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INSTRUCCIONES:INSTRUCCIONES:

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

La Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto de Guayama, en colaboración con el proyecto Título V, ha desarrollado una serie de módulos instruccionales para cursos de matemática y estadística. Un módulo instruccional es una unidad autónoma de estudio independiente diseñada para individualizar y facilitar el aprendizaje. Es una herramienta adicional que le brinda al estudiante otras opciones de estudio. El estudiante tiene la oportunidad de aprender de forma individualizada.

Antes de comenzar a estudiar los módulos debes contestar la pre-prueba. Es importante que pongas interés al contestarla.

Te invito a que repases los temas presentados en los módulos y de tener dudas consulta con el profesor asignado al curso.

PROPÓSITOPROPÓSITO

Este módulo se propone ampliar las actividades de enseñanza y aprendizaje básicas aplicadas a las matemáticas y la estadística, incluidos en el Proyecto Título V Cooperativo: “Fortaleciendo los logros académicos por medio de un consorcio para incorporar tecnología en el currículo básico”. El proyecto está integrado por la Pontificia Universidad Católica de Puerto Rico en Ponce desde donde se dirige y sus recintos de Arecibo, Mayagüez y Guayama; la Escuela de Artes Plásticas de Puerto Rico y el Recinto de Guayama de la Universidad Interamericana.

Definir que es una hipótesis y una prueba de hipótesis.Describir el procedimiento de una prueba de una

hipótesis (cinco pasos).Distinguir entre las pruebas de hipótesis de una y dos

colas.Realizar una prueba de hipótesis acerca de una media

poblacional.Definir los errores Tipo I y Tipo II.

Pruebas de HipótesisPruebas de HipótesisObjetivosCuando hallas terminado de estudiar esta unidad, estarás capacitado para:

Pre-Prueba Pre-Prueba Prueba de HipótesisPrueba de Hipótesis

1. En una prueba de hipótesis, la hipótesis tentativa que se asume sea cierta es:

a. la hipótesis alternativab. la hipótesis nulac. ambas hipótesisd. determinada por el estadístico de pruebae. el estadístico de prueba

2. En una prueba de hipótesis, la hipótesis nula es rechazada cuando:a. no se llega a una conclusiónb. la información acumulada es incorrectac. la hipótesis alternativa es ciertad. el tamaño de la muestra es muy pequeñoe. la hipótesis alternativa es falsa

3. El nivel de significancia es:a. es la probabilidad admisible de cometer un error de Tipo IIb. es la probabilidad admisible de cometer un error de Tipo I c. igual al coeficiente de confianzad. la probabilidad de rechazar la hipótesis alternativae. igual que el valor p

4. La probabilidad de cometer un error de Tipo I se denota por:a. αb. ßc. 1- αd. 1- ße. α- ß

Cont. Pre-PruebaCont. Pre-PruebaPrueba HipótesisPrueba Hipótesis

5. Cuando las hipótesis siguientes son probabilidades con un nivel de significancia, la hipótesis nula será rechazada si en el estadístico de prueba z es: H0:µ ≥ 100 Ha: µ < 100

a. > zα b. < zα c. <- zαd. < 100e. > 100

6. La probabilidad de cometer un error de Tipo II se denota por:a. 1- αb. ßc. αd. 1- ße. ß- α


7. Para probar las hipótesis siguientes con un nivel de significancia, la hipótesis nula es rechazada si en el estadístico de prueba z es: H0:µ ≤ 100 Ha: µ > 100

a. > zαb. < zα c. <- zαd. < 100e. > 100

8. En un procedimiento de pruebas de hipótesis (α) es:a. el nivel de significanciab. el valor críticoc. el nivel de confianzad. 1 – nivel de confianzae. 1 + nivel de confianza


9. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es correcta?a. H0: µ < 10% Ha: µ ≥ 10%b. H0: µ ≤ 10% Ha: µ > 10%c. H0: µ > 10% Ha: µ ≤ 10%d. H0: µ = 10% Ha: µ ≠ 10%e. H0: µ ≥ 10% Ha: µ < 10%

