1

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EVALUACIÓN PARA EL ACCESO A LAS ENSEÑANZAS

UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO

Curso 2017-2018

MATERIA: FUNDAMENTOS DEL ARTE II

Modelo

INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓN

Después de leer atentamente los textos y las preguntas siguientes, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder las cuestiones de la opción elegida. CALIFICACIÓN: Primera parte. Cada pregunta se valorará con 0,25 puntos. Puntuación máxima 2 puntos. Segunda parte. Cada pregunta se valorará con 0,50 puntos. Puntuación máxima 2 puntos. Tercera parte. • Desarrollo del tema escrito. Cada epígrafe se valorará con 1 punto. Puntuación máxima 3

puntos. • Análisis de la imagen de la lámina. Cada epígrafe se valorará con 1 punto. Puntuación máxima

3 puntos. (Se recomienda una extensión del texto de 25 a 30 líneas, aproximadamente,

en cada uno de los dos apartados de esta tercera parte.)

TIEMPO: 90 minutos.

OPCIÓN A

Primera parte (Preguntas de opción múltiple) 1. Responda a las siguientes 8 preguntas eligiendo sólo una de las respuestas (a, b, c, d).

1.1. El material de construcción más característico en la obra de Ludwig Mies van der Rohe es: a) Madera. b) Plástico. c) Vidrio. d) Aluminio.

…………………………………………………………………………………………………………………

1.2. La “Etapa Maya” forma parte de la carrera de: a) René Lalique. b) Frank Lloyd Wright. c) Hector Guimard. d) Zaha Hadid.

…………………………………………………………………………………………………………

1.3. La arquitecta Zaha Hadid se asocia al movimiento: a) Modernista. b) Historicista. c) Art Déco. d) Deconstructivista.

…………………………………………………………………………………………………………………

1.4. Uno de estos cuatro edificios no corresponde al movimiento Postmoderno: a) Edificio AT&T, Philip Johnson, Nueva York (1978-82). b) Edificio Humana, Michael Graves, Louisville (1982-86). c) Museo Guggenheim, Frank Gehry, Bilbao (1991-97). d) Edificio de servicios públicos, Michael Graves, Portland (1980-82).

2

……………………………………………………………………………………………………………….

1.5. Qué arquitecto escribió, en 1908, el artículo “Ornamento y delito”? a) Antoni Gaudí. b) Le Corbusier. c) Ludwig Mies van der Rohe. d) Adolf Loos. …………………………………………………………………………………………………………………

1.6. ¿Cuál de las siguientes características no es propia de la arquitectura modernista? a) Decoraciones inspiradas en la naturaleza. b) Poca decoración. c) Uso de la línea curva y la asimetría. d) Abundancia de motivos decorativos.

……………………………………………………………………………………………………………….

1.7. El monumento fúnebre de María Cristina de Austria situado en la Iglesia de los Agustinos de Viena y esculpido entre 1798 y 1805 es una obra de: a) Naum Gabo. b) Constatin Brancusi. c) August Rodin. d) Antonio Canova.

……………………………………………………………………………………………………………….

1.8. ¿A qué fotógrafo se deben las primeras fotografías aéreas? a) Nadar. b) Walker Evans. c) Luis Buñuel. c) Cecil Beaton.

……………………………………………………………………………………………………………….

Segunda parte (Preguntas semiabiertas) 2. Complete con una única respuesta 4 de las siguientes preguntas.

2.1. ¿Quién es el autor de la escultura Figura reclinada (1957) realizada para el edificio de la Unesco en París?

…………………………………………………………………………………………………………………

2.2. ¿Cuál es el título del manifiesto publicado por los escultores Antoine Pevsner y Naum Gabo?

...........................................................................................................................................................

2.3. La autora de la polémica fotografía Migrant Mother (Madre migrante) tomada en 1936 fue: …………………………………………………………………………………………………………………

2.4. ¿Qué dibujante creó al célebre personaje de cómic Tintín en 1929?

………………………………………………………………………………………………………………… 2.5. El Pabellón Puente de la Exposición Internacional de Zaragoza de 2008 se debe a la

arquitecta angloiraní:

………………………………………………………………………………………………………………… 2.6. Nombre de la pintora Art Déco de nacionalidad polaca que buscó desde sus primeras

obras representar la figura humana y que fue retratista de la alta burguesía y de la aristocracia.

……………………………………………………………………………………………………………….

3

Tercera parte (Preguntas abiertas) 3. Desarrolle el tema: El Romanticismo, atendiendo a los siguientes epígrafes:

a) Características del sentimiento romántico y su relación con la pintura. b) El paisaje. c) Inglaterra: John Constable y William Turner.

4. Analice la lámina (OPCIÓN A) atendiendo a los siguientes epígrafes:

a) Identifique la película a la que pertenece el fotograma y comente brevemente el movimiento en el que se encuadra.

b) Describa el estilo de la obra. c) Relacione el estilo de la obra con el panorama artístico de su momento.

4

OPCIÓN B

Primera parte (Preguntas de opción múltiple) 1. Responda a las siguientes 8 preguntas eligiendo sólo una de las respuestas (a, b, c, d).

1.1. Los estudios de animación por ordenador Pixar nacieron como empresa independiente en 1986 pero hoy en día son parte de: a) Lucasfilm Limited. b) Technology Computer Graphics Lab. c) Industrial Light & Magic. d) The Walt Disney Company.

…………………………………………………………………………………………………………………

1.2. Una de estas películas no fue dirigida por Fernando Trueba: a) Sal gorda (1983). b) Sé infiel y no mires con quién (1985). c) Amanece que no es poco (1989). d) La niña de tus ojos (1998). ………………………………………………………………………………………………………………....

1.3. Uno de estos diseñadores de moda es conocido como “El salvador de Gucci”, pues fue el responsable de sacar a esta marca de la quiebra en la que se encontraba: a) Tom Ford. b) Gianni Versace. c) Giorgio Armani. d) Jean-Paul Gaultier.

…………………………………………………………………………………………………………………

1.4. Señale cuál de estas obras pertenece a Tamara de Lempicka: a) Muchacha con guantes. b) Los girasoles. c) La balsa de la Medusa. d) Olympia. …………………………………………………………………………………………………………………

1.5. El arquitecto Norman Foster se encuadra dentro del estilo arquitectónico: a) Neoclásico. b) High-Tech. c) Modernismo. d) Postmoderno. ……………………………………………………………………………………………………………….

1.6. ¿Cuál de las siguientes obras realizó el arquitecto Victor Horta? a) Casa Batlló de Barcelona. b) Casa Tassel de Bruselas. c) Pabellón de Exposiciones de la Secession vienesa. d) Casa de Mayólica de Viena.

.........................................................................................................................................................

1.7. ¿Cuál de las siguientes características no es propia de la joyería modernista? a) Motivos florales. b) Uso de plásticos. c) Líneas curvas y asimétricas. d) Decoraciones con libélulas.

……………………………………………………………………………………………………………

5

1.8. ¿Cuál de los siguientes títulos marcó los inicios del cine en Europa? a) El padrino. b) La salida de los obreros de la fábrica Lumière. c) Psicosis. d) Viridiana.

……………………………………………………………………………………………………………….

Segunda parte (Preguntas semiabiertas) 2. Complete con una única respuesta 4 de las siguientes preguntas.

2.1. La Villa Savoye es obra del arquitecto: ........................................................................................................................................................... 2.2. ¿A qué conocido personaje histórico parodia Charles Chaplin en la película El gran

dictador? ............................................................................................................................................................... 2.3. ¿Cuál es el título del manifiesto publicado por los escultores Antoine Pevsner y Naum

Gabo? ………………………………………………………………………………………………………………… 2.4. Las Escuelas Aguirre situadas frente al Parque del Retiro de Madrid, ¿a qué movimiento

corresponden? ……………………………………………………………………………………………………………….... 2.5. ¿Cuál es la disciplina artística en la que destacó de forma más notable Mariano

Benlliure? ……………………………………………………………………………………………………………….... 2.6. ¿Qué nombre recibe el Art Nouveau en España? ………………………………………………………………………………………………………………… 2.6. ¿Qué artistas redactaron el Manifiesto Realista?

…………………………………………………………………………………………………………………

Tercera parte (Preguntas abiertas) 3. Desarrolle el tema: La obra gráfica de los cartelistas Jules Chéret y Alfons Mucha, atendiendo

a los siguientes epígrafes: a) Panorama histórico-cultural y la influencia en su obra. b) Jules Cheret, características de su obra. c) Alfons Mucha, características de su obra.

4. Analice la lámina (OPCIÓN B) atendiendo a los siguientes epígrafes:

a) Identifique el autor y comente brevemente el movimiento al que pertenece. b) Explique la técnica utilizada (color, composición y ejecución). c) Relación entre el estilo y técnica del cuadro y otros estilos y técnicas precedentes.

