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SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008

PLANEACIÓN DIDÁCTICA DOCENTES FEPD-004

V 06 ELABORACIÓN DE PLANEACIÓN DIDÁCTICA PP-PPA-EPD-06

PQ-ESMP-05

Identificación

Asignatura/submodulo: Geometría Analítica Secuencia 1-3

Plantel :Querétaro

Profesor (es): Juan Luis Reséndiz Arteaga, David Calderón Rivera

Periodo Escolar: Agosto 2017 -Enero 2018

Academia/ Módulo: Matemáticas

Semestre: Tres

Horas/semana: 4 horas Horas/semestre: 64 horas

Competencias: Disciplinares (x) Profesionales ( ) 5.- Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 8.- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas, y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias Genéricas: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de

distintos equipos de trabajo.

Resultado de Aprendizaje: Que el estudiante interprete, argumente, comunique y resuelva diversas situaciones problemáticas de su contexto

por medio de gráficos y analíticos, que incluyan la representación de figuras en el plano cartesiano.

Tema Integrador: Las coordenadas

Competencias a aplicar por el docente (según acuerdo 447): 2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo 5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo. 6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo.

7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e integral de los estudiantes.

Dimensiones de la Competencia

Conceptual: ▪ Define punto, segmento, distancia,

plano, punto medio. ▪ Conoce los diferentes sistemas de

coordenadas y su transformación de uno a otro.

Procedimental: ▪ Construye el plano cartesiano ▪ Aplica las formulas básica en el sistema rectangular

y convierte coordenadas del sistema rectangular a polar y viceversa.

▪ Traza segmentos de recta ▪ Calcula distancia entre puntos ▪ Divide un segmento ▪ Calcula pendiente y ángulo de inclinación

Actitudinal: Compromiso, su creatividad, el orden, la participación y la cooperación, el respeto hacia sus compañeros, la puntualidad, la limpieza en sus trabajos, la tolerancia, la perseverancia, la libertad, la responsabilidad y la motivación.

Actividades de Aprendizaje

Tiempo Programado: 21 horas Tiempo Real:

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Fase I Apertura

Competencias a desarrollar (habilidad,

conocimiento y actitud)

Actividad / Transversalidad

Producto de Aprendizaje

Ponderación Actividad que realiza

el docente (Enseñanza)

No. de sesiones

Actividad que realiza el alumno

(Aprendizaje)

El material didáctico a

utilizar en cada clase.

DISCIPLINARES:

5 y 8

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

1.- El facilitador explica el contenido del curso, así como la forma de evaluación, la interrelación con otras asignaturas, el material didáctico, software, etc., así como otros aspectos disciplinarios y motivacionales. 1 Sesión

Toma nota sobre forma de evaluar, temas a desarrollar en durante el semestre

Secuencia, Cuaderno de

trabajo, cuaderno de

trabajo

NA

NA

2.- Pide al grupo

realizar la actividad: 1,

2, 3 por mí y por mi

comunidad del fichero

CONSTRUYE-T.

1 Sesión

Realiza la actividad en forma ordenada

Hoja de actividad

CONSTRUYE-T NA NA

3.- Solicita al estudiante resolver examen diagnóstico. 1 Sesión

Resuelve examen diagnostico

Examen

Examen resuelto

NA

4.- Solicita realizar la lectura “Un año aprendiendo matemáticas cambia de manera notable el funcionamiento del cerebro.” Se resuelve examen diagnostico 1 Sesiones

Generar de forma individual un reporte de la lectura y mencionar en sus conclusiones que es lo más relevante. Toma notas sobre solución de examen diagnóstico.

Reporte individual

Reporte escrito 4%

5.- Solicita a los alumnos suscribirse a los canales de YouTube “julioprofe” y “math2me” Actividad extra clase

Se suscribe a los canales señalados

Computadora

No aplica NA

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6.- Solicita a los alumnos ver en YouTube algún video que explique. Aspectos históricos de la Geometría Analítica, elementos, sistemas de coordenadas, ¿Qué es La Geometría Analítica, para que se utiliza?, etc. Actividad extra clase

Realiza un organizador gráfico con los conceptos más relevantes del video.

Video en YouTube

Organizador

grafico

3%

DISCIPLINARES:

5 y 8

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

7.- Solicita a los estudiantes observar en los canales suscritos videos relacionados con los temas:

1.-Coordenadas rectangulares y polares, trasformación entre sistemas 2.- Distancia entre puntos 3.-Division de un segmento en una razón 4.-Puntos en el plano 5.-Punto medio 6.-Perimetros y áreas Actividad extra clase

Realiza uno o varios organizadores gráficos con los conceptos más relevantes del video

Video en YouTube

Organizador grafico

3%

8.- En plenaria realiza preguntas detonantes directas o indirectas ¿Qué es la Geometría Analítica?, ¿Cuáles son los sistemas de coordenadas?, ¿Qué diferencia existe entre ellos?, ¿Qué aplicaciones tiene en nuestra vida? 1 sesión

Participar en la sesión plenaria para aportar información de la cual se Pizarrón partirá para realizar ejercicios relacionados con las operaciones fundamentales

Pizarrón Cuaderno de

apuntes

Notas en el pizarrón y el cuaderno (Retroalimentación de las actividades anteriores)

No aplica

Fase II Desarrollo



Actividad/ transversalidad


Ponderación Actividad que realiza el docente

(Enseñanza)


(Aprendizaje)

El material didáctico a utilizar

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No. de sesiones en cada clase.

DISCIPLINARES:

5 y 8

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

9.- Realiza ejercicios y ejemplos en el pizarrón de los temas a desarrollar. 1.-Coordenadas rectangulares y polares, trasformación entre sistemas 2.- Distancia entre puntos 3.-Puntos en el plano 4.-Punto medio 5.-Perimetros y áreas Resuelve dudas. 5 sesiones

Toma nota de los ejemplos en el pizarrón, desarrolla las prácticas de clase incluidas en el cuaderno de trabajo y

pregunta dudas al respecto.

Cuaderno de trabajo,

pizarrón plumones

Notas en el cuaderno y en

el pizarrón

No aplica

10.- Solicita resolver las actividades 1, 2, 3, 4, 5, 6, del cuaderno de trabajo. De acuerdo al grupo se puede realizar en equipos de trabajo. Durante el proceso resuelve dudas. 7 sesiones

Resuelve las actividades 1, 2, 3, 4, 5, 6, del

cuaderno de trabajo Pregunta dudas

Cuaderno de trabajo pizarrón plumones

Problemarios resueltos

20%

Fase III Cierre Competencias a

desarrollar (habilidad,


Actividad/transversalidad


Ponderación Actividad que realiza el

docente (Enseñanza)

No. de sesiones


(Aprendizaje)



DISCIPLINARES:

5 y 8

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

11.- Solicita a los alumnos resolver las actividades del Anexo: Las coordenadas 2 sesiones

Desarrolla la actividad de cierre donde aplica los temas vistos en el parcial.

Cuaderno de trabajo

Actividades resueltas en el cuaderno de

trabajo

10%

12.- El docente proporciona la evaluación escrita al alumno 1 sesión

Resuelve la evaluación que se le proporciona

Evaluación Examen 60%

13.- Se retroalimenta en plenaria sobre los objetivos planeados y los alcances de la evaluación, analizan y solicitan tareas de los

El alumno da sus puntos de vista sobre los resultados de evaluación, realiza tareas de investigación del parcial 2.

No aplica

No aplica

No aplica

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temas del siguiente parcial y se inician actividades del mismo. 1 sesión

Se cumplieron las actividades programadas: SI ( ) NO ( )

*EN CASO DE REALIZAR CAMBIOS VER REGISTRO DE LOS MISMO EN ANEXO*

Elementos de Apoyo (Recursos)

Equipo de apoyo Bibliografía

▪ Computadora ▪ Proyector ▪ Calculadora científica ▪ Cuaderno de trabajo ▪ Geógebra ▪ Internet

▪ Pérez y Romero, Alejandro. (2000). Geometría Analítica México: Editorial propia.

▪ Sánchez Almanza Oscar (2015) Geometría Analítica México : Editorial KeepReading

▪ Cuaderno de trabajo elaborado por la academia

Evaluación

Criterios: Heteroevaluación Evaluación Autoevaluación Examen 60% Productos 40 %

Instrumento: Rúbrica general Examen de conocimiento.

Porcentaje de aprobación a lograr: 80% Fecha de validación: 9 de Agosto de 2017

Fecha de Vo. Bo de Servicios Docentes 7 de Agosto de 2017

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RUBRICA GENERAL PARA EVALUAR 1er PARCIAL FASE DE APERTURA

ACTIVIDAD EXCELENTE MUY BIEN BIEN REGULAR EN PROCESO

PORCENTAJE 4% 3% 2% 1.5% 1%

4.- Reporte de

lectura “Un año

aprendiendo

matemáticas

cambia de

manera notable

el

funcionamiento

del cerebro.”

Entrega a tiempo, Orden, limpieza y ortografía adecuada. Presenta el 100% de los elementos abordados en la lectura da conclusiones de la misma.

Entrega a tiempo, Orden, limpieza y ortografía adecuada. Presenta el 90% de los elementos abordados en la lectura da conclusiones de la misma.

Entrega a tiempo, Orden, limpieza y ortografía adecuada. Presenta el 80% de los elementos abordados en la

lectura da conclusiones de

la misma.

Entrega a tiempo, Orden, limpieza y ortografía adecuada. Presenta el 70% de los elementos abordados en la

lectura da conclusiones de la

misma.

Entrega a tiempo, Orden, limpieza y ortografía adecuada. Presenta el 60% o

menos de los elementos

abordados en la lectura no hay conclusiones


PORCENTAJE 3% 2.5% 2% 1.5% 1%

6.- Organizador

grafico sobre el

videos sobre

aspectos

históricos y

elementos de la

Geometría

Analítica

Entregó en tiempo y forma; El organizador está conformado por conceptos o ideas clave. Existe la jerarquización de conceptos. Orden y limpieza

Entregó en tiempo y forma; El organizador está conformado por conceptos o ideas clave. Existe la jerarquización de conceptos.

Entregó en tiempo y forma; El organizador está conformado por conceptos o ideas clave.

Entregó en tiempo y forma; El organizador está conformado la mayor parte de ideas clave.

Entregó en tiempo y forma; El organizador está no tiene orden ni expresa en el las ideas clave.


PORCENTAJE 3% 2.5% 2% 1.5% 1%

7.- Organizador

grafico sobre el

videos

relacionados con

los temas a

desarrollar






FASE DE DESARROLLO


PORCENTAJE 20% 15% 10% 8% 5%

10.- resolver las actividades 1, 2,

3, 4, 5, 6 del cuaderno de

trabajo

Resuelve , entrega a tiempo y limpio el 100% de las actividades

Resuelve entre el 80% y 90% de las

actividades


actividades

Resuelve entre el 50% de las actividades

Resuelve menos del 50% de las

actividades

FASE DE CIERRE

ACTIVIDAD EXCELENTE MUY BIEN BIEN REGULAR

PORCENTAJE 10 % 8 % 6 % 4 %

11.- Resolver La actividad Las Coordenadas

Resuelve el 100% de las actividades


actividades


actividades

Resuelve el 50% o menos de las actividades

ACTIVIDAD VALOR DEL A EVALUACION 60% PORCENTAJE

12.- Resolver evaluación

Resuelve Evaluación

CALIFICACION PRIMER PARCIAL

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COEVALUACION

ACTITUDINAL

Alumno:1 Nombre:

Alumno:2 Nombre:

Alumno:3 Nombre:

Alumno:4 Nombre:

Califica el desempeño de tus compañeros en una escala del 1 al 10

Indicadores Alumno 1 Alumno 2 Alumno 3 Alumno 4

1.- Fue responsable al momento de resolver los problemas

2.- Compartió ideas y opiniones con los compañeros

3.- Respeta las críticas e ideas de sus compañeros

4.- Motivo el trabajo en equipo mediante diferentes actitudes con sus compañeros

Total

AUTOEVALUACION

ACTITUDINAL

Nombre:

Califica tu desempeño en una escala del 1 al 10

Indicadores Evaluación

1.- Fui responsable y me interese por mi aprendizaje

2.- Compartí ideas y opiniones con mis compañeros

3.- Respeta y fui tolerante a las críticas e ideas de mis compañeros

4.- Resolví los problemarios y aprendí los conceptos principales de los temas

5.- Entregue mis trabajos a tiempo y limpios

6.- Estoy consciente que el resultado obtenido es producto de mi esfuerzo y dedicación

Total

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Actividad 2

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Actividad 3

EJERCICIO DIAGNÓSTICO GEOMETRÍA ANALÍTICA FECHA:

SEMESTRE Y

ESPECIALIDAD: ACIERTOS:

ALUMNO: (Apellido, Nombre)

CALIFICACIÓN:

I.- Completa los enunciados escribiendo la respuesta en la casilla del crucigrama que corresponda

a cada ejercicio.

13 16

1 14

2

3 15 4

12 9

5

6

10

7

8 11 HORIZONTALES

1. Es el punto en el que se intersectan las bisectrices del triángulo.

2. Recta de la circunferencia que toca dos de sus puntos y pasa por el centro.

3. Recta de la circunferencia que toca dos de sus puntos y no pasa por el centro.

4. Ángulo que mide más de 90° y menos de 180°.

5. Ángulo que mide menos de 90°.

6. Triángulo que tiene sus tres lados desiguales.

7. Rectas que al intersectarse forman ángulos de 90°.

8. Triángulo que tiene dos lados iguales y uno diferente.

9. Recta de la circunferencia que toca solo uno de sus puntos.

10. Rectas que al intersectarse forman ángulos distintos a 90°.

11. Recta de la circunferencia que corta dos de sus puntos.

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VERTICALES

12. Restas del triángulo que se intersectan en e l ortocentro.

13. Es el punto en el que se intersectan las mediatrices del triángulo.

14. Recta de la circunferencia que toca uno de sus puntos y el centro.

15. Rectas que por su posición nunca se juntan o intersectan.

16. Rectas del triángulo que se intersectan en el bar icentro.

Ubica las siguientes coordenadas en el siguiente plano cartesiano y relaciónalas por medio de rectas en el mismo orden que están escritas. Colorea la figura resultante.

A(-7,8) B(3,8) C(2,5) D(-6,5) A(-7,8) E(-5,2) F(-5,-1) G(-6,-4)

H(-6,-6) I(-5,-8) J(-3,-8) K(-3,-6) H(-6,-6) K(-3,-6) L(0,-8) M(4,-8)

N(6,-7) O(7,-6) P(7,-4) Q(2,-3) R(1,-1) S(1,2) C(2,5)

y

X

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Actividad 4

Un año aprendiendo matemáticas cambia de manera notable el

funcionamiento del cerebro.

Se ha demostrado que un solo año de lecciones de matemáticas está asociado a cambios grandes e inesperados en la forma en que el cerebro enfoca la solución de problemas, y estos cambios se pueden detectar en los escaneos cerebrales de niños de segundo curso y de tercero. El hallazgo es el resultado más nuevo en la línea de investigación seguida por el equipo de Vinod Menon, profesor de psiquiatría y ciencias del comportamiento, así como de neurología, en la Escuela de Medicina de la Universidad de Stanford. Menon y sus colaboradores están profundizando en los entresijos de cómo los niños desarrollan habilidades para resolver problemas, con el fin de encontrar mejores métodos de enseñanza para los niños que tienen dificultades en aprender matemáticas. El último estudio del equipo de Menon es el primero en abordar la cuestión de cómo un año de clases de matemáticas elementales cambia el funcionamiento del cerebro en algunos aspectos. La investigación demuestra que después del tercer curso, enfrentarse a los problemas aritméticos requiere de nuevos e inesperados patrones de comunicación neuronal entre regiones del cerebro implicadas en el pensamiento numérico y la memoria de trabajo. La sorpresa es que se aprecian cambios cerebrales significativos en tan sólo un año, tal como subraya Menon. El hallazgo pudo hacerse gracias, en parte, al periodo de tiempo escogido. El estudio se centró en los cambios cerebrales acaecidos durante un intervalo de un año, entre el segundo curso y el tercero, en vez de estar orientado a analizar los cambios en el desarrollo que se producen desde la etapa infantil hasta la adolescencia, o desde ésta hasta la edad adulta, como suele ser lo habitual en investigaciones sobre el desarrollo mental. A pesar de las muchas diferencias individuales, un año de escolarización tiene, como promedio, el impacto principal, o uno de los principales, sobre las habilidades mentales y el funcionamiento del cerebro. El estudio revela que existen diferencias, respecto al modo de trabajar del cerebro, de un año al

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siguiente. No se trata tanto de cambios estructurales, sino de cambios en el modo en que las diferentes regiones del cerebro responden ante tareas aritméticas simples o complejas.

Actividad 11

Las coordenadas

Analiza la siguiente información y con base en la misma ubica los puntos en el plano.

Una empresa es contratada para realizar la vigilancia de un vecindario mediante el uso de

drones que sobrevolaran el área del vecindario en diversos puntos, el siguiente plano se

representa en un plano cartesiano, los drones despegaran del origen y cada unidad

representa 10 metros.

Puntos Coordenada

rectangular

Coordenada

polar

Distancia

recorrida

1. A Capilla del panteón (-14,-15.5)

2. B Plaza (11.6,107.3°)

3. C Iglesia (-7.1,10.5)

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4. D Glorieta (18.2,179.2°)

5. E Escuela (9,-13.1)

6. F Puente (23.7,333.8°)

7. G Parque (20.6,7.6)

Determina las coordenadas rectangulares del punto que divide los segmentos en la

razón dada, así como su distancia, pendiente y ángulo de inclinación.

Segmento Razón Punto Distancia Pendiente Angulo

EC 1:2

AG 2:3

DG 3:5

BF 5:8

Obtén el perímetro y el área del polígono formado por los vértices:

Vértices Perímetro Área

ADE

BFG

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Identificación


Plantel :Querétaro




Semestre: Tres







Tema Integrador: Teotihuacán




Conceptual: ▪ Define recta ▪ Reconoce las formas de la ecuación de

una recta. ▪ Reconoce las cónicas ▪ Describe las características de las

cónicas ▪ Define circunferencia

Procedimental: ▪ Determinas las diferentes formas de la ecuación de

la recta. ▪ Determina los puntos y rectas notables de un

triángulo. ▪ Resuelve problemas de circunferencia, encuentra

elementos y formas de la ecuación

Actitudinal: Compromiso, su creatividad, el orden, la participación y la cooperación, el respeto hacia sus compañeros, la puntualidad, la limpieza en sus trabajos, la tolerancia, la perseverancia, la libertad, la responsabilidad y la motivación.



