar cada parte en la que se ha dividido el folio en cada

caso.

Las primeras actividades deben estar dirigidas únicamente a que:

- los niños puedan identificar la unidad;- poder realizar divisiones congruentes;- contar el número de partes en que se divide el todo, y

- en darse cuenta que el número de divisiones no da el número de

partes, ni por tanto la fracción. Los niños tienen dihcultades inicial-

mente en relación a este aspecto.

En estos momentos, Cox¡ono et al. (1975) indican que la observación de

los niños puede ser guiada por las siguientes preguntas (ante un folio dividi-

do en cuartos en el que se han sombreado tres de ellos):

En un primer momento se podría dejar a los niños la libertad de doblarla hoja de la forma que quisieran. Aparece ante nuestros ojos dos representa-ciones distintas de un cuarto. La denominación de un cuarto para cada trozose produce de forma natural después del comentario realizado para los<medios>.

Se puede suscitar una discusión sobre el hecho de obtener <un cuarto> dela misma <unidad> de diferente forma. Aprovechando la ocasión y a travésdel diálogo entre los niños se ayuda a reforzar la noción de <parte congruen-te> (y no necesariamente <partes de la misma forma>).

98 99

- ¿Cuál es la unidad?,-¿cuántas partes hay en la unidad?,- ¿son las partes del mismo tamaño?,-¿cuánto es cada parte de la unidad?,

¿cuánto está sombreado?

La secuencia de enseñanza se centra así en las traslaciones entre lasrepresentaciones del concepto (indicada con a) en el esquema).

4.4,3, Las primeras traslaciones entre las representaciones.El papel de las fracciones unitarias.

El contar ordinalmente puede ayudar a la traslación

€to - - -)' forma oral

además, el profesor puede sostener en sus manos una hoja de papel en la quese tienen diferentes fracciones sombreadas y el niño debe ir diciendo quéfracción representa. Secuencias del tipo <un cuarto>, <dos cuartos)), (tres

cuartos))..., al mismo tiempo que se va señalando cada una de las partes,pueden ser útiles para conceptualizar posteriormente el <tamaño de la frac-ción> (en relación a la relación de orden). Es decir, el trabajo con lasfracciones unitarias del tipo lfn, conectadas con los números ordinales puedeayudar a que el niño empiece a construir su red de relaciones con respecto ala noción de fracción.

Una buena introducción a las fracciones mayores que la unidad, a lasunidades vistas como <<cuatro-cuartos> y la preparación parala introducciónde los números mixtos, así como a una aproximación a algunas operaciones,es el contar el número de partes en que el todo se ha dividido.

El proceso de contar fracciones unitarias como generador de diferentesfracciones (propias e impropias) puede evitar la restricción que supone elmanejo casi exclusivo de fracciones menores que la unidad que tradicional-mente se ha asociado a la interpretación parte-todo.

Si el cuadrado es la unidad. entonces

clnco-cuartos .<+

El problema posterior de ver los números mixtos como fracciones (yviceversa) puede empezar a evitarse si los niños integran desde el principio ensu red de relaciones del concepto fracción las ideas relativas a las fraccionesmayores de la unidad que posteriormente se podrá representar mediantenúmeros mixtos si queremos.

Llegados a este punto, se debe ufllizar la notación de los números mixtosdesde un primer momento, y no darles un tratamiento especial.

También deben aparecer fracciones mayores que la unidad, y no centrarla atención sólo en las fracciones menores que uno. Se evitan así algunasdifrcultades que los niños tienen en la identificación de la unidad cuando seles presentan fracciones mayores que uno, habiendo estado identificandodesde el primer momento sólo fracciones como (parte de una unidad> deforma estricta.

En resumen, creemos que es conveniente centrar la <actuación sobre lasfracciones> en la idea de fracción unitaria (1ln) y en el hecho de contarfracciones unitarias. Aumentando el énfasis en esta dirección estaremos colo-cando las bases (establecer relaciones entre los conceptos) para

- la introducción de forma natural de las fracciones mayores que uno;- ver la unidad formada por todas las partes;- el uso de la notación mixta como una forma natural desde el primer

momento y como una alternativa a la notación fraccionaria de ciertasfracciones;

- preparación para las nociones de orden;- preparación para las nociones de la suma/resta de fracciones con el

mismo denominador y la multiplicación de un número natural poruna fracción.

Por otro lado, la suma de fracciones con el mismo denominador puedevenir <apoyada> tanto en la secuencia de contar fracciones unitarias, comoen la introducción de la notación mixta para las fracciones.

Así, el objetivo de esta fase inicial es conseguir colocar las bases de unared de relaciones rica en información.

Regresando al punto de partida de esta discusión, que era la traslación dela forma concreta a la forma oral de las nociones iniciales del concepto defracción, cabría señalar que la traslación inversa viene caracterizada por elhecho de que el profesor (u otro alumno) pida en voz alta una fracción y losniños deben construirla con el material.

4.4.4, La forma escrita de la relación parte-todo: las fracciones

El problema que se puede plantear al intentar colocar de forma escritatodas las relaciones que hasta este momento sólo se habían visto en forma

r00

€ uno y un cuarto

101

concreta y en forma oral, es el orden de los dos números que hemos estadomanejando- Es decir, el escribir 413 por O", "uu.,or.Esta dificultad se puede. evitar:, r"g,in r.iuru paiNe (1975) introduciendoantes de la representación simbóri;" i; ir;; escrita (habiéndose potenciadopreviamente la forma oral)

3 cuarros ñ uo

4.4.5. Los diagramas y la forma escrita

Finalmente cuando se hayan cerrado todas las direcciones (en ambossentidos) entre todas las formas de representación de ra parte a) del e.¡quema4.1 deben empezarse a introducir los eia;;;;as como <dibujos> del materialconcreto utirizado hasta este momento. "De

todas formas se debe evitar unatraslación demasiado temprana a los diagiamas. No hay que olvicar que elobjetivo en estos primeros momentos es crear un rico bagaje concreto sobreel que poder establecer poteriormente las relaciones.Ya en la parte ó) del esquema, las actividades a desarro'ar en estemomento pretenden que el niño pueda rearizar lu, truriu"ioi"J

"ntr" lu.distintas representaciones en cualquier dirección.

Entre estas trasraciones existen utgunu, que resurtan más dific'es dercalizar a los niños, por lo que se a.U."fr.rtu. una atención especial.En particular en la conexión.

Además se pueden plantear dilicultades cuando se manejan fracciones mayo-res de la unidad. Aunque se indique a los niños que la unidad es

muchos para indicar la parte sombreada en la situación

indican 5/8 en vez de 514. De ahí la necesidad de prestar atención especial alas tareas relativas a la identihcación de la unidad, reconocer las partes enque está dividida la unidad y las actividades en relación al manejo de lasfracciones unitarias (del tipo lln) como se indicó anteriormente.

Entonces, la utilización de la notación mixta (números mixtos) debe estarintegrada en estos momentos en las actividades que consistan en desarrollarla forma escrita de las fracciones.

Para evitar dificultades y posibles errores en la notación se necesitaenfatizar en su momento, la equivalencia (cuatro-cuartosD, (tres-tercios>>,<dos-medios>>,... a la unidad. Este énfasis como habíamos visto se puededesarrollar en las situaciones de contar fracciones unitarias.

El desarrollo de la secuencia

,ncreto-forma oral-forma escrita-símbolos

(y viceversa) puede ser vista de la siguiente forma (considerando el rectángu-lo como unidad):

esto es un cuarlo, ll4

dos cuartos, 2/4

tres cuartos, 3/4

cuatro cuartos, 414, o tambiénuna unidad. I

cinco cuartos, 514,6 | + l l4

103

Diagrama (¡- -)' forma escrita

a los niños les resulta más fácil las actividades del tipo,<Píntame los dos tercios (2/3) de la figura.>

que las actividades en las que se les pide indicar medianteparte sombreada de otra figura.

%'%ru

%102

una fracción la

A partir de estos momentos se deben introducir actividades que permitana los niños ttilizar el conocimiento que han adquirido en relación a lanoción fracción.

Estas actividades-ejercicios son las que denominaremos (reconstrucción

de la unidad>. Hasta ahora se proporcionaba al niño fracciones unitarias yellos a través de la secuencia de contar recgnstruían la unidad (el ejemploanterior se desarrollaba con los cuartos), péro para generalizar esta situa-ción, podemos proporcionar al principio la siguiente situación,

<Si este rentáneulo es los 3/4 de la unidad. intentad construir la unidadentera.)

Claramente la realización de este tipo de actividades requiere un desarro-llo de ia noción parte-todo mayor que cuando se inicia la situación con unafracción unitaria.

Resumiendo, podemos decir que estas actividades anteriores de recons-trucción de la unidad tienen una doble versión, que viene determinada por

su grado de complejidad, ,r:

a) cuando partimos de fracciones unitarias, yb) cuando partimos de una fracción cualquiera,

así, debemos tener en cuenta estos niveles de dificultad cuando planteemos

las actividades de traslación entre las distintas representaciones.Otra variante de estos ejercicios consistiría en cambiar la forma de la

hgura <todo) que se considera en cada momento.En el caso anterior la forma era un rectángulo, pero podemos modificar

esto partiendo de otras figuras. Así, tenemos actividades del tipo

<Esto es los dos octavos de una hgura. ¿Cuál es la figura?>

De forma esquemática y como guía del tipo de ejercicios que se pueden

plantear obtenemos el siguiente cuadro (Cuadro 4.2):

4.4.6. El problema de las citas perceptuales

Por otra parte, el uso de diagramas puede hacer que introduzcamospequeñas alteraciones en el desarrollo de las nociones en los niños. Si a un

ni¡b en esta fase se le pide sombrear los 314 de la siguiente figura

se le pueden plantear dilicultades porque no concibe la necesidad de modifi-

car las <<citas perceptuales> (información visual que nos ofrece la imagen, quepuede ser irrelevante, e incluso dificultar el proceso de comprensión) que le

muestra el diagramar.

1 BsHn et a/. (1983) han conjeturado que da extensión en la que un niño es capaz de

resolver los conflictos entre el procesamiento perceptual de la i¡formación visual y el procesa-

miento cognitivo de las relaciones lógico-matemáticas es vista como uno de los varios

indicadores importantes de la capacidad de comprensión del niño del concepto de número

racional>.

A/ t \ffi

\

(Esto es los tres cuarto de un todo. Dibuja el "todo".>

\l)

A<Esto es los dos cuartos. Dibuja el "todo".)

FORMA DELA UNIDAD

REcTÁNGULOCunr-euInn oru

FIcunl

Se partede fracciones

unitarias

Ejemplo:

n Es 1/4de| | la f-rgura.

l-| ¿Cuál es la figura?

Ejemplo:

^ Es l/4 de

/\ u r 'gura,/ \ ¿Cuál es la hgura?

Ss pnnrsDE FRACCIONES

CUALESQUIERA

Ejemplo:Es 3/4 de

| | la figura,¿Cuál es la hgura?

Ejemplo:Es 3/5 de

|

-

la figura,Ll ¿Cuál es la figura?

104 105

^,^*O_11ut citas perceptrrales son el uso de ligurase.¡emplo, <Colorear los 4 spptimos de esta fig,rra,

o también <colorear los 4 novenos de esta figura>.

no convencionales. por Pues bien, en estos momentos, en los que hemos empezado a representar las

relaciones parte-todo a través de diagramas, forma escrita y símbolos, debe-

mos también poner de manifiesto (ya que realmente están implícitas en estas

situaciones) algunas operaciones con las fracciones.En el momento en que contamos las fracciones unitarias para identilicar

<¿cuánto hay?>.

-cuarto, y otro cuarto, y otro cuarto, y ...)

se deben ya introducir los símbolos que representan esta situación:

u4+u4+114+.. .

debemos presentar como un todo los símbolos y relaciones entre los símbo-

los, que de hecho representan lo mismo.Si el cuadrado es la unidad. Entonces la siguiente situación:

está representada a partir de la secuencia de contar fracciones unitarias por

u4+rl4+r l4+r l4+r l4

Ampliando la noción de multiplicación de números naturales como (tantas

veces algo), esta expresión se puede representar por

5 veces 1/4

es decir:

5xl l4

pero también sabemos que se puede representar por

| + 114 (es decir, 1 1/4)

Todas las representaciones simbólicas aparecen de forma natural si utili-zamos como apoyo las fracciones unitarias y la secuencia de contar. No es<<lícito> que ocultemos a los niños todas estas representaciones que pueden

aparecer de una forma tan clara y vinculadas a su vocabulario.

La introducción de estas pequeñas <anomalías> sólo debe realizarsecuando el niño haya conseguiáo una buena red de relaciones rerativas alconcepto de fracción, a través de ras actividade^s anteriores que deben permi_ttr^afianzar su capacidad para *"i¡l"i-i", diferentes trasliciones entre rasdrstrntas representaciones (considerando ahora la parte ó) ;;i;qr"ma 4.1)usando como ejes los diagrama, y poJ", iarizar modificaciones de las citasr:",:tlytr:

para poder encajar-la rituu"ion en su esquema de relacionesrelatlvas a las fracciones. En palabras de Bnun, cuando el niño hubieseconseguido información - suficiente para

- pod"r í"riri,

-

"i' pro""ru,ni"nto

:,"rXHtJ:-,*f]s relaclones Iógico-matemáticas der concepro'rrucc¡on (rela-

4.4.7. Las fracciones unitarias, el contary las operaciones con fracciones

Dos ideas básicas hemos estado manejando hasta estos momentos enrelación a la secuencia.d¡enseñanr^; q;.-ñ,nita conceptualizar las nocionesiniciales (atributos) del concepto rruc"¡¿r, lretación parte-todo). Estas ideasson apoyarnos en:

- Ia noción de fracción unitaria. v- en el contar dichas fracciones para obtener Ias demás.