6

LÁMINA (OPCIÓN A)

LÁMINA (OPCIÓN B)

7

FUNDAMENTOS DEL ARTE II CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN

OPCIÓN A y B

Primera parte 1. Preguntas de opción múltiple

El estudiante deberá responder a 8 preguntas breves eligiendo sólo una de las respuestas (a, b, c, d) (Puntuación máxima: 2 puntos; 0,25 puntos por cada enunciado). Se trata de una pregunta cerrada de opción múltiple. El fallo de una pregunta no penaliza (no resta puntuación). Cada pregunta sólo tendrá una respuesta correcta. Las preguntas se referirán a movimientos, estilos, creadores u obras ubicadas en un tiempo y espacio determinado, ya sean pinturas, esculturas, arquitecturas, cine, teatro, televisión, etc.

Segunda parte 2. Preguntas semiabiertas

El estudiante deberá completar con una única respuesta 4 de los 6 enunciados propuestos (Puntuación máxima: 2 puntos; 0,50 puntos por cada enunciado). Se trata de una pregunta semiabierta que se responderá de manera breve (una o unas pocas palabras). Por ejemplo, se preguntará por el título de una obra, el nombre de un autor, un estilo o la ciudad en que tuvo lugar un acontecimiento importante. En ningún caso se preguntará por fechas.

Tercera parte 3. Pregunta abierta

El estudiante tiene que desarrollar un tema atendiendo a tres epígrafes propuestos. (Puntuación máxima: 3 puntos; 1 punto por cada epígrafe). El estudiante deberá demostrar conocimientos sobre conceptos fundamentales del arte referidos a su contexto socio-histórico, procesos de ideación y ejecución, así como capacidad para discernir las principales características estilísticas y técnicas de autores, estilos y movimientos. Se trata de una pregunta abierta que exige, por parte del estudiante, redactar con coherencia, claridad expositiva y corrección ortográfica y gramatical un breve texto (se recomienda una extensión de entre 25 y 30 líneas).

4. Pregunta abierta

El estudiante deberá analizar una obra impresa en una lámina reproducida en color atendiendo a tres epígrafes (Puntuación máxima: 3 puntos; 1 puntos por cada epígrafe). Dependiendo de la obra propuesta, podrá solicitarse la identificación del autor y un breve comentario del movimiento al que pertenece, así como una datación aproximada por décadas (años 30-40) o por tramos de siglo (a finales del siglo XIX). La pregunta hará énfasis en el análisis de aspectos técnicos (luz, color, composición, ejecución, etc.). Uno de los epígrafes podrá referirse a las relaciones entre la técnica de la obra reproducida y la técnica de otros autores y estilos precedentes o posteriores. Se trata de una pregunta abierta que exige, por parte del estudiante, redactar con corrección ortográfica y gramatical un breve texto coherente apoyándose siempre en la imagen reproducida (se recomienda una extensión de entre 25 y 30 líneas).

8

FUNDAMENTOS DEL ARTE II SOLUCIONES

OPCIÓN A Primera parte (Preguntas de opción múltiple) 1. Responda a las siguientes 8 preguntas eligiendo sólo una de las respuestas (a, b, c, d).

1.1. El material de construcción más característico en la obra de Ludwig Mies van der Rohe es: c) Vídrio.

1.2. La “Etapa Maya” forma parte de la carrera de:

b) Frank Lloyd Wright.

1.3. La arquitecta Zaha Hadid se asocia al movimiento: d) Deconstructivista.

1.4. Uno de estos cuatro edificios no corresponde al movimiento Postmoderno:

c) Museo Guggenheim, Frank Gehry, Bilbao (1991-97).

1.5. Qué arquitecto escribió, en 1908, el artículo “Ornamento y delito”? d) Adolf Loos.

1.6. ¿Cuál de las siguientes características no es propia de la arquitectura modernista? b) Poca decoración.

1.7. El monumento fúnebre de María Cristina de Austria situado en la Iglesia de los Agustinos

de Viena y esculpido entre 1798 y 1805 es una obra de: d) Antonio Canova.

1.8. ¿A qué fotógrafo se deben las primeras fotografías aéreas?

a) Nadar.

Segunda parte (Preguntas semiabiertas) 2. Complete con una única respuesta 4 de las siguientes preguntas.

2.1. ¿Quién es el autor de la escultura Figura reclinada (1957) realizada para el edificio de la Unesco en París? Henry Moore.

2.2. ¿Cuál es el título del manifiesto publicado por los escultores Antoine Pevsner y Naum Gabo? Manifiesto Realista.

2.3. La autora de la polémica fotografía Migrant Mother (Madre migrante) tomada en 1936 fue: Dorothea Lange.

2.4. ¿Qué dibujante creó al célebre personaje de comic Tintín en 1929? Georges Prosper Remi, conocido como Hergé.

2.5. El Pabellón Puente de la Exposición Internacional de Zaragoza de 2008 se debe a la

arquitecta angloiraní: Zaha Hadid.

9

2.6. Nombre de la pintora Art Déco de nacionalidad polaca que buscó desde sus primeras obras representar la figura humana y que fue retratista de la alta burguesía y de la aristocracia. Tamara de Lempicka.

Tercera parte (Preguntas abiertas) 3. Desarrolle el tema: El Romanticismo, atendiendo a los siguientes epígrafes:

a) Características del sentimiento romántico y su relación con la pintura. b) El paisaje. c) Inglaterra: John Constable y William Turner.

a) Características del sentimiento romántico y su relación con la pintura.

• Culto al sentimentalismo. Amor a la naturaleza. Rechazo a la civilización. Teorías de Rousseau y Goethe.

• Exaltación de ruinas. Asimetría. Visiones idílicas del paisaje. Orientalismo. Dinamismo figuras.

b) El paisaje. El gran descubrimiento del Romanticismo fue la naturaleza. Por ello alcanza gran importancia el paisaje como tema pictórico, especialmente en Alemania e Inglaterra. Su novedad está en que no son paisaje “reconstruidos” en el estudio, sino paisajes que recogen la realidad exterior. Muy expresivos. Subjetividad. No busca el realismo exacto en la representación de las cosas, sino la capacidad que tienen las cosas para evocar ideas o emociones. Anticlasicismo. Paisaje sublime. Tendencia al paisaje pintado al aire libre. Pueden hablar aquí de la influencia sobre la escuela de Barbizon y la pintura impresionista.

c) Inglaterra: John Constable y William Turner.

• Inglaterra: John Constable y William Turner. Importancia de los efectos lumínicos. Constable: Paisajes con nubes inestables en los que alcanza importancia los reflejos y los cambios atmosféricos. Juego de luces y sombras, efectos de perspectiva y pincelada más amplia (espátula). Ejemplo: El carro de heno. Turner: Pintor “naturalista”, con técnica más suelta, influenciado por los acuarelistas. Lo más importante: Disolución de las formas en polvo luminoso. Abundancia de dorados. “Pintor de la luz”. Acuarelas y oleos. Catástrofes en paisajes llamativos. Ejemplo: El naufragio. Inclemencias meteorológicas. Ejemplo: Lluvia, vapor y velocidad.

4. Analice la lámina atendiendo a los siguientes epígrafes:

a) Identifique la obra ilustrada por la imagen y comente brevemente el movimiento al que pertenece.

b) Explique los caracteres del estilo de la obra. c) Relacione el estilo de la obra con el panorama artístico de su momento. a) Identifique la película a la que pertenece el fotograma y comente brevemente el movimiento

en que se encuadra. Fritz Lang, Metropolis (1926); Expresionismo Alemán cine; movimiento caracterizado por la expresión distorsionada de la realidad, fuertemente cargada de emociones de miedo y ansiedad, y por unos medios formales extraídos del arte de vanguardia.

b) Explique los caracteres del estilo de la obra. La película utiliza los contrastes fuertes, tonos oscuros y ángulos inclinados característicos del Expresionismo, pero incorpora también los temas mecánicos del maquinismo y la denuncia de la explotación de los trabajadores; los gestos exagerados y la grandiosidad de los decorados son característicos de Lang en esta etapa; los temas de la vida artificial y la vida mecánica de los trabajadores se entremezclan de manera innovadora.

c) Relacione el estilo de la obra con el panorama artístico de su momento. Metropolis se relaciona con el arte del grupo de pintores Die Brücke tanto como con los manifiestos de la arquitectura de vanguardia y las denuncias sociales del cine ruso; la influencia de las novelas previas de ciencia-ficción de Julio Verne y H.G. Wells es palpable así como la de la fotografía, escenografía y estética del Constructivismo ruso coetáneo.

10

OPCIÓN B

Primera parte (Preguntas de opción múltiple) 1. Responda a las siguientes 8 preguntas eligiendo sólo una de las respuestas (a, b, c, d).