Fase I Apertura

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No. de sesiones


(Aprendizaje)



DISCIPLINARES:

5 y 8

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

1.- Solicita a los estudiantes observar en los canales suscritos videos relacionados con los temas: Línea Recta. Pendiente ángulo de inclinación de la recta. Formas de la ecuación de la recta. Puntos y rectas notables del triángulo. Circunferencia Elementos, Ecuaciones Actividad Extra clase


Video en YouTube

Organizador grafico

10%

2.- En plenaria realiza preguntas detonantes directas o indirectas sobre los temas a desarrollar en el parcial. Línea Recta. Pendiente ángulo de inclinación de la recta. Formas de la ecuación de la recta. Puntos y rectas notables del triángulo. Circunferencia Elementos, Ecuaciones 2 sesión

Participar en la sesión plenaria para aportar información de la cual se partirá para realizar ejercicios relacionados


apuntes


No aplica

Fase II Desarrollo







No. de sesiones


(Aprendizaje)

El material didáctico a utilizar en cada clase.

DISCIPLINARES:

5 y 8

3.- Realiza ejercicios y ejemplos en el pizarrón de los temas a desarrollar. Línea Recta. Pendiente ángulo de inclinación de la recta. Formas de la ecuación de la recta. Puntos y rectas notables del triángulo. Circunferencia Elementos, Ecuaciones 5 sesiones




pizarrón plumones


el pizarrón

No aplica

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GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

4.- Solicita resolver las actividades 7, 8, 9, 10, 11 ,12 y 13 del cuaderno de trabajo. De acuerdo al grupo se puede realizar en equipos de trabajo. Durante el proceso resuelve dudas. 9 sesiones

Resuelve las actividades 7, 8, 9, 10, 11 ,12 y 13

del cuaderno de trabajo Pregunta dudas

Cuaderno de trabajo


20%








No. de sesiones


(Aprendizaje)



DISCIPLINARES:

5 y 8

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

5.- Solicita a los alumnos resolver las actividades del Anexo: Teotihuacán 3 sesiones


Libro de texto, pizarrón plumones


trabajo

10%




7.- Se realiza visita escolar a Base aérea Santa Lucia, Museo Nacional de Aeronáutica y Pirámides de Teotihuacán

Realiza visita No aplica Reporte en actividad 5

No aplica

8.- Se retroalimenta en plenaria sobre los objetivos planeados y los alcances de la evaluación, analizan y solicitan tareas de los temas del siguiente parcial 1 sesión

El alumno da sus puntos de vista sobre los resultados de evaluación, realiza tareas de investigación del parcial 3.

No aplica

No aplica

No aplica





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▪ Cuaderno de trabajo elaborado por la academia

Evaluación





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RUBRICA GENERAL PARA EVALUAR 2do PARCIAL FASE DE APERTURA


PORCENTAJE 10% 8% 6% 4% 2%

1.- Organizador

grafico sobre el

videos

relacionados con

los temas a

desarrollar






FASE DE DESARROLLO


PORCENTAJE 20% 15% 10% 8% 5%

4.- resolver las actividades 7, 8, 9, 10, 11, 12 y

13 del cuaderno de trabajo



actividades


actividades



actividades

FASE DE CIERRE


PORCENTAJE 10 % 8 % 6 % 4 %

5.- Realizar La actividad Teotihuacán



actividades


actividades





CALIFICACION SEGUNDO PARCIAL

COEVALUACION

ACTITUDINAL

Alumno:1 Nombre:

Alumno:2 Nombre:

Alumno:3 Nombre:

Alumno:4 Nombre:







Total

AUTOEVALUACION ACTITUDINAL

Nombre:









Total

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Actividad 5 Teotihuacán La siguiente imagen nos muestra una vista aérea de la Zona Arqueológica de Teotihuacán, en donde se han

ubicado los puntos A (1,-1) en la Pirámide de Quetzalcóatl, el punto B (3,1) localizado en la pirámide del Sol y

el punto C (2,3) ubicado en la pirámide de la Luna, de acuerdo con estos datos, encontrar:

a) Las coordenadas polares de los puntos A, B y C

b) La medida de cada uno de los lados del triangulo

c) La pendiente y ángulo de inclinación de la rectas AB, BC y AC

d) Los tres ángulos interiores del triángulo formado

e) La ecuación de las tres rectas en forma: general, pendiente ordenada al origen y simétrica

f) La ecuación de las tres medianas, en forma: general, pendiente ordenada al origen y simétrica.

g) El punto de intersección de las tres medianas utilizando la forma pendiente ordenada al origen

de la ecuación de la recta

h) La ecuación de las circunferencias de centro en el punto A, y como radio los segmentos AB y AC

i) La distancia en kilómetros entre cada uno de los monumentos, para ello utiliza la escala que está

en la esquina inferior derecha.

j) El área en metros cuadrados que determina el triángulo formado por los tres monumentos

k) Realizar investigación de la historia de Teotihuacán, incluir fotografías de la visita (en caso de

asistir)

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Plantel :Querétaro




Semestre: Tres







Tema Integrador: Las cónicas




Conceptual: ▪ Reconoce las cónicas ▪ Describe las características de las

cónicas ▪ Define parábola, elipse e hipérbola ▪ Conoce las ecuaciones de las cónicas

Procedimental: ▪ Resuelve problemas sobre las cónicas ▪ Construye graficas de las cónicas ▪ Calcula elementos y obtiene ecuaciones de las

cónicas en forma ordinaria y general. ▪ Transforma ecuaciones de ordinaria a general y

viceversa Actitudinal: Compromiso, su creatividad, el orden, la participación y la cooperación, el respeto hacia sus compañeros, la puntualidad, la limpieza en sus trabajos, la tolerancia, la perseverancia, la libertad, la responsabilidad y la motivación.



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No. de sesiones


(Aprendizaje)



DISCIPLINARES:

5 y 8

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

1.- Solicita a los estudiantes observar en los canales suscritos videos relacionados con los temas: Parábola, Elipse e Hipérbola: Elementos, ecuaciones y condiciones geométricas. Actividad Extra clase


Video en YouTube

Organizador grafico

10%

2.- En plenaria realiza preguntas detonantes directas o indirectas sobre los temas a desarrollar en el parcial. Parábola, Elipse e Hipérbola: Elementos, ecuaciones y condiciones geométricas. 3 sesión

Participar en la sesión plenaria para aportar información de la cual se partirá para realizar ejercicios relacionados


apuntes


No aplica

Fase II Desarrollo







No. de sesiones


(Aprendizaje)

El material didáctico a utilizar en cada clase.

DISCIPLINARES:

5 y 8

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

3.- Realiza prácticas de clase y ejemplos en el pizarrón de los temas a desarrollar. Parábola, Elipse e Hipérbola: Elementos, ecuaciones y condiciones geométricas. 6 sesiones




pizarrón plumones


el pizarrón

No aplica

4.- Solicita resolver las actividades 14, 15, 16, 17, 18 y 19 del cuaderno de trabajo. De acuerdo al grupo se puede realizar en equipos de trabajo. Durante el proceso resuelve dudas. 8 sesiones

Resuelve las actividades 14, 15, 16, 17, 18 y 19

del cuaderno de trabajo Pregunta dudas

Cuaderno de trabajo pizarrón plumones


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(Aprendizaje)



DISCIPLINARES:

5 y 8

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

5.- Solicita a los alumnos resolver las actividades del Anexo: Las cónicas 3 sesiones


Libro de texto, pizarrón plumones


trabajo

5%

6.- En equipos de máximo 3 personas recopilar conocimientos previos de los 3 parciales en donde van a reconocer elementos de la Geometría Analítica en la lectura de Arte histórico Internacional. Elaborar maqueta en donde se plasmen los elementos de Geometría Analítica y entrega de reporte en donde incluye: -Mapa. - Elementos concretos de geometría analítica: a) Puntos. b) Distancias. c) Coordenadas. d) Escala utilizada. e) Pendientes y ecuación de la recta. f)Circunferencia parábolas, elipses o hipérbolas. Actividad extra clase

Desarrolla la actividad de cierre (academia estatal) donde aplica los temas vistos en el

semestre.

Lectura recomendada,

material reciclado.

Mapa de ubicación. Maqueta. Reporte.

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8.- Se retroalimenta en plenaria sobre los

El alumno da sus puntos de vista sobre

Cuaderno de trabajo o

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objetivos planeados y los alcances de la evaluación 1 sesión

los resultados de evaluación

antología, resultado de evaluación

No aplica No aplica








▪ Cuaderno de trabajo avalado por la academia

▪ whc.unesco.org/es/list

Evaluación





RUBRICA GENERAL PARA EVALUAR 3er PARCIAL FASE DE APERTURA


PORCENTAJE 10% 8% 6% 4% 2%

1.- Organizador

grafico sobre el

videos

relacionados con

los temas a

desarrollar






FASE DE DESARROLLO


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4.- resolver las actividades

14, 15, 16, 17, 18 y 19 del

cuaderno de trabajo



actividades


actividades



actividades

FASE DE CIERRE


PORCENTAJE 5 % 3 % 2 % 1 %

5.- Resolver La actividad “Las cónicas”



actividades


actividades



PORCENTAJE 10% 8% 6% 4%

6.- Realizar actividad de academia estatal de matemáticas

Realiza el 100% de las actividades

Realiza entre el 80% y 90% de las

actividades

Realiza entre el 70% y 60% de las

actividades

Realiza el 50% o menos de las actividades




CALIFICACION TERCER PARCIAL

COEVALUACION

ACTITUDINAL

Alumno:1 Nombre:

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Alumno:3 Nombre:

Alumno:4 Nombre:







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Actividad 6 Las Cónicas

Consigue una pelota de un diámetro entre 10 cm, una lámpara de mano y una cartulina

blanca. Coloca la pelota sobre una cartulina e ilumínala con la lámpara según los ángulos

indicados en los gráficos que se muestran a continuación.

Toma una foto de la sombra que se obtiene, dibuja en un papel la sombra obtenida de cada

uno de los casos y ubícala en el plano cartesiano para calcular lo que se pide a

continuación:

Ubica el centro de la circunferencia en el C(2,5) y determina:

a) Ecuación ordinaria y general

b) Centro

c) Radio

d) Diámetro

e) Perímetro y área

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GESTIÓN DE

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El vértice de la parábola se ubica en el punto V (-4,0) encontrar:


b) Foco

c) Lado recto

d) Ecuación de la directriz

En la elipse el eje mayor es paralelo al eje de las X y en centro C(-1,-5) calcula:

a) Ecuación ordinaria y general.

b) Coordenadas de vértices, focos y eje menor

c) Longitud eje menor, eje mayor y eje focal

d) Excentricidad y lado recto

Para la hipérbola considera que los vértices se encuentran en los puntos V(0,0) y V(0,-5)

encuentra:


b) Coordenadas del centro, focos y eje conjugado

c) Longitud eje conjugado, eje transverso y eje focal

d) Excentricidad, lado recto y asíntotas.

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Geometría Analítica Página 2

Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Querétaro CUADERNILLO DE TRABAJO DE GEOMETRÍA ANALITICA

Juan Luis Reséndiz Arteaga – Angélica Vidales Rangel

REGLAMENTO DE CLASE.

DISCIPLINA

1. La entrada a clase debe ser puntual se te darán 5 min de tolerancia. 2. No se permite comer en el salón de clase 3. Solo se puede tomar agua dentro del salón de clase 4. Es OBLIGATORIO tener todo el material necesario para clase, (cuaderno de apuntes y cuaderno de

trabajo engargolado) 5. Debes cumplir con el 80% de asistencias en el semestre, de lo contrario tu calificación será reprobatoria

a pesar de que se entreguen todos los trabajos y apruebes los exámenes. 6. No se permite el uso del celular ni computadora personal durante las clases

ENTREGA DE TRABAJOS

1. Todos los trabajos del cuadernillo se realizaran durante la hora de clase, por ello es importante traerlo todos los días de clase.

2. Las actividades que se realicen se deben entregar limpias y los resultados marcados con un cuadro en color rojo.

3. No se revisan actividades que no se realicen en el cuaderno de trabajo 4. Se debe contar con el cuadernillo de trabajo de lo contrario no se revisarán las actividades. 5. Si se detectan realizando copias entre compañeros se reprueba el parcial de forma automática.

EXAMENES PARCIALES

1. Para tener derecho a examen parcial, es necesario: tener contestadas y calificadas todas las actividades del parcial.

2. No exceder el número de faltas permitidas por parcial.

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PRIMER PARCIAL TEMA PAGINA

Coordenadas rectangulares Puntos en el plano Puntos en el plano Distancia entre dos puntos División de un segmento en una razón dada Punto Medio

Perímetros y áreas

……………………………………………………………………………... 5

Coordenadas Polares Radio vector Angulo polar Transformaciones del sistema coordenado polar al

rectangular y viceversa

..……………………………………………………………………. 14

SEGUNDO PARCIAL Línea recta Pendiente y ángulo de inclinación Formas de la ecuación de la recta y sus transformaciones Intersección de rectas

Relación entre rectas Rectas notables del triángulo.

…………………………………...………………………………………. 30

Circunferencia Elementos Ecuaciones Condiciones geométricas y analíticas

………………………………………………………………..…………... 38

TERCER PARCIAL Parábola Elementos Ecuaciones Condiciones geométricas y analíticas.

………………………………..……………….………………………… 47

Elipse Elementos Ecuaciones Condiciones geométricas y analíticas

……………….………….…………………………………………….. 55

Hipérbola Elementos Ecuaciones Condiciones geométricas y analíticas

………………….……………………………………………………..… 58

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PRIMER PARCIAL

1.- COORDENADAS RECTANGULARES

1.1 Puntos en el plano 1.2 Puntos en el plano 1.3 Distancia entre dos puntos 1.4 División de un segmento en una razón dada 1.5 Punto medio 1.6 Perímetros y áreas

2.- COORDENADAS POLARES

2 2.1 Radio vector 2.2 Angulo Polar 2.3 Transformaciones del sistema polar al rectangular y viceversa

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Los problemas de espacios son parte del estudio de las matemáticas. El plano cartesiano es una herramienta que permite analizar objetos en base a sus propiedades algebraicas; a partir de su localización en el espacio, es posible situar marcos de referencia u objetos matemáticos como puntos, rectas y cuerpos geométricos. Un plano cartesiano se forma por la intersección de dos rectas numéricas o rectas de números reales que forman cuatro ángulos rectos. La recta horizontal o eje de las x también se llama eje de la abscisas; y la recta vertical o eje de las y también se le llama eje de las ordenadas.

Estas rectas que se intersectan en su valor cero, dan origen al plano cartesiano, que divide al espacio en cuatro cuadrantes. Cada uno se le nombra con un número romano progresivo en sentido contrario a las manecillas del reloj como en el esquema.

Cada eje del plano cartesiano tiene un signo, que es el mismo de la recta real correspondiente. En el eje de las X a la izquierda del cero es negativo y a la derecha es positivo; en el eje de las Y, del origen hacia arriba es positivo y hacia abajo es negativo. La nomenclatura inicia a partir del cero u origen del plano.

COORDENADAS RECTANGULARES

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ACTIVIDAD 1 PLANO CARTESIANO

1.-En el siguiente plano cartesiano coloca el nombre de cada uno de los elementos del plano y colorea lo que se solicita.

1. Eje de las abscisas 2. Eje de las ordenadas 3. Origen 4. Cuadrante I 5. Cuadrante II 6. Cuadrante III 7. Cuadrante IV 8. De negro el eje de las X 9. De azul el eje de las Y 10. Con un punto rojo el origen 11. De rosa el cuadrante I 12. De verde el cuadrante II 13. De morado el cuadrante III 14. De café el cuadrante IV

2. Observa el siguiente plano, realiza lo que se te pide y contesta las preguntas.

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Traza un plano cartesiano en la imagen, tomando como origen el cruce de las avenidas 16 de Septiembre y Corregidora. El eje de las abscisas es la Calle 16 de Septiembre, márcala con rojo, El eje de las ordenadas es la avenida Corregidora, márcala con azul. 1.- ¿En que cuadrante quedo El Teatro de la Republica? 2.- ¿En qué cuadrante se encuentra el Museo de los Conspiradores? 3.- ¿En qué cuadrante se encuentra el Templo de San Francisco? 4.-¿En qué cuadrante se encuentra la tienda Woolworth? 5.- Si te encuentras en el origen del plano. ¿Qué indicaciones deberías seguir para llegar a la plaza de armas? (varias alternativas) 6.- Si te encuentras en la Plaza de Armas y un turista te pregunta cómo llegar a la Notaria Publica 23. ¿Qué indicaciones le darías? (varias opciones)

LOCALIZACION DE PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO Escribe la coordenada de los puntos que se localizan en el siguiente plano cartesiano y ubica los que se dan.

1 A( ) 11 K (-1,-1)

2 B( ) 12 L (2, - 5) 3 B( ) 13 M (- 4, 7) 4 D( ) 14 N (3, 5) 5 E( ) 15 O (5, -2) 6 F( ) 16 P (-8, -6) 7 G( ) 17 Q (0, 3) 8 H( ) 18 R ( 2, 0) 9 I( ) 19 S ( -9,0) 10 J( ) 20 T (5, -6)

En tu cuadernos de trabajo, trazo un plano cartesiano, localiza los puntos y sigue las instrucciones a) Ubica en un plano cartesiano los puntos que se indican y únelos en el orden que aparecen:

𝐴(2,4)𝐵(3,6)𝐶(3,7)𝐷(3, 21)𝐸(2, 24)𝐹(4, 25)𝐺(6,27)𝐻(7,27)𝐼(9,25)𝐽(9,24)𝐾(10,21) 𝐿(10,7) 𝑀(10,6) 𝑁(11,4).

b) Une los puntos 𝐶 𝑦 𝐿 c) Ubica los puntos y únelos en este orden; 𝑂( 8,7) 𝑃(8,6) 𝑄(7,4) d) Ubica los puntos y únelos en este orden: 𝑅(5,7) 𝑆(5,6) 𝑇(6,4) e) Une los puntos 𝐸 𝑦 𝐽 f) Localiza los puntos y únelos en este orden 𝑃11(5,24), 𝑃12(5,25), 𝑃13(6,25), 𝑃14(7,25), 𝑃15(8,25)

𝑃16(8,24), 𝑃17(7,24), 𝑃18(6,24)

g) Une los puntos 𝑃11 𝑐𝑜𝑛 𝑃12, 𝑃13 𝑐𝑜𝑛 𝑃18, 𝑃14 𝑐𝑜𝑛 𝑃17 𝑦 𝑃15 𝑐𝑜𝑛 𝑃16 h) Ubica los puntos 𝑃19(4,22) 𝑦 𝑃20(9,22) i) Une los puntos 𝑃19 𝑐𝑜𝑛 𝑃20 𝑦 𝑃20 𝑐𝑜𝑛 𝑃11 j) Encuentra y une los puntos en el mismo orden 𝑃1(3,4), 𝑃2(2,2), 𝑃3(4,4), 𝑃4(6,2), 𝑃5(5,4) k) Encuentra y une los puntos en el mismo orden 𝑃6(8,4), 𝑃7(7,2), 𝑃8(9,4), 𝑃9(11,2), 𝑃10(10,4) l) ¿Qué figura se obtuvo?

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Traza un plano cartesiano, en el encuentra y une los siguientes puntos, traza un eje de simetría del punto A al J y ubica los puntos primos de cada uno.

