TEORIA DE CONJUNTOS

ESCUELA:

NOMBRES:

Ciencias de la Educación – Físico Matemáticas

Ing. Wilson Villa

BIMESTRE: Primero

INTRODUCCIONMi nombre es Wilson Villa y tengo el agrado de darle la bienvenida al presente ciclo de estudio, por parte de la UTPL.La materia de Teoría de Conjuntos corresponde al primer ciclo de la carrera de Ciencias de la Educación, mención Físico-Matemáticas de la UTPL. Es una materia troncal y tiene un valor de 5 créditos.

CONJUNTO

Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto.

Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante punto y coma.

NOTACIÓN

Ejemplo:

El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así:

L={ a; b; c; ...; x; y; z}

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo:Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10}

2 M ...se lee 2 pertenece al conjunto M

5 M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M

INDICE

I) POR EXTENSIÓN

Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión

Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.Ejemplos:A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.

A = { 6;8;10;12;14;16;18 }

B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10 y menores que 1.

B = {-9;-7;-5;-3;-1}II) POR COMPRENSIÓNEs aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.Ejemplo:

se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

P = { los números dígitos }

Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada.

AMT7

2

3

69

ae

i

o

u(1;3) (7;6)

(2;4) (5;8)8

4

1 5

INDICE

A = o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “

CONJUNTO VACÍOEs un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: o { }

Ejemplos:M = { números mayores que 9 y menores que 5 }

P = { x / }1

0X

CONJUNTO UNITARIOEs el conjunto que tiene un solo elemento.Ejemplos:

F = { x / 2x + 6 = 0 } G = 2x /x 4 x 0 CONJUNTO FINITOEs el conjunto con limitado número de elementos.

Ejemplos:

E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 }

N = { x / x2 = 4 }

;

CONJUNTO INFINITO

Es el conjunto con ilimitado número de elementos.Ejemplos:

R = { x / x < 6 } S = { x / x es un número par }CONJUNTO UNIVERSALEs un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra U

Ejemplo: El universo o conjunto universal

;

de todos los números es el conjunto de los NÚMEROS COMPLEJOS.

INCLUSIÓNUn conjunto A esta incluido en otro conjunto B, sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de BNOTACIÓN : A BSe lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B.REPRESENTACIÓN GRÁFICA :

B A

IGUALDAD DE CONJUNTOSDos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.Ejemplo:A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }

Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3, es decir : A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=BSimbólicamente :

A B (A B) (B A)

CONJUNTOS DISJUNTOS

Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.REPRESENTACIÓN GRÁFICA :

A B1

7

5 3

9

2

4

8

6

Como puede observar los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS

Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}

Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}

Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}

Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;

Números Reales ( R )

R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3

12

15

12

43

Números Complejos ( C )

C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 312

76

556

A B

El conjunto “A unión B” que se representa asi es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A,a B o a ambos conjuntos.

A B

A B x /x A x B

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9

76

556

A B

El conjunto “A intersección B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.

A B

A B x /x A x B

Ejemplo:

A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 5;6;7

76

556

A B

El conjunto “A menos B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

A B

A B x /x A x B

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4

Dado un conjunto universal U y un conjunto A,se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.Notación: A’ o AC

Ejemplo:

U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}y

Simbólicamente: A ' x /x U x A

A’ = U - A

TIPOS DE APLICACIONESAplicaciones inyectivas:• Sean los conjuntos A y B. Sea una aplicación

entre ambos conjuntos tal que f : A → B. Se verifica que la aplicación es una aplicación de tipo inyectiva si cada imagen de un elemento de B corresponde a un sólo elemento de A, aunque no todos los elementos de B han de tener elemento de A, es decir, ∀x,y ∈ A si f(x) = f(y) entonces x=y.

Aplicación Sobreyectiva• Considerando A y B. Una aplicación es

sobreyectiva si para cada elemento de B existe un elemento de A tal que f(a) = b.

Aplicaciones biyectivasSean A y B dos conjuntos. Sea la aplicación f: A → B. La aplicación entre A y B verifica ser una aplicación biyectiva si para cada imagen hay un elemento A asociado y que además debe ser único. Es decir debe ser una aplicación sobreyectiva e inyectiva al mismo tiempo.

Composición de aplicaciones: Definición

Sean f una aplicación del conjunto A en el conjunto B y g una aplicación del conjunto B en el conjunto C. Entonces, construimos una tercera aplicación, h, del conjunto A en el conjunto C de la siguiente forma:

Para cada x A, obtenemos un elemento f(x) B, y podemos considerar la imagen de f(x) mediante g. g(f(x)), que es un elemento de C. Entonces definimos la aplicación h como

h(x)=g(f(x)), para todo x A.

Información de contacto

Profesor: Ing. Wilson Villa

Para cualquier inquietud por favor escribir al correo wvvilla@gmail.com o llamar al teléfono 2570275 ext. 2242, las horas de tutoría son los días Lunes y Martes de 16H00PM a 18H00PM.