Tema 9. Variables Aleatorias Discretas y Modelos de Distribución

8/17/2019 Tema 9. Variables Aleatorias Discretas y Modelos de Distribución

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TEMA 9. VARIABLES ALEATORIASDISCRETAS Y MODELOS DE

DISTRIBUCIÓN.

UNIDAD 2. PROBABILIDAD.

CONTENIDOS DEL TEMA:

1.1. Introducción a la probabilidad.

1.2. Variables aleatorias: Definición y tipos.

1.3. Variables aleatorias discretas (v.a.d.)

1.4. Función de probabilidad y función de distribución.

1.5. Valor esperado y varianza teórica.

1.6. Modelos de distribución de probabilidad de v.a.d..


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1.1. Introducción.

1.1. Introducción. Concepto básicosExperimento aleatorio: toda acción cuyo resultado no puedepredecirse con certeza. Tiene dos o más resultados posibles.

Suceso elemental: cada uno de los resultados posibles de unexperimento aleatorio.

Espacio muestral (E ): conjunto de todos los resultados posibles osucesos elementales de un experimento aleatorio.

Suceso: cualquier subconjunto de los elemento de E . Se representan

con letras latinas mayúsculas. Tipos:

• Imposible: suceso que tal y como está definido E es imposibleque ocurra.

• Seguro: suceso que está incluido en E .

• Incompatibles o excluyentes: no pueden darse a la vez.

O/


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1.1. Introducción.

1.1. Introducción.


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1.1. Introducción. Operaciones con sucesos

B A∪

B A− A B −

• Unión: subconjunto de elementos de E que están incluidos almenos en A o B.

• Intersección: subconjunto de elementos de E que estánincluidos simultáneamente en A y B.

• Diferencia: subconjunto de elementos de E que están incluidos

en A pero no en B.

• Complementario de un suceso: subconjunto de elementos de

E que no incluidos en él.

B∩

' A

1.1. Introducción. Operaciones con sucesos

B A∪

B A− A B−


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1.1. Introducción. Operaciones con sucesosCuando se tiran dos dados uno blanco y otro negro, hay 36 sucesoselementales (E).

Se define: - Suceso C: dado blanco igual a 1

- Suceso D: dado negro igual a 1

1.1. Introducción.

Probabilidad: frecuencia con la que ocurrirá un suceso en el casohipotético de que los eventos se repitan un número infinito deveces y en las mismas condiciones.

Enfoque clásico o a priori

Probabilidad de un suceso: número que cuantifica en términosrelativos las opciones de verificación de ese suceso.

Enfoque frecuencialista o

a posteriori.

Definir laprobabilidad


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1.1. Introducción.

Principio de Indiferencia: todos los elementos del espaciomuestral tienen las mismas opciones de ser verificados alrealizar un experimento aleatorio.

1.1. Introducción.Enfoque clásico o a priori.

posiblescasosdenúmero

favorablescasosdenúmero)( ==

N

n A P A


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Ejemplo. Equipo de psicólogos de una empresa

1.1. Introducción.Enfoque clásico o a priori.

Nombre Sexo Edad Experiencia

Luís Aparicio Hombre 43 14

José Bernárdez Hombre 36 6

María Carandel Mujer 56 28

Eduvigis Díaz Mujer 47 12

Roberta García Mujer 28 1

Enriqueta López Mujer 37 6

Baldomero Martín Hombre 46 5

Dorotea Nenuco Mujer 30 2

Norbeto Pérez Hombre 28 2

Cándida Zorita Mujer 26 1

Ejemplo. Equipo Psicólogos de una empresa

A= ser hombre

B= ser mujer

1.1. Introducción.

Enfoque clásico o a priori.


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Disponemos de los resultados obtenidos en n experimentosaleatorios

1.1. Introducción.Enfoque frecuencialista, frecuentista o a posteriori.

posiblescasosdenúmero

favorablescasosdenúmero)(

limlim ∞→∞→==

N

A

N N

n A P

1.1. Introducción.Enfoque frecuencialista, frecuentista o a posteriori.


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1.1. Introducción.Propiedades

a)

b) La probabilidad de un suceso seguro (E) es 1:

c) La probabilidad de un suceso imposible ( ) es 0:

d) La suma de las probabilidades de un suceso y sucomplementario es 1:

1)(0 ≤≤ A P

1)( = E P

O/

0)( =/O P

1)'()( =+ A P A P

Característica quedeseamos medir.

1.2. Variables Aleatorias.

Experimento Aleatorio:Experimento Aleatorio: Resultados dependen del azar.

Variable Aleatoria: Variable Aleatoria: Función o regla que asigna un númeroreal, y sólo uno, a cada suceso del espacio muestral.

Característica que puedeadoptar cualquier valor de los

posibles.

Estadística

Descriptiva:Probabilidad:


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1.2. Variables Aleatorias.Ejemplo:Ejemplo:

El director de un gabinete de Psicología cuenta con tres mujeres ydos hombres y desea escoger a dos personas para realizar unaselección. Para no introducir sesgos decide escogerlos al azar.