𝐴(10,1) 𝐵(15,4) 𝐶(17,6) 𝐷(19,11) 𝐸(19,13) 𝐹(18,15) 𝐺(18,17)) 𝐻(14,17) 𝐼(12,16) 𝐽(10,15) 𝐸(19,13) 𝑃1(17,14) 𝑃2(16,15) 𝑃3(13,15) 𝑃4(10,13)

𝐵´ = 𝐶´ = 𝐷´ = 𝐸´ = 𝐹´ = 𝐺´ = 𝐻´ = 𝐼´ = 𝑃1´ = 𝑃2´ = 𝑃3´ = 𝑃4´ =

ACTIVIDAD EN PAREJAS.

Carlos y María participan en un juego de batalla naval que consiste en encontrar la ubicación de las naves del contrario para lanzar un proyectil a esa coordenada y hundir el buque. El turno es indistinto, lo que importa es localizar con la mayor rapidez las coordenadas de los objetivos rivales. Ubica las coordenadas de los barcos de Carlos, si la instrucción para encontrarlas es:

Coordenada 1 en el cruce de las rectas 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟕; 𝒙 + 𝒚 = 𝟐. Coordenada 2 en el cruce de las rectas x+𝟐𝒚 = 𝟏𝟔; 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟏 La coordenada del tercer barco está en la intersección de las rectas 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔 ; 𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟒 Encontrar:

1. Coordenada del barco 1 2. Coordenada del barco 2 3. Coordenada del barco 3 4. ¿En qué cuadrante está el barco 1? 5. Si se toma como eje de simetría el eje x. ¿En qué cuadrante estaría el barco 2? 6. Uno de los barcos de María está en la intersección del eje x con la recta 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟒

cuál es la coordenada de su ubicación.

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Actividad preliminar. Determina una forma de encontrar las medidas faltantes sin usar un instrumento de medición, contesta las preguntas y argumenta tu respuesta. Para hacer un vitral de una residencia se utilizan las tres piezas que se muestran a continuación. Al herrero le faltan las medidas de los segmentos BD y FD AC=4 dm AE= 5 dm AC=ED AE=CD

¿Cuánto mide el segmento BD? ¿Cuánto mide el segmento FD?

Una de las formas de encontrar la solución al problema anterior es utilizar las funciones trigonométricas, aunque para ello faltan medidas de ángulos. Otra es usar el teorema de Pitágoras; en este caso hay que encontrar la hipotenusa de los triángulos formados por los puntos BCD y FDE pero solo se conoce la medida de uno de los catetos. En Geometría Analítica existe una fórmula que representa la aplicación en el plano cartesiano del teorema de Pitágoras y sirve para encontrar la distancia entre dos puntos aprovechando que se conoce la posición del punto 1 (x1,y1) y el punto 2 (x2,y2), en un plano. Esta fórmula es:

Distancia entre dos puntos

2

12

2

12 )()( yyxxd

Practica de clase

Obtener la distancia entre los puntos A y B, cuyas coordenadas son: A (2,3) y B (-1,6) Obtener la distancia entre los puntos A y B, cuyas coordenadas son: A (-2,-3) y B (3,-1) Utiliza el vitral presentado en la actividad anterior y colócalo en un plano cartesiano, para conocer la ubicación de los segmentos. ¿Calcula la distancia del segmento BD? ¿Calcula la distancia del segmento FD?

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

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Encuentra las medidas faltantes para otro vitral que se muestra en el diagrama. Las medidas estan en decimetros. Toma en cuenta que varios de los segmentos tienen la misma medida.

Segmento AB= Segmento FJ= Segmento IG= Segmento BD= Segmento CM=

La distancia AB=BC, las coordenadas de los puntos A(-3,-3), B(1,1) y C(5,y), obtener la ordenada del punto C

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ACTIVIDAD 2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

1.-Calcula la distancia que hay entre los siguientes puntos 1. A( 2,5) y B(-1,0) 2. A(-3,10) y B(-11,2 3. A(6,-12) y B(9,2 4. A(0,0) y B(100,0) 5. A(-2,-15) y B(-6,-13) 6. A(20,-12) y B(14,-21) 7. A(-4,8) y B(10,23) 8. A(0,9) y B(-1.-31) 9. A(7,10) y B(17,19) 10. A(-2,40) Y B(-1,-6) 11. A(-5,8) Y B(-8,7) 12. A(-4,8) Y B (-2,-8)

2. Ubica en un plano cartesiano los puntos A(-6,3), B(0,5) C(5,2) D(3,-3) y E (-5,-1). Después calcula la distancia entre los segmentos señalados 13. Segmento AB 14. Segmento AC 15. Segmento AD 16. Segmento AE 17. Segmento BC

18. Segmento BD 19. Segmento BE 20. Segmento CD 21. Segmento CE 22. Segmento DE

3.- Calcular el perímetro del siguiente polígono irregular

4.- Resolver los siguientes problemas

23. De acuerdo a la medida de sus lados clasifica los triángulos formados por los puntos ABC y obtener

el perímetro: A(2,1), B( 5,5) y C(8,1) A(-2,3), B( 3,3) y C(-2,-2) A(0,0) , B( 4,-6) y C( -3,6)

24. Tres puntos están sobre la misma recta, 𝐵(1,1), 𝐶(4,2) y en el punto A esta sobre el eje X, encontrara la abscisa de A si AB=BC.

25. La distancia entre los puntos A (-5,1) y B (1, Y) es √61 encontrar la ordenada de B.

26. Los vértices A (2,Y), B(-2,5), C (-6,1) y D(X,-3) son los vértices de un cuadrado, encontrar las

dimensiones de sus lados, la ordenada de A y la abscisa en D

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Actividad preliminar.

El gobierno del estado está proyectando la construcción de una carretera que comunique Querétaro y Santa Rosa Jáuregui, se desea que exista un cruce que comunique a las comunidades de La Tinaja y Mompaní y que este cruce quede exactamente a la misma distancia de dichas comunidades. ¿En qué punto del plano debe estar el cruce?

En la situación presentada se trata de encontrar el punto medio de un segmento. En la Geometría Analítica, como en otras ramas de las matemáticas, encontrar el centro de unos datos o de un objeto es calcular el promedio, con base en esto es fácil encontrar el promedio de las coordenadas. Matemáticamente se expresa mediante dos formulas

PUNTO MEDIO

Coordenada de x 𝑥 =

𝑥1+𝑥2

2

Coordenada de y 𝑦 =

𝑦1+𝑦2

2

Practica de clase 1.Encontrar el punto medio del segmento delimitado por los puntos A (6,0) y B (-2,4). 2.Encontrar el punto medio del segmento entre los puntos A (-3,5) y B (-7,-1). 3.El punto medio del segmento AB es Pm (-1,-1) y uno de los extremos es (-5,4), encontrar las

coordenadas del otro extremo.

Dato importante:

La mediana es la recta notable del triángulo trazada desde el punto medio de uno de sus lados hasta el vértice opuesto. Al trazar las tres medianas de un triángulo estas se cruzan en un punto llamado baricentro.

PUNTO MEDIO

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Dato importante:

En matemáticas, una razón es la comparación mediante una división de dos cantidades, En el plano cartesiano comparamos la longitud de los dos segmentos; por ejemplo, el segmento con extremos A y B tiene un punto C, de manera que la longitud del segmento AC es la cuarta parte de la longitud del segmento CB. Se dice, entonces, que AC y CB tienen una razón 1 a 4 o de 1

4. El siguiente diagrama representa lo

anterior.

ACTIVIDAD 3 PUNTO MEDIO

Encuentra las coordenadas del punto medio de los siguientes segmentos 1. A(-4,6) y B(2,0) 2. A(-3,-2) y B(6,-9) 3. A(0,0) y B(12,-26) 4. A(-1,-6) y B(8,10) 5. A(-2,4) y B(10,4) 6. A(-20,7) y B(-2,15) 7. A(-12,4) y B(3,-16) 8. A(-6,6) y B(0,0) 9. A(-1,0) y B(2,7) 10. A(5,-3) y B(2,7) 11. A(-15,1) y B(-1,9 12. A(-1,-20) y B(0,12) 13. A(0,4) y B(4,0) 14. A(1,5) y B(16,1) 15. A(0,10) y B(5,-4) 16. A(4,-6) y B( -8,-5)

Resuelve los siguientes problemas 2.- En un plano cartesiano, encuentra los vértices A (-3,6), B (7,4) y C (0,0) que forman un triángulo, una vez trazado encuentre los puntos medios para que puedan ser trazadas sus medianas. 3.- El punto medio de un segmento es la coordenada (1,3). Si uno de sus extremos del segmento es el punto (-2,2), ¿Dónde se encuentra el otro extremo? 4.- El punto medio de un segmento es la coordenada (-2,5

2). Si el P1 del segmento es (-6,3), ¿Cuáles son las

coordenadas del P2? 5.- Para el triángulo cuyos vértices son A(3,6), B(1,2), C(-4,3), encontrar la longitud de la mediana que va del lado AB al vértice opuesto Se conoce uno de los extremos y el punto medio de un segmento, encontrar las coordenadas del otro extremo 1. 𝑷𝟏(−𝟓, 𝟐), 𝑷𝒎(−𝟐, 𝟐), 𝑷𝟐(𝒙, 𝒚) 2. 𝑷𝟏(𝒙, 𝒚), 𝑷𝒎(𝟔, 𝟑), 𝑷𝟐(𝟔, 𝟕)

3. 𝑷𝟏(𝟕, 𝟐), 𝑷𝒎(−𝟒, 𝟓), 𝑷𝟐(𝒙, 𝒚) 4. 𝑷𝟏(−𝟑,−𝟐), 𝑷𝒎 (𝟏

𝟐, −

𝟗

𝟐) , 𝑷𝟐(𝒙, 𝒚)

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA


Para agilizar el tráfico en una de las principales avenidas de la ciudad, el municipio se propone construir un puente atirantado sobre el Boulevard Bernardo Quintana. Se sabe que su largo será de 16 metros y que se colocaran 7 tirantes, uno cada dos metros Si se toma como referencia de un punto A, cuyas coordenadas son (0,0), y el punto 2 de un segmento al punto B con la coordenada (16,0) ¿A qué razón de división se encuentra el tirante cuya coordenada es (8,0)? ¿A qué razón de división está el tirante cuya coordenada en el punto (4,0)? ¿A qué razón de división del segmento se halla el tirante cuya coordenada es el punto (2,0)?

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En Geometría Analítica se pueden encontrar las coordenadas de las divisiones a una razón dada de un segmento mediante las siguientes formulas.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Usando los datos de x 𝑟 =

𝑥−𝑥1

𝑥2−𝑥

Usando los datos de y 𝑟 =

𝑦−𝑦1

𝑦2−𝑦

La razón se puede obtener utilizando cualquiera de estas formulas

Practica de clase 1.Dividir un segmento entre los puntos A (2,6) y B (-4,3) a una razón de 1 a 3. 2.Dividir un segmento entre los puntos B (1,6) y E (6,6) a una razón de 4 a 1. 3.Encontrar la razón en la que los puntos P(0,-2) y Q(-6,-8), dividen al segmento P1P2, cuyas coordenadas

de sus extremos son P1(-3,-5) y P2(6,4). 4.Encontrar la razón en la que los puntos A (-3,-2) y B (1,2), dividen al segmento P1P2, cuyas coordenadas

de sus extremos son P1 (-6,-5) y P2 (5,6).

ACTIVIDAD 4 DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Resuelve los siguientes problemas 1. A(-2,4) y B(5,0) a una razón de 1:2 2. A(-10,-6) y B(6,9) a una razón de 2:3

3. A(-1,-7) y B(4,6) a una razón de 1:4 4. A(-10,-2) y B(12,-2) a una razón de 2:9

5. A(-6,-1) y B(1,5) razón 2:5 6. A(0,0) y B( 6,-12) a una razón de 3:2

7. A(0,-16) y B(8,0) a una razón de 3:4 8. A( -1,-1) y B(13,9) a una razón de 1:5

9. A(-1,-10) y B(1,10) a razón de 2:4 10. A(-7,0) y B(2,1) a una razón de 4:3

11. Para el segmento cuyos extremos son los puntos A(-5,2) y B(3,5) encontrar el punto P(x,y) que divide al segmento a una razón de 1:2

12. Encontrar la razón en la que el punto D(-2,1) divide al segmento AB, si A(-4,3) y B(2,-5) 13. Para el segmento cuyos extremos son los puntos A(4,1) y B( -2,-5), encontrar el punto P(x,y), que divide al

segmento en la razón 5:1 14. Encontrar la razón en la que el punto P(2,-3) divide al segmento MN si M(-5,4) y N(-2,1) 15. Para el segmento cuyos extremos son los puntos A(1,-5) y B(-2,-2), encontrar el punto P(x,y) que divide al

segmento en una razón de -2. 16. Para el segmento cuyos extremos son los puntos A(-3,7) y B(3,1), encontrar los puntos de trisección y punto medio

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




La situación anterior es posible resolverla mediante la sumatoria de las diversas áreas regulares de las figuras en el diagrama, sin embargo en geometría analítica, podemos utilizar los puntos externos de la figura y determinantes, método que analizaremos más adelante.

El perímetro de una de una figura es su contorno. En el caso de los polígonos irregulares, cuyos lados son distintos, se obtiene midiendo cada uno de ellos y sumando sus valores obtenidos, mientras que los polígonos regulares, que tienen todos sus lados iguales, basta conocer la medida de uno y multiplicarla por el número de ellos.

Practica de clase

Calcular el perímetro del siguiente polígono regular. La graduación del plano se da en cm.

PERÍMETROS Y ÁREAS


Se desea conocer el área del terreno mostrado en la siguiente figura en donde se iniciara la construcción de un centro comercial, la medidas del croquis están en metros

PERÍMETRO DE UN POLÍGONO EN FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS DE SUS VÉRTICES.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




Calcular el perímetro de siguiente polígono. Sus coordenadas están en km.


Calcula el área y perímetro del siguiente triángulo, cuyas medidas están dadas en cm. Puedes obtener su área por medio de la fórmula de Herón que estudiamos el semestre pasado.

El problema anterior puede ser resuelto mediante el uso de determinantes como se explica a continuación.

ÁREA DE UN POLÍGONO POR DETERMINANTES

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




Área de un polígono por determinantes

𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 ⊿ 𝐴𝐵𝐶 =1

2[

𝑥1 𝑦1 1𝑥2 𝑦2 1𝑥3 𝑦3 1

] [

𝑥1 𝑦1

𝑥2 𝑦2

𝑥3 𝑦3

] − [

𝑥1 𝑦1 1𝑥2 𝑦2 1𝑥3 𝑦3 1

] [

𝑥1 𝑦1

𝑥2 𝑦2

𝑥3 𝑦3

]

La determinante se resume en lo siguiente:

𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 ⊿ 𝐴𝐵𝐶 =1

2[(𝑥1)(𝑦2)(1) + (𝑦1)(1)(𝑥3) + (1)(𝑥2)(𝑦3)] − [(𝑦1)(𝑥2)(1) + (𝑥1)(1)(𝑦3) + (1)(𝑦2)(𝑥3)]

Practica de clase

Calcula el área y perímetro de los siguientes triángulos

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




Área de polígono por determinantes Se puede realizar una generalización a la formula anterior y aplicarla para cualquier polígono.

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜 =1

2

[ 𝑥1 𝑦1

𝑥2 𝑦2

𝑥3 𝑦3

𝑥4 𝑦4

⋮ ⋮𝑥5 𝑦5

𝑥𝑛 𝑦𝑛]

En la determinante anterior N representa la cantidad de vértices del polígono, los cuales se forman en columnas según el orden establecido en los puntos. Al final se agregan las coordenadas del primer punto para completar el determinante, el resultado de las determinantes se toma como valor absoluto, es decir, no importa si el resultado es negativo, el área de un polígono siempre es positiva.

Practica de clase

Calcula el área y perímetro de los siguientes triángulos

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




ACTIVIDAD 5 PERIMETROS Y AREAS

Calcula el área de los siguientes polígonos 1. Vértices A(0,0) B( -3,5) y C(1,3) 2. Vértices A(-2,-3) B(1,-1) E(0,4)

3. Vértices B(5,-2) C(10,-5) y C(7,-4) 4. Vértices A(1,4) B(3,5) y C(9,7)

5. Vértices C(2,3) D(-3,-1) y E(-2,0) 6. Vértices B(-1,0) D(-3,2) F80,4) y G(1,-1)

7. Vértices A(-2,-1) B(-5,0) C(-3,1) D(0,-5) y E(2,-2) 8. Vértices en A((1,8) B(4,4) C(3,-2) D(0,-5), E(-2,-2) y F(-3,5)

9. Vértices en E(0,0) D(7,1) F(5,-4) y G(2,-1) 10. Vértices en A(-1,3) B(0,5) C(3,4) D(3,0) y E(0,-2)

11. Calcula el área de la siguiente figura.

C

OP

IA IM

PR

ES

A N

O C

ON

TRO

LAD

A




Un plano polar es un plano cartesiano que se utiliza para formar puntos coordenados formados por un radio y un ángulo de dirección. Los elementos que componen el plano polar son:

Como en las coordenadas cartesianas, en las coordenadas polares se tiene un par ordenado. En donde el primer número indica la distancia desde el origen hasta el punto (𝑟) y el segundo dato indica l dirección de un vector respecto al eje polar (𝜃)

Á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓 = (𝒓, 𝜽)

Para ubicar un punto en un plano polar necesitamos conocer su distancia desde el origen y su ángulo de dirección.

Practica de clase

1.Localiza la coordenada 𝐴(3,30°). 2.Localiza la coordenada 𝐵(−2,45°)

3.Localiza la coordenada 𝐶(3,30°) 4.Localiza la coordenada 𝐷(5,150°) 5.Localiza la coordenada 𝐸(2,120°) 6.Localiza la coordenada 𝐹(7,80°)

Las coordenadas rectangulares o cartesianas pueden convertirse en coordenadas polares. Si se tienen un punto en un plano cartesiano con coordenadas rectangulares (𝑥, 𝑦), pueden ser convertidas a coordenadas polares (𝑟, 𝜃).

Las fórmulas para hacer la conversión son las siguientes:

𝐫 = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 𝛉 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (𝐲

𝐱)

Practica de clase

1.Convertir (3,4) a coordenada polar. 2.Convertir (-5,6) a coordenada polar. 3.Convertir (-6,5) a coordenada polar 4.Convertir (8,4) a coordenada polar 5.Convertir -4,-6)) a coordenada polar 6.Convertir -5,-5) a coordenada polar

COORDENADAS POLARES

CONVERSION DE COORDENADAS RECTANGULARES A COORDENADAS POLARES

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




Cuando se tiene una distancia y un ángulo, la información pertenece a una coordenada polar, para convertir coordenadas polares a rectangulares debemos hacer lo siguiente:

Para obtener la coordenada 𝑥 también llamada abscisa, multiplicamos la distancia (representada con la 𝑟) por la función trigonométrica coseno del ángulo (representada por cos 𝜃 ).