10. Un meteorólogo expresó que la temperatura durante el pasado verano en el pueblo de Ponce fue más de 80grados. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta?

a. H0: µ ≥ 80 Ha: µ < 80b. H0: µ ≤ 80 Ha: µ > 80c. H0: µ = 80 Ha: µ ≠ 80d. H0: µ < 80 Ha: µ ≥ 80e. H0: µ ≠ 80 Ha: µ = 80


11. Un estudiante del curso de Estadística cree que la nota promedio del examen final fue por lo menos 85%. Escogió una muestra de los estudiantes del curso que tomaron para probar su afirmación. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta?

a. H0: µ = 0.85 Ha: µ > 0.85b. H0: µ < 0.85 Ha: µ ≥ 0.85c. H0: µ ≥ 0.85 Ha: µ < 0.85d. H0: µ ≤ 0.85 Ha: µ > 0.85e. H0: µ > 0.85 Ha: µ ≤ 0.85

12. El Decano de Administración de una Universidad piensa que por lo menos el 35% de los estudiantes regulares toman clases en verano. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta?

a. H0: µ > 0.35 Ha: µ ≤ 0.35 b. H0: µ ≤ 0.35 Ha: µ > 0.35c. H0: µ ≥ 0.35 Ha: µ < 0.35d. H0: µ = 0.35 Ha: µ > 0.35e. H0: µ = 0.35 Ha: µ ≠ 0.35


13. La probabilidad de rechazar una hipótesis nula falsa es igual a:a. 1- αb. α- ßc. 1- ßd. αe. ß

14. La hipótesis nula:a. es una afirmación sobre un parámetro de una poblaciónb. siempre contiene el signo de igualdadc. no incluye valores menores que 0d. no contiene signo de igualdade. la a y la b son correctas


15. La hipótesis alternativa:a. es aceptada cuando la hipótesis nula es rechazadab. siempre contiene el signo de igualdadc. es aceptada cuando la hipótesis nula es falsad. la a y la c son correctase. no contiene signo de igualdad

16. Se comete un error de Tipo I cuando:a. es correcta la decisiónb. es igual al valor críticoc. se acepta la hipótesis nula cuando es falsad. el error es determinado por el estadístico de pruebae. cuando la hipótesis nula es rechazada siendo cierta


17. El valor crítico es:a. calculado por la información de la muestrab. el nivel de significanciac. el punto que divide la región de rechazo de la no rechazod. igual a la hipótesis nulae. la a y la d son correctas

18. Un error de Tipo II ocurre cuando:a. hemos aceptado la H0 siendo falsab. hemos rechazado la Ha siendo ciertac. hemos rechazado la H0 siendo falsad. hemos aceptado la Ha siendo falsae. hemos rechazado H0 siendo cierta


19. Error que se comete cuando se rechaza la hipótesis nula siendo verdadera:a. error de Tipo IIb. error de Tipo Ic. error con la informaciónd. cuando ocurren ambos errorese. cuando la información está incompleta

20. El año pasado, el 75% de los turista que vinieron a Puerto Rico, visitaban la capital, San Juan. El alcalde de esa ciudad emprendió una campaña de promoción agresiva con el propósito de aumentar el por ciento de turistas que visitan la capital. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta?:

a. H0: µ > 0.75 Ha: µ ≤ 0.75b. H0: µ < 0.75 Ha: µ ≥ 0.75c. H0: µ ≥ 0.75 Ha: µ < 0.75d. H0: µ = 0.75 Ha: µ ≠ 0.75e. H0: µ ≤ 0.75 Ha: µ > 0.75


Ejemplo 2: El tiempo promedio de vida de una persona que fuma es de 55 años.

¿¿Qué es una Qué es una HipótesisHipótesis??

