BIOESTADSTICAVariables aleatoriasFacultad de Ingeniera Ambiental - UNIMSc. Beatriz Castaeda S.

Mg. Beatriz Castaeda S.

BioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*Variable aleatoriaUna variable aleatoria asigna a cada resultado del experimento un nmero segn una caracterstica numrica de los eventos. EjemploSea el experimento de lanzar 3 monedas, entonces el espacio muestral de este experimento es: ={ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss X: Nmero de caras observadas al lanzar 3 monedasX(ccc) = 3X(ccs) = 2X(csc) = 2X(css) = 1X(scc) = 2X(scs) = 1X(ssc) = 1X(sss) = 0RX = 0, 1, 2, 3 x: 0, 1, 2, 3

Mg. Beatriz Castaeda S.

BioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*Variable aleatoriaRX = 0, 1, 2, 3 x: 0, 1, 2, 3 Cada valor x real define un evento en el espacio muestral, es decir, [X = x]

[X = 1] css, scs, ssc[X = 5] [X = 0] sss [X = 2] ccs, csc, scc[X = 3] ccc[X = -1] ssscss scs sscccs csc scccccX=0X=1X=2X=3

Mg. Beatriz Castaeda S.

BioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*Variable aleatoria discretaX es discreta si su recorrido ( Rx ) es un conjunto numerable de puntos. Funcin de cuanta o Funcin de probabilidad puntual Si f es funcin de cuanta debe cumplir con

xf(x)01/813/823/831/8Suma1

Mg. Beatriz Castaeda S.

BioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*Variable aleatoria discretaFuncin de cuanta o Funcin de probabilidad puntual X: Nmero de caras observadas al lanzar 3 monedas

xf(x)01/813/823/831/8Suma1

Mg. Beatriz Castaeda S.

BioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*Variable aleatoria ContinuaX es continua si puede tomar un nmero infinito y continuo de valores dentro de un intervalo real.Funcin de densidad de probabilidadSi f es funcin de densidad debe cumplir conPara asignar probabilidades a las v.a. continuas se parte del estudio emprico de grandes muestras y de aproximar la curva del polgono de frecuencias con una funcin matem-tica a la que denominamos funcin de densidad de probabilidad.

Mg. Beatriz Castaeda S.

Grfico1

00

55

66

1010

55

22

11

00

N de mujeres

N de mujeres

Edad (aos)

N de mujeres

Edad de mujeres trabajadoras en elSector Textil

Hoja1

Edad y porcentaje de sobresaturacin de colesterol en bilis

VaronesMujeres

OrdenSujetoEdad% de SobresaturacinOrdenSujetoEdad% de SobresaturacinEdad (aos)N de mujeresPorcentajeN acumuladoEdad (aos)N de mujeresN de mujeresPorcentaje

1142080172398Contar de SujetoContar de Sujeto20 - 29517%510 - 19000%

2123402122335EdadTotalEdadTotal30 - 39621%1120 - 295517%

3152365325234620-291020-29540 - 491034%2130 - 396621%

442586420256930-39430-39650 - 59517%2640 - 49101034%

510265256275840-49540-491060 - 6927%2850 - 595517%

6172787610306650-59450-59570 - 7913%2960 - 69227%

723278072338660-69860-692Total29100%70 - 79113%

82827738133555Total general3170-79180 - 89000%

99291129163691Total general29Total2929100%

10272988102837120Edad (aos)N acumulado

112318611113852200

121331881214065295

1324324713941803911

142636581419418215.54921

153042671522421160.48387096775926

166436616444890.51612903236928

17164379172744840.03225806457929

1884890181547770.0161290323Total

19224878192648107

2020531062034976

21125513721234973

22358111221450127

23195911023185375

2431605724856146

2525627425215784

26563106262957123

2718635627246087

2811648828563142

292965118291774128

302166110

31767123

Etapa de la enfermedadNmero de pacientesPorcentaje

133%

22824%

36355%

42118%

Total115100%

BacteriemiaN de pacientes%

Si420%

No1680%

Total20100%

Hoja1

&A

Page &P

N de mujeres

N de mujeres

Edad (aos)

N de mujeres

Edad de mujeres trabajadoras en elSector Textil

Hoja2

Nmero de pacientes

Etapa de la enfermedad

Nmero de pacientes

Etapa de la enfermedad de pacientes con cncer colorrectal

Hoja3

0

0

N de pacientes

Frecuencia de bacteriemia en pacientes hipotticos con cultivos de catter

Hoja4

N acumulado

Edad (aos)

