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“VALIDACIÓN EXPERIMENTAL DE MODELOS HIDRODINÁMICOS”

TRABAJO DE GRADO Nº 0986

JUAN CAMILO PINTO ALBARRACÍN

LUIS GABRIEL RIVERA MORA

PROYECTO DE GRADO PRESENTADO PARA OPTAR

POR EL TÍTULO DE INGENIERO ELECTRÓNICO

DIRECTOR:

KAMILO ANDRÉS MELO BECERRA

INGENIERO ELECTRÓNICO M.Sc

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

BOGOTÁ D.C.

NOVIEMBRE DE 2010

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

Rector:

Padre Joaquín Emilio Sánchez García, S.J.

Decano Académico de la Facultad de Ingeniería:

Ingeniero Francisco Javier Rebolledo Muñoz

Decano del Medio Universitario de la Facultad de Ingeniería:

Padre Sergio Bernal Restrepo, S.J.

Director de Carrera de Ingeniería Electrónica:

Ingeniero Juan Manuel Cruz Bohórquez

Director de Departamento de Ingeniería Electrónica:

Ingeniero Jorge Luis Sánchez Téllez

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ARTÍCULO 23 DE LA RESOLUCIÓN No. 13 DE JUNIO DE 1946

"La Universidad no se hace responsable de los conceptos emitidos por sus alumnos en sus

proyectos de grado.

Sólo velará porque no se publique nada contrario al dogma y la moral católica y porque los

trabajos no contengan ataques o polémicas puramente personales. Antes bien, que se vea en ellos

el anhelo de buscar la verdad y la justicia".

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Agradezco en primer lugar a Dios, A mis Padres, mi tía Maruja y mis hermanos por el apoyo tan incondicional que he recibido a través de mi vida. A toda mi familia, mi novia, a Kamilo Melo que antes

que ser el director del trabajo es un gran amigo, a Lucho por ser ese excelente ser Humano y aun mejor compañero.

A mis amigos de la Universidad con los cuales compartí tantas cosas que nos fueron formando como personas, los cuales siempre llevare conmigo a todos lados y que sepan que siempre contaran conmigo en

las buenas y las malas. A mi pueblo Belén Boyacá del cual me siento orgulloso de pertenecer.

A mis amigos de Belén y a los que no son. Juan Camilo Pinto

Presento mis más grandes agradecimientos a mi mama, Sara Raquel Mora porque siempre se ha preocupado por darme lo mejor y cada día que pasaba en vela estudiando ella estuvo a mi lado,

A mi Hermano José Alberto que más que un hermano es un gran amigo, que me recogió a mí y a mis amigos a media noche durante los últimos días de universidad.

A mi hermano Andrés por darme dos sobrinos inigualables que no me dejaban estudiar en la casa. A mi novia Laura Castellanos y Sarita por aguantarme tanto, y que a pesar de estar lejos siempre me

brindaron todo su apoyo. A mis amigos, que durante toda la vida en la universidad se convirtieron en mi familia.

A Pinto que debería agradecerme a mí por aguatármelo a él. A Kamilo Melo, por ser un gran maestro.

Luis Gabriel Rivera

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INDICE DE FIGURAS .......................................................................................................................... 7

INDICE DE TABLAS ............................................................................................................................ 9

1. INTRODUCCIÓN......................................................................................................................... 10

2. OBJETIVOS ................................................................................................................................. 12

2.1. OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................... 12

2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................................................ 12

3. METODOLOGÍA ......................................................................................................................... 13

4. MARCO TEÓRICO ..................................................................................................................... 14

4.1. HIDRODINÁMICA......................................................................................................................... 14

4.2. ARRASTRE................................................................................................................................... 16

4.2.1. ARRASTRE SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS ................................................................................. 17

4.3. NUMERO DE REYNOLDS .............................................................................................................. 19

4.4. ANÁLISIS DIMENSIONAL ............................................................................................................. 19

4.5. MANEJO ESTADÍSTICO DE DATOS .............................................................................................. 19

4.5.1. MEDIDAS EN LA EXPERIMENTACIÓN .......................................................................................... 20

4.5.2. CLASIFICACIÓN DE ERRORES. .................................................................................................... 20

4.5.3. EXPRESIÓN DEL ERROR ............................................................................................................. 21

4.5.4. ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO ...................................................................................... 21

4.5.5. HISTOGRAMAS Y DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA ........................................................................... 21

4.5.6. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL DE PEARSON ................................................................ 23

4.6. MODELOS MATEMÁTICOS .......................................................................................................... 24

5. DESCRIPCIONES Y ESPECIFICACIONES............................................................................. 27

5.1. REQUERIMIENTOS DEL SISTEMA ................................................................................................ 27

5.1.1. MODELO.................................................................................................................................... 27

5.2. DESCRIPCIONES Y ESPECIFICACIONES MECÁNICAS DE LA PLANTA .......................................... 27

5.3. ESPECIFICACIONES Y DESCRIPCIONES ELECTRÓNICAS DE LA PLATAFORMA ........................... 29

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5.3.1. ESPECIFICACIONES Y DESCRIPCIONES DE LA ARQUITECTURA DE CONTROL ............................... 30

5.3.2. DESCRIPCIONES Y ESPECIFICACIONES DEL SISTEMA DE SENSORES ............................................. 32

5.3.3. ESPECIFICACIONES DEL SISTEMA MOTOR .................................................................................. 34

5.4. ESPECIFICACIONES DE SOFTWARE DE LA PLATAFORMA ........................................................... 35

5.4.1. DESCRIPCIÓN Y ESPECIFICACIONES SOBRE EL SOFTWARE DE PROGRAMACIÓN .......................... 35

5.4.2. ESPECIFICACIONES DE LA INTERFAZ DE COMUNICACIÓN ........................................................... 36

5.5. ESPECIFICACIONES DE MOVIMIENTO......................................................................................... 36

6. DESARROLLO............................................................................................................................. 38

6.1. DISEÑO DE EXPERIMENTOS ........................................................................................................ 38

6.1.1. SELECCIÓN DE VARIABLES ........................................................................................................ 38

6.1.2. DISEÑO DE PLANTA. .................................................................................................................. 40

6.1.3. MODELO FÍSICO......................................................................................................................... 42

6.2. CARACTERIZACIÓN DE SISTEMAS .............................................................................................. 44

6.2.1. CARACTERIZACIÓN DEL SISTEMA MOTOR.................................................................................. 44

6.2.2. CARACTERIZACIÓN DEL SISTEMA DE SENSORES ........................................................................ 46

6.2.3. CARACTERIZACIÓN DE LA ETAPA DE POTENCIA ......................................................................... 46

6.3. IMPLEMENTACIÓN DEL SISTEMA DE CONTROL ......................................................................... 47

7. PRUEBAS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS .............................................................................. 55

7.1. PROCESO DE EJECUCIÓN PARA LOS EXPERIMENTOS ................................................................. 55

7.1.1. SELECCIÓN DE DATOS ............................................................................................................... 55

7.2. TABLA DE EXPERIMENTOS ......................................................................................................... 56

7.3. EJECUCIÓN ................................................................................................................................. 58

7.4. VALIDACIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS ........................................................................................... 61

7.4.1. TRATAMIENTO ESTADÍSTICO DE DATOS..................................................................................... 61

8. CONCLUSIONES ......................................................................................................................... 68

9. BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................... 70

7

INDICE DE FIGURAS Figura 4.1. Diagrama de fuerzas para esfera en caída libre en un fluido. ................................................. 15

Figura 4.2. Velocidad Límite de un objeto en Caída libre ....................................................................... 15

Figura 4.3. Objeto cilíndrico con capa limite separada [4] ...................................................................... 16

Figura 4.4. Mecánica de Flujo sobre un Cilindro o Esfera [5] ................................................................. 17

Figura 4.5. Coeficiente de arrastre vs Núm. de Reynolds [5] ................................................................... 18

Figura 4.6. Fuerzas de sustentación (L) y de arrastre (D) de un perfil alar en vuelo [6] ............................ 18

Figura 4.7. Exactitud y Precisión ............................................................................................................ 20

Figura 4.8. Histogramas con igual valor medio y diferente grado de dispersión [14] ............................... 22

Figura 4.9. Modelo matemático para una esfera. Cd vs Re ...................................................................... 26

Figura 5.1. Planta ................................................................................................................................... 27

Figura 5.2. Sistema Motor ...................................................................................................................... 27

Figura 5.3. Base del Sistema Mecánico .................................................................................................. 28

Figura 5.4. Tanque de Experimentación ................................................................................................. 28

Figura 5.5. Poleas .................................................................................................................................. 29

Figura 5.6. Objetos de Prueba - Esferas .................................................................................................. 29

Figura 5.7. Esquema General del Proceso Electrónico ............................................................................ 30

Figura 5.8. Funcionamiento General de la Arquitectura de Control ......................................................... 30

Figura 5.9. Circuito No. 1 ...................................................................................................................... 31

Figura 5.10. Circuito No. 2..................................................................................................................... 31

Figura 5.11. Fuente de Voltaje Doble KI DPS-1303D ............................................................................ 32

Figura 5.12. ENCODER US DIGITAL E4P-340-360-118-HT................................................................ 33

Figura 5.13. Puente H – LM6203 PIN Sensor de Corriente ..................................................................... 33

Figura 5.14. Motor DC MAXON A-max 26 con reductor GP 26 B ......................................................... 34

Figura 5.15. MPLAB IDE ...................................................................................................................... 35

Figura 5.16. Comunicación PC - Microprocesador ................................................................................. 36

Figura 5.17. Voltaje Aplicado al Motor VS. Frecuencia del Encoder ...................................................... 37

Figura 6.1. Estructura de la Planta .......................................................................................................... 42

Figura 6.2. Base, Soporte del Motor y Disco. ......................................................................................... 42

Figura 6.3. Diagrama de fuerzas para una esfera llevada hacia arriba por el motor e inmersa en un fluido.

............................................................................................................................................... 42

Figura 6.4. Circuito motor DC controlado por armadura ......................................................................... 44

Figura 6.5. Modelo Dinámico Motor DC [22] ........................................................................................ 45

Figura 6.6. Voltaje aplicado al motor Vs. Porcentaje de Ciclo Útil .......................................................... 47

8

Figura 6.7. Diagrama de Bloque del Modelo de Control de un Motor DC ............................................... 48

Figura 6.8. Arquitectura Seleccionada en SISOTOOL ............................................................................ 49

Figura 6.10. Ventana para el Ingreso de Paramentros.............................................................................. 49

Figura 6.11. TAB Analysis Plots – MATLAB® SISOTOOL .................................................................. 49

Figura 6.12. TAB Automated Tuning – MATLAB® SISOTOOL ........................................................... 50

Figura 6.13. Respuesta a Entrada Paso del Sistema General – Con Controlador PI .................................. 51

Figura 6.14. Graficas de Adicionales Resultantes el diseno Controlador PI ............................................. 51

Figura 6.15. Ventana Sample Time Conversion – MATLAB® SISOTOOL............................................ 52

Figura 6.16. Respuesta a Entrada Paso Sistema Discreto 300ms vs. Sistema Continuo ............................ 52

Figura 6.17. Respuesta a Entrada Paso Sistema Discreto 100ms vs. Sistema Continuo ............................ 53

Figura 6.18. Respuesta a Entrada Paso Sistema Discreto 20ms vs. Sistema Continuo .............................. 53

Figura 7.1. Números de Reynolds obtenidos variando en una unidad las RPM ........................................ 55

Figura 7.2. Números de Reynolds obtenidos variando en una unidad las RPM ........................................ 56

Figura 7.3. Experimento 1 – Muestra 1 - Corriente ................................................................................. 59

Figura 7.4. Experimento 1 – Muestra 1 - Bits ......................................................................................... 59

Figura 7.5. Experimento 1 – Muestra 2 - Corriente ................................................................................. 59

Figura 7.6. Experimento 1 – Muestra 3 - Corriente ................................................................................. 59

Figura 7.7. Experimento 1 – Aire Figura 7.8. Experimento 1 - Agua ........................... 60

Figura 7.9. Grafica Efecto Fuerza de Empuje ......................................................................................... 60

Figura 7.10. Histograma – Experimento 1 .............................................................................................. 61

Figura 7.11. Grafica de Aproximación del Histograma – Experimento 1 ................................................ 62

Figura 7.12. Histograma – Experimento 10 ............................................................................................ 63

Figura 7.13. Grafica de Aproximación del Histograma ........................................................................... 63

Figura 7.14. Histograma – Experimento 10 ............................................................................................ 64

Figura 7.15. Grafica de Aproximación del Histograma ........................................................................... 64

Figura 7.16. Corriente teórica y experimental con el mismo patrón de comportamiento. ......................... 65

Figura 7.17. Línea de tendencia corrientes teóricas y experimentales. ..................................................... 66

Figura 7.18. Comparación Datos Experimentales y Datos Teóricos con Respecto al Coeficiente de

Arrastre ................................................................................................................................... 67

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INDICE DE TABLAS

Tabla 4.1. Interpretación del Coeficiente de Correlación Muestral [17] ......................................... 24

Tabla 4.2. Datos obtenidos experimentalmente [17] ........................................................................ 25

Tabla 5.1. Caracterización de Velocidad del Motor ......................................................................... 37

Tabla 6.1. Tabla de Análisis Dimensional No. 1 .............................................................................. 38

Tabla 6.2. Tabla de Análisis Dimensional No.2................................................................................ 38

Tabla 6.3. Parámetros eléctricos del motor ....................................................................................... 44

Tabla 6.4. Parámetros electromecánicos del motor y el reductor .................................................... 45

Tabla 7.1. Combinaciones Posibles para diferentes números de Reynolds (Tabla Resumen) ....... 57

Tabla 7.2. Tabla de Corrientes Teóricas ............................................................................................ 58

Tabla 7.3. Tabla de Análisis Estadístico – Experimento 1 ............................................................... 62

Tabla 7.4. Tabla de Análisis Estadístico – Experimento 10 ............................................................. 63

Tabla 7.5. Tabla de Análisis Estadístico – Experimento 34 ............................................................. 64

