Variables Regionalizadas

ANLISIS DEL SEMI VARIOGRAMA

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA GEOLOGICAFACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINAS, METALURGIA Y GEOGRFICAINTRODUCCIONA LA GEOESTADISTICA(PARTE 01)ING. YVAN HURTADO GUERRERO

PROPOSITO DEL CURSOA partir de la escasa informacin conocida:

Debemos * Estimar o Predecir * el valor de una variable en reas donde no se conocen.

OBJETIVOS DEL CURSOSe plantean varios problemas:DESCRIBIR, la distribucin espacial de la variable en estudio.ESTIMAR, sus valores en sitios no muestreados.CALCULAR, los recursos recuperables sobre una ley de corte (aplicaciones mineras).CONOCER, la incertidumbre sobre los valores no muestreadosconstruccin de escenarios posiblesanlisis de riesgo

PLAN DEL CURSOAnlisis exploratorio de datos espaciales: Estadstica Lineal.Anlisis Estructural / Relacin Espacial: Calculo de variogramas.Estimacin Local.Modelos numricos (Simulaciones condicionales): KrigingEtapas de anlisis:

Los pasos principales de un estudio Geoestadstico son:

Anlisis de los datos exploratorios.

Etapas de anlisis:Anlisis exploratorio de datos espaciales: Estadstica Lineal.Anlisis Estructural / Relacin Espacial: Calculo de variogramas.Estimacin Local.Modelos numricos (Simulaciones condicionales): Kriging

HIPTESIS DE LA GEOESTADSTICA VARIABLES REGIONALIZADAS (V.R.): Definicin y ejemplos. Anlisis estructural. HIPTESIS DE TRABAJO: Funcin aleatoria. El semi-variograma.PROPIEDADES DEL VARIOGRAMA: Meseta y Alcance

SEMIVARIOGRAMA EXPERIMENTAL Definicin. Relacin con la covarianza. Forma de un variograma.CONSTRUCCIN DE UN VARIOGRAMA: Representacin esquemtica de las iteraciones.

MODELOS DE VARIOGRAMASVariograma con efecto de pepita.Variograma con meseta. Variograma sin meseta.

El termino GEOESTADISTICA, fue acuado por MATHERON en 1962.Definindola; como la aplicacin del formalismo de las FUNCIONES ALEATORIAS al reconocimiento y estimacin de los fenmenos naturales.Dichos fenmenos los caracterizamos por la distribucin espacial de una o mas variables: VARIABLES REGIONALIZADAS.HISTORIA & DEFINICION

La Geoestadstica busca estudiar las variables regionalizadas, es decir, variables numricas que se extienden en el espacio geogrfico, a partir de una toma de muestra.Ejemplos:

Agricultura: concentraciones de nutrientes, pH, salinidad, conductividad elctrica del suelo

Ingeniera Forestal: densidad y dimetro promedio de los rboles en un bosque

Ciencias Medio Ambientales: concentracin de elementos contaminantes en la atmsfera o en el suelo

Ingeniera de Petrleo, Hidrogeologa: porosidad y permeabilidad de la roca en un reservorio petrolero o en un acufero

Minera: atributos geolgicos o metalrgicos (leyes, potencia, acumulacin, tipo de roca, dureza, recuperacin metalrgica)VARIABLES REGIONALIZADAS

Ejemplos de aplicacinEjemplo 1: Mediciones de la concentracin de plomo en una zona contaminadaCuales son las reas que necesitan remediacin?

Ejemplos de aplicacinEjemplo 2: Campaa de sondajes en un yacimiento aurferoCules la distribucin de las leyes en el yacimiento? Cules son los recursos minerales (tonelaje, ley media) que se puede extraer?