Una hipótesis es una afirmación o declaración acerca de un parámetro de la población.

Ejemplo 1:El 90% de los jóvenes que pasan el mayor tiempo conectados a una computadora padecen de problemas musculares.

Hipótesis nula representada por (Ho) – es la que se formula y se quiere probar. Se asume como correcta hasta tanto la evidencia compruebe lo contrario. Comienza con el supuesto de que es cierta. Ej. El promedio de las notas de los estudiantes de estadística es de 3.00

Ej. Ho: μ=3

Tipos de HipótesisTipos de Hipótesis

Hipótesis alternativa representada por Ha. Es cualquier hipótesis que difiera de la hipótesis nula. Es una afirmación que se acepta si los datos muéstrales proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula Ho es falsa.

Ej. Ha≠3

Tipos de HipótesisTipos de Hipótesis

Prueba de HipótesisPrueba de Hipótesis

Basada en la evidencia de la muestra y

la teoría de la probabilidad

Prueba de hipótesis – procedimiento basado en la información obtenida de la muestra y en la teoría de la probabilidad para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable.

PASOS PARA PROBAR UNA HIPÓTESISPASOS PARA PROBAR UNA HIPÓTESIS

Paso 1: Establezca las hipótesis nula y alternativa. Paso 2: Seleccione el nivel de significancia.

Paso 3: Identifique el estadístico prueba.

Paso 4: Formule regla de decisión.

No rechazar la Hipótesis nula

Paso 5: Tomar una muestra y llegar a una decisión:

Rechazar la nula y aceptar alternativa

Hipótesis Alternativa H1:

Es una declaración que se acepta si los datos de la muestra proporcionan suficiente evidencia de que la hipótesis nula es falsa.

Hipótesis nula H0

Es una declaración acerca del valor de un parámetro de la población.

Paso 1: Paso 1: Establecer las hipótesis nula y la alternativaEstablecer las hipótesis nula y la alternativa

Una prueba de hipótesis tomando los valores de los datos de la media

de la población (μ) debe asumir una

de estas tres formas

H0: = 0H1: = 0

H0: < 0H1: > 0

H0: > 0H1: < 0

Paso 1: Paso 1: Establecer las hipótesis nula y la Establecer las hipótesis nula y la alternativaalternativa

La hipótesis nula siempre contiene la

igualdad.

La probabilidad de rechazar la hipótesis cuando esta es cierta

Rechazar hipótesis nula cuando es cierta

Aceptar hipótesis nula cuando es falsa

Nivel de SignificanciaNivel de Significancia Error Error TipoTipo I I

Error Error TipoTipo II II

Paso 2: Paso 2: Seleccionar el nivel de Seleccionar el nivel de significanciasignificancia

Nivel de significancia – se define como la probabilidad máxima de cometer un error de Tipo I. Los niveles de significancia que se utilizan con mayor frecuencia son 0.01, 0.05 y 0.10, pero cualquier valor entre 0 y 1.00 es posible. Si los datos de la muestra son consistentes con la Hipótesis nula (Ho), se adapta la práctica de llegar a la conclusión de “no rechazar Ho”. Es preferible esta conclusión en lugar de “aceptar

la Ho”, porque si se acepta Ho, se corre el riesgo de cometer un error de Tipo II.

Nivel de SignificanciaNivel de Significancia

Un error Tipo I ocurre cuando una hipótesis nula es verdadera y se rechaza.

La probabilidad de cometer un error Tipo es igual al nivel de significancia.

Esta probabilidad se designa con la letra griega α (Alfa).