1.1. Los estudios de animación por ordenador Pixar nacieron como empresa independiente en 1986 pero hoy en día son parte de: d) The Walt Disney Company.

1.2. Una de estas películas no fue dirigida por Fernando Trueba:

c) Amanece que no es poco (1989).

1.3. Uno de estos diseñadores de moda es conocido como “El salvador de Gucci”, pues fue el responsable de sacar a esta marca de la quiebra en la que se encontraba: a) Tom Ford.

1.4. Señale cuál de estas obras pertenece a Tamara de Lempicka:

a) Muchacha con guantes.

1.5. El arquitecto Norman Foster se encuadra dentro del estilo arquitectónico: a) High-Tech.

1.6. ¿Cuál de las siguientes obras realizó el arquitecto Victor Horta?

b) Casa Tassel de Bruselas.

1.7. ¿Cuál de las siguientes características no es propia de la joyería modernista? b) Uso de plásticos.

1.8. ¿Cuál de los siguientes títulos marcó los inicios del cine en Europa?

b) La Salida de los obreros de la fábrica Lumière.

Segunda parte (Preguntas semiabiertas) 2. Complete con una única respuesta 4 de las siguientes preguntas.

2.1. Villa Savoye es obra del arquitecto: Le Corbusier.

2.2. ¿A qué conocido personaje histórico parodia Charles Chaplin en la película El gran dictador? Adolf Hitler.

2.3. ¿Cuál es el título del manifiesto publicado por los escultores Antoine Pevsner y Naum

Gabo? Manifiesto Realista.

2.4. Las Escuelas Aguirre situadas frente al Parque del Retiro de Madrid, ¿a qué movimiento

corresponden? Neomudéjar.

2.5. ¿Cuál es la disciplina artística en la que destacó de forma más notable Mariano Benlliure? Escultor.

2.6. ¿Qué nombre recibe el Art Nouveau en España?

Modernismo.

11

2.6. ¿Qué artistas redactaron el Manifiesto Realista?

Antoine Pevsner y Naum Gabo.

3. Desarrolle el tema: La obra gráfica de los cartelistas Jules Chéret y Alfons Mucha, atendiendo a los siguientes epígrafes: a) Panorama histórico-cultural y la influencia en su obra. b) Jules Cheret, características de su obra. c) Alfons Mucha, características de su obra.

a) Panorama histórico-cultural y la influencia en su obra.

El nacimiento del cartel moderno está relacionado con factores económicos (la Revolución Industrial y el aumento de población en las ciudades) y urbanísticos (calles multitudinarias donde se pueden exhibir los anuncios) También estéticos: desarrollo de mensajes publicitarios más eficaces que resulten atractivos. Estas circunstancias harán que a finales del siglo XIX se establezcan los requisitos que ha de cumplir un cartel, requisitos que han permanecido hasta nuestros días: integración de texto e imagen, realizado para su reproducción masiva y tamaño grande que permita su lectura por varios espectadores. La litografía, procedimiento de impresión ideada en 1796, permitió el desarrollo de la obra de los cartelistas. El impacto de los carteles fue tan importante a finales del siglo XIX que grandes artistas utilizaron este medio expresivo.

b) Jules Cheret, características de su obra.

Jules Chéret fue el primer artista en producir sistemáticamente, desde 1886, grandes carteles litográficos en color. Dibujaba directamente sobre la piedra litográfica lo que le diferencia de los cartelistas posteriores que proporcionaban un modelo que sería posteriormente reproducido. Entiende el cartel más como obra mural que como medio publicitario y tiene influencia barroca especialmente de Tiépolo. Composiciones dinámicas y utilización de tintas planas y de la línea con las que consigue la tercera dimensión. Obras: Bal Valentino, Les Girard…

c) Alfons Mucha, características de su obra.

Dentro del Modernismo curvilíneo y orgánico debemos encajar la obra de Alfons Mucha que llevará al cartel a un gran desarrollo. Su popularidad fue tan grande que debido a la gran cantidad de encargos tuvo que recurrir a ayudantes especializados. Son célebres sus carteles de Sarah Bernhardt. En sus carteles mostrará mujeres de largos cabellos, con joyas exóticas y vestidos con estampados modernistas, además de representar muchos motivos naturales de fauna y flora al estilo curvo del Art Nouveau. Obras: Gismonda, Salón des cent, Papier Job…

4. Analice la lámina atendiendo a los siguientes epígrafes: a) Identifique el autor y comente brevemente el movimiento al que pertenece. b) Explique la técnica utilizada (color, composición y ejecución). c) Relación entre el estilo y técnica del cuadro y otros estilos y técnicas precedentes. a) Identifique el autor y comente brevemente el movimiento al que pertenece.

El autor es Antonio López García, vista de la Gran Vía de Madrid. Pertenece a un movimiento hiperrealismo surgido en los años 60 y 70. El pintor interpreta la realidad con una gran aproximación a la misma. Otros representantes españoles son Eduardo Naranjo y Cristóbal Toral.

b) Explique la técnica utilizada (color, composición y ejecución).

La técnica es óleo sobre lienzo. En el color domina la gama de grises, con una luz difusa ya que está realizado durante los primeros momentos del día, justo poco después del amanecer.

12

En cuanto a la composición la obra está dividida en dos mitades, en la mitad de abajo todo es asfalto gris y en la mitad de arriba están los edificios. La sensación de perspectiva y profundidad la consigue con la figura triangular de las franjas blancas del suelo que conducen la mirada del espectador hacia el centro del cuadro, así como con la presencia de la perspectiva cónica de las fachadas de los edificios. Por lo que se refiere a la ejecución se puede apreciar cómo los primeros términos están resueltos con más grado de realismo mientras que para los edificios del fondo emplea una pincelada más suelta y las formas están solo insinuadas.

c) Relación entre el estilo y técnica del cuadro y otros estilos y técnicas precedentes.

Antecedentes del hiperrealismo se pueden encontrar en pintores anteriores como Velázquez, en los bodegones de Sánchez Cotán y Meléndez y, posteriormente, en algunos pintores del Romanticismo. Algunos autores relacionan el hiperrealismo con el pop-art.

13

ORIENTACIONES AL PROGRAMA DE LA MATERIA DE FUNDAMENTOS DEL ARTE

En cada convocatoria de la Prueba habrá dos juegos de preguntas (A y B) opcionales. Cada uno de ellos constará de tres partes.

• La primera parte, está dedicada a preguntas teóricas de opción múltiple, ocho en total, elestudiante se limitará a elegir en cada una de ellas la respuesta correcta inequívoca entre las cuatro opciones propuestas. El valor de cada una de ellas es de 0,25 puntos, sumando un total de 2 puntos.

• La segunda parte, la componen cuatro cuestiones teóricas que están inscritas en las

denominadas preguntas semiabiertas, donde el estudiante tendrá que contestarlas correcta inequívoca y que exigen una construcción breve por parte del estudiante. Por ejemplo, una palabra que complete una frase o dé respuesta a una cuestión, no facilitándole posibles soluciones. El valor de cada una de ellas es de 0,50 puntos, sumando un total de 2 puntos.

• La tercera parte, la forman preguntas abiertas que exigen un desarrollo por parte delestudiante. Se engloba en este tipo preguntas no solo cuestiones teóricas, donde el estudiante ha de elaborar un tema, con un valor de 3 puntos, sino también el análisis de pinturas, esculturas, arquitecturas, etc. Este apartado será valorado con un máximo de 3 puntos.

Para la elaboración de las pruebas se seguirán las características, el diseño y el contenido establecido en el currículo básico de las enseñanzas del segundo curso de bachillerato LOMCE que está publicado en el RD 1105/2014, BOE de 3 de enero de 2015, en el D. 52/2015, de 21 de mayo (BOCM de 22 de mayo de 2015), por el que se establece el Currículo del Bachillerato, y en la Orden ECD/1941/2016, de 22 de diciembre (BOE de 23 de diciembre 2016) así como la Orden 47/2017, de 13 de enero (BOCM de 19 de enero de 2017), por las que se regulan las condiciones para el acceso a las enseñanzas universitarias oficiales de grado y los procedimientos de admisión a las universidades públicas españolas y, en particular, madrileñas.

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EVALUACIÓN PARA EL ACCESO A LAS ENSEÑANZAS

UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO

Curso 2017-2018

MATERIA: LATÍN II

Modelo

INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓN

INSTRUCCIONES: Después de leer atentamente los textos y las preguntas siguientes, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder a las cuestiones de la opción elegida. Está permitido hacer uso del Apéndice gramatical incluido en el Diccionario. Están expresamente prohibidos los diccionarios que contengan información sobre Literatura latina y sobre composición y derivación. CALIFICACIÓN: La cuestión 1ª (traducción) se valorará sobre 5 puntos; las cuestiones 2ª y 3ª sobre 1,5 puntos cada una, y las cuestiones 4ª y 5ª sobre 1 punto cada una. TIEMPO: 90 minutos

OPCIÓN A

Acteón contempló a la diosa Diana, mientras ésta se bañaba, y fue castigado por ella. Actaeon denique venator Dianam lavantem vidisse dicitur1; qui in cervum conversus a canibus suis non agnitus eorumque morsibus devoratus est. Anaximenes2, qui de picturis antiquis disseruit libro secundo, ait venationem Actaeonem dilexisse; ob hanc rem a canibus suis devoratus esse dicitur1.

