viabilidad técnica y económica de tornillos hidrodinámicos para ...
modelado numérico de flujos hidrodinámicos de interés ...
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MODELADO NUM ´ ERICO DE FLUJOS HIDRODIN ´ AMICOS DE INTER ´ ES MEDIOAMBIENTAL Tom´ as Chac´ on-Rebollo Universidad de Sevilla Grupo ”Modelado Matem´ atico y Simulaci´on de Sistemas Medioambientales” Jornada de Matem´ atica Industrial y Medioambiental, 8 junio 2012
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MODELADO NUMERICO DE FLUJOSHIDRODINAMICOS DE INTERES MEDIOAMBIENTAL
Tomas Chacon-RebolloUniversidad de Sevilla
Grupo ”Modelado Matematico y Simulacion de Sistemas Medioambientales”
Jornada de Matematica Industrial y Medioambiental,8 junio 2012
Guion de la conferencia
1 Algunos ejemplos: Que sabemos hacer y para que puede servir.
2 El papel de las matematicas: Fiabilidad del simulador.
3 Un poco de matematicas: La estabilidad.
4 Modelos de flujo oceanico 3D. Algunas dificultades.
5 Modelos de aguas someras. Algunas dificultades.
6 Algunas aplicaciones.
Algunos ejemplos. Que sabemos hacer.
Flujo inducido por el viento en el lago de Ginebra
Viento horizontal: v = 7.5 (cos 45, sin 45) m/s. Latitude: 45 N.
Dimensiones del lago : 65 Km largo, 13 Km ancho.
Profundidad maxima: 300m.
Isobatas cada 50m.
Algunos ejemplos. Que sabemos hacer.
Flujo inducido por el viento en el lago Leman
Velocidad vertical. Corte en plano z = −50 tras 12h.
Algunos ejemplos. Que sabemos hacer.
Flujo inducido por el viento en el lago Leman
Velocidad vertical. Corte en plano transversal al viento tras 12h.
Algunos ejemplos. Que sabemos hacer.
Flujo inducido por el viento en el lago Leman
Velocidad vertical. Corte en plano z = −50 tras 24h.
Algunos ejemplos. Que sabemos hacer.
El rıo Maro: Desembocadura de un torrente
Algunos ejemplos. Que sabemos hacer.
El rıo Maro: Desembocadura de un torrente
Algunos ejemplos. Que sabemos hacer.
El rıo Maro: Desembocadura de un torrente
Algunos ejemplos. Que sabemos hacer.
El rıo Maro: Desembocadura de un torrente
Algunos ejemplos. Que sabemos hacer.
El rıo Maro: Desembocadura de un torrente
Algunos ejemplos. Que sabemos hacer.
El rıo Maro: Desembocadura de un torrente
El papel de las matematicas
Fiabilidad del simulador
Validacion oficial: Por comparacion con mediciones experimentales.
¿Que se puede lograr con las matematicas?
Convergencia: Los resultados se parecen a la solucion teorica.
Precision: El error esta por debajo de una tolerancia dada.
Utiles: Mallado adaptativo. Analisis Matematico.
El papel de las matematicas
Mallado adaptativo
Refrigeracion del apartamento de Daniel.
Un poco de matematicas
Un poco de matematicas: La estabilidad
Ecuacion del transporte:
∂ρ
∂t+ c
∂ρ
∂x= 0, ρ(x , 0) = a(x).
Aproximamos ρ(xi , tn) ' ρni ,
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.5
0
0.5
1
1.5
2
∆ x
∆ t
0
t
x
(xj,t
n)
tn
xj
Discretizacion del dominio en espacio y tiempo.
Un poco de matematicas
La estabilidad: Discretizacin.
Aproximacion de las derivadas:
Derivada en tiempo:∂ρ
∂t(xi , tn) '
ρn+1i − ρni
∆t,
Derivada en espacio:∂ρ
∂x(xi , tn) '
ρni+1 − ρni−1
2∆x.