Llamando X a la variable “número de mujeres seleccionadas”,cuales serían los valores que toma la variable:

M= MujerM= Mujer H= HombreH= Hombre

MMMM

HMHM

MHMH

HHHH

22

11

11

00

Espacio MuestralEspacio Muestral Variable Aleatoria Variable Aleatoria

Introducimos tres ratas en un laberinto en formade T y estudiamos por que lado salen:


Pueden salir:Pueden salir:

-- Las tres por laLas tres por la II?? III.III.

--La primera por la I y las otras dos porLa primera por la I y las otras dos porla Dla D ?? IDDIDD

-- etc.etc.……

ESPACIO MUESTRALESPACIO MUESTRAL

EE=[III, IID, IDI, DII, DDI, DID, IDD,=[III, IID, IDI, DII, DDI, DID, IDD,DDD]DDD]


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Experimento aleatorio: Introducir 3 ratas en un laberinto en formade T.

Espacio Muestral: E=[III, IID, IDI, DII, DDI, DID, IDD, DDD]Suceso: Número de ratas que salen por la izquierda..


IIIIII

IIDIID

IDIIDI

DIIDIIDDIDDI

DIDDID

IDDIDD

DDDDDD

33

22

22

2211

11

11

00



TIPOSTIPOS

Se define sobre espaciosSe define sobre espacios muestralesmuestrales finitos o infinitos, perofinitos o infinitos, peronumerables.numerables.

Variable Aleatoria Variable Aleatoria Discreta:Discreta: v.a.d v.a.d ..

Se define sobre espaciosSe define sobre espacios muestralesmuestrales infinitos, no numerables.infinitos, no numerables.

Variable Aleatoria Variable Aleatoria Cont inua:Cont inua: v.a.c v.a.c ..


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1.3. Variables Aleatorias Discretas.

Conceptos fundamentalesConceptos fundamentales

Aquella función que asocia a cada valor de la variable laprobabilidad de que ésta adopte ese valor:

f(x i) = P(X=xi)

FunciFuncióón de probabilidad de unan de probabilidad de una v.a.dv.a.d..

FunciFuncióón de distribucin de distribucióón de unan de una v.a.dv.a.d..

Aquella función que asocia a cada valor de la variable laprobabilidad de que ésta adopte al menos ese valor:

f(x i)= P(X


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1.4. Función de probabilidad y funciónde distribución de v.a.d.GrGrááfico de la funcifico de la funcióón de distribucin de distribucióón de unan de una v.a.dv.a.d..

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 1 2 3

1.4. Función de probabilidad y funciónde distribución de v.a.d.GrGrááfico de la funcifico de la funcióón de probabilidad de unan de probabilidad de una v.a.dv.a.d..

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3


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Media Aritmética.

1.5. Esperanza matemática y varianza

teórica de las v.a.d.

Esperanza Matemática: Valor igual a la media que seobtendría en caso de observarse un número infinito de valoresde la variable aleatoria.

E o µ

Esperanza matemática o valoresperado.

Descriptiva: Probabilidad:

Sumatorio de los productos de cada valor por su probabilidad.

E(x)= µ= Sxi * f(xi)

Varianza.

1.5. Esperanza matemática y varianzateórica de las v.a.d.

Varianza teórica: Varianza que se obtendría sobre los valoresobservados en el caso de que el número de observacionescreciese infinitamente.

s 2

Varianza Teórica.

Descriptiva: Probabilidad:


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0,375

1,5

0,375

0

xi2*f(xi)

0,375

0,75

0,375

0

xi*f(xi)

9

4

1

0

X2

1/8=0,125

3/8=0,375

3/8=0,375

1/8=0,125

f(xi)

1

3

3

1

na

3

2

1

0

X

CCC

CXC

CCX

XCC

XCX

XXC

CXX

XXX

E

5,1)125,0*3()375,0*2()375,0*1()125,0*0()( =+++= X E

75,05,1)125,0*3()375,0*2()375,0*1()125,0*0( 222222 =−+++=σ

1.4. Esperanza matemática y varianzateórica de las v.a.d.

Propiedades

1. El valor esperado y la varianza de una constante son iguales,respectivamente a esa constante y a cero.

E(a)= a s 2(a)= 0

2. Si a los valores de una v.a.d. se les suma una constante, laesperanza se ve incrementada en esa constante y la varianza nose altera.

Si Y =X + a

Entonces E(Y)= E(X) + a s 2(Y)= s 2(X)


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3. Si a los valores de una3. Si a los valores de una v.a.dv.a.d. se les multiplica una constante, la. se les multiplica una constante, laesperanza se ve multiplicada por esa constante y su varianza poresperanza se ve multiplicada por esa constante y su varianza porel cuadradoel cuadrado

Si Y =a* X

Entonces E(Y)= E(X) * a s 2(Y)= a2*s 2(X)

TABLA RESÚMEN

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

X: valores obtenidos de la muestra X: todos los valores posibles

pi: proporción o frecuencia relativa f(xi): función de probabilidadP (X=xi)

pa: proporción o frecuencia relativaacumulada F(xi): función de distribuciónP (X = xi)

Media: Esperanza matemática:

Varianza: Varianza Teórica:


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En la práctica la función de probabilidad de la mayoría delas v.a.d. se ajusta a un modelo teórico expresadomediante una fórmula concreta.

