Objetivos

Al finalizar la unidad, el alumno:

• utilizará el método de puntos muestrales asociado a variables aleatorias• distinguirá una variable aleatoria discreta de una variable aleatoria continua• distinguirá y aplicará el concepto de función de pro- babilidad, de distribución de probabilidad y de función de distribución acumulada• calculará probabilidades por medio de las variables aleatorias discretas• encontrará el valor esperado de una variable aleatoria discreta• encontrará la varianza de una variable aleatoria discreta• resolverá problemas relacionados con el valor esperado y la varianza de una variable aleatoria discreta

UNIDAD

5 Variables aleatoriasdiscretas

Introducción

En la teoría de las probabilidades no siempre es fundamental encontrar todas las combinaciones de resultados del espacio muestral, sino clasificar todos los elementos del espacio muestral con cantidades que indiquen cierta propiedad, por ejemplo, al tomar un artículo de un conjunto que contiene tanto no defectuosos como defectuosos (donde el evento se puede definir “ la cantidad de artículos buenos”), se tiene que cada evento está representado por un número que muestra la cantidad de artículos no defectuosos.

Basados en lo anterior, de alguna manera se define una función que asigna un valor numérico a cada evento del espacio muestral, a la que se llama variable aleatoria . La importancia de definirla reside en la introducción de las funciones a la teoría de probabilidades, donde sus propiedades se heredan al cálculo de probabilidades.

En esta unidad se introducen conceptos básicos como:

• función de probabilidad de una variable aleatoria discreta• distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta• función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta• valor esperado de una variable aleatoria discreta• varianza de una variable aleatoria discreta

5.1 Variables aleatorias: método de puntos muestrales

En las unidades anteriores se calcularon probabilidades de eventos en los que la forma de elección de sus elementos era fundamental. Sin embargo, por medio del estudio de los diferentes fenómenos aleatorios que ocurren a nuestro alrededor, es posiblepercatarse de que en la mayoría de ellos sólo es de imporancia conocer una medida numérica referente al experimento. Por ejemplo:

• al lanzar tres monedas, podrían ser sólo de interés las probabilidades relacio-nadas con la cantidad de caras águila que resulten en dicho experimento

• al lanzar dos dados, podría ser sólo de interés conocer las probabilidades relacionadas con la suma resultante de los puntos

• un estimado de la vida promedio de las lámparas de un fabricante• medir la temperatura, humedad, u otra variable del medio

Para calcular las probabilidades correspondientes a los fenómenos de los ejemplos anteriores, o semejantes, se hará uso del método de puntos muestrales , cuyo procedimiento se divide en cinco pasos:

1. Definir el experimento.2. Establecer los eventos simples o elementales asociados con el experimento y

someter a prueba cada uno para asegurarse de que no se pueden descomponer más. Esto define el espacio muestral S, donde cada elemento del espacio muestral se llama punto muestral.

146

3. Asignar a cada punto muestral en S una probabilidad adecuada.4. Definir el evento de estudio A, como una colección específica de puntos

muestrales.5. Calcular P(A), sumando las probabilidades de los puntos muestrales de A.

Se lanzan tres monedas, y se calculan las probabilidades relacionadas con la cantidad de caras águila resultantes de dicho experimento.

1. Analizando las características del experimento, es posible notar que pueden ocurrir cero, uno, dos o tres caras águila; por otra parte, se sabe que su espacio muestral tiene ocho elementos

S = {sss, ass, sas, ssa, aas, asa, saa, aaa} donde, s = cara sol y a = cara águila. Se puede establecer una correspondencia entre los puntos muestrales y los valores

numéricos que se asignan al experimento (0, 1, 2 o 3), de la siguiente manera

sss

ass sas ssa

aas asa saa

aaa

0

1

2

3

, ,

, ,

Al punto muestral de las tres caras sol (o caras águla) le corresponde el valor 0; a cada punto muestral que tiene una sola cara águila le corresponde el valor 1, etc. Se definió una función entre los puntos muestrales y los valores numéricos asignados, de donde surge la siguiente definición.

Dado un experimento con espacio muestral S, se llama variable aleatoria del experimento a la

función numérica que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral.

En la teoría de probabilidades, generalmente se simboliza a las variables aleatoriaspor letras mayúsculas y sus elementos por letras minúsculas.

Como se mencionó en la definición 5.1, una variable aleatoria representa una función, cuyo dominio es el espacio muestral (del experimento aleatorio), y su rango elconjunto (o subconjunto) de los números reales, obtenido como resultado de asignar un valor real a los puntos del espacio muestral del experimento.

Dada S el espacio muestral del experimento y Rx R, donde R, representa al conjunto de los números reales, se tiene

X X: S R

que representa la función cuyo dominio es S y su rango Rx. Su representación gráfica se muestra en la figura 5.1.