𝒙 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔 𝜽)

Para obtener la coordenada 𝑦 también llamada ordenada, multiplicamos la distancia (representada con la 𝑟) por la función trigonométrica seno del ángulo (representada por 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ).

𝒚 = 𝒓(𝒔𝒆𝒏 𝜽)

Podemos afirmar que si se conocen la distancia (𝑟) y el ángulo (𝜃) de un punto P dado se pueden representar en forma coordenada cartesiana.

CONVERSION DE COORDENADAS POLARES A COORDENADAS RECTANGULARES

𝑷(𝒓, 𝜽) = 𝑷(𝒙, 𝒚)

Practica de clase

1.Convertir (1,30°) a cartesiana 2.Convertir (5.66,225°) a cartesiana

3.Convertir (10,143.13°) a cartesiana 4.Convertir (11.31,45°) a cartesiana 5.Convertir (3,50°) a cartesiana 6.Convertir (6.32,198.43°) a cartesiana

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




ACTIVIDAD 6 CONVERSION DE COORDENADAS

1.-Ubica en un plano polar las siguientes coordenadas

1. A(4,15°) 2. B(3.5, -60°) 3. C(1,-300°) 4. D(2,-90°) 5. E(3,45°) 6. F(2,30.5°) 7. G(2.5,180°) 8. H(1.5,105°) 9. I(2,270°) 10. J(0.5,45°) 11. K(-5,120°) 12. L(2,170°) 13. L(4,150°) 14. M(2,210°) 15. N(1.5,240°) 16. P(4,210°)

2. Convierte a coordenadas polares las siguientes coordenadas cartesianas

17. A(-4,-3) 18. B(-2,-5) 19. C(-5,-3) 20. D(-5,-4) 21. E(-3,-8) 22. F(-5,-1) 23. G(8,4) 24. H(-5,-7) 25. J(-4,-6) 26. K(2,2) 27. L(3,6) 28. M(5,3) 29. O(7,1) 30. P(4,1) 31. Q(-3,9) 32. R(-12,4) 33. S(9,12) 34. T(-6,7) 35. U(-4,5) 36. V(-5,4) 37. W(5,-7) 38. X(0,-3) 39. Y(4,-3) 40. Z(2,-5) 41. A(-8,0) 42. B(-1,7) 43. C(-3,10) 44. D(8,-1) 45. E(3,-7) 46. F(5,-6)

3.- Convierte a coordenadas cartesianas las siguientes coordenadas polares

47. A(4,18°) 48. B(2,36°) 49. C(5,45°) 50. D(6,60°) 51. E(3,72°) 52. F(5,75°) 53. G(8,90°) 54. H(4,120°) 55. J(4,18°) 56. I(2,150°) 57. K(5,200°) 58. L(9,212°) 59. M(7,251°) 60. N(4,270°) 61. O(5,312°) 62. P(.1,72°) 63. Q(-3,100°) 64. R(-8,0°) 65. S(8,-100°) 66. T(3,-270°) 67. U(4,350°) 68. V(3,360°) 69. W(12,400°) 70. X(6,570°) 71. Y(5,640°)

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




SEGUNDO PARCIAL

1.- LINEA RECTA

1.1 Pendiente y ángulo de inclinación y ángulo entre rectas 1.2 Formas de la ecuación de la recta y sus transformaciones 1.3 Intersección de rectas y relación entre rectas 1.4 Rectas notables del triángulo.

2.- CIRCUNFERENCIA

2 2.1 Elementos 2.2 Ecuaciones 2.3 Condiciones geométricas y analíticas

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




La pendiente se refiere a la tangente, es decir, es la razón que se da entre los lados de un triángulo rectángulo; es la división entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, y su valor esta dado en números decimales.

La inclinación es el ángulo que representa la tangente, es decir, la abertura de un segmento respeto a la horizontal o eje de las x. Como unidad de medida comúnmente se utilizan los grados angulares.

La fórmula para calcular la pendiente (m) es: 𝒎 = 𝒚𝟐− 𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

Para obtener el ángulo de inclinación se calcula el arco que tiene la tangente. Esto se puede hacer con tablas trigonométricas o con calculadora científica utilizando la función inversa de la tangente (𝑡𝑎𝑛−1).

𝜶 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 (𝒎)

La pendiente de una recta también se puede obtener de la forma general 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

𝒎 =−𝑨

𝑩

Cuando una pendiente es negativa, la recta de la que se habla se da en sentido de izquierda a derecha y con dirección hacia abajo, el ángulo es mayor de 90° y se obtiene restando el arco de la tangente a 180°.

El ángulo entre dos rectas esta determinado por las pendientes de la rectas.

𝐭𝐚𝐧𝜽 = 𝒎𝒇 − 𝒎𝒊

𝟏 + 𝒎𝒇𝒎𝒊

LINEA RECTA

PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y ÁNGULO ENTRE RECTAS

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




Practica de clase

1.Calcular la pendiente (𝑚) y el ángulo de inclinación (𝜃) de la recta que pasa por los puntos A (1,1) y B (6,6)

2- La pendiente de una recta es 3 y pasa por el punto A con coordenada (1,2) y el punto B con abscisa igual a 7 ¿Cuál es la ordenada del punto B?

3.- Para el triángulo cuyos vértices son los puntos A (2,4), B(0,-3) y C(-3,2), encontrar los ángulos interiores.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




ACTIVIDAD 7 PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y ÁNGULO ENTRE RECTAS

1.-Encuentra la pendiente y el ángulo de inclinación de las siguientes rectas utilizando formula.

1. A(0,0) B(6,6) 2. C(-3,4) D(1,4) 3. E(-1,0) F(3,-8) 4. G(-2,-4) H(0,7) 5. I(-5,0) J(0,2) 6. K(1,5) L(6,0) 7. M(-1,-1) N(3,2) 8. O(-10,-7) P(1,12) 9. Q(-7,-1) R(0,-5) 10. S(-2,-5) T(10,-12) 11. U(-5,-3) V(-6,-4) 12. W(0,-11) X(8,0) 13. Y(2,10) Z(13,20) 14. A(-1,-1) B(12,-8) 15. C(-4,4) D(1,8) 16. E(-10,0) F(0,-8)

2. Calcula el valor de la ordenada faltante en cada recta conforme a su pendiente.

17. m= 1 A(3,4) B(4,y) 18. m= 2 A(-5,y) B(1,4) 19. m= - 3 A(0,4) B(6,y)

20. 𝑚 = −1

2 A(0,y) B(10,4) 21. 𝑚 = −

2

3 A(-1,5) B(2,y) 22. m=5 A(2,y) 7 B(8,15)

23. 𝑚 =3

2 A(-5,-3) B( 2,y) 24. 𝑚 =

2

5 A (-1,-2) B(10 , ?) 25. 𝑚 =

1

3 A(-7,y) B(12,5)

3.- Encontrar el ángulo agudo formado por las siguientes rectas

26. 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 2𝑥 + 𝑦 − 2 = 0

27. 𝑥 − 4𝑦 + 7 = 0 2𝑥 + 3𝑦 − 19 = 0

4.-Resolver los siguientes problemas

28. Encontrar la pendiente de la mediatriz del segmento A(-2,1) B(3,-3) y el punto por donde pasa la mediatriz. 29. Encontrar el ángulo agudo formado por las siguientes rectas 30. Una recta de pendiente − 1

3 pasa por el punto P (1,1) y por lo puntos A(x, 0) y B (-2, y), encontrarla abscisa de A y

la ordenada de B. 31. Hallar los ángulo interiores del cuadrilátero formado por los puntos A(4,5), B(6,2), C(2,1) y D-1,3) 32. Una recta pasa por los puntos A (-3,-1) y B (4,4). Encontrar la ordenada de un punto C (2, y) que esta sobre la

misma recta.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




Si se conoce la 𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 (𝒎) de una recta y un punto de ella con coordenadas 𝑷 (𝒙, 𝒚), se puede representar

algebraicamente una ecuación que represente esta recta. 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)

ECUACION DE LA RECTA Y SUS TRANSFORMACIONES

ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO CONOCIDO Y SE CONOCE SU PENDIENTE 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑚 − 𝑥1)

Practica de clase

1.Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴(2, −5) con una pendiente de 3

2.Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐵(−6,−1) con una pendiente de −4

3.Determinar le ecuación que represente el costo de un servicio de taxi de la ciudad de Querétaro que cobra servicios de acuerdo a la siguiente tabla. Distancia en Km (x) Costo en pesos (y) 1 12 2 14 3 16 4 18 5 20

¿Cuánto se pagara por un servicio de 70 km?

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




Una recta trazada geométricamente en un plano cartesiano puede ser descrita en forma algebraica por medio de una ecuación lineal si conocemos dos puntos de ella.

La expresión para definir la ecuación de la recta dados dos puntos contenidos en ella es la misma que el caso anterior :

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)

Para utilizar la fórmula punto pendiente es necesario obtener en un primer momento la pendiente de la recta por la formula conocida y conocer al menos un punto de ella.

Otra de las formas para determinar la ecuación que representa una línea recta, es cuando se conocen su pendiente y su ordenada al origen (b), es decir, la distancia entre donde se intersecta con el eje Y y el origen es:

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃

Practica de clase

1. Determinar la ecuación de la recta con pendiente 𝑚 = 3 y cuya ordenada al origen es – 4

2. Determinar la ecuación de la recta con pendiente 𝑚 =1

2 y cuya ordenada al origen es – 5

3.Determinar la ecuación de la recta con pendiente 𝑚 = 7 y cuya ordenada al origen es – 2

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN

Practica de clase

1. Determinar la ecuación de la recta formada por los puntos A (-1,2) y B (4,7). 2.Determinar la ecuación de la recta formada por los puntos M (-7,5) y N (-2,-5). 3.Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto A(3,6) 4.Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-3,-4) y corta al eje x en su punto 2

Practica de clase

1. Determinar la ecuación de la recta formada por los puntos A (-1,2) y B (4,7). 1.Determinar la ecuación de la recta formada por los puntos M (-7,5) y N (-2,-5). 2.Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto A(3,6) 3.Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-3,-4) y corta al eje x en su punto 2

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




Identifica en el plano los puntos donde las rectas intersectan a los ejes x y y.

Como hemos aprendido para determinar una recta solo necesitamos dos puntos. En este caso cuando conocemos las intersecciones con los ejes 𝒙 𝑦 𝒚 , el proceso es aún más sencillo.

El punto de intersección de la recta con el 𝑒𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜(𝑥) tiene coordenadas (𝑎, 0), y el punto de intersección de la recta con el eje coordenado( 𝑦), tiene coordenadas (0, 𝑏) , por lo tanto la ecuación que representa es:

𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1

Practica de clase 1. Determinar la ecuación simétrica de la recta cuyas intersecciones con los ejes x y y son:

a= 3, 𝑏 = 6

2.Determinar la ecuación simétrica de la recta cuyas intersecciones con los ejes x y y son: 𝑎 = 1, 𝑏 = −2

3. Obtener la ecuación de la recta en forma simétrica si las intersecciones con los ejes son: 𝐴(3,0) 𝑦 𝐵(0, −4)

4.Transformar a la forma simétrica las siguientes ecuaciones de rectas y determinar los puntos de corte en los ejes:

𝑥 + 3𝑦 = 30 2𝑥 + 6𝑦 = 12

FORMA SIMETRICA DE LA ECUACION DE LA RECTA 𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




Hemos aprendido que a partir de ciertos elementos de la recta, como un punto, pendiente, su ordenada al origen o sus intersecciones con los ejes coordenados podemos obtener las ecuaciones de una recta en diferentes formas y estas pueden ser representadas en una forma general.

Ecuación general de la recta 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Una vez conocida la ecuación de la recta en cualquiera de sus formas se puede expresar en su forma general pasando los términos a un solo lado de la igualdad, de igual forma podemos convertirla de su forma general a cualquiera de sus formas.

Practica de clase

1. Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación es: 2𝑥 + 4𝑦 − 4 = 0

2. Determinar la ecuación de la recta en forma general si tiene una pendiente 𝑚 = 4 y una ordena al origen b= 3.

3.Determina la pendiente y la ordenada al origen de la siguiente ecuación 6𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0

ECUACION GENERAL DE LA RECTA

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA




ACTIVIDAD 8 ECUACION DEL RECTA Y SUS TRANSFORMACIONES

1.-Determina la ecuación de la recta en la forma punto pendiente 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) y transforma

a su forma general.

1. 𝐴(14,−6) 𝑚 = −1 2. 𝑪(𝟖, 𝟏) 𝒎 = −𝟔 3. 𝑀(4,−4) 𝑚 = −6

𝟕 4. 𝑁(14,−4) 𝑚 = − 5

5. 𝐵(−2,−5) 𝑚 = −5 6. 𝐷(−15,−4) 𝑚 = 6 7. 𝑬(−𝟏𝟏, 𝟏𝟑) 𝒎 = 𝟐 8. 𝐹(11,−5) 𝑚 = −8

9. 𝐶(−3,−12) 𝑚 = −6 10. 𝐸(−6,−7) 𝒎 =𝟒

𝟑 11. 𝐺(12,−1) 𝑚 = −5 12. A(2/3,3/5) m=-2

13. 𝐷(−15,−14) 𝑚 = −7 14. 𝐹(4,−6) 𝒎 = −3

2 15. 𝐴 (−

1

3,5

4) 𝑚 = 4 16. 𝐴(−3,4) 𝑚 = 7

17. 𝐸(10,11) 𝑚 = 5/3 18. 𝐺(−6,10) 𝒎 = −𝟓

𝟕 19. 𝐹(−4,−7) 𝑚 = −

6

𝟓 20. 𝐺(−2,1) 𝑚 = 8

21. 𝐹(13,−13) 𝑚 = −5 22. 𝐻(4,−6) 𝑚 = −3 23. 𝐸(−11,12) 𝑚 = 6 24. 𝐹(2,−12) 𝑚 = 5

25. 𝐴(−13,4) 𝑚 = −2 26. 𝐽 (−9,−1) 𝑚 = −7 27. 𝐻(−11,−11) 𝑚 = 7 28. 𝐾(4,−6) 𝑚 = −𝟕

𝟐

2. Determina la ecuación de la recta en la forma pendiente ordenada al origen 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 y

transformar a su forma general 29. 𝑚 = −13 𝑏 = −7 30. 𝑚 = −6 𝑏 = −2 31. 𝑚 = −2 𝑏 = 14 32. 𝑚 = −11 𝑏 = −14

33. 𝑚 = 6 𝑏 = 6 34. 𝑚 = −1 𝑏 = 15 35. 𝑚 = −13 𝑏 = 5 36. 𝑚 =4

3 𝑏 = −13

37. 𝑚 = −6 𝑏 = 11 38. 𝑚 = −8 𝑏 = 4 39. m=-3/2 b=10 40. 𝑚 = −5 𝑏 = 14

41. 𝑚 = 5/3 𝑏 = 13 42. 𝑚 = −5

7 𝑏 = −7 43. 𝑚 = 9 𝑏 = −4 44. 𝑚 = 11 𝑏 = −6

45. 𝑚 = −3 𝑏 = 13 46. 𝑚 = 10 𝑏 = 4 47. 𝑚 = −2 𝑏 = 5 48. 𝑚 = −7 𝑏 = 9

49. 𝑚 = 7 𝑏 = −14 50. 𝑚 = −7/2 𝑏 = −2 51. m=-3/5 b=3 52. 𝑚 = 0 𝑏 = 4

53. 𝑚 = 3 𝑏 = 14 54. m=-6/7 b=2/5 55. 𝑚 = −5 𝑏 = 0 56. 𝑚 = −4/3 𝑏 = 4

57. 𝑚 = − 5 𝑏 = −5

6 58. 𝑚 = 9 𝑏 = 12 59. 𝑚 = 8 𝑏 = 15 60. 𝑚 = 6 𝑏 = 1

3. Determina la ecuación de la recta en forma simétrica y obtener su forma general.

61. 𝑎 = 1 𝑏 = 6 62. 𝑎 = −6 𝑏 = 13 63. 𝑎 = 6 𝑏 = −14 64. 𝑎 = −5 𝑏 = −12

65. 𝑎 = −15 𝑏 = −9 66. 𝑎 = −3 𝑏 = −7 67. 𝑎 = −1 𝑏 = −2 68. 𝑎 = −12 𝑏 = −2

69. 𝑎 = −12 𝑏 = 2 70. 𝑎 = 12 𝑏 = 14 71. 𝑎 = −7 𝑏 = −14 72. 𝑎 = − 9 𝑏 = 8

73. 𝒂 = − 𝟐 𝒃 = 𝟏𝟒 74. 𝑎 = − 13 𝑏 = 8 75. 𝒂 = 𝟏𝟎 𝒃 = 𝟏 76. 𝑎 = 12 𝑏 = 7

77. 𝒂 = 𝟗 𝒃 = −𝟏𝟐 78. 𝑎 = −15 𝑏 = 2 79. 𝑎 = 13 𝑏 = − 1 80. 𝑎 = 1 𝑏 = 12

81. 𝒂 = −𝟏𝟏 𝒃 = 𝟏𝟓 82. 𝑎 = 1 𝑏 = −4 83. 𝑎 = 9 𝑏 = −12 84. 𝑎 = −13 𝑏 = −9

85. 𝒂 = 𝟗 𝒃 = − 𝟔 86. 𝑎 = −1 𝑏 = −1 87. 𝑎 = 8 𝑏 = −13 88. 𝑎 = −13 𝑏 = 13

89. 𝑎 = 6 𝑏 = −11 90. 𝑎 = −14 𝑏 = 8 91. 𝑎 = −10 𝑏 = 6 92. 𝑎 = −7 𝑏 = 3

4. Determina la ecuación en forma general de los siguientes casos.

93. La recta que une los puntos A(6,5) y B(3,-1) 94. La recta que para por el punto A(-2,4) y m=3 95. La recta que une los puntos A(-1,-5) y (-6,8) 96. La recta que intersecta a los ejes coordenados en a=2 y b=-5 97. La recta cuya pendiente es m=-3 y su ordenada es 5 5.Resuelve cada uno de los siguientes planteamientos.

98. En una tienda de conveniencia se venden 24 latas de refresco con un costo de 240 pesos, si se vendieron 60 latas a un costo de 546. Determina la ecuación que relaciona el costo de la cantidad de latas vendidas, ‘¿cuál sería el

costo de vender 150 latas?

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La intersección del dos rectas representa un punto en común, solo en el caso de las rectas paralelas no existe un punto compartido.

Es posible determinar la intersección en forma en forma gráfica, pero también de forma analítica, utilizando la ecuación de la recta pendiente ordenada al origen 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Por medio de:

𝒙 = 𝒃𝟐 − 𝒃𝟏

𝒎𝟏 − 𝒎𝟐 𝒚 =

𝒎𝟏𝒃𝟐 − 𝒎𝟐𝒃𝟏

𝒎𝟏 − 𝒎𝟐

Nota Importante: Otra forma de encontrar el punto de intersección de la rectas es convertir las ecuaciones en forma general y resolver el sistema, no olvidemos que el resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar el punto de intersección de las rectas.