O bien∂ρ
∂x(xi , tn) '
ρni − ρni−1
∆x. O bien
∂ρ
∂x(xi , tn) '
ρni+1 − ρni∆x
. O
bien ...
−3 −2 −1 0 1 2 3
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0
ρ
x
Esquema de tres discretizaciones.
Un poco de matematicas
La estabilidad: Resultados.
−3 −2 −1 0 1 2 3−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
∆ x =0.0125, ∆ t= 0.01
−3 −2 −1 0 1 2 3−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
∆ x =0.00625, ∆ t= 0.005
t= 0.15 t= 0.15
Solucion con esquema centrado
Un poco de matematicas
La estabilidad: Resultados.
−3 −2 −1 0 1 2 3−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
∆ x =0.0125, ∆ t= 0.01
−3 −2 −1 0 1 2 3−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
∆ x =0.00625, ∆ t= 0.005
t= 0.15 t= 0.15
Solucion con esquema descentrado.
Un poco de matematicas
La estabilidad: Analisis
¿Que esta ocurriendo?Esquema descentrado a izquierda:
ρn+1i = λ ρni + (1− λ) ρni−1, con λ =
∆t
∆xc
Datos afectados de error (redondeo, error en mediciones,...):ρ0i ' ρ0
i + δ0i .
El error se propaga satisfaciendo el mismo esquema:
δn+1i = λ δni + (1− λ) δni−1.
Si λ ≤ 1, (Condicion CFL), entonces
|δn+1i | ≤ max|δni |, |δni−1|
Por tanto, los errores no crecen.
Un poco de matematicas
La estabilidad: Interpretacion.
Ecuacion equivalente:
∂ρ
∂t+ c
∂ρ
∂x− ε h ∂
2ρ
∂x2= 0.
Se introduce difusion numerica.
La precision se limita.
Modelos de flujo oceanico 3D
Modelos de flujo oceanico 3D. Geometrıa
Ω = (x, z) ∈ Rd , x ∈ ω, −D(x) < z < 0, ω ⊂ Rd−1
Γs ≡ ω × 0 Superficie , Γb ≡ Fondo y paredes laterales
Ω
Γs
Γb
D
Modelos de flujo oceanico 3D
Ecuaciones Primitivas del Oceano
Obtener U = (u, u3) : Ω× (0,T ) 7→ Rd Velocidady P : Ω× (0,T ) 7→ R Presion
tales que
∂tu + U · ∇u− µ∆u + α k× u +∇HP = 0 in Ω× (0,T )
∂vP = −ρg in Ω× (0,T )
∇ ·U = 0 in Ω× (0,T )
−µ∂u∂n|Γs = τw , u3|Γs = 0 in (0,T )
u|Γb= 0, u3 · n3|Γb
= 0 in (0,T )
u(0) = u0 in Ω.
τw : Tension del viento en superficie.
Modelos de flujo oceanico 3D
Validez de las Ecuaciones Primitivas
Grandes escalas de tiempo y espacio: Hipotesis de “techo rıgido”:
u3 = 0 en x3 = 0 (superficie).
Pequeno espesor relativo: Presion hidrostatica: ∂vP = −ρ g .
Modelos de flujo oceanico 3D
Discretizacion: Metodo de los Elementos Finitos.
Ecuaciones formuladas debilmente.
Multiplicar por funciones test.Integrar por partes.
Velocidad y presion aproximadas por funciones polinomicas a trozos.
Linealizacion del problema resultante.
Descomposicion de dominios.
Ultimo problema a resolver: Sistemas lineales cuadrados.
Precondicionamiento.Paralelizacion.
Modelos de flujo oceanico 3D
Aproximacion del dominio
Approximacion de Ω: Mediante dominios poliedricos Ωh en estratos:
dh
z = - D (x)h
Modelos de flujo oceanico 3D
Elementos finitos prismaticos.
Aproximacion de velocidad: Mediante polinomios rk(x , y , x) sobrecada prisma, de la forma
rk(x , y , z) = pk(x , y) qk(z).