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INDICE DE ANEXOS

ANEXO 1 - Calculo Completo de la Inercia de las Poleas

ANEXO 2 - Esquemático Circuito No. 1

ANEXO 3 - Esquemático Circuito No. 2

ANEXO 4 - Hoja de Especificaciones Encoder

ANEXO 5 - Hoja de Especificaciones Motor DC

ANEXO 6 - Hoja de Especificaciones Reductor

ANEXO 7 - Código MPLAB

ANEXO 8 - Parámetros del Sistema_MATLAB

ANEXO 9 -Tabla de Experimentos

ANEXO 10 - Tabla General de Histogramas

ANEXO 11 - Correlación Corriente - Error

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1. INTRODUCCIÓN A través de la historia diseñar y ejecutar experimentos a un sistema bajo ciertas condiciones ha sido de gran importancia para que la humanidad logre entender diversos fenómenos físicos que la rodean, para luego utilizando diferentes métodos llegar a describir de forma acertada estos fenómenos, mediante herramientas matemáticas que se han diseñado para ayudar a entender cierto problema o alguna situación de interés que de una interpretación comprensible para el hombre debido a que el comportamiento de la naturaleza para este, es la modelación matemática de los fenómenos. Estas mediciones han mostrado su importancia de manera eficiente para enjuiciar, captar y exhibir a la naturaleza, dando como resultado ser las actividades más útiles para aprender racionalmente sobre esta, es decir, para poder predecir su devenir. Entonces surge la necesidad de comprender sistemas cada vez más complejos para los cuales en algunos casos los modelos matemáticos pueden convertirse en maneras tediosas y complicadas para obtener modelos del mismo. Más aun se hace necesario cuando la gran mayoría de aplicaciones requieren de algún tipo de control como es el caso de la industria en la cual es imprescindible mantener dentro de parámetros bien definidos las variables que intervienen en el proceso dado de manera que los resultados sean confiables con exactitud, precisión y repetitividad. Debido a esto, se desarrollan técnicas que buscan lograr obtener modelos de sistemas dinámicos bajo ciertas condiciones a partir de mediciones realizadas mediante experimentos prácticos, que tienen como objetivo recopilar la información necesaria la cual debe ser procesada bajo métodos que permitan ajustar esta información de manera que se pueda llegar a obtener una cantidad de datos que serán usados posteriormente para lograr validar un modelo matemático dado. Es aquí, donde este proyecto cobra importancia, debido a que se realiza el diseño de experimentos y su posterior ejecución a objetos de forma esférica, para luego validar un modelo matemático existente en la literatura el cual trata acerca de las interacciones entre un fluido y un cuerpo sumergido en el mismo. Lo anteriormente descrito tiene como finalidad plantear un método para medir variables hidrodinámicas, sin la necesidad de utilizar equipos de laboratorio costosos o que requieran una infraestructura que no esté al alcance de cualquier institución, como por ejemplo un Towing Tank o un túnel de viento. [1][2]

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2. OBJETIVOS 2.1. Objetivo General

Diseñar y ejecutar experimentos que permitan recopilar y almacenar datos experimentales del comportamiento dinámico de un objeto dentro de un fluido para validar un modelo ya existente.

2.2. Objetivos Específicos

• Diseñar una serie de experimentos con base en los modelos de dos objetos de forma definida que permitan adquirir datos de la hidrodinámica del sistema.

• Implementar los experimentos y los sistemas de adquisición de datos necesarios.

• Evaluar el ajuste de los datos mediante la validación de un modelo básico de la planta.

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3. METODOLOGÍA A continuación, se presenta la metodología a seguir. Inicialmente se toman modelos matemáticos que han sido el resultado de previas investigaciones como se mostrara más adelante, esto con el fin de obtener una referencia del modelo que se quiere llegar a validar en este trabajo de grado. Estas expresiones son el punto de partida para el desarrollo de experimentos que permitan llegar a obtener los datos necesarios del comportamiento de cuerpos esféricos de diferente diámetro moviéndose rectilíneamente en un fluido newtoniano con flujo uniforme y que permitan la validación del sistema con la metodología usada aquí, la cual implementa una especie de Towing Tank [1] en el cual se busca que los costos no sean significativos. Luego de haber obtenido el modelo matemático que servirá como referencia durante todo el trabajo, se procede a diseñar los experimentos buscando que para la ejecución de estos se tenga que manipular el menor número posible de parámetros. Estos experimentos estarán compuestos por sistemas que permitan controlar, manipular y almacenar las variables para su posterior procesamiento estadístico y matemático.

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4. MARCO TEÓRICO En este trabajo de grado se estudia la dinámica de objetos sólidos esféricos analizados por separado, ascendiendo rectilíneamente en agua pura con flujo continuo a temperatura ambiente (25°C aproximadamente) y una presión de 1 atm. Para esto es importante tener en cuenta que cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido viscoso la resistencia que presenta el medio depende de la forma del cuerpo y de la velocidad relativa entre el cuerpo y el fluido. Para realizar un análisis correcto que nos permita obtener resultados satisfactorios, es importante dar a conocer los conceptos y principios los cuales se presentaran en la siguiente sección. 4.1. Hidrodinámica Para el estudio de la dinámica de los fluidos se consideran la velocidad, presión y flujo del fluido, normalmente se consideran tres aproximaciones importantes:

El fluido es un líquido incompresible, es decir, que su densidad no varía con el cambio de presión, a diferencia de lo que ocurre con los gases.

Se considera despreciable la pérdida de energía por la viscosidad, ya que esta es bastante menor comparada con la inercia de su movimiento.

La velocidad del líquido en un punto es independiente del tiempo. También es importante tener claros conceptos que están altamente involucrados en la dinámica de fluidos, términos como, viscosidad y fluidos newtonianos que se van a trabajar a lo largo de este trabajo de grado. Viscosidad:

En esencia la viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales, cabe señalar que la viscosidad sólo se manifiesta en fluidos en movimiento, ya que cuando el fluido está en reposo adopta una forma tal en la que no actúan las fuerzas tangenciales que no puede resistir. [3]

Fluido Newtoniano: Un fluido newtoniano es un fluido cuya viscosidad puede considerarse constante en el tiempo. Un buen número de fluidos comunes se comportan como fluidos newtonianos bajo condiciones normales de presión y temperatura: para el caso de este trabajo se utilizará agua. [3]

El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción se considera el comportamiento del fluido como ideal cuyas características son las siguientes: [3]

Fluido Ideal:

• Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido • Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo • Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo • Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto

de cualquier punto. [4] Tomando todos los conceptos mencionados anteriormente se considera el caso de un objeto esférico o cilíndrico que se deja caer al interior de un fluido, representado en la Figura 4.1. Este caso se convierte de gran utilidad en el estudio que se realizara posteriormente.

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Figura 4.1. Diagrama de fuerzas para esfera en caída libre en un fluido.

El objeto cae acelerado hasta que las tres fuerzas que actúan sobre él se equilibran entre sí, de manera que el movimiento se vuelve uniforme y mantiene una velocidad límite [5]. Cuando el objeto alcanza un movimiento uniforme, el equilibrio de fuerzas se expresa, en términos de módulos, como:

Ecuación 4.1.

Como se puede ver en la ecuación anterior las fuerzas involucradas en el sistema son el empuje (E), fuerza de resistencia generada por el fluido (F) y el peso del objeto (P). Por lo tanto si se considera la densidad del objeto (ρo) y su volumen (V), se puede escribir entonces así:

Ecuación 4.2.

Donde ρf es la densidad del fluido. Ahora al reemplazar el volumen por la ecuación de volumen de una esfera y despejando la velocidad se obtiene el siguiente resultado:

Ecuación 4.3.

Donde v es la velocidad limite que alcanza el objeto en su caída a través del fluido representada en la Figura 4.2.

Figura 4.2. Velocidad Límite de un objeto en Caída libre

.

Para lograr analizar el comportamiento de los objetos esféricos dejándolos caer dentro del fluido es claro que se debe llegar a la velocidad límite (Ecuación 4.3.) de estos, la cual llegaría a ser demasiado alta y de difícil alcance si no se cuenta con herramientas como un Towing Tank o un tubo de prueba demasiado largo [1] [2]. En el primer caso el fluido es manipulado para que este se mueva a la velocidad deseada sobre el objeto, con el tubo de prueba se necesitaría que fuera suficientemente largo y ancho según las dimensiones de la esfera para dejar caer esta y que llegue a su velocidad limite. [5]

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Para el desarrollo de este trabajo de grado es importante tener en cuenta que las dos opciones anteriores requerirían de un alto presupuesto ya que las esferas con las que se busca realizar los experimentos necesitarían tubos de prueba relativamente largos debido a su diámetro, para lo cual se requeriría un alto presupuesto1

.

Debido a esto, la intención es proponer la realización de un método que ayude a minimizar estos costos y llegar a obtener resultados que se adquirirán utilizando herramientas que estén al alcance de todos. 4.2. Arrastre Para la validación de nuestro modelo matemático la fuerza que interesa es la proporcionada por el arrastre. A su vez es importante que los líquidos puedan tomarse incomprensibles en el estudio de estas fuerzas debido a que su densidad siempre permanece constante con el tiempo. Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta fuerzas causadas por la acción de este. El efecto total de estas fuerzas es muy complejo. Para propósitos de diseño o para el análisis del comportamiento de un cuerpo en un fluido se utilizan dos fuerzas muy importantes las cuales son llamadas de arrastre y sustentación. Cuando una corriente de fluido se mueve alrededor de un cuerpo, tiende a adherirse a la superficie en la porción de la longitud del cuerpo. Después de cierto punto, la capa delgada del fluido que se encuentra cerca a la superficie del cuerpo (capa limite), se separa lo que hace formar unas turbulencias, Figura 4.3. La presión en la estela es mucho más baja que en el frente del cuerpo, así se crea una fuerza neta que actúa en dirección opuesta al movimiento del cuerpo la cual es llamada fuerza de arrastre.

Figura 4.3. Objeto cilíndrico con capa limite separada [4]

Las líneas de corriente de la figura, ilustran la trayectoria del fluido conforme este fluye en la esfera. En el punto de estancamiento de la esfera, la corriente de fluido esta en reposo. Es de esperar que el incremento de presión en el punto de estancamiento produzca una fuerza sobre el cuerpo, opuesta a su movimiento, es decir, una fuerza de arrastre. Sin embargo esta fuerza no solo depende de la presión que se ejerce en el punto de estancamiento, también influye la presión generada en la región de separación, donde se genera una dificultad para predecir la variación real de la presión, debido a esto, es común que se utilice el coeficiente de arrastre. [5]

1El efecto de pared induce aceleraciones y desaceleraciones en la partícula; Tal efecto puede tener consecuencias importantes cuando los objetos se mueven muy cerca a una superficie paralela al movimiento del objeto. [14]

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La fuerza de arrastre se calcula por medio de la Ecuación 4.4.:

Ecuación 4.4.

p = Densidad del fluido. Debido a que la densidad de los líquidos es bastante mayor que la de un gas, el orden general de magnitud de las fuerzas de arrastre sobre objetos que se mueven en el agua es mucho más grande que para objetos que se mueven en el agua. [5] v = Velocidad de la corriente libre del fluido con relación al cuerpo. En general no importa si el que se mueve es el cuerpo o el fluido lo cual es de gran importancia para el diseño de los experimentos que se mostrara posteriormente. Sin embargo, es necesario tener en cuenta la presencia de otras superficies cerca del cuerpo de interés debido a que pueden llegar a afectar el arrastre. [5] A = Máxima sección transversal perpendicular a la dirección del fluido en el cuerpo. Cd = Coeficiente de arrastre (a dimensional). El coeficiente de arrastre depende de:

• La forma física del objeto. • Su orientación con relación a la corriente del fluido. • Numero de Reynolds. • Rugosidad de la superficie. • Influencia de cuerpos o superficies en la vecindad.

4.2.1. Arrastre Sobre Cuerpos Sumergidos La mecánica de flujo sobre un cilindro o esfera se muestra en el siguiente dibujo.

Figura 4.4. Mecánica de Flujo sobre un Cilindro o Esfera [5]

Según el análisis dimensional y semejanza, el coeficiente de resistencia para una geometría dada en flujo estacionario es función de los siguientes parámetros a dimensionales.

CD = CD (α, ε/d, Re, M, W, F) Ecuación 4.5.

Donde: α = Angulo de ataque.

DdU0

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ε/d = Aspereza relativa de la superficie del cuerpo.

Re = Número de Reynolds

M = Número de Mach

W = Número de Weber

F = Número de Froude La experiencia muestra que las cantidades relevantes que afectan al coeficiente de arrastre se pueden reducir a

Ecuación 4.6.

En general, cuando M < 0.3 se asume que el flujo es incompresible, de modo que:

Ecuación 4.7.

La representación grafica experimental de esta expresión para una esfera es la mostrada en la Figura 4.5.

Figura 4.5. Coeficiente de arrastre vs Núm. de Reynolds [5]

En general sobre un cuerpo fuselado, se presentan dos fuerzas que son la sustentación L y la de arrastre D como se muestra en la Figura 4.6., en que el arrastre tiene la misma connotación que el de un cuerpo no fuselado o no aerodinámico. En la figura mostrada a continuación se muestra claramente como es afectado el cuerpo por las fuerzas que influyen en este proceso.

Figura 4.6. Fuerzas de sustentación (L) y de arrastre (D) de un perfil alar en vuelo [6]

d

Esfera lisa (ε/d = 0)

CD

Re

α = 0 → cuerpo simétrico

U0

α

Centro de presión

L R

D

c

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4.3. Numero de Reynolds El número de Reynolds es quizá uno de los números a dimensionales más utilizados. La importancia radica en que habla del régimen con que fluye un fluido, lo que es fundamental para el estudio del mismo. A nivel experimental como industrial, este número es de gran utilidad debido al gran rango de aplicación que este tiene. [8] El número de Reynolds es un número a dimensional que relaciona las propiedades físicas del fluido, su velocidad y la geometría del ducto por el que fluye y está dado por:

Ecuación 4.8.

p = Densidad del fluido

v = Velocidad característica del fluido

D = Longitud característica del sistema

µ = Viscosidad dinámica del fluido Generalmente cuando el numero de Reynolds está por debajo de 2100, entonces el fluido tenderán a comportarse en forma laminar sin ningún problema, en el intervalo entre 2100 y 4000 es considerado como flujo de transición y para valores mayores a 4000 se considera como flujo turbulento. [8] Es importante saber que con la minimización cuidadosa de las perturbaciones externas es posible mantener el flujo laminar para números de Reynolds, tan grandes como 50000, lo cual es de gran importancia en el análisis aquí propuesto. [4] 4.4. Análisis Dimensional La planificación experimental es fundamental en la investigación científica. A la misma puede ayudar el conocimiento del Análisis Dimensional. Esta herramienta sencilla, pero poderosa, se basa en los conceptos de medida de una magnitud física y de las dimensiones asociadas con ella. [4] Fourier definió el concepto de dimensión en su obra “Théorie analytique de la chaleur”, en la cual dice: “Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o constante, tiene una dimensión que le es propia, y que los términos de una no podrían ser comparados si no tuviesen el mismo exponente de dimensiones” [9]. De esta forma, las ecuaciones deben ser homogéneas dimensionalmente, que es lo buscado con en el análisis dimensional. 4.5. Manejo Estadístico de Datos La estadística es una ciencia de aplicación práctica casi universal en todos los campos científicos. Para este proyecto es necesario minimizar la dispersión de datos después de realizada su adquisición, mediante la ejecución de los experimentos, es necesario realizar un tratamiento a la información obtenida, esto con el fin de recopilar, organizar, presentar, analizar e interpretar datos numéricos con la finalidad de tomar decisiones más efectivas. [7]

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Los datos estadísticos se presentan generalmente expresando el valor de la frecuencia absoluta que toman las variables significativas de un estudio, en este caso correspondiente a una muestra de los experimentos ejecutados. La frecuencia absoluta de un valor o de una modalidad de una variable estadística es el número de datos observados que presentan ese valor. 4.5.1. Medidas en la Experimentación En ciencias e ingeniería, el concepto de error está asociado con la incertidumbre en la determinación del resultado de una medición. Lo que se procura obtener en una medición es conocer las cotas de estas. Gráficamente, se busca establecer un intervalo de la forma mostrada a continuación:

Ecuación 4.9.