ERRORERROR TIPO I QUE PUEDE OCURRIR EN UNA TIPO I QUE PUEDE OCURRIR EN UNA PRUEBA DE HIPÓTESISPRUEBA DE HIPÓTESIS

Un error Tipo II ocurre cuando una hipótesis nula es falsa y aceptada. La probabilidad de cometer un error Tipo II se designa con la

letra griega ß (Beta). La probabilidad de cometer un error Tipo II se encuentra

mediante la siguiente fórmula:

ERRORERROR TIPO II QUE PUEDE OCURRIR EN UNA TIPO II QUE PUEDE OCURRIR EN UNA PRUEBA DE HIPÓTESISPRUEBA DE HIPÓTESIS

n/

X

z

Paso 2: Paso 2: Seleccionar el nivel de Seleccionar el nivel de SignificanciaSignificancia

Investigador

Hipótesis Aceptar Rechazar

nula Ho Ho

Ho es cierta

Ho es falsa

Decisióncorrecta

Error

Tipo I

Error

Tipo II

Decisióncorrecta

Valor determinado a partir de la información de la muestra, que se usa para determinar si se va a rechazar la hipótesis nula.

Estadístico de pruebaEstadístico de prueba

n/

X

z

El valor z se basa en la distribución del muestreo de X que sigue la distribución normal cuando la muestra es razonablemente grande. El estadístico de prueba se determina mediante la fórmula siguiente:

Paso 3: Paso 3: Determinar el estadístico de Determinar el estadístico de pruebaprueba

Paso 4: Paso 4: Formular la regla de decisión.Formular la regla de decisión.

Valor Crítico: Es el punto que divide la región donde la hipótesis nula es rechazada y de aquella donde no se rechaza.

Rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa con base en la información de la muestra.

Paso 5: Paso 5: Tomar una decisiónTomar una decisión

El último paso en una prueba de Hipótesis es luego de calcular el estadístico de la prueba, se compara con el valor crítico para tomar la decisión de rechazar o no la Hipótesis nula.

Paso 5: Paso 5: Tomar la decisiónTomar la decisión

ACEPTAR H0

Usando el Valor-p en una Prueba de Hipótesis

Si el Valor-p es mayor o igual que el nivel de significancia (, H0 no se rechaza.

Valor-pValor-p

Otro método que se puede usar para sacar una conclusión de la prueba de hipótesis se basa en una probabilidad llamada valor p. Asumir que la hipótesis nula es verdadera, el valor-p es la probabilidad de encontrar un valor de la estadística de prueba tan improbable como el que se observa o computado para la prueba.

Regla de Decision

Si el Valor-p es menor que el nivel de significancia (, H0 se rechaza.

Ejemplo de una prueba de hipótesis bilateral de (dos colas)

La etiqueta de una botella de “Fríe’ ketchup” dice que el envase contiene 16 onzas de “ketchup”. Suponga que deseamos comprobar esta aseveración mediante una prueba de hipótesis. Se tomó una muestra de 36 botellas que reveló un peso promedio de 16.32 onzas por botella. La desviación típica del proceso es 0.5 onzas y el nivel de significancia es de .05. ¿podemos concluir que el promedio por botella es diferente de 16 onzas?. Compruebe

Paso 1: Establecer las Hipótesis

Paso 2: Seleccionar el Nivel de Significancia

α = 0.05Paso 3: Determinar el Estadístico de Prueba

Paso 4: Formular la regla de decisión o de rechazo

SOLUCIÓN DEL EJEMPLOSOLUCIÓN DEL EJEMPLO

H0: = 16H1: = 16

n/

X

z

Si el nivel de significancia α = .05, significa que existe un 95% de probabilidad de cometer un error de Tipo I.

Una prueba bilateral (de dos colas) el nivel de significancia se divide por 2. (.05/2)

¿Cómo se selecciona el nivel de ¿Cómo se selecciona el nivel de significancia?significancia?

CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN

19.21460.0

32.

48.58.

32.

308.

00.1632.16

Z

Regla de rechazoRechazar H0 si z < -1.96 ó z > 1.96

Paso 4: Formular la regla de decisión o de rechazo

Paso 5: Tomar la Decisión No rechazar la Hipótesis nula (Ho) o Rechazar la nula y aceptar alternativa (Ha)

Estadístico de Prueba

En el ejemplo que estamos solucionando, se rechaza la Ho si z es menor que -1.96 ó z mayor que 1.96.