106to7

si utilizamos de forma natural todas estas simbolizaciones para las situa-ciones parte-todo conectadas a situaciones concretas, no deberemos tenermuchas dificultades'en que los niños las puedan manejar desde un primermomento.

un buen modelo para apoyar estas relaciones lo puede constituir la rectanumérica, siempre y cuando, tengamos en cuenta todas las dificultades quepuede plantear el asociar una tracción a un punto de la recta por parte de iosniños (véase las secciones 3.2.3 y 4.4.10)

1+1/45/4

1 1/4

La sucesión de contar hacia adelante también puede invertirse. contarhacia atrás (quitar fracciones unitarias), desarrolla la idea de resta de fraccio-nes con el mismo denominador.

Si consideramos un cuadrado de papel como unidad y lo dividimos enpartes congruentes de las cuales pintamos de rojo tres de estas par,les, paraestablecer la parte pintada en relación a la unidad

si cada parte la hemos llamado un-cuarto la parte pintada es la unidadmenos un cuarto,

r_t l4

De esta forma se intenta que al desarrollar en estos momentos las trasla-ciones entre las representaciones concretas de la fracción y las formas escritasy simbólicas se amplíe la <noción de fracción> mediante la utilización dediferentes representaciones. Es decir, se pretende que la idea de fracción seforme (conceptualice) junto con el inicio a las opeiaciones.

una vez abierto el camino, los niños pueden beneficiarse de la multitudde posibilidades que se le ofrecen ante sus ojos e incluso poder llegar autilizar combinaciones de operaciones para representar las fracciones que nohubiéramos podido imaginar.

si se tiene la suficiente precaución para llegar a estos momentos habien-do los niños manejado gran cantidad de situaciones concretas y realizadogran cantidad de traslaciones entre las representaciones, verbalizando todaslas posibilidades que se les presenten delante, o que ellos crean ver, el uso de

108

lossímbolosparalosniñosnodebeplantearproblemas.Pero.nohayqueolvidar que desde ,.t. fun,o al manejt de los algoritmos para las operacio-

nes queda todavia un largo camino'Sin embargo, situaciones como:

<Tengo en mis manos 314 delahoja y ahora consigo 214 mis ¿cuánto tengo

ahora?>

<Tenía uno y he perdido un cuarto' ¿cuánto me queda?>

enlasquesemanipulaelmater ialySeexpresanverbalmentelasdescripcio-nes y las relaciones entre los elementos dé la situaci 6n, para posteriormente

hacerlasrrpr.r"nru.*smediantelossímbolos'puedenintroducirnoseneste terreno.

Enlasseccionesquesiguenmostramosotrosconcretoscuyaut i l izaciónpuede ayuda, u

"o-pl"turtiferentes aspectos de la relación parte-todo'

Enel lanosevanarepet i rcontododetal le loquehemosexpuestoparalos contextos continuJs óoJ"ro rectángulo) pero dibe ser obvia la posibili-

dad de trasladar las ideas expuestas uq"t u titot concretos (tangram' regle-

tas, contexto discreto) o representaciones (recta numérica) si la situación en

el aula permite este desarrollo'

4.4.8. La utilización de otros concretos

Elestablecimientoderelacionesentrelosdiversosaspectosdelconceptoinicial de fracción uri"otlro del desarrollo de las diferentes traslaciones entre

las representaciones indicadas en el esquema anterior también pueden ser

mostradasapaf i i rdeotromater ia lconcretodist intodelosfol iosydelashojasrectangulares,comopuedeseratravésdelasf igurasdel juegochinoTlNcnmu(parasabermássobreelTnNcnnu'consultarJ 'Er ' rrnns'El juego'de formas chíno. Et'toNc*¡'on, Ed' Labor' 1982)' cuya conft::,t:::" especial

puede ayuda, u "on"'.fuu1i

iuí v ra"ude partes congruentes sin necesidad de

tener la misma forma'ElTlNcnluestáformadoporuncuadradodecartul inaoplást ico

dividido en siete partes, como muestra la figura'

109

a parte de los diferentes juegos de índoles geométricos que se pueden organi_zat, la noción parte de lu *i¿u¿, **úr", de las partes,... también encuen_tran con 9¡.tT figuras un buen campo áe desarrollo.

La fac'idad de construcción de estas figuras hace posible que todos losffi,T",1eu,Haula

puedan oisponer á"ilua..iul pu.u i*uájá. ,n grupo, oLa potenciación de ros procesos de verbarización de los niños en lasdiferentes actividades.qu. r" pu.áun á.iirr-otu. con este

-ui..iur hace que er(aspecto lenguaje> adquiera iu verdadera dimensión en

"t;;;. de llegar ala conceptuarizaciónde la relació"-fu*.l,oto. Las fases de trabajo con estematerial manrienen,los mismos upu.tuaá, descritos p";; ;r;;;os de papelrectangulares, atendiendo a las diieccion", ¿"1 ,rqu",nu- a.-üs rlprerentacio_

ffi1Jrj?*::iones' Además potencia nociones como las o" suf"rnci"s equiva-

otro material estructurado que puede ayudar a conceptualizar todas lasnociones y reraciones indicadas'so"'ior "ono"idos Números en color. No

lil:H'ff:mención de este."i;;il;.;que consideru_o; q;; es suficien_

4.4.9. Los contextos discretos

Al principio de este capitulo, habíamos señalado la necesidad de incorpo_rar en un momento dado a ra secuencia de enseñanz;1;;;; conrextosdiscretos donde la relación p"r,"-irá. "rluui"ru

presente. El motivo consistíaen presentar desde diversas perspectivas la noción de fracción. Se intentabaevitar asi que la formación ¿e ¿sta lrü u¡n"rruda sólo a determinadosconcretos' podríamos_ entender esto como una expresión del principio deDrc¡'¡Bs de variabilidad percepriv"i;;r;;;i; percepción, mantener la reración(estructura) matemática). oJ toaas for;; iuy iu" ;;;"t""res que ra;H:iHTrlH:1];iXffi:" "1;* ffiiretos 1hcha,, eu,uui,o,, ) puede

El énfasis que se rearizo anteriormente s.ob_re er paper que juegan lasfracciones unitarias en la_concep,""l¿".i0" de la relación párte-todo, u.n_*X".lr:i"ff :

a i n ren rar a I I an ar "lc ; ; i_Jin ;u I t ad ; ;;il; ri-*,* n c o n rex _

Si tenemos un conjunto de cinco fichas y consideramos que

ooooo

;:ilt:ltj:t' cada ficha se considera un quinto de la unidad sin demasiados

110

Las dilicultades pueden empezar cuando hay que considerar partes de launidad formadas por diversos objetos discretos:

, ,C-Q'oooooooo

-t* n"n". oscuras son un quinto de la unidad.>

Reconociendo las difrcultades que puedan aparecer, las actividades queplanteamos deben estar dirigidas a:

- reconocimiento de la unidad;- reconocimiento de partes de una unidad, y- ¿cuántas partes?

En un primer momento las situaciones que se deben presentar son aque-llas que conllevan fracciones que consideremos más familiares a los niños(medios, tercios, cuartos,...) y en las que la unidad esté formada de tal modoque las partes coincidan con una ficha (subgrupos de un elemento).

Si consideramos como unidad

ooo<¿lo puedo separar en tres grupos iguales?>

<¿Cuánto es un grupo del total?>: <<una de las tres>, <un tercio>>, <1 tercio>, <1/3>.

Si consideramos como la unidad

oooooo<¿puedo separarlos en dos grupos iguales?>

e-ao; O-o--ó;<¿Qué es cada grupo en relación a la unidad?>): (una de las dos>, <un medio>, <1

medio>. <1/2.>

iO iÓ; O

111

Hay que evitar que los niños puedan confundir la cantidad de hchas encadaparte (subgrupo) con el número de partes que se tengan. Esta situaciónse puede presentar en:

<Si consicléramos como unidad

oooo¿puedes separarlos en dos grupos iguales?

(0__a'.p___o;¿Qué es cada grupo en relación a la unidad?>

La expresión <dos grupos iguales>> y <dos fichas en cada grupo> puedenllevar a confusión. La comprensión errónea de la relación parte-iodoque seda en esta situación se nos muestra cuando algún niño puede tener dificulta-des en determinar los tres medios en la situación en la que perceptualmentese induce a ver dos grupos de tres.

ooo ooo , . ,Para intentar evitar estas confusiones se deben introducir actividades en

que sean distintos el número de fichas en cada grupo y el número de grupos,siguiendo la secuencia descrita en la actividad anterior.

De todas formas el uso de la fracción unitaria y el contar los gruposformados ayuda a conceptualizarla relación parte-todo en contextos discre-tos también.

Por ejemplo, si consideramos como unidad

ooooooformamos tres grupos iguales

, 'ó-ó' l iÁ-ñ' , í^-

^,'.r_u__ \1,, ..V_ _V_r, i.\/_ _!/i

<¿qué es cada grupo en relación a la unidad?: .,uno de tres,', ..un tercio".>

Luego: (0-O un tercio

(ÓO dos te¡ciosi^-^TY- Yi

lñ-Al rÁ-^' ló- O'; rres rercios'\ l_ _v; ' ' .Y _Y,'. :_ _ _ _Al mismo tiempo que se van contando, es interesante que se vaya seña-

lando con el dedo cada grupo.

l t2

Estas actividades se pueden realizar siendo los niños las dtchas>>.

- Formar grupos que se consideren como la unidad;- subdividirlo en subgrupos de igual tamaño (con el mismo número de

niños en cada subgruPo);- ¿cuántos subgruPos se han hecho?;- ¿cuál es el nombre de cada subgrupo en relación al grupo total?

Por ejemplo, si teníamos en un primer momento un grupo de diez niños'

hacemos subgrupos, supongamos que cinco.Cada grupo es uno de los cinco en que se ha dividido la unidad, es decir,

un quinto (1 quinto, 1/5). En este momento otro niño distinto a los que están

en el grupo puede ir señalando cada grupo diciendo:

<<un quinto><dos quintos>, ... ...

haciendo al mismo tiempo que se vayan reuniendo. Al llegar al cinco quin-

tos, obtenemos otra vez la unidad. Se puede ampliar la idea de fracción a

fracciones mayores que la unidad, formando con los demás niños otros

subgrupos del mismo <tamaño> que el que habíamos llamado un quinto (es

decir, grupos formados por dos niños), y proseguir el proceso de ir añadien-

do <quintos> al grupo inicial, obteniendo fracciones mayores que uno.

Al mismo tiempo que se está realizando esta actividad, podríamos tener

unapizarra de franela (o un gran póster-mural de papel) en la que tenemospegada fichas que representan a los niños.

En dicha pizarra, manteniendo visible un grupo de diez firchas que repre-

sentan la unidad, otro niño podría ir representando los distintos grupos que

se van formando, emparejando grupos de fichas con tarjetas que indiquen su

representación (forma escrita, símbolo) como fracción.En la pizarra de franela vendría representada una situación como la

siguiente:

unidad I

____.> I quinto: 1/5

--> 2 quintos: U5 + ll5 : 215

- 3 quintos: l l5 + 115 + l l5 : 315

- 4 quintos: 115 + l l5 + l l5 + l l5 : 415

t r - t rcntr8trDtr

@@@

@@@@@@@

i l3

Todo este proceso debe ir acompañado de un diálogo entre los niños y elprofesor y entre los propios niños discutiendo lo que está ocurriendo. Ellenguaje debe estar considerado como un <vehículo>> en la formación delconcepto.

Las diferentes organizaciones de los datos, expresiones utilizadas, símbo-los,... deben ser integradas por los niños dentro de sus esquemas de relacio-nes de la noción fracción, y para eso es necesario que expresen verbalmentelo que ellos <están viendo> que está sucediendo en esta situación.

La utilización de todas las representaciones mediante símbolos que pue-dan manejar los niños debe ayudar a mejorar la conceptualizaci1nde la ideade fracción por ellos.

Expresiones del tipo <cinco veces un cuarto)), (uno y un cuarto>, <dosmenos tres cuartos>>, <<cinco cuartos),... utilizadas por los niños en estassituaciones, deben tener su (respuesta> a través de los símbolos:

5xl l4 ,1+t l4 ,2_314 ,514

otro material que puede sugerir contextos discretos puede ser cartonesde huevos. La relación parte-todo puede ser vista de formá clara al compararel número de huevos en los huecos en relación al cartón entero (¡¡indépen-dientemente de lo fácil que pueda resultar obtener este materialllj.

Para completar esta serie de actividades, recordamos en estos momentos,la necesidad de introducir las actividades de reconstruir la unidad a partir decualquier fracción.

Por ejemplo:

! ! ¡(Si

! ! ¡ es los 3/4 de la unidad. ¿Cuál es la unidad?>

¡ t r t r

De todas formas, tanto con los niños como con los cartones de huevo olas fichas, la estructura de la secuencia de enseñanza es la misma que ladescrita a través del esquema de las <representaciones y traslaciones>, enfati-zando las ideas indicadas en los puntos 1-5 de la secuencia descrita porCoxnono et al. (1975) (sección 4.4.1 de este capítulo).

4.4.10. La recta numérica

La idea de fracción asociada a un punto de la recta numérica (caracteri-zadaen la sección 3.2.3) pertenece a un nivel más abstracto en relación a loque hemos estado mencionando hasta ahora. Sin embargo, si los niños estánacostumbrados a manejar la recta numérica como un recurso didáctico en sutrabajo con las operaciones con los números naturales puede que esta identi-ficación punto-fracción no sea tan dura.

r14

Apoyados en la idea de medida, los niños pueden empezar a utilizar la

recta numérica en su trabajo con las fracciones. Si cada segmento unidad lo

dividimos en cuatro partes, la recta numérica aparecería como

o-123

cada parte del segmento unidad recibe el nombre de un cuarto' y utilizando

la longitud podemos dar nombres a cada punto,

9123¡ , , , I r I ¡ I ¡ ' '

| ' ' '>

rl4 214 314 414 sl4 614 714 814 el4r+r14

r*u;* t lo

Las actividades iniciales deben consistir en establecr asociaciones entre pun-

tos y fracciones habiéndose realizado un número determinado de divisiones

.n "l

,.g-"nto unidad (lo que determina el nombre de cada división).