Un valor observado en cada punto de x es considerado como el resultado z(x) de un variable aleatoria Z(x), Se debe comprender que cada uno de los puntos z(x), sean estos cuantificados o no, son representados por la variable aleatoria Z(x). La totalidad de variables aleatorias Z(x) localizados en cada punto x, conforman una funcin aleatoria FA. (que es sinnimo de un proceso estocstico). La funcin aleatoria esta caracterizada por una distribucin finita multidimensional de variables aleatorias.FUNCION ALEATORIA

HIPOTESIS: ESTACIONARIDAD E INTRINSECAPara que esta hiptesis probabilstica tenga un sentido real, es necesario poder reconstituir, al menos en parte, la ley de probabilidad de la funcin aleatoria.Lo cual supone que la inferencia estadstica (es decir el clculo de parmetros quecaracterizan la funcin aleatoria) es posible. Es necesario introducir una hiptesis suplementaria a la funcin aleatoria Z(x). Esta hiptesis es conocida como hiptesis de estacionaridad y expresa que la variacin espacial de las realizaciones de Z(x) deben ser homogneas. Esta hiptesis se puede debilitar al suponer que las diferencias Z(x) Z(y) son estacionarias localmente; lo cual se conoce como hiptesis intrnseca.

Es un Estimador de la varianza poblacional.Debe tener una tendencia de estacionariedad.Esta relacionado con una direccin y distancia (h). Principal herramienta bsica, que da soporte a las tcnicas de Kriging. Representar cuantitativamente la variacin de un fenmeno regionalizado en el espacio.VARIOGRAMA

VARIOGRAMA TEORICO

VARIOGRAMA EXPERIMENTALRepresentacin grfica de un semivarianza.(h) = Semivarianza. N = Nmero de pares. Z(x) = Valor de la propiedad z en el lugar x.Z (x+h) = Valor de la propiedad Z a una distancia h del lugar x.

Se define como la media aritmtica de todos los cuadrados de las diferencias entre pares de valores experimentales separados por una distancia h.Es la varianza de los incrementos de la variable regionalizada, separadas por una distancia h

FUNCIONES UTILIZADAS

Grafica la relacin entre semivarianza y espaciamiento.Permite identificar la auto correlacin espacial (interpolacin y agrupamiento).Permite identificar las distancias a partir de las cuales se considera que muestras son independientesRepresenta el valor medio de cambio de una muestra con respecto a la distancia entre las distinta localizaciones en las que se ha medido.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

El numero de pares mustrales, para estimar un variograma en cuestiones de isotropa debe ser 100. Si existe anisotropa deben ser bastante mas abundantes.El numero de pares de datos requeridos en el caculo de cada puntodel variograma debe de estar, al menos, entre 30 y 50.Tras definir el variograma experimental, ser necesario ajustarlo a un variograma terico (esferico, exponencial, gaussiano, potencial, lineal, efecto pepita etc).OBSERVACIONES - SEMIVARIOGRAMA

MODELO GRAFICO: FUNCION SEMI VARIOGRAMACARACTERES ESTRUCTURALES

MESETA / SILL (C).- Denominado tambin UMBRAL. Equivale a la varianza muestral de la poblacin, de modo que al incremental la distancia h esta alcanza un valor limite. Se representa como (Ct=C+Co)

ALCANCE (a).- Denominado tambin RANGO. Punto en el que la meseta alcanza su maximo valor h (distancia). La dependencia espacial disminuye a medida que la distancia h se incrementa.

EFECTO PEPITA (Co).- Representa 02 fuentes de variabilidad que con frecuencia actan a la vez. Variabilidad en una distancia mas pequea que el menor h (distancia) considerado en el anlisis.Efecto de errores experimentales.

CARACTERES ESTRUCTURALES

MODELO GRAFICO: FUNCION SEMI VARIOGRAMA

MODELO TEORICO CON MESETAMODELO ESFERICO (Comportamiento Lineal)

MODELO TEORICO CON MESETAMODELO ESFERICO

MODELO TEORICO CON MESETAMODELO EXPONENCIAL (Comportamiento Lineal)

MODELO TEORICO CON MESETAMODELO EXPONENCIAL

MODELO TEORICO CON MESETAMODELO GAUSIANO (Comportamiento Parablico)

MODELO TEORICO CON MESETAMODELO GAUSIANO

MODELO LINEAL



Modelo Seno Cardinal / Efecto Agujero

Sill s que alcanza asintticamente.Rango aparente igual a aRango experimental igual a 3Comportamiento cuadrtico en el origen.Se utiliza para representar fenmenos continuos con periodicidades.



Rango a y sill s.Comportamiento cuadrtico en el origen.Representa fenmenos bastante continuos.