La regla de rechazo se obtiene dividiendo el nivel de significancia (.95/2) = 0.4750.

Con el 0.4750 se busca el valor z en la “Tabla de Áreas, o Probabilidades, para la Distribución Normal Estándar”. Al buscar en la tabla de adentro hacia fuera obtenemos que z = 1.96.

¿Cómo se determina la regla de ¿Cómo se determina la regla de rechazo?rechazo?

Regla de rechazoRechazar H0 si z < -1.96 ó z > 1.96

Ejemplo 1Ejemplo 1

Presentación Gráfica del Área de Rechazo y no Rechazo

Asumiendo que H0 escierta y =16 onzas Asumiendo que H0 escierta y =16 onzas

00 1.96 1.96

Rechazar H0Rechazar H0Área de noRechazo H0

Área de noRechazo H0

zz

Rechazar H0Rechazar H0

-1.96 -1.96

ConclusiónConclusión

En el ejemplo presentado como el valor de z = 2.19 (valor crítico), es mayor que los valores de la región de rechazo, por lo tanto no se rechaza la Ho. Se concluye que el envase de contiene 16 onzas.

CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN

Pos-PruebaPos-PruebaPrueba HipótesisPrueba Hipótesis

1. El año pasado, el 75% de los turista que vinieron a Puerto Rico, visitaban la capital, San Juan. El alcalde de esa ciudad emprendió una campaña de promoción agresiva con el propósito de aumentar el por ciento de turistas que visitan la capital. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta?:

a. H0: µ > 0.75 Ha: µ ≤ 0.75b. H0: µ < 0.75 Ha: µ ≥ 0.75c. H0: µ ≥ 0.75 Ha: µ < 0.75d. H0: µ = 0.75 Ha: µ ≠ 0.75e. H0: µ ≤ 0.75 Ha: µ > 0.75

2. Error que se comete cuando se rechaza la hipótesis nula siendo verdadera:a. error de Tipo IIb. error de Tipo Ic. error con la informaciónd. cuando ocurren ambos errorese. cuando la información está incompleta

3. El nivel de significancia es:a. es la probabilidad admisible de cometer un error de Tipo IIb. es la probabilidad admisible de cometer un error de Tipo I c. igual al coeficiente de confianzad. la probabilidad de rechazar la hipótesis alternativae. igual que el valor p

4. La probabilidad de cometer un error de Tipo I se denota por:a. αb. ßc. 1- αd. 1- ße. α- ß

Cont. Pos-PruebaCont. Pos-PruebaPrueba HipótesisPrueba Hipótesis

5. Cuando las hipótesis siguientes son probabilidades con un nivel de significancia, la hipótesis nula será rechazada si en el estadístico de prueba z es: H0:µ ≥ 100Ha: µ < 100

a. > zα b. < zα c. <- zαd. < 100e. > 100

6. La probabilidad de cometer un error de Tipo II se denota por:a. 1- αb. ßc. αd. 1- ße. ß- α


7. Para probar las hipótesis siguientes con un nivel de significancia, la hipótesis nula es rechazada si en el estadístico de prueba z es: H0:µ ≤ 100 Ha: µ > 100

a. > zαb. < zα c. <- zαd. < 100e. > 100

8. En un procedimiento de pruebas de hipótesis (α) es:a. el nivel de significanciab. el valor críticoc. el nivel de confianzad. 1 – nivel de confianzae. 1 + nivel de confianza


9. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es correcta?:a. H0: µ < 10% Ha: µ ≥ 10%b. H0: µ ≤ 10% Ha: µ > 10%c. H0: µ > 10% Ha: µ ≤ 10%d. H0: µ = 10% Ha: µ ≠ 10%e. H0: µ ≥ 10% Ha: µ < 10%

10. Un meteorólogo expresó que la temperatura durante el pasado verano en el pueblo de Ponce fue más de 80grados. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta?