I ¡ | , t L I I ¡ I I | | | ' t>

o 't/s D 315 tr 1 tl 7/5 El e/5 2

t r t r t r

El énfasis en la asociación de la fracción a un punto debe estar dirigido a

superar las dificultades y problemas que los niños tienen con esta representa-

ción señalados en la sección 3.2.3 del capitulo anterior'

Es intresante que los niños hayan superado las dificultades del manejo de

la recta numérica si pretendemos usarla en el desarrollo de nociones poste-

riores como puede ser la equivalencia de fracciones.

Algunas actividades que nos indiquen el grado de manejo que muestran

los niños con la recta numérica pueden ser del tipo siguiente:

<Asociar una fracción a cada punto.>

5/6

1/3

Está claro que el nivel de desarrollo de estos ejercicios es distinto que en

los contextos continuos y discretos.El carácter más abstracto que muestran estas actividades hace que Se

deban retrasar hasta que el niño tenga un manejo correcto de los diagramas

y símbolos desarrollados en los otros contextos. Las dificultades que puede

115

presentar el manejo de esta representación hace que debamos ser prudentespara evitar que los niños lleguen a realizar manipulaciones de símbolos quepueden no tener sentido para ellos.

El hecho de que en la recta numérica (cuando se prolonga más allá deluno, como suele ser el caso) se deba tener en cuenta la relación entre eldenominador de la fracción y el número de subdivisiones del segmentounidad, establece una diferencia con los contextos continuos o discretos(Novnus, 1980). En este caso aparece ya de forma implícita la noción deequivalencia.

Por todo ello debemos tener precaución si llegamos a utilizar este mode-lo para representar las sucesiones de contar fracciones unitarias.

4.5. VARIOS NOMBRES PARA LA MISMA RELACION.LA IDEA DE EQUIVALENCIA

Al plantear tareas de clase en las que se desarrollan las nociones inicialesdel concepto fracción, tanto en contextos continuos, discretos, como con larecta numérica, a veces se pueden plantear situaciones en las que la relaciónde la parte considerada y el todo puede venir descrita mediante parejas denúmeros distintas.

La importancia de la idea de equivalencia de fracciones se debe al papel

clave que juega en diversos aspectos: en la relación de orden (ordenar dos

fracciones, insertar varias fracciones entre dos fracciones dadas), en el desa-

rrollo de los algoritmos de la suma y resta de fracciones de denominador

diferentes. En un nivel más elevado, la conceptualizaci'ln del número racio-

nal como clases de equivalencia de fracciones (entendiendo como clase de

equivalencia el conjunto de todas las fracciones que describen la misma

relación entre la parte considerada y el todo).

Además, la idea de fracción equivalente, sintetiza algunos de los atributos

identificados para manejar la noción de fracción como <las partes también

pueden considerarse como todos> (Pncnr et al.) y <subdivisiones equivalen-

tes> (PnvNr), es decir la habilidad que puedan desarrollar los niños para

poder considerar una parte de un todo (un subgrupo de un grupo) como una

iegión (subgrupo) no divida y como una región (subgrupo) con divisiones.

Además, como habíamos señalado anteriormente (sección 4.1) son requi-

sitos previos para la comprensión de la equivalencia el haber desarrollado

las ideas relativas a la relación parte-todo tanto en contextos continuos

como discretos.De todas formas la idea matemática de equivalencia puede tener varios

niveles de sofisticación. El manejo de esta relación en situaciones concretas

(continuas o discretas) no tiene por qué inferir el manejo correcto de los

símbolos matemáticost l2 :214 : 418 : . . .213 : ?16

por tanto el trabajo en la escuela debe ir dirigido a que los niños desarrollen

en un primer momento estas relaciones (la equivalencia) en contextos concretos

(continuos y discretos) potenciando la capacidad del niño de realizar traslacio-

nes entre las representaciones concretas, así como de realizar las traslaciones a

la forma oral, escrita y simbólica, según el esquema de la sección 4.4.1.

No podemos describir todas las actividades necesarias en relación a cada

una de las representaciones, y a las traslaciones entre las representaciones,

porque la extensión de este volumen no lo permite, pero debemos decir que

€n estos momentos, aparte de desarrollar una relación (la equivalencia) se

pretende fundamentar una regla por lo que creemos que la secuencia de

actividades debería venir determinada por el siguiente esquema, modihca-

ción del aparecido en la sección 4.4.1.

Concreto

f

b)

T1de2

íáá,,róór

"?9r",,_O__O.ritde2

@@oo@@oo

(4,,!@rti'O'liO','@,''@/ 'r9'\9-/

2de4

4de8

2de4o! l

l de2

Esta posibilidad amplía el ámbito de las nociones relativas a las fraccio-nes (relación parte-todo). Estas situaciones describen el signilicado de laequivalencia de fracciones.

lt6

''wma4de8

%772de4

4de8

Diagrama

Simbolos

t t7

La forma oral sobre ras flechas indica que en este momento el lenguaje, laverbalizació,n de lo que se está haciendo/pénsando, debe constituir er vínculode unión (medio) para pasar de los concretos/diagramas a los ,i,nuolor.

La habilidad del niño en rearizar las diferentes traslaciones, así como supaulatina independencia del material concreto se pueden "orrrid"ru, "o-oíndices del desarrollo de esta idea matemática.

lo. otraparte, la dificultad de la equivalencia de fracciones radica en elhecho de tener que vincurar ras manipuiaciones que se rearizanen contextosconcretos con la regla de obtener fracciones equivalentes en el niver de lossímbolos. Es decir, en un contexto continuo (modelo ,""tárg;i"testablece-mos nuevas divisiones en el todo o ignoramos parte de las q-ue

"*irt"r, puru

encontrar fracciones equivalentes; en un contexto discreto ."áüru-o, nuevasreordenaciones de los elementos (fisica o mentalmente) para obtener fraccio_nes equivalentes.

Así, estas actuaciones en el nivel concreto hay que vincularlas a la regrade tener que multipricar o dividir er numerador y el denominador de lafracción por el mismo número para obtener fracciones

"q"iuur"ni"r,

f-ol "!

,/bJ\4+4 1

8+4 2

4x2 8

8x2 16

_ Además se presenta el hecho de que los niños en un nivel simbóricoadmiten con mayor facilidad el procesó de obtener fracciones con términosmayores (mediante la multiplicación) que el proceso de obtener fracciones detérminos más pequeños (mediante la divisiónl.

- El tener que fundamentat ra rqgla que produce fracciones equivalentes

hace que tengamos que secuenciar debidamente las actividades evitandopasar rápidamente a la manipulación de los símbolos, sin que estas manipu-laciones tengan un apoyo concreto fuerte. posteriormente debemos intentarque el pensamiento de los niños se independice del material y de las manipu-laciones del mismo para que se convieria rearmente en erabóraciones menta-les. Este es el <quió> de la cuestión, casi un arrna de doble filo.

- De. todas formas, parece ser que las secqencias de enseñanza basadas en

las actividades de doblar papel resultan efectivas pur" "onr"g.rir.rt"

p.opo-sito (Bon,rN,1971, citado por p^a.vun, 1976).

A ello se añade la necesidad de utilizar un solo rnodelo (modelo rectángu-lo, en el contexto continuo) en ra rearización de las actividades, ya que lautilización simultánea de contextos continuos y discretos pueae ser perjudi_cial para la adquisición de la regla que permite obtener fracciones equivaljntes.

r18

Sin embargo, es de suponer que en un momento posterior de la secuenciade enseñanza será útil proponer actividades en contextos discretos que re-quieran el manejo de la idea de equivalencia. Eso hará que los niños tenganla oportunidad de ampliar su noción de equivalencia a situaciones que en elmejor de los casos necesitan una manipulación previa (en el plano de loconcreto o mental) para poderse realizar, además de que si utilizamos fichascomo concretos puede ser que no haya una unidad predeterminada. Porejemplo, si tenemos la representación siguiente para dos sextos (2/6),

@@oooopara obtener una representación de un tercio (1/3) hay que realizar unreagrupamiento (manipulativa o mentalmente) de las fichas y considerar losgrupos formados por dos fichas.

t,a__@;(A _0)'lQ_OPero por otra parte, si queremos obtener una representación de 4112, debere-mos considerar como unidad, por ejemplo, un grupo formado por docefichas con cuatro de ellas coloreadas

@

@

@oooo@ o o o o

4112

teniendo que reagrupar las fichas de dos en dos para obtener una representa-ción del 216 (que es la situación de la que partíamos) para poder establecer laequivalencia.

ttb't idtíoliOrOlíoiI t r l ¡ l l l t l l I

\@ ), -@) \9,1 loi'.9 tg/

Este hecho de tener que <conjeturar) cuantas fichas deben formar en estecaso la unidad para obtener una buena representación de la fracción equiva-lente, o en el caso anterior, el tener que determinar <cuántas> fichas debenestar en cada subgrupo, hacen que el manejo de este concreto sea máscomplejo.

Lo anteriorjustifica que la secuencia de enseñanza que busque la genera-lizaciín en la obtención de fracciones equivalentes con términos más grandesse base en la utilización del modelo rectángulo como único concreto.

119

De todas formas no hay que destacar la posibilidad de utilizar contextosdiscretos posteriormente para ampliar la <red de relaciones> relativa a laequivalencia, cuando ya nos hayamos aproximado a la regla de encontrarfracciones equivalentes en el nivel simbólico.

En lo que sigue vamos a intentar describir las características de lasecuencia de enseñanza basada en el contexto continuo, modelo rectángulo,y desarrollada mediante actividades de doblar papel.

_ Si tenemos dos hojas rectangulares de papel con dos tercios (213) som-breados en cada una

dos de tres, 2-tercios.2l3

En estos momentos se supone que los niños ya no deben tener problemascon las nociones relativas al concepto inicial dé fracción para podór introdu-cirles con éxito en esta nueva situación.

Entonces, mientras tenemos una hoja delante, encima de la mesa. con Iaotra realizamos la siguiente secuencia. d

<Doblarla por la mitad horizontalmente.>

<Desdoblar, ¿en cuántas partes ha quedado dividida ahora la unidad?: enseis.>

<<En cuántas partes estaba dividida antes?> (sólo hay que comparar con lahoja que tenemos delante): en tres.))

<En la que tenemos ahora, ¿qué es cada parte de la unidad?: un sexto.))<¿cuántos sextos tenemos sombreados? (mientras se cuenta en voz alta ir

señalando con el dedo): cuatro sextos.))

<¿Cómo lo representábamos?: 4f6.>

colocando las dos hojas de papel que teníamos, una al lado de la otra.con la fracción que indica la parte sombreada.

120

213 = 416

t2l

Estasact iv idadesesimprescindiblequelashaganlosniños.Tienenpocovalor si es el profesor quien realiza la manipulación guiando con sus comen-

tarios las observaciones. El trabajo de la manipulación personal, es vital para

la interiorización de las transformaciones que se están realizando.

El objetivo en estos momentos es trasladar la atención de los niños hacia

las modilicaciones que sufre el número de partes sombreadas en relación al

número de partes del todo.SegúnEr.r-nRBRUcHetal . ( |978):<Laideaesencialesrelacionar los

dobleás de la hoja de papel a la idea de doblar, triplicar, y en general,

multiplicar el numeradoiy denominador por el mismo número... Se presiona

la relación entre la ."pr.rión verbal de doblar el número de piezas y doblar

el número considerado.>

Asi indican:

Podemosmostrarlaequivalenciaconectandolosdiagramasrectangula.,", y lu recta numérica. És una forma de organizar la información que

poseemos en estos momentos, que puede ayudar a aproximarnos a la regla''S;;p;; en las actividades de gtnétu. la familia de medios, de cuartos' de

tercios".. que salen a partir de lás secuencias de contar fracciones unitarias'

Si iodós los dobleies los realizamos de forma vertical tenemos,

Los cuartos están sombreados.

2de4

Familia de losmedios:

Familia de lostercios:

Familia de loscuartos:

El número total de las partes lo hemosmultiplicado por dos, el número de partes

sombreadas también lo hemos multiplicado por dos'

4de8

l ' l ' l ' l ' ! t ' ! ' l ' ló ttz i stz 2 3

2/4 2/2 6/4 4/23/3 6/34/4

6129/3

ru

l r :r l l I

I

rsra representación puede ser más clara aumentando er número de fami_lias consideradas. Así se obtienen lr" r¡g"ü,"s fracciones equivalentes, entre

si toda esta información la podemos colocar en una gran pizarra d,efranela en er aura, ra dirección "'G;i;;

estos momentos es descubrir elmodelo numérico que se sigue en ta generación de fracciones equivalentes.La ventaja de poder mosrrar tanta inform*tó;;i;;;;#;", a travésde Ios datos organizados enra pizarriá" iün.ru, es que facilita el determinarla regla que se sigue en todas rás famitias áe fracciones equivarentes, al tenerante la vista varias de estas familias.El objetivo de utilizar este gran <pósten en la clase es que ,iruá'"omomotivo de discusión así como J" upoyo-.n ros comentari*;;;;" rearicenentre los niños o entreros niños y

"r práteroi. La.búsqueáa á"iáoa.ro, q.r"se sigue en la formación de las iamiiias áe f.acciones puede ser consideradauna actividad de gran grupo (con la clase entera), o una actividad a desarro_

llar 1n pequeños crup+ d-e tiabajo, rr"ui"n¿o posteriormente una sesión depuesta en común entre los distintós. grupos,

"n iu qu, ; p;;;; r"*.nunm"rtolo encontrado por cada grupo' uri ";;;i;s procesos que se han seguidopara determinar la respuesta.

El descubrir cómo se pasa de una determinada fracción a la siguiente o ala anterior, se puede afiinzar -"di;;;-r;;

siguientes actividades-ejerciciosque ayudan a rearizar el paso de ras repres"ntu"ion.s ";;;r*^;iagramasa Ia regla (Errnnnnucn y pevNn, f qió,----'

a) Algunas de las situaciones anteriores, mostradas en el póster-murarpueden representarse por

r/2 : 214l : t l l :312 : 6¡42:2/ t :5/2 : 1g¡43:3l t :

así, los siguientes ejerciciosgeneralización.

i )2 x 2

2/2:3¡3:4/4: . . .

412:6/3:gl4: . . .

6/2:9¡3: t2/4: . . .