Ejemplo 1

Definición 5.1

147

Los elementos del rango de una variable aleatoria generalmente se representan

por letras minúsculas correspondientes a la variable aleatoria; de tal manera que

X(e) = x

representa a la función X evaluada en el elemento muestral e, cuya imagen es x. Al efectuar el estudio de un experimento aleatorio por medio de las variables aleatorias

(al igual que se hizo en los cursos de cálculo en el estudio de las funciones), primero se debe definir la función analizada, y posteriormente, encontrar su dominio y su rango.

En el caso de las tres monedas, la variable aleatoria X se definirá de la siguiente forma:

X: “cantidad de caras águila en el lanzamiento de las tres monedas”

Luego, al evaluar la función de los ocho puntos muestrales, se tiene

X sss

X ass X sas X ssa

X aas X asa X saa

X a

( ) ,

( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) ,

(

0

1

2

aaa) 3

2. Es posible calcular las probabilidades de los eventos elementales Ei con i = 1, 2, 3…; que son equiprobables, cuya probabilidad respectiva es 1/ 8. Al representar los eventos, se tiene

E sss E ass E sas E ssa

E aas E asa E sa1 2 3 4

5 6 7

, , ,

, , aa E aaa, 8

De tal forma que

3. P Ei( ) , , ,1

81 8con i .

donde se verifica que

P E P Ei ii

( ) ( )0 1,yque

Ahora se calculan las probabilidades de cada uno de los valores de la variable X, pero antes se simboliza

4. P(X = x): “probabilidad de que a la variable aleatoria X se le asigne o tome el valor x = 0, 1, 2, 3,…”.

S e x Rx

Dominio Rango

X : S Rx

148

Por otro lado, se observa que X = 0, ocurre cuando se presenta el evento E1, por lo que se tiene

P X P E( ) ( )01

81

Asimismo, X = 1 ocurre cuando se presenta E2 o E3 o E4, es decir, la unión de los tres eventos; éstos, por ser elementales y no contener al mismo elemento, son mutuamente excluyentes, por tanto

5. P X P E E E P E P E P E( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

8

1

8

1

8

3

82 3 4 2 3 4

Con base en el análisis anterior, para X = 2 y X = 3, se tiene

P X P E P E P E

P X P E

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

21

8

1

8

1

8

3

8

31

8

5 6 7

8

Como se puede notar, los elementos de la variable X no son equiprobables.

Generalización de asignación de probabilidades a los valores de una variable

Para construir un evento de estudio A y completar la metodología de puntos muestrales, es necesaria la siguiente definición.

Dado S el espacio muestral del experimento, a cada evento A S( )A S se le asigna un número P(A) (probabilidad de A), de tal manera que P A P X x( ) ( ), donde x = 0, 1, 2, 3, . . ., con X variable aleatoria; en P(A) se cumplen los axiomas de Kolmogorov.

Se lanza una moneda tres veces. Se calcula la probabilidad de obtener caras sol en dos de los tres lanzamientos.

Se utiliza el método de puntos muestrales.

1. Observación de los resultados de los lanzamientos de la moneda

S sss ass sas ssa aas asa saa aaa, , , , , , ,

2. Los eventos simples o elementales asociados son los mismos que en el ejemplo 1

E sss E ass E sas E ssa

E aas E asa E sa1 2 3 4

5 6 7

, , ,

, , aa E aaa, 8

3. Se tiene

P Ei( ) , , ,1

81 8con i

Definición 5.2

Ejemplo 2

149

4. El evento de estudio es

A: “en dos de los lanzamientos el resultado sea cara sol”

Una revisión de los puntos muestrales indica que para este evento

A = {E2, E3, E4}

5. Por tanto,

P(A) = P(E2 ) + P(E3 ) + P(E4 ) = 3/ 8

Antes de continuar, vale la pena detenerse a analizar el avance matemático que se ha logrado en la construcción de una teoría de probabilidades, ya que

sino que, al introducir el concepto de función, de manera implícita se están heredando todas las

probabilidades.

Dichas propiedades son las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, derivación, integración, etcétera.

En las siguientes secciones se analizarán variables aleatorias discretas y en la unidad 6 se presentan algunos modelos especiales de ellas. Con respecto a las variables aleatorias continuas, su análisis comienza en la unidad 7. Por lo pronto, el estudio continúa con la separación de las variables aleatorias (al igual que las funciones) endiscretas y continuas.

5.2 Variables aleatorias discretas

La introducción de las variables aleatorias al estudio de la probabilidad es de gran importancia por relacionar ésta con las funciones. Por tanto, de aquí en adelante se considerarán más conceptos relacionados con la teoría de funciones. La sección comienza con la definición de variable aleatoria discreta.

Dado un experimento aleatorio con X como variable aleatoria con rango Rx, se llama a X variable aleatoria discreta (VAD), cuando el conjunto Rx

Las variables aleatorias discretas tienen cabida cuando la variable del experimento es tal que se requiere de un conteo para determinar sus elementos. Como se verá en los siguientes ejemplos.

1. Se analiza una muestra de diez artículos donde existen tres defectuosos. La variable aleatoria se define como X: “ la cantidad de extracciones sin reemplazo para encontrar los tres artículos defectuosos de la muestra”.