a. H0: µ ≥ 80 Ha: µ < 80b. H0: µ ≤ 80 Ha: µ > 80c. H0: µ = 80 Ha: µ ≠ 80d. H0: µ < 80 Ha: µ ≥ 80e. H0: µ ≠ 80 Ha: µ = 80


11. Un estudiante del curso de Estadística cree que la nota promedio del examen final fue por lo menos 85%. Escogió una muestra de los estudiantes del curso que tomaron para probar su afirmación. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta?

a. H0: µ = 0.85 Ha: µ > 0.85b. H0: µ < 0.85 Ha: µ ≥ 0.85c. H0: µ ≥ 0.85 Ha: µ < 0.85d. H0: µ ≤ 0.85 Ha: µ > 0.85e. H0: µ > 0.85 Ha: µ ≤ 0.85

12. El Decano de Administración de una Universidad piensa que por lo menos el 35% de los estudiantes regulares toman clases en verano. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta?

a. H0: µ > 0.35 Ha: µ ≤ 0.35 b. H0: µ ≤ 0.35 Ha: µ > 0.35c. H0: µ ≥ 0.35 Ha: µ < 0.35d. H0: µ = 0.35 Ha: µ > 0.35e. H0: µ = 0.35 Ha: µ ≠ 0.35


13. La probabilidad de rechazar una hipótesis nula falsa es igual a:a. 1- αb. α- ßc. 1- ßd. αe. ß

14. La hipótesis nula:a. es una afirmación sobre un parámetro de una poblaciónb. siempre contiene el signo de igualdadc. no incluye valores menores que 0d. no contiene signo de igualdade. la a y la b son correctas


15. La hipótesis alternativa:a. es aceptada cuando la hipótesis nula es rechazadab. siempre contiene el signo de igualdadc. es aceptada cuando la hipótesis nula es falsad. la a y la c son correctase. no contiene signo de igualdad

16. Se comete un error de Tipo I cuando:a. es correcta la decisiónb. es igual al valor críticoc. se acepta la hipótesis nula cuando es falsad. el error es determinado por el estadístico de pruebae. cuando la hipótesis nula es rechazada siendo cierta


17. El valor crítico es:a. calculado por la información de la muestrab. el nivel de significanciac. el punto que divide la región de rechazo de la no rechazod. igual a la hipótesis nulae. la a y la d son correctas

18. Un error de Tipo II ocurre cuando:a. hemos aceptado la H0 siendo falsab. hemos rechazado la Ha siendo ciertac. hemos rechazado la H0 siendo falsad. hemos aceptado la Ha siendo falsae. hemos rechazado H0 siendo cierta


19. En una prueba de hipótesis, la hipótesis nula es rechazada cuando:a. no se llega a una conclusiónb. la información acumulada es incorrectac. la hipótesis alternativa es ciertad. el tamaño de la muestra es muy pequeñoe. la hipótesis alternativa es falsa

20. En una prueba de hipótesis, la hipótesis tentativa que se asume sea cierta es:

a. la hipótesis alternativab. la hipótesis nulac. ambas hipótesisd. determinada por el estadístico de pruebae. el estadístico de prueba


BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA

Anderson, Sweeney, Williams (2004). Estadística para administración y economía . (8ª ed.). México: International Thomson.

Triola, M.F. (2006). Estadística. (9ª ed). México: Addison Wesley

Clave Pre-pruebaClave Pre-prueba

1. B 11. C

2. C 12. B

3. B 13. C

4. A 14. E

5. B 15. D

6. B 16. E

7. A 17. C

8. A 18. A

9. E 19. B

10. A 20. E

Clave Pos-pruebaClave Pos-prueba

1. E 11. C

2. B 12. B

3. B 13. C

4. A 14. E

5. B 15. D

6. B 16. E

7. A 17. C

8. A 18. A

9. E 19. C

10. A 20. B

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