Donde con cierta probabilidad se pueda encontrar el mejor valor de la magnitud x. En todo proceso de medición existen limitaciones dadas por los instrumentos utilizados, el método de medición, el observador que realiza la medición aun el mismo proceso introduce errores. [9] Otras fuentes de error que se originan en los instrumentos de medición son la exactitud y precisión de los mismos instrumentos Figura 4.7. La precisión es el grado de concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud realizadas en condiciones sensiblemente iguales. La exactitud es el grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental. [11]

Figura 4.7. Exactitud y Precisión

Se dice que se conoce el valor de una magnitud dada, en la medida en que se conocen sus errores. En ciencia se considera que la medición de una magnitud con un cierto error no significa que se haya cometido una equivocación o que se haya realizado una mala medición. Con la indicación del error de medición se expresa, en forma cuantitativa y lo más precisamente posible, las limitaciones que el proceso de medición introduce en la determinación de la magnitud medida. 4.5.2. Clasificación de Errores. Error se define como una diferencia entre un valor obtenido experimentalmente y el valor verdadero. Los errores no siguen ningún patrón y pueden ser originados por diversos factores que los causan. Siguiendo esto, los errores se clasifican en Sistemáticos y accidentales.

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• Error Sistemático: Permanecen constantes a lo largo de todo el proceso de medida y afectan a todas las mediciones de un modo definido y es el mismo para estas. En este grupo podemos encontrar errores tales como Instrumentales, personales y por la elección del método.

• Errores Accidentales: Se producen en las variaciones que pueden darse entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo operador. Estas variaciones no son reproducibles de una medición a otra y su valor es diferente para cada medida. Las causas de estos errores no son controlables por parte del observador. [11]

4.5.3. Expresión del Error

Para la presentación de un error es necesario establecer un determinado valor que acote la medida, siguiendo esto la expresión correcta para una medida es: [12]

Ecuación 4.10.

4.5.4. Error Absoluto y Error relativo

En toda medida resulta necesario dar alguna indicación del error cometido, que dé cuenta de cuánto puede alejarse el resultado obtenido del valor exacto.

Error Absoluto: Es el valor absoluto de la diferencia entre el valor obtenido experimentalmente y el verdadero valor de esta. Ecuación 4.10.

Error Relativo: Cociente entre el error absoluto y el verdadero valor de la misma.

Ecuación 4.11. [13]

4.5.5. Histogramas y Distribución Estadística Si se toma una muestra de tamaño N y para la misma se miden ciertos parámetros, este experimento dará N resultados: . Todos estos datos estarán comprendidos en un intervalo ( ). Una manera útil de visualizar las características de este conjunto de datos consiste en dividir el intervalo ( ) en m sub-intervalos iguales, delimitados por los puntos (y1, y2,..., ym) que determinan lo que se llamara el rango de clases [10]. A continuación, se definen los intervalos con los cuales se va a distribuir la cantidad de datos tomados nj. La función de distribución se define como:

Ecuación 4.12.

Esta función de distribución está normalizada, como se muestra en la Ecuación 4.13.:

Ecuación 4.13.

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El grafico de da una clara idea de cómo se distribuye el parámetro medido en estudio. Este tipo de grafico se llama un Histograma y programas como Microsoft® Excel o calculadora de Open Office contienen herramientas para realizar la operación que se describió anteriormente, dando como resultado en la mayoría de casos distribuciones como las mostradas a continuación:

Figura 4.8. Histogramas con igual valor medio y diferente grado de dispersión [14]

El valor medio da una idea de la localización de los valores en la muestra.

Ecuación 4.14.

La varianza y la desviación estándar dan una idea de la dispersión de los datos alrededor del valor promedio.

Ecuación 4.15.

Ecuación 4.16.

Una distribución de probabilidad muy común en diversos campos es la llamada Gaussiana que está dada por la expresión mostrada a continuación: [10]

Ecuación 4.17.

Esta expresión contiene las siguientes características:

• La campana de Gauss está centrada en m y su ancho está determinado por la desviación estándar. • los puntos de inflexión de la curva están en x-σ y x+σ. • El área de esta curva entre los dos puntos anteriores constituye el 68.3% del área total.

La caracterización de la localización de una distribución usualmente utiliza los siguientes parámetros: [9]

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• Media o promedio:

Ecuación 4.18.

• Mediana: Es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos.

• Moda: Valor de la variable donde está la máxima frecuencia.

4.5.6. Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson El coeficiente de correlación de Pearson, pensado para variables cuantitativas, es un índice que mide el grado de covarianza entre distintas variables relacionadas linealmente [16]. Este es un índice de fácil ejecución e, igualmente de fácil interpretación. Si se tienen dos variables, definimos el coeficiente de correlación de Pearson entre dos variables como rxy entonces:

-1≤rxy≤1 Si rxy=1, la relación es perfectamente positiva. Si rxy=-1, la relación es perfectamente negativa. Relación perfectamente positiva, cuando exactamente en la medida que aumenta una de ellas aumenta la otra. Esto sucede cuando la relación entre ambas variables es funcionalmente exacta. Se dice que la relación es perfectamente negativa cuando exactamente en la medida que aumenta una variable disminuye la otra. [16]

Ecuación 4.19.

.

Ecuación 4.20.

Ecuación 4.21.

Con la Ecuación 4.21 se calcula el coeficiente de correlación.

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La interpretación del coeficiente de correlación muestral depende del valor, del signo que tome y de las características de la muestra. A continuación, se mostrará la Tabla 4.1., con las posibles interpretaciones que se pueden dar: [17]

VALOR DEL COEFICIENTE INTERPRETACIÓN 0 < r < 1 & r → 1 Relación Lineal positiva fuerte

0 < r < 1 & r → 0 Relación Lineal Positiva Débil

r = 0 No existe relación lineal

-1 < r < 0 & r → -1 Relación Negativa y fuerte

-1 < r < 0 & r → 0 Relación lineal negativa y débil

Tabla 4.1. Interpretación del Coeficiente de Correlación Muestral [17]

4.6. Modelos Matemáticos A continuación, se presentan los modelos que se utilizaran para la realización de la validación experimental de las esferas dentro de un fluido. Cabe aclarar que el modelo está limitado a una región específica para la cual se diseñan experimentos que permitan recopilar datos para su posterior análisis. El modelo matemático completo de la esfera en un fluido como se mostrara posteriormente es una recopilación de varios estudios realizados a través de la historia. A continuación, se muestran los modelos obtenidos: Una expresión analítica para el coeficiente de arrastre estacionario sobre una esfera moviéndose a su velocidad terminal en un flujo uniforme y Re tendiendo a 0 fue obtenida por Hadamard y Rybczynski (1911). Esta expresión produce la ley de Stokes para una esfera solida, la cual se muestra a continuación: [15] Modelo de Stokes 0 < Re < 1 [19]

Cd (Stokes, 1845) Ecuación 4.22.

La primera corrección fue realizada por Oseen (1910) quien obtuvo el siguiente resultado: [15] Modelo de Oseen 0.5 <= Re < 1.5

Ecuación 4.23.

Para Re más grandes, el coeficiente de arrastre para una esfera aislada se estima mediante las siguientes ecuaciones: Modelo de Schiller and Nauman 1 <= Re < 700 [16]

Ecuación 4.24.

Modelo de Carey 700 <= Re < 10443 [16]

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Ecuación 4.25.

Modelo de Brauer 10443 <= Re < 1.5*10^5 [16]

Ecuación 4.26.

Modelo de Wieselsberger por Experimentación: [16]

1.5*105 <= Re < 2.6*105

Cd = -3.013*10-7 *Re+0.5187; Ecuación 4.27.

2.6*105 <= Re < 3.0*105

Cd = -1.40*10-6*Re+0.8020; Ecuación 4.28.

3.0*105 <= Re < 3.79*105

Cd = -3.0144*10-6*Re+1.2350; Ecuación 4.29.

Partes del modelo se han realizado de forma experimental como se muestra a continuación. [17]

Tabla datos

Experimentales

Tabla datos

Experimentales

Re Cd Re Cd

0,4786 58,88 58880 0,4732

3,02 10,86 100000 0,4624

7,015 5,623 170200 0,4395

15,49 3,388 231700 0,4046

57,54 1,479 264800 0,3733

144,5 0,9204 271000 0,3467

264,9 0,7194 285100 0,2472

512,9 0,5623 302000 0,1778

1000 0,4786 338800 0,1047

1862 0,4365 398100 0,09772

3162 0,4074 512900 0,1

4764 0,389 1778000 0,1778

8375 0,3981 2291000 0,1862

15560 0,4395 5012000 0,1862

Tabla 4.2. Datos obtenidos experimentalmente [17]

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Al graficar los modelos matemáticos antes descritos, se obtiene la Figura 4.9.

Figura 4.9. Modelo matemático para una esfera. Cd vs Re

En la Figura4. 9., cada color representa un modelo diferente. Muchos de estos modelos aun siguen siendo modelados de forma experimental con métodos que implican grandes inversiones económicas, pero que a su vez otorgan mediciones que dan una confiabilidad muy aceptable dependiendo de su aplicación.

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5. DESCRIPCIONES Y ESPECIFICACIONES 5.1. Requerimientos del Sistema Para establecer los requerimientos del sistema, es necesario conocer los medios que ayudaran a llevar a cabo los objetivos, para lo cual es preciso describir de forma específica las diferentes secciones en la cuales se divide este trabajo y sus respectivos alcances. Es importante entonces, detallar los elementos necesarios en cada sección del sistema, tales como la descripción de los modelos a utilizar, los métodos e instrumentos para la medición de parámetros y el software necesario para realizar tanto la adquisición de datos como las simulaciones necesarias, así como las herramientas matemáticas y estadísticas para la manipulación de datos y su posterior presentación. 5.1.1. Modelo Este trabajo consiste en la validación de modelos matemáticos para esferas de diferente diámetro. En el cual se busca un modelo matemático ya obtenido en repetidas ocasiones, con la diferencia primordial que se realizara con un bajo presupuesto y que podrá ser extrapolado a otras aplicaciones siempre y cuando las restricciones que se den, sean tenidas en cuenta para la ejecución de los experimentos.

5.2. Descripciones y Especificaciones Mecánicas de la Planta El sistema completo está constituido por una serie de elementos básicos: La estructura de soporte en forma de trípode sirve de armazón y da estabilidad al sistema mecánico el cual está compuesto por el motor, las poleas y los objetos de prueba, al mismo tiempo la base del trípode se sitúa encima del tanque el cual es utilizado como recipiente de experimentación, tal como se observa en la Figura 5.1. Sobre la base del trípode se encuentra el motor ajustado por medio de un soporte que lo sostiene firmemente para evitar cualquier vibración generada por el movimiento de rotación del motor y que pueden llegar a afectar el adecuado desarrollo de los experimentos. Ver Figura 5.2. Por otro lado, el motor tiene anclado a su eje una polea, la cual tiene una cuerda atada que permite que el objeto de prueba se desplace dentro del fluido de forma rectilínea hacia arriba. Ver Figura 5.3. A continuación, se describen las características mecánicas más importantes.

Figura 5.1. Planta

Figura 5.2. Sistema Motor

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Extremidades: Descripción (Material): Lamina de Acero doblado en forma paralelepípedo recto con 1mm de

espesor Masa: 381 g c/u ,

Dimensiones: 99,4 cm × 5,1 cm × 2 cm Base:

Descripción (Material): Nylon de color natural cortado en dos secciones en forma de disco, en la cual se fijan las extremidades. Ver Figura 5.3.

Masa: 404 g

Dimensiones: Figura irregular Tanque:

Descripción: Recipiente de cristal de forma cilíndrica. Ver Figura 5.4.

Masa: 2,321 kg

Dimensiones: 50 cm (Alto) × 20 cm (Diámetro) × 6 mm (Espesor)

Figura 5.3. Base del Sistema Mecánico

Figura 5.4. Tanque de Experimentación

Soporte del Motor: Descripción: Nylon de color natural cortado en forma cilíndrica

Masa: 281 g

Dimensiones: 11,5 cm (Alto) × 5,2 cm (Diámetro) Objetos de prueba:

Descripción: Dos esferas de Acero. Ver Figura 5.5.

Esfera 1:

Masa: 226,53 g

Dimensiones: 3,8 cm (Diámetro)

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Esfera 2:

Masa: 131,20 g

Dimensiones: 3,17 cm (Diámetro)

Poleas: Descripción: 2 unidades de Nylon de color natural cortado en forma de polea. Ver Figura 5.6.

Polea 1:

Masa: 92,58 g

Dimensiones: 10 cm (Diámetro) × 1 cm (Ancho)

Inercia: 11,57×10-5 kg.m2. Ver ANEXO 1 - Cálculo Completo de la Inercia de las Poleas

Polea 2:

Masa: 44,41g

Dimensiones: 6 cm (Diámetro) × 1 cm (Ancho)

Inercia: 1,99×10-5 kg.m2

Figura 5.5. Poleas

Figura 5.6. Objetos de Prueba - Esferas

Cabe aclarar que las masas de las extremidades, la base, el tanque e incluso el motor no afectan el desempeño y/o el funcionamiento de la plataforma, por eso pueden ser consideradas como irrelevantes para posteriores análisis. Por otra parte, las masas y las dimensiones de los objetos de prueba (Esfera 1 y Esfera 2) y de las poleas (Polea 1 y Polea 2) son sumamente importantes debido a que estos parámetros son parte fundamental del diseño de los experimentos, del modelo del controlador y por ende de sus resultados. 5.3. Especificaciones y Descripciones Electrónicas de la Plataforma En esta sección se detallan las características más significativas sobre los dispositivos electrónicos (hardware) incluidos dentro del sistema. El hardware del sistema se divide en tres grupos: Especificaciones de la arquitectura de control, sistema de sensores y sistema mecánico. En general, el funcionamiento del sistema electrónico consiste de tres etapas. Primero, se procede a realizar el montaje de los componentes electrónicos adecuados, después se realiza la programación del algoritmo de control y como paso final se ejecutan las rutinas las cuales darán movimiento al sistema. Es importante aclarar que la programación se realiza a bajo nivel directamente con MPLAB® y el ICD2 y no con alguna interfaz

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especial. En el siguiente esquema de la Figura 5.7., se observa de forma general el procedimiento que se sigue para llevar a cabo las diferentes pruebas.

