••

e una ,"v••r ••,,"" :;lInl"nr::l

tlDel'aCI(meS indicadas.

:/enro/O; Para hallar el valor numérico de la expresión 7xm 2 para x = 5 Y m = 3 se sustituyen las letras por los números y se opera: 7 • 5 • 32 = 315.

I El valor numérico es 315 I

• Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para b = 3:

a) 9b =

b) 5b + 8 =

b4c) - 50 =

d) 3(b2 + 42b - 8) =

• Calcula el valor numérico de la expresión 5~ + 3x - 9:

>a) Para x = -2: 5' (-2)2 + 3 • (-2) - 9 =

b) Para x= -1:

c) Para x = O:

d) Para x = 3:

• Calcula los val~res numéricos de las expresiones algebraicas para los valores de my n que se indica~:

(m + n)2

• Calcula los valores numéricos de las expresiones algebraicas para los valores de b y e que se indican:

(b ­ e)2

(b + el (b ­ el

PARA AVANZAR

Cómo se resuelve una ecuación

.0 Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los términos que tienen x y en el segundo miembro los que no la tienen.

o Se aplica la regla del producto para aislar o Mdespejar- el valor de la incógnita.

o Se opera y se obtiene la solución.

• Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2x + 14 = x + 22

b) 5x + 6 = 4x - 2

e) -7 = 10 - x - 5

4x - 5 = 2x + 11

4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 => 4x = 2x + 16

4x - 2x = 2x + 16 - 2x => 2x = 16

2x 16 -=­2 2

d) 1-2x-9=5-3x-6

e) 8x - 6 = 4 + 9x - 2x

f) 12x + 3.-5x - 9 = 1 + 6x

~~---------------------

.. Resuelve las siguientes ecuaciones:

. a) 5x - 2 =2x + 7

b) 4x + 5 - 1 = 2x

e) 9 + 3x = 13 + 4x

d) 7x + 4 =3x + 9 - 1

e) 2 + 3x - x = 5x + 5

. -:.

f) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3

g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5

h) 11 - 3x + 9 = 6x - 10 - 4x

i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x

j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11

-'f:¡.~__ _______--___

"'1

Cómo se resuelven ecuaciones con paréntesis

.0 Se quitan los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

o Se resuelve la ecuación resultante:

3· x + 3 • 2 = 21 :::::::> 3x + 6 = 21

3x + 6 ­ 6 = 21 - 6 :::::::> 3x = 15

3x =~:::::::> IX=513 3

• Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 5(x - 8) = x - 24

b) 5 - 14x = 4(3 - 7x) + 7

e) 3x+.2(4':" xl = 11 + 4x

d) 24x - 12 = 1 + 7(3x + 5)

el 3(x - 6) = 4(x + 3)

f) 5x + 8 - 2x - 8 = 6(x + 7) - 5x

g) 2x + 5 - x - 4 == 9(x + 3) - 6x

h) 3{x - 2) + 7(x - 2) = 9(1 + xl + 4

.... - .....----..... 48­

Resuelve la siguiente ecuación 10

Primera se quitan los paréntesis y se opera: 10

En este caso es preciso aplicar dos veces la regla de la suma y una vez la regla del producto para aislar la incógnita:

- (4 - 3x) + 5x = S(2x - 1) + 8

- 4 + 3x + 5x = 12x - 6 + 8 => 6 + 8x = 12x + 2

6 + ax - 6 = 12x + 2 - 6 => ax = 12x - 4;

ax- 12x= 12x- 4-12x => -4x=-4 - 4x - 4 r:-::-:;l -4 =-4 =>~

• Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 5x - (1 + 3x) = 7 + x

b) 10 - (2x - 6) + 3 = 5 - 4x

e) 4(x - 2) - 3 = 11 x - (x - 1)

d) 5(x - 1) + 6 = 13x - (x - a)

e) 5(3x - 1) = 26x - 10(x + 2)

f) a(x + 1) - 4(6 + x) = 5x + 1

g) 10 - (4 - 3x) + 5x = 6(2x - 1) + a

h) 9(2 - x) + 3(x + 5) = a - 5(4 + 3x)

-·4'1­

I

Resolución de problemas con ecuaciones

PARA EMPEZAR

-Có'mo se pasa del lenguaje ordinario al len

:/ernIDIO: Lenguaje ordinario ,Un número, ,aumentado I ,en cuatro unidades, ,da I ,veinte.,

