7/25/2019 Variable Aleatoria Consulta

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Variable aleatoria

Se llama variable aleatoria a toda funcin que asocia a cada elementodel espacio muestral E un nmero real.

Se utilizan letras maysculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y lasrespectivas minsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de lasmismas.

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta es aquella que slo puede tomarvalores enteros.

Ejemplos:

El nmero de i!os de una "amilia, la puntuaci#n obtenida al lanzar un dado.

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continuaes a$uella $uepuede tomar todos losvalores posibles dentro de un cierto intervalode la recta real.

Ejemplos:

%a altura de los alumnos de una clase, las oras de duraci#n de una pila.

VARIABLE ALEA!RIA

"uncin de densidad

Segn la de&nici#n, una v.a. continua puede tomar un nmero in&nito no numerable

de puntos, la probabilidad $ue emos de asignarle a cada valor de la variable estar'

en ,*+ con la condici#n de $ue la suma de todas las probabilidades es *, como ay

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un nmero in&nito no numerable de valores con masa, sta es desplecible por lo

$ue se dice $ue no tienen masa

-X x+ .

/e&nimos una "unci#n $ue veri&ca0

1 esta "unci#n asociada a una v.a. continua se le llama "unci#n de densidad.

E!emplos0

*. Una calculadora genera nmeros al azar en el intervalo ,*+, con igualprobabilidad para cada nmero del intervalo. Una variable as2 de&nida es continua,y adem's se reparte uni"ormemente la probabilidad en el intervalo ,*+. %a "unci#nde densidad es 0

Esta "unci#n as2 de&nida cumple las dos condiciones0

3. /ada la "unci#n

determ2nese el valor de 4 para $ue " sea una "unci#n de densidad

1tendiendo a la de&nici#n de la "unci#n de densidad, para $ue "sea "unci#n de

densidad 5 6 4 * , sin m's $ue despe!ar en la ecuaci#n se deduce $ue 4 73

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8unci#n de densidad de probabilidad

En la teor2a de la probabilidad, la funcin de densidad deprobabilidad, funcin de densidad, o,simplemente,densidadde una variable

aleatoriacontinuadescribe la probabilidad relativa segn lacual dica variable aleatoriatomar' determinado valor.%a probabilidad de $ue la variable aleatoriacaigaen una regi#n espec2&ca delespacio de posibilidades estar' dada por la integralde la densidad de esta variableentre uno y otro l2mite de dica regi#n.%a "unci#n de densidad de probabilidad (FDPo -/8 en ingls) es no7negativa a lolargo de todo su dominio y suintegralsobre todo el espacio es de valor unitario.

/e&nici#n

Una "unci#n de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probablede una poblaci#n en tanto especi&ca la posibilidad relativa de $ue una variable

aleatoriacontinua Xtome un valor cercano a x.Una variable aleatoria#tiene densidad f, siendo funa "unci#n no7negativa integrable de %ebesgue, si0

-or lo tanto, si Fes la "unci#n de distribuci#n acumulativade X, entonces0

y (si fes continua en x)

9ntuitivamente, puede considerarse f(x) dxcomo la probabilidadde Xde caeren el intervaloin&nitesimalx, x6 dx+.

:elaciones entre la "unci#n de distribuci#n y la "unci#n de densidad discreta.-robabilidad de intervalos.

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P(a= X= b) F(b) ? F(a) 6 f(a)

P(a= X> b) F(b) ? f(b) ? F(a) 6 f(a)

%a esperan&a matem'tica o valor esperado de una

variable aleatoria discreta es la suma del producto de la

probabilidad de cada suceso por el valor de dico suceso.

%os nombre de esperan&a matem'tica y valor

esperado tienen su origen en los !uegos de azar y acen

re"erencia a la ganancia promedio esperada por un !ugadorcuando ace un gran nmero de apuestas.

Si la esperan&a matem'ticaes cero , E(x) ,

el jue(o es equitativo , es decir, no existe venta!a ni para el

!ugador ni para la banca.

Ejemplos

Si una persona compra una papeleta en una ri"a, en la $ue

puede ganar de C. D # un segundo premio de 3 D con

probabilidades de0 .* y .5. Fu'l ser 2a el precio !usto a

pagar por la papeletaG

E(x) C H .* 6 3 H .5 )) *

Un !ugador lanza dos monedas. Iana * # 3 D si aparecenuna o dos caras. -or otra parte pierde C D si no aparece cara.

/eterminar la esperan&a matem'ticadel !uego y si ste es

"avorable.

E ;(c,c)J(c,x)J(x,c)J(x,x) L.C)

p (X B 5)

p (5 = X > L.C)

/Sabiendo $ue p(X = 3) .M y p(X B 3) .MC. Nallar laesperanza matem'tica, la varianza y la desviaci#n t2pica

-Un !ugador lanza dos monedas. Iana * # 3 D si aparecenuna o dos caras. -or otra parte pierde C D si no aparece cara./eterminar la esperanza matem'tica del !uego y si ste e s"avorable

3Se lanza un par de dados. Se de&ne la variable aleatoria Xcomo la suma de las puntuaciones obteni das. Nallar la"unci#n de probabilidad, la esperanza matem'tica y lavarianza

4Un !ugador lanza un dado corriente. Si sale nme ro primo,gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si nosale nmero primo, pierde tantos cientos de euros comomarca el dado. /eterminar la "unci#n de probabilidad y laesperanza matem'tica del !uego

5Si una persona compra una papeleta en una ri"a, en la $uepuede ganar de C. D # un segundo premio de 3 D conprobabilidades de0 .* y .5. Fu'l ser2a el precio !ustoa pagar por la papeletaG