Figura 5.7. Esquema General del Proceso Electrónico

5.3.1. Especificaciones y Descripciones de la Arquitectura de Control El funcionamiento de la arquitectura de control se divide en varias etapas. Inicialmente el usuario por medio de un enlace entre la computadora y el sistema electrónico usando directamente MPLAB®, define una velocidad específica a la cual el motor tiene que moverse. Seguido a esto, el microcontrolador que está previamente programado se encarga de seguir el algoritmo de programación que controla el sistema. El microcontrolador programado envía instrucciones al actuador y recibe información del sistema de sensores siguiendo una secuencia específica, parte de la información recibida es realimentada al microcontrolador para seguir con el algoritmo de control. Como se desea controlar la velocidad de desplazamiento del objeto de prueba, el microcontrolador envía la información correspondiente a la velocidad determinada por el usuario, directamente al motor, acto seguido la información obtenida de un sensor de velocidad es comparada con la velocidad de referencia, para que de este modo por medio de un control digital sintetizado dentro del microcontrolador, se logre mantener la velocidad deseada a pesar de las perturbaciones. Por otro lado se busca que por medio de un sensor de corriente, se obtenga la información relacionada a la fuerza que utiliza el motor para subir el elemento de prueba como variable importante de medición. El funcionamiento general de la arquitectura de control y procesamiento anteriormente descrito, se puede observar en el esquema de la Figura 5.8.

Figura 5.8. Funcionamiento General de la Arquitectura de Control

Se implementaron dos circuitos impresos sobre los cuales se integraron todos los componentes electrónicos que conforman la etapa de procesamiento, etapa de transmisión de datos, etapa de potencia, y

VELOCIDAD COMPUTADOR

MICROCONTROLADOR

SISTEMA MOTOR

MOTOR

SISTEMA SENSORIAL

ENCODERSENSOR CORRIENTE

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sistemas de alimentación de energía eléctrica. A continuación, se destacan sus características más importantes de funcionamiento. Circuito impreso 1. Ver ANEXO 2 – Esquemático Circuito No.1

Descripción: Etapa de procesamiento, potencia y alimentación de energía. Ver Figura 5.9. Voltaje de alimentación: 12 V

Voltaje de alimentación a etapa de potencia: 12 V

Voltaje de alimentación a etapa de control y sensorial: 5 V regulados

Dimensiones: 7,2 cm × 7,8 cm

Circuito impreso 2. Ver ANEXO 3 – Esquemático Circuito No.2

Descripción: Tarjeta RS232, Etapa de transmisión de datos. Ver Figura 5.10. Voltaje de alimentación: 5 V regulados

Tasa Baudios 9600 bauds

Dimensiones: 3,4 cm × 2,7 cm

Figura 5.9. Circuito No. 1

Figura 5.10. Circuito No. 2

Fuente de Alimentación

Descripción: Fuente de voltaje DC doble. Ver Figura 5.11.

Marca: KI

Modelo: DPS-1303D

Voltaje Máximo: 30 V

Corriente Máxima: 3 A

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Figura 5.11. Fuente de Voltaje Doble KI DPS-1303D

Microcontrolador Arquitectura: RISC de 16 bits

Serie: dsPIC30F4011

Voltaje de Operación: 5 V

Número de Pines: 40 pines

Número de Puertos I/O: 5

Módulos de PWM (incluyendo complementarios): 6

Frecuencia de PWM: 49 kHz

Comunicación serial: UART

Tasa de baudios UART: 9600 bauds

Driver o Puente H Descripción: Etapa de potencia

Referencia: L6203

Voltaje de alimentación lógica (enable): 5 V

Voltaje de Trabajo: 12 V

Corriente de Operación: 200 mA 5.3.2. Descripciones y Especificaciones del Sistema de Sensores El sistema de sensores de la plataforma consta de dos tipos de sensores. Un encoder capaz de registrar la velocidad de funcionamiento del motor DC y un puente H que además de funcionar en la etapa de potencia posee un sensor de corriente. Sus principales características se exponen a continuación.

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5.3.2.1. Encoder Se utilizó el encoder US DIGITAL E4P-360-118-HT (ANEXO 4 – Hoja de Especificaciones Encoder) el cual se observa en la Figura 5.12. Este es un encoder diseñado para brindar alta precisión en un alto volumen de aplicaciones las cuales tienen limitaciones de espacio, este enconder esta acoplado con un motor MAXON A-max 110960 (ANEXO 5 – Hoja de Especificaciones Motor DC) de alta precisión y eficiencia del cual se hablará más adelante. Sus características principales del encoder son:

Voltaje de alimentación: 5 V

Señal de Salida (frecuencia de conteo): 4 KHz - 49 KHz

Consumo de corriente: 10 mA

Resolución: 360 CPR (Conteos por revolución)

Figura 5.12. ENCODER US DIGITAL E4P-340-360-118-HT

5.3.2.2. Sensor de Corriente – Driver ó Puente H Se utilizó el sensor de corriente del puente H - L6203, con el fin de monitorear y registrar las diferentes corrientes del motor, las cuales sirven para realizar el análisis estadístico y validar el modelo hidrodinámico. Este es un sensor de corriente, el cual por medio de una resistencia Rs conectada adecuadamente al pin SENSE. Ver Figura 5.13. Provee una equivalencia sobre las corrientes del motor en determinadas condiciones. Esta información es al mismo tiempo registrada y almacenada en la computadora por medio de un puerto ADC del microcontrolador.

Figura 5.13. Puente H – LM6203 PIN Sensor de Corriente

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Sus características principales son las siguientes: Voltaje de registro: -1 a + 4 V

La información guardada en la computadora por medio del puerto ADC del microcontrolador es después interpretada como una corriente y tratada analíticamente con el fin de conocer su error, varianza, desviación estándar, etc. Se realiza un análisis adecuado para verificar que los datos obtenidos son confiables para poder ser aplicados a las formulas matemáticas que permitirán validar un modelo hidrodinámico. 5.3.3. Especificaciones del Sistema Motor El sistema motor consta de un motor DC con reductor encargado de dar movimiento a los diferentes objetos de prueba a una determinada velocidad. Sus características se exponen a continuación. 5.3.3.1. Motor DC con Reductor Se utilizó un motor DC MAXON A-max 26 110960 de alto desempeño y eficiencia, con reductor planetario GP 26 B con reducción de 53:1 (ANEXO 6 – Hojas de Especificaciones Reductor). Ver Figura 5.14. Este es un motor de 8010 rpm con un reductor acoplado, el cual genera una velocidad de salida en su eje de hasta 151 rpm.

Figura 5.14. Motor DC MAXON A-max 26 con reductor GP 26 B

Sus características principales son:

Referencia Motor: MAXON A-max 26 110960

Referencia Reductor: Planetary Gearhead GP 26 B

Largo: 8,5 cm

Diámetro: 2,6 cm

Peso (Motor + Reductor): 227 g

Corriente nominal sin carga: 56,7 mA

Voltaje Máximo de Operación: 12 V

Máxima eficiencia: 76 %

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Relación de Moto-reductor: 53:1

Velocidad Máxima: 8010 rpm 5.4. Especificaciones de Software de la Plataforma La plataforma usa dos tipos de software, uno destinado a la programación del microprocesador y otro utilizado para permitir la recepción de datos al computador.

5.4.1. Descripción y Especificaciones Sobre el Software de Programación El Software utilizado para la programación del microcontrolador es MPLAB® IDE v8.46. Ver Figura 5.15. Este es un programa gratuito pero limitado, que sirve como herramienta para desarrollar aplicaciones que involucren los microprocesadores dsPIC y PIC de Microchip. Cuenta con una interfaz gráfica que permite acceder a todas sus herramientas por un solo usuario. Permite simular, depurar y programar los proyectos que se realizan con esta herramienta.

Figura 5.15. MPLAB IDE

La programación del algoritmo de control se desarrollo en lenguaje C++ usando el compilador C30 que trae MPLAB® por defecto. El proceso de programación se realizó en varias etapas a medida que se iban desarrollando el proyecto. Sin embargo, al finalizar se consolidaron todas las rutinas de programación en un único y definitivo código fuente. ANEXO 7 – Código MPLAB Para la programación del microprocesador se utilizó el programador ICD2 de Microchip® y la tarjeta de desarrollo dsPICDEM2 del mismo fabricante. El ICD2 se conecta vía USB entre el computador del usuario con MPLAB IDE instalado y la tarjeta de desarrollo vía RJ-12. Ver Figura 5.16. Actúa como interfaz entre los dos, permitiendo al usuario mirar activamente dentro del microcontrolador, observando el estado de las variables, estableciendo puntos específicos de interrupción en la rutina. Por otra parte, la tarjeta de desarrollo dsPICDEM2 es una herramienta de desarrollo para la serie de microprocesadores dsPIC30 que incluye elementos de hardware y software que facilitan el desarrollo de las aplicaciones.

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Figura 5.16. Comunicación PC - Microprocesador

5.4.2. Especificaciones de la Interfaz de Comunicación Se utilizó un software abierto en periodo de evaluación llamado Docklight®. Este software es una herramienta de prueba, análisis y simulación para protocolos de comunicación RS232. Permite al usuario monitorear la comunicación entre dos dispositivos seriales, en este caso la tarjeta de desarrollo o la tarjeta RS232 implementada en el circuito definitivo. Docklight® facilita significativamente la recepción de los datos provenientes del modulo UART del microprocesador. Esta herramienta recibe datos relacionados a la corriente del motor y permite que sean fácilmente copiados y analizados analíticamente con Excel®. 5.5. Especificaciones de Movimiento Referente al sistema mecánico, ya que es este el que tiene que responder mecánicamente a la programación realizada y ejecutada por el usuario. Se diseñó entonces, un control de velocidad con el fin de cumplir los requerimientos de los experimentos, ya que se necesitan tener velocidades constantes para el correcto desarrollo y obtención de los datos en cada una de las pruebas. En la sección del código fuente correspondiente al control de velocidad, existe una variable de referencia (REF) asignada a la velocidad específica de movimiento del motor, la equivalencia de esta variable con respecto a la velocidad de movimiento del motor se muestra en la Tabla 5.1. Esta equivalencia se obtiene de la caracterización de velocidad del motor sin carga, a partir de un determinado voltaje aplicado siendo la velocidad verificada y registrada por medio del encoder. Teniendo en cuenta que si el motor tuviera carga, la que debe aumentar es la corriente más no el voltaje.

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Tabla 5.1. Caracterización de Velocidad del Motor

En la Figura 5.17., se muestra la relación que tiene la respuesta del encoder en frecuencia con respecto al voltaje aplicado al motor.

Figura 5.17. Voltaje Aplicado al Motor VS. Frecuencia del Encoder

Controlador (REF)

Voltaje Aplicado [V]

Frecuencia Encoder [kHz]

Frecuencia Motor [Hz] (Sin Reductor)

Frecuencia Motor [rpm] (Sin Reductor)

Frecuencia Motor [rpm] (Con Reductor)

1 2.78 5.10 14.17 850.00 16.04

10 3.26 6.90 19.17 1150.00 21.70

20 3.82 9 25.00 1500.00 28.30

30 4.39 11 30.56 1833.33 34.59

40 4.80 13.1 36.39 2183.33 41.19

50 5.47 15.1 41.94 2516.67 47.48

60 5.95 17.2 47.78 2866.67 54.09

70 6.43 19.4 53.89 3233.33 61.01

80 6.89 21.4 59.44 3566.67 67.30

90 7.34 23.6 65.56 3933.33 74.21

100 7.78 25.5 70.83 4250.00 80.19

110 8.23 27.6 76.67 4600.00 86.79

120 8.66 30 83.33 5000.00 94.34

130 9.12 32 88.89 5333.33 100.63

140 9.58 34 94.44 5666.67 106.92

150 10.08 36.5 101.39 6083.33 114.78

160 10.61 38.5 106.94 6416.67 121.07

170 11.14 40 111.11 6666.67 125.79

180 11.18 42.5 118.06 7083.33 133.65

190 11.40 45 125.00 7500.00 141.51

200 11.62 47 130.56 7833.33 147.80

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6. DESARROLLO 6.1. Diseño de Experimentos 6.1.1. Selección de Variables Como se describió anteriormente, es necesaria la realización del análisis dimensional con las variables que influyen en el proceso, para de esta forma determinar que parámetros seleccionar para llegar a variar estos para permitan su manipulación a un bajo costo.

a) Se listan todos los parámetros significativos: F, v, D, p, µ Con lo cual tenemos que N=5 parámetros.

b) Seleccionar un conjunto fundamental de dimensiones:

VARIABLE DIMENSIONES UNIDADES

Fuerza MLT-2 Kg*m/s2

Diámetro L m

Densidad ML-3 Kg/m3

Viscosidad ML-1 T-1 Kg/ms

Velocidad L-1 T-1 m/s

Tabla 6.1. Tabla de Análisis Dimensional No. 1

c) Listar las dimensiones de todos los parámetros, expresándolas en función de las dimensiones

primarias: Dimensiones fundamentales usadas

DIMENSION SIMBOLO Longitud L

Masa M

Tiempo T

Tabla 6.2. Tabla de Análisis Dimensional No.2

d) Numero de parámetros a dimensionales independientes:

I= N-R = 5-3 = 2

Ecuación 6.1.

Establecer ecuaciones dimensionales que combinen los parámetros repetitivos seleccionados en el cuarto paso, con cada uno de os parámetros restantes, buscando formar parámetros a dimensionales. La variable F, puede ser expresada como función exponencial de las cuatro restantes.

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F = pa * µb * Dc * Vd Ecuación 6.2.

Entonces las expresiones dimensionales son:

MLT-2 = (ML-3)a * (ML-1T-1)b * Lc * (LT-1)d Ecuación 6.3.

Se agrupa

MLT-2 = (Ma+b) * (L-3a-b+c+d) * (T-b-d) Ecuación 6.4.

Igualando exponentes

1=a+b para M 1=-3a-b+c+d para L -2=-b-d para T

Al resolver

a=1-b c=2-b d=2-b

Sustituyendo en la Ecuación 6.1.

F = p1-b * µb * D2-b * V2-b

Ecuación 6.5

F = p * D2 * V2 *(p-1 * µ * D-1 * V-1) b

Ecuación 6.6.

Ecuación 6.7.

Ecuación 6.8.