Practica de clase 1. Determinar las coordenadas del punto de intersección de las rectas:

𝑦 = 3𝑥 − 2 𝑦 = 𝑥 + 5

2. Determinar las coordenadas del punto de intersección de las rectas: Recta 1: 𝑦 = −2𝑥 + 3 ; recta 2 : pendiente 𝑚 = 3 y ordenada al origen b= −2

3. Determinar las coordenadas del punto de intersección de las rectas: Recta 1: 𝑦 = −2𝑥 + 3 ; Recta 2 : pendiente 𝑚 = 3 y ordenada al origen 𝑏 = −2

4.Determinar las coordenadas del punto de intersección de las rectas: Recta 1: 𝑦 = 𝑚 − 5 ; Recta 2 : 𝑦 − 2 = −2𝑥 −

1

2

99. En un estadio de futbol se registra una entrada de 45 mil personas, una vez terminado el encuentro se empiezan a retirar los aficionados, dos horas después la cantidad de aficionados es de 9 mil personas. De continuar el mismo ritmo de desalojo del estadio, determina la ecuación que relaciona la cantidad de personas con el tiempo transcurrido y además en qué tiempo estará el estadio vacío

100. En un local se registra la cantidad de tortas que se vendieron durante un mes de 30 días. El primer día se venden 240 y el último 327. Suponiendo que las ventas del mes se mantienen al mismo ritmo, determina el promedio de variación en las ventas (pendiente) y la ecuación que representa la relación entre la cantidad de tortas vendidas al mes.

101. En una fábrica se ensamblan 24 taladros en 5 horas, cuando han transcurrido 12 horas llevan 72 taladros ensamblados. Determina:

a) La ecuación que relaciona la cantidad de taladros ensamblados con las horas transcurridas, y representa la ecuación en forma general.

b) El tiempo que debe transcurrir para que ensamblen 108 taladros

INTERSECCION DE RECTAS

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RELACION ENTRE RECTAS

Nota importante: Para que dos rectas sean paralelas su inclinación o pendiente deben ser iguales, es decir:

𝒎𝟏 = 𝒎𝟐

Para que dos rectas sean perpendiculares el producto de sus pendientes debe ser igual a -1

(𝒎𝟏)(𝒎𝟐) = −𝟏

Practica de clase 1. Determinar si la recta formada por los puntos 𝐴(7,6) 𝑦 𝐵(3, −2) y la recta formada por los puntos 𝐴(1,1.5)𝑦 𝐵(7, −1.5) son perpendiculares o paralelas. 2. Determina si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares.

𝑦 = 3𝑥 − 6 𝑦 = 3𝑥 + 2

ACTIVIDAD 9 INTERSECCION DE RECTAS

1.-Determina las coordenadas del punto de intersección de las siguientes rectas.

1. 𝑦 = −3𝑥 − 9

𝑦 = 𝑥 + 10 2. 𝑦 = −5𝑥 + 2

𝑦 = 𝑥 + 7 3. 𝑦 = −9𝑥 − 20 𝑦 = 9𝑥 − 18

4. 𝑦 = 7𝑥 + 11 𝑦 = 4𝑥 − 19

5. 𝑦 = −𝑥 − 8

𝑦 = −2𝑥 + 3 6. 𝑦 = −2𝑥 − 15

𝑦 = 𝑥 + 11 7. 𝑦 = −10𝑥 + 16 𝑦 = −3𝑥 + 1

8. 𝑦 = 6𝑥 + 14 𝑦 = −𝑥 − 20

9. 𝑦 = −𝑥 + 8

𝑦 = −2𝑥 + 3 10. 𝑦 = −3𝑥 + 14

𝑦 = 4𝑥 + 2 11. 𝑦 = −3𝑥 − 9 𝑦 = 𝑥 + 10

12. 𝑦 = −5𝑥 + 2 𝑦 = 𝑥 + 7

13. 𝑦 = 3𝑥 + 3

𝑦 = 2𝑥 + 10 14. 𝑦 = 9𝑥 + 2

𝑦 = −6𝑥 − 15 15. 𝑦 = 5𝑥 + 10 𝑦 = −10𝑥 + 20

16. 𝑦 = −2𝑥 + 3 𝑦 = 𝑥 − 10

17. 𝑦 = −8𝑥 − 4

𝑦 = 10𝑥 − 14 18. 𝑦 = −7𝑥 + 14

𝑦 = 4𝑥 − 14 19. 𝑦 = 3𝑥 + 6 𝑦 = 𝑥 + 7

20. 𝑦 = −3𝑥 − 9 𝑦 = 𝑥 + 10

21. 𝑦 = 6𝑥 + 15

𝑦 = −7𝑥 + 12 22. 𝑦 = −9𝑥 + 1

𝑦 = −4𝑥 − 5 23. 𝑦 = −3𝑥 + 1 𝑦 = −2𝑥 + 1

24. 𝑦 = 5𝑥 − 7

𝑦 = 9𝑥 − 13

25. 𝑦 = −8𝑥 + 4

𝑦 = −4𝑥 + 13 26. 𝑦 = 4𝑥 − 13

𝑦 = 6𝑥 − 20 27. 𝑦 = −10𝑥 − 2

𝑦 = 7𝑥 + 8 28. 𝑦 = −5𝑥 + 20

𝑦 = −9𝑥 + 1

29. 𝑦 = 5𝑥 + 7

𝑦 = 10𝑥 + 10 30. 𝑦 = 9𝑥 + 7

𝑦 = −3𝑥 − 3 31. 𝑦 = 3𝑥 + 1 𝑦 = −3𝑥 + 1

32. 𝑦 = 10𝑥 − 20 𝑦 = −4𝑥 − 7

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RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIANGULOS

Dados los puntos: 𝐴(−2,2), 𝐵(0,3) 𝑦 𝐶(−3, −1) ubícalos en un plano cartesiano y únelos para formar un triángulo. Enseguida ubica por medio de las formulas los puntos medios de cada uno de los lados del triángulo y márcalos en azul. Con color rojo traza rectas perpendiculares a los puntos medios estas rectas se llaman mediatrices. Mide los ángulos E, F y G y divídelos en dos partes iguales, traza en color verde la recta que indique la división de los ángulos, a estas rectas se les llama bisectrices. Une con color naranja los puntos medios con su vértice opuesto, a estas rectas de les llama medianas. Determina las ecuaciones de una de las mediatrices y una de las bisectrices a partir de los trazos realizados.

Nota Importante: La mediatriz es una línea recta perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento de recta. La bisectriz es una línea recta que divide a un ángulo en dos partes iguales. La mediana es una línea que va del punto medio de un lado con su vértice opuesto.

Practica de clase 1.Determina la ecuación que corresponde a la mediatriz de lado AB de un triángulo cuyos vértices son:

𝐴 (−4,1), 𝐵(2,2)𝑦 𝐶 (−1,−4).

2.Calcular la ecuación de la bisectriz del ángulo B de un triángulo si sus vértices son los puntos 𝐴(−4,1), 𝐵(2,2)𝑦 𝐶(−1,−4).

ACTIVIDAD 10 RELACION ENTRE RECTAS

1.- Comprobar si las rectas que se dan a continuación son paralelas o perpendiculares.

1. Recta uno pasa por A(-4,2) y B( 1,4) recta dos para por C(-2,-1) y D( 3,1) 2. Recta uno pasa por A(1,1) y B( 4,4) recta dos para por C(1,3) y D( 3,1) 3. Recta uno pasa por A(-3,3) y B( 1,-1) recta dos para por C(1,3) y D(- 3,-1) 4. Recta uno pasa por A(-2,0) y B( -4,0) recta dos para por C(0,2) y D(0,4) 5. Recta uno pasa por A( -3,-5) y B( 1,3) recta dos pasa por C( -1,-5) D( 1,-1) 6. Recta uno pasa por A( -1,4) y B( 1,-2) recta dos pasa por C( 0,1) D(3,2) 7. Recta uno 𝑦 = 2𝑥 + 10 recta dos 𝑦 = −

1

2𝑥 − 10

8. Recta uno 𝑦 = 9𝑥 + 16 𝑦 = 9𝑥 − 13 9. Recta uno 𝑦 = −7𝑥 − 2 y recta dos 𝑦 =

3

4𝑥 − 5

10. Encuentra la ecuación del a recta perpendicular a la ecuación de la recta 𝑦 = 2𝑥 − 3 y que pasa por el punto (1,4)

11. Encuentra la ecuación de una recta que sea paralela a la recta 𝑦 = −3𝑥 + 5 y que pasa por el punto (-1,1)

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Se denomina sección cónica a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas, se clasifican en cuatro tipos: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola

Después de la recta, la línea con que estamos más familiarizados es con la circunferencia, pues la conocemos desde los primeros años de nuestra enseñanza, en esta parte del curso haremos un estudio detallado de la ecuación de la circunferencia y de sus propiedades

La circunferencia se define un lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal forma que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo llamado centro.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Los principales elementos de la circunferencia se mencionan en el esquema siguiente, estos elementos fueron estudiados en el semestre anterior:

Tangente Diámetro Cuerda Radio Centro

ACTIVIDAD 11 PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIANGULO

1.- Determina las ecuaciones de las mediatrices y las medianas de los siguientes triángulos

1. D(-10,10) E(-10,4)

y F( -2,4) 2.

G(2,10) H(2,4) y I(8,4)

3. A(-8,-2) B(-10,-6) y C( -4,-6)

4. J(2,8) K(5,-2.8) y L(8,-8)

2.- Determina las ecuaciones de las alturas y las medianas de los siguientes triángulos

5. A(-5,4)

B(-2,1) y C(-1,4)

6. G(-2,-1) H(-4,-4) y I(0,-4) 7.

D(2,4) E(2,1) y G(5,4) 8. J(2,-4) K(4,-0.54) y

L(6,-4)

LAS CONICAS

LA CIRCUNFERENCIA

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.El teorema de Pitágoras dice que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Para obtener la ecuación de la circunferencia de centro en el origen se toma una circunferencia de radio igual a 1 y donde este se forma por un punto 𝐶 (0,0) y un punto 𝑃(𝑥, 𝑦).

Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos:

𝑟 = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2

𝑟 = √(𝑥)2 + (𝑦)2

Ecuación de la circunferencia con Centro en el origen

𝒓𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

Si la circunferencia tiene su centro fuera del origen las coordenadas de su centro serán C(h,k) y la ecuación queda:

𝑟 = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2

Ecuación en FORMA ORDINARIA de la circunferencia con Centro fuera del origen

𝒓𝟐 = (𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 Al desarrollar los binomios e igualar a cero se obtiene la FORMA GENERAL de la ecuación de la circunferencia.

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

Existen dos tipo de problemas de circunferencia: CASO 1.- A partir de los datos (centro y radio) formar la ecuación de la circunferencia. CASO 2.- Dada la ecuación, reducirla para obtener sus datos (centro y radio).

CASO 1 A PARTIR LOS DATOS ENCONTRAR LA ECUACION

Practica de clase 1.- Determinar el radio de la circunferencia a partir de la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 = 25

2.-Graficar y encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen. Su radio pasa por el punto 𝐴 (6,4).

3.- Obtener la ecuación de la circunferencia de centro en C (-3,2) y radio 5 en forma ordinaria y general. 4.- Obtener la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el cruce de la rectas 𝑥 + 𝑦 = 4 y 𝑥 − 𝑦 = 2 y radio 3. 5.- Encontrar la ecuación en forma ordinaria y general de la circunferencia cuyos extremos de un diámetro son los puntos A (-4,5) y B (4,-3). Encontrar la ecuación en forma ordinaria y general de la circunferencia de centro C(3,-4) y un punto dela circunferencia es el cruce de la rectas 𝑦 = 0 ; 2𝑥 + 𝑦 − 10 = 0

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA.

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ACTIVIDAD 12 CIRCUNFERENCIA CASO 1 DADOS LOS DATOS ENCONTRAR SU ECUACION.

1.- Determina las ecuaciones de las circunferencias cuyos extremos de su diámetro son los puntos: 1. A(1,-4) y B(6,3) 2. A(2,5) y B( 4,3) 3. A(-1,-2) y B(-7,-6) 4. D( -4,5) y E(2, -3) 5. A(-3,-8) y B(7,2) 6. M(2,0) y N(0,10) 7. O(3,5) y (8,-2) 8. F(-3,5) y G(3,-5)

2.- Encuentra la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria y general de si se conoce su centro y su radio.

9. Centro en (2,3) y radio 5 10.Centro en C(1,-7) y radio 3 11.Centro en C(-2,-5) y radio 8

12.Centro en (4,-3) y radio √31 13.Centro en (-2,5) y radio en √5 14.Centro en (0,0) y pasa por el punto A( 3,6)

3.- Determina la ecuación de las siguientes circunferencias en forma ordinaria y general de acuerdo con los elementos que se presentan.

15.Centro en (-3,5) y pasa por (-5,-1) 16.Centro en C(3,-2) y pasa por el punto P(0,4) 17.Centro en el punto C(-2,-6) y para por el punto medio del segmento CP si P(6,2) 18.Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en C(1,-1) y es tangente a la recta 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 19.Comprobar que el punto Q(-8,6) está atrapado dentro de la circunferencia de C(-6,2) y radio 6 20.Encontrar los dos puntos donde la secante 𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 corta a la circunferencia de centro C(4,-3) y

radio 5 21.Encontrar las ecuaciones de las circunferencias tangentes exteriormente cuya línea de los centros es el

segmento determinado por los puntos A (-3,2) B (-3,-4) y el punto de tangencia es P (-3,0).

4.- Utiliza Geógebra para graficar las siguientes circunferencias y determina lo que se te pide en

cada una: (grafica, centro, radio, ecuación, perímetro y área). Pega la gráfica en tu cuaderno de

trabajo.

22.Datos para graficar: C(0,0) Pasa por el punto (5,-7)

Centro y radio:

Perímetro:

Área:

Ecuación:

23.Datos para graficar: El diámetro esta entre los puntos A(1,7) y B(15,7)

Centro y radio:

Perímetro:

Área:

Ecuación:

24.Datos para graficar: C(5,2) Pasa por el punto (7,7)

Centro y radio:

Perímetro:

Área:

Ecuación:

25.Datos para graficar: C(0,0) Pasa por el punto (-2,-4)

Centro y radio:

Perímetro:

Área:

Ecuación:

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EJEMPLOS RESUELTOS 1.-Reducir la siguiente ecuación de la circunferencia 𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 + 𝟑𝟎𝒙 − 𝟐𝟎𝒚 − 𝟔𝟐 = 𝟎 por el método de completar cuadrados perfectos para encontrar su centro y su radio

𝟐𝟓𝒙𝟐

𝟐𝟓+

𝟐𝟓𝒚𝟐

𝟐𝟓+

𝟑𝟎𝒙

𝟐𝟓−

𝟐𝟎𝒚

𝟐𝟓−

𝟔𝟐

𝟐𝟓= 𝟎

1.- Se divide la ecuación entre el coeficiente de 𝑥2 y de 𝑦2

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 +𝟔𝒙

𝟓−

𝟒𝒚

𝟓=

𝟔𝟐

𝟐𝟓

2.-Simplificamos y pasamos el término independiente al lado derecho de la igualdad.

(𝒙𝟐 +𝟔𝒙

𝟓) + (𝒚𝟐 −

𝟒𝒚

𝟓) =

𝟔𝟐

𝟐𝟓

3.-Agrupamos en paréntesis los valores de 𝑥 y 𝑦

𝟔𝟓𝟐𝟏

=𝟔

𝟏𝟎= [

𝟑

𝟓]𝟐

=𝟗

𝟐𝟓

𝟒𝟓𝟐𝟏

= 𝟒

𝟏𝟎= [

𝟐

𝟓]𝟐

=𝟒

𝟐𝟓

4.- Los coeficientes que acompañan a 𝑥2 y a 𝑦2 se dividen entre 2, se simplifican y se elevan al cuadrado.

(𝒙𝟐 +𝟔𝒙

𝟓+

𝟗

𝟐𝟓) + (𝒚𝟐 −

𝟒𝒚

𝟓+

𝟒

𝟐𝟓) =

𝟔𝟐

𝟐𝟓+

𝟗

𝟐𝟓+

𝟒

𝟐𝟓

5.- Los valores obtenidos se aumentan a ambos lados de la ecuación.

(𝒙 +𝟑

𝟓)

𝟐

+ (𝒚 −𝟐

𝟓) =

𝟕𝟓

𝟐𝟓

6.- Se factorizan los trinomios cuadrados perfectos que se formaron y se simplifican las fracciones del lado derecho, y se obtiene la forma ordinaria de la ecuación, de esta forma podemos obtener los datos solicitados centro y radio

(𝒙 +𝟑

𝟓)

𝟐

+ (𝒚 −𝟐

𝟓) =

𝟕𝟓

𝟐𝟓

(𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐

7.- Comparamos la ecuación ordinaria obtenida y obtenemos los datos:

𝐶(ℎ, 𝑘); 𝑪 (−𝟑

𝟓,𝟐

𝟓)

𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 = √𝟕𝟓

𝟐𝟓= √𝟑

CASO 2 DADA LA ECUACION REDUCIRLA PARA ENCONTRAR LOS DATOS.

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EJEMPLOS RESUELTOS 2.-Reducir la siguiente ecuación de la circunferencia 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟗 = 𝟎 por el método de completar cuadrados perfectos para encontrar su centro y su radio

𝟐𝒙𝟐

𝟐+

𝟐𝒚𝟐

𝟐+

𝟏𝟎𝒙

𝟐−

𝟔𝒚

𝟐+

𝟗

𝟐= 𝟎


𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟗

𝟐

2.-Simplificamos y pasamos el término independiente al lado derecho de la igualdad.

(𝒙𝟐 + 𝟓𝒙) + (𝒚𝟐 − 𝟑𝒚) = −𝟗

𝟐 3.-Agrupamos en paréntesis los valores de 𝑥 y 𝑦

(𝟓

𝟐)

𝟐

=𝟐𝟓

𝟒

(𝟑

𝟐)

𝟐

=𝟗

𝟒

4.- Los coeficientes que acompañan a 𝑥2 y a 𝑦2 se dividen entre 2, se simplifican y se elevan al cuadrado.

(𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 +𝟐𝟓

𝟒) + (𝒚𝟐 − 𝟑𝒚 +

𝟗

𝟒) = −

𝟗

𝟐+

𝟐𝟓

𝟒+

𝟗

𝟒

5.- Los valores obtenidos se aumentan a ambos lados de la ecuación.

