F.J.Mª del Sagrario Soler Ruiz

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Ejercicios resueltos. 1.- Calcula la probabilidad de que una familia que tiene 4 hijos, 3 de ellos sean varones. Solución: Se trata de un experimento de Bernoulli donde n=4 y p=1/2

p(obtener 3 varones)=P(X=3)= 4

15,0.5.0.

3

4 13 =

Recuerda:

3

4

es un número combinatorio cuyo valor se obtiene así: 1.2.3

2.3.4

3

4=

En general

)!!.(

!

.12).....3.2-1).(n-n.(n

numerador elen factores )......2).(1.(

nmn

mntenerhastammm

n

m

−=−−=

2.- Se tiene una moneda trucada de modo que la probabilidad de sacar cara es cuatro veces la de sacar cruz. Se lanza 6 veces la moneda. Calcula las siguientes probabilidades: • Obtener dos veces cruz. • Obtener a lo sumo dos veces cruz.

Solución: Calculamos en primer lugar la probabilidad de cara y de cruz: p(cara)+p(cruz)=1. Si llamamos x a la probabilidad de sacar cruz, podemos escribir: 4x+x=1; 5x=1; x=0,2 Así resulta: p(cruz)=0,2 y p(cara)=0,8 Es una distribución binomial de parámetros n=6 y p=0,2 Probabilidad de obtener dos veces cruz:

24,0)4096,0).(04,0.(15)8,0.()2,0.(2

6)2( 42 ==

==Xp

Probabilidad de obtener a lo sumo dos veces cruz:

==+=+==≤ )2()1()0()2( XpXpXpXp

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=90,0)8.0.()2.0.(

2

6)8,0.()2,0.(

1

6)8,0.()2,0.(

0

6 425160 =

+

+

3.- La probabilidad de que un alumno de 1º de Bachillerato repita curso es de 0,3. Elegimos 20 alumnos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores? Solución: Se trata de una binomial de parámetros 20 y 0,3, es decir, B(20; 0,3) Si X es el número de alumnos que repiten,

13,07,0.3,0.!16!.4

!207,0.3,0.

4

20)4( 164164 ==

==Xp

4.- Calcula la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X, cuya función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla:

xi -4 -1 2 5

)( ixXp = 0,1 0,5 0,3 0,1

Solución:

La esperanza matemática es la media: 2,01,0.53,0.25,0).1(1,0).4( =++−+−=µ

∑ =−++−+−=−= 76,52,01,0.53,0.25,0.)1(1,0.)4(. 22222222 µσ ii px 4,276,5 ==σ

5.- Sea la siguiente función de probabilidad:

xi 1 3 5 7 9 pi 0,2 0,2 0,4 0,1 0,1

Escribe la función de distribución y calcula: )5( ≤Xp y )73( ≤≤ Xp Solución:

xi 1 3 5 7 9 F(x)=P(X ≤ xi) 0,2 0,4 0,8 0,9 1

8,0)5( =≤Xp ; ==+=+==≤≤ )7()5()3()7( XpXpXpXp

7,01,04,02,0 =++=

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Ejercicios propuestos. 1.- La probabilidad de que un reloj salga de fábrica defectuoso es del 4 %. Halla: a) El número de relojes defectuosos esperados en un lote de 1000 b) La varianza y la desviación típica. ( Solución: 40 y 6,19) 2.- Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0,55, se pide: a) La probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras b) Probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras. (Solución: 0,3675; 0,609 ) 3.- Considera una variable aleatoria discreta X cuya distribución de probabilidad es la siguiente:

xi 1 2 3 P(X = xi) k 0,45 k

a) Calcula el valor de k b) Halla la función de probabilidad c) Halla la función de distribución F. Solución k = 0,275. Función de probabilidad:

xi 1 2 3 f(x)=P(X = xi) 0,275 0,45 0,275

Función de distribución:

xi 1 2 3 F(x)=P(X ≤ xi) 0,275 0,725 1

4.- Considera una variable aleatoria X cuya función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla:

x -25 -10 0 5 f(x) a 2a 3a 4a

a) Deduce el valor de a. b) Halla la función de distribución F c) Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica.

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Solución: a) 0,1; c) –2,5; 86,25; 9,29 5.- La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de arquitecto es 0,3. Calcula la probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso: a) Ninguno de los 7 finalice la carrera. b) Finalicen los 7. c) Al menos 2 acaben la carrera. d) Sólo finalice uno la carrera. Solución: 0,082; 0,00021; 0,671; 0,2471 6.- El 20 % de los tornillos de un gran lote so defectuosos. Se cogen tres tornillos al azar y se pide calcular razonadamente: a) La probabilidad de que los tres sean defectuosos. b) La probabilidad de que ninguno sea defectuoso. c) La probabilidad de que solamente uno sea defectuoso.