Rx = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (conjunto finito)

Definición 5.3

Nota

Ejemplo 3

150

2. Se lanza una moneda; la variable aleatoria se define como X: “ la cantidad de lanza-mientos hasta obtener una cara águila”. Esta variable es discreta y su rango es

Rx = {1, 2, 3, 4,...} (conjunto infinito numerable)

3. Se lanza un dado dos veces. La variable aleatoria se define como X: “ la resta del primer resultado menos el segundo”.

Rx = {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} (conjunto finito)

4. El problema de las correspondencias: se tiene n parejas (2n personas, n > 1); se escriben sus nombres en pedazos de papel y se introducen en una urna, posteriormente se extraen al azar para formar parejas. La variable aleatoria se define como X: “número de parejas que coincidan con su pareja”. Esta variable puede tomar los valores

Rx = {0, 1, 2,..., n – 2, n} (conjunto finito)

5.2.1 Distribución de probabilidad

En la sección anterior se hizo mención a los axiomas de Kolmogorov relacionados con las variables aleatorias; ahora bien, con base en las probabilidades de las variables aleatorias discretas, es posible definir una función de probabilidad.

Dado un experimento con su variable aleatoria discreta X y con el rango igual a RX = {x1, x2,..., xn} función de probabilidad de la

variable aleatoria discreta X, como

p xP X x x R

x Rii i X

i X( )

( ),

,

si

si 0

Por medio de diagramas de Venn se puede ilustrar la función de probabilidad (ver figura 5.2).

A partir de la función de probabilidad se introduce una definición más, la de distribución de probabilidad.

Definición 5.4

S

e x

p

[ ]

X : S Rx

p : Rx [0,1]

Rx

151

Dado un experimento con variable aleatoria discreta X, rango RX = {x1, x2,..., xn}numerable), y función de probabilidad p(x), se llama distribución de probabilidad el conjunto de parejas (xi, p(xi)), para toda xi RX que cumple

a) p(xi) 0

b) p xii

( ) 11

Otro concepto probabilístico de importancia es la función de distribución acumulada.

Dado un experimento con variable aleatoria discreta X, rango RX = {x1, x2,..., xn}numerable), y función de probabilidad p(x) se llama función de distribución acumulada (fda ) de la variable aleatoria discreta Xdiscontinua en cada punto xi RX, tal que

F x p xii

( ) ( ), para toda y x R x xi X iy

A partir de la definición de F(x), se deduce que

• F(x) es una función no decreciente, es decir, para todos los reales x, y, si x y, entonces F(x) F(y)

• la gráfica de F(x) es una función escalonada, en donde cada salto representa la probabilidad del punto de discontinuidad a la derecha (ver ejemplo siguiente)

De lím ( )x

F x 0 y lím ( )x

F x 1, se deducen de las propiedades a) y b) de las

funciones de probabilidad.Se analiza el ejemplo relativo al lanzamiento de tres monedas. Donde X: “ la

cantidad de caras águila en el lanzamiento de tres monedas”.Es claro que RX = {0, 1, 2, 3}.Por otro lado, se calcularon las probabilidades para los elementos de la variable:

p P X

p P X

p P X

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 01

8

1 11

8

1

8

1

8

3

8

2 2

11

8

1

8

1

8

3

8

3 318

p P X( ) ( )

Por tanto, su función de probabilidad estará dada por la expresión

p x

x

x( )

, ,

, ,

,

1

80 3

3

81 2

0

para

para

para otro valor

Definición 5.5

Definición 5.6

152

Mientras que su función de distribución acumulada, de acuerdo con la definición 5.6, será

F x

x

x

x

x

( )

,

,

,

,

,

0 0

1

81

4

82

7

83

1

si

si 0

si 1

si 2

ssi 3 x

Se puede comprobar que se cumplen las condiciones anteriores, con respecto a la función de probabilidad y la función de distribución acumulada.

Las gráficas de la función de probabilidad y la acumulada son:

En la figura 5.3 los segmentos verticales de la función de probabilidad son simbólicos, puesto que en caso contrario no se trataría de una función. El valor de la función está representado por el círculo negro, y en los demás puntos vale cero.

Los saltos de discontinuidad en la función de distribución acumulada muestran los valores de la probabilidad, en dichos puntos, de la variable aleatoria discreta.

Ejercicio 1

1. Dada la variable aleatoriaX con función de probabilidad

p x x

( ),

13

para 0, 1, 2

0, para cualquier otro casoo

calcula la función de distribución acumulada para X. 2. La variable aleatoria se define como X: “el número de clientes que en un día se

quejan por el servicio de una tienda”.

a) calcula el valor de k para que la función

f xk x x , , ,

x , , ,( )

( ), ,

, ,

1 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

con

con

sea una función de probabilidad de X.

Nota

p(x)

X

a)

1

0.6

0.2

0 1 2 3 X

1

0.6

0.2

0 1 2 3

F(x)

b)

153

b) calcula P(1 X 4) 3. Dada X una variable aleatoria discreta con función de distribución de

probabilidad

, si

, si

, si

, si

P X x

x

x

x( )

.