:_ i i )3x?_4x?-

2x24x2

se pueden proponer para ayudar a la

122

4x

123

b\ Dada una fracción y un nuevo denominador encontrar el numerador

c) Dadas dos fracciones y un nuevo denominador, encontrar fraccionesequivalentes.

<Dadas las fracciones 213 y 3/4. Escribir cada fracción con undenominador de I2.>>

?l2 '

d) Dadas dos fracciones encontrar fracciones equivalentes a las dos, conun denominador común. El algoritmo que estos autores sugieren eselegir el denominador más grande de las fracciones dadas e ir inten-tando múltiplos sucesivos.

El verdadero valor de estos ejercicios se encuentra en el análisis de losprocesos personales conjeturados por los niños en su trabajo en pequeñosgrupos y en las discusiones posteriores con la clase entera cuando cadagrupo presenta y justifica sus procedimientos.

En las secuencias de ejercicios de este estilo, los niños encuentran másfácilmente las soluciones cuando lo que aparece son relaciones de múltiplos,por ejemplo:

en donde para pasar de 4 a 12 multiplicamos por 3, luego hay que multipli-car el 3 del denominador de la primera fracción por el factor 3 para obtenerel numerador buscado.

Sin embargo los niños tienen más dificultades en los ejercicios en los queno se da esta relación de múltiplos, por ejemplo:

en este caso el paso de 9 a 12 no es a través del producto de un númeronatural.

En esta secuencia de ejercicios propuesta por Ennnnnucr et a/. (1978) sesobreentiende que en todo momento los niños pueden recurrir al materialpara comprobar sus resultados.

3?4t2

2?3-:-3r24

3?4t2

912-:-t2?

Además, la verbalización de todos los pensamientos subyacentes a Iamanipulación, sea de símbolos o concreta, ayudará a interiinzar la reglapuesta de manifiesto cuando se construyen familias de fracciones equivalen-tes a una dada.Esta secuencia, con la que se obtiene el procedimiento para obtenerfracciones equivarentes con_términos mayores, debería

""-pl"tá^" con acti_vidades-ejercicios de simplificación:

que ayudarán a mostrar la regla en todos sus aspectos.Hay que recordar que estos ejercicios son sugerenc ia de aüiuidades queayuden al profesor a estructurar sus acciones docátes. g. J*ir,; deben serconsiderados como ejercicios individuales a rearizar por cada niño sin anteshaberse desarronado algunas crases previas de diálogo-¿ircuriáo

"n peque-ños y gran grupo.

,, Y-" dentro del campo-de los símbolos, existen sugerencias sobre la formade aftanzar la regla de obtención de fracciones equivalentes, que sfrpoyanen la delinición del elemento unidad.

La introducción de la multiplicación de fracciones, favorece la utilización deestas sugerencias. En el capítulo siguiente veremos qué ror-u pu"á"n adoptar.También puede ser útil aprovechar la conexión entre hs iracciones y losdecimales para determinar la equivalencia de fraccioner. si

"r Áuol¡o de losdecimales por los niños nos lo plrmite, podemos utilizar la calculado ra paÍamo'trar.dicha equivarencia. se enfatiza en esta situación la conexión entrelas fracciones, la división de dos números naturales y los decimales.

362??15360:30: 15

: 10 n: i

..12.. , 2 fú l zr3 6J' ' : t * l ¡ j : i , s : o

6|

4:6:4:1,5

6t : 6:3:2

2,: 3:2: 1,5

t2; 6

: 12:6:2

Por otra parte el y19jo de la equivalencia de fracciones nos puedepermitir acercarnos a la idea de la densidad de los ,rn-"ro, racionales,mediante actividades de búsqueda de fracciones (entre)) otras dos fraccionesdadas.A continuación vamos a ver cómo se utiliza la idea de fracción equivalen-te para determinar la relación que existe entre er <<tamaño>r d" ;;; iracciones.

124

4.6. LA COMPARACION DE FRACCIONES.LA IDEA DE ORDEN

Una de las aplicaciones de la idea de fracciones equivalentes se pone de

manifiesto, ",runáo

queremos comparar dos fracciones y determinar si una es

más pequeña, igual o mayor que la otra.Oe tó¿as formas, el compaiar dos fracciones con el mismo denominador,

se puede hacer directamente comparando los numeradores. Estas actividades

deben seguir la misma secuencia anterior, empezando con concretos y me-

diante la-explicación por parte de los niños de lo que se está laciendo, o de

la razbn pór la "u"l

r" está haciendo determinada cosa, hasta llegar al

manejo de los símbolos.

Por ejemplo, al comParar 416 Y 516:

al realizar los dobleces de papel y sombrear la parte indicada (traslación

símbolo-material en la secúencia del concepto fracción), tener la unidad

separada en el mismo número de partes la comparación es inmediata, apoya'

dónos en el orden de los números naturales (el orden de los numeradores)'

<<4 veces un sexto y 5 veces un sextoD,

y como cuatrO es menor que CincO, tenemos que cuatro veces un sexto es

menor que cinco Yeces un sexto.La primera dilicultad se presenta cuando hay que comparar fracciones

con denominadores distintos, por ejemplo 516 y 213. La construcción con

material de las fracciones, y la comparación directa, puede ser un primer

intento a realizar. Pero el propósito de la secuencia de enseñaÍza es conse-

guir una independencia paulatina del material, y pafa eso, si c€ntramos

iuestra atencién en lo que podemos hacer cuando comparamos fracciones

con el mismo denominador representadas en material, encontramos que,

- podemos hacer la comparación directa, y

- podemos apoyarnos en el hecho de comparar el número de fracciones

unitarias que <<hap> en cada fracción'

Una de las ideas implícitas en esta última tarea es la necesaria compren-

sión de la relación invirsa entre el número de trozos de la unidad y el

tamaño de las Piezas (Cuadro 4.3)'

125

Cu¡dro 4.3

OIOII&

Una actividad (Posr et at-, 1987) que pone de manihesto esta relación

puede consistir en que los niños comparen ante círculos de distintos colores

iinididor en diferentes partes el número de partes que cubren la unidad y el

tamafro de las partes.Colocando los niños por parejas y tomando como unidad el círculo

(todo) se pide a un niño que divida su círculo en cuartos y al otro el suyo en

sextos, planteándose a continuación preguntas como:

¿en cuántas piezas se ha dividido el círculo?;

¿quién tiene más Piezas?;

¿quién tiene la Pieza más grande?

y el anotar las respuestas en hojas aparte puede ayudarles a darse cuenta de

ia relación inversa existente entre el número de trozos en que se divide la

unidad y el tamaño de cada trozo.Pauiatinamente, las cuestiones deben plantearse de tal forma que los

niños deban contestar a las preguntas primero y luego comprobar sus res-

puestas (si lo creen necesario) utilizando el material.^

Además, los niños pueden utilizar diferentes procedimientos para realizar

las comparaciones dependiendo del tipo de fracciones. La estrategia descrita

al principio para fracciones con igual denominador @16 y 516) de compara-

ción dirécta utilizando esquemas de ordenación de los números naturales

no son válidos cuando las fracciones que tenemos tienen igual numeradorpero distinto denominador, como por ejemplo 3la y 315. En estas situacio'

nes, haber conseguido una buena comprensión de la relación entre el

número de piezas y el tamaño. De las piezas puede ayudar a que los niños

ante esta siiuación consideren que como los cuartos son más grandes que

los quintos entonces la fracción 314 debe ser mayor que 3/5, con lo que

actividades como las descritas anteriormente que intentaban poner de

manifiesto la relación entre el número de piezas del total y su tamaño

adquieren una gran imPortancia.iinalmente, en h cómparación de fracciones del tipo 516 y 213 es donde

las diferentes estrategias utilizadas por los niños en los casos anteriorespueden mejorarse. Tanto el contar fracciones unitarias como los procedi-

mientos de fijarse en la comparación del tamaño de las (partes) pueden

introducirnoJen la utilización de estrategias que puedan justilicar el uso de

algún algoritmo.Así por ejemplo, con la introducción a la comparación de fracciones

basada én la comparación del número de fracciones unitarias, se establece de

forma natural la necesidad de tener fracciones con el mismo denominadot

cuando queramos comPararlas.

127

Ante las fracoiones 213 y 315:

<<213 es dos veces un tercio>r,

<3/5 es tres veces un quinto>,

necesitamos tener la misma fracción unitaria, ro que se traduce en la necesi_dad de obtener fracciones equivalentes a cada una de las fracciones dadaspero con el mismo denominador.Siguiendo la secuencia descrita anteriormente, ro intentaríamos conmúltiplos sucesivos de cinco (el denominador más grande de las dos fraccio_nes). Así,

5x1:5, 5x2:10, 5x3:15, . . .

hasta obtener un múltiplo de 5 que también lo fuese de 3, con lo que:

2t03:3t5:15

915

"?J

5 5x3

tenemos:

<<213 es diez veces un quinceavo>,

>3/5 es nueve veces un quinceavo>>,

con lo que la comparación es inmediata.Lajustificación de la necesidad de apoyarnos en ras fracciones equivalen-tes para tealizat la comparación debé éstar enraizada en las actividadessobre concretos realizadas por los niños. Antes de movernos directamente enel nivel de los símbolos hay que realizar numerosas actividades donde inter-venga la manipulación y la expresión verbal. una trasracion fuuiuiinu rru.iula introducción de ros símbolos mediante actividades

"; ü;;;;;;istan lastres formas de representación (concreta, orar y simbórica) ujuau.a u qu"cuando estemos trabajando en el niver simbólicó únicameníe, .r, ,rn ,no-"n_to determinado, los niños puedan explicar por qué h;;;;;;;minadas

manipulaciones de simboros apoyando sus explicaciones sobre concretos.En relación a ra ufirización de material discreto rn"rr"r)-p"r; ser, queante la representación

@@o) /1

@@@ool / \

r28 r29

la utilización de una unidad formada por quince fichas, sólo se puede conce-

bir si previamente se ha realizado una elaboración de los datos en el nivel

simbóiico. Este hecho es lo que algunas veces se ha llamado la existencia de

un (esquema anticipatorio)) para realizar con éxito la tarea (de lo concreto al

símboló, reorganizáción de la situación en el nivel simbólico -¿mental?- y

vuelta otra vez al nivel concreto).La dificultad que plantean estas tareas, hace que puedan ser utilizadas

para <<valorar> el aprendizaje que se ha realizado después de haber desarro-

iludo unu secuencia de enseñanza en contextos continuos, apoyada en la idea

de fracciones unitarias para justificar la necesidad de obtener fracciones

equivalentes pan realizar la comparación.De todas formas no hay que olvidar que parte de la dificultad que

presentan las tareas de comparar fracciones viene vinculada al tipo de núme-

io, qu. se están utilizando, tanto en contexto continuos como discretos.

Por otra parte, la utilización de la Recta Numérica para representar las

fracciones puide potenciar la conexión con la noción de medida, y el desa-

rrollo de lá relación de orden entre las fracciones. En las actividades de

señalar fracciones en la Renta Numérica entre otras dos dadas, se potencia

las conexiones indicadas antes favoreciendo la ampliación por parte del niño

de su visión de las fracciones (en particular la idea de verlas como números y

no sólo como representaciones de diagramas <parte-todo>)'

F

J.

Las operaciones con fracciones.Los algoritmos

, (+-+)

00g

5.1. INTRODUCCION

. Hablar de los algoritmos para las operaciones con las fracciones resultabastante conflictivo. como habíamos viito en el primer capítulo, las dificul_tades que tienen los niños con estos argorit-or 1ru

"r"uru J"u"ia

"n ,u

manejo), así como la <poca utilidad prácticu que se les puede atribuir (losniños suelen evitarlos en las situacionés cotidianas, sustituic"J"l", por orrosprocedimientos en la búsqueda de la soluci 6n a la sltuación ptanteada),sitúan este apartado en el centro de una gran problemática.

Mientras que parece que no hay excesiva discrepandia en relación a lasnociones intuitivas del concepto fracción, al plantear la cuestión.-de losalgoritmos relativos a las operaciones con fracciones, se desata r" p"E-i"á.Esta cuestión ha sido descrita ya con detalre anteriárment", p- lo que novale la pena volver a plantearla.

En este momento vamos a aproximarnos al problema de la enseñanza dedichos algoritmos, e intentar vercon qué condiciones puedery'dJ"n up".r"",en el currículum de Matemáticas de los primeros años.. siempre que se va a estudiar una operación numérica, se hace la distin-ción entre el concepto de la operación y su algoritmo;

"s'¿e.ir, "ntre,

-comprender el significado de la operación, estando este punto vincula-do a la aplicación de la operación en la resolución ie situacionesproblemáticas, y

- ser hábil en la ejecución de los pasos necesarios, y en el orden correcto,que llevan a la obtención del resultado de una operación; lo que en erlenguaje usual se denomina rcalizar los cálculos.

Esta distinción es necesaria ya que, entre otras, algunas de las objecionesque se realizan a la enseñanza de las operacion.t con fracciones (a laenseñanza de los algoritmo_s), es que estos aigoritmos se convierten en reglassin sentido para los niños. Lógicamente, si einiño está manejando reglas sin{1sú.n sentido para é1, resulta bastante natural que a lo rurgá aa tiempo,deje de utilizarlas y las sustituya por otros procedimientos más <naturales>o, que olviden o modifiquen algún puro enil algoritmo, convirtiéndolo asíen un procedimiento erróneo.

132

La raz6n de que estos algoritmos se puedan convertir en reglas sinsentido puede ser debida a una introducción demasiado temprana en la

escuela (traslación demasiado rápida hacia el manejo de simbolos sin la

existencia de un esquema conceptual), pero también en algunos casos por

una introducción desvinculada de un fundamento suficientemente concreto y

natural a la operación (falta de la existencia de un <modelo de compren-sión>).

Si aceptamos estas dos ideas, parece claro que aumentando el tiempo depráctica en el manejo del algoritmo, no conseguiremos una comprensión delos pasos de dicho algoritmo.

En esta situación, nos obligamos a mirar los errores producidos por losniños al realizar los cálculos (o al aplicar las operaciones a los problemas depalabras) desde otra perspectiva.

