DR. JORGE ACUA

GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS Y VARIABLES ALEATORIAS

La simulacin de eventos se basa en la ocurrencia aleatoria de los mismos, por ello los nmeros aleatorios y las variables aleatorias son de especial importancia en la aplicacin de esta herramienta

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VARIABLES ALEATORIAS

PIDE UN NUMERO ALEATORIO

PROCESO

TIEMPO

GENERADOR

DE

VARIABLES

ALEATORIAS

GENERADOR

DE NUMEROS

ALEATORIOS

PIDE TIEMPO DA DISTRIBUCION Y PARAMETROS

ENTREGA TIEMPO GENERADO

ENTREGA NUMERO GENERADO

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VARIABLES ALEATORIAS

PROCESO

TIEMPO=?

GENERADOR

DE

VARIABLES

ALEATORIAS

GENERADOR

DE

NUMEROS

ALEATORIOS

NORMAL CON MEDIA=4.3 Y DESVIACION=0.4 PIDE UN

NUMERO ALEATORIO

TIEMPO=4.324

ENTREGA 0.34555

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GENERADOR DE NUMEROS

ALEATORIOS

Los nmeros aleatorios son los que dan un comportamiento real al modelo.

Es un proceso matemtico-estadstico Existen varios algoritmos: Mtodo del cuadrado medio Mtodo congruencial lineal Mtodo congruencial multiplicativo

Todos los mtodos se basan en una semilla En la generacin se debe poner especial cuidado al

perodo, que es el nmero de nmeros que se pueden generar hasta que se repita la serie.

El nmero aleatorio es un valor entre 0 y 1 y se distribuyen uniformemente.

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METODO DEL CUADRADO

MEDIO

Es uno de los primeros mtodos. Consiste en:

1. Escoger una semilla arbitraria

2. Elevar la semilla al cuadrado

3. Escoger los dgitos medios del cuadrado como nmero aleatorio

4. Elevar esos dgitos al cuadrado

5. Repetir 3 y 4 hasta generar los nmeros deseados sin que se repita la cadena o serie.

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METODO DEL CUADRADO

MEDIO EJEMPLO: Generar 4 nmeros aleatorios con la semilla

5497. Ri : nmero aleatorio generado

1. Semilla= X0= 5497

2. X02

= 54972 = 30217009

3. X1 = 2170 R1 = 0.217

4. X12 = 21702 = 04708900

3. X2 = 7089 R2 = 0.7089

4. X22 = 70892 = 50253921

3. X3 = 2539 R3 = 0.2539

4. X32 = 25392 = 06446521

3. X4 = 4465 R4 = 0.4465

Estos son los

cuatro nmeros

aleatorios

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En Simulacin se debe siempre muestrear de una distribucin de probabilidad que representa la ocurrencia de los eventos.

Estas distribuciones pueden ser tericas o empricas y ambas pueden ser continuas o discretas.

Las distribuciones empricas estn representadas por distribuciones de frecuencias.

En el caso de distribuciones tericas existen varios mtodos para generar las variables.

GENERACION DE

VARIABLES ALEATORIAS

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Tcnicas para generar variables aleatorias provenientes de una distribucin terica: Transformada inversa (usada para generar variables

aleatorias distribuidas segn Exponencial, Weibull y Triangular)

Funcin acumulada (usada para generar variables aleatorias de distribuciones empricas)

Transformacin directa (usada para generar variables normalmente distribuidas)

Mtodo de convolucin (usado para generar variables aleatorias distribuidas segn ERLANG, POISSON y GAMMA)

GENERACION DE

VARIABLES ALEATORIAS

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PROCEDIMIENTO

1. Encontrar la funcin acumulada de la distribucin respectiva.

2. Igualar esa funcin a R (nmero aleatorio uniformemente distribuido) sea F(x)=R

3. Resolver la anterior ecuacin para x.

4. Establecer la funcin generadora

EJEMPLO

Encontrar la funcin generadora de la exponencial.

1. F(x) = 1 - e - x 2. 1 - e - x = R

3. x = (-1/ ) ln(1-R) 4. xi = (-1/ ) ln(1-Ri)

METODO DE LA

TRANSFORMADA INVERSA

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EJEMPLO DE GENERADOR DE VARIABLES EXPONENCIALES

PROCESO

TIEMPO=?

xi = (-1/ )*

ln(1-Ri)

GENERADOR

DE NUMEROS

ALEATORIOS

EXPONENCIAL MEDIA=4.5 MINS

PIDE UN NUMERO ALEATORIO

TIEMPO=1.91 MINS

ENTREGA 0.34555

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OTRAS FUNCIONES GENERADORAS

Distribucin uniforme xi = a +( b - a ) * Ri

Distribucin Weibull xi = * [ -ln (1 - Ri )]

1/

Distribucin triangular R1 = ALEATORIO 1

R2 = ALEATORIO 2

SI (R1 < (B - A) / (C - A)) ENTONCES

Triangular = A + (B - A) * R2 SINO

Triangular = C - (C - B) * R2

METODO DE LA

TRANSFORMADA INVERSA

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DISTRIBUCION NORMAL PROCEDIMIENTO A.