.

.

.

0 4 1

0 2 0

0 3 2

0 1 xx 3

calcula la función dedistribución acumuladadela función de distribución acumulada de X. 4. Dada la función de distribución acumulada

F x

x

x

x

x

x

( )

,

,

0 1

0 1 0

0 0 1

0 1 2

1 2

si

.2, si

.6, si

.7, si

si

calcula P(X 1.5). 5. Dada la función de distribución acumulada

F x

x

x

x

x

x

( )

,

,

0 1

0 1 0

0 0 1

0 1 2

1 2

si

.2, si

.6, si

.7, si

si

a) calcula P(X 1.5) b) calcula P(X 1.5 X 2.5)

5.2.2 Valor esperado de una variable aleatoria discreta

Al estudiar un experimento por medio de variables aleatorias es de suma importancia analizar el comportamiento de éstas. En las secciones anteriores, para las variables aleatorias discretas se estudiaron algunos conceptos; en la presente y siguiente sección se verán dos conceptos más, donde cada uno origina un parámetro para describir a una variable aleatoria discreta.

Por ejemplo, en el experimento sobre el lanzamiento de dos dados, la variable aleatoria discreta se define como

X: “ la suma de puntos resultantes de los dados”

Se obtiene el rango de X

Rx = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

154

Calculando sus probabilidades, se tendrá su distribución de probabilidad:

Al analizar la tabla de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X, observamos que las probabilidades de los elementos del rango de la variable representan una especie de “peso” del valor de la variable (ver unidad 1, media ponderada).

Efectivamente, al calcular su media ponderada, se tiene

21

363

2

364

3

365

4

366

5

36 7

6

368

5

36

9436

10336

11236

12136

7

Dado un experimento con variable aleatoria discreta X, rango RX = {x1, x2,..., xn} (puede ser

p(x), se llama valor esperado de o esperanza

matemática de a la cantidad que denotada por E(X) o se calcula por

E X x p xi ii

( ) ( )1

El valor esperado de una variable aleatoria discreta X es un parámetro de dicha variable que representa el valor promedio que se espera suceda al repetir el experimento, en forma independiente , una gran cantidad de veces. De lo anterior, se concluye que E(X) siempre es un valor intermedio de los RX = {x1, x2,..., xn}. En el ejemplo anterior de los dados, se espera que dicho promedio sea igual (o se aproxime) a siete.

Cuando la variable aleatoria discreta X tiene un rango infinito numerable, el valor esperado es una serie

E X x p xi ii

( ) ( )1

Si la serie converge absolutamente,

x p xi ii

( )1

entonces E(X) se designa como valor promedio de X.

Cuando la variable aleatoria discreta X tiene un rango finito, el valor esperado es

E X x p xi ii

n( ) ( )

1

y se puede considerar un valor medio ponderado de los valores de RX, x1, x2,..., xn, con pesos respectivos p(x1), p(x2),..., p(xn). Por otro lado, se debe tener bien claro que E(X) y promedio

Nota

Definición 5.7

X = xi

p(xi)136

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

155

ponderado de un conjunto de datos no son sinónimos, puesto que E(X) es un parámetro asociado a una variable aleatoria discreta X, mientras que el promedio ponderado es resultado de una combinación aritmética entre ciertos datos.

Propiedades del valor esperado de una variable aleatoria discreta

1. Valor esperado de una constante. Dada X = b constante

E(b) = b

Si la variable puede tener sólo un valor, su promedio de ocurrencia tiene que ser igual a dicho valor.

2. Si realizamos un cambio de variable lineal Y = aX + b, en donde a y b son constantes, el valor esperado de la nueva variable estará dado por

Dado un experimento con variable aleatoria discreta X, rango RX = {x1, x2,..., xn}numerable), y función Y = f(X) = aX + b, con a y b constantes, entonces E(Y) = aE(X) + b.

Se tiene que y ax b p y p x ii i i i, y para toda ( ) ( ), .Por otro lado,

E Y yp y ax b p xii

i ii

i( ) ( ) ( ) ( )1 1

descomponiendo en dos sumatorias

E Y ax p x bp xii

ii

i( ) ( ) ( ) ( )1 1

puesto que a y b son constantes

E Y a x p x b p xii

k ii

( ) ( ) ( )1 1

como

E X x p xii

i( ) ( )1

y p xii

( )1

1

E Y aE X b( ) ( )

Ejercicio 2

1. La variable aleatoria X tiene la función de probabilidad

p x x

( ),

1

3 para 0, 1, 2

0, para cualquier otro casoo

calcula la media de X.

Teorema 5.1

156

2. Dada X una variable aleatoria discreta, con función de distribución de proba-bilidad

, si

, si

, si

, si

P X x

x

x

x( )

.

.

.

.