El solo aumento de la práctica con los algoritmos puede no ser un buenrecurso didáctico para superar los errores si no somos capaces de determinarsi el error es debido a un descuido en el proceso de aplicar los pasos delalgoritmo o a la aplicación sistemática de un procedimiento erróneo (algunas

veces modificación de un procedimiento correcto).

. El papel quejuegan los errores, su análisis y las inferencias que se pueden'realizar

a partir de ellos en relación a la comprensión del niño de losalgoritmos que maneja será tratado con más detalle en el próximo capítulo.

Otro de los aspectos a tener en cuenta cuando se habla de los algoritmosen las operaciones con fracciones, es el hecho de que existe una aparentedesvinculación entre la regla para resolver una (cuentaD, por ejemplo deltipo

y un problema verbal que conlleve implícitamente esta operación, por ejem-plo:

<Si quedaban los 3/4 de una tarta y me como la mitad ¿cuánta tarta del totalme he comido?>

Lo más probable es que los niños se enfrenten a este problema verbalutilizando estrategias diferentes a la regla de multiplicar fracciones.

Además, y en relación a la conexión entre el algoritmo y la resolución deproblemas, Hmr (1981) señala que,

...1a habilidad para resolver cálculos de sumas y restas decrece cuando los

niños son mayores. La habilidad para resolver problemas no decrece con la

edad, con lo que se puede suponer que los problemas son resueltos sin recurrir al

cálculo algorítmico. Muchos niños, en efecto, parecen no conectar los algoritmos

con la resolución de problemas y usan sus propios inétodos.

i !,\i tvF Bci n A * n,.l',"?r,

13-x-24

Así, parece ser, que en esta situación, los niños (siempre y cuando se lopermita la presión escolar), tienden a buscar procedimientos que impliquenel manejo de los números naturales antes que ((poner en u""ióno pro"iai-mientos vinculados a la noción de fracción (efecto distractor de los númerosnaturales).

uno de los efectos derivados de esta situación, lo señala HLnr (19g1)cuando indica, en relación a la comprensión de la idea de fracciones equiva-lentes por niños de 12-13 años (aproximadamente 7.o de EGB), que muchosniños ven las fracciones como parejas de números naturales no relacionados,tratándolos separadamente. De forma clara estas inferencias tendrán reper-cusiones sobre el manejo de los algoritmos, en particular para la suma y laresta de fracciones con denominadores diferentes.

5.2. LAS INTERPRETACIONES DEL CONCEPTOFRACCION Y LAS OPERACIONES

En el tercer capítulo hemos caractenzado diferentes interpretaciones aso-ciadas ala idea de fracción. A través del análisis del concepto reali?ado encada caso, se podía vislumbrar el hecho de que algunas

-interpretaciones

podían conduci¡ de una forma más natural, al concepto de determinadasoperaciones.

, Así, en el aspecto medida caractenzado a través de la relación parte-todo,los conceptos de suma y resta de fracciones, encuentran (su) intérpretaciónmás natural. Podemos utilizar el modelo de la Recta Numérica pará vincularla interpretaciones parte-todo, medida y fracción como númeró.

I l/4 de metro + 3/4 de meÍo

0t '23

1 1/4314

- Por otra parte el concepto de multiplicación y división de fracciones

viene vinculado con más <<naturalidad a la interpretación operador.El carácter funcional de la murtiplicación/división, haóe que la inter-

pretación de las fracciones <<más estructuralistu (algebraica) les proporcioneel contexto adecuado. Por ejemplo:

i) <coge los dos tercios de la parte sombreada, ¿cuánto has cogido deltotal?>

'Z:%:Wr34

213 x (314) :

135

(213\ x Qlal

ü) <Coge los 314 de la tarta. Cómete los 213 del trozo que has cogido'

¿Cuánto te has comido del total?>

EstadoUnidad

Estadox Ql$ Ql4)

EstadoQl3) x Qp)

Teniendo en cuenta esta relativa familiaridad entre algunas interpretacio-nes y algunas operaciones, es posible prever dificultades en relación a la

adquisición del concepto de alguna operación, en función de qué inter-preiación de las fracciones se haya potenciado en la secuencia inicial de

enseñanza.Así, teniendo en cuenta esta circunstancia, DrcNns por ejemplo, al poten-

ciar la interpretación operador (entendiendo en este caso la fracción como

una sucesión de una multiplicación y de una diviSión de números naturales),'indica que el concepto de multiplicación es el más natural y que su introduc-

ción no plantea ninguna dificultad, por lo que introduce la multiplicaciónantes que la suma/resta de fracciones con denominador distinto, ya que

considera esta operacióno como la sustitución de dos operadores por uno

solo, o la aplicación de un operador a un estado fraccionario.Con esté planteamiento la idea de fracción inversa (operador inverso) y la

idea de división son inmediatas. Sin embargo esta misma <elegancia> en lapresentación de la multiplicación y división plantea algunos inconvenientes

al introducir la suma de fracciones. DtsNss salva esta dificultad hablando de

suma de estados finales obtenidos por medio de operadores fraccionarios (en

vez de la sustitución de dos operadores por uno equivalente como en el caso

de la multiplicación).Por ejemplo, para presentar la suma de las fracciones 213 + 4/5 establece

los siguientes pasos:

Consideremos el estado unidad (inicial), en nuestro caso 15

Parte-todo (medida)Concepto de fracción

Suma y resta defracciones con elmismo denominador

Multiplicación de unnatural por una fracción

F¡ouna 5.1

Ante esta dificultad estamos convencidos de la necesidad de que cadadocente tome sus propias decisiones, en relación a determinados aspectos delproceso de enseñanza. El papel de las propias creencias aquí es fundamental.

El esquema de la figura 5.r describe él nestado de Ia cuestión) en esrosmomentos. sobre dicho esquema pueden (mostrarse) los <mudos de tomade decisión> en relación a esta cuestión de desarrollo curricular.

vamos a intentar acercarnos a la cuestión relativa a la enseñanza de losalgoritmos, señalando previamente algunas cuestiones.

5.3. ALGUNASCUESTIONES

5.3.1. El manejo de los algoritmos y la resolucién de problemas

Recordemos ahora algunos detailes expuestos en las secciones anteriores.Se había señalado, en relación a los algoritmos, el bajo rendimiento que losniños manifiestan en su manejo, junto con el hecho dL que en determinadosproblemas, los niños sustituyan el algoritmo de la <cuenia> que está implíci-ta en dicha situación por el uso de procedimientos propios.

De forma resumida tenemos:- bajo rendimiento en el manejo de los algoritmos, y-desvinculación entre la <situación problernática> y"la realización dela

operación mediante el algoritmo correspondiente.

138

Teniendo en cuenta esto, habría que trasladar la atención hacia la formaen que está caracterizadala secuencia de enseñanza en relación a los algorit-mos de las operaciones con fracciones.

A veces, al pensar en dicha secuencia de enseñanza, el orden que se siguesuele venir delimitado por las siguientes cuestiones:

- ¿cuál es el algoritmo?;- ¿qué estrategia se puede utilizar para hacerlo más <concreto>?

A partir de este momento se <justifica> el algoritmo a través de una<<situación concreta). Larealizaciín de ejercicios con posterioridad, pretendeque los niños <<cojan práctica>, en realizar las <cuentas>. En estas situacio-nes, a veces, se proporcionan problemas verbales con posterioridad como<aplicación>.

Llegado este momento, el planteamiento resulta claro y puede inducir apensar: <Si los niños identihcan la cuenta necesaria para resolver el proble-ma, como ya tienen práctica en el manejo del algoritmo, entonces no habráninguna dificultad (¡!).)

En este tipo de planteamiento, existen dos puntos claves,

i) la identificación de la operación, yii) el desarrollo del algoritmo.

Entonces, recordando lo señalado al principio, cabria preguntarse:

- (¿son los aigoritmos de las operaciones con fracciones los "procesosnaturales" para resolver el tipo de problemas que se le plantean a losniños?>;

- <¿las secuencias de enseñanza que desarrollamos en nuestras clases ledan el mismo peso especíhco a los dos puntos señalados anterior-mente?>;

- (¿conectamos el proceso de reslución de problemas a la utilización delalgoritmo?>;

- <¿podemos utilizar los procesos de resolución de problemas comocamino para la conceptualización de la operación (en este caso clalgoritmo) y no sólo como aplicación?>;

- <<¿realmente son necesarios los algoritmos de las operaciones con frac-ciones para resolver "esos" problemas?>.

Como vemos, aquí se nos vuelven a plantear cuestiones que ya nos sol'lfamiliares. El intentar buscar respuesta a estas cuestiones enunciadas bajo clencabezamiento <El manejo de los algoritmos y la resolución de problemas>

139

puede/debe ayudarnos a clarif icar nuestra postura personal en relaciirr ,rdeterminados aspectos de las fracciones en la escuela.

Desde nuestra perspectiva, la uti l ización de los problemas (situaciorrt 's)proporciona los contextos necesarios para conceptualizar los procedimicrrlr,,,en el cálculo con las fracciones.

Es decir, creemos que en el proceso de hacer conscientes a los niños rr,.las relaciones entre las manipulaciones (en algunas operaciones) y las replcsentaciones simbólicas, se colocan las bases para algunos procesos algorítnicos. Así. e jemplos del t ipo

<Juan ha ganado en la feria una barra de chocolate y un tercio de barra ydecide repartírselo con su amigo Pedro, ¿cuánto le correspondera a cada uno'l>

en los que los niños <estiman> en un primer momento el resultado, realizanlas actividades, en un plano de representación en primer lugar y luego en unnivel simbólico, en grupo o individualmente, para luego poner en común losdistintos procedimientos uti l izados, enfatizando tanto los resultados igualescomo dichos procedimientos lo que les deben introducir en el camino de losalgor i tmos de las opcraciones.

En estas situaciones, el profesor debe estar atento para aprovechar cual-quier sugerencia que se pueda derivar del trabajo de los niños, aunque losprocedimientos uti l izados por ellos sean diferentes de la aproximación for-mal. Una buena estructura <le organización de la clase para este tipo desituaciones es el trabajo en grupos reducidos (cuatro o cinco niños) en unprimer momento para posteriormente, en sesiones con la clase entera (grangrupo) exponer los procedimientos uti l izados en cada grupo, asi como lasdificultades que se han tenido y la forma de superarlas. La exposición comúnde distintos procedimientos, unos más elaborados que otros ayuda a que losniños vayan avanzando en el camino de la generalizacion.

Desarrollado de esta forma, la conexión entre el primer contacto intuiti-vo con las operaciones, y el establecimiento de los algoritmos, depende engran medida del trabajo del profesor en saber aprovechar las innumerablesocasiones que, durante las sesiones con la clase entera, proporciona la verba-lización de los procesos uti l izados por los niños.

El objetivo de estas sesiones de trabajo es l legar a que los algoritmos seanel resultado hnal, la síntesis, de la evolución de las estrategias personales.

De todas formas, en estas situaciones, los algoritmos, las reglas generalesobtenidas a partir de numerosos procedimientos, estrategias personales, nopueden quedarse sólo como síntesis de procedimientos vinculados a situacio-nes más o menos concretas. Se debe <mirar> hacia adelante. Es decir, eltrabajo con los algoritmos, el manejo de símbolos y operaciones en situacio-nes generales debe ser el preludio del trabajo con las relaciones algebrai-cas.

140

5.3.2. Los algoritmos y el trabajo previo

con las relaciones algebraicas

Delaformaseñaladaanter iormentesepuedenconectar losalgor i tmosrclativos a las operaciones con las fracciones a los procesos de resolución de

problemas urud^o, por los niños, por una parte, y a un manejo de los

,í*bolo, que nos introduce en el campo de las relaciones algebraicas, por

otra.Así,almanejarenunplanosólodesímboloslanocióndefracciónylas.rf.ru.iot", áon fracciones, se estará empezando el camino de introducción

oi Átg.uru, al ser el conjunto de los números racionales el primer caso de

"onj.-into numérico manejado por los niños en que las cuatro operaciones no

tienen restricciones.Planteado lo anterior, la cuestión que surge es conocer si existen mode-

los (estrategias de enseñanza) que putdun ayudar a afrarlzar algunos algo-

ritmos, una vez que aparecen in la secuencia de enseñanza como síntesis

de los procesos personales de resolución de problemas planteados por los

niños.Las secciones que siguen intentarán describir algunas de estas estrateglas

para los diferentes algoritmos.

5.4. LA SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

En la secuencia que desarrollaba el concepto inicial de fracción se presio-

naba sobre el uso de las fracciones unitarias y el contar, lo que nos introdu-

cía de forma natural en las ideas de sumar y restar fracciones en algunos

casos determinados.Se sugería que ésta se realizará a través de situaciones problemáticas,

como por ejemPlo

<Juan se ha comido los 3/8 de la tarta y Pedro los 2/8. ¿Cuánta tarta se han

comido entre los dos?>

en las que el proceso de solución venía determinado por el hecho de contar

octavos (tres octavos más dos octavos son cinco octavos) que de forma

simbólica podíamos representar por

318+

218

3 octavos

2 octavos

'/ul%tru)5/R 5 octavos

l4 l

T W

-\--- sM+/

Se enfatizaba en estas situaciones, de nuevo, la identificación de la uni-dad, al igual que sucede en las situaciones en las que intervienen fraccionesmayores de la unidad.

<Juan se ha comido 1 ll3 de los pasteles de chocolate y Pedro 2ll3.¿Cuántos pasteles se han comido entre los dos?>

1+rl3

2+t/3

3+213

El proceso utilizado en las situaciones descritas hasta el momento (tantopara la suma como para la resta) se apoyaba en el hecho de sumar y restarfracciones unitarias; el nivel de manejo de símbolos se dirigía hacia el hechode que se sumaban los numeradores:

En las primeras situaciones de este estilo hay que ir con cuidado al represen-tar las fracciones, si éstas son representadas en <unidadey distintas, ya quepuede conducir a error

Las primeras diflrcultades aparecen cuando la <unidad de contar> esdistinta en las dos fracciones. Si el objetivo de la secuencia de enseñanza es irtrasladando los procedimientos de los niños hacia el procedimiento dado porel algoritmo de la operación, un camino que ha probado tener buenosresultados es el de la secuenciación del tipo de fracción en las actividadespropuestas.