Modelo Cubico

Modelo Potencia

s se denomina factor de escalaEl comportamiento en el origen depende del valor de pRepresenta fenmenos no estacionarios


Una teora es una buena teora siempre que satisfaga 02 requisitos:

Debe describir con precisin un amplio conjunto de observaciones, sobre la base de un modelo que contenga solo unos parmetros arbitrarios.

Debe ser capaz de predecir positivamente los resultados de observaciones futuras.

DEBEMOS RECORDAR SIEMPRE



COMPORTAMIENTO DE CORRELACION: TIPO DE DIRECCION



Modelo Anisotrpicos

Variograma isotrpico de sill 1 y rango 1

Variograma anisotrpico de sill s con rango

en la direccin del eje X y rango

en la direccindel eje Y

XYLos ejes de anisotropa coinciden con los ejes de coordenadas

XYModelo AnisotrpicosLos ejes de anisotropa NO coinciden con los ejes de coordenadas

XY

1) Transformar los puntos del sistema de coordenadas XY al sistema de coordenadas XY

= matriz de rotacin

2) Proceder como antes para ajustar la longitud de los ejes de anisotropa

= matriz para transformar las distancias3) Evaluar el variograma isotrpico en el resultado.

Es un variograma anisotrpico en la direccin

con eje mayor igual a

y eje menor igual a

El variograma en la prctica indica (en cada uno de sus puntos) el valor esperado de la diferencia entre las muestras distanciadas en h metros. Este instrumento servir de soporte para la medicin de la probabilidad de acercarse a la realidad al realizar la estimacin de la ley en un depsito de mineral.

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA GEOLOGICAFACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINAS, METALURGIA Y GEOGRFICAESTADISTICA LINEALING. YVAN HURTADO GUERRERO

Herramientas de anlisis exploratorio de datosDespliegue de atributos (mapas)

Permite visualizar la ubicacin de las muestras en el espacio y darse una idea preliminar de la distribucin espacial de la variable regionalizada en estudio:

litologa

mineralizacindefinicin de unidades geolgicas

alteracin

leyes, densidad, potencia, etc.

Tipos de despliegue: secciones; plantas; vistas 3D; mapas con escala de colores, codificados por indicador, pos smbolos, etc.

ESTADISTICA (Revisin de conceptos)Determinacin de la Ley Media Introduccin Mtodos estadsticos para la determinacin de la ley media Carcter normal o lognormal Mtodo de los histogramas Mtodo de la recta de Henry Estadstica Descriptiva Histograma Marca de clase, intervalo de variacin y rango Medidas de tendencia central: media aritmtica, mediana y moda Medidas de dispersin: rango, varianza y desviacin estndar Coeficiente de variacin Rango Intercuartlico Grfico de cajas y bigotes (Box plot)Ley de distribucin Normal (Ley de Laplace-Gauss) Limitaciones de la ley normalCoeficientes de la forma de la distribucin El Coeficiente de Curtosis El Coeficiente de Asimetra

Tablas de frecuencia e histogramasDan una representacin de la distribucin experimental de los datos:

Tabla de frecuencia histograma

Frecuencia acumulada histograma acumulado o funcin de reparticin

Curvas de tonelaje ley, ley promedio ley...

Valores atpicos discernimiento del usuario

Lmites de deteccin.Los histogramas y las curvas de tonelaje ley dependen del soporte (es, decir, el volumen) de la medicin.

Estadsticas bsicasMedidas de Posicin

Media, mediana, moda, mnimo, mximo, rango, cuartiles, deciles, cuantiles.

Medidas de Dispersin

Varianza, desviacin estndar, rango intercuartil, coeficiente de variacin.

Medidas de Forma

Coeficiente de asimetra (skewness), coeficiente de aplanamiento (kurtosis)

Nos permiten determinar si la distribucin de los datos poseen un comportamiento Normal o Lognormal

ESTADISTICA LINEAL: CONCEPTOS BASICOS



Ejemplo 1: modelo litolgico modelo tridimensional

dos secciones

Ejemplo 2: Yacimiento de tipo prfido cuprfero (2376 muestras de longitud 12m)

Compositacin

Creacin de compsitos a partir de testigos:

Histograma Curva tonelaje - ley

Curva ley promedio - leyFrecuencia acumulada

Buscan comparar dos distribuciones empricas entre s (misma poblacin?)Grficos cuantiles contra cuantiles

Estos grficos sirven para comparar una distribucin experimental con una distribucin de referencia que es normal o lognormal.