0 4 1

0 2 0

0 3 2

0 1 xx 3

calcula el valor esperado de la variable X. 3. Dada X una variable aleatoria discreta, con distribución de probabilidad P(X = –2) =

0.3, P(X = 0) = 0.4, P(X = 1) = 0.3; calcula su valor esperado. 4. Dada la función de distribución acumulada

F x

x

x

x

x

x

( )

,

. ,

,

0 1

0 2 1 0

0 0 1

0 1 2

1 2

si

si

.6, si

.7, si

si

calcula la media de la variable aleatoria X. 5. Dada X una variable aleatoria discreta, con distribución de probabilidad P(X = –2) =

0.4, P(X = 0) = 0.2 y P(X = 1) = k; calcula

a) la constante k b) E(X) c) el valor esperado de la variable Y = 12.25X + 10

5.2.3 Varianza de una variable aleatoria discreta

Un sólo parámetro no es suficiente para describir el comportamiento de una variable aleatoria discreta, por lo que es necesario otro parámetro que indique, en cierta medida,la variabilidad de los valores de la variable en relación con el valor esperado.

Dado un experimento con variable aleatoria discreta X, rango RX = {x1, x2,..., xn} (puede ser

p(x), se llama varianza de la cantidad simbolizada

por V(X) o X2 , y se calcula por

V X x E X p xi ii

( ) ( ( )) ( )2

1

Debido a que las unidades en que se mide la variable aleatoria y su varianza no coinciden –la varianza tiene las unidades cuadradas de la variable–, se suele introducir otra definición con base en la raíz cuadrada positiva de la varianza. Por tanto,

Se llama desviación estándar de una variable aleatoria discreta X a la raíz cuadrada positiva de la varianza

X V X( )

Definición 5.8

Definición 5.9

157

La varianza de la variable aleatoria discreta X es un parámetro positivo de dicha variable, el cual representa el valor esperado de los cuadrados de las desviaciones que tiene cada uno de los valores xk RX, con respecto al valor esperado de la variable aleatoria discreta X.

Propiedades de la varianza de una variable aleatoria discreta

1. De la definición de valor esperado de una variable aleatoria, se deduce

V X x E X p x E X E Xi ii

( ) ( ( )) ( ) ( )2

1

2[ ]

2. La fórmulaV X E X( ) ( )2 2es una propiedad, ciertamente un poco más cómoda,

referente al cálculo de la varianza de una variable aleatoria discreta X con distribución de probabilidad conocida. pero que no se emplea en la definición debido a que en su expresión no refleja el objetivo de la varianza, a diferencia de la expresión que se empleó al definirla.

Dado un experimento con variable aleatoria discreta X, rango RX = {x1, x2, x3...}numerable), y función de probabilidad p(x), entonces

V X E X E X E X( ) ( ) [ ( ) ( )2 2 2 2]

V X x E X p xi ii

( ) ( ( )) ( )2

1 desarrollando el binomio al cuadrado

V X x x E X E X p xi i ii

( ) ( ( ) ( )) ( )2 2

1

2

descomponiendo en sumatorias

V X x p x xE X p x E X p xi ii

i i iii

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1

2

1

2

E(X) es constante

V X E X E X x p x E X p xi i iii

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1

2

por definición de E(X)

V X E X E X E X E X

V X E X E X E X

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2

El cuadrado del valor esperado X se simboliza por E X E X2 2 2( ) [ ( )] .

Teorema 5.2

Nota

158

3. La varianza de una constante vale cero. Si X = c, entonces V(X) = 0, lo que refleja que no existe variabilidad entre los elementos de la variable aleatoria discreta.

4. Si se realiza un cambio lineal de variable Y = aX + b, en donde a y b son constantes, la varianza de la nueva variable estará dada por

Dado un experimento con una variable aleatoria discreta X, con rango RX = {x1, x2, x3...} (puede ser

Y = aX + b una función con a y b constantes, entonces

V(Y) = a2 V(X)

V Y E Y E Y( ) ( ) ( )2 2

del teorema 5.2, sustituyendo Y = aX + b

V Y E aX b E aX b( ) (( ) ) ( )2 [ ]2

desarrollando el primer binomio y por el teorema 5.1

V Y E a X abX b aE X b( ) ( ) ( )2 2 22 [ ]2

puesto que a y b son constantes

V Y a E X abE X b a E X abE X b( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2

por la definición de E(X)

V Y a E X a E X( ) ( ) ( )2 2 2 2

factorizando a2

V Y a E X E X

V Y a V X

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2

1. Dada (xi, p(xi )) la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X, como se muestra

se calcula

a) el valor esperado b) la varianza de X

Teorema 5.3

Ejemplo 5

159

a) E X x p xi ii

( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . .1

3 0 4 1 0 3 1 0 2 2 0 1 1 1

b) V X x E X p xi ii

( ) ( ( )) ( )

( ( . )) . ( ( . )) .

2

1

2 23 1 1 0 4 1 1 1 0 3 (( ( . )) . ( ( . )) .

. .

1 1 1 0 2 2 1 1 0 1

0 003 0 882

2 2

1.444 0.961 33.29

La desviación estándar es igual a 3 29. = 1.814. Empleando el teorema 5.2, resultaría más sencillo el cálculo.