Aproximacion de presion superficial: Mediante polinomios
pl(x , y).
´ Nodos de presion (en superficie)
Nodos de velocidad horizontal
Localizacion de nodos de interpolacion para k = 2.
Modelos de flujo oceanico 3D
Una dificultad: La estabilidad de la presion.
Si se discretizan velocidad y presion con polinomios del mismo grado:
X-0.0001 5e+06 1e+07pres
ZY
Resolucion de las ecuaciones de Navier-Stokes. k = l = 1.
Modelos de flujo oceanico 3D
Una dificultad: La estabilidad de la presion.
Si se discretizan velocidad con un grado mas que la presion:
X-20 25 70pres
ZY
Resolucion de las ecuaciones de Navier-Stokes. k = 2, l = 1.
Modelos de flujo oceanico 3D
Analisis: Condicion inf-sup.
Observacion: La incompresibilidad es una restriccion que debesatisfacer la velocidad.
No se deben imponer “demasiadas”restricciones respecto a la velocidadal discretizar.
Condicion inf-sup:
Condicion de compatibilidad entre los espacios de velocidad y presion.Garantiza la estabilidad de la discretizacion de la presion.
Existe una constante β > 0 independiente de h tal que ∀qh ∈ Mkh ,
β ‖qh‖L20(Ωh) ≤ sup
vh∈Vkh−0
(∇ · vh, qh)Ωh
‖∇vh‖L20(Ωh)
Modelos de flujo oceanico 3D
Una dificultad: La estabilidad de la conveccion.
Si la velocidad es pequena:
2.48e-36 4.37 8.74velo
XZY
Resolucion de las ecuaciones de Navier-Stokes. Velocidad baja.
Modelos de flujo oceanico 3D
Una dificultad: La estabilidad de la conveccion.
Si la velocidad aumenta:
velo0 X
Y-6 6 Z
Resolucion de las ecuaciones de Navier-Stokes. Velocidad alta.
Modelos de flujo oceanico 3D
Una dificultad: La estabilidad de la conveccion. Analisis ysolucion.
Analisis: Identica dificultad al problema de transporte si la convecciones dominante.
Solucion: Tecnicas de descentramiento. Mas faciles de implantar enMetodos de Volumenes Finitos.
Metodos estabilizados. Termino estabilizante adicional.
Metodos distributivos. Eficaces pero bastante difusivos.
Adaptacion de mallas. Reducen el paso de malla local.
Modelos de flujo oceanico 3D
Temas de investigacion en desarrollo.
Metodos estabilizados para Ecuaciones Primitivas: Bajo coste, altoorden. Biblioteca de modelos con FreeFem++.
Modelizacion de la turbulencia para flujo oceanico. Modelos de tipoVariational Multi-scale. Comodos de programar y precisos.
Metodos de descomposicion de dominio. Condiciones de transmisionimpuestas en norma natural.
Biblioteca de modelos para flujo oceanico con FreeFem++.Ecuaciones Primitivas 3D. Densidad constante y variable.
Equipos: T. Chacon, M. Gomez, S. Rubino, I. Sanchez,E. Chacon, D. Franco.
Colaboraciones: C. Bernardi, V. Girault, F. Hecht, R. Lewandowski.
Modelos de flujo oceanico 3D
Descomposicion de dominios: Ecuaciones de Stokes.
Solucion directa de las Ecuaciones de Stokes en un disco.
Modelos de flujo oceanico 3D
Descomposicion de dominios: Ecuaciones de Stokes.
Solucion directa de las Ecuaciones de Stokes en un disco.
Modelos de flujo oceanico 3D
Descomposicion de dominios: Ecuaciones de Stokes.
Solucion de las Ecuaciones de Stokes en un disco. DDM.
Modelos de aguas someras
Modelos de de aguas someras:
Promedio vertical de las Ecuaciones Primitivas:
Obtener (q1, q2) : (0, L)× (0,T ) 7→ R2 Caudaly h : (0, L)× (0,T ) 7→ R Espesor del flujo t. q.