En las situaciones en las que se nos presentan fracciones con distintodenominador, la idea que subyace en los procedimientos utilizados es buscarsiempre las fracciones escritas de tal forma que podamos aplicar secuenciasde contar, es decir, buscar fracciones con el mismo denominador. Esta idease apoya en el trabajo hecho con la equivalencia de fracciones. En estosmomentos se deben utilizar los pasos que se sistematizaron para encontrarfracciones equivalentes descritos en la sección 4.5 (buscar múltiplos deldenominador más grande que también sean múltiplos del otro denominador).

t42

Conviene recordar que los algoritmos para la suma y resta de fraccionescon denominadores distintos pertenecen a un nivel poco intuit ivo. Estehecho hay que tenerlo presente al secuenciar los pasos que debemos dar paraayudar a los niños a que se trasladen desde la uti l ización de sus procedimien-tos personales a un procedimiento síntesis (general) de los procedimientosusados; o incluso a veces, la secuencia de enseñanza lo único que debe haceres altanzar la <regla> que de forma incipiente han empezado a uti l izar losniños.

Todo ello hace que la secuencia de enseñanza pueda/deba realizarse enun nivel simbólico, aunque independientemente de esto, en algunos casos sedebe volver a situaciones concretas para evitar la pérdida de la intuición.

Así, continuando la sencuencia propuesta en relación a la clase de frac-ción considerada, tenemos:

1) fracciones con denominadores múltiplos entre sí

213+316: ,213-116:

2) denominadores primos entre sí,

215+312: ,312- l l3:

3) los denominadores no son múltiplos entre si,

216+314: ,314-216:

El procedimiento en todos los casos, apoyados en la equivalencia defracciones, consiste en buscar denominadores comunes. Por ejemplo en elcaso

216 + 314 :

debemos recalcar los diferentes procedimientos que pueden utllizar los niños.A veces, es posible encontrar niños que utilizan procedimientos de cálculodel mínimo común múltiplo (m.c.m.) (pueden ser repetidores, o niños cuyopapá(!) le haya enseñado, o niños que hayan llegado a este procedimientopor sí mismos...). La idea siempre es intentar llegar a procedimientos mássistemáticos. Uno de estos procedimientos (los niños pueden encontrar otros)puede ser el descrito en la sección 4.5 para encontrar fracciones equivalentes.En este último caso sería:

- hjarse en el denominador más grande. En este caso 6;- calcular sus múltiplos hasta encontrar uno que también sea múltiplo

de 4,

6 x 1 : 6 no es múltiplo de 46 x 2: 12siesmúlt ip lo de4,ya que4 x 3:12.

3 2 3+2 5t_

8-8- s -8

,k ,h

t43

En estas situaciones, a veces, habiendo trabajado previamente la multipli-cación, se puede enfatizar la idea de elemento neutro para el productomediante la siguiente presentación,

De todas formas hay que tener claro que estamos trabajando en un nivel

simbólico de relaciones entre los <objetos> (en este caso fracciones) a través

de las nociones de equivalencia y las operaciones.En determinados niveles, es necesario hacer uso de procedimientos más

generales, como el mínimo común múltiplo, ya que este procedimiento es útil

ón estudios posteriores (fracciones polinómicas,...). Esto nos lleva a que los

niños deben manejar procedimientos más formales (factorización de números

naturales,...), lo que determinaría que la conexión entre la manipulación

concreta (de diagramas) y los pasos del algoritmo se cuestionará e incluso se

rehusará a hacer dicha conexión.como vemos, en un último nivel, el manejo del algoritmo para la suma y

resta de fracciones exige <ef manejo de procedimientos más formales>, aleja-

dos ya de toda intuición concreta.

5.5. LA MULTIPLICACION DE FRACCIONES

El primer contacto con la operación de multiplicar vinculada a las frac-ciones apareció al representar la suma de fracciones iguales (número naturalpor fracción),

<Ana recibe clases de Matemáticas de 314 de hora durante cinco días a lasemana, ¿cuántas horas de Matemáticas recibe a la semana?>

314 + 314 + 314 + 314 + 314 :

: 5 veces 3i4 :

5x 314

y que apoyada en la idea de fracciones unitarias se obtenía

15 cuartos

o también, representado como número mixto

2x2 46x2 12

9n

) )

6"t :6x

33¿ "

t :4x

asl:

2U4-314

2t/4:2+

si renombramos una unidad

3x34x3

l l4: t+t+t l4

,z

2.3 4 9 4+9¡ - f - : - -L64121212

Algunas veces' se.sugiere que en los primeros casos que se presenten,haya una manipulación con el material intentando

"on."iu, los pasos del

algoritmo a las manipulaciones del material concreto.Así, por ejemplo, cuando presentemos situaciones con números mixtos, a

veces, se necesita renombrar alguna unidad en términos de fracción, enparticular con la resta. Ante esta situación Asnrocr (19g3) sugiere que elprocedimiento de renombrar la unidad tiene sentido para los niáos cuandotrabajan con el material y hacen anotaciones de las manipulaciones (trans-formaciones) que realizan. por ejemplo,

t+414tt l4:1

- l

.ry

+514:1514

.4+tf -

4

entonces la resta 2 ll4 - 314 tomaría la forma

2t l4 - 314: (r + s l4) - 3/4: t + 2t4:: l+t l2:r t l2

t44

3+314:3314.

145

Todas éstas eran representaciones utilizadas en la secuencia de enseñanzaque desarrollaba los conceptos iniciales de fracción. En este caso la aparicióndel producto de un número natural por una fracción seguía un caminonatural.

En este momento contemplando las operaciones desde una perspectivateórica, podriamos llegar a pensar que mediante la propiedad conmutativa sepodría tener la operación

fracción x número natural

como una consecuencia de lo anterior.Pero esta traslación, no es del todo válida, ya que responde a situaciones

completamente diferentes:

<Ana utilizó 314 de una docena de huevos para realizar un pastel, ¿cuántoshuevos uti l izó?>

<Ana estuvo caminando durante 7 cuartos de hora, ¿cuántos minutos estuvocaminando?>

<Pedro se comió las dos terceras partes de los 18 pasteles que habia. ¿Cuán-tos pasteles comió?>

En estas situaciones se utiliza la fracción en su aspecto operador (frente ala idea de medida de las otras situaciones): además la transición

314 de 12 a 314 x 12

no es tan inmediata como pueda ser

5veces3/4 a 5x314

Todo esto hace que las situaciones que indican la multiplicación de unafracción por un número natural son algo más dificiles de resolver por losniños (PrvNp, 1975).

Para intentar superar alguna de estas dilicultades se sugieren secuenciascomo la que sigue:

<Había 9 canicas,

Pedro necesitaba el triple de la que habia, 3 veces 9, 3 x 9Pedro necesitaba el doble de las que había,2 veces 9, 2 x 9Pedro necesitaba un tercio de las que habia, 1/3 de 9, ll3 x 9Pedro necesitaba dos tercios de las que habia,2l3 de 9,213 x 9.>>

Cambiando el tipo de números y de fracciones se ayuda a realizar el pasode <<de> a (xr.

r46

Asi, a través de situaciones como las descritas anteriormente, tanto para

elcasodenúmeronaturalxfracciónyparaeldefracciónxnúmeronatural, se intenta que los niños se den cuenta de 1o común en cada caso'

35*4:

)lx9J

)XJ

2x9J

es decir, que se multiplica el numerador de la fracción por el número natural'

En este punto se intenta llegar al caso general de fracción por fracción'

El modelo utilizado no"nui-tnt' en l'a enseñanza es el modelo área'

intentando ser una ampliación del producto de números naturales para

determinar el área de un rectángulo'Si tenemos un rectángulo de dimensiones 2 y 3 respectivamente

el áreaviene determinada por el número de cuadrados 1 x 1 que lo forman'

(Evidentemente este t t¿"fi o-bién se puede aplicar a la situaci6n 5 x 314)'

Utilizando esta ideá fur, "ut"utur ei .área

de un rectángulo cuyas dimen-

Sionessean3lay215.Podemosconstruirunrectángulocomoelsiguiente'

El área del rectángulo es 3/4 x

x 1) está dividida en 20 Partes' Ypartes de las veinte, entonces

215,y como la unidad (de dimensiones

nu.rt.o rectángulo está formado por

J-X4

26s20

t4

,El qrg""9imi-ento para fracciones mayores que la unidad, (números mix-lo:),:r i(e1!r¡o' si hay que derermin ar er área del rectánguro'd'e dimensrones2112y3113

2' t lz2

1

En esta situación ra unidad está dividida en 6 partes. Entonces, el rectán-gulo con las dimensiones dadas esrará formado por 50 p;;r;'i;;go, el áreaserá cincuenta sextos (5016):

| 2 3 31/3

2Ll2x3r l3:

5x10 50 25:2"3:e:T

axbcxd

51023

a través de ejercicios divers_os, se intenta guiar la atención de los niños hacialos pasos qu€ se repiten, lo cuales "oniitui.án

tu g.n.rutir*ián na"iu "talgoritmo. Al multiplicar fracciones, multipricamo, lo, nu-.*áár", y to,denominadores:

ab-X-:cd

Sin embargo el inconveniente que presenta esta introducción es que elmodelo.área, no representa un buen <<modelo O" "o.pr"n.ián,

pu.u fuoperación de multiplicar fracciones ya que no es normal encontrar dichasituación. Es decir, esta introducción no ",

unu buena <herramientu concep-tual>>, entendiendo esta expresión como que el modelo átea no tiene uncarácter general para representar <diversas situacion* a" -urtiplicar

frac-cionesr>. Existen pocas aplicaciones directas de la multiplicucián i, fraccio-nes que se puedan trasladar de una forma naturar alaidea de encontrar elárea multiplicando longitudes fraccionaria.si sólo utilizamos esta introducción a la multiplicación de fracciones nosencontraremos con las dificultades descritas en las prima, ,""aion., de estecapítulo en relación a la desvinculación entre er manejo del argontmo y Iaresolución de problemas.

148

Una aproximación alternativa se puede plantear con la interpretación

operador. Esta aproximación a la multiplicación ha sido desarrollada con

detalle por DInNrs, en sus dos aspectos:

1) operador sobre un estado fraccionario, y

2\ composición de dos oPeradores,

tanto en contextos discretos como continuos.

En el caso de operador fraccionario sobre un estado fraccionario en

contextos continuos se presentaría la siguiente situació!

o en una sltuaclon mas

314

213 x Qla)

general

213

: 214

213 ll4 ¿l t¿

rPx(213):2112

Sin embargo, la necesidad de vincular la multiplicación de fracciones a

situaciones próblemáticas, nos induce a buscar aproximaciones complemen-

tarias. Es décir, presentar en un primer momento la operación vinculada a

problemas. La otservación de <lo que se repite> nos llevará a la regla.

Lo que hay que tener en cuenta en estos momentos, es que, generalmente

en los piobl"-ui ltituu"iones problemáticas) en los que (aparece) la opera-

ción de multiplicar fraccionei, las fracciones suelen tener un carácter de

operador (ampliaciones de la operación fracción x número natural).^

La representación de la situación mediante diagramas puede ayudar a

mostrar ü situación que describe el problema con ejemplos del tipo

<Quedaba 314 de tarta en la nevera y me comí los dos tercios. ¿Qué porciór

de la tarta entera me comí?>

@314

2l12

213 de Qla) = 213 x 3la

r4s

(se indica la parte de tarta que hemos comido en relación al total. <seis tlt.doce>).

En estas situaciones los niños pueden <construir> multitud de exprcsi.nes para indicar el trozo detarta que ha comido cada uno, si se ha seguirl,,con ellos una secuencia de enseñanza como la señalada en los

"upitrl.,,anteriores, cuyo énfasis estaba colocado en las <producciones> por partc rlt.los niños de numerosas expresiones para describir situaciones diterminadus.

La discusión que se puede plantear cuando se muestran estas distintirsexpresiones a la clase entera por parte de cada niño o grupo de niños, pueclcayudar a que se superen errores, malas interpretacionás, y se admitan com.,válidas expresiones distintas a las que ha producido uno mismo.

El proceso de justificación de cada expresión asi como en la explicaciórrpor cada niño (o grupos de niños) del proceso que se ha seguido parirobtener dicha expresión, ayudan a que los niños amplíen las noÁnes sobrcfracciones y operaciones de fracciones que poseen en un momento determi-nado.

Por otro lado, la aparición de la expresión

' i

6lt2

para representar el final del proceso 213 x 3l4,junto con la realización denumerosas actividades de este estilo y mediante la guía del profesor debeaproximar a los niños a la regla general (algoritmo de la muliiplicación).

Estas situaciones deben venir complementadas mediante la iropuesta desituaciones que conlleven la multiplicación de fracciones en coniextos discre-tos.

(utilicé 314 de una docena de huevos para hacer tres tartas. ¿cuántoshuevos tiene cada tarta?>

r - - - - - -1¡D ¡ ¡ l t rr llD D ! lnIn n

- |

-L-- - _*_ _"_ J\-(3/4)

i " f ¡ D ¡/ - -=-\ l . i t r ¡ D

r li ¡ lD ! D

(r/3) tl3 de Ql\ :1 l3x3l4:3112.

314 de 12 huevos : 9 huevosl /3de9 huevos:3huevos

Aunque estas situaciones, como vemos, inducen a trasladarnos al manejode números naturales. Este detalle hace que la utilización de la multiplicá-ción de fracciones (per se) sea más bien un procedimiento de uso dudoso.