1.5. Modelos de distribución de

probabilidad para v.a.d.

La función de probabilidad se ajusta almodelo teórico expresado en la

fórmula

Consecuencia: las propiedades del modelo concretopueden aplicarse a la variable estudiada.

1.5. Modelos para variables discretas.

La distribuciLa distribucióón Uniformen UniformeTodos los valores asumibles por una variable sonTodos los valores asumibles por una variable sonequiprobablesequiprobables. Entonces, la funci. Entonces, la funcióón de probabilidad es lan de probabilidad es lamisma para todos los valores:misma para todos los valores:

Ej em plo : Para un dado de 6 caras equiprobables

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

1 2 3 4 5 6

J x f i

1)( =


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1.5. Modelos para variables discretas.La distribuciLa distribucióón Uniformen Uniforme

Espe ra n za m at emát ica:

Com probac i ón:


La distribuciLa distribucióón Uniformen Uniforme

Var ian za t eór ica:

Com probac i ón:

( )12

11 2

2 −+−= mínmáx X X

σ

( )92,2

12

35

12

16

12

1116 22

2 ==−=−+−=σ


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1.2. Modelos para variables discretas.La distribución Binomial

Todo experimento aleatorio con dos posibles resultados,mutuamente excluyentes (experimento de Bernoulli) yrepetidos N veces.


Si: 1. v.a.d. es dicotómica: se cumple (1) o no se cumple (0)una condición,

2. Se realiza una secuencia de N ensayos en los que laprobabilidad de verificación de la condición es constante ees independiente del resto de ensayos :

p

3. Se define la v.a. X como el número de veces en los Nensayos en los que se cumple la condición,

Entonces: la v.a. X se ajusta a un modelo binomial conparámetros N y p , se representa por:

),( π N B X ≈


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1.5. Modelos para variables discretas.La distribución BinomialFunciFuncióón de probabilidad: (X= 0,1)n de probabilidad: (X= 0,1)

Esperanza matemEsperanza matemáática:tica:

Varianza te Varianza teóórica:rica:

ii

i

x N x N

xi

x f −−

= )1()( ππ

π*)( N X E =

)1(**2 ππσ −= N

Experimento aleatorio: Introducir 3 ratas en 1 laberinto en formade T.

Suceso: Número de ratas que salen por la izquierda..


IIIIII

IIDIIDIDIIDI

DIIDII

DDIDDI

DIDDID

IDDIDD

DDDDDD

33

2222

22

11

11

11

00



21/25

Xi ni f(xi) F(xi)0 1 1/8=0,125 0,125

1 3 3/8=0,375 0,5

2 3 3/8=0,375 0,875

3 1 1/8=0,125 1

S 8 1


La distribución Binomial


¿Cómo podemos aplicar el modelo binomial alejemplo de las tres ratas y el laberinto en T?


-Variable aleatoria X :“Salir por lado izquierdo”

-Modelo binomial con parámetros B(3, 0,5)

-Valores 0, 1, 2 y 3


22/25

Xi ni f(xi)

03

* 0,50 * 0,50 = 0,1250

13

* 0,50 * 0,50 = 0,3751

23

* 0,50 * 0,50 = 0,3752

3 3 * 0,50 * 0,50 = 0,1253


0 3

3 0

2 1

1 2


Sea la variable X (nº de aciertos al azar en un test de 4preguntas con 2 respuestas cada una)


X~ B(X; 4, 0,5)


23/25

Sea la variable X (nº de aciertos al azar en un test de 4preguntas con 2 respuestas cada una)


X~ B(X; 4, 0,5)

X f(x)

0 0,0625

1 0,25

2 0,375

3 0,250

4 0,0625

Pro ba bi l ida d éx it o

Nº Éx it os

Nº Repet i c iones

Sea la variable X (nº de aciertos al azar en un test de 4

preguntas con 2 respuestas cada una); X~ B(X; 4, 0,5)

¿Cuál es la probabilidad de acertar 2 preguntas?

P(X=2)= 0,375


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Pro ba bi l ida d éx it o

Nº Éx it os

Nº Repet i c iones

Sea la variable X (nº de aciertos al azar en un test

de 4 preguntas con 2 respuestas cada una);

¿Cuál es la probabilidad de acertar 3 preguntas?

P(X=3)= 0,250

De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de laUniversidad de Massachussets, aproximadamente el 60% de losconsumidores de Valium en dicho estado, lo tomaron por primera vez debidoa problemas psicológicos.

Encuentre la probabilidad de que entre los siguientes ocho consumidoresentrevistados en este estado:

a) 3 comiencen a tomar Valium por problemas psicológicos.


X ~ B(x, n, p)X: (tomar Valium por razones psicológicas)B (8, 0,6)


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Tomar Valium por problemas psicológicos:

¿Cuál es la probabilidad de 3 sujetos lo consuman

por problemas psicológicos?

P(X=3)= 0,124

B (8, 0,6)

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