De la ecuación anterior se puede concluir que las variables a manipular para la realización de los experimentos son, la Fuerza, el diámetro de la esfera, la velocidad del fluido y la densidad, las cuales son el resultado del análisis dimensional. Un punto importante tras este resultado es observar que variar la densidad del fluido, en repetidas ocasiones, no es un procedimiento práctico ni económico. Para continuar con el diseño de los experimentos se analiza la Ecuación 6.8., la cual relaciona la densidad, velocidad, área transversal característica del sistema y la viscosidad del fluido. Aquí es importante detallar que la viscosidad del fluido y la densidad de este se mantendrán constantes, ya que cambiar estas llevaría mayor tiempo, trabajo e instrumentos de medición especiales los cuales

40

incrementarían los costos. Esto indica que los parámetros que son fácilmente manipulables son la velocidad, Fuerza y el área transversal del sistema. 6.1.2. Diseño de Planta. Para llegar a registrar alguno de los parámetros anteriormente mencionados, se procede a la realización de la planta la cual debe mantener algunos parámetros como constantes, mientras otros varían, para de esta forma con la Ecuación 6.8., poder calcular diferentes valores de número de Reynolds. Diferentes estudios para el análisis del coeficiente de arrastre en esferas se han realizado en tanques de prueba [17] en los cuales la esfera se deja caer en un fluido libremente. En estos experimentos la altura del tubo de prueba depende principalmente de la Ecuación 6.3. Debido que para la realización del análisis, el objeto que se deja caer en el fluido debe alcanzar su velocidad de sedimentación o velocidad límite, [5] la cual está directamente relacionada con el radio de las esferas y la densidad del fluido por el cual se mueve. Realizando el análisis se puede observar que para no llegar a obtener velocidades de sedimentación demasiado altas, se podría cambiar la densidad del fluido por el cual el objeto cae libremente, o bien realizar los experimentos con radios de esferas relativamente pequeños, sin embargo en la primera opción hacer el cambio de fluido para de esta manera tener uno con densidad superior a la del agua, incrementaría costos ya que sería necesario llenar con este un recipiente determinado para la ejecución de los experimentos. La segunda opción está restringida en este trabajo de grado ya que se quiere realizar el análisis con dos objetos de forma definida. De esta manera se hace necesario buscar un método que permita relacionar totas las variables implicadas en el proceso y a su vez que permita un fácil registro de los datos de interés para su posterior validación. Debido a las necesidades que se plantearon anteriormente surge la idea de poder llevar el objeto a una velocidad constante a través del fluido, lo cual evitaría tener que cambiar la densidad del fluido y a su vez poder utilizar un recipiente que no implique grandes inversiones. 6.1.2.1. Mecánica de la planta

6.1.2.1.1. Motor Logrando controlar la velocidad para que el movimiento de la esfera se mantenga como una constante cuando se mueve a través del fluido y revisando la Ecuación 6.8, la cual nos relaciona los parámetros con el numero de Reynolds, surge la idea de llevar la esfera a una velocidad constante verticalmente hacia arriba con un motor en el cual se implementara un control que permita hacer esto posible. Para llevar la esfera hacia arriba es necesario utilizar una cuerda con peso y diámetro despreciable respecto a los objetos que interesan para el estudio aquí presentado. Para relacionar los parámetros que afectan el proceso con el motor es necesario ver como se relaciona la fuerza que tiene que realizar el motor para poder llevar la esfera a través del fluido. Debido a que la corriente que necesita un motor para su funcionamiento está estrechamente relacionada con la fuerza que este debe hacer para el movimiento de una carga determinada y que su relación está dada como se muestra a continuación:

= Corriente Motor

41

= Fuerza del motor

= radio del eje

Ecuación 6.9.

Ecuación 6.10.

6.1.2.1.2. Poleas Ahora es importante llegar a utilizar solamente un motor para evitar mayores costos, lo cual implica que el intervalo de velocidades a las cuales se puede llevar la esfera verticalmente hacia arriba en el fluido, está limitado a ciertos rango de números de Reynolds debido a la velocidad tangencial que brindaría el eje del motor a utilizar. Dado que es necesario abarcar un intervalo mayor que el que puede proporcionar la velocidad tangencial a la cual gira el eje del motor se decide realizar dos poleas de diámetro diferente (3,5cm) las cuales permitirán aumentar esta, la cual está directamente relacionada con la Ecuación 6.8. De esta manera para una velocidad angular, tendríamos diferentes valores de velocidades tangenciales a las cuales se moverá la esfera inmersa en el fluido, lo cual permita ampliar el intervalo de número de Reynolds a validar en este trabajo.

6.1.2.2. Estructura de la planta La estructura de la planta debe cumplir con ciertos requisitos para lograr garantizar las exigencias anteriormente descritas. Para esto es necesario diseñar una estructura liviana que no signifique mayores costos en el proyecto pero que a su vez sea funcional. Esta estructura debe permitir buena estabilidad, ya que sobre ella irán empotrados el motor (con el cual se llevara la esfera hacia arriba) y una base, la cual tiene como función soportar el motor, para poder ejecutar los experimentos. Para permitir una buena estabilidad la estructura es diseñada en forma de trípode tal como se muestra en la Figura 6.1. Esta estructura contiene en su parte superior un eje con una polea, la cual ayuda para que la esfera siempre se mantenga en el centro del recipiente el cual contiene el fluido. El tanque debe tener una altura que permita que la esfera se mueva inmersa en el fluido. Así mismo el diámetro de este debe cumplir con la condición de ser por lo menos 5 veces el diámetro del objeto en estudio, esto para que el efecto pared sea despreciable (19).

42

Figura 6.1. Estructura de la Planta

Figura 6.2. Base, Soporte del Motor y Disco.

En la Figura 6.2., se puede observar cómo va empotrado el sistema mecánico a la estructura trípode. 6.1.3. Modelo Físico Realizando el diagrama de fuerzas para la subida de la esfera en un fluido (agua) a velocidad constante y relacionando la Fuerza del motor con los demás fuerzas en el proceso, tenemos:

Figura 6.3. Diagrama de fuerzas para una esfera llevada hacia arriba por el motor e inmersa en un fluido.

E

mF

dF

gmrF

43

Para una esfera, “Stokes” se determina el valor de k

(k=6*π*r) Ecuación 6.11.

Ecuación 6.12.

Debido a que la velocidad de subida se mantiene constante, tenemos aceleración 0, así entonces podemos escribir:

Ecuación 6.13.

Ecuación 6.14.

Ecuación 6.15.

Dado que el empuje se define en la Ecuación 6.15, se obtiene:

Ecuación 6.16.

Ecuación 6.17.

Ecuación 6.18.

Despejamos la fuerza de arrastre la cual es equivalente a:

Ecuación 6.19.

De la Ecuación 6.19 se puede observar que si el objeto se lleva a velocidad constante por el fluido y si la corriente para que el motor logre que esto ocurra es registrada, podemos obtener la fuerza de arrastre que se está ejerciendo sobre el objeto, la cual después, puede relacionada con el coeficiente de arrastre mediante la Ecuación 4.4.

44

6.2. Caracterización de Sistemas 6.2.1. Caracterización del Sistema Motor Desde un principio la búsqueda del motor adecuado para el desarrollo del proyecto se basó en la velocidad máxima necesaria para realizar los experimentos, también se busco que cumpliera con las características suficientes para el desarrollo del diseño. Cualidades tales como el voltaje de alimentación, el consumo de corriente sin carga y el torque suficiente para mover peso estimado de los objetos de prueba eran necesarias para la elección. Después de investigar en páginas web de fabricantes de motores, servicios en ingeniería y quizás más importante, revisar la disponibilidad, se optó por emplear el motor MAXON A-max 26 110960, fabricado por MAXON Motor con caja reductora de relación 53:1, ya que este motor cumple con las características necesarias para su implementación, funciona a 12 V, su velocidad después del reductor es aproximadamente 151 rpm, la corriente sin carga es 56 mA. Estas y demás características hacen que este motor se ajuste conforme a lo necesitado. 6.2.1.1. Parámetros Eléctricos del Motor DC Para realizar el diseño del control de velocidad para un motor DC, en principio se deben tener en cuenta sus características principales. En muchas ocasiones existe la necesidad de caracterizar el motor con el fin de obtener estos parámetros para definir su función de transferencia. Sin embargo, en este proyecto se utilizó el motor MAXON A-max 26, el cual cuenta con sus propias hojas de especificaciones que contienen todos los parámetros necesarios para la investigación. Al ser el motor DC controlado por armadura se sigue el modelo mostrado en la Figura 6.4. Así que se deben conocer los parámetros eléctricos del motor, como: la resistencia del devanado de armadura Ra, la inductancia de armadura La y constante de tiempo τ.

VDC

Ra La ia

Jm, Bm

τ ω

Figura 6.4. Circuito motor DC controlado por armadura

Después de revisar la hoja de especificaciones del motor se consideraron los parámetros necesarios para la realización de la función de transferencia. En la Tabla 6.3., se relacionan estos parámetros.

Parámetro Abreviatura Valor Unidades

Constante de Tiempo τ 2.4 ms

Resistencia de Armadura Ra 2.50 Ω

Inductancia de Armadura La 227×10-6 H

Tabla 6.3. Parámetros eléctricos del motor

45

6.2.1.2. Parámetros Electromecánicos del Motor DC Partiendo del esquema de la función de transferencia del modelo dinámico de un motor DC con salida ω (velocidad angular) Figura 6.5., y con base en las hojas de especificaciones del motor MAXON A-max 26 110960 y del reductor planetario GP 26 B 144035, se observan los diferentes parámetros involucrados en el modelo, como lo son la inductancia y la resistencia del bobinado, las constantes de torque del motor y de Back EMF y en la parte mecánica del motor, se incluyen parámetros de la inercia del rotor del motor así como la inercia de la carga, reflejados al eje del motor, incluyendo la inercia del reductor. [22]

Figura 6.5. Modelo Dinámico Motor DC [22]

Dando enfoque a la parte mecánica del motor, donde se contempla la inercia equivalente a ser reflejada al eje del motor, se realiza el cálculo teniendo en cuenta la conservación de la energía, en donde el resultado se puede calcular mediante la Ecuación 6.20.

= + r+ c Ecuación 6.20.

En donde el momento de inercia equivalente visto desde el eje del rotor del motor esta dado por la suma entre la inercia del motor (Jm), la inercia del reductor (Jr) y la inercia de la carga (Jc): comprendida por la suma entre la inercia de la polea de nylon (Jp) y la inercia de la masa de acero (Je). Después de realizar el análisis de inercias, se extraen de las hojas de especificaciones del motor y del reductor, los parámetros electromecánicos mencionados anteriormente para ser relacionados en el modelo dinámico del motor DC, estos se observan en la Tabla 6.4. Las hojas de especificaciones del motor y del reductor con todos sus parámetros pueden ser vistos en los ANEXOS 5 y 6.

Parámetro Abreviatura Valor Unidades

Constante de Torque del Motor Kt 13.9×10-3 Nm/A

Constante de Torque del BACK EMF Ke 13.86×10-3 V/(rad/s)

Inductancia de Armadura La 227×10-6 H

Resistencia de Armadura Ra 2.50 Ω

Inercia del Rotor del Motor Jm 1.35×10-6 Kg.m2

Inercia del Reductor Jr 4×10-7 Kg.m2

Inercia de la Carga Jc 148×10-6 Kg.m2

Inercia Equivalente Jeq 150×10-6 Kg.m2

Constante de Reducción Red 53

Tabla 6.4. Parámetros electromecánicos del motor y el reductor

RasLa +1

KteqsJ1

Ke

+−

em(s)

e(s) ω(s)

eléctrica Constante de torque

mecánica

Constante BACK EMF

Red1

reducción de velocidad

46

6.2.2. Caracterización del Sistema de Sensores 6.2.2.1. Encoder Al ser necesario contar con la información de la velocidad del motor como parámetro esencial para el control de velocidad. Se decidió utilizar un dispositivo que permitiera obtener este parámetro, entonces se buscó un encoder, primero de fácil y adecuado acoplamiento. Segundo, se consideró que este sensor brindara una adecuada resolución sobre la medida de velocidad, por lo tanto el encoder seleccionado debería realizar aproximadamente 150 conteos mínimos por vuelta, que es la velocidad del motor con el reductor acoplado. Sin embargó, para mayor resolución y precisión en las medidas se seleccionó un encoder de 360 conteos por vuelta. El cálculo de la resolución se encuentra en la Ecuación 6.21.

Ecuación 6.21

Ahora, como el objetivo de caracterizar el encoder es lograr implementar su señal de salida con el microcontrolador, este último se programó de tal manera que pudiera identificar cada uno de los 360 ciclos por revolución del motor. Por otra parte, se debía determinar con anterioridad la lectura del microcontrolador si el motor estuviera girando a su máxima velocidad, en este caso y partiendo de la información impresa en las hojas de especificaciones del motor, a 12 V el rotor del motor gira a 8010 rpm. Al mismo tiempo, como el motor esta acoplado a un reductor, la velocidad se reduce 53 veces, así que la velocidad en el eje seria igual a 151.1 rpm (2.52 Hz) @ 12 V. Como el encoder está unido al rotor del motor se calculó el número máximo de ciclos a velocidad máxima, como se observa en la Ecuación 6.22. Esto indica que la salida del encoder es interpretada como una señal máxima de aproximadamente 48.1 kHz.

Ecuación 6.22.

Ahora se calcula la ganancia del encoder, comparando el dato que lee el encoder a máxima velocidad y la velocidad máxima teórica del motor con el reductor acoplado. Tal como se observa en la Ecuación 6.23.

Ecuación 6.23.

6.2.3. Caracterización de la Etapa de Potencia La implementación de una etapa de potencia que va a alimentar el motor DC se realizó conectado el driver o puente H – L6203, utilizado comúnmente para aplicaciones de control de motores y que por sus características (frecuencia máx. de operación, voltaje máx. de alimentación y su alta eficiencia entre otros) se adecua perfectamente al diseño. Además, este dispositivo cuenta entre sus terminales con un sensor de corriente por el cual se busca obtener información que permitirá validar el modelo hidrodinámico. Con el fin de caracterizar el driver, se llevaron a cabo una serie de pruebas donde se relacionan el ciclo útil de la señal aplicada al driver con el voltaje de alimentación del motor. Estos datos son graficados y se

47

determina su tendencia lineal, de tal manera que se obtenga la pendiente de la recta la cual representa la constante del driver implementado. Ver Figura 6.6.

Figura 6.6. Voltaje aplicado al motor Vs. Porcentaje de Ciclo Útil

Al analizar la Figura 6.6., se puede ver la Ecuación 6.24., donde la pendiente de la grafica de tendencia lineal es igual a 6.82 y corresponde como se aclaro anteriormente, a la constante del driver a ser implementada más adelante en el sistema de control. Ver Ecuación 6.25.

Ecuación 6.24.