! ! ! !! Lenguaje algebraico + 4 = 20

Por tanto, la ecuación que corresponde a ese enunciado es: Ix + 4 = 20 I

• Traduce las siguientes expresiones al lenguaje algebraico:

>a) El doble de un número: 2x ••0.

b) El triple de un número: ..•__........_.................._ ..••_ ................................................................

el La mitad de un número: _.............._.__..........u.............................................................._ .............

d) La quinta parte de un número: ...._................................................................................................

e} El quíntuplo de un número: ............................................................................................................

f) El cuadrado de un número: .............._..._.....................................................................-............__.

g) El cubo de un número: ..._..............._..............................................................................................

h) La décima parte de un número: ................................................................................~...................

i) Las dos terceras partes de un número: ..........................................................._........_ ......_ .....

j} Un número aumentado en siete unidades: ............................................................................._...

k) Un número disminuido en cinco unidades: ,..............................u...............................................

1} Un número al que se le añaden dos unidades: ..........................................................................

-.---.-------- ·--------__ ~5"- _

• • ••

• • ••

• Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

>a) A un número se le restan ocho unidades: x - 8

b) A un número se le añaden diez unidades: _.hO•._......__......._..__.._..••._ ••....._._......_____H.__......m ••__...._ •••••

e) A las dos quintas partes de un número se le restan siete unidades: ._......_...................._......._...._..•._.........__•

d) La suma entre la tercera y la cuarta parte de un número: •.•.........•..•••___._._.._._............................_••_••.••...•_._••

e) Se añaden cinco unidades a las tres cuartas partes de un número:

f) Al triple de un número se le añade su cuarta parte: ........•••••._...____........_._....._ ..___..._...................._ ••__•••

g) La diferencia entre el doble de un número y su sexta parte: ........_......_..._....................___••_....................._._.•

h) A un tercio de un número se le restan dos unidades: ...._._..~_.-......_-...................---...-.-..........-.-..............

• Escribe en el lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

>- a) Un número aumentado en trece unidades da treinta y uno: x + 13 = 31

b) Un número disminuido en siete unidades da veintiocho: .....................__.__....._.•....._.•_.__.._..._..................__

e) El doble de un número es catorce: ..........................__•___..........................__._..................__•__......_.•_....._....

d) La mitad<de un número es doce: ............___......._.••._........................._......................__..._.................._ ...___...........

el El doble de un número aumentado en nueve unidades da treinta y cinco: ........__..................___.........._;..._._.

f) Si se añaden cinco unidades al triple de un número, resulta el número disminuido en una unidad: ................................................_................_._.._......_.........................

g) La mitad de un número disminuida en cuatro unidades da siete:

h) Si a un número le resto cinco da el doble de quince: ..........................._............................_.........................................

i) Si a siete se le añade un número, se obtie~e la tercera parte de once: ................._........._....................._ ..._ .....

j) La tercera parte de la suma de seis y otro número es ocho: ......................_-_........._........_....._........................._..._.......

-5'­

.0

PARA AVANZAR

Cómo se resuelven problemas con ecuaciones

Se lee atentamente el enunciado: Un número multiplicado por tres ydisminuido en cuatro unidades da dos. ¿Qué número es?

o Se busca lo que pide el problema, La incógnita en este caso es el número buscado. Se le asigna la incógnita, y se le asigna una letra. la letra x.

Se traduce el enunciado del problema El número multiplicado por tres: 3x al lenguaje algebraico. Disminuido en cuatro unidades: -4

~d~ =2

Ecuación: 3x - 4 = 2

o Se resuelve la ecuación. 3x - 4 = 2; 3x = 6; Ix:: 21 o Se comprueba la solución. Si se sustituye el 2 en ambos miembros de la ecuación, se

el mismo resultado.

• Si a Yolanda le damos dieciocho cromos tendrá noventa y dos cromos. ¿Cuántos cromos tiene Yolanda? ­

.. El doble de la edad de Juan aumentado en doce da cuarenta y dos. ¿Cuántos años tiene Juan?

• ¿Qué número cumple que al sumar ocho a su triple da diecisiete?