(𝒙 +𝟓

𝟐)

𝟐

+ (𝒚 −𝟑

𝟐)

𝟐

=𝟏𝟔

𝟒

6.- Se factorizan los trinomios cuadrados perfectos que se formaron y se simplifican las fracciones del lado derecho, y se obtiene la forma ordinaria de la ecuación, de esta forma podemos obtener los datos solicitados centro y radio

(𝒙 +𝟓

𝟐)

𝟐

+ (𝒚 −𝟑

𝟐)

𝟐

= 𝟒

(𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐

7.- Comparamos la ecuación ordinaria obtenida y obtenemos los datos:

𝐶(ℎ, 𝑘); 𝑪 (−𝟓

𝟐,𝟑

𝟐)

𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 = √𝟒 = 𝟐

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También podemos encontrar el radio y el centro de una circunferencia con fórmulas: Si tenemos la ecuación de la circunferencia en forma general 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎, podemos obtener los valores para D, E y F y aplicarlos en las siguientes formulas:

𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝑪 (−𝑫

𝟐,−

𝑬

𝟐) 𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒓 =

𝟏

𝟐√𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑭

EJEMPLOS RESUELTOS 1.-Reducir la siguiente ecuación de la circunferencia 𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 + 𝟑𝟎𝒙 − 𝟐𝟎𝒚 − 𝟔𝟐 = 𝟎 por medio de formulas.

𝟐𝟓𝒙𝟐

𝟐𝟓+

𝟐𝟓𝒚𝟐

𝟐𝟓+

𝟑𝟎𝒙

𝟐𝟓−

𝟐𝟎𝒚

𝟐𝟓−

𝟔𝟐

𝟐𝟓= 𝟎


𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 +𝟔𝒙

𝟓−

𝟒𝒚

𝟓−

𝟔𝟐

𝟐𝟓= 𝟎

2.-Simplificamos

𝑫 =𝟔

𝟓 𝑬 = −

𝟒

𝟓 𝒚 𝑭 = −

𝟔𝟐

𝟐𝟓 3.-Obtenemos los coeficientes D, E y F

𝒉 = −𝑫

𝟐=

−𝟔𝟓𝟐𝟏

=−𝟔

𝟏𝟎=

−𝟑

𝟓

𝒌 = −𝑬

𝟐=

−(−𝟒)𝟓𝟐𝟏

=𝟒

𝟏𝟎=

𝟐

𝟓

𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝑪(𝒉, 𝒌); 𝑪 (−𝟑

𝟓,𝟐

𝟓)

4.- Aplicamos formulas y obtenemos el centro.

𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒓 =𝟏

𝟐√(

𝟔

𝟓)

𝟐

+ (−𝟒

𝟓)

𝟐

− 𝟒(−𝟔𝟐

𝟐𝟓)


𝟐√

𝟑𝟔

𝟐𝟓+

𝟏𝟔

𝟐𝟓+

𝟐𝟒𝟖

𝟐𝟓


𝟐√

𝟑𝟎𝟎

𝟐𝟓 =

𝟏

𝟐√𝟏𝟐 =

𝟏

𝟐√𝟒(𝟑)


𝟐√𝟒(𝟑) =

𝟐

𝟐√𝟑 = √𝟑

5.- Aplicamos formulas y obtenemos el radio.

Valores obtenidos por formulas

𝐶(ℎ, 𝑘); 𝑪 (−𝟑

𝟓,𝟐

𝟓)

𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 = √𝟑

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Practica de clase Encontrar el centro y el radio de las siguientes circunferencias por el método de completar trinomios cuadrados perfectos y por formulas. 1.- 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0 2.- 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 + 6𝑦 − 6 = 0

ACTIVIDAD 13 CIRCUNFERENCIA CASO 2, DADA LA ECUACION OBTENER SU DATOS

Encuentra el centro, el radio y la ecuación general de las siguientes ecuaciones ordinarias de circunferencia

1. (𝒙 − 𝟖)𝟐 + (𝒚 + 𝟓)𝟐 = 𝟒𝟎 2. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = √𝟑𝟓 3. (𝒙 +𝟏

𝟐)𝟐+ (𝒚 +

𝟑

𝟐)𝟐

= 𝟒

4. (𝒙 + 𝟕)𝟐 + (𝒚 + 𝟓)𝟐 = 𝟓√𝟏𝟒 5. (𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 +𝟏

𝟐)𝟐

= 𝟏𝟔 6. (𝒙 −𝟐

𝟑)𝟐+ (𝒚 −

𝟏

𝟑)𝟐− 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎

7. (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟑)𝟐 − 𝟑𝟖 = 𝟎 8. (𝒙 + 𝟓)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 − 𝟖𝟏 = 𝟎 9. (𝒙 −𝟑

𝟓)𝟐+ (𝒚 +

𝟒

𝟓)𝟐− 𝟒𝟗 = 𝟎

Para las siguientes ecuaciones de circunferencia encontrar sus elemento y ecuación ordinaria por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto y por formula. 10. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟎𝒚 + 𝟑𝟎 = 𝟎 11. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟐𝟎𝒚 + 𝟓 = 𝟎

12. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟔 = 𝟎 13. 𝟕𝒙𝟐 + 𝟕𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟎𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎

14. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟖𝒚 + 𝟕 = 𝟎 15. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏𝟖𝒚 − 𝟏𝟖 = 𝟎

16. 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟐𝟒𝒚 − 𝟐𝟐𝟎 = 𝟎 17. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ± 𝟏𝟎𝒙 − 𝟐𝟎𝒚 + 𝟓 = 𝟎

Resuelve los siguientes problemas 18. Encontrar los puntos donde la secante 𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 corta a la circunferencia

𝟕𝒙𝟐 + 𝟕𝒚𝟐 − 𝟐𝟖𝒙 − 𝟐𝟖𝒚 − 𝟕 = 𝟎 19. Encontrar el valor de 𝑘 para que la circunferencia 𝟑𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟒𝒚 + 𝒌 = 𝟎 tenga un radio de 8. 20. Encontrar el área de la circunferencia 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟑𝟐 = 𝟎 21. Encontrar la ecuación de la recta que une los centros de las circunferencias:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔 = 𝟎 𝒚 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟑𝟐 = 𝟎

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TERCER PARCIAL

1.- PARABOLA

1.1 Elementos 1.2 Ecuaciones 1.3 Condiciones geométricas

2.- ELIPSE

2.1 Elementos

2.2 Ecuaciones 2.3 Condiciones geométricas

3.- HIPERBOLA

3.1 Elementos

3.2 Ecuaciones 3.3 Condiciones geométricas

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LA PARABOLA

En la geometría analítica, la parábola es un lugar geométrico de todos los puntos del plano cartesiano donde la distancia de un punto fijo llamado foco es igual a la distancia a una recta fija llamada directriz.

LA PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN (FORMULARIO)

HORIZONTAL VERTICAL Ecuación:

𝑦2 = 4𝑝𝑥 Foco (𝑝, 0) Directriz:

𝑥 = −𝑝 Lado recto:

𝐿𝑅 = |4𝑝| Si p (+) la parábola abre hacia la derecha Si p (-) la parábola abre hacia la izquierda.

Ecuación:

𝑥2 = 4𝑝𝑦 Foco (0, 𝑝) Directriz:

𝑦 = −𝑝 Lado recto:

𝐿𝑅 = |4𝑝| Si p (+) la parábola abre hacia arriba Si p (-) la parábola abre hacia abajo.

Elementos de la parábola: Vértice (V). Punto en donde se corta la

parábola y su eje

Foco (F): Punto fijo ubicado en el eje focal

Directriz.(DD’): Recta fija que define la

parábola

Lado recto (LR). Segmento que pasa por el

foco y es perpendicular al eje focal.

Parámetro. Es la distancia del vértice al foco y

del vértice a la directriz se le denomina con

la letra P.

Eje focal. Recta que pasa por el foco y el

vértice.

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CASO 1 DADOS LOS DATOS ENCONTRAR LA ECUACION

Son situaciones en los cuales se conocen algunos datos y se pide encontrar la ecuación de la parábola de vértice en el origen.

Practica de clase 1.- Encontrar la ecuación, los elementos y la gráfica de la parábola con vértice en el origen si 𝐹 (0,2).

2.-Encontrar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz y= 3 3.-Encontrar la ecuación, elemento y gráfica de la parábola con vértice en el origen y directriz 𝑥 − 2 = 0 4.-Encontrar la ecuación, los elementos y la gráfica de la parábola con vértice en el origen y foco 𝐹 (4,0). 5.- Encontrar la ecuación, los elementos y la gráfica de la parábola con vértice en el origen su directriz es 𝑥 = 4

CASO 2 DADA LA ECUACION ENCONTRAR SUS DATOS

Son situaciones en las que conocemos la ecuación de la parábola y se solicita encontrar los elementos de la misma.

Practica de clase 1.- Encontrar los elementos y trazar la gráfica de la parábola cuya ecuación es 𝑦2 = −16𝑥 2.- Encontrar los elementos y trazar la gráfica de la parábola cuya ecuación es 𝑥2 = −36𝑦

3.- Encontrar los elementos y trazar la gráfica de la parábola cuya ecuación es 𝑦2 = 8𝑥

4.- Encontrar los elementos y trazar la gráfica de la parábola cuya ecuación es 𝑥2 = 4𝑦

5- Encontrar los elementos y trazar la gráfica de la parábola cuya ecuación es 𝑦2 = −12𝑥

Al igual que en la circunferencia existen dos tipo de problemas parábola: CASO 1.- Dados los datos encontrar la ecuación. CASO 2.- Dada la ecuación, encontrar sus datos

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ACTIVIDAD 14 PARABOLA VERTICE EN EL ORIGEN

1.- Para cada una de las siguientes ecuaciones de parábola con vértice en el origen, encontrar sus elementos y gráfica:

1. 𝑦2 = −16𝑥 2. 𝑦2 = 2𝑥 3. 𝑦2 = 20𝑥 4. 𝑦2 = −3𝑥 5. 𝑥2 = −4𝑦 6. 𝑥2 = −8𝑦 7. 𝑥2 = −2𝑦 8. 𝑥2 = 5𝑦

2.- Para cada conjunto de datos obtener la ecuación de la parábola de vértice en el origen. 9. Directriz en x=2 10. p=3 abre a la derecha 11. Directriz y= - 4 12. Foco (0,3) 13. p=-2 abre hacia abajo 14. Foco (-6,0)

3.- Para cada pareja de ecuaciones obtener sus puntos de cruce

15. 𝑥 2 = 4𝑦 𝑦 = 𝑥 + 3

16. 𝑥2 + 𝑦2 = 25 𝑦2 = 24𝑥

17. 𝑦2 = 2𝑥 𝑥 = 𝑦 + 4

3.- Resuelve los siguientes problemas de parábola con vértice en el origen. 18. Si el punto A(x, 6) pertenece a la ecuación 𝑦2 = 6𝑥 de la parábola de vértice en el origen, encontrar la

abscisa del punto A. 19. Si el punto B (6, y) pertenece a la ecuación 𝑥2 = 9𝑦 de la parábola de vértice en el origen, encontrar

la ordenada del punto B. 20. Una parábola de vértice en el origen abre hacia la izquierda y pasa por el punto B (-2,4) encontrar las

coordenadas del foco. 21. Una parábola de vértice en el origen abre hacia abajo y pasa por el punto P (6,-3), encontrar la

ecuación de la directriz.

4.- Utiliza Geógebra para graficar las siguientes parábolas y determina lo que se te pide en cada

una: (vértice, foco, directriz y lado recto). Pega la gráfica en tu cuaderno de trabajo.

Ecuación Vértice Foco Directriz Lado recto

22. 𝑦2 = 8𝑥

23. 𝑦2 = −16𝑥

24. 𝑥2 = −4𝑦

25. 𝑦2 = 2𝑥

26. 𝑥2 = −8𝑦

27. 𝑦2 = 20𝑥

28. 4𝑦2 − 16𝑥 = 0

29. 8𝑥2 = −20𝑦

30. 4𝑦2 = 20𝑦 CO

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LA PARABOLA CON VERTICE FUERA DEL ORIGEN (FORMULARIO)

Una parábola puede ser representada con el vértice fuera del origen 𝑉(ℎ, 𝑘) y su eje focal paralelo a cualquiera de los ejes coordenados. De este modo las ecuaciones y los elementos de la parábola quedan de la siguiente manera.

HORIZONTAL VERTICAL

Ecuación ordinaria (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

Ecuación general 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Vértice Foco Vértice Foco 𝑉(ℎ, 𝑘) 𝐹(ℎ + 𝑝, 𝑘) 𝑉(ℎ, 𝑘) 𝐹(ℎ, 𝑘 + 𝑝)

Directriz Lado recto Directriz Lado recto 𝑥 = ℎ − 𝑝 𝐿𝑅 = |4𝑝| 𝑦 = 𝑘 − 𝑝 𝐿𝑅 = |4𝑝|

Nota importante: Si p (+) la parábola abre hacia la derecha Si p(-) la parábola abre hacia la izquierda

Nota importante: Si p (+) la parábola abre hacia arriba Si p(-) la parábola abre hacia abajo

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PARABOLA VERTICE FUERA DEL ORIGEN CASO 1. DADOS LOS DATOS ENCONTRAR LA ECUACION.

Son situaciones en los cuales se conocen algunos datos y se pide encontrar la ecuación de la parábola de vértice fuera del origen.

Practica de clase 1.- Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice está en el punto 𝑉(3,5) y su foco esta en el punto 𝐹(3,4). 2.- Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice está en el punto 𝑉(−3, −5) y su foco esta en el punto 𝐹(−3, −2).

3.- Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice está en el punto 𝑉(1, −4) y su foco esta en el punto 𝐹(1, −2). 4.- Encontrar la ecuación general de la parábola de vértice fuera del origen, si las coordenadas del foco son 𝐹(0, −7), abre hacia abajo y su directriz es la ecuación 𝑦 = 3 5.-Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en 𝑉(−5,−4), abre a la izquierda y 𝑝 = −3

PARABOLA VERTICE FUERA DEL ORIGEN

CASO 2. DADOS LOS DATOS ENCONTRAR LA ECUACION.

EJEMPLOS RESUELTOS 1.-Reducir la siguiente ecuación de parábola con vértice fuera del origen 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟐𝟖 = 𝟎 por el método de completar cuadrados perfectos para encontrar su vértice, foco, directriz y longitud del lado recto.

𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝟖𝒚 − 𝟐𝟖 1.- Se dejan los valores de la variable que esta elevada al cuadrado de un solo lado.

𝟒

𝟐= 𝟐, (𝟐)𝟐 = 𝟒 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟖𝒚 − 𝟐𝟖 + 𝟒

2.-El valor que acompaña a x se divide entre 2, se eleva al cuadrado y se aumenta a ambos lados de la igualdad.

𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟖𝒚 − 𝟐𝟒 3.-Del lado izquierdo factorizamos el trinomio cuadrado perfecto y del lado derecho factorizamos por factor común.

Ecuación en forma ordinaria

4.- Comparamos con una de las ecuaciones en su forma ordinaria y se obtienen valores.

(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

(𝒙 − 𝟐)𝟐 = 𝟖(𝒚 − 𝟑) Vértice

𝒉 = 𝟐, 𝒌 = 𝟑 𝑽(𝟐, 𝟑)

Parámetro

𝟒𝒑 = 𝟖 𝒑 =𝟖

𝟒 𝒑 = 𝟐

Directriz Foco

𝒚 = 𝒌 − 𝒑 𝒚 = 𝟑 − 𝟐

𝒚 = 𝟏

𝑭(𝒉, 𝒌 + 𝒑) 𝑭(𝟐, 𝟑 + 𝟐)

𝑭(𝟐, 𝟓)

Lado recto

𝑳𝑹 = |𝟒𝒑| 𝑳𝑹 = |𝟒(𝟐)|

𝑳𝑹 = 𝟖

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EJEMPLOS RESUELTOS 1.-Reducir la siguiente ecuación de parábola con vértice fuera del origen 𝒚𝟐 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟑 = 𝟎 por el método de completar cuadrados perfectos para encontrar su vértice, foco, directriz y longitud del lado recto.

𝒚𝟐 + 𝟏𝟎𝒚 = −𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟑 1.- Se dejan los valores de la variable que esta elevada al cuadrado de un solo lado.

𝟏𝟎

𝟐= 𝟓,

(𝟓)𝟐 = 𝟐𝟓

𝒚𝟐 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟐𝟓 = −𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟑 + 𝟐𝟓 2.-El valor que acompaña a y se divide entre 2, se eleva al cuadrado y se aumenta a ambos lados de la igualdad.

𝒚𝟐 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟐𝟓 = −𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟐

3.-Del lado izquierdo factorizamos el trinomio cuadrado perfecto y del lado derecho factorizamos por factor común.



(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

(𝒚 + 𝟓)𝟐 = −𝟏𝟐(𝒙 − 𝟏) Vértice

𝒉 = 𝟏, 𝒌 = −𝟓 𝑽(𝟏,−𝟓)

Parámetro

𝟒𝒑 = −𝟏𝟐 𝒑 =−𝟏𝟐

𝟒 𝒑 = −𝟑

Directriz Foco

𝒙 = 𝒉 − 𝒑 𝒙 = 𝟏 − (−𝟑)

𝒙 = 𝟒

𝑭(𝒉 + 𝒑, 𝒌) 𝑭[𝟏 + (−𝟑), −𝟓]

𝑭(−𝟐,−𝟓)

Lado recto

𝑳𝑹 = |𝟒𝒑| 𝑳𝑹 = |𝟒(−𝟑)|

𝑳𝑹 = 𝟏𝟐

Practica de clase 1.- Encontrar los elementos y trazar la gráfica de la parábola cuya ecuación es 𝑥2 + 8𝑥 − 12𝑦 − 56 = 0 2.- Encontrar los elementos y trazar la gráfica de la parábola cuya ecuación es 𝑦2 − 8𝑦 + 12𝑥 + 64 = 0

3.- Encontrar los elementos y trazar la gráfica de la parábola cuya ecuación es 𝑥2 − 10𝑥 + 20𝑦 − 35 = 0

4.- Encontrar los elementos y trazar la gráfica de la parábola cuya ecuación es 𝑥2 + 8𝑥 + 6𝑦 − 20 = 0

5- Encontrar los elementos y trazar la gráfica de la parábola cuya ecuación es 𝑦2 − 8𝑥 + 12𝑦 + 64 = 0

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ACTIVIDAD 15 PARABOLA CON VERTICE FUERA DEL ORIGEN

1.- Determina la ecuación ordinaria y general de la parábola de acuerdo a los datos que se proporcionan 1. 𝐹 ( −3, −2) 𝑦 𝑉 (−3,−5) 2. 𝐹 (1, −2) 𝑦 𝑉( 1, −4) 3. 𝑉(2, −8) 𝑦 𝐹(2, −4) 4. 𝑉(5,5) 𝑦 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑥 − 2 = 0 5. 𝑉(0, −4) 𝑦 𝐹(0, −6)

6. 𝑉(−5,3) 𝑦 𝐹(−8,3)

7. 𝑉(3, −4) 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑦 = 0 8. 𝐹(2,3) 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑥 − 10 = 0

= 0

9. 𝐹(6,0) 𝑦 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑦 + 6 = 0

10. 𝐹(0, −8)𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑦 = 0

11. 𝑉(−7,2) 𝑦 𝐹(−7,0)

12. 𝐹(2,5) 𝑦 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑥 − 4 = 0 2.- Reducir las ecuaciones de las parábolas a la forma ordinaria y encontrar sus elementos.