(Fulg., Myth. 3, 3)

NOTAS: 1 (Actaeon) ... dicitur: "Se dice que (Acteón)". 2 Anaximenes, -is (m): Anaxímenes, tratadista de la antigüedad. PREGUNTAS: 1) Traduzca el texto. 2) Analice morfológicamente las palabras lavantem, picturis y disseruit, indicando exclusivamente en

qué forma aparecen en este texto. 3) a) Indique qué tipo de oración es qui de picturis antiquis disseruit. b) Analice sintácticamente la oración Anaximenes ait venationem Actaeonem dilexisse. c) Indique la función sintáctica de a canibus suis. 4) a) Escriba una palabra española relacionada etimológicamente por derivación o composición

(excluidos los étimos directos) con el verbo video, -es, -ere, vidi, visum y otra con el sustantivo canis, -is. Explique sus significados.

b) Indique y describa dos cambios fonéticos experimentados por la palabra latina cervum en su

evolución al castellano. Señale el resultado final de dicha evolución. 5) Mencione un poeta cómico latino, encuádrelo brevemente en su época y diga el título de dos de sus

obras.

OPCIÓN B

El autor elogia las tierras de Hispania y sus riquezas. Hispania, inter Africam et Galliam posita, Oceani freto1 et Pyrenaeis montibus clauditur. Sicut minor utraque terra, ita utraque fertilior2. Hinc enim non frumenti tantum magna copia est, verum et vini, mellis oleique. Nec ferri solum materia3 praecipua, sed et equorum pernices greges4.

(Iust. XLIX 1-5) NOTAS: 1.- Oceani freto: se refiere al Océano Atlántico. 2.- minor... fertilior (est). 3.- ferri... materia: 'mineral de hierro'. 4.- greges (praecipuae sunt). PREGUNTAS: 1) Traduzca el texto. 2) Analice morfológicamente las palabras freto, clauditur y fertilior, indicando exclusivamente en qué forma aparecen en este texto. 3) a) Indique qué tipo de oración es Sicut minor utraque terra, ita utraque fertilior (est). b) Analice sintácticamente la oración Hispania, inter Africam et Galliam posita, Oceani freto et Pyrenaeis montibus clauditur. c) Indique la función sintáctica de vini, mellis oleique. 4) a) Escriba una palabra española relacionada etimológicamente por derivación o composición (excluidos los étimos directos) con el adjetivo magnus, -a, -um y otra con el sustantivo terra, -ae. Explique sus significados. b) Indique y describa dos cambios fonéticos experimentados por la palabra latina positam en su evolución al castellano. Señale el resultado final de dicha evolución. 5) Nombre un autor representativo del género historiográfico, encuadrándolo en su contexto cronológico, citando alguna de sus obras más conocidas y explicando muy brevemente el contenido de la misma.

LATÍN II

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN

OPCIÓN A

Pregunta 1) Hasta 5 puntos, por fracciones de cuarto de punto. En la valoración de esta pregunta se tendrá en cuenta la elección correcta de las estructuras sintácticas, de las formas verbales, de las equivalencias léxicas y el orden de palabras en el proceso y el resultado de la traducción. Aunque la apreciación de esta pregunta ha de hacerse en conjunto, se sugiere, a modo indicativo únicamente, la siguiente distribución de la puntuación: - Reconocimiento de las estructuras morfosintácticas latinas (2 puntos). - Elección correcta de las estructuras sintácticas de la lengua materna (1 punto). - Elección correcta de las equivalencias léxicas del vocabulario latino (1 punto). - Elección adecuada del orden de palabras en la lengua materna en el resultado de la traducción (1 punto). En cada uno de estos apartados se tendrá en cuenta su contribución al sentido general del texto. Pregunta 2) Hasta 1’5 punto, por fracciones de cuarto de punto. En la valoración se tendrá en cuenta el análisis morfológico de las tres palabras del texto que se indican en cada una de las opciones, otorgándole a cada una de ellas hasta medio punto. Basta con que se indique, de las varias posibilidades morfológicas de cada palabra, la que se haya actualizado en el texto. Pregunta 3) Hasta 1’5 punto, por fracciones de cuarto de punto. En la valoración se adjudicará hasta medio punto a cada una de las tres cuestiones que se incluyen en esta pregunta. Pregunta 4) a) Hasta 0,5, por fracciones de cuarto de punto. En la valoración se tendrá en cuenta el conocimiento de la relación etimológica entre palabras latinas y españolas, así como, en su caso, el de los mecanismos básicos de la formación de las palabras latinas distinguiendo prefijos, sufijos y demás elementos componentes e indicando el valor de cada uno de ellos. b) Hasta 0,5, por fracciones de cuarto de punto. Se valorará la indicación y descripción de dos cambios fonéticos experimentados por la palabra latina indicada en cada opción en su evolución al español. Pregunta 5) Hasta 1 punto, por fracciones de cuarto de punto, valorando tanto los conocimientos del alumno como la forma de expresión de los mismos (presentación, ortografía, estilo, etc.).

OPCIÓN B

Pregunta 1) Hasta 5 puntos, por fracciones de cuarto de punto. En la valoración de esta pregunta se tendrá en cuenta la elección correcta de las estructuras sintácticas, de las formas verbales, de las equivalencias léxicas y el orden de palabras en el proceso y el resultado de la traducción. Aunque la apreciación de esta pregunta ha de hacerse en conjunto, se sugiere, a modo indicativo únicamente, la siguiente distribución de la puntuación: - Reconocimiento de las estructuras morfosintácticas latinas (2 puntos). - Elección correcta de las estructuras sintácticas de la lengua materna (1 punto). - Elección correcta de las equivalencias léxicas del vocabulario latino (1 punto). - Elección adecuada del orden de palabras en la lengua materna en el resultado de la traducción (1 punto). En cada uno de estos apartados se tendrá en cuenta su contribución al sentido general del texto. Pregunta 2) Hasta 1’5 punto, por fracciones de cuarto de punto. En la valoración se tendrá en cuenta el análisis morfológico de las tres palabras del texto que se indican en cada una de las opciones, otorgándole a cada una de ellas hasta medio punto. Basta con que se indique, de las varias posibilidades morfológicas de cada palabra, la que se haya actualizado en el texto. Pregunta 3) Hasta 1’5 punto, por fracciones de cuarto de punto. En la valoración se adjudicará hasta medio punto a cada una de las tres cuestiones que se incluyen en esta pregunta. Pregunta 4) a) Hasta 0,5, por fracciones de cuarto de punto. En la valoración se tendrá en cuenta el conocimiento de la relación etimológica entre palabras latinas y españolas, así como, en su caso, el de los mecanismos básicos de la formación de las palabras latinas distinguiendo prefijos, sufijos y demás elementos componentes e indicando el valor de cada uno de ellos. b) Hasta 0,5, por fracciones de cuarto de punto. Se valorará la indicación y descripción de dos cambios fonéticos experimentados por la palabra latina indicada en cada opción en su evolución al español. Pregunta 5) Hasta 1 punto, por fracciones de cuarto de punto, valorando tanto los conocimientos del alumno como la forma de expresión de los mismos (presentación, ortografía, estilo, etc.).

LATÍN II

SOLUCIONES

OPCIÓN A

1) Traducción:

“Finalmente, se dice que el cazador Acteón vio a Diana, mientras ésta se bañaba; él, transformado en ciervo, no fue reconocido por sus perros y fue devorado por sus mordiscos. Anaxímenes, que en su libro segundo disertó acerca de las pinturas antiguas, dice que Acteón amó la caza; por esta causa se dice que fue devorado por sus propios perros”. (Trad. de la Comisión)

2) Análisis morfológico:

lavantem: ac. sing. fem., del part. de pres. del verbo lavare. picturis: abl. pl. fem. del sust. pictura, -ae. disseruit: 3ª pers. sing., pret. perf. ind., voz act., verbo dissero, -is, -ere, -rui, -sertum.