PROCEDIMIENTO B.

1. Generar R1 y R2 Vi=2Ri-1 para i=1,2

W=V12+V2

2

2. Si W>1 volver al Paso 1. Sino:

Z1=V1*y Z2=V2*y

X1=Z1* +

X2=Z2* +

*612

1i

iRX

w

wy

)ln(2

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EJEMPLO DE PROCEDIMIENTO

A. Generar dos variables aleatorias para un tiempo de

proceso cuya media es 5 y su desviacin estndar es 0.3.

X1=S1* + = 0.2*0.3+5= 5.24

X2=S2* + = -0.6*0.3+5= 4.82

6.064.56

2.062.66

12

1

2

12

1

1

i

i

i

i

RS

RS

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EJEMPLO DE

PROCEDIMIENTO B. Generar dos variables aleatorias para un tiempo de proceso cuya

media es 5 y su desviacin estndar es 0.3. 1. R1=0.6 y R2 =0.3 V1=2(0.6) -1= 0.2 V2=2(0.3) -1=- 0.4 W=0.22+(-0.4)2=0.2

2. W

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EJEMPLO 2 DE

PROCEDIMIENTO B. Generar 30 valores para un tiempo de proceso que se distribuye

normalmente con media es 2.35 minutos y desviacin estndar es 0.23 minutos.

# R1 R2 V1 V2 W y Z1 Z2 X1 X2

1 0.760177467 0.04974372 0.52035493 -0.90051257 1.08169214 (No sirve pues W>1)

2 0.50190155 0.54633272 0.0038031 0.09266543 0.00860135 33.2541048 0.12646867 3.08150595 2.38 3.06

3 0.107204119 0.32589551 -0.78559176 -0.34820899 0.73840392 0.9063139 -0.71199273 -0.31558665 2.19 2.28

4 0.744025954 0.20457119 0.48805191 -0.59085763 0.5873074 1.34624008 0.65703504 -0.79543622 2.50 2.17

5 0.888466886 0.30798921 0.77693377 -0.38402158 0.75109866 0.87300188 0.67826464 -0.33525156 2.51 2.27

6 0.600042775 0.51130059 0.20008555 0.02260119 0.04054504 12.5742851 2.51593273 0.28419381 2.93 2.42

7 0.123304795 0.68341085 -0.75339041 0.3668217 0.70215527 1.00358691 -0.75609275 0.36813746 2.18 2.43

8 0.656965005 0.07457283 0.31393001 -0.85085435 0.82250517 0.68930038 0.21639208 -0.58649423 2.40 2.22

9 0.551837621 0.00516526 0.10367524 -0.98966949 0.99019425 0.14107958 0.01462646 -0.13962216 2.35 2.32

10 0.958738503 0.5849138 0.91747701 0.16982761 0.87060547 0.56420017 0.51764068 0.09581677 2.47 2.37

11 0.666282809 0.21796188 0.33256562 -0.56407625 0.4287819 1.98741681 0.6609465 -1.12105462 2.50 2.09

12 0.819078493 0.20853019 0.63815699 -0.58293962 0.74706294 0.88355688 0.563848 -0.51506031 2.48 2.23

13 0.293377603 0.30383294 -0.41324479 -0.39233413 0.32469733 2.63223846 -1.08775884 -1.03271698 2.10 2.11

14 0.088355424 0.32108534 -0.82328915 -0.35782931 0.80584684 0.73194157 -0.60259955 -0.26191015 2.21 2.29

15 0.097035419 0.77361042 -0.80592916 0.54722084 0.94897247 0.33224026 -0.26776211 0.1818088 2.29 2.39

16 0.109395645 0.40379788 -0.78120871 -0.19240423 0.64730644 1.15923757 -0.90560649 -0.22304222 2.14 2.30

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En este caso se trabaja con la frecuencia relativa acumulada y el punto medio que representa a la variable aleatoria.

EJEMPLO: Para una distribucin de probabilidad variable continua

Li Ls Xk nk fk Fk

5.05 14.95 10.0 4 0.1250 0.1250

14.95 24.85 19.9 6 0.1875 0.3125

24.85 34.75 29.8 12 0.3750 0.6875

34.75 44.65 39.7 8 0.2500 0.9375

44.65 54.55 49.6 2 0.0625 1

DISTRIBUCIONES EMPIRICAS

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Xk Fk R(# aleatorio)

10.0 0.1250 0.0000 0.1250

19.9 0.3125 0.1251 0.3125

29.8 0.6875 0.3126 0.6875

39.7 0.9375 0.6876 0.9375

49.6 1 0.9376 0.9999

As, si por ejemplo, si se tiene un nmero aleatorio generado que da el valor de 0.5078, entonces el valor de la variable aleatoria es el correspondiente a Xk o sea 29.8.

DISTRIBUCIONES

EMPIRICAS

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EJEMPLO DE GENERACION DE

VARIABLES ALEATORIAS

A: Determine un intervalo de confianza del

95% para el tiempo de proceso de 40

partes cuya funcin densidad de

probabilidad es:

B. Muestre los efectos en la media, desviacin

e intervalo que tiene el incremento en el

tamao de la muestra.