---------------------sz- --------------------------------­

..Ángel dona una cantidad de euros a una ONG y dedica el doble a comprar un regalo a su abuelo. Si en total ha gastado 9 euros, ¿cuánto le ha costado el regalo?

,~ ,

• Si restamos ocho euros al doble de la cantidad de euros que tiene Eva resulta lo mismo que si sumamos ocho euros a la cantidad de' euros de Eva. ¿Cuántos eúros tiene Eva?

• Un número aumentado en seis unidades es igual al mismo número multiplicado por cuatro. ¿Qué número es? , .

• En mi clase hay cuatro chicas más que chicos. ¿Cuántas chicas y chicos hay si en total somos veintiséis?

La ecuación x ­ 1 = 1 cuya solución es x =

Qué es una solución de una ecuación

Una solución de una ecuación es el núm~ro que, sustituido en lugar de la incógnita, d~ el mismo result~doenlo~d~s .'. "miembros de la ecuación. Las ecuaciones que tienen la misma solución se llaman equivalentes •

. ,Ejemplo: La solución de la ecuación 5x - 2 = 10 - x es 2 porque, sustituyendo, queda:

Primer miembro: 5 . 2 - 2 = 8

Segundo miembro: 10 - 2 = 8

El resultado es 8 en los dos miembros, así quelroe'""':l-n'""':ú-m-e-ro-2-es-so-:"lu-c-:'io:-"'n-d-:'e-I:-a-e-c-ua-c-:-¡o:-'n'l.

2 es equivalente a la anterior.

• Completa la tabla:

5x= 35 7

3x- 1 = 6x- 4 2

8 + 3x= 5 + 4x -3

• Averigua si 3 es solución de las ecuaciones:'

a} 6t + 2 = 7t - 1 el 2r+ 8 = 3r- 4

b} 43 - 3m = 34 d) 4x - 11 = x - 2

• Para los siguientes valores de x: a) Averigua cuál es solución de cada ecuadóñ.

1-x+ 5 = 3x- 152

7 + 4x = -11 - 5x

36x+ 12 = --x- 182

b) ¿Cuáles de estas ecuaciones son equivalentes?

5 7 ---x = 5x+ 82 2

- S'LJ­

.0

Cómo se resuelven ecuaciones con varios paréntesis

Se desarrollan los paréntesis, cada uno por separado. 9 . 2x + 9 . 3 = 3 . 7x - 3 . 8

o Se resuelve la ecuación que resulta. 18x+ 27 = 21x- 24

18x- 21x= -24 - 27

-3x= -51

x= -51 = 17 -3

• Resuelve las ecuaciones:

a) 4(x + 8) + 3(6 - 3x) = O d) 3 + 6(x - 2) = 5x - 4(2x + 7) + 1

e) 1 - 4(5x- 1) = 6 + 7(12 - 10x)b) 6(12 - 5x) - 2(3x+ 2) + 2x= O

e) 3(4 - x) - (5x + 1) + 6x = O f) 9 + 2(3x- 1) = 8x- (4x+ 9) + 2

• Resuelve las ecuaciones:

a) -3(4x+ 5) + 10 = 4(3x- 6) - 5 e) 8x- 2 + 3(6x- 2) = 2(6x+ 3,5) - x

b) 3(2x - 4) = 4 - 3(5x - 2) d) -4 + 8(5x+ 3) = 11(2x- 8) + 18

-55­

Cómo se resuelven ecuaciones con denominadores

3x +.!.. = .!.. + 22 4 3 6

Q Se calcula el m.c.m. de los denominadores. m.c.m.(4, 3, 6) = 12

1 2 • 3x + 12x = 12x + 1 2 • 22Se multiplica la ecuación por el m.c.m.Q 4 3 6

Q Se simplifica y se hacen las operaciones. 9x+ 4x= 2x+ 264

Q Se resuelve la ecuación que resulta. 9x+ 4x- 2x= 264 => 11x= 264

x = 21~ = 24 => Ix = 24 I

• Resuelve las ecuaciones:

a) 3x = .!.. + 5 b) 3x - 5 = .!.. + 1. 4243 4

..·.Ejercicio resuelto

., x+ 3 5 + x 3x+ 4ResueIve Ia ecuaclon -6- - ­2 12

Primero se calcula el m.c.m. de los denominadores, que es m.c.m.(6, 2,12) = 12. Se multiplica la ecuación por 12:

12(x+ 3) _ 12(5 + xl _ 12(3x+ 4) . rfi 6 2 - 12 Yse slmp I Ica.