3) Análisis sintáctico: a) Oración subordinada adjetiva. b) Anaximenes ait venationem Actaeonem dilexisse: Oración compuesta por una subord. de inf. obj.

dir. Anaximenes: suj. Ait: núcleo oración ppal. Venationem Actaeonem dilexisse: Or. subord. de inf. ob. dir. Venationem: obj. dir. de dilexisse. Actaeonem: suj. del verbo dilexisse. Dilexisse: núcleo de la or. subord.

c) Compl. agente. 4) Composición, derivación y etimología:

a) Por ejemplo, ‘visión’ (“acción y efecto de ver”) o ‘revisar’ (“ver con atención y cuidado”); y 'canódromo' ("lugar donde corren los perros"), 'cancerbero' ("portero" a partir del can Cérbero, que custodiaba el Hades).

b) Diptongación en ie de la vocal e breve tónica. Apertura de la vocal –u > -o en posición final.

Apócope o caída de la consonante –m final. Resultado final: “ciervo”.

5) Bastará con que el alumno mencione a Plauto o Terencio, encuadre brevemente al autor mencionado en su época y diga el título de dos de sus obras.

OPCIÓN B

1) Traducción: "Hispania, situada entre África y Galia, está limitada por el estrecho del Océano y por los montes Pirineos. Si bien es más pequeña que ambas tierras, es también más fértil que una y otra; de aquí, en efecto, no sólo sale gran cantidad de trigo, sino también de vino, de miel y de aceite. No sólo ocupa un puesto importante el mineral de hierro, sino también sus manadas de veloces caballos." (Trad. de Castro, Gredos) 2) Análisis morfológico: freto: abl. sing. neut. del sustantivo fretum, -i. clauditur: 3ª pers. sing. pres. ind. voz pasiva del verbo claudo, -is, claudere, clausi, clausum. fertilior: nom. sing. fem. del comp. de superioridad del adj. fertilis, -e. 3) Análisis sintáctico: a) Oración compuesta de principal y subordinada adverbial modal-comparativa. b) Hispania: suj.; inter Africam et Galliam: compl. circunst. de lugar en donde, dependiente de posita; posita: part. concertado con Hispania; Oceani: compl. del nombre de freto; freto: compl. circuns. de instrumento o agente; et: conj. cop.; Pyrenaeis montibus: compl. circuns. de instrumento o agent.; clauditur: verbo núcleo del pred. verbal. c) Compl. del nombre. 4) Composición, derivación y etimología: a) Por ejemplo, 'magnitud' (“Tamaño de un cuerpo", "Grandeza, excelencia o importancia de algo”) o ‘magnánimo' (“Que tiene magnanimidad”); y ‘terrenal' (“Perteneciente o relativo a la tierra, en contraposición a lo que pertenece al cielo”) o ‘terroso' (“Que participa de la naturaleza y propiedades de la tierra", "Que tiene mezcla de tierra”). b) Apócope o caída de -m final. Caída de -i- breve postónica. Diptongación de -o- breve tónica en -ue-. resultado final: "puesta". 5) Literatura latina: Bastará con que el alumno mencione a un historiador latino encuadrándolo en su contexto cronológico (Salustio, mediados s. I a.C., época republicana; César, mediados s. I a.C., época republicana; Tito Livio, fines del s. I a.C. y principios del s. I d.C., reinado de Augusto; Suetonio, s. II d.C., época imperial, reinados de Trajano y de Adriano; Tácito, s. II d.C., época imperial, reinados de Trajano y de Adriano, etc.), citando alguna de sus obras más conocidas y explicando muy brevemente el contenido de la misma.

Orientaciones al programa de LATÍN II (revisadas y refrendadas por la Comisión en reunión del 6 de febrero de 2017)

1.- Los textos seleccionados, en prosa o en verso, podrán ser de cualquier autor que haya escrito en latín, tanto en la Antigüedad como en épocas posteriores. 2.- Los textos elegidos deberán adecuarse al nivel de conocimientos de un alumno de Segundo de Bachillerato, tanto por sus características gramaticales como por su léxico. Por tal razón, los textos no deberán tener frases con más de un nivel de subordinación ni deberán presentar dificultades morfosintácticas ajenas al latín clásico; el léxico deberá estar recogido en los diccionarios usuales. En caso de que, por la razón que fuere, no se cumplieran en el texto esos requisitos, se explicará en una nota, no debiendo contener el texto más de cuatro notas explicativas.

3.- Los textos en poesía tendrán una extensión aproximada de cinco versos hexámetros o tres dísticos elegiacos. Los textos en prosa oscilarán en torno a las cuarenta palabras. En ningún caso deberá modificarse el texto original, permitiéndose tan solo la supresión de palabras o frases sin alterar el sentido del texto, con el fin de facilitar que éste no supere la extensión indicada.

4.- Cada texto latino irá precedido por una cabecera en castellano con la que se procurará situarlo en su contexto.

5.- Están expresamente prohibidos los diccionarios que contengan información sobre Literatura latina y sobre composición y derivación.

6.- Cada juego de examen contendrá dos opciones (A y B) y sobre cada texto se formularán cinco preguntas, con una puntuación de 0 a 5 puntos la primera; de 0 a 1’5 puntos cada una de las preguntas 2 y 3; de 0 a 1 punto las preguntas 4 y 5.

7.- La primera pregunta consistirá en la traducción del texto elegido por el alumno.

8.- En la segunda se pedirá el análisis morfológico de tres palabras del texto, indicando exclusivamente en qué forma concreta aparecen en dicho texto. El alumno podrá consultar el Apéndice gramatical que figura en el Diccionario.

9.- En la tercera pregunta se solicitará del alumno que responda a tres cuestiones sintácticas, siempre relacionadas con el texto cuya traducción se propone, sobre funciones desempeñadas por elementos de las frases y sobre tipos de oraciones.

10.- La cuarta pregunta consta de dos apartados: A.- El contenido del primer apartado de la pregunta versará sobre la relación etimológica (por derivación

o composición) de palabras castellanas con palabras latinas, excluidos los étimos directos. De cada

palabra latina señalada el alumno escribirá una palabra castellana, relacionada con la latina, indicando su significado. B.- En el segundo apartado de la pregunta se pedirá al alumno que indique y describa dos cambios fonéticos experimentados por la palabra latina señalada del texto en su evolución al castellano.

Para la elaboración de las pruebas se seguirán las características, el diseño y el contenido establecido en el currículo básico de las enseñanzas del segundo curso de bachillerato LOMCE que está publicado en el RD 1105/2014, BOE de 3 de enero de 2015, en el D. 52/2015, de 21 de mayo (BOCM de 22 de mayo de 2015), por el que se establece el Currículo del Bachillerato, y en la Orden ECD/1941/2016, de 22 de diciembre (BOE de 23 de diciembre 2016) así como la Orden 47/2017, de 13 de enero (BOCM de 19 de enero de 2017), por las que se regulan las condiciones para el acceso a las enseñanzas universitarias oficiales de grado y los procedimientos de admisión a las universidades públicas españolas y, en particular, madrileñas.

- Nombra uno o dos autores representativos de un determinado género literario (vid. supra y en particular Plauto, Terencio, César, Salustio, Cicerón, Catulo, Virgilio, Horacio, Ovidio, Tito Livio, Séneca el joven, Marcial, Tácito, Suetonio), encuadrándolos en su contexto cronológico, citando alguna de sus obras más conocidas y explicando muy brevemente el contenido de la misma.

11.- La última pregunta será sobre Literatura latina y, de acuerdo con los estándares de aprendizaje evaluables publicados por el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte en la correspondiente OM, podrá aparecer formulada de una de estas dos maneras:

- Describe las características esenciales del género literario a que pertenece el texto de esta opción y di si aparecen en ese texto. Los géneros literarios sobre los que se preguntará serán los siguientes: Historiografía (Analística, Monografía histórica, Biografía...), Oratoria, Teatro (Comedia y Tragedia), Épica, Lírica y Elegía.

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRIDEVALUACIÓN PARA EL ACCESO A LAS ENSEÑANZAS

UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELOCurso 2017-2018

MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓNDespués de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestasy responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utili-zar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico.CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos.TIEMPO: 90 minutos.

OPCIÓN A

Ejercicio 1. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la matriz A =

0 a aa 0 aa a 0

dependiente del parámetro real a.

a) Determínense los valores de a para los que la matriz A es invertible.b) Para a = 1, despéjese y determínese la matriz X de la ecuación matricial A ·X = A + 2Id , donde Id representala matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)Una bodega desea fijar el precio de venta al público de las 250 botellas de vino blanco y de las 500 de vinotinto que tiene en stock. Para no incurrir en pérdidas saben que el precio de venta al público de la botella devino blanco debe ser como mínimo de 3 euros, de la misma manera el precio de venta al público de la botellade vino tinto debe ser de, como mínimo, 4 euros. Además saben que, para ser competitivos con esos preciosde venta al público, el coste de 2 botellas de vino blanco y una de tinto debería ser a lo sumo 15 euros. Por elmismo motivo, el coste total de una botella de vino blanco y una de tinto no debe sobrepasar los 10 euros.Determínense los respectivos precios de venta al público por unidad de las botellas de vino blanco y de las devino tinto, para que el ingreso total al vender el stock de 250 botellas de vino blanco y 500 de vino tinto seamáximo.Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)Se considera la función real de variable real

f (x) = 4x3 − 12x2 + 16 .

a) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto de abscisa x = 1.b) Calcúlese el área de la región limitada por la gráfica de f (x), el eje de abscisas y las rectas x = −2 y x = 3.Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)Se consideran los sucesos A y B de un experimento aleatorio tales que:

P(A) = 0’4; P(B) = 0’5; P(A | B) = 0’7.Calcúlese:a) P(A ∪ B).b) P(A | B).