V X E X E X( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( .2 2 2 2 2 23 0 4 1 0 3 1 0 2 2 0 1 1 1[ ] ))

. . . . . . . .

2

3 6 0 3 0 2 0 4 1 21 4 5 1 21 3 29

2. Dada (yi, p(yi)) la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta Y, definida por Y = 25X – 10, cuyos valores se encuentran en la tabla siguiente, se calcula el valor esperado y la varianza de Y.

De la tabla de distribución y las fórmulas para el valor esperado y la varianza, es posible calcularlas directamente. Pero, de la relación Y = 25X – 10 y el teorema 5.1, se simplifican los cálculos, ya que E(Y) = E(25X – 10) = 25E(X) – 10.

Por tanto, es suficiente calcular el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria discreta X.

E X x p xi ii

( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) .1

1 0 15 2 0 20 4 0 35 6 0 25 7 0 05 3..80

Por tanto, E Y E X( ) ( ) ( ) .25 10 25 3 8 10 85. De forma similar para la varianza, se emplea el teorema 5.3, V Y a V X( ) ( )2 .

V X E X E X( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( )2 2 2 2 2 2 21 0 15 2 0 2 4 0 35 6 0 25 7[ ] 00 05 3 8

0 15 0 8 5 6 9 2 45 14 44 18 14 44 3 56

2. ( . )

. . . . . . .

Finalmente, la varianza de Y es V Y V X( ) ( ) ( ) .25 625 3 56 2 2252 . Mientras que su desviación estándar es Y V Y V X( ) ( )25 47.17.

160

Ejercicio 3

1. Dada X una variable aleatoria discreta con función de distribución de proba-bilidad

, si

, si

, si

, si

P X x

x

x

x( )

.

.

.

.

0 4 1

0 2 0

0 3 2

0 1 xx 3

calcula la varianza de X. 2. Dada X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad

P X P X P X( ) . , ( ) . , ( ) . ,2 0 3 0 0 4 1 0 3 calcula V(X). 3. Dada la función de distribución acumulada

F x

x

x

x

x

x

( )

,

. ,

,

0 1

0 2 1 0

0 0 1

0 1 2

1 2

si

si

.6, si

.7, si

si

calcula la varianza de la variable aleatoria X. 4. Dada X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad

P X P X . P X k2 0.4, 0 0 2 1y ( )

a) encuentra la constante k b) si Y = 45X – 25, calcula la varianza de Y

1. Considérese un sistema de agua que f luye a través de unas válvulas de I hacia D(ver diagrama siguiente). Las válvulas v1, v2, y v3 funcionan independientemente, y cada una se abre mediante una señal con probabilidad de p = 0.8. Calcula la distribución de probabilidad para X: “el número de válvulas abiertas de I hacia Ddespués de haber enviado la señal”.

IL1

v1

v2 v3

L2

D

Ejemplos

161

En este caso, la variable aleatoria discreta toma los valores X = {0, 1, 2, 3}. Para calcular las probabilidades correspondientes se toman en cuenta que las válvulas funcionan independientemente, recordando que si A y B son independientes también lo son las parejas, Ac y Bc, A y Bc, Ac y B.

P X i( ), la probabilidad de que i válvulas estén abiertas, i = 0, 1, 2, 3.

P v pi( ) .0 8, la probabilidad de que la válvula i esté abierta, i = 1, 2, 3.

P v pic( ) .1 0 2, la probabilidad de que la válvula i esté cerrada, i = 1, 2, 3.

P X P v v v P v P v P v pc c c c c c( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . .0 1 0 2 0 0081 2 3 1 2 33 3

P X P v v v P v v v P v v v

P v P v

c c c c c c( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

1 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2cc c c c c cP v P v P v P v P v P v P v

p p p

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

3 1 2 3 1 2 3

21 1 pp p p p p) ( ) ( ) ( . )( . ) .2 2 2 21 3 1 3 0 8 0 2 0 096

P X P v v v P v v v P v v v

P v P v P

c c c( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

2 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 vv P v P v P v P v P v P v

p p p p p

c c c3 1 2 3 1 2 3

2 2 21 1

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (( ) ( ) ( . ) ( . ) .1 3 1 3 0 8 0 2 0 3842 2p p p

P X P v v v P v P v P v p( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . .3 0 8 0 5121 2 3 1 2 33 3

Cumpliéndose así que P X ii

( )0

31.

2. Con base en las condiciones del problema anterior, se encuentra la distribución de probabilidad para X: “el número de vías abiertas de I hacia D después de haber enviado la señal”.

En este caso la variable aleatoria discreta, toma los valores, X = {0, 1, 2}. Para calcular las probabilidades correspondientes se pueden emplear los pasos anteriores, considerando las líneas paralelas L1 y L2.

