usmp_PD_AJPV_6_Inventario
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PROGRAMACIÓN DINÁMICA
Investigación
Operativa II
ESCUELA PROFESIONAL:
. INGENIERÍA INDUSTRIAL
. INGENIERÍA DE COMPUTACIÓN Y SISTEMAS
Adolfo Prado
2014
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Una compañía sabe que la demanda de su producto durante cada uno de
los próximos cuatro meses es como se indica:
La Compañía debe determinar cuantas unidades tiene que fabricar en el
mes corriente. Durante un mes en el cual se producen algunas unidades, se
incurre en un costo de $3. Además hay un costo variable de $1 por cada
unidad que se fabrica. Al final de cada mes se genera un costo de
almacenamiento de 50 céntimos por cada unidad disponible.
Las limitaciones de capacidad permiten producir durante cada mes un
máximo de 5 unidades. Las dimensiones de la bodega de la compañía
restringen el inventario final de cada mes a 4 unidades como mucho.
La empresa desea determinar un plan de producción que cumpla con toda
la demanda a tiempo y minimice sus costos totales durante los custro
meses. Suponga que se dispone de 0 unidades al principio del primer mes
CASO 6 : INVENTARIO
1 2 3 4
Demanda 1 3 2 4
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Etapas
Alternativas
Estado
Función Recursiva
Modelo: Producción Inventario
Sistema de Revisión Periódica
Programación
dinámica
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Demanda
Producción
Inventario
Costos Almacenamiento
Costos de Producción
Problema Inventario
¿Que elementos,
conceptos, variables
identificamos?
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En el mes 4 (solución trivial último mes)
Producción mes 4 = Demanda mes 4
Producción mes 4=Demanda mes 4- Inventario mes 3
Función de Costo C(x) donde x unidades a producir: C(0) = 0
y C(x) = 3 + x para X>0
Estados {0,1,2,3,4} capacidad de almacenamiento
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Demanda del mes
Producción en el mes
Capacidad max de almacenaje
Capacidad max de producción
Inventario
Costos Almacenamiento
Costo Fijos de Producción
Costo Variables de Producción
Etapas
Alternativas
Estado
Función Recursiva
Modelo
Producción
Inventarios
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CASO 6 : INVENTARIOS
Solución por Programación Dinámica.
La etapa i representa el tiempo (mes) i : i = 1, 2 , 3, 4
Las alternativas (decisión) en la etapa i es la cantidad de producción en el mes i. Denominemos este valor como xi
El estado si representa la cantidad de producto en inventario al inicio del mes i : { 0,1, 2, 3, 4 }
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CASO 6 : INVENTARIOS
Fórmula recursiva
Sea fi(xi) es el costo al producir xi unidades en el mes i y el resto de meses ( i+1, …, n)
[costo etapa actual ]+ costo etapa anteriores
[Costo Producción + Costo Inventario]
fi(xi) = min {[ci(xi) + 0.5 * (si+ xi- di) ] + fi+1(xi+1)} etapa 4,3,2,1
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CASO 6 : INVENTARIOS
Fórmula recursiva
Sea fi(xi) es el costo al producir xi unidades en
el mes i y el resto de meses ( i+1, …, n)
fi(xi) = min {[ci(xi) + 0.5 * (si+ xi- di) ] + fi+1(xi+1)}
etapa 4,3,2,1
Restricción
Producción
Capacidad Almacenaje