∂h
∂t+∂q1
∂x1+∂q2
∂x2= 0,
∂q1
∂t+
∂
∂x1
(q2
1
h+
1
2gh2
)+
∂
∂x2
(q1q2
h
)= gh
∂H
∂x1− Sf ,1,
∂q2
∂t+
∂
∂x1
(q1q2
h
)+
∂
∂x2
(q2
2
h+
1
2gh2
)= gh
∂H
∂x2− Sf ,2.
hH
Ecuaciones de aguas someras: Dominio.
Modelos de aguas someras
Modelos de aguas someras: Sistemas hiperbolicos conterminos fuente
Formulable como un Sistema Hiperbolico con terminos fuente:
∂W
∂t+
∂
∂xF (W ) = G (x ,W ) en ]0, L[×]0,T [,
con W =
hq1
q2
.
Re-formulable como un Sistema Hiperbolico no Conservativo:
∂W
∂t+ A(W )
∂W
∂x= 0 en ]0, L[×]0,T [,
¿Sentido de las ecuaciones?:
Formulacion debil integrando a lo largo de caminos.
Modelos de aguas someras
Modelos de aguas someras: Discretizacion.
Metodo de Volumenes Finitos:
Se divide el intervalo (0,L) en particiones Ii = [xi−1/2, xi+1/2], xi = i ∆xSe integra sobre Ii × (tn, tn+1),
Ley de conservacion en forma integral:
Wn+1i −W
ni
∆t+
Fni+1/2 − F
ni−1/2
∆x= G
ni ,
con
Wni =
1
∆x
∫ xi+1/2
xi−1/2
W (x , tn) dx , Fni+1/2 =
1
∆t
∫ tn+1
tn
F (W (xi+1/2, t)) dt,
Gni =
1
∆x∆t
∫ tn+1
tn
∫ xi+1/2
xi−1/2
G (x ,W (x , t)).
Modelos de aguas someras
Modelos de aguas someras: Discretizacion
Es necesario determinar:
El flujo numerico: F ni+1/2 ' F
n
i+1/2(Wn
i ,Wn
i+1).
La fuente numerica G ni ' G
n
i (xi−1/2, xi+1/2;Wn
i ,Wn
i+1).
Resolucion aproximada del Problema de Riemann.
Descentramiento asociado del termino fuente.
i+1
x i+1/2
Wi
W
Condicion inicial para el problema de Riemann. Fondo variable
Modelos de aguas someras
Modelos de aguas someras: Dificultades
Estabilidad: Tecnicas de descentramiento del flujo. Anade difusionnumerica. Limita la precision.
Buen equilibrado: El agua en reposo debe ser calculada exactamente.Tecnicas de descentramiento del termino fuente.
Alto orden: Usando interpolacion de alto orden. Limitadores dependiente.
Transiciones seco-mojado: Puede producir velocidades infinitas.Resolucion adaptada del principio de conservacion.
Modelos de aguas someras
Temas de investigacion en desarrollo.
Modelos de arrastre/transporte/deposicion de sedimentos.
Modelos de avalanchas: Submarinas, nieve,...
Modelos de tsunamis.
Metodos descentrados de alto orden.
Modelos de aguas someras no hidrostaticos: Multicapa, VMS.
Equipo: E. D. Fernandez Nieto, G. Narbona, K. El Hadji.
Colaboraciones: P. Noble, P. Vigneaux, J. D. Zabsonre,...
Modelos de aguas someras
Algunos ejemplos: Vertido de Aznalcollar.
Se vertieron 3.6 Hm3 de agua y 0.9 Hm3 de lodos.Los lodos estaban compuestos de 24 elementos toxicos.Alto contenido en zinc y arsenico.El vertido ocupo aproximadamente 50 km. de largo.Llego a alcanzar 500 m. de anchura en algunos tramos.Rıos Agrio y Guadiamar.
Mallado de las balsas.