Ecuación 6.25

Como el driver funciona con una señal PWM, se desarrolló un programa en MPLAB® que genera un PWM en el microprocesador para ser implementado posteriormente en el código definitivo. El código completo se puede encontrar en el ANEXO 7 – Código MPLAB 6.3. Implementación del Sistema de Control Con el fin de asegurar que el motor gire a la misma velocidad angular programada por el usuario para garantizar el buen desempeño de los experimentos, se implementó un control de velocidad teniendo en cuenta las características del motor. Este control está integrado como un bloque independiente en el funcionamiento del sistema. Como se aclaro anteriormente en la caracterización del motor, se utilizó el modelo dinámico de un motor DC como se observa en la Figura 6.5. Los parámetros utilizados en este modelo fueron extraídos de hojas de especificaciones del motor y del reductor planetario. Ver Tabla 6.4.

y = 6.8174x - 0.0294

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 2 4 6 8 10 12 14

Cic

lo U

til (%

)

Voltaje Aplicado (V)

VOLTAJE APLICADO VS. CICLO UTIL

Ciclo Útil [%]

Linear (Ciclo Útil [%])

48

Figura 6.7. Diagrama de Bloque del Modelo de Control de un Motor DC

Sin embargo, del modelo dinámico mencionado es necesario extraer su función de transferencia a lazo cerrado y reemplazar los parámetros en ella, para luego implementarla en un modelo de control del sistema general (Ver Figura 6.7) donde se incluye el modelo del motor como un bloque único. La expresión de la función de transferencia que representa el bloque del motor DC se muestra en las Ecuaciones 6.26 y 6.27.

Ecuación 6.26.

Ecuación 6.27.

Ahora, con relación al diseño del controlador a lazo cerrado, se llevo a cabo un análisis que permitiera determinar cuál es el tipo de controlador más adecuado, por medio de la herramienta de software llamada SISOTOOL de MATLAB® la cual es una herramienta de control y estimación de controles para diferentes tipos de sistemas, se decidió entonces que el control que mejor se acomoda a las necesidades del sistema es un control tipo PI. Esto debido a que la acción proporcional el adecuado tiempo de establecimiento y por otra parte la acción integrar brinda una reducción del error de estado estacionario. Continuando con el procedimiento que se llevo a cabo para diseñar el control de velocidad del motor DC se hace la siguiente descripción. Usando la herramienta SISOTOOL, se selecciona primero que todo la arquitectura que más se acomode al modelo del sistema que se está implementando (Ver Figura 6.8.). Paso siguiente, se importan desde el área de trabajo de MATLAB® al SISOTOOL cada una de las variables y funciones de transferencia previamente definidas en un código diseñado para este fin (Ver ANEXO 8 – Parámetros del Sistema_MATLAB), de tal manera que el bloque G sea definido como la función de transferencia del motor DC (Ecuación 6.27.) multiplicada por la constante del driver (Ecuación 6.25.). Adicionalmente, los bloques H y F deben ser definidos como la constante del encoder (Ecuación 6.23.) y finalmente se deja libre el bloque C correspondiente al controlador para que pueda ser calculado por medio de este software.

CONTROL H PUENTE DC MOTOR

ENCODER

+−

ω(s)

Controlador PI Driver L6203 MAXON A-max 110960 + reductor + carga

Velocidad Feedback

REFERENCIA

Velocidad de Referencia

49

Figura 6.8. Arquitectura Seleccionada en SISOTOOL

En la Figura 6.10., se puede apreciar la ventana en la cual se cargan los parámetros del sistema desde el área de trabajo de MATLAB o directamente ingresando las constantes.

Figura 6.9. Ventana para el Ingreso de Paramentros

Paso siguiente, en la ventana principal de SISOTOOL se ubica el TAB correspondiente a “Analysis Plots”, en esta sección de la herramienta se pueden obtener diferentes tipos de graficas para el análisis del sistema a partir del controlador implementado. En este caso en especial se desea observar la respuesta a una entrada paso para el sistema a lazo cerrado, entonces se seleccionó “Step” y “Closed Loop r to y” para la grafica 1 (Plot 1). Tal como se muestra en la Figura 6.11.

Figura 6.10. TAB Analysis Plots – MATLAB® SISOTOOL

Finalmente, en el TAB de “Automated Tuning” se realiza la sintonización automática del controlador, en esta sección se puede escoger el método y tipo de sintonización que más se ajuste a las necesidades del

50

sistema, en este caso se selecciono el método de diseño “PID tuning” y se escogió un controlador de tipo PI (Ver Figura 6.12), ajustándolo para que tenga un tiempo de establecimiento aproximadamente de un segundo y un sobrepico no más grande del 15%, estos ajustes se realizaron de acuerdo a las necesidades del diseño donde se puede despreciar el sobrepico y el tiempo de establecimiento puede ser no mayor a un segundo; ya que la información relevante a ser extraída en los experimentos es cuando el sistema llega a su estado estable o a su velocidad terminal y en el peor de los casos el experimento dura aproximadamente 5 segundos, lo que da un intervalo de 4 segundos para la adquisición de datos, tiempo suficiente para almacenar los datos suficientes para el posterior análisis.

Figura 6.11. TAB Automated Tuning – MATLAB® SISOTOOL

En la Figura 6.13., se muestra la grafica correspondiente a la respuesta a la entrada paso a lazo cerrado para el sistema con el controlador PI resultado de la sintonización automática por SISOTOOL, en esta grafica se puede apreciar claramente el tiempo de establecimiento y sobrepico, los cuales no afectan el desempeño de los experimentos ya que este tiempo de establecimiento es despreciable para la mayoría de los pruebas, y en las que no, aun brinda un intervalo de tiempo suficiente para obtener los datos necesarios para el análisis. Por otro lado, en la Figura 6.14., se muestra un compilado de otras graficas resultado del diseño de este controlador, estas graficas corresponden al lugar de las raíces, el diagrama de bode y el diagrama de fase.

51

Figura 6.12. Respuesta a Entrada Paso del Sistema General – Con Controlador PI

Figura 6.13. Graficas de Adicionales Resultantes el diseno Controlador PI

Ya calculados los valores correspondientes a las contantes de control PI, es necesario discretizar el controlador diseñado, es decir, llevarlo del tiempo continuo al tiempo discreto con el fin de utilizarlo como un sistema digital de control discreto, en otras palabras, poder implementarlo en el microcontrolador. Sin embargo, la discretización conlleva una serie de implicaciones, ya que si el tiempo de muestreo es demasiado pequeño, el microcontrolador tendría que realizar un gran número de cálculos en un tiempo determinado, y por el contrario, si es muy grande, se puede llegar a perder información e inclusive a la inestabilidad del sistema debido a una lenta reacción del controlador. Entonces, la forma más adecuada para conocer el tiempo de muestreo ideal sin que sea este muy grande o por el contrario muy pequeño, es realizar discretizaciones del sistema a diferentes tiempos de muestreo, desde un tiempo alto, hasta alcanzar el tiempo preciso donde el sistema se comporte de manera similar a la respuesta en tiempo continuo. En este caso, la herramienta SISOTOOL de MATLAB® también es útil, debido a que permite realizar las discretizaciones del sistema a diferentes tiempos de muestreo, tal como se muestra en la Figura 6.15.,

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta a Entrada Paso del Sistema General - Con Controlador PI

Tiempo (seg)

Am

plitu

d

System: Closed Loop r to yI/O: r to yPeak amplitude: 1.15Overshoot (%): 15At time (sec): 0.507

System: Closed Loop r to yI/O: r to ySettling Time (sec): 1.12

(rad

/s)

52

donde, bajo el TAB “Architecture” después de abrir la ventana “Sample Time Conversion”, se puede elegir un método de conversión para cada uno de los bloques del sistema y además de introducir el tiempo de muestreo según sea la necesidad.

Figura 6.14. Ventana Sample Time Conversion – MATLAB® SISOTOOL

En la Figura 6.16., se muestran las graficas del sistema correspondientes al tiempo de muestreo igual a 300 ms comparada con la grafica en tiempo continuo.

Figura 6.15. Respuesta a Entrada Paso Sistema Discreto 300ms vs. Sistema Continuo

Ahora, se muestra la comparación con un tiempo de muestreo igual a 100ms. Ver Figura 6.17.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-0.5

0

0.5

1

1.5

2Respuesta Discreta a Entrada Paso - Tiempo de Muestreo 300ms

Tiempo (seg)

Am

plitu

d

Tiempo (seg)

Am

plitu

d

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta Continua a Entrada Paso

(rad

/s)

(rad

/s)

53

Figura 6.16. Respuesta a Entrada Paso Sistema Discreto 100ms vs. Sistema Continuo Finalmente, con un tiempo de muestreo igual a 20ms se puede ver una respuesta discreta muy aproximada a la respuesta en tiempo continuo. Ver Figura 6.18.

Figura 6.17. Respuesta a Entrada Paso Sistema Discreto 20ms vs. Sistema Continuo

Una vez encontrado el tiempo de muestreo más adecuado, se busca desarrollar la implementación del controlador PI en el microcontrolador, para este fin, primero se analiza la función de transferencia de un controlador PID en tiempo discreto. Ver Ecuaciones 6.28.y 6.29

Ecuacion 6.28.

Ecuación 6.29.

Ahora, se debe encontrar la ecuación diferencia discreta, así que se hace la transformada inversa, como se muestra en la Ecuación 6.30.

=

0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta Discreta a Entrada Paso - Tiempo de Muestreo 100ms

Tiempo (seg)

Am

plitu

d

Tiempo (seg)

Am

plitu

d

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta Continua a Entrada Paso

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta Discreta a Entrada Paso - Tiempo de Muestreo 20ms

Tiempo (seg)

Am

plitu

d

Tiempo (seg)

Am

plitu

d

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta Continua a Entrada Paso

(rad

/s)

(rad

/s)

(rad

/s)

(rad

/s)

Ecuación 6.30. Paso final, con ayuda de una función implementada en MATLAB® y expuesta en el ANEXO 7 – Código MPLAB, se obtienen los parámetros a, b y c relacionados en la Ecuación 6.29., a partir de las constantes de control kp=74.471e-006, ki=225.67e-006, kd=0 y también del tiempo de muestreo igual a 20ms. En el área de trabajo de MATLAB® se ejecuta la esta función, obteniendo los siguientes parámetros y = 7.6730e-005 4.5100e-006 Estos parámetros son entonces implementados en el código del control de velocidad del microcontrolador (Ver ANEXO 7 – Código MPLAB), tal como se muestra a continuación. y[k] =7.6730e-005 [k ] −4.5100e-006 [ −1] Por todo el análisis anterior y su implementación, se puede concluir que los controles solo dependen de una ganancia, la cual puede ser calculada directamente desde MATLAB®, usando la herramienta SISOTOOL. Lo que permite encontrar controles discretos listos para implementar digitalmente.

7. PRUEBAS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 7.1. Proceso de Ejecución para los Experimentos

7.1.1. Selección de Datos Para la ejecución de los experimentos es necesario tener una tabla de estos la cual sirva como guía para la ejecución. Esta tabla se basa en la Ecuación 4.8., la cual relaciona las variables que juegan un papel indispensable en este proceso. Conociendo que la densidad y la viscosidad serán parámetros los cuales se mantendrán constantes, se procede a efectuar todas las combinaciones posibles que se podrían realizar cuando se varía el parámetro de velocidad (v) junto con los diámetros (D) de los dos objetos de forma definida (esferas de 3.17 y 3,8 cm). Es importante ver que debido a que se utilizara un motor el cual es especificado en el capitulo anterior y al cual al implementar su control de velocidad es necesario utilizar un puente H para el manejo de potencia, el cual limita la velocidad mínima de este motor, la cual debido a esto varia en el intervalo [14:151] RPM. Es importante para aumentar el intervalo de velocidades tangenciales obtenidas con el motor, utilizar los discos de 3 y 5 cm respectivamente, con los cuales se logra obtener mayores velocidades y a su vez mayores números de Reynolds según Ecuación 4.8. A su vez para la ejecución es importante tener en cuenta la cantidad de experimentos que se realizaran dado que estos se ejecutaran en varias ocasiones con el fin de obtener repetibilidad para su posterior validación. Obtenidas todas las combinaciones posibles que podríamos realizar variando las revoluciones por minuto de una en una en el intervalo [14,151] RPM se encuentra que el numero de experimentos seria de 544, los cuales se repetirían cada una 3 veces por mínimo, lo cual resulta en 1632 ejecuciones, lo cual sería exagerado y llevaría demasiado tiempo la realización de estas pruebas.

Figura 7.1. Números de Reynolds obtenidos variando en una unidad las RPM

0.00

5000.00

10000.00

15000.00

20000.00

25000.00

30000.00

35000.00

40000.00

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101

106

111

116

121

126

131

136

141

146

151

156

Num

ero

de R

eyno

lds

Velocidad RPM

La Figura 7.1., muestra los resultados de número de Reynolds que se obtendrían con 544 experimentos los cuales se encontrarían cercanos o repetidos los unos de los otros, lo cual implicaría estar realizando varios experimentos con diferentes condiciones, para el mismo número de Reynolds. Para evitar esta repetición de experimentos la cual haría tediosa la ejecución de los mismos, se seleccionan datos para que las muestras estén separadas unas de otras de forma que para una velocidad tangencial solo se obtenga un valor determinado de número de Reynolds. Para efectos prácticos de la ejecución de los experimentos se decide variar la velocidad del motor (RPM), de manera que se obtengan números de Reynolds separados entre ellos. Para esto se realiza una selección de datos los cuales cubran el mismo rango pero con un mayor intervalo entre dato y dato. Seleccionando los datos para que los números de Reynolds se encuentren repartidos en todo el intervalo permitido por el motor y que la cantidad de experimentos a realizar no sea tan tediosa se obtiene la siguiente grafica (Figura 7.2.) la cual se obtiene a partir de la Tabla 7.1 (ANEXO 9 – Tabla de Experimentos )

Figura 7.2. Números de Reynolds obtenidos variando en una unidad las RPM

En la Figura 7.2., se puede observar que se están realizando una cantidad menor de experimentos (67), pero que a su vez estos cubren el mismo intervalo que se lograría con 544 experimentos. 7.2. Tabla de Experimentos La Tabla 7.1 estaría obteniendo valores entre los siguientes modelos matemáticos descritos anteriormente: Modelo de Carey [17] comprendido entre 700 <= Re < 10443 y el Modelo de Brauer [17] comprendido entre 10443 <= Re < 1.5*10^5. La tabla 7.1 (ANEXO 9) también indica el orden en que se ejecutaran los experimentos así como la cantidad de experimentos que se realizan (67 experimentos). Este orden según la velocidad, la cual comienza con el mínimo valor posible hasta llegar al máximo, esto debido a que es necesario mantener las mismas condiciones iniciales para cada uno de los experimentos.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Num

ero

de R

eyno

lds

RPM

# de Experimento RPM Diámetro

Esfera (cm) Radio

Disco (cm)

Velocidad

Tangencial Disco (m/s)

Re

Área Máx.