150

Peroatravésdeaquel lasquepermitanunaident i f icaciónmásclaradelpro.* áe solución á tu

-uttlplicación de fracciones, se debe seguir la

sccuencia descrita anteriormente;

- presentación del problema (situación);-irabajos en grupos o individualmente;-

"*pori"ión ¿e toi procedimientos y de las posibles soluciones por parte

de los niños;-observaciones sobre los procedimientos que conducen ala tegla;

- posible generalización'

quenosl levaaqueelalgor i tmodelamult ip l icaciónseaunaregladecálculoürt t"p*t..te procediÑentos personales de solución a los problemas'

Finalmente, una vez establecida la regla' y ya en un plano de símbolos' se

deben proporcionar actividades (cuentas) para esquematizar'aÍtanzar proce-

dimientos de cálculo (utilizando propiedades como la conmutativa, asociati-

nu"..) qu. nos introducirán postérioimente en las primeras relaciones alge-

braicas.Hay que tener en cuenta que el cálculo con los números mixtos no

requieie nu.uu, destrezas, siempre y cuando no existan dificultades en re-

nombrar los números mixtos como fracciones' que habia sido uno de los

ou¡"t luo,adesarrol larenlasecuenciadeenseñanzade|conceptoinicialdefracciónal introducir lasfraccionesmayoresdelaunidad.Detodasformashay que indicar que algunas investigaciones (PnvNn' 1975) han señalado que

prrlO"n resultar más dificiles a los niños'

En un plano simbólico se procedería'

r r l3x23ls:: (1 +t l3)x(2+3ls) :: (313 + rl3) x (10/s + 3ls) :

: 413 x r3ls :

- 5r l 15-

¿ ' l LJ '

5.ó. LA DIVISION DE FRACCIONES

La operación de dividir fracciones corresponde ya -directamente

a una

operación de sentido algebraico. Su vinculación a procedimientos o situacio-

nes intuitivas es tan reáota que podemos aceptar que no.existen'

Hay diversas estrategias para presentar ésta operación' pero la más

conociáa es la que se fundaménta en la idea de fracciones inversas.

151

La idea de fracción inversa puede ser desarrollada cuando hablamos dela multiplicación. Por ejemplo, si consideramos como unidad la cuartil la,entonces la parte sombreada son los tres cuartos de la cuartilla.

Pero si consideramos como unidad

entonces la cuarti l la entera son los 413 de la unidad. Como vemos, larealizacion de estos ejercicios, basados en la idea de relacionar una parte conla unidad Ltna vez identificada la unidad, corresponden al tipo de ejerciciosdesarroflados al inicio de la secuencia de enseñanza para el concepto inicialde fracción. .i

Si multiplicamos estas dos fracciones que aparecen,

3x4

I't

la parte sombreada,

]T

t2_l-

12- '

el resultado es la unidad. Estas fracciones se denominan fracciones inversas.Así, al apoyar la introducción de la división de fracciones en la idea de

fracciones inversas se está planteando la idea de operación inversa de lamultiplicación (es decir, relaciones de índole algebraico).

De forma general, los pasos a desarrollar en un primer momento a travésde ejemplos numéricos serían:

La división como un factor desconocidode una multiplicación, vincularía la multi-plicación y la división.

34-x-:43 4x3

ac* ; : :

bd

a

t)

a_X

b

a;Xt)

o_X

b

: ( r " )"q,

"4)c/

Dr;

: f r ( ;

d

c

4c

d

c

152

: I "1 . ;* i : r153

Es decir, rcalizar la división

es lo mismo que reahzar

ac

b'd

a

Ed

X-c

31 314* + 'g:vg

Además de esta presentación, existen otras estrategias para llegar a la regla

de la división (Asnlocr, 1983, pág' 335)'

Pasos Ideas matemáticas

Una fracción se puede usar para señalar

una división indicada a: b : alb'

Si multiplicamos numerador y denomi-

nador por él tnitttto número el valor de la

fracción no cambiaa:b

* 314 x 811

Al multiplicar un número y su lnverso'

el resultado es 1'

ax( l la\ : l

El dividir por uno no modifica nada'

Para multiplicar dos fracciones se mul-

- 6 tiplican los numeradores y los denomina-

dores.

axcbxc

3x8 24*-:-

4xl 4

De todas maneras esta segunda aproximación a la división de fracciones

parece ser que no resulta tan efectiva como la anterior (PevNn' 1975)'

En estos momentos hay que tener en cuenta que la división de fraccioncs

se fundamenta en relaciones algebraicas:

- la división como operación inversa de la multiplicación' o -

- tu -rrltiplicación

de un número por su inverso es la unidad

Comohemosseñaladoencapítulosanter iorespuedeserque,debidoaestecarácteralgebraicoypocointui t ivodeladiv is ióndefracciones,se

"u.trio"" el maiejo de e,ie algoritmo en la enseñanza primaria'

De todas formas, y Lrna vez establecida la regla (en el nivel que sea) y yaen un plano de manejo de símbolos, tal y como señalábamos para er caso dela multiplicación, se pueden proporcionar actividades que nos ayuden aesquematiza r - aftanzar dicho procedimiento de cálcul o.Algunas de estas actividades podrian tomar la forma de puzzles (del tipode los que aparecen en revistas di pasatiempos y entretenimientos). Mostra-mos a continuación algunos de ellos (Fig. 5.2).

Errvpro 1:

/

\

en esta direcciónse multiplica

J¿Ó

-X-:-4520

en esta direcciónse divide

q

3 n 663- Xl l : - ' - - :4 u g '8 4

E¡¡uplo 2:

las felchas pueden\\ indicar cualquiera

\ de las operaciones

Por ejemplo:

2

t6

l2_X

44

Frcune 5.2

154155

6.Errores y estimución

6.1. INTRODUCCION

Muchas veces al proponer a los estudiantes una determinada tarea mate-mática, nos encontramos con que la forma de resolverla por parte de losniños no se ajusta a aquella que nosotros habíamos esperado.

A veces, estos procedimientos dan respuestas correctas, aunque el caminoseguido no sea el que nosotros, desde una mentalidad de adultos, pensamossería lógico. Creemos ya felizmente superada la fase en la que un plantea-miento no demasiado ortodoxo, en desacuerdo con las normas dictadas porel profesor, suponía un rechazo de todo el trabajo planteado por el alumno.

Otras, por el contrario, el proceso o el resultado no son los correctos, ytradicionalmente, este fallo es considerado como un error.

Hoy día, consideramos el estudio de estos errores como un parte muyimportante en el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje, ya queaceptamos la idea de que los niños combinan las nociones nuevas que se lespresentan en un momento determinado en la escuela con sus experienciasprevias.

A partir de este estudio, intentamos averiguar lo que realmente piensa clalumno, buscando sacar el máximo de información y sin trivializar unosindicadores que, de alguna manera, nos pueden manifestar algún tipo clcdesajuste en los esquemas conceptuales creados por el niño al enfrentarsc ala situación propuesta.

6.2. EL PROCESO INTERACTIVO EN LA ENSEÑANZAY LA OBSERVACION DE ERRORES

En el trabajo que se desarrolla en una clase podemos distinguir distintasformas de recoger información por parte del profesor (Bnoussnnu,G. et al',

1986). Por un lado podemos observar a los estudiantes en su trabajo con elgran grupo (clase entera), pequeño grupo (seis a ocho alumno) e individual-mente.

Si se pretende que la información sea auténtica, hay que procurar que losniños estén en un ambiente de clase relajado, sin que estén agobiados por lapreocupación de obtener una mala nota o, simplemente, (quedar mab. Hayque trasmitirles la sensación de que, de alguna manera, el profesor y suscompañeros quieren aprender algo de é1.

Lógicamente, una dificultad que tiene el profesor para realizar esta (ta-rea) es la presión del tiempo. Normalmente se siente agobiado por la canti-dad de contenido que debe proporcionar y minimiza la importancia de larecogida de este tipo de información.

Las observaciones tomadas por el profesor en relación al desarrollo deltrabajo de los niños, llevan a precisar que hay unos errores que aparecen enlos alumnos en forma aleatoria, por descuido, distracción, etc. y otros sedeben a que, simplemente, el alumno no sabe la respuesta correcta y proponeun resultado al azar.

Hay otros tipos de errores debidos o bien a la existencia de defectos en lacomprensión del concepto o a la aplicación sistemática de proced'imientoserróneos. Estos procedimientos utilizados por los niños pueden ser debidos oa la elaboración de métodos personales alternativos a los enseñados por elprofesor o a la modificación u olvido de algún paso de un algoritmo enseñado.

Presentamos a continuación algunos ejemplos de este tipo de errores quepueden ser fácilmente identificados en el trabajo con las fracciones por partede los niños.

Ernupro 1. Aquellos alumnos en los que se ha potenciado mucho la inter-pretación parte-todo de las fracciones, a partir de diagramas, pueden tener dificulta-des al considerar 315 como un número comprendido entre 0 y 1, o como la divisiónde 3 entre 5 en una situación de reparto, presentándose un problema conceptual en laintegracción de las distintas interpretaciones de la fracción.

La utilización del modelo Recta Numérica puede servir para ayudar alniño a integrar las distintas interpretaciones.

E¡nlvlpro 2. Un niño resuelve la tarea

156

J+ +'+l5'1

El niño probablemente ignora el signihcado de los símbolos que se le presen-

tan, y rJsuelve la operacón utilizando el esquema aditivo de los naturales.

La introducción de los números mixtos desde un primer momento en

contextos concretos como se ha estado señalando en el capítulo 4' ayuda a

evitar/superar este tipo de problemas.

Ernuplo 3. Un niño resta fracciones del modo siguiente:

L^-L=L- ! - : LT-e-6- 6-6 + +=# ñ,fr- i . -__L-_ L-L)L7'r+l++

Es probable que a este niño alguien le haya enseñado la tegla para

reducir fracciones a un común denominador mediante el uso del mínimo

común múltiplo. El niño lo calcula correctamente pero no altera los numera-

dores (ha olvidado/modificado algún paso del algoritmo enseñado)'Esto puede ser debido a una aproximación demasiado rápida al cálculo

algorítmiio, lo que ha convertido el manejo de los pasos del algoritmo en

algo sin sentidoldesconectado de la idea de equivalencia de fracciones).

L70

770

.¿-

70)

53+

E¡rupro 4. Un alumno procede de la siguiente manera:

111284-

a - : -

¿3E5Sq

?, 1_<_a5¿

2 tos1

t { |L l

2j12)qq

Gt8t -=-

7?

? lo )? '

?q?

Este niño ha construido un algontmo erróneo y bastante complicado parz

Sumar fracciones de distinto denominador, que consiste en poner un denomi'

nador común igual a la suma de los denominadores y sustituir los numera'

dores de cada fracción por el producto del denominador y numerador de laotra. una vez reducidos a común denominador, los suma correctamente.(Resulta de una mezcla-alteración de pasos dei algoritmo ;al aprendi-dos, que han dado lugar a un procedimiénto sistemático propio) (AsHrocx,1e86).

Para ftnalizar es importante señalar que en estas situaciones el niño creeque lo que está haciendo es correcto. El único modo de corregir este tipo deerrores es provocarles un conflicto, por ejemplo, por medio de la visualiza_ción, intentando que el niño se dé cuénta áe ú coniradicción que existe entresu modo de actuar y el que le muestra la realidad.

6.3. ERRORES EN LAS FRACCIONES

Aunque con las fracciones se presentan todos los tipos de errores quehemos señalado anteriormente, una gran parte de ros eriores que los niñoscometen al trabajar con fracciones tienen su origen en la similaridad oue-tanto en el lenguaje como en la simborogía, presentan

"o' lorhri-.'r*

naturales. Por un lado, las fracciones se nombran utilizando nombres igualeso muy parecidos a los que ya les son familiares en el contexto de los númerosordinales; así, por ejemplo, se dice (un cuarto), <<dos quintos), etc.

Por otro lado, y esto es lo más grave, los símbólos de los númerosnaturales se utilizan también para las fracciones añadiendo simplemente unarayita horizontal. El niño tiene experiencia con los números naiurales y estoconlleva una tendencia a ver las fracciones como un conjunto de dos núme-ros..naturales separados pgr ra rayita. La consecuenói"

". que trata de

utilizar sus conocimientos de cálculo óon los números naturales,'ilara lo cualextrapola a las fracciones las,reglas y algoritmos de aquéllos. Esió constituyelo que algunos autores han denominadó <efecto de distracción de los núme-ros naturales>r.

La influencia que el conocimiento de los números naturales ejerce en elproceso de aprendizaje de las fracciones se manifiesta en otrós muchosaspectos. Es dificil para el niño entender que el producto de dos fraccionespuede ser menor que cualquiera de ellas, afcontririo de lo que sucede en losnúmeros naturales. como lo que él tiene asimilado son los^ uttorii-o, .onesos números a menudo trata de forzar los algoritmos

"on iru""iorr", d"

manera que el resultado se ajuste a lo que le dióta su intuición.

-. ._En resumen, el paso de los númeroJ naturales a los fraccionarios no esfá."lpa'u los niños. presenta dificultades tanto conceptuales como algorítmi_cas. El profesor debe estar pendiente de la evolución de los errores de losniños y huir de la tentación de creer que con la simple práctica refetitiva seirán subsanando.

158

6.4. ALGUNOS EJEMPLOS TIPICOSDE ERRORES CON FRACCIONES

A continuación presentamos algunos errores típicos, discutimos su origeny hacemos sugerencias para su solución. Su análisis cuidadoso creemos quepermitirá al lector enfrentarse bajo otra perspectiva a los errores cometidospor sus alumnos.

6.4.1, Errores en la noción de equivalencia de fracciones

E¡sr{prO 1. A veces ngs encgntramos COn la siguiente respuesta ante una tarea

de búsqueda de fracciones equivalentes.

L=-L: la5 41 11

Aquí se refleja una situación en la que la fracción se considera como unpar de números naturales que no están relacionados entre sí. La respuestaestá basada en el reconocimiento de un modelo aditivo en los numeradores(sumar seis) que se traslada a los denominadores.