Nota: S denota el suceso complementario del suceso S.

Ejercicio 5. (Calificación máxima: 2 puntos)

Un determinado partido político desea estimar la proporción de votantes, p, que actualmente se decantaría porél.

a) Asumiendo que p = 0’5, detérminese el tamaño mínimo necesario de una muestra de votantes para garantizarque, con una confianza del 90 %, el margen de error en la estimación no supere el 2 % (± 2 %).

b) Se tomó una muestra aleatoria simple de 1200 votantes de los cuales 240 afirmaron que votarían por el partidoen cuestión. Obténgase un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de votantes de ese partido en lapoblación.

OPCIÓN B

Ejercicio 1. (Calificación máxima: 2 puntos)Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

x + y + z = 32x + y + z = 2

5x + 3y + az = a + 4

a) Discútase en función de los valores del parámetro a.b) Resuélvase para a = 1.

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real f (x) =3x2 + 3

x.

a) Calcúlense el dominio y las asíntotas de f (x).b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)El beneficio diario (en miles de euros) de una empresa productora de cemento viene dado por la función:

f (x) = −2x2 + 14x − 12

donde x expresa las toneladas de cemento producidos al día. Se sabe que la producción diaria de cemento estáentre 0 y 8 toneladas, es decir, x ∈ [0, 8].

a) Calcúlense f (0) y f (8) e interprétense los resultados en el contexto del problema. Hállense las toneladas decemento que deben producirse diariamente para obtener el máximo beneficio posible.b) Determínese entre qué valores debe estar la producción diaria de cemento para que la empresa no tengapérdidas.

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)Se consideran los sucesos A y B de un experimento aleatorio tales que:

P(A) = 0’3; P(B) = 0’8; P(A ∪ B) = 0’9.Calcúlese:

a) P(A | B).b) P(A | B).

Nota: S denota el suceso complementario del suceso S.

Ejercicio 5. (Calificación máxima: 2 puntos)El peso, en kilogramos, de los niños de diez años en la comunidad de Madrid se puede aproximar por unavariable aleatoria con distribución normal de media µ desconocida y desviación típica σ = 3 kilogramos.

a) Calcúlese un intervalo de confianza al 95 % para µ si se ha tomado una muestra aleatoria simple de 9 niñosde diez años y se han obtenido los siguientes pesos en kilogramos:

37, 40, 42, 39, 41, 40, 39, 42, 40.

b) Determínese el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximocometido en la estimación de la media muestral sea menor que 1 kilogramo con un nivel de confianza del 98 %.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR

Los valores en la tabla representan el áreabajo la curva normal hasta un valor positivode z.

z

z ,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,72240,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,86211,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90151,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,91771,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,94411,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,95451,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,96331,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,97061,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,98172,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,98572,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,98902,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,99162,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,99522,6 0,9953 0,9954 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,99642,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,99742,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,99812,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN

ATENCIÓN: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos

OPCIÓN A

Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Apartado a): 1 punto.

Cálculo correcto del determinante .......................................................... 0,50 puntos.

Solución correcta .................................................................................... 0,50 puntos.

Apartado b): 1 punto.

Despejar correctamente la matriz X ....................................................... 0,50 puntos.

Determinar correctamente la matriz X ................................................... 0,50 puntos.

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Planteamiento correcto del problema de programación lineal .......................... 0,75 puntos.

Representación correcta región factible y localización correcta vértices .......... 0,75 puntos.

Localización del máximo ................................................................................. 0,50 puntos.

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Apartado a): 1 punto.

Cálculo correcto de la pendiente de la recta tangente ............................ 0,50 puntos.

Obtención de la ordenada en el origen de la recta tangente ................... 0,25 puntos.

Expresión correcta de la ecuación de la recta tangente .......................... 0,25 puntos.

Apartado b): 1 punto.

Planteamiento correcto de la integral ..................................................... 0,25 puntos.

Cálculo correcto de la primitiva ............................................................. 0,50 puntos.

Cálculo del área ...................................................................................... 0,25 puntos.

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Apartado a): 1 punto.

Planteamiento correcto ........................................................................... 0,50 puntos.

Cálculo correcto de la probabilidad pedida ............................................ 0,50 puntos.

Apartado b) 1 punto.

Planteamiento correcto ........................................................................... 0,50 puntos.

Cálculo correcto de la probabilidad pedida ............................................ 0,50 puntos.

Ejercicio 5. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Apartado a): 1 punto.

Cálculo correcto de / 2z ........................................................................ 0,25 puntos.

Expresión correcta de la fórmula del error ............................................. 0,25 puntos.

Determinación correcta del tamaño ........................................................ 0,50 puntos.

Apartado b): 1 punto.

Cálculo correcto de / 2z ........................................................................ 0,25 puntos.

Expresión correcta de la fórmula del intervalo de confianza ................. 0,25 puntos.

Determinación correcta del intervalo ..................................................... 0,50 puntos.

NOTA: La resolución de ejercicios por cualquier otro procedimiento

correcto, diferente al propuesto por los coordinadores, ha de valorarse

con los criterios convenientemente adaptados.

OPCIÓN B

Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Apartado a): 1 punto.

Cálculo correcto del determinante de A y del valor crítico .................... 0,50 puntos.

Discusión correcta .................................................................................. 0,50 puntos.

Apartado b): 1 punto.

Solución correcta del sistema ................................................................. 1,00 punto.

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Apartado a): 1 punto.

Cálculo del dominio ............................................................................... 0,25 puntos.

Obtención de la asíntota vertical ............................................................ 0,25 puntos.

Obtención de la asíntota oblicua ............................................................ 0,50 puntos.

Apartado b): 1 punto

Obtención correcta de la derivada .......................................................... 0,50 puntos.

Obtención correcta de los intervalos de crecimiento/decrecimiento ...... 0,50 puntos.

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Apartado a): 1 punto.

Obtención de f(0) y f(8) .......................................................................... 0,25 puntos.

Obtención del máximo relativo .............................................................. 0,50 puntos.

Obtención del máximo absoluto ............................................................. 0,25 puntos.

Apartado b): 1 punto.

Obtención de los puntos de corte con el eje OX ..................................... 0,50 puntos.

Determinación correcta del signo de la función ..................................... 0,25 puntos.

Interpretación de la solución en el contexto del problema ..................... 0,25 puntos.

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Apartado a): 1 punto.

Planteamiento correcto ........................................................................... 0,50 puntos.

Cálculo correcto de la probabilidad pedida ............................................ 0,50 puntos.

Apartado b): 1 punto.

Planteamiento correcto ........................................................................... 0,50 puntos.

Cálculo correcto de la probabilidad pedida ............................................ 0,50 puntos.

Ejercicio 5. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Apartado a): 1 punto.

Cálculo correcto de / 2z ........................................................................ 0,25 puntos.

Expresión correcta de la fórmula del intervalo de confianza ................. 0,25 puntos.

Determinación correcta del intervalo ..................................................... 0,50 puntos.

Apartado b): 1 punto.

Cálculo correcto de / 2z ........................................................................ 0,25 puntos.

Expresión correcta de la fórmula del error ............................................. 0,25 puntos.

Determinación correcta del tamaño mínimo de la muestra .................... 0,50 puntos.

NOTA: La resolución de ejercicios por cualquier otro procedimiento

correcto, diferente al propuesto por los coordinadores, ha de valorarse

con los criterios convenientemente adaptados.

