VARIABLESALEATORIASClase 2

Definición de variable aleatoria Hemos mencionado que un modelo de simulación permite lograr un mejor

entendimiento de prácticamente cualquier sistema.

Para ello resulta indispensable obtener la mejor aproximación a la realidad, lo cual se consigue componiendo el modelo a base de variables aleatorias que interactúen entre sí.

Pero, ¿cómo podemos determinar qué tipo de distribución tiene una variable aleatoria? ¿Cómo podemos usarla en el modelo, una vez que conocemos su distribución asociada? Comentaremos los métodos y herramientas que pueden dar contestación a estas interrogantes clave para la generación del modelo.

Definición de variable aleatoria Podemos decir que las variables aleatorias son aquellas que tienen un

comportamiento probabilístico en la realidad.

Por ejemplo, el número de clientes que llegan cada hora a un banco depende del momento del día, del día de la semana y de otros factores: por lo general, la afluencia de clientes será mayor al mediodía que muy temprano por la mañana; la demanda será más alta el viernes que el miércoles; habrá más clientes un día de pago que un día normal, etc.

Definición de variable aleatoria Dadas estas características, las variables aleatorias deben cumplir reglas

de distribución de probabilidad como éstas: La suma de las probabilidades asociadas a todos los valores posibles de la

variable aleatoria es uno. La probabilidad de que un posible valor de la variables se presente siempre es

mayor que o igual a cero. El valor esperado de la distribución de la variable aleatoria es la media de la

misma, la cual a su vez estima la verdadera media de la población.

Definición de variable aleatoria

Si la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria está definida por más de un parámetro, dichos parámetros pueden obtenerse mediante un estimador no sesgado. Por ejemplo, la varianza de la población puede ser estimada usando la varianza de una muestra que es . De la misma manera, la desviación estándar de la población, , puede estimarse mediante la desviación estándar de la muestra .

Tipos de variables aleatorias Podemos diferenciar las variables aleatorias de acuerdo con el tipo de valores aleatorios que

representan.

Por ejemplo, si habláramos del número de clientes que solicitan cierto servicio en un periodo de tiempo determinado, podríamos encontrar valores tales como , es decir, un comportamiento como el que presentan las distribuciones de probabilidad discretas.

Por otro lado, si habláramos del tiempo que tarda en ser atendida una persona, nuestra investigación tal vez arrojaría resultados como 1.54 minutos, 0.028 horas o 1.37 días, es decir, un comportamiento similar al de las distribuciones de probabilidad continuas. Considerando lo anterior podemos diferenciar entre variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

Tipos de variables aleatorias Variables aleatorias discretas. Este tipo de variables deben cumplir con

estos parámetros:

Tipos de variables aleatorias Algunas distribuciones discretas de probabilidad son la uniforme discreta, la de

Bernoulli, la hipergeométrica, la de Poisson y la binomial (vea la figura 1).

Podemos asociar a estas u otras distribuciones de probabilidad el comportamiento de una variable aleatoria.

Por ejemplo, si nuestro propósito al analizar un muestreo de calidad consiste en decidir si la pieza bajo inspección es buena o no, estamos realizando un experimento con dos posibles resultados: la pieza es buena o la pieza es mala.

Tipos de variables aleatorias

Tipos de variables aleatorias Este tipo de comportamiento está asociado a una distribución de Bernoulli.

Por otro lado, si lo que queremos es modelar el número de usuarios que llamarán a un teléfono de atención a clientes, el tipo de comportamiento puede llegar a parecerse a una distribución de Poisson.

Incluso podría ocurrir que el comportamiento de la variable no se pareciera a otras distribuciones de probabilidad conocidas.

Tipos de variables aleatorias Si éste fuera el caso, es perfectamente válido usar una distribución

empírica que se ajuste a las condiciones reales de probabilidad.

Esta distribución puede ser una ecuación o una suma de términos que cumplan con las condiciones necesarias para ser consideradas una distribución de probabilidad.

Tipos de variables aleatorias Variables aleatorias continuas. Este tipo de variables se representan

mediante una ecuación que se conoce como función de densidad de probabilidad. Dada esta condición, cambiamos el uso de la sumatoria por la de una integral para conocer la función acumulada de la variable aleatoria.

Tipos de variables aleatorias Por lo tanto, las variables aleatorias continuas deben cumplir los siguientes

parámetros:

Tipos de variables aleatorias Entre las distribuciones de probabilidad tenemos la uniforme continua, la

exponencial, la normal, la de Weibull, la Chi-cuadrada y la de Erlang (vea la figura 2). Al igual que en el caso de las distribuciones discretas, algunos procesos pueden ser asociados a ciertas distribuciones.