Par último, se resuelve la ecuación que resulta: 2(x + 3) - 6(5 + xl = 3x + 4

2x + 6 - 30 - 6x = 3x + 4

-4x- 24 = 3x+ 4 => -7x= 28 =>

=> x = -=-~ = - 4 => 1x = - 41

• Resuelve las ecuaciones: 10x + 8 x + 5 )e + 6 x-1 2-x x-6b)----=-­a) ---=-­

10 2 5 10 6 15

-5b­

--

La mitad de la edad de una persona incrementada en 5 años es igual a la edad de la persona. Determina dicha edad.

A la edad se la llama x. Se calcula su mitad y se le añade 5 años: ; + 5

De acuerdo con el enunciado se escribe la ecuación: ; + 5 = X I que se resuelve de este modo:

x+ 10 = 2X; 2x- x= 10 =} x= 10

I La edad de la persona es 10 años I

• Un número incrementado con su doble resulta igual a su mitad incrementada en 20 unidades. Determina el número.

• El número de alumnos de un aula incrementado en 30 unidades es igual al triple de los alumnos del aula. Calcula cuántos alumnos son.

• Qué edad tiene una persona si al sumar i 2 años a la que tiene actúa1mente se obtiene el doble de la que tiene.

- S::¡.­

• • • • • • • • • • • • • • • • • ••

111 PARA AVANZAR

Cómo se resuelven problemas con ecuaciones i'~~;Y;}~~f~~~~~?~~'::f12~::~~~:~::~~t~~\:~;~f:, -: :::}~.:;·;;-,.~~:~·~~\\<,-;:2;,~;~~V';i~>t;t~~~,{-:~ ~fit~~y:;>:,~~~~~~;~':}'((~~~~;~:flt~;:~L,::-:} ~:::(:~t.';:.::;'~ .~-_.;,-;

erto ha pagado 7 euros por 5 refrescos y3 bocadillos. Cada bocadillo "c(:;¡il"'nrln refresco y cada bocadillo?

.0 Se identifica y da nombre a las cantidades que se piden.

o Se escribe las cantidades que intervienen.

° Se busca en el enunciado una relación entre las cantidades y se escribe una ecuación.

o Se resuelve la ecuación.

o Se escribe la solución del problema.

Precio del refresco: x

Precio del bocadillo: x + 1

Ha gastado en refrescos: 5x Ha gastado en bocadillos: 3(x + 1)

Ha pagado 7 euros. Ecuación: 5x + 3(x + 1) = 7

5x+ 3x+ 3 = 7; 8x= 4 => x= 0.5

Cada refresco vale 0.50 €. Cada bocadillo vale 1.50 € .

• Halla un número tal que si lo multiplicas por 5 resulta el triple que si le sumas 12.

> 1.° Identifica y da nombre a las cantidades que te piden.

Un número: x

2.° Escribe las cantidades que intervienen. Se multiplica por 5:

Se le suma 12:

3.° Busca en el enunciado una relación entre las cantidades y escribe una ecuación.

El primero es el triple que el segundo.

Ecuación:

4.° Resuelve la ecuación.

5.° Escribe la solución del problema.

• Dos hermanos se llevan tres años. Entre los dos tienen 33 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

,

• ¿Cuántos años tiene Jorge si el triple de su edad aumentado en 7 años es 43?

• Ana tiene un libro que va a terminar en 20 días, leyendo diariamente el mismo número de p~ginas. Si leyera dos páginas más cada día tardaría en leerlo 8 días menos. ¿Cuántas páginas lee cada día?

• Un coche hace un viaje de 1100 km en dos tramos, de forma que el segundo mide 50 km más que el otro. ¿Cuánto recorrió en el primer tramo? .

• ¿Cuánto miden los lados de este rectángulo si su perímetro es 26 centímetros?

X+l~ 2x

• Andrés tiene 55 años y su hijo 20 años. ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que la edad del padre sea doble de la del hijo?

• Averigua qué nrjmero si +e sumas 9 resulta el doble que si le restas 3.

-5'1­