Principales conceptos que se tendrán en cuenta en la elaboración de la Prueba de Evaluación para el Acceso a las Enseñanzas Universitarias Oficiales de

Grado correspondientes a la materia:

“Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II”

Curso 2017-18

Para la elaboración de las pruebas se seguirán las características, el diseño y el contenido establecido en el currículo básico de las enseñanzas del segundo curso de bachillerato LOMCE que está publicado en el RD 1105/2014, BOE de 3 de enero de 2015, en el D. 52/2015, de 21 de mayo (BOCM de 22 de mayo de 2015), por el que se establece el Currículo del Bachillerato, y en la Orden ECD/1941/2016, de 22 de diciembre (BOE de 23 de diciembre 2016) así como la Orden 47/2017, de 13 de enero (BOCM de 19 de enero de 2017), por las que se regulan las condiciones para el acceso a las enseñanzas universitarias oficiales de grado y los procedimientos de admisión a las universidades públicas españolas y, en particular, madrileñas. Por ello, la prueba de Evaluación de la asignatura Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II estará compuesta por dos opciones. Ambas opciones contendrán cinco ejercicios cada uno de ellos valorado con una calificación máxima de 2 puntos. Una de las opciones contendrá dos ejercicios correspondientes al Bloque 2 (Números y Álgebra), uno al Bloque 3 (Análisis) y dos Bloque 4 (Estadística y Probabilidad). La otra opción contendrá un ejercicio correspondiente al Bloque 2, dos al Bloque 3 y dos Bloque 4 (Estadística y Probabilidad). Para la evaluación del Bloque 1 (Procesos, métodos y actitudes en matemáticas), en cada una de las opciones, tal y como se han descrito anteriormente, dos de los problemas tendrán un enunciado con texto. 1.- Álgebra.

• Utilización de matrices como forma de representación de situaciones de contexto real. • Transposición, suma, producto de matrices y producto de matrices por números reales. • Concepto de inversa de una matriz. Obtención de la inversa de matrices de órdenes dos y tres. • Determinantes de órdenes dos y tres. • Resolución de ecuaciones matriciales. • Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas (máximo un parámetro). • Resolución de problemas con enunciados relativos a las ciencias sociales y a la economía que pueden resolverse mediante el planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas. • Interpretación y resolución gráfica de inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Iniciación a la programación lineal bidimensional. Región factible. Solución óptima. • Aplicación de la programación lineal a la resolución de problemas de contexto real con dos variables. Interpretación de la solución obtenida.

2.- Análisis.

• Límite y continuidad de una función en un punto. • Límites laterales. Ramas infinitas. • Continuidad de funciones definidas a trozos. • Determinación de asíntotas de funciones racionales. • Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica. • Relación entre continuidad y derivabilidad. • Derivación de funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas. Reglas de derivación: sumas, productos y cocientes. Composición de funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas. • Aplicaciones:

o Cálculo de la tasa de variación instantánea, ritmo de crecimiento, coste marginal, etc.

o Obtención de la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto de la misma.

o Obtención de extremos relativos, puntos de inflexión e intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

o Resolución de problemas de optimización. • Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas sencillas a partir de sus propiedades globales y locales. • Cálculo de integrales definidas inmediatas. Regla de Barrow (Integrales definidas de funciones polinómicas, exponenciales y racionales inmediatas). • Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas planas.

3.- Probabilidad y Estadística.

• Experimentos aleatorios. Concepto de espacio muestral y de suceso elemental. • Operaciones con sucesos. Leyes de De Morgan. • Definición de probabilidad. Probabilidad de la unión, intersección, diferencia de sucesos y suceso contrario o complementario. • Regla de Laplace de asignación de probabilidades. • Probabilidad condicionada. Teorema del Producto, Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes. • Concepto de población y muestra. Muestreo. Parámetros poblacionales y

estadísticos muestrales. • Distribuciones de probabilidad de las medias muestrales y de la proporción muestral. Aproximación por la distribución normal. • Intervalo de confianza para la media de una distribución normal de desviación típica conocida. Tamaño muestral mínimo. • Intervalo de confianza para la proporción en el caso de muestras grandes. • Aplicación a casos reales.

UNIVERSIDADES PUBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRIDEVALUACION PARA EL ACCESO A LAS ENSENANZAS

UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADOCurso 2017-2018 Modelo

MATERIA: MATEMATICAS II

INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACION

Despues de leer atentamente todas las preguntas, el alumno debera escoger una de las dos opcionespropuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opcion elegida.Para la realizacion de esta prueba se puede utilizar calculadora cientıfica, siempre que no disponga decapacidad de representacion grafica o de calculo simbolico.CALIFICACION: Cada ejercicio se valora sobre 2.5 puntos y en el enunciado se especifica la valoracion decada apartado. Todas las respuestas deberan estar debidamente justificadas.TIEMPO: 90 minutos.

OPCION A

Ejercicio 1 . Calificacion maxima: 2.5 puntos.

Dadas la matrices A =

0 1 10 3 00 −1 3

e I =

1 0 00 1 00 0 1

, se pide:

a) (1.5 puntos) Obtener los valores de m para los que que la matriz A−mI admite inversa.b) (1 punto) Calcular la matriz inversa de A− 2I.

Ejercicio 2 . Calificacion maxima: 2.5 puntos.Dada la funcion f(x) = 2 cos(x) + |x− 1|, se pide:

a) (0.5 puntos) Determinar el valor de f ′(0).

b) (1 punto) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto de abscisa x = π.

c) (1 punto) Hallar el area del recinto plano limitado por la la curva y = f(x), el eje OX y las rectas x = πy x = 2π.

Ejercicio 3 . Calificacion maxima: 2.5 puntos.

Dados los planos π1 ≡ 3x+ y+2z− 1 = 0, π2 ≡ 2x− y+3z− 1 = 0 y la recta r ≡

x = 1− 2t ,

y = −1 + t ,

z = 1 + t ,

se pide:

a) (1.5 puntos) Hallar los puntos de la recta r equidistantes de π1 y π2.b) (1 punto) Hallar el area del triangulo que forma el punto P (−2, 3, 2) con los puntos de interseccion de

r con π1 y π2.

Ejercicio 4 . Calificacion maxima: 2.5 puntos.Sabiendo que el peso de los estudiantes varones de segundo de bachillerato se puede aproximar por unavariable aleatoria con distribucion normal, de media 74 kg y desviacion tıpica 6 kg, se pide:

a) (1 punto) Determinar el porcentaje de estudiantes varones cuyo peso esta comprendido entre los 68y 80 kg.

b) (0.5 puntos) Estimar cuantos de los 1500 estudiantes varones, que se han presentado a las pruebasde la EvAU en una cierta universidad, pesan mas de 80 kg.

b) (1 punto) Si se sabe que uno de estos estudiantes pesa mas de 76 kg, ¿cual es la probabilidad deque pese mas de 86 kg?

OPCION B

Ejercicio 1 . Calificacion maxima: 2.5 puntos.Dada la matriz A y los vectores X y B siguientes:

A =

1 1 1m 1 m+ 11 m m

, X =

xyz

, B =

11

2 +m

,

se pide:a) (2 puntos) Discutir el sistema lineal AX = B en funcion de los valores del parametro m.b) (0.5 puntos) Resolver el sistema lineal AX = B cuando m = −1.

Ejercicio 2 . Calificacion maxima: 2.5 puntos.El dibujo adjunto muestra la grafica de la funcion

f(x) = (6− x)ex−43 − 1.

Se pide:a) (1 punto) Calcular el area de la region sombreada.b) (1 punto) Determinar la abscisa del punto de la

grafica donde la recta tangente tiene pendientemaxima.

c) (0.5 puntos) Efectuando los calculos necesarios,obtener la ecuacion de la asıntota que se muestraen el dibujo (flecha discontinua inferior).

Ejercicio 3 . Calificacion maxima: 2.5 puntos.Dados los planos π1 ≡ x+ y = 0, π2 ≡ x = 0 y el punto B(−1, 1, 1), se pide:

a) (1 punto) Determinar el punto B′, simetrico de respecto del plano π2.b) (1 punto) Obtener una ecuacion de la recta r, contenida en el plano π1, paralela al plano π2 y

que pasa por el punto B.b) (0.5 puntos) Hallar el angulo que forman los planos π1 y π2.

Ejercicio 4 . Calificacion maxima: 2.5 puntos.En una bolsa hay 10 caramelos de fresa, 15 de menta y 5 de limon. Se extraen sucesivamente de labolsa dos caramelos. Se pide:

a) (1 punto) Determinar la probabilidad de que el segundo de ellos sea de fresa.b) (0.5 puntos) Determinar la probabilidad de que los dos sean de fresa.c) (1 punto) Sabiendo que el segundo ha sido de fresa, calcular la probabilidad de que lo haya

sido tambien el primero.

Distribucion Normal

z

Ejemplo: si Z tiene distribucion N(0, 1), P (Z < 0,45) = 0,6736.

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,68790,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,83891,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90151,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,91771,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,93191,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,95451,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,96331,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,97061,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,97672,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,98572,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,98902,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,99162,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,99362,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,99642,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,99742,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,99812,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,99863,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

MATEMATICAS II

CRITERIOS ESPECIFICOS DE CORRECCION

Todas las respuestas deberan estar debidamente justificadas.En todos los ejercicios, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documentode soluciones, cualquier argumento valido o razonamiento que conduzca a la solucion del problemasera valorado con la puntuacion correspondiente.