En caso de identidad con una distribucin normal o lognormal, el grfico de probabilidad correspondiente dibuja una recta.

Grficos de probabilidad normal y lognormal

Los quiebres de pendiente pueden indicar una mezcla de varias poblaciones.

Grfico de dispersin o nube de correlacin (scatterplot)El coeficiente de correlacin lineal es un ndice entre 1 y 1 de la similitud entre dos variables. Es sensible a la presencia de valores anmalos y no detecta relaciones no lineales

Visualiza los valores de una variable en funcin de otra. ver la relacin par a par de ambas variables o correlacin detectar valores anmalos

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA GEOLOGICAFACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINAS, METALURGIA Y GEOGRFICAESTIMACION DERECURSOSING. YVAN HURTADO GUERRERO

La Estimacin de Recursos es una de las etapas mas importantes para evaluar un depsito o parte de un depsito de mineralesPor lo general se realiza partiendo de informacin de muestras tomadas del terreno mediante sondajes, canaletas, zanjas, puntos, debidamente analizadas en laboratorios reconocidos, y adecuadamente interpretadas. La informacin de leyes as como la interpretacin geolgica deben estar correctamente registrados tanto en material fsico como virtual, de tal forma que sea entendible a todo profesional de geologa y minas, dando con ello un importante valor agregado al depsito. La evaluacin de recursos se desarrolla de manera indistinta para cuerpos, vetas angostas y mantos (con fuerte o suave buzamiento), en todos los casos, la aplicacin de reglas y estndares de estimacin se mantienen debido a la slida base terico y prctica de la geoestadstica.La Geoestadistica, es una solucin econmica y totalmente efectiva en la Estimacin de Recursos, que le permitir, contar con resultados altamente confiables, acompaado con un detallado informe tcnico elaborado de manera excelente para sustentar los resultados.

Estimacin de Recursos

Las leyes de metal deben contar con un registro, acompaado de la interpretacin geolgica y los cores fsicos guardados y protegidos. Los logueos y los resultados de anlisis qumicos deben estar registrados en medios magnticos. Se recomienda aplicar los estndares internacionales en el anlisis, registro y proteccin de las muestras, ante una eventual necesidad de financiamiento bancario. Acceda a la primera parte del Cdigo Jorc.Para los clculos de estimacion de recursos aplicar software seguro y de preferencia bancable, por ejemplo: Vulcan, Mine Sight, Gemscom, Data Mine, etc. Encargar la revisin de la estimacin de los recursos a terceros, a fin de asegurar los resultados. ESTIMACION DE RECURSOS: Recomendaciones Bsicas

Tenga usted la seguridad que las variables utilizadas en el software de estimacin fueron aplicadas de acuerdo a los lineamientos planteados en la geoestadstica. Evaluar y verificar si la precisin de la estimacin encontrada, guarda relacin con el tipo de mineralizacin del depsito y con los indicadores encontrados en el variograma. Asegrese de visualizar a tres dimensiones el modelo de recursos y la informacin geolgica para mejor interpretacin de los resultados. Que los resultados de estimacin de recursos sean exportable al software de clculo de "reservas" minables. Considere usted que los solo los recursos medidos e indicados podrn participar en los siguientes procesos de evaluacin econmica del depsito, los recursos inferidos no podrn formar parte en la evaluacin ni estar comprendidos como parte de reservas probadas y probables.ESTIMACION DE RECURSOS: Recomendaciones Bsicas

VARIOGRAMA EXPERIMENTAL VARIOGRAMA TERICO Propiedades bsicas Definicin Estudio de modelos de variograma Clculo a partir de los datos Caractersticas bsicas Definicin Ajuste de modelos de variogramaESTUDIO DE VARIOGRAMAS

Hiptesis intrnseca de estacionariedadEn estadstica es comn asumir la estacionariedad de las variables, por ejemplo sus distribuciones son invariables a la traslacin, de la misma forma una funcin aleatoria estacionaria es homognea y auto repetitiva en el espacio. Es decir para todo incremento h, la distribucin probabilstica de Z(x1), Z(x2), Z(x3),...., Z(xk) es la misma a h metros de distancia Z(x1+h), Z(x2+h), Z(x3+h),...., Z(xk+h). Esto hace posible realizar una inferencia estadstica sobre una ocurrencia particular de las variables.