La probabilidad de que la línea 1 esté abierta: P(L1) = P(v1) = 0.8. La probabilidad de que la línea 1 esté cerrada: ..P Lc( )1 = 1 – P(L1) = 1 – 0.8 = 0.2 La probabilidad de que la línea 2 esté abierta: P(L2) = P(v2 v3) = P(v2)P(v3) = p2 = 0.64. La probabilidad de la línea 2 esté cerrada: P L P Lc( ) ( ) . .2 2

21 1 0 8 0 36. Dada P(X = i) la probabilidad de que i líneas estén abiertas, i = 0, 1, 2:

P X P L L P L P Lc c c c( ) ( ) ( ) ( ) ( . )( . ) .0 0 2 0 36 0 0721 2 1 2

P X P L L P L L P L P L P L L P L L( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.

1

0 8

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0 64 2 0 8 0 64 0 416. ( . )( . ) .

P X P L L P L P L( ) ( ) ( ) ( ) ( . )( . ) .2 0 8 0 64 0 5121 2 1 2

162

Cumpliéndose así que P X ii

( )0

21.

Se resuelve ahora el problema de las correspondencias entre objetos.3. En un examen se le pide a niños que hagan corresponder cada uno de los tres

dibujos de animales con la palabra que identifica a cada animal. Si un niño relaciona aleatoriamente las tres palabras con los tres dibujos, se calcula la distribución de probabilidad para X: “el número de correspondencias correctas”.

Dada P(X = i) la probabilidad de que existan i correspondencias (i = 0, 1, 3); nótese que no existe el valor 2, puesto que si se tienen dos correspondencias, automáti-camente se tendrá la tercera.

Veamos los seis (3! = 6) casos de correspondencia que pueden suceder, conside-rando que los animales tienen las letras A, B y C:

De la tabla deducimos las probabilidades de la distribución de XP(X = 0) = 2/ 6 = 1/ 3,P(X = 1) = 3/6 = 1/ 2,P(X = 3) = 1/6

Ejercicios propuestos

1. Dada X: “el número de clientes que en un día se quejan por el servicio de una tienda”.

a) calcula el valor de k para que la función

f xk x x , , ,

x , , ,( )

( ),

,

1 0 1 2 3

0 0 1 2 3

con

con

sea una función de probabilidad de X. b) calcula P(1 X 2)

2. Encuentra el valor c, de manera que la siguiente función sea una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X, RX = {1, 2, 3}

f x c x x( ) ( 2 4) para 1, 2, 3

3. Una urna contiene ocho esferas negras y doce blancas. Se sacan tres esferas una tras otra con reemplazo. Si un jugador gana $10 cuando las tres esferas son negras y paga $3 en otro caso. Calcula cuánto se espera que gane o pierda después de jugar varias veces un día determinado.

A

A

A

B

B

C

C

B

B

C

A

C

A

B

C

C

B

C

A

B

A

3

1

1

0

0

1

Cantidadde correspondencias

correctas

163

4. La producción diaria de una fábrica es de 20 artículos, de los cuales siempre resultan dos defectuosos. Se toma una muestra de cuatro artículos. Sea X la variable aleatoria que asigna el número de artículos defectuosos en la muestra, calcula

a) la distribución de probabilidad para X b) cuántos artículos de la muestra, se espera sean defectuosos

5. El gerente de un almacén ha construido la siguiente distribución de probabilidad para la demanda diaria (número de veces utilizada) de una herramienta

El costo por utilizar cada vez la herramienta es $90. Calcula la media y la varianza del costo diario por el uso de tal herramienta.

6. La producción diaria de una fábrica es de doce artículos, de los cuales hay dos defectuosos. Se toma una muestra de tres artículos. Dada X la variable aleatoria que asigna el número de artículos defectuosos en la muestra, calcula la función de probabilidad de X.

7. Se sabe que de un grupo de cinco componentes, dos son defectuosos. Un inspector prueba los componentes uno por uno hasta encontrar los dos defectuosos. Dada Y: “el número de pruebas necesarias hasta encontrar el segundo defectuoso”, calculala distribución de probabilidad para Y.

8. Cinco esferas numeradas del uno al cinco se encuentran en una urna. Se toman dos al azar y se anotan sus números. Calcula la distribución de probabilidad para

a) el mayor de los dos números seleccionados b) la suma de los dos números seleccionados

9. Un sistema de agua fluye a través de las válvulas A y B (ver diagrama adjunto). Las válvulas 1-4 funcionan independientemente, y cada una se abre mediante una señal con 0.8 de probabilidad. Calcula

a) la distribución de probabilidad para el número de vías abiertas b) la varianza de la distribución del inciso anterior c) la distribución de probabilidad para el número de válvulas abiertas

p(X = x)

x 0

0.1

1

0.5

2

0.4

A

1

2 3 4

B

164

Autoevaluación

1. Con el propósito de verificar la exactitud de sus estados financieros, las compañías tienen auditores permanentes. Supóngase que los empleados de una compañía efectúan asientos erróneos 5% de las veces. Si un auditor verifica tres asientos al azar, calcula la probabilidad de que detecte más de un error.