Inventario es mayor que cero
xi<=5
0<=si<=4
si-xi-di>=0
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CASO 6 : INVENTARIOS
Fórmula recursiva
Sea fi(xi) es el costo al producir xi unidades en
el mes i y el resto de meses ( i+1, …, n)
fi(xi) = min {[ci(xi) + 0.5 * (si+ xi- di) ] + fi+1(xi+1)}
etapa 4,3,2,1
fi(xi) = min {[ci(xi) + 0.5 * (si+ xi- di) ] + fi+1(si+ xi- di)}
xi<=5
0<=si<=4
si-xi-di>=0
Vincular resto en función del Estado
y Alternativa actual
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CASO 6 : INVENTARIOS
Fórmula recursiva
Sea fi(xi) es el costo al producir xi unidades en el mes i y el resto de meses ( i+1, …, n)
f5(x5) = 0 i=5
f4(x4) = min {c4(x4)} i=4
fi(xi) = min {[ci(xi) + 0.5 * (si+ xi- di) ] + fi+1(si+ xi- di)} i=4,3,2,1
Solución
última etapa
0<=xi<=5
0<=si<=4
si-xi-di>=0
0<= x4<=5
0<=s4<=4
s4-x4-d4=0
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X4
f*4(S4) x*4
S4
0 7 4
1 6 3
2 5 2
3 4 1
4 3 0
Etapa 4
Demanda mes 4 = 4 f4(x4) = max {c(x4)} x4=4-s4
Producción = Demanda – Inventario = 4 4 0 C(4) = 3 + 1 * 4=7
Producción = Demanda – Inventario = 3 4 1 C(3) = 3 + 1 * 3=6
Producción = Demanda – Inventario = 2 4 2 C(2) = 3 + 1 * 2=5
Producción = Demanda – Inventario = 0 4 4 C(0) = 0
Producción = Demanda – Inventario = 1 4 3 C(1) = 3 + 1 * 1 = 4
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f3(x3)=max{[c3(x3) + 0.5*(s3 +x3 - 2)] + f4(s3 +x3 - 2)}
X3
0 1 2 3 4 5 f*3(S) x*3
S3
0 [5+0]+7=
12 [6+0.5]+6=12.5
[7+1]+5=13
[8+1.5]+4=13.5
12 2
1 [4+0]+7
=11 [5+0.5]+6=11.5
[6+1]+5=12
[7+1.5]+4=12.5
[8+2]+0=10
10 5
2 [0+0]+
7=7 [4+0.5]+6=10.5
[5+1]+5=11
[6+1.5]+4=11.5
[7+2]+0=9
7 0
3 [0+0.5]+6=6.5
[4+1]+5=10
[5+1.5]+4=10.5
[6+2]+0=8
6.5 0
4 [0+1]+
5=6 [4+1.5]+
4=9.5 [5+2]+0=
7 6 0
Etapa 3 (mes 3)
Demanda = 2 unidades
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f2(x2)=max{[c2(x2) + 0.5*(s2 +x2 - 3)] + f3(s2 +x2 - 3)}
X2
0 1 2 3 4 5 f*2(S) x*2
S2
0 [6+0]
+12=18 [7+0.5]+10=17.5
[8+1]+7=16
16 5
1 [5+0]+12
=17 [6+0.5]+10=16.5
[7+1]
+7=15
[8+1.5]+6.5=16
15 4
2 [4+0]
+12=16
[5+0.5]+10=15.5
[6+1]
+7=14
[7+1.5]+6.5=15
[8+2]+6=16
14 3
3 [0+0]+12=12
[4+0.5]+10=14.5
[5+1]
+7=13
[6+1.5]+6.5=14
[7+2]+6=15
12 0
4 [0+0.5]+10=10
.5
[4+1]
+7=12
[5+1.5]+6.5=13
[6+2]+6=14
10.5 0
Etapa 2 (mes 2)
Demanda = 3 unidades
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Etapa 1 (mes 1)
Demanda = 1 unidades
f1(x1)=max{[c1(x1) + 0.5*(s1 +x1 - 1)] + f2(s1 +x1 - 1)}
X1
0 1 2 3 4 5 f*1(S1) x*1
S1
0 [4+0]+16=20
[5+0.5]+15=20
.5
[6+1]
+14=21
[7+1.5]+12
=20.5
[8+2]+10.5=20.5
20 1
Solución
Para costo total optimo es 20
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Solución:
Para el mes 1 (Etapa 1) producción es 1 inventario final
(S2) = 1-1 = 0
Para el mes 2 (Etapa 2) producción es 5 inventario final
(S3) = 5-3 = 2
Para el mes 3 (Etapa 3) producción es 0 inventario final
(S4) = 2-2 = 0
Para el mes 4 (Etapa 4) producción es 4 inventario final
(S5) = 4-4 = 0
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Solve and Analyze
Costo Fijo
por Producir
Costo Variable
P: Producción
H: Almacenamiento
B :Backorder
Costo Max
Almacenaje
Cap.Max
Producción
Demanda
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Solución
Detallada
Resumen
de la
Solución