En el estricto sentido la estacionariedad requiere que todos los momentos (estadsticos) sean invariables en la traslacin, pero esto no puede ser verificado a partir de data experimental, usualmente solo podemos contar con dos momentos que son la media y la covarianza para que sean constantes.. En otras palabras, reconocemos y dejamos establecido que el valor esperado (o promedio) de Z(x) debe ser constante para todos los puntos x. Estacionariedad de segundo orden

.

Grfico200.00520426580.0207683260.04654651150.08229784560.12768872660.18229663990.2456148520.31705803040.39596872160.4816246090.57324646250.67000668450.77103835010.87544463210.98230849961.09070257321.19969902131.30837938051.41584418361.52122228471.62367977251.72242836941.8167332221.90591999461.9893811892.06658162122.13706299992.20044755872.25644071062.30483270332.34549926522.37840124772.40358327982.42117146272.43137014512.43445783012.43078227572.42075485852.40484428132.38356970992.35749343262.32721314042.29335392762.25656011842.21748702222.17679272262.13513000172.09313849942.0514372022.01061734931.97123584361.93380923441.89880834651.86665360781.83771112491.81228954321.7906377171.77294320581.75933160051.74986667291.74455132991.74332934731.7460878421.75266043831.76283107291.77633837331.79288054351.81212067941.83369243431.85720595341.88225398941.90841811441.9352749421.96240227341.98938508672.01582128852.04132715622.06554239872.08813477632.10880422222.1272864192.14335579132.15682788262.16756109712.17545779212.18046471962.18257282262.18181640122.17827167242.17205475512.16331912042.15225255212.13907367112.1240280812.10738419622.08942881972.07046253692.05079499672.03074014812.01061150361.99071749661.97135699851.95281505741.93535891741.91923437121.90466249241.89183679131.88092082571.87204629611.86531164471.86078117031.85848466351.85841755981.86054159981.86478597821.87104895791.87919991731.88908179481.90051388691.91329495461.92720658641.94201676481.957483581.97335903461.98939287942.00533642572.02094627512.03598791462.05023912432.06349315042.07556159882.08627701122.09549508842.10309653412.10898849582.11310558732.11541048342.11589408362.11457524782.11150011492.10674101882.10039502422.09258210952.08344302742.07313688112.06183845522.04973534552.03702493172.02391124352.0106017651.99730422961.98422345161.97155824291.95949845951.94822222171.93789334671.92865903031.920647811.91396783641.90870547491.90492425641.90266418651.9019414221.90274831281.90505380561.90880419971.91392423741.92031851061.92787315761.93645782091.94592783471.95612660441.96688814151.97803971271.98940456222.00080466452.01206346652.0230085763

DistanciaVariograma

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DistanciaVariograma

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DistanciaVariograma

Hoja3

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DistanciaVariograma

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DistanciaVariograma

Hoja2

Hoja3

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Hoja1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

s=2.5, =0.4s=0.4, =1.8s=1.15, =1DistanciaVariograma

Hoja2

Hoja3

NLey% Acum.NLey% Acum.NLey% Acum.NLey% Acum.

10.023.33160.4053.3310.015.00111.0255.00

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30.0510.00180.5260.0030.0415.00131.1065.00

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50.0716.67200.6666.6750.1225.00151.2075.00

60.1020.00210.8570.0060.1530.00161.2280.00

70.1223.33221.0373.3370.3535.00171.2485.00

80.1526.67231.1076.6780.5240.00181.2590.00

90.2030.00241.2080.0090.7845.00191.2795.00

100.2033.33251.3283.33100.9650.00201.29100.00

110.2236.67261.4086.67

120.2840.00271.4290.00

130.2943.33281.5093.33

140.3546.67291.5396.67

150.3650.00301.55100.00

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