Tipos de variables aleatorias

Tipos de variables aleatorias Entre las distribuciones de probabilidad tenemos la uniforme continua, la

exponencial, la normal, la de Weibull, la Chi-cuadrada y la de Erlang (vea la figura 2). Al igual que en el caso de las distribuciones discretas, algunos procesos pueden ser asociados a ciertas distribuciones.

Tipos de variables aleatorias Por ejemplo, es posible que el tiempo de llegada de cada cliente a un

sistema tenga una distribución de probabilidad muy semejante a una exponencial, o que el tiempo que le toma a un operario realizar una serie de tareas se comporte de manera muy similar a la dispersión que presenta una distribución normal.

Tipos de variables aleatorias Sin embargo, debemos hacer notar que este tipo de distribuciones tienen sus

desventajas, dado que el rango de valores posibles implica que existe la posibilidad de tener tiempos infinitos de llegada de clientes o tiempos de ensamble infinitos, situaciones lejanas a la realidad.

Por fortuna, es muy poco probable de se presenten este tipo de eventos, aunque el analista de la simulación debe estar consciente de cómo pueden impactar valores como los descritos en los resultados del modelo. Posteriormente revisaremos algunas herramientas útiles para lograr ese objetivo.

Determinación del tipo de distribución de un conjunto de datos La distribución de probabilidad de los datos históricos puede determinarse

mediante las pruebas Chi-cuadrada, de Kolmogorov-Smirnov y de Anderson-Darling. Revisaremos los procedimientos de cada una de estas pruebas, así como la forma de realizarlas a través de Stat: :Fit, una herramienta complementaria de ProModel.

Prueba Chi-cuadrada

Se trata de una prueba de hipótesis a partir de datos, basada en el cálculo de un valor llamado estadístico de prueba, al cual suele comparársele con un valor conocido como valor crítico, mismo que se obtiene, generalmente, de tablas estadísticas.

Prueba Chi-cuadrada

El procedimiento general de la prueba es: Obtener al menos 30 datos de la variable aleatoria a analizar. Calcular la media y varianza de los datos. Crear un histograma de intervalos, y obtener la frecuencia observada en cada

intervalo Establecer explícitamente la hipótesis nula, proponiendo una distribución de

probabilidad que se ajuste a la forma del histograma. Calcular la frecuencia esperada, , a partir de la función de probabilidad propuesta.

Prueba Chi-cuadrada

El procedimiento general de la prueba es: Calcular el estadístico de prueba:

Definir el nivel de significancia de la prueba, , y determinar el valor crítico de la prueba, ( es el número de parámetros estimados en la distribución propuesta).

Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es menor que el valor crítico no se puede rechazar la hipótesis nula.

Ejemplo 1

Éstos son los datos del número de automóviles que entran a una gasolinera cada hora:

Ejemplo 1

Determinar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia de 5 % (0.05).

El histograma (vea la figura 3) de los n = 50 datos, considerando m = 11 intervalos, la media muestral de 15.04 y la varianza muestral de 13.14, permiten establecer la siguiente hipótesis:

: Poisson (A = 15) automóviles/hora Hy Otra distribución

: Otra distribución

Ejemplo 1

Ejemplo 1

Comenzamos por calcular la probabilidad de cada intervalo a partir de la función de

probabilidad de Poisson:

Por ejemplo, para el intervalo 8-9

Ejemplo 1

Comenzamos por calcular la probabilidad de cada intervalo a partir de la función de

probabilidad de Poisson:

Por ejemplo, para el intervalo 8-9

Ejemplo 1

Enseguida calculamos la frecuencia esperada en cada intervalo, multiplicando la probabilidad por el total de datos de la muestra:

Y luego estimamos el estadístico de la prueba:

Ejemplo 1

A partir de los cálculos anteriores se obtiene la tabla 1.

Intervalo Error0-7 1 0.0180 0.9001 0.01118-9 2 0.0519 2.5926 0.1354

10-11 4 0.1149 5.7449 0.530012-13 10 0.1785 8.2933 0.129914-15 11 0.2049 10.2436 0.055916-17 10 0.1808 9.0385 0.102318-19 6 0.1264 6.3180 0.016020-21 4 0.0717 3.5837 0.048322-23 1 0.0336 1.6821 0.276624-25 1 0.0133 0.6640 0.1700

26- 0 0.0062 0.3092 0.3092Total 50 1 50 1.78481

Ejemplo 1

El valor del estadístico de prueba,, comparado con el valor de tablas crítico,, indica que no podemos rechazar la hipótesis de que la variable aleatoria se comporta de acuerdo con una distribución de Poisson, con una media de 15 automóviles/hora.

Ejemplo 1

Ejemplo 1

Checar la practica 1 anexo de la Teoría