Nmero de mujeres

Distribucin acumulada de las mujeres segn edad

OrdenSujetoEdad% de SobresaturacinOrdenSujetoEdad% de Sobresaturacin

1723981644489

212233517274484P%

3252346181547771/320

42025691926481072/360

5627582034976120

610306621234973

723386221450127

813355523185375

916369124856146

10283712025215784

11113852262957123

121406527246087

139418028563142

14194182291774128

152242116

%

Proporcin de la muestra

Porcentaje de muestras

Distribucin de la proporcin muestral

SujetoSexoEdad% de Sobresaturacin

1Masculino2340Contar de Sujeto

2Masculino3186SexoTotal

3Masculino58111Femenino29

4Masculino2586Masculino31SexoN de sujetos%

5Masculino63106Total general60Femenino2948%

6Masculino4366Masculino3152%

7Masculino67123Total general60100%

8Masculino4890

9Masculino29112Contar de SujetoSexoSujetos distribuidos segn edad por sexo

10Masculino2652EdadFemeninoMasculinoTotal general

11Masculino648820-2951015Edad (aos)MujeresVaronesTotal

12Masculino5513730-39641020-2951015

13Masculino318840-491051530-396410

14Masculino208050-5954940-4910515

15Masculino236560-69281050-59549

16Masculino437970-791160-692810

17Masculino2787Total general29316070-7911

18Masculino6356Total general293160

19Masculino59110

20Masculino53106

21Masculino66110Contar de SujetoSexo

22Masculino4878% de SobresaturacinFemeninoMasculinoTotal generalEdad (aos)MujeresVaronesTotal

23Masculino278035-5433610-1900

24Masculino324755-74681420-2951015

25Masculino627475-9411112230-396410

26Masculino365895-11426840-4910515

27Masculino2988115-13452750-59549

28Masculino2773135-15421360-692810

29Masculino65118Total general29316070-79101

30Masculino426780-8900

31Masculino6057Total general293160

32Femenino4065

33Femenino3386

34Femenino4976

35Femenino4489% de SaturacinMujeresVaronesTotal

36Femenino6314235-54336

37Femenino275855-746814

38Femenino239875-94111122

39Femenino5614695-114268

40Femenino4180115-134527

41Femenino3066135-154213

42Femenino3852Total general293160

43Femenino2335

44Femenino3555

45Femenino50127

46Femenino4777

47Femenino3691

48Femenino74128

49Femenino5375

50Femenino4182

51Femenino2569

52Femenino5784

53Femenino42116

54Femenino4973

55Femenino6087

56Femenino2346

57Femenino48107

58Femenino4484

59Femenino37120

60Femenino57123

0

0

N de sujetos

Sujetos sometidos a evaluacin de sobresaturacin de bilisagrupados segn sexo

0

0

0

0

0

0

&A

Page &P

Mujeres

Edad (aos)

Nmero de mujeres

Edad de mujeres sometidas a evaluacin de saturacin de bilis

00

00

00

00

00

00

00

00

Mujeres

Varones

Edad (aos)

N de personas

Distribucin segn edad por sexo

BioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*Variable aleatoria continuaEjemplo Sea X la v.a. que mide la vida en horas de cierto tipo de lmpara de radio que tiene funcin de densidad P(X 150) =

Mg. Beatriz Castaeda S.

BioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*Funcin de Probabilidad Acumulada o Funcin de DistribucinF(x ) = P(X x), x R

Mg. Beatriz Castaeda S.

BioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*Funcin de Probabilidad AcumuladaF(x ) = P(X x), x R1

Mg. Beatriz Castaeda S.

BioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*X: Nmero de caras observadas al lanzar 3 monedasFuncin de Probabilidad Acumulada1/21

xF(x)01/814/827/831

Mg. Beatriz Castaeda S.

Propiedades de Funcin de Probabilidad Acumulada0 F(x) 1Si X es v.a. discreta F(x) es discontinua, no decreciente y tiene forma escalonada.Si X es v.a. continua F(x) es absolutamente continua, no decreciente y tal que Si X es v.a. continua P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) = F(b) F(a) Si X es v.a. discreta P(a X b) = P(a < X b) + P(X = a) = F(b) F(a) + f(a) P(X > x0) = 1 P(X x0) = 1 F(x0)BioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*

Mg. Beatriz Castaeda S.

BioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*Media, Varianza y Desviacin estndar MediaVarianzaVariable discretaVariable continua

Mg. Beatriz Castaeda S.

BioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*Media, Varianza y Desviacin estndar X: Nmero de caras observadas al lanzar 3 monedas

xf(x)xf(x)xf(x)01/80013/83/83/823/86/812/831/83/89/8Suma11,53

Mg. Beatriz Castaeda S.

BioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*Sea X la v.a. que mide la vida en horas de cierto tipo de lmpara de radio que tiene funcin de densidad Media, Varianza y Desviacin estndar El promedio no est definido o no existe

Mg. Beatriz Castaeda S.

Valor Esperado de una funcin de variable aleatoriaBioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*Y=G(X) Si X es variable aleatoria discretaSi X es variable aleatoria continua

Mg. Beatriz Castaeda S.

Propiedades de Valores esperadosBioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*Si X es v.a. con E(x) = V(X) = 2 , luegosi G(x) = c, c constante real, entonces E[G(x)] = c; V[G(x)] = 0

b) Si G(x) = a + bx, entonces E[G(x)] = a+b E(x); V[G(x)] = b2 V(x)

Mg. Beatriz Castaeda S.

Propiedades de Valores esperadosBioestadsticaMg. Beatriz Castaeda S.*Si X e Y son v.a., entoncesE(a X + b Y) = a E(X) + b E(Y)V(a X + b Y) = a2 V(X) + b2 V(Y) +2ab Cov(X,Y)Si X e Y son independientes Cov(X,Y) = 0, entonces V(a X + b Y) = a2 V(X) + b2 V(Y)

Mg. Beatriz Castaeda S.

************