13. 𝑦2 − 10𝑦 − 12𝑥 + 46 = 0 14. 𝑥2 + 8𝑦 + 32 = 0 15. 𝑦2 − 16𝑥 + 32 = 0 16. 𝑥2 + 6𝑥 − 8𝑦 + 41 = 0 17. 𝑥2 − 12𝑥 − 12𝑦 + 48 = 0 18. 𝑦2 − 4𝑦 + 16𝑥 + 116 = 0 19. 𝑥2 − 12𝑦 + 60 = 0 20. 𝑦2 − 20𝑥 − 140 = 0 21. 𝑥2 + 12𝑥 − 4𝑦 + 24 = 0 22. 𝑥2 − 10𝑥 − 8𝑦 + 49 = 0 23. 5𝑦2 + 30𝑦 − 40𝑥 − 35 = 0 24. 3𝑥2 − 12𝑥 − 36𝑦 − 168 = 0

3.- Para cada pareja de ecuaciones obtener sus puntos de cruce

25. 𝑦2 − 10𝑦 − 12𝑥 + 73 = 0 𝑥 = 4

𝑥2 + 8𝑥 − 8𝑦 − 32 = 0

𝑦 = −4 26. 𝑥2 + 12𝑥 − 4𝑦 + 24 = 0

𝑥 = 𝑦 + 4

3.- Resuelve los siguientes problemas de parábola con vértice fuera del origen.

27. Encontrar la ecuación de la parábola de eje paralelo al eje 𝑥 y vértice en 𝑉(3,5) que pasa por el punto 𝑃(6, −1)

28. Encontrar la ecuación de la parábola de eje paralelo 𝑦, vértice en 𝑉(−3,−4) y pasa por el punto 𝐴(1, −6)

29. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en 𝑉(1, −2) si el valor del lado recto es 𝐿𝑅 = 16 y su eje paralelo es el eje 𝑦

30. Encontrar la ecuación de la parábola de vértice en 𝑉(−3,−1) si el valor del lado recto 𝐿𝑅 = 8 y su eje es paralelo al eje 𝑥.

4.- Utiliza Geógebra para graficar las siguientes parábolas y determina lo que se te pide en cada una:

(vértice, foco, directriz y lado recto). Pega la gráfica en tu cuaderno de trabajo.

Ecuación Vértice Foco Directriz Lado recto

31. 𝑥2 − 10𝑥 − 8𝑦 + 41 = 0

32. 𝑦2 + 6𝑦 − 12𝑥 + 45 = 0

33. 𝑥2 + 10𝑥 − 10𝑦 + 5 = 0

34. 𝑦2 − 8𝑦 + 6𝑥 + 28 = 0

35. 4𝑥2 + 48𝑥 + 12𝑦 + 156 = 0

36. 𝑦2 − 6𝑦 − 12𝑥 − 39 = 0

37. 𝑦2 + 6𝑦 − 5𝑥 + 13 = 0

38. 4𝑥2 − 12𝑥 − 16𝑦 + 41 = 0

39. 16𝑦2 + 8𝑦 − 24𝑥 + 49 = 0

40. 12𝑥2 − 4𝑦 + 1 = 0

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LA ELIPSE

En la geometría analítica la elipse es el lugar geométrico del conjunto de puntos en el plano cartesiano donde la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse. Centro: Puede ser en el origen 𝐶(0,0) o fuera del origen 𝐶(ℎ, 𝑘) Focos. Son los puntos fijos 𝐹 𝑦 𝐹’ Vértices. Puntos de intersección de la elipse con su eje mayor, se señala como 𝑉 𝑦 𝑉´ Eje focal. Segmento 𝐹𝐹´ que une los focos (2𝑐) Eje mayor. Segmento de recta 𝑉𝑉´ (2𝑎) Eje menor. Segmento de recta que pasa por el centro de la elipse y cuyos extremos son 𝐵𝐵´ (2𝑏) Lado recto. Segmento perpendicular al eje mayor que pasa por uno de sus focos cuyos puntos extremos

son 𝐿 𝑦 𝑅. Excentricidad (𝑒). Es una medida del estiramiento de la elipse. Si (𝑒) es cercana a 1 la elipse tendrá

forma alargada, pero si es cercana a cero, la elipse casi será un círculo. La distancia del origen al vértice se conoce como la 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒂. La distancia del origen a cualquiera de los extremos se conoce como la 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒃. La distancia del origen a cualquiera de los focos se conoce como la 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒄.

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ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

HORIZONTAL VERTICAL

Ecuación Ordinaria

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

Ecuación general 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐹 = 0

Foco 𝐹 (±𝑐, 0)

Vértice 𝑉(±𝑎, 0)

Eje menor 𝐵( 0,±𝑏)

Directriz 𝑥 = ±𝑎2

𝑐

Ecuación Ordinaria

𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎2= 1


Foco 𝐹 (0,±𝑐)

Vértice 𝑉( 0,±𝑎)

Eje menor 𝐵( ±𝑏, 0)

Directriz 𝑦 = ±𝑎2

𝑐

Eje mayor= 2𝑎

Eje menor = 2𝑏

Eje focal = 2𝑐

Lado recto 𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎

Excentricidad 𝑒 =𝑐

𝑎

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

𝑎 > 𝑏

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Practica de clase 1.- Hallar la ecuación de la elipse de centro en el origen, eje mayor 10 y coincide con el eje x y eje menor igual a 6 2.- Hallar la ecuación de la elipse de centro en el origen, cuyos vértices son 𝑉(0,6), 𝑉´(0, −6) y focos 𝐹(0,3), 𝐹´(0, −3), obtener sus elementos. 3.- Hallar la ecuación de la elipse de centro en el origen, cuyos vértices son 𝑉(−5,0), 𝑉´(5,0) y focos F(−3,0), 𝐹 ´(3,0), obtener sus elementos. 4.-Encontrar la ecuación de la elipse de centro en el origen si su excentricidad es 3

4, el eje mayor coincide con

el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 y uno de los focos es el punto 𝐹(3,0) 5.- Encontrar la ecuación de la elipse de centro en el origen, los focos, excentricidad, lado recto y gráfica, si sus vértices son 𝑉(0,7), 𝑉(0, −7) y su eje menor es 8.

Practica de clase

1.-Dada la ecuación de la elipse 𝑥2

12+

𝑦2

24= 1 encontrar sus elementos.

2.-Dada la ecuación de la elipse 𝑥2

5+

𝑦2

4= 1 encontrar sus elementos.

3.-Dada la ecuación de la elipse 16𝑥2 + 25𝑦2 = 400 encontrar sus elementos.

4.- Dada la ecuación de la elipse 𝑥2

9+

𝑦2

16= 1 de centro en el origen, encontrar sus elementos.

5.- Dada la ecuación de la elipse 𝑥2

25+

𝑦2

36= 1 de centro en el origen, encontrar sus elementos.

CASO 1 DADOS LOS DATOS ENCONTRAR LA ECUACION

CASO 2 DADA LA ECUACION ENCONTRAR SUS ELEMENTOS

ACTIVIDAD 16 ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

1.- Para cada una de las ecuaciones de la elipse con centro en el origen encontrar sus elementos.

1. 𝑥2

9+

𝑦2

4= 1 2. 𝑥2

25+

𝑦2

1= 1 3. 𝑥2

4+

𝑦2

1= 1

4. 𝑥2

1+

𝑦2

4= 1 5. 25𝑥2 + 4𝑦2 = 100 6. 25𝑥2 + 16𝑦2 = 400

7. 25𝑥2 + 36𝑦2 = 900 8. 𝑥2

27+

𝑦2

36= 1 9. 16𝑥2 + 25𝑦2 = 400

2.- A partir de los siguientes datos encontrar, la ecuación de la elipse de centro en el origen y sus elementos.

10. V(3,0) V’(-3,0) F(2,0) y F´(-2,0) 11. F(3,0) 𝑒 =3

4

12. E.M = 10 e.m.= 6. El eje mayor coincide con el eje 13. 𝐿. 𝑅. =16

3 V(0,3)

14. V(5,0) y V´(-5,0) y B(0,4) y B’(0,-4) 15. F(0,7) y F’(0,-7) y B(4,0) y B’(0,-4)

16. F(4,0) 7 F’(-4,0) 𝑒 =4

5 17. V(4,0) y V’(-4,0) B(0,√7) y B(0,- √7)

18. F(0,2) 7 F’(0,-2) 𝐿𝑅 = 6 19. 𝑒 =4

6 E.M =12

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ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN.

HORIZONTAL VERTICAL

Ecuación Ordinaria (𝑥 − ℎ)2

𝑎2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

Ecuación general 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Centro (ℎ, 𝑘)

Foco 𝐹 (ℎ ± 𝑐, 𝑘)

Vértice 𝑉(ℎ ± 𝑎, 𝑘)

Eje menor 𝐵( ℎ, 𝑘 ± 𝑏)

Directriz 𝑥 = ±𝑎2

𝑐+ ℎ

Ecuación Ordinaria (𝑥 − ℎ)2

𝑏2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2= 1

Ecuación general 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Centro (ℎ, 𝑘)

Foco 𝐹 (ℎ, 𝑘 ± 𝑐)

Vértice 𝑉(ℎ, 𝑘 ± 𝑎)

Eje menor 𝐵( ℎ ± 𝑏, 𝑘)

Directriz 𝑦 = ±𝑎2

𝑐+ 𝑘

Eje mayor= 2𝑎

Eje menor = 2𝑏

Eje focal = 2𝑐


𝑎


𝑎

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

𝑎 > 𝑏

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CASO I. DADOS LOS DATOS ENCONTRAR LA ECUACION.

Practica de clase 1.-Encontrar la ecuación de la elipse a partir de los siguientes datos 𝐶( −2,−3), 𝑉 (−2,3) 𝑉’(−2,−9) 𝐹(−2,0) 𝑦 𝐹’(−2,−6) 2.- Encontrar la ecuación de la elipse a partir de los siguientes datos 𝐶(−1,−1) 𝑉(4, −1) 𝑉’(−6,−1) 𝐹(−1,1) 𝑦 𝐹’(−1,−3)

3.- Encontrar la ecuación de la elipse a partir de los siguientes datos Vértices 𝑉(9, −6) 𝑦 𝑉’(3, −6) 𝐿𝑅 = 8

3

4.- Encontrar la ecuación de la elipse de centro 𝐶(2,5), vértice 𝑉(2,0) y un foco 𝐹(2,9).

5.- Encontrar la ecuación de la elipse si su excentricidad es 𝑒 =√7

4, su eje mayor es horizontal y mide 8

unidades, su centro 𝐶(3,0).

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CASO II. DADA LA ECUACION ENCONTRAR SUS ELEMENTOS.

EJEMPLOS RESUELTOS 1.- Reducir la siguiente ecuación de elipse con centro fuera del origen

𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒𝒚 + 𝟒𝟓 = 𝟎 por el método de completar cuadrados perfectos para encontrar sus elementos

(𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙) + (𝟒𝒚𝟐 + 𝟐𝟒𝒚) = −𝟒𝟓 1.- Se agrupan los términos de 𝑥 y de 𝑦 y el termino independiente se pasa lado derecho.

(𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙) + 𝟒(𝒚𝟐 + 𝟔𝒚) = −𝟒𝟓 2.-Se simplifica el coeficiente de 𝑥2 y 𝑦2

𝟏𝟎

𝟐= 𝟓,

(𝟓)𝟐 = 𝟐𝟓

𝟔

𝟐= 𝟑,

(𝟑)𝟐 = 𝟗

3.-El coeficiente que acompaña 𝑎 x y 𝑦 se divide entre dos, se eleva al cuadrado y se aumenta en ambos lados, del lado derecho se aumenta 36 porque el 9 está afectado por un 4.

(𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓) + 𝟒(𝒚𝟐 + 𝟔𝒚 + 𝟗) = −𝟒𝟓 + 𝟐𝟓 + 𝟑𝟔

(𝒙 − 𝟓)𝟐 + 𝟒(𝒚 + 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟔 4.- Se factorizan los Trinomios Cuadrados Perfectos

(𝒙 − 𝟓)𝟐

𝟏𝟔+

𝟒(𝒚 + 𝟑)𝟐

𝟏𝟔=

𝟏𝟔

𝟏𝟔

5.- Se divide toda la expresión entre 16 para que sea igual a 1

(𝒙 − 𝟓)𝟐

𝟏𝟔+

(𝒚 + 𝟑)𝟐

𝟒= 𝟏 6.- Se simplifica y se obtiene la forma ordinaria



(𝒙 − 𝟓)𝟐

𝟏𝟔+

(𝒚 + 𝟑)𝟐

𝟒= 𝟏

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

Centro

𝒉 = 𝟓, 𝒌 = −𝟑 𝑪(𝟓,−𝟑)

Parámetros

El mayor valor es 𝒂𝟐 = 𝟏𝟔, 𝒂 = 𝟒

El menor valor es 𝒃𝟐 = 𝟒, 𝒃 = 𝟐

Se obtiene c de la relación 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 √42 − 22 = 𝑐 , 𝑐 = √16 − 4 , 𝑐 = √12 , 𝒄 = 𝟐√𝟑

Excentricidad Foco

𝑒 =𝑐

𝑎=

2√3

4, 𝒆 =

√𝟑

𝟐

𝑭 (𝒉 ± 𝒄, 𝒌)

𝑭 (𝟓 ±√𝟑

𝟐,−𝟑)

Lado recto Vértices

𝑳𝑹 =𝟐𝒃𝟐

𝒂=

𝟐(𝟐𝟐)

𝟒

𝑳𝑹 = 𝟐

𝑉(ℎ ± 𝑎, 𝑘)

𝑽(𝟓 ± 𝟒,−𝟑)

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𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 + 𝟑𝟎𝟎𝒙 − 𝟕𝟐𝒚 + 𝟖𝟏𝟗 = 𝟎 por el método de completar cuadrados perfectos para encontrar sus elementos

𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝟎𝒙 + 𝟗𝒚𝟐 − 𝟕𝟐𝒚 = −𝟖𝟏𝟗 1.- Se agrupan los términos de 𝑥 y de 𝑦 y el termino independiente se pasa lado derecho.

𝟐𝟓(𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙) + 𝟗(𝒚𝟐 − 𝟖𝒚) = −𝟖𝟏𝟗 2.-Se simplifica el coeficiente de 𝑥2 y 𝑦2

𝟏𝟐

𝟐= 𝟔,

(𝟔)𝟐 = 𝟑𝟔

𝟖

𝟐= 𝟒,

(𝟒)𝟐 = 𝟏𝟔

3.-El coeficiente que acompaña 𝑎 x y 𝑦 se divide entre dos, se eleva al cuadrado y se aumenta en ambos lados, del lado derecho se aumenta 900 y 144 porque hay números fuera del paréntesis que multiplican. 𝟐𝟓(𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔) + 𝟗(𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔) = −𝟖𝟏𝟗 + 𝟗𝟎𝟎 + 𝟏𝟒𝟒

𝟐𝟓(𝒙 + 𝟔)𝟐 + 𝟗(𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟐𝟐𝟓 4.- Se factorizan los Trinomios Cuadrados Perfectos y se simplifica el lado derecho

𝟐𝟓(𝒙 + 𝟔)𝟐 + 𝟗(𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟐𝟐𝟓 5.- Se divide toda la expresión entre 225 para que sea igual a 1

𝟐𝟓(𝒙 + 𝟔)𝟐

𝟐𝟐𝟓+

𝟗(𝒚 − 𝟒)𝟐

𝟐𝟐𝟓=

𝟐𝟐𝟓

𝟐𝟐𝟓

6.- Se simplifica y se obtiene la forma ordinaria



(𝒙 + 𝟔)𝟐

𝟗+

(𝒚 − 𝟒)𝟐

𝟐𝟓= 𝟏

(𝑥 − ℎ)2

𝑏2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2= 1

Centro

𝒉 = −𝟔, 𝒌 = 𝟒 𝑪(−𝟔, 𝟒)

Parámetros

El mayor valor es 𝒂𝟐 = 𝟐𝟓, 𝒂 = 𝟓

El menor valor es 𝒃𝟐 = 𝟗, 𝒃 = 𝟑

Se obtiene c de la relación 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 √52 − 32 = 𝑐 , 𝑐 = √25 − 9 , 𝑐 = √16 , 𝒄 = 𝟒

Excentricidad Foco

𝑒 =𝑐

𝑎=

4

5, 𝒆 =

√𝟑

𝟐

𝐹 (ℎ, 𝑘 ± 𝑐) 𝑭(−𝟔, 𝟒 ± 𝟒)

𝑭(−𝟔, 𝟖) 𝑭´(−𝟔, 𝟎)

Lado recto Vértices


𝒂=

𝟐(𝟑𝟐)

𝟓

𝑳𝑹 =𝟗

𝟓

𝑉(ℎ, 𝑘 ± 𝑎) 𝑽(−𝟔, 𝟒 ± 𝟓)

𝑽(−𝟔, 𝟗) 𝑽´(−𝟔,−𝟏)

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CASO 2. DADA LA ECUACION ENCONTRAR SUS DATOS

Practica de clase

1.- Determina los elementos de la elipse a partir de su ecuación (𝑥−2)2

16+

(𝑦+1)2

9= 1 y trazar su gráfica

2.- Determina los elementos de la elipse a partir de su ecuación (𝑥+4)2

12+

(𝑦+1)2

6= 1 y trazar su gráfica.

3.- Para la ecuación de la elipse 𝑥2 + 4𝑦2 − 10𝑥 + 24𝑦 + 45 = 0 encontrar sus elementos. 4.- Para la ecuación de la elipse 9𝑥2 + 4𝑦2 + 72𝑥 + 32𝑦 + 172 = 0 encontrar sus elementos. 5.- Para la ecuación de la elipse 16𝑥2 − 160𝑥 + 25𝑦2 = 0 encontrar sus elementos.

ACTIVIDAD 17 ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN

1.- Para cada una de las ecuaciones de la elipse con centro fuera del origen utiliza el método de completar el trinomio cuadrado perfecto para encontrar la ecuación ordinaria y sus elementos. 1. 4𝑥2 − 9𝑦2 − 40𝑥 + 64 = 0 2. 4𝑥2 + 𝑦2 + 56𝑥 − 10𝑦 + 217 = 0 3. 𝑥2 + 4𝑦2 + 8𝑥 + 24𝑦 + 16 = 0 4. 𝑥2 + 4𝑦2 + 56𝑦 + 180 = 0 5. 4𝑥2 + 9𝑦2 − 56𝑥 − 72𝑦 + 304 = 0 6. 4𝑥2 + 9𝑦2 − 8𝑥 − 18𝑦 − 23 = 0 7. 16𝑥2 + 𝑦2 + 8𝑦 = 0 8. 4𝑥2 + 16𝑦2 + 32𝑥 − 192𝑦 + 576 = 0 9. 5𝑥2 + 4𝑦2 − 20𝑥 − 8𝑦 + 4 = 0 10. 9𝑥2 + 𝑦2 − 108𝑥 + 315 = 0 11. 25𝑥2 + 9𝑦2 − 400𝑥 + 90𝑦 + 1600 = 0 12. 9𝑥2 + 25𝑦2 + 36𝑥 − 189 = 0 13. 2𝑥2 + 9𝑦2 − 18 = 0 14.16𝑥2 + 25𝑦2 + 160𝑥 − 200𝑦 + 400 = 0 15. 9𝑥2 + 4𝑦2 + 36𝑥 − 8𝑦 = −4

2.- Para cada caso encuentra la ecuación de la elipse en forma ordinaria y general

16. 𝐶(−5,2) 𝑉’(−5,−3) 𝐹’(5.2,√21) 17. 𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎 𝑥 = 6, 𝐶(8,3) 𝑦 𝑒 =√5

3

18. 𝑉(0,10) 𝑉’(0,0) 𝐿𝑅 =

18

5 19.

𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 6, los extremos del eje menor son los puntos 𝐵(0, −3) 𝑦 𝐵’(0,−9) y 𝐿𝑅 = 3

20. 𝐶(−10,−5) 𝑉’(−15,−5) 𝑒 =6

10 21. F(3,-7+√7) F’(F(3,-7-√7) V(3,-3)

22. 𝐶(7, −2) eje mayor = 8 eje menor = 4 y eje focal paralelo al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 23. 𝑉(−2,3) 𝑉’(8,3) 𝐹(−1,3) 𝑦 𝐹’(7,3)

24. 𝑉(−2,−5) 𝑉’(−2,3) 𝐹(−2,−4) 𝑦 𝐹’(−2,2) 25. 𝑉(0,0) 𝑉’(8,0) 𝐵(4,3) 𝐵’(4,−3)

26. 𝐵(3,2) 𝐵’(3,6) 𝑦 𝑠𝑢 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 10 27. 𝑉(−4,5)𝑉’(16,5) 𝑒 =4

5

28. Los foco 𝑠𝑜𝑛 𝐹(0,0) 𝑦 𝐹’(0,−4) excentricidad es 𝑒 =2

3 29. 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑉(3,4)𝑦 𝑉’(3,−8) 𝑒 =

2√2

3

3.- Completa lo que se pide

Ecuación Centro Focos Vértices E.M. e.m. L.R. Eje focal Excentricidad

30. 𝒙𝟐

𝟐𝟓+

𝒚𝟐

𝟏𝟒= 𝟏

31. C(0,0) F(1,0) F´(-1,0)

V(3,0) V´(-3,0)

32. C(-1,-1) V(4,-1) V´(-6,-1)

B(-1,1) B´(-1,-3)

33. (𝒙 + 𝟒)𝟐

𝟏𝟐+

(𝒚 + 𝟏)𝟐

𝟔= 𝟏

34. C(-3,4)

35. (𝒙 − 𝟐)𝟐

𝟒+

(𝒚 − 𝟑)𝟐

𝟗= 𝟏

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La hipérbola es un lugar geométrico de un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que se mueve en un plano de modo que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es siempre una cantidad constante y positiva. Los elementos de la hipérbola son:

LA HIPERBOLA

Elementos de la hipérbola. Centro: Puede ser en el origen 𝐶(0,0) o fuera del origen 𝐶(ℎ, 𝑘) Focos. Son los puntos fijos 𝐹 𝑦 𝐹’ Vértices. Puntos de intersección de la hipérbola con su eje mayor, se señala como 𝑉 𝑦 𝑉´ Eje focal. Segmento 𝐹𝐹´ que une los focos (2𝑐) Eje transverso. Segmento de recta 𝑉𝑉´ (2𝑎) Eje conjugado. Es la mediatriz del segmento 𝐵𝐵´ sus vértices son B y B´ es igual a (2𝑏), Lado recto. Segmento perpendicular al eje focal que pasa por uno de sus focos Excentricidad (𝑒). Es una medida del estiramiento de la hipérbola.

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HIPERBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN

HORIZONTAL VERTICAL

Ecuación Ordinaria

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1


Foco 𝐹 (±𝑐, 0)

Vértice 𝑉(±𝑎, 0)

Eje conjugado 𝐵( 0,±𝑏)

Asíntotas 𝑦 = ±𝑏

𝑎

Ecuación Ordinaria

𝑦2

𝑎2−

𝑥2

𝑏2= 1


Foco 𝐹 (0,±𝑐)

Vértice 𝑉( 0,±𝑎)

Eje conjugado 𝐵( ±𝑏, 0)

Asíntotas 𝑦 = ±𝑎

𝑏

Eje transverso= 2𝑎

Eje conjugado = 2𝑏

Eje focal = 2𝑐


𝑎


𝑎

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

𝑎 > 𝑏

CASO I. DADOS LOS DATOS ENCONTRAR LA ECUACION.

Practica de clase

1. Para la ecuación de la hipérbola 𝑥2

4−

𝑦2

9= 1 de centro en el origen encontrar sus elementos.

2. Para la ecuación de la hipérbola 𝑦2

9−

𝑥2


3. Para la ecuación de la hipérbola 𝑥2

16−

𝑦2


4. Para la ecuación de la hipérbola 𝑦2

25−

𝑥2


5. Para la ecuación de la hipérbola 4𝑥2 − 9𝑦2 + 8𝑥 + 90𝑦 − 257 = 0 de centro en el origen encontrar sus elementos.

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CASO II. DADOS LOS DATOS ENCONTRAR LA ECUACION.

Practica de clase

1. Los focos de una hipérbola con centro en el origen están en 𝐹(0,4)𝑦 𝐹´(0, −4) y su eje conjugado tiene una longitud de 6 unidades

2. Los focos de una hipérbola con centro en el origen están en 𝐹(5,0)𝑦 𝐹´(−5,0) y su eje transverso tiene una longitud de 4 unidades.

3. Los vértices de una hipérbola con centro en el origen están en 𝑉(0,6)𝑦 𝑉´(0, −6) y su excentricidad tiene un valor de 8

6.

4. Encontrar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen si la excentricidad tiene un valor de 10

8, 𝐿𝑅 =

9

2, eje transverso 8 y está sobre el eje 𝑥 .

5. Encontrar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen si 𝑒 =

10

8, 𝐿𝑅 =

9

2,

, 𝑒𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 = 8 y esta sobre el eje 𝑥.

ACTIVIDAD 18 HIPERBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN 1.- Para cada una de las ecuaciones de la hipérbola con centro en el origen encontrar sus elementos.

1. 𝑥2

4−

𝑦2

4= 1 2.

𝑥2

9−

𝑦2

4= 1 3.

𝑥2

1−

𝑦2

4= 1

4. 𝑥2

9−

𝑦2

9= 1 5.

𝑥2

25−

𝑦2

4= 1 6.

𝑦2

9−

𝑥2

25= 1

7. 𝑦2 − 9𝑥2 − 9 = 0 8. 16𝑦2 − 25𝑥2 = 400 9. 25𝑦2 − 4𝑥2 − 100 = 0 2.- Encontrar la ecuación y la gráfica de las hipérbolas con centro en el origen de acuerdo a los siguientes datos.

10. V(0,2) y F(0,√8) 11. V(5,0) asíntota en y=x 12. 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 16, 𝑏 = 4 y está en el 𝑒𝑗𝑒 𝑦 13. V(0,5) y F(0,√34)

14. 𝐹(√13, 0) 𝐸𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 6 15. 𝐸𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑎 = 𝑏 = 5

16. 𝐻𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 8 𝑦 𝑒 =√32

4 17.

Eje transverso coincide con el eje y, a=3 y

𝑒 =√34

3

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HIPÉRBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN.

HORIZONTAL VERTICAL

Ecuación Ordinaria

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2−

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

Centro (ℎ, 𝑘) Ecuación general 𝐴𝑥2 − 𝐵𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Foco 𝐹 (ℎ ± 𝑐, 𝑘)

Vértice 𝑉(ℎ ± 𝑎, 𝑘)

Eje conjugado 𝐵( ℎ, 𝑘 ± 𝑏)

Asíntotas 𝑦 − 𝑘 = ±𝑏

𝑎(𝑥 − ℎ)

Ecuación Ordinaria (𝑦 − 𝑘)2

𝑎2−

(𝑥 − ℎ)2

𝑏2= 1

Centro (ℎ, 𝑘) Ecuación general 𝐴𝑥2 − 𝐵𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Foco 𝐹 (ℎ, 𝑘 ± 𝑐)

Vértice 𝑉( ℎ, 𝑘 ± 𝑎)

Eje conjugado 𝐵( ℎ ± 𝑏, 𝑘)

Asíntotas 𝑦 − 𝑘 = ±𝑎

𝑏(𝑥 − ℎ)

Eje transverso= 2𝑎

Eje conjugado = 2𝑏

Eje focal = 2𝑐


𝑎


𝑎

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

𝑎 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

CO

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NO

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CASO I. DADA LA ECUACION ENCONTRAR SUS ELEMENTOS

Practica de clase

1.

Encontrar los elementos de la hipérbola con centro fuera del origen tomando como referencia la siguiente ecuación (𝑦+3)2

12−

(𝑥−1)2

4= 1

2. Encontrar los elementos de la hipérbola con centro fuera del origen tomando como referencia la siguiente ecuación 𝑥2 − 𝑦2 + 12𝑥 + 27 = 0

3. Encontrar los elementos de la hipérbola con centro fuera del origen tomando como referencia la siguiente ecuación 4𝑥2 − 9𝑦2 + 8𝑥 + 90𝑦 − 257 = 0

CO

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NO

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EJEMPLOS RESUELTOS 1.- Reducir la siguiente ecuación de hipérbola con centro fuera del origen

𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝟕 = 𝟎 por el método de completar cuadrados perfectos para encontrar sus elementos

(𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙) − 𝒚𝟐 = −𝟐𝟕 1.- Se agrupan los términos de 𝑥 y de 𝑦 y el termino independiente se pasa lado derecho.

𝟏𝟐

𝟐= 𝟔, (𝟔)𝟐 = 𝟑𝟔 3.-El coeficiente que acompaña 𝑎 𝑥 y 𝑦 se

divide entre dos, se eleva al cuadrado y se aumenta en ambos lados. (𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔) − (𝒚𝟐 + 𝟎) = −𝟐𝟕 + 𝟑𝟔

(𝒙 + 𝟔)𝟐 − (𝒚 + 𝟎)𝟐 = 𝟗 4.- Sefactoriza el Trinomio Cuadrado Perfecto

(𝒙 + 𝟔)𝟐

𝟗+

(𝒚 − 𝟎)𝟐

𝟗= 𝟏



4.- Comparamos con una de las ecuaciones en su forma ordinaria y se obtienen valores, como a siempre es positiva y se encuentra bajo la horizontal (𝑥), la hipérbola es horizontal

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2−

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

(𝒙 + 𝟔)𝟐

𝟗+

(𝒚 − 𝟎)𝟐

𝟗= 𝟏

Centro

𝒉 = −𝟔, 𝒌 = 𝟎 𝑪(−𝟔, 𝟎)

Parámetros

El mayor valor es 𝒂𝟐 = 𝟗, 𝒂 = 𝟑

El menor valor es 𝒃𝟐 = 𝟗, 𝒃 = 𝟑

Se obtiene c de la relación 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 √32 + 32 = 𝑐 , 𝑐 = √9 + 9 , 𝑐 = √18

Excentricidad Foco

𝑒 =𝑐

𝑎=

√18

3, 𝒆 =

√𝟑

𝟐

𝑭 (𝒉 ± 𝒄, 𝒌)

𝑭(−𝟔 ± √𝟏𝟖, 𝟎)

Lado recto


𝒂=

𝟐(𝟑𝟐)

𝟑

𝑳𝑹 =𝟏𝟖

𝟑= 𝟔

Asíntotas

5.- Se obtienen las asíntotas 𝑦 − 𝑘 = +

𝑏

𝑎(𝑥 − ℎ)

𝑦 − 0 =3

3𝑥 + 6

𝒚 = 𝒙 + 𝟔

𝑦 − 𝑘 = −𝑏

𝑎(𝑥 − ℎ)

𝑦 − 0 =−3

3𝑥 + 6

𝒚 = −𝒙 − 𝟔

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𝟒𝒚𝟐 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟖𝒚 + 𝟗𝟎𝒙 − 𝟐𝟓𝟕 = 𝟎 por el método de completar cuadrados perfectos para encontrar sus elementos

𝟒𝒚𝟐 + 𝟖𝒚 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟗𝟎𝒙 = 𝟐𝟓𝟕 1.- Se agrupan los términos de 𝑥 y de 𝑦 y el termino independiente se pasa lado derecho.

𝟒(𝒚𝟐 + 𝟐𝒚) − 𝟗(𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙) = 𝟐𝟓𝟕 2.-Se simplifica el coeficiente de 𝑥2 y 𝑦2

𝟐

𝟐= 𝟏,

(𝟏)𝟐 = 𝟏

𝟏𝟎

𝟐= 𝟓,

(𝟓)𝟐 = 𝟐𝟓

3.-El coeficiente que acompaña 𝑎 x y 𝑦 se divide entre dos, se eleva al cuadrado y se aumenta en ambos lados, del lado derecho se aumenta 4 porque el 1 está afectado por un 4 y se resta 225 porque el 25 está afectado por un 9 𝟒(𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 + 𝟏) − 𝟗(𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓) = 𝟐𝟓𝟕 + 𝟒 − 𝟐𝟐𝟓

𝟒(𝒚 + 𝟏)𝟐 − 𝟗(𝒙 − 𝟓)𝟐 = 𝟑𝟔 4.- Se factorizan los Trinomios Cuadrados Perfectos

𝟒(𝒚 + 𝟏)𝟐

𝟑𝟔−

𝟗(𝒙 − 𝟓)𝟐

𝟑𝟔=

𝟑𝟔

𝟑𝟔


(𝒚 + 𝟏)𝟐

𝟗−

(𝒙 − 𝟓)𝟐

𝟒= 𝟏 6.- Se simplifica y se obtiene la forma ordinaria


4.- Comparamos con una de las ecuaciones en su forma ordinaria y se obtienen valores, como a siempre es positiva y se encuentra bajo la vertical (𝑦), la hipérbola es vertical.

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2−

(𝑥 − ℎ)2

𝑏2= 1

(𝒚 + 𝟏)𝟐

𝟗−

(𝒙 − 𝟓)𝟐

𝟒= 𝟏

Centro

𝒉 = 𝟓, 𝒌 = −𝟏 𝑪(𝟓,−𝟏)

Parámetros

El mayor valor es 𝒂𝟐 = 𝟗, 𝒂 = 𝟑

El menor valor es 𝒃𝟐 = 𝟒, 𝒃 = 𝟐

Se obtiene c de la relación 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 √32 + 22 = 𝑐 , 𝑐 = √9 + 4 , 𝑐 = √13 ,

Excentricidad Foco

𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝟏𝟑

𝟑

𝑭 (𝒉, 𝒌 ± 𝒄)

𝑭(𝟓,−𝟏 ± √𝟏𝟑)

Lado recto


𝒂=

𝟐(𝟐𝟐)

𝟒

𝑳𝑹 = 𝟐

Asíntotas

𝑦 − 𝑘 = +𝑎

𝑏(𝑥 − ℎ)

𝑦 − (−1) = +3

2(𝑥 − 5)

𝑦 + 1 =3

2(𝑥 − 5)

2𝑦 + 2 = 3𝑥 − 15 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟕 = 𝟎

𝑦 − 𝑘 = −𝑎

𝑏(𝑥 − ℎ)

𝑦 − (−1) = −3

2(𝑥 − 5)

𝑦 − (−1) = −3

2(𝑥 − 5)

2𝑦 + 2 = −3𝑥 + 15 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎

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CASO 2. DADOS LOS DATOS ENCONTRAR LA ECUACION.

Practica de clase

1. Para la hipérbola de centro fuera del origen encontrar sus elementos y su ecuación si se conoce: 𝑒𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 = 4 𝑒𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 3 𝑦 𝐶(4,6).

2. Para la hipérbola de centro fuera del origen encontrar sus elementos y su ecuación si se conoce: 𝐶(−1,−3), 𝐹(2,−3), 𝐹´(−4,−3) 𝑒𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 = 4.

3. Para la hipérbola de centro fuera del origen encontrar sus elementos y su ecuación si se conoce: 𝐶(2, −2), 𝑉(2, −6), 𝑉´(2,2) 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 =

5

4.

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ACTIVIDAD 19 HIPERBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN

1.-Para cada una de las siguientes ecuaciones, grafica en algún software cada una de las siguientes hipérbolas con centro fuera del origen y encuentra los elementos y utiliza una tabla para ordenar los resultados. (Utiliza el método del trinomio cuadrado perfecto para encontrar la ecuación ordinaria) 1. 𝑥2 − 9𝑦2 − 4𝑥 + 36𝑦 − 41 = 0 2. 9𝑥2 − 4𝑦2 + 54𝑥 + 16𝑦 + 29 = 0

3. 𝑦2 − 4𝑥2 − 4𝑦 + 32𝑥 − 64 = 0 4. 25𝑦2 − 4𝑥2 + 150𝑦 + 325 = 0 5. 𝑦2 − 𝑥2 − 4𝑦 + 14𝑦 + 45 = 0 6. 𝑦2 − 4𝑦2 − 8𝑦 = 0

7. 9𝑦2 − 4𝑥2 − 36𝑥 − 40𝑦 − 100 = 0 8. 4𝑥2 − 𝑦2 − 40𝑥 − 12𝑦 + 48 = 0

2.- Encontrar la ecuación en forma general y la gráfica de las hipérbolas con centro fuera del origen de acuerdo a los siguientes datos.

10. 𝐶(−7,−3) 𝑉(−7,0) 𝐹(7, −3 + √10) 11. 𝑉(3,3) 𝑉´(3,−3) 𝐿𝑅 =8

2

12. 𝑉(2,4) 𝑉´(6,4) 𝑒 =3

2 13. 𝑉(3,4) 𝑉´(5,4) 𝐹(2,4) 𝑦 𝐹´(6,4)

14. 𝑉(6,0) 𝑉´(6,−6) 𝐹(6,2) 15. 𝐶(−2,7) 𝐸. 𝑇. = 8 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎 𝑦, 𝐸. 𝐶. = 6 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎 𝑥

16. 𝐶(2,3) 𝑉(2,−1) 𝑒 =√8

2 17. 𝐶(5,3), 𝑉(7,3) 𝐿𝑅 = 9

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Bibliografía

[𝟏] Pérez y Romero J. Alejandro, Geometría Analítica, México 2001

[𝟐] Rodríguez Nungaray Sergio, Geometría Analítica, Umbral 2017

[𝟑] Sánchez Oscar, Jiménez Ángel., Geometría Analítica Bachillerato Tecnológico.

KeepReading, México 2015

[𝟒] Lehmman Charles H, Geometría Analítica, Limusa 1997

[𝟓] Ruiz Basto Joaquín, Geometría Analítica, Patria 2015

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V 06 ELABORACIÓN DE PLANEACIÓN DIDÁCTICA PP-PPA-EPD-06 ...©taro... · Conoce los diferentes...

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