0)4(

32)(

3xpara

xxf

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FUNCION ACUMULADA

F(x)

SOLUCION:

A.

016

168

)4(

16

)4(

16

2

3232)(

4

)4(

32)()(

0)4(

32)(

2

2

2

0

2

3

0

3

0

3

Rxx

Rx

xuduuxF

dxdu

xu

dxx

dxxfxF

xparax

xf

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GENERACION

DE LA

VARIABLE

ALEATORIA x

x2+8x+(16-16/R)

# Aleatorio (16-16/R) x1 x2 x

1 0,51 -15,11 1,58 -9,58 1,58

2 0,86 -2,54 0,31 -8,31 0,31

3 0,96 -0,73 0,09 -8,09 0,09

4 0,88 -2,09 0,25 -8,25 0,25

5 0,38 -25,96 2,48 -10,48 2,48

6 0,33 -32,55 2,97 -10,97 2,97

7 0,46 -18,58 1,88 -9,88 1,88

8 0,75 -5,25 0,61 -8,61 0,61

9 0,23 -52,36 4,27 -12,27 4,27

10 0,81 -3,66 0,43 -8,43 0,43

11 0,88 -2,12 0,26 -8,26 0,26

12 0,28 -41,49 3,58 -11,58 3,58

13 0,32 -34,39 3,10 -11,10 3,10

14 0,75 -5,47 0,63 -8,63 0,63

15 0,76 -5,05 0,59 -8,59 0,59

17 0,43 -21,29 2,11 -10,11 2,11

18 0,43 -21,33 2,11 -10,11 2,11

19 0,55 -13,09 1,39 -9,39 1,39

20 0,18 -72,89 5,43 -13,43 5,43

21 0,81 -3,81 0,45 -8,45 0,45

22 0,17 -77,77 5,68 -13,68 5,68

23 0,96 -0,67 0,08 -8,08 0,08

24 0,35 -30,23 2,80 -10,80 2,80

25 0,34 -31,42 2,89 -10,89 2,89

26 0,87 -2,39 0,29 -8,29 0,29

27 0,99 -0,16 0,02 -8,02 0,02

28 0,25 -48,55 4,03 -12,03 4,03

29 0,52 -14,57 1,53 -9,53 1,53

30 0,92 -1,30 0,16 -8,16 0,16

31 0,65 -8,73 0,97 -8,97 0,97

32 0,76 -4,99 0,58 -8,58 0,58

33 0,31 -35,61 3,18 -11,18 3,18

34 0,62 -9,63 1,06 -9,06 1,06

35 0,94 -1,02 0,13 -8,13 0,13

36 0,77 -4,87 0,57 -8,57 0,57

37 0,89 -1,98 0,24 -8,24 0,24

38 0,55 -13,24 1,41 -9,41 1,41

39 0,38 -26,42 2,51 -10,51 2,51

40 0,39 -25,54 2,44 -10,44 2,44

PROMEDIO 1,67

DESVIACION 1,534

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RESPUESTA A LA PARTE

A.

El intervalo de confianza del 95% para el tiempo

de proceso de 40 partes es:

95.0}058.2282.1{

058.240

534.1*96,167.1

'

282.140

534.1*96,167.1

'

95.0}{

025.0

025.0

P

nzxLs

nzxLi

LsLiP

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RESPUESTA A LA PARTE

B. n t Z xbarra sigma LIC LSC

10 2,262 1,49 1,41 0,43 2,55

30 2,045 1,79 1,67 1,16 2,43

50 1,96 1,71 1,44 1,31 2,11

100 1,96 1,90 1,89 1,53 2,27

200 1,96 2,01 2,07 1,72 2,30

300 1,96 2,11 2,34 1,84 2,37

400 1,96 2,06 2,29 1,83 2,28

500 1,96 2,09 2,30 1,88 2,29

600 1,96 2,07 2,27 1,89 2,26

700 1,96 2,01 2,19 1,84 2,17

800 1,96 1,95 2,14 1,80 2,10

900 1,96 1,93 2,11 1,79 2,06

1000 1,96 1,92 2,08 1,79 2,05

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GRAFICOS DE

ESTABILIDAD

DE LOS PROMEDIOS GRAFICO DE PROMEDIOS

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2,10

2,20

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

TAMAO DE MUESTRA

PR

OM

ED

IO

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GRAFICOS DE

ESTABILIDAD

DE LAS DESVIACIONES ESTANDAR GRAFICO DE DESVIACIONES ESTANDAR

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

2,40

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

TAMAO DE MUESTRA

DE

SV

IAC

ION

ES

TA

ND

AR

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GRAFICOS DE

ESTABILIDAD

DE LOS INTERVALOS DE CONFIANZA GRAFICO DE INTERVALOS DE CONFIANZA

0,300,550,801,051,301,551,802,052,302,55

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

TAMAO DE LA MUESTRA

LIM

ITE

S D

E C

ON

FIA

NZ

A