a) 0.857 b) 0.95 c) 0.00725 d) 0.25

2. Un cliente potencial para una póliza de seguro por 20 mil dólares tiene una casa en un área que, de acuerdo con las estadísticas, puede sufrir pérdida total en un año con 0.001 de probabilidad, y pérdida de 50%, con 0.01 de probabilidad. Calcula la esperanza que tendría que cobrar la compañía de seguros por una póliza anual, para salir a mano con todas las pólizas de este tipo, ignorando todas las otras pérdidas parciales.

a) 120 b) 180 c) 160 d) 240

3. Dada X una variable aleatoria que representa el número de clientes que en un día se quejan por el servicio de una tienda, cuya función de probabilidad es

f xx x , , ,

x , , ,( )

. ( ),

,

0 1 1 0 1 2 3

0 0 1 2 3

con

con

calcula cuántos clientes se espera acudan a quejarse por el servicio en un día determinado.

a) 3 b) 1.5 c) 1 d) 2

4. La producción diaria de una fábrica es de 20 artículos domésticos, de los cuales siempre resultan dos defectuosos. Se toma una muestra de cuatro artículos. Dada X la variable aleatoria que asigna el número de aparatos defectuosos en la muestra, calcula cuántos aparatos de la muestra se espera sean defectuosos. Calcula el valor teórico.

a) 1 b) 0 c) 0.4 d) 0.5

165

5. Un sistema de agua fluye a través de las válvulas A y B (ver el diagrama adjunto). Las válvulas del uno al cuatro, funcionan independientemente y cada una se abre mediante una señal con 0.8 de probabilidad. Calcula la probabilidad de que exactamente una vía esté abierta.

a) 0.4928 b) 0.25 c) 0.75 d) 0.4816

6. En un examen se le pide a niños que hagan corresponder cada uno de los tres dibujos de animales con la palabra que identifica a cada animal. Si un niño asigna aleatoriamente las tres palabras a los tres dibujos, calcula la probabilidad de que exista una sola correspondencia correcta.

a) 0.67 b) 0.33 c) 0.5 d) 0.4

7. El gerente de un almacén construyó la siguiente distribución de probabilidad de la demanda diaria (número de veces utilizada) de una herramienta

El costo por utilizar cada vez la herramienta es $30. Calcula el costo medio diario por el uso de la herramienta.

a) 51 b) 35 c) 17 d) 4949

8. La producción diaria de una fábrica es de 40 aparatos domésticos, de los cuales hay cinco defectuosos. Si se reparten aleatoriamente diez aparatos en un centro comercial, calcula la probabilidad de que ningún aparato defectuoso quede en el centro comercial.

a) 0.33 b) 0.25 c) 0.2165 d) 0.9650.965

p(X = x)

x 0

0.05

1

0.40

2

0.35

3

0.20

166

9. Al sumar todas las probabilidades de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X, el resultado es igual a

a) depende de los valores de la variable X b) uno c) menor a uno d) cualquier valor entre cero y uno

10. Indica cuál de las siguientes afirmaciones define una variable aleatoria

a) una representación de los eventos b) una representación del espacio muestral c) una asignación de probabilidades para los elementos muestrales d) una función que asocia un número real a cada evento del espacio muestral

Respuestas de los ejercicios

Ejercicio 1

1. F x

x

x

x

x

( )

0 0

1

30 1

23

1 2

1 2

si

si

si

si

2. a) k =

b) 0.6

3. F x

x

x

x

x

x

( )

.

.

.

0 1

0 4 1 0

0 6 0 2

0 9 2 3

1 3

si

si

si

si

si

4. 0.7

5. a) 0.3 b) 0.3

Ejercicio 2

1. 1 2. 0.5

1

15

167

3. –0.3

4. 0.5

5. a) 0.4 b) –0.4 c) 5.1

Ejercicio 3

1. 2.25

2. 1.41

3. 1.25

4. a) 0.4 b) 3 726

Respuestas de los ejercicios propuestos

1. a) 0.1 b) 0.5

2.

3. $2.168 de pérdida

4.

a) 1

3 b) 0.4

5. valor esperado $117; varianza $3 321

6. p x

x

x

x

x

( )

, ,

6

110

1

2

0 0 1 2

si

9

22si

1

22si

si

1

26

168

7. P(Y = 2) = 0.1, P(Y = 3) = 0.2, P(Y = 4) = 0.3, P(Y = 5) = 0.4

8. a) P(X = 2) = 0.1, P(X = 3) = 0.2, P(X = 4) = 0.3, P(X = 5) = 0.4 b) P(Y = k) = 0.1, con k = 3, 4, 8, 9 y P(Y = k) = 0.2, con k = 5, 6, 7

9. a) P(X = 0) = 0.0976, P(X = 1) = 0.4928, P(X = 2) = 0.4096 b) 0.4099 c) P X k C kk

k k( ) ( . ) ( . ) , , , , ,4 40 2 0 8 0 1 2 3 4

Respuestas de la autoevaluación

1. c)

2. a)

3. d)

4. c)

5. a)

6. c)

7. a)

8. c)

9. b)

10. d)