Algunas investigaciones han mostrado también que los niños presentanproblemas ante la transitividad del signo igual. Así, Hmr (1981) señala queante una expresión del tipo

los alumnos tienen mayor dilicultad en calcular n, yu que una vez calcula-do el valor 8 para el numerador de la segunda fracción comparan 8ll2 conI4lJ,lo que resulta más dificil que hacerlo con 213. El no utilizar 213 :14/tr puede ser debido a que sólo se fijan en la igualdad de las dos últimasfracciones. Estos resultados deben ser tenidos en cuenta al plantear nues-tras actividades. La visualización puede jugar aquí también un importantepapel.

ot2

., I4

n

r59

lL6

3q

L3

43

¿(,

A primera vista, parece que no.existe ninguna lógica en estos resultados. sinembargo un análisis más detanado ,ou"írru que el niño ha elaborado unaregla que para simprificar fraccioner ;;;;;;" cada número naturar otro másül1"tx1[:;:ll"':J:TIK:: ,"..":..1'", dos pasa " ;;,;; sno, tresextraporadoá,,"p,*"-ai;F,il:?J:;:ó,*';:"T"'l?,iit":'"1*Ti"[:sor' obsérvese además que su regra le dá un ,erultado correcto en bastantescasos (Asurocr, 19g6).

Lo primero que hay. que hacer antes de iniciar el proceso de corrección esdeterminar si er niño iiene clara ru ,,o"iol'¿" rru""ion.-s¡-rrl-ú"iunirru, ",

claro que la enseñanza_deberá r."on,"""ui-ies¿e ahi. Si ra tiene, las activida_des a realizar serán del tipo ¿. rur ¿ir-"J¿], "n

el apartado 4.5.

64.2. Errores en la adición y sustración de fracciones

=a3

t", tti#i"?r';".y,lrT# que se le pide que simplifique una serie de fracciones escribe

E¡Eupro 1. Consideremos ahora las respuestas

6.11

7 _463

jL. 2ql

4?t i- : -257

l rz-+_ 3s6

4l-=b

3623.6

- . t

7

)a

l-

clJ

. lz

r60161

Estas respuetas corresponden a uno de los errores más comunes a laadición de fracciones que consiste en que el niño suma independientementelos numeradores y denominadores. Un error análogo se presenta en lasustracción. El origen del error puede estar en la similaridad de notacionesque existen entre las fracciones y los números naturales (llevandonle al usode procedimientos aditivos con los naturales) tal y como hemos indicadoanteriormente, pero también puede estar en que al niño se le ha explicado yael algoritmo de la multiplicación y está meclando ambos algoritmos.

En este segundo caso, no es conveniente que el niño practique conexclusividad uno de los dos algoritmos, sino que debe hacerlo con los dos ala vez (Asnlocn, 1986). Si las observaciones recogidas nos llevan a apreciarque las dificultades están asociadas a la idea de suma de fracciones, debepasar a realizar actividades como las sugeridas en el apartado 5.4.

E¡nupro 2. Otro caso es el que presentamos en la siguiente situación:

542

?. i _ 2 3 __É_ 6_ j+= 31' ) 5 \ -5 -5 2 2

Aquí se están considerando por separado los números naturales y lasfracciones. El número mixto no se considera como un todo, y se resta porseparado, no teniendo en cuenta en el caso de las fracciones si el minuendoes o no mayor del sustraendo. Si hay una sola fracción, simplemente secoloca.

En este caso sería conveniente proponer al niño que explicase el por quéde sus procedimientos. De sus respuestas debemos intentar deducir si es quele faltan los requisitos básicos para abordar la tarea (como puede ser lasustracción de los números naturales) o que la notación del número mixtono está bien adquirida. En este último caso, se debería hacer hincapié en lasactividades señaladas para la introducción de la notación de los númerosmixtos.

6.4.3. Errores en la multiplicación y la división

E¡¡upro 1. un error bastante común es realizar la murtiplicación de fraccioncsdel modo siguiente,

21q 3 f i ,-X*3 -3-3 26 6 6

3 I ( , .53- f,,- !

5 ¿t0103o10

como se observa, las fracciones se reducen a común denominador pluego semultiplica los numeradores. Este error proviene, en muchos "uro'r,

d. unumezcla de los algoritmos de la adición y A, U multiplicación. -

La introducción temprana ar manejo de ros algoritmos da lugar a lafl:r,.11* "mbos,

produciendo un prócedimientode cálculo sin ntng,inrunoamento.

?1?- I - : -

¿{ Ll tf

-2 ,3 .á31

4 r j=a66

E¡nupro 2. Sea ahorafracción de esta manera:

un niño que multiplica un número natural por una

3^6-X J=-t { t

Probablemente el niño ha aprendido que para multiplicar fracciones hayque multiplicar los numeradores y los denominadores y resuelvs el caso enque uno de los dos factores es un número natural utiliiándolo como factorpara ambos.También puede ser que esté utilizando un método que se le ha enseñadopara construir fracciones equivalentes (multiplicar numerador y denomina-

dor por un mismo número).

r62

Esto nos indica lo que les sucede algunos niños que mantienen un

conflicto ante la idea de qo. pu.u obtener fracciones equivalentes multiplican

por un <<número>> nu-".udoi y denominador de la fracción pudiéndolas ver

ul -ir*o

tiempo como una mútiplo de la otra, al trasladar un esquema

válido en los naturales'Realmente poder concebir la multiplicación de una fracción por 1' expre-

sando éste en fbrma fraccionaria (ala),tiene una dificultad mayor de lo que

puede parecer a simPle vista.

E¡nupro 3. Una secuencia típica de error con la división de fracciones es

t { .2=2 L=!,+q33(61

2 ? { 5 7 - 1 2 . ' , t , - 2- . -5'2 2 I 2 2 6 t z

El procedimiento que se está aplicando para obtener estos resultados

consistl en dividir separadamente los numeradores y los denominadores,

ignorando los posiblei restos que se obtengan si la división no es exacta.

Este error tiene su origen o bien en una confusión con el algoritmo de la

multiplicación o bien en-la influencia de los números naturales, repetida-

mente citada.Porotrolado,convienenotarqueelprocedimientodaelresul tado

correcto con alguna frecuencia y que, por tanto su utilización puede haber

sido reforzada for los ejercicios qué el alumno ha visto hacer como ejemplos.

Una propiedad curiosa de este modo de operar es que -puede

llegar a

resultadoi a-bsurdos, tales como fracciones con cero en el denominador

(Asnr,ocr, 1986). Puede ser conveniente en este caso provocar el conflicto

poniéndoíe situaciones en las que el resultado de la operación no tenga

sentido.Conestosejemploshemosqueridomostraralgunosdeloserroresque

cometen los niños ál trabajar con las fracciones. Esperamos que sirvan para

ayudarnos a considerar qúe los ejercicios realizados por los niños no debe

sér sólo utilizados para evaluarlos, sino que deben ser usados para que el

prof..or, mediante ia observación continuada del trabajo de sus alumnos se

163

dé cuenta de que ros. procedimientos que utilizan para rearizar ras tareaspropuestas pueden estar rejos der procedimi"nto o"rrreñ";;;;" necesidadde considerar el aprendizuj" "o-o-utt fio".ro personal y (constructivo> senos manifiesta al <<descubrir> los pro".di-i.otór p.r.oni"r-ár'lo, ni¡or.La <<observación> y ra indagación continuadu ¿" lu,

"rtiutegias de rosniños constituyen un instrumenio

',uy u"tio.o para efectuar una tarea dediagnosis, proporcionando entre otru, lor"r, un modo de discernir entre rosniños que utilizan un procedimiento incorrecto de ros que simpremente nosaben cómo hacerlo (y contestan al azar)o tienen errores conceptuales. Esto,debe tener, posteriormente implicacionm á u hora de realizarlos diseños deenseñanza.

65. ESTIMACION

No podiamos concluir este ribro sin hablar de la estimación y de lasventajas que puede reportar su utilización ar trabajar con fracciones.No es fácil dar una definición de lo que se entiende por estimación.Podemos decir que se trata de dar una respuesta (numérica) que estflpróxi-ma a la respuesta exacta. Ahora bien, el significado de <próximo>r dependedel contexto en que se plantea la p.ejunta, e incluso de la propia respuesta.Para aclararlo, consideiremos el rig;"nt.L¡r_pto. r--r--

, Supongamos que en un supermercado tr"-ó, ido cogiendo artícuros delas estanterías por un varor exacto ae zilnpesetas. N"riii"i

""urarmentedesconocemos este varor, pero ¿"reu-or- hacer una estimación mientrascaminamos hacia la caja. un valor estimaáo de 25.000 p;;.,^ ñ.ía consi_derarse en general co11bu1no, u no ,"ilu" t,ruiere_ir-s¿l;,.;;, ejemplo25.000 pesetas en er borsillo. En este caso-es'claro que necesitamos hacer unaestimación más próxima si no qu"r"-o, u..no, en dificultades a la hora depagar.Tradicionalmente, situaciones como las anteriores eran las que casi siem-pre se asociaban a ra idea de estimar. Sin embargo, en ros últimos añospalece que. se han prodrrcido algunos intentos para introducir la estimaciónen los currícula de unafo*u

-L u.priu. iur razones para ello son variadase importantes; van desde ras necesidaáes áe iu ui¿u *tüi""" l"rg"üo, n"n

"nella una defensa frente a,.ra rapidez ";;;;r

ras carculadoras efectúan lasoperaciones) hasta su utilidad p^ra rcforrar conceptos y algoritmos en Iosniños.Ahora bien, hay que señalar que ra enseñ anza dela estimación es dificil, yencuentra cierta resistencia en roi niños. Es fácil *.prái"iqr. si-a on ninose le pide que realice una estimació1 de urgo q"" sabi carcular exactamente,primero hará el cálculo y a partir ¿e él dáá una estimación.Evidentemente, no es esté el lugar para desarro'ar aspectos generales de

t64

la estimación. Pero queremos señalar que no es un tema que deba enseñarseaisladamente, sino que debe desarrollarse de un modo continuo a lo largodel estudio de las Matemáticas.

Centrándonos en las fracciones, consideremos en primer lugar la propiaestimación del <<tamaño>> de una fracción dada. Para poder estimar algo esnecesario ser capaz de considerarlo como una unidad, como un <todo>' Sóloen este caso tendrá sentido hablar de su <<tamaño>>. Esto requiere dade unsignificado conjunto a los símbolos que aparecen: el numerador, el denomi-nador y la rayita horizontal. Se trata de ver la fracción como una entidad ensí misma.

¿Cómo se puede ayudar a los niños a desarrollar la idea de <tamaño>> deuna fracción? Esta podría ser la pregunta clave. Una actividad que podríaayudar a responder a esta cuestión sería la de pedir a los niños que constru-yan una fracción tan próxima a 1 como sea posible pero menor que él mismo(BnHn, et al.,1986).

Podemos comenzar pidiéndole al niño qu€ proponga una fracción cerca-na ala unidad. Supongamos que la respuesta es 517' A continuación lepedimos que dé una fracción más cerca de la unidad que la anterior. La ideaes intentar que observe que puede hacerlo aumentando el numerador yproponer consecuentemente 6 l7 .

La tarea es más dificil cuando le volvemos a pedir otra fracción a partirde ésta, más próxima a la unidad pero menor que ella. Un alumno con unacomprensión suficiente deberá ser capaz de razonar que aumentando elnumerador y el denominador en una unidad obtiene 718, que es mayor que617, pero menor que uno.

Evidentemente estas actividades se pueden modilicar cambiando el nú-mero al que pedimos que los niños se aproximen con las fracciones'

Otro tipo de actividad podría ser las que requieran comparar dos fraccio-nes dadas. En ellas algunos niños elaboran estrategias personales que consis-ten en utilizar otra fracción como punto de referencia para realizar la compa-ración, o realizan mentamente ciertos algoritmos.

Actividades que potencien destrezas de estimación en situaciones de.suma pueden ser las que ante una serie de cinco o seis números naturales sepida a los niños que formen dos fracciones cuya suma esté lo más cercanaposible a un número dado (este número dado estaría en función de losnúmeros naturales que se le proporcionan a los niños en primer lugar).

Una modificación de la tarea anterior consistiría en que los niños pro-porcionen dos fracciones cuya suma esté lo más cercana posible a un númerodado pero sin proporcionarles de antemano ningún conjunto de númerosnaturales para que formen las fracciones.

Evidentemente el valor de estas tareas está no tanto en la respuesta quepuedan proporcionar los niños como en las oportunidades que se les denpara que puedan verbalizar las estrategias utilizadas para dar la respuesta.

165

La comparación de las distintas estrategias empleadas por varios niños y ladiscusión centrada en cuál es la idónea en cada caso puede, por una parte,ayudar al profesor a darse cuenta de cuál es el nivei de conocimiento enrelación a las fracciones y a las operaciones con ellas que tienen sus alumnos.Por otra parte ayuda a los-niños a ser conscientes de sus propias estrategiaspara que las reafirmen o las modifiquen en cada situación párticular.

volvemos aquí a insistir en la necesidad de trasladar la atención sobre lasestrategias empleadas y su justificación por parte de los niños frente a lavaloración de las respuestas sólo como correctas o incorretas.

Para operaciones como la multiplicación y con el mismo objetivo reseña-do para las actividades anteriores, wooncocr (19g6) ha propuesto lo si-guiente: se le da al niño una ligura geométrica, por ejemplo un rectángulo yse le pide que dibuje rectángulos que sean lll0, rl2,3la y 9lr0 del rectángulóoriginal, planteándose una serie de preguntas para hacerles reflexionar sobrelo que han realizado.

Estas preguntas se referirán a la comparación del tamaño de los rectán-gulos, a ordenarles de mayor a menor y cómo podrán saber si el rectánguloque tienen que pintar era mucho menor o sólo un poco menor qué eloriginal. a+

En una segunda parte s€ utiliza la experiencia adquirida para calcularproductos de fracciones, pidiéndoles, por ejemplo, que estimen cuál será elresultado aproximado al determinar la fracción de una cantidad: siendo estacantidad al principio un número natural para luego pasar a fracciones entareas como las de estimar el resultado de 1/10 por Il3, ll2 por 113,...haciéndoles también preguntas del mismo tipo de lai anteriores.

-

Para terminar, queremos resaltar que una de las ventajas de presentar alos niños actividades de estimar tanto el <tamaño>> de la fracción como elresultado de las operaciones con fracciones es que les ayuda a profundizar enel propio concepto de fracción y de las operaciones. De hecho, la asimilaciónde dicho concepto y el desarrollo de la habilidad de estimar son procesos quetranscurren paralelamente, apoyándose uno en el otro.

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