Transversal (Esfera)

Cd Fuerza de

arrastre (N)

1 15,75 3,17 3 0,049 1561 0,001 0,441 0,000

5 15,75 3,17 5 0,082 2602 0,001 0,420 0,001

9 15,75 3,8 3 0,049 1871 0,001 0,432 0,001

13 15,75 3,8 5 0,082 3119 0,001 0,415 0,002

2 17 3,17 3 0,053 1685 0,001 0,437 0,000

6 17 3,17 5 0,089 2808 0,001 0,418 0,001

10 17 3,8 3 0,053 2020 0,001 0,429 0,001

14 17 3,8 5 0,089 3366 0,001 0,414 0,002

3 18,5 3,17 3 0,058 1834 0,001 0,433 0,001

7 18,5 3,17 5 0,097 3056 0,001 0,416 0,002

,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,,

52 120 3,8 3 0,377 14257 0,001 0,428 0,034

65 120 3,8 5 0,628 23762 0,001 0,453 0,101

28 130 3,17 3 0,408 12885 0,001 0,423 0,028

40 130 3,17 5 0,681 21474 0,001 0,449 0,082

53 130 3,8 3 0,408 15445 0,001 0,433 0,041

66 130 3,8 5 0,681 25742 0,001 0,456 0,120

29 140 3,17 3 0,440 13876 0,001 0,427 0,033

41 140 3,17 5 0,733 23126 0,001 0,452 0,096

54 140 3,8 3 0,440 16633 0,001 0,437 0,048

67 140 3,8 5 0,733 27722 0,001 0,459 0,140

Tabla 7.1. Combinaciones Posibles para diferentes números de Reynolds (Tabla Resumen)

Para llegar a obtener la Tabla 7.1., se realizan todas las combinaciones posibles de diámetro de esfera (verde), radio disco (azul) con lo cual se logra aumentar la velocidad tangencial (naranja) la cual permite obtener números de Reynolds (amarillo) desde 1561 hasta 27722 utilizando la ecuación 4.8. Esto se realiza manteniendo las condiciones de flujo laminar. Para calcular el coeficiente de arrastre teórico (rojo), tomamos la ecuación del modelo de Schiller and Nauman 1 <= Re < 700 ecuación 4.24 y el modelo de Carey 700 <= Re < 10443 ecuación 4.25 [17], en estas se remplaza el valor de Re que aparece en la Tabla 7.1. y con lo cual se obtiene el resultado mostrado en color rojo, correspondiente al coeficiente de arrastre. Para determinar la fuerza de arrastre se remplaza el valor del coeficiente de arrastre teórico en la Ecuación 4.4 y esto entrega el resultado mostrado en la Tabla 7.1 (violeta). Es necesario en el momento de la ejecución de los experimentos, conocer como es el comportamiento que tendría la corriente teórica, para poder comparar el comportamiento que posteriormente se obtendrá. El resultado de este cálculo se muestra en la Tabla 7.2. en color amarillo. Este cálculo se realiza mediante la Ecuación 6.19, la cual relaciona la corriente con la fuerza de arrastre y permite conocer este resultado.

# de Experimento

Masa Esfera (kg)

Volumen Esfera (m3)

Radio Esfera (m)

Kt (mNm/A)

Radio Disco

Viscosidad Agua (n)

Corriente (A)

1 0,13 0,00002 0,02 0,01390 0,03 0,00093 0,35

5 0,13 0,00002 0,02 0,01390 0,05 0,00093 0,59

9 0,23 0,00003 0,02 0,01390 0,03 0,00093 0,61

13 0,23 0,00003 0,02 0,01390 0,05 0,00093 1,02

2 0,13 0,00002 0,02 0,01390 0,03 0,00093 0,35

6 0,13 0,00002 0,02 0,01390 0,05 0,00093 0,59

10 0,23 0,00003 0,02 0,01390 0,03 0,00093 0,61

14 0,23 0,00003 0,02 0,01390 0,05 0,00093 1,02

3 0,13 0,00002 0,02 0,01390 0,03 0,00093 0,35

7 0,13 0,00002 0,02 0,01390 0,05 0,00093 0,59

,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,,

52 0,23 0,00003 0,02 0,01390 0,03 0,00093 0,68

65 0,23 0,00003 0,02 0,01390 0,05 0,00093 1,38

28 0,13 0,00002 0,02 0,01390 0,03 0,00093 0,41

40 0,13 0,00002 0,02 0,01390 0,05 0,00093 0,88

53 0,23 0,00003 0,02 0,01390 0,03 0,00093 0,70

66 0,23 0,00003 0,02 0,01390 0,05 0,00093 1,44

29 0,13 0,00002 0,02 0,01390 0,03 0,00093 0,42

41 0,13 0,00002 0,02 0,01390 0,05 0,00093 0,93

54 0,23 0,00003 0,02 0,01390 0,03 0,00093 0,71

67 0,23 0,00003 0,02 0,01390 0,05 0,00093 1,51

Tabla 7.2. Tabla de Corrientes Teóricas

Ahora conociendo el valor de la corriente teórica y su comportamiento se procede con la ejecución de los experimentos, ya que por medio de estos se podrá realizar el registro las corrientes experimentales. 7.3. Ejecución Después de haber analizado, diseñado y aclarado el procedimiento para el desarrollo de los experimentos, se procede con la ejecución la cual requiere de la parte mecánica, electrónica, teórica y de software. Ya que se tienen 67 experimentos por realizar, distribuidos entre los modelos de Carey (700 <= Re < 10443) y Brauer (10443 <= Re < 1.5*10^5) (18), es necesario realizar las medidas por velocidades ya que reprogramar el micro controlador puede llegar a cambiar las condiciones iníciales de este y a su vez contribuir con errores no deseados en las medidas (Tabla 7.1.). Ya conocido el orden con que se realizaran los experimentos se decide realizar estos dentro y fuera del agua, cada opción de estas con tres repeticiones de modo que se llegue a obtener un consolidado de la información y así minimizar el error que se obtendría al solo realizarlos en una ocasión. Ya que las velocidades de ascenso en los experimentos varían en el intervalo de 0,049<v<0,733 m/s, el sistema de adquisición de datos en el límite inferior (Experimento 1) capturara 1670 muestras aproximadamente y en límite superior (experimento 67) 183 muestras (Tabla 7.1.) A continuación, se muestran los datos adquiridos para el primer experimento, en ellos es fácil notar que con solo una muestra se adquiere una buena cantidad de datos, los cuales deben ser filtrados para su posterior análisis estadístico. Esto demuestra que el control de velocidad funciona adecuadamente para los requerimientos exigidos en estos experimentos, debido a que permite recopilar la cantidad de datos necesaria en estado estable para su posterior validación.

Figura 7.3. Experimento 1 – Muestra 1 - Corriente

Figura 7.4. Experimento 1 – Muestra 1 - Bits

En la Figura 7.4., se muestra los datos que son entregados por el sistema de adquisición los cuales se encuentran en bits. La Figura 7.3., muestra la equivalencia en Amperios de la Figura 7.4. Este procedimiento es realizado para cada una de las muestras tomadas en la ejecución de los experimentos.

Figura 7.5. Experimento 1 – Muestra 2 - Corriente

Figura 7.6. Experimento 1 – Muestra 3 - Corriente

Las Figuras 7.3., 7.5. y 7.6., se muestran cada una de las muestras obtenidas en el experimento 1, (Tabla 7.1), allí es claro, errores que surgen ya sea por el comportamiento de los circuitos del sistema de adquisición o por otro factor el cual puede llegar a afectar el desarrollo normal de la ejecución de estos. Por eso es importante realizar las medidas en repetidas ocasiones con el fin de que estos errores no afecten de manera significativa el resultado. A continuación, los resultados obtenidos al ejecutar el experimento 1 tanto dentro del agua como fuera de esta. Por motivos de claridad en los gráficos solo contienen una cantidad determinada de datos para permitir una mejor resolución.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 500 1000 1500 2000

Corr

ient

e R

egis

trad

a

Número de Muestra

Experimento 1, Muestra 1 de 3, (Amperios)

0

50

100

150

200

250

300

0 500 1000 1500 2000

Bit

s R

egis

trad

os

Número de Muestra

Experimento 1, Muestra 1 de 3, Bits

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Corr

ient

e R

egis

trad

a

Numero de Muestra

Experimento 1, Muestra 2 de 3, (Amperios)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Corr

ient

e R

egis

trad

a

Numero de Muestra

Experimento 1, Muestra 3 de 3, (Amperios)

Figura 7.7. Experimento 1 – Aire Figura 7.8. Experimento 1 - Agua

Las dos figuras anteriores (Figura 7.7. y 7.8.) son la recopilación de las muestras tomadas para el experimento 1, realizadas cuando las esferas se mueven en el fluido y cuando se realizan en el aire. Nótese el pico de corriente generada por el arranque del motor solo afecta los primeros 50 datos mientras este llega a estado estable, lo cual garantiza que se obtendrán suficiente número de muestras para el análisis de los datos debido a que el menor número de datos recolectados es de 183. Las anteriores figuras (7.7 y 7.8) dejan claro que es necesario hacer un tratamiento de datos para lograr filtrar la información que no es necesaria en este proceso y que puede llegar a afectar de forma significativa los resultados obtenidos aquí. Filtrando la información arriba mencionada, se procede a obtener el valor medio (Ecuación 4.14.) por cada uno de los puntos de las tres repeticiones realizadas por cada experimento, obteniendo el siguiente resultado, el cual indica que es necesaria una mayor corriente para objetos que se encuentran fuera del recipiente con agua que para los que están inmersos en esta. Este resultado es importante ya que muestra claramente el efecto que realiza la fuerza del empuje sobre el objeto.

Figura 7.9. Grafica Efecto Fuerza de Empuje (Azul/agua, Roja/Aire).

El rojo en la Figura 7.9. representa el valor medio obtenido de las tres muestras realizadas punto a punto en 200 datos dentro del recipiente para el experimento numero 1 (Tabla 7.1.). En azul el mismo análisis

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 100 200 300 400

Corr

ient

e R

egis

trad

a (A

)

Numero de Muestra

Experimento 1, Aire

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 100 200 300 400

Corr

ient

e R

egis

trad

a

Numero de Muestra

Experimento 1, Agua

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 50 100 150 200 250 300Cor

rien

te S

ensa

da (A

)

Numero de Muestra

EMPUJE

descrito anteriormente pero dentro del recipiente. Este procesamiento de datos será analizado con mayor detalle posteriormente. 7.4. Validación y Análisis de Datos 7.4.1. Tratamiento Estadístico de Datos Para realizar la validación de los datos adquiridos experimentalmente, es importante realizar todo el proceso que comprende el análisis estadístico de datos, ya que esto permitirá no solo consolidar el proceso mediante el cual se llevó a cabo la adquisición de los datos, sino también hacer valida toda la investigación realizada. Ahora, es importante observar detenidamente los resultados estadísticos que arrojaron cada uno de los experimentos llevados a cabo durante esta investigación. Con este fin, se analizó en principio cada uno de los experimentos por separado. Primero, y como se aclaró anteriormente, eliminando los primeros 200 datos aproximadamente de cada experimento correspondientes al intervalo anterior al tiempo de estabilización del sistema, ya que los datos importante son aquellos que se adquieren cuando el sistema se encuentra en estado estable. Segundo, ya con los datos preparados, se realiza por medio de Excel® un análisis estadístico completo, donde en primera instancia se calculan parámetros importantes para el análisis, tales como: la media, la desviación estándar, la varianza, el error estándar entre otros. Paso seguido, se realizan los histogramas para cada serie de datos correspondientes a cada experimento. Y dependiendo de este resultado, poder afirmar si existe una confiabilidad en la adquisición de los datos, al asegurar que en algún intervalo de cada serie de datos hay un comportamiento de distribución normal. A continuación, se pueden observar los resultados obtenidos al realizar el análisis para tres experimentos escogidos aleatoriamente.

Figura 7.10. Histograma – Experimento 1

7 5

105

621

475

301

6 0 00

100

200

300

400

500

600

700

Frec

uenc

ia

Rango

HISTOGRAMA - EXPERIMENTO 1

Frecuencia

En la Figura 7.10., se muestra el resultado de realizar el histograma para el experimento 1, cabe aclarar que este histograma muestra la totalidad de datos en cada intervalo en la parte superior de cada barra, mostrando en este caso que la media de todos los datos se encuentra en el intervalo (en la barra) donde están la mayoría de datos, exponiendo una posible distribución normal. A continuación, se muestra un bosquejo más claro del comportamiento posiblemente normal de los datos experimentales. (Figura 7.11)

Figura 7.11. Grafica de Aproximación del Histograma – Experimento 1

El análisis estadístico realizado a los datos del experimento 1, es resumido en la siguiente tabla, en la cual se compara la diferencia que existe en los resultados obtenidos, tanto dentro como fuera del agua.

Tabla 7.3. Tabla de Análisis Estadístico – Experimento 1

En la Tabla 7.3., se pueden observar los parámetros generados a partir del análisis estadístico aplicado a los datos correspondientes al experimento 1. Acá, se pueden encontrar parámetros como la desviación estándar, la varianza, la media, los valores máximo y mínimos, entre otros. A continuación, se mostrarán los resultados obtenidos después de realizar este mismo desarrollo para otros 2 experimentos aleatoriamente escogidos, teniendo en cuenta que este análisis se implemento para cada uno de los 67 experimentos. Esta información se puede encontrar en el ANEXO 10 – Tabla General de Histogramas. Para el experimento 10, los resultados fueron los siguientes:

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,043 0,044 0,045 0,046 0,047 0,048 0,049 0,05

EXPERIMENTO 1

Experimento 1

Aire Agua

Mean 0,050152768 Mean 0,046136141Standard Error 1,40569E-05 Standard Error 1,87621E-05Median 0,050048876 Median 0,046041056Mode 0,049560117 Mode 0,045552297Standard Deviation 0,000831856 Standard Deviation 0,000753528Sample Variance 6,91985E-07 Sample Variance 5,67804E-07Kurtosis -0,592513597 Kurtosis 2,49196577Skewness 0,335048841 Skewness 0,158063652Range 0,004985337 Range 0,00742913Minimum 0,048289345 Minimum 0,042228739Maximum 0,053274682 Maximum 0,049657869Sum 175,6349951 Sum 74,41759531Count 3502 Count 1613

Figura 7.12. Histograma – Experimento 10

En la Figura 7.12., se puede apreciar el histograma resultante a partir del análisis de los datos obtenidos en el experimento 10.

Figura 7.13. Grafica de Aproximación del Histograma

– Experimento 10

Tabla 7.4. Tabla de Análisis Estadístico – Experimento 10

En la Tabla 7.4., se muestran los resultados obtenidos a partir del análisis estadístico aplicado a los datos correspondientes al experimento 10. Por otra parte, también se puede apreciar en la Figura 7.13. la grafica que caracteriza el histograma, la cual parece ser muy aproximada a una distribución normal. Sin embargo, con ayuda de MATLAB® y de la función normfit(), se puede comprobar para qué intervalos se puede afirmar que los datos se comportan al 95% como una distribución normal.

5

119

382

445

368

137

191 0

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Frec

uenc

ia

Rango

HISTOGRAMA - EXPERIMENTO 10

Frecuencia

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,067 0,068 0,069 0,07 0,071 0,072 0,073 0,074

EXPERIMENTO 10

Experimento 10

Aire Agua

Mean 0,076313559 Mean 0,069891017Standard Error 2,16275E-05 Standard Error 2,69483E-05Median 0,076246334 Median 0,069892473Mode 0,076083415 Mode 0,070218312Standard Deviation 0,000910926 Standard Deviation 0,001066419Sample Variance 8,29787E-07 Sample Variance 1,13725E-06Kurtosis 4,331445933 Kurtosis 1,522687293Skewness 0,156117438 Skewness 0,741257932Range 0,01026393 Range 0,008471815Minimum 0,071358749 Minimum 0,066797002Maximum 0,081622678 Maximum 0,075268817Sum 135,3802542 Sum 109,449332Count 1774 Count 1566

Para el experimento 34, los resultados fueron los siguientes:

Figura 7.14. Histograma – Experimento 10

En la Figura 7.14., se puede apreciar el histograma resultante a partir del análisis de los datos obtenidos en el experimento 34.

Figura 7.15. Grafica de Aproximación del Histograma

– Experimento 34

Tabla 7.5. Tabla de Análisis Estadístico – Experimento 34

Como se puede observar en las tres muestras de análisis estadísticos, correspondientes a los experimentos 1, 10 y 34, no siempre se obtuvo la misma distribución de datos, e inclusive los comportamientos son visiblemente distintos. Sin embargo, se puede comprobar si las distribuciones para cada uno de los experimentos se aproximan a distribuciones normales, garantizando que exista un punto medio para cada experimento, el cual sea apropiado para ser utilizado en el proceso de validación del modelo hidrodinámico.

4

9

18 18

33

11

6

10 0 0

0

5

10

15

20

25

30

35

Frec

uenc

ia

Rango

HISTOGRAMA - EXPERIMENTO 34

Frecuencia

-0,01

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,15 0,151 0,152 0,153 0,154 0,155 0,156

EXPERIMENTO 34

Experimento 34

Aire Agua

Mean 0,158191549 Mean 0,151914304Standard Error 4,84921E-05 Standard Error 7,44856E-05Median 0,158194852 Median 0,151840991Mode 0,158357771 Mode 0,151840991Standard Deviation 0,00083429 Standard Deviation 0,000942177Sample Variance 6,96039E-07 Sample Variance 8,87697E-07Kurtosis -0,406639352 Kurtosis 1,155655914Skewness -0,017017217 Skewness 0,546720846Range 0,003910068 Range 0,005050505Minimum 0,156239818 Minimum 0,149723037Maximum 0,160149886 Maximum 0,154773542Sum 46,8246986 Sum 24,30628869Count 296 Count 160

7.4.1.1. Correlación Una vez comprobada la validez de los datos, por medio del análisis de los histogramas y extraídos los puntos medios para cada experimento, se puede realizar la primera grafica comparativa de datos teóricos y datos experimentales, donde se relacionan la corriente del motor vs. el numero de Reynolds. Figura 7.16.

Figura 7.16. Corriente teórica y experimental con el mismo patrón de comportamiento.

Es importante recordar que se extrajo la información relacionada a la corriente del motor debido a que este es el parámetro que más se ajustaba al cálculo de torque, y por ende al cálculo de la fuerza de arrastre y el coeficiente de arrastre. Se puede ver claramente que la corriente teórica tiene un comportamiento muy similar a la corriente experimental. Sin embargo, existe un método analítico más objetivo que permite aclarar que tan relacionada esta una de la otra. Para realizar la verificación que permita saber si realmente las dos graficas tienen el mismo comportamiento, es necesario aplicar la correlación de Pearson [15] (Ecuación 4.21), a los resultados obtenidos de la corriente teórica y de la corriente experimental. Este coeficiente entregará la fuerza o cercanía de la relación entre los dos vectores de datos. Aplicando la correlación de Pearson, se obtiene que el coeficiente de correlación entre los valores teóricos y los valores obtenidos de forma experimental es igual a:

rxy= 0.58 Ecuación 7.1.

En el archivo, ANEXO 11- Correlación Corriente_Error. Se puede encontrar todo el procedimiento que se llevo a cabo para realizar el cálculo de la correlación de Pearson. Para interpretar el coeficiente de 0.58 obtenido tras la aplicación de la Ecuación 4.21, es importante tener en cuenta el tipo de trabajo que se está llevando a cabo, ya que según esto se tiene una diferente propia interpretación del resultado. Para este caso en especial, se tiene una interpretación determinada, dado que una correlación de 0.58 según la Tabla 4.1. [17], daría como interpretación una relación lineal positiva y fuerte. La primera observación es completamente valida porque cuando un dato teórico aumenta, también lo hace un dato

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

Corr

ient

e (a

mpe

rios

)

Numero de Reynolds

Corriente (A) vs. Reynolds

Corriente Teorica

Corriente Experimental

experimental, tal como se aprecia en la Figura 7.16. Con la segunda observación es necesario tener mayor cuidado ya que se encuentra en la mitad del intervalo descrito por la tabla, surge la necesidad entonces, de realizar otra interpretación que se ajuste de forma adecuada con el proceso. Para el análisis del proceso experimental, se tuvo que evaluar el coeficiente de correlación según la fiabilidad que brindaría el proceso y su validez. La fiabilidad de los resultados obtenidos experimentalmente seria baja, pero sin embargo, el coeficiente de correlación dice que si hablamos de valides este resultado sería alto. [16] 7.4.1.2. Línea de Tendencia Corriente Teórica y Experimental Con el fin de complementar el análisis estadístico, existe un método analítico que permite conocer la tendencia lineal de una serie de datos. En la Figura 7.17. Se pueden observar las líneas de tendencia correspondientes a la series de datos experimentales y teóricos. En este caso se ve claramente que ambas líneas de tendencia bastante aproximadas, lo que consolida aun más la valides de los datos obtenidos.

Figura 7.17. Línea de tendencia corrientes teóricas y experimentales.

Adicionalmente, es importante conocer el error porcentual que tienen los datos experimentales frente a los datos teóricos, entonces se encontró que el valor de error varía entre el siguiente intervalo: Valor mínimo porcentual de error % = 0.1 Valor Máximo porcentual de error % =11.5 7.4.1.3. Correlación Coeficiente de arrastre teórico y experimental Es necesario graficar el coeficiente de arrastre vs el número de Reynolds a partir de los datos obtenidos experimentalmente. La figura 7.18 muestra claramente que para números de Reynolds>10000 el error dado por el modelo experimental frente al modelo teórico decrece.

y = 3E-05x + 0.4643R² = 0.3647

y = 3E-05x + 0.3659R² = 0.7925

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

Cor

rien

te M

otor

(A)

Numero de Reynolds

Corriente Motor vs. Número de Reynolds

Datos Teoricos

Datos Experimentales

Linear (Datos Teoricos)

Realizando los cálculos para obtener el coeficiente de correlación se obtiene rxy=-0.17, lo cual dice que tenemos una relación lineal negativa y débil. Este resultado es fácilmente comprobable en la siguiente figura, ya que se nota claramente que los primeros datos experimentales no siguen el mismo parámetro de comportamiento que los teóricos.

Figura 7.18. Comparación Datos Experimentales y Datos Teóricos con Respecto al Coeficiente de Arrastre

Gráficamente es notable el comportamiento a medida que aumenta el número de Reynolds. El error empieza a decrecer y se obtiene resultados más acordes con el modelo teórico. Nótese que sucede algo extraño al graficar el coeficiente de arrastre experimental contra el numero de Reynolds, ya que cuando se realizo el análisis para la corriente experimental frente el numero de Reynolds, el error no sobrepaso el 11% y ahora tenemos un error que claramente sobrepasa lo esperado. Realizando el análisis del modelo físico representado con la ecuación 6.19 se logra notar que esta ecuación es susceptible a cambios menores de corriente, dado que con esta se calcula la fuerza de arrastre y posteriormente el coeficiente de arrastre. Cambios en unos pocos miles de amperios resultan en errores grandes en el momento de realizar la grafica del coeficiente de arrastre. Esto sumado a que en los experimentos, el hecho de cambiar el objeto y las poleas con los cuales se obtenían valores de Reynolds cercanos pero con diferentes condiciones iníciales contribuye al error, el cual termina evidenciándose en los resultados. Es importante aclarar que este proceso podría tener una mejor infraestructura la cual evitara disminuir el error, pero uno de los motivos de esta tesis es poder llevar a cabo este estudio con una menor inversión económica.

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

1000 10000 100000

Coe

ficie

nte d

e ar

rast

re

Número de Reynolds

Coeficiente de Arrastre vs. Número de Reynolds

Datos teoricos Datos Experimentales

8. CONCLUSIONES Parte fundamental de toda investigación es lograr implementar, recopilar y consolidar conocimientos adquiridos a lo largo de un proceso. En este caso validar un modelo hidrodinámico es una combinación de un completo y complejo trabajo teórico, donde la etapa de recopilación de información fue parte fundamental del proceso, conocer antecedentes ayuda a justificar aun más el trabajo a desarrollar, y aclara las ideas para lograr implementar un sistema adecuado para lograr los objetivos con éxito. En este trabajo de grado, se realizó una investigación siguiendo una metodología, donde la interdisciplinariedad fue y ha sido parte fundamental en su desarrollo, ayudando a integrar conocimientos de sistemas de control, física aplicada, dinámica de objetos, electrónica analógica y digital, reconociendo que existe la necesidad de diseñar un sistema versátil, confiable, funcional e inclusive de bajo costo, que permitiera realizar una validación a un modelo hidrodinámico ya existente con el fin de comprobar la planta diseñada es adecuada para posteriores estudios. La implementación de los experimentos se llevo a cabo de una manera adecuada, sin llegar a ser la optima, debido a una serie de limitantes, como los son los altos costos para desarrollar otros diseños adecuados para este fin, además, la falta de instalaciones adecuadas para el diseño de un sistema más robusto. Sin embargo, con la planta diseñada y elaborada, se logro llevar a cabo los experimentos con dos objetos diferentes correspondientes a dos esferas con diámetros diferentes sin ningún contratiempo. También es importante aclarar que en la etapa inicial se intento trabajar con un cilindro, sin embargo la gran mayoría de los modelos teóricos son realizados para 2D y en esta dimensión tanto la esfera como el cilindro comparten el modelo matemático. Se logró diseñar e implementar un control para el motor DC el cual permitió llevar a cabo el desarrollo de los experimentos de una manera adecuada respetando todas las pautas establecidas en el diseño de las pruebas a realizar, se buscó utilizar herramientas específicamente dedicadas a diseñar sistemas de control por medio de la computadora, haciendo de este trabajo un proceso más amigable e innovador. Sin embargo, el controlador implementado en el microcontrolador pudo no haber sido óptimo debido a su diseño, es por esta razón que es recomendable para trabajos posteriores diseñar e implementar un control más robusto que no brinde solo confiabilidad sino también precisión y exactitud. Se realizó una correcta y adecuada implementación del sistema de adquisición de datos por medio de un modulo de conversión análogo digital presente en el microcontrolador, garantizando un buen desempeño a lo largo de todos los 67 × 3 procesos de experimentación llevados a cabo, esto permitió la adquisición de la información necesaria para lograr la validación de los datos experimentales, evidenciado en los resultados mostrados en la figura 7.5. Cuando se evaluaron las corrientes obtenidas teóricamente y experimentalmente, se obtuvo un error máximo de discrepancia entre los datos del 11%. De manera simultánea, el coeficiente de correlación obtenido entre los datos teóricos y experimentales de las corrientes es equivalente al 0.58 lo cual demuestra que estos datos siguen el mismo patrón de movimiento, es decir si los datos teóricos de corriente aumentan, los datos experimentales tenderán a realizar este mismo comportamiento. Con esto se concluye que los experimentos muestran una buena precisión, sin embargo no se tiene exactitud respecto a las medidas teóricas. El resultado expuesto anteriormente nos da una idea de que tan exactos deben ser los experimentos para llegar a obtener mejores resultados en una ejecución posterior, Dado que en nuestra situación se obtuvo una buena precisión pero con baja exactitud. Este resultado de obtener baja exactitud es causado debido a que en el proceso de la ejecución y planeación de los experimentos, influyen demasiadas variables las cuales en dado momento se toman despreciables sumando a esto errores sistemáticos del proceso, para de esta forma facilitar los cálculos matemáticos, ya que se buscaba que fueran lo más sencillos posibles. Así

mismo de los resultados obtenidos podemos decir que el sistema de adquisición de datos cumple con las características requeridas, brindando precisión en la medida, todo esto comprobado mediante los histogramas ya que como se observa estos tienen comportamiento normal. Sin embargo para experimentos posteriores en los cuales se desee obtener una mayor exactitud en la información, se hace necesario que las variables despreciadas en este trabajo de grado sean tenidas en cuenta, esto con la finalidad de obtener mayor fiabilidad en la información. Ahora bien analizando la grafica de Coeficiente de arrastre experimental y teórico contra el número de Reynolds figura 7.18, podemos notar que se encuentra una alta discrepancia en los primeros valores entre estos dos coeficientes, esto es debido a que las ecuaciones matemáticas planteadas aquí para el análisis de este fenómeno físico requieren de mucha precisión, y cualquier variación en el valor de la corriente hará que cuando se calcule el coeficiente de arrastre su valor varié bastante del valor teórico. Lo anteriormente comentado demuestra que el método realizado en este trabajo para la ejecución de los experimentos es válido para los números de Reynolds mayores a 10000, lo cual no sucede para valores inferiores debido a que se hace necesario la elaboración de un control de velocidad que garantice con un mínimo error la velocidad requerida, En conclusión estos experimentos no gozan de muy buena fiabilidad. Una Posibilidad para mejorar los resultados obtenidos en este trabajo hace que sea necesario hacer el control de velocidad más extenso, es decir que tenga referencias más pequeñas de velocidad, con el fin de que este se aproxime cada vez más a una constante, con el fin que la corriente registrada sea exactamente la que el motor requiere para llevar la esfera a determinada velocidad debido a que la forma de onda de la corriente influye directamente en los resultados. Este sistema no se limita simplemente a realizar mediciones para esferas. También puede ser utilizado para encontrar nuevos modelos hidrodinámicos para objetos de diferentes formas para los cuales sea necesario obtener su modelo experimental del coeficiente de arrastre vs Numero de Reynolds. Inclusive se puede llegar a encontrar modelos experimentales para objetos como vehículos e incluso materiales a sumergir en procesos industriales. Adicional a esto la planta puede llegar a ser utilizada como un dinamómetro de alta precisión no solo estático sino también dinámico. La planta puede ser mejorada si es posible tener un tanque de pruebas más alto, el cual implica mayores costos, lo cual contrastaría con este trabajo de grado ya que una de las ideas es poder realizar experimentos con resultados validos a un bajo costo.

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