OPCION A

Ejercicio 1.a) Planteamiento: 0.5 puntos. Calcular el determinante 0.5 puntos (repartido en procedimiento: 0.25;calculos: 0.25). Obtener los valores que lo anulan: 0.5 puntos.b) Procedimiento: 0.5 puntos. Calculos: 0.5 puntos.

Ejercicio 2.a) Elegir adecuadamente la rama a derivar: 0.25 puntos. Calcular f ′(0): 0.25 puntos.b) Valores de f(π) y f ′(π): 0.5 puntos. Ecuacion de la recta tangente: 0.5 puntos.c) Justificar que f(x) > 0 para x ∈ (π, 2π): 0.25 puntos. Escribir (sin el valor absoluto) la integral acalcular: 0.25 puntos. Calcular la primitiva: 0.25 puntos. Aplicar la regla de Barrow: 0.25 puntos.

Ejercicio 3.a) Procedimiento seguido: 1 punto. Calculos: 0.5 puntos.b) Determinar los vertices del triangulo: 0.5 puntos. Calcular el area: 0.5 puntos.

Ejercicio 4.a) Procedimiento: 0.5 puntos. Calculos: 0.5 puntos.b) Procedimiento: 0.25 puntos. Calculos: 0.25 puntos.c) Procedimiento: 0.5 puntos. Calculos: 0.5 puntos.

OPCION B

Ejercicio 1.a) Por la obtencion de los valor crıticos (m = 0, m = 1): 0.5 puntos (repartidos en planteamiento:0.25; resolucion: 0.25). Por discutir el sistema en cada uno de los tres casos ([m = 1], [m = 0],[m 6= 1,m 6= 0]): 0.5 puntos.b) Procedimiento: 0.25 puntos. Calculos: 0.25 puntos.

Ejercicio 2.a) Escribir la integral a calcular: 0.25 puntos. Obtener la primitiva 0.5 puntos. Regla de Barrow: 0.25puntos.b) Planteamiento: 0.25 puntos, calcular f ′ y f ′′: 0.5 puntos. Obtener el maximo 0.25 puntos.c) Saber que lımite hay que calcular: 0.25 puntos. Calcular el lımite: 0.25 puntos.

Ejercicio 3.a) Resultado: 0.5 puntos. Justificacion: 0.5 puntos.b) Procedimiento: 0.5 puntos. Calculos: 0.5 puntos.c) Procedimiento: 0.25 puntos. Calculos: 0.25 puntos.

Ejercicio 4.a) Procedimiento: 0.5 puntos. Calculos: 0.5 puntos.b) Procedimiento: 0.25 puntos. Calculos: 0.25 puntos.c) Procedimiento: 0.5 puntos. Calculos: 0.5 puntos.

MATEMATICAS II—SOLUCIONESOPCION A

Ejercicio 1

a) Para que la matriz A−mI, admita inversa, su determinante debe ser no nulo.

det(A−mI) = −m(3−m)2 = 0 ⇔ m = 0, m = 3

Luego A−mI admite inversa para todo m ∈ R− {0, 3} .

b) Si B = A− 2I, es det(B) = −2 y B−1 = −1

2Adj(B)t =

−1/2 1 1/20 1 00 1 1

Ejercicio 2

Hay que tener en cuenta que

f(x) =

{2 cos(x) + 1− x si x ≤ 1

2 cos(x) + x− 1 si x > 1⇒ f ′(x) =

{−2 sen (x)− 1 si x < 1

−2 sen (x) + 1 si x > 1

a) Evaluando, se tiene que f ′(0) = −1.

b) Como f(π) = π − 3 y f ′(π) = 1, la ecuacion de la recta tangente es y = π − 3 + (x− π). Es decir y = x− 3 .

c) Para x ∈ (π, 2π) es f(x) = 2 cos(x) + x − 1 > 0, pues x − 1 > 2 ≥ 2 cos(x), luego el area pedida vienedeterminada por ∫ 2π

π

f(x) dx =

∫ 2π

π

(2 cos(x) + x− 1) dx =

[2 sen (x) +

x2

2− x]2ππ

=3π2

2− π

Ejercicio 3

a) Los puntos de la recta r equidistantes de los dos planos deben satisfacer

|3(1− 2t) + (−1 + t) + 2(1 + t)− 1|√32 + 12 + 22

=|2(1− 2t)− (−1 + t) + 3(1 + t)− 1|√

22 + 12 + 32,

lo que equivale a −3t+ 3 = ±(−2t+ 5).Las soluciones son t = −2 y t = 8/5, que corresponden a los puntos P1(5,−3,−1) y P2(−11/5, 3/5, 13/5)respectivamente.b) El punto de interseccion de r con π1 satisface 3(1 − 2t) + (−1 + t) + 2(1 + t) − 1 = 0, es decir es el puntoA(−1, 0, 2) (que corresponde a t = 1).El punto de interseccion de r con π2 satisface 2(1 − 2t) − (−1 + t) + 3(1 + t) − 1 = 0, es decir es el puntoB(−4, 3/2, 7/2) (que corresponde a t = 5/2).

El area del triangulo es S =1

2|−→PA×

−−→PB| = 3

√35

4.

Ejercicio 4

La variable aleatoria X (peso de los estudiantes), tiene una distribucion N(74, 6). Sea Z = X−746 la correspon-

diente variable N(0, 1).

a) p(68 ≤ X ≤ 80) = p

(68− 74

6≤ Z ≤ 80− 74

6

)= p(−1 ≤ Z ≤ 1) = p(Z ≤ 1) − p(Z ≤ −1) = 2p(z ≤ 1) − 1 ≈

0.6826. Por tanto el 68.26% de los estudiantes tendran un peso entre 68 y 80 kilos.b) p(X > 80) = 1− p(X ≤ 80) = 1− p(Z ≤ 1) ≈ 1− 0.8413 ≈ 0.1587. Por tanto, el 15.87% de los estudiantes, esdecir unos 238 estudiantes pesaran mas de 80kg.

c) Se trata de calcular la probabilidad condicionada

p(X > 86/X > 76) =p(X > 86) ∩ (X > 76)

p(X > 76)=p(X > 86)

p(X > 76)=

p(Z > 2)

p(Z > 1/3)=

1− p(Z ≤ 2)

1− p(Z ≤ 1/3)≈ 0.0228

0.3707≈ 0.0615

OPCION B

Ejercicio 1

a) El determinante de la matriz de coeficientes, det(A) = −m2 +m, se anula si m = 1 o m = 0 y se tiene:

(A;B) ∼

1 1 1 10 1−m 1 1−m0 m− 1 m− 1 1 +m

∼ 1 1 1 1

0 1−m 1 1−m0 0 m− 2 2m

Para m 6= 0, 1, es rg (A) = rg (A;B) y el sistema es compatible determinado.Si m = 0, es rg (A) = 2, rg (A;B) = 3 y el sistema es incompatible.Si m = 1, es rg (A) = 2, rg (A;B) = 3 y el sistema es incompatible.

b) La solucion para m = −1 es x = 1, y = 2, z = −2 .

Ejercicio 2

a) El area pedida viene dada por∫ 4

2

f(x) dx =

∫ 4

2

((6− x)ex−43 − 1) dx =

[(27− 3x)e

x−43 − x

]42= 13− 21

e2/3

b) Se trata de encontrar el maximo de la funcion pendiente, f ′(x) = −1

3(x − 3)e

x−43 , para lo que calculamos

f ′′(x) = −1

9xe

x−43 , que se anula solamente en x = 0, es positiva en x < 0 y negativa en x > 0. Por lo que el

punto de pendiente maxima es el de abscisa x = 0 .

c) La asıntota horizontal sera y = limx→−∞

f(x) = −1 + limx→−∞

6− xe(4−x)/3

. Calculamos este lımite usando la regla de

L’Hopital: limx→−∞

6− xe(4−x)/3

= limx→−∞

−1−13 e

(4−x)/3 = 0⇒ la asıntota es y = −1 .

Ejercicio 3

a) El punto simetrico de B, respecto a π2 es B′(1, 1, 1), ya que la recta perpendicular al plano es el eje OX y elpunto medio entre B y B′ es (0, 1, 1), que esta en π2.b) Un vector director de la recta pedida se puede obtener como producto vectorial de los vectores normales a los

dos planos, −→v = −→n1 ×−→n2 = (1, 1, 0)× (1, 0, 0) = (0, 0,−1). Se obtiene la recta r ≡

x = 1

y = 1

z = 1 + t

.

c) El angulo α formado por los dos planos es el angulo agudo que forman sus vectores normales.

cos(α) =|n1 � n2||n1| � |n2|

=1√2

Luego forman un angulo de π/4 radianes.

Ejercicio 4

Se consideran los sucesos: F1 (el primer caramelo extraido es de fresa), F2 (el segundo caramelo es de fresa),M1 (el primer caramelo es de menta) y L1 (el primer caramelo es de limon).

a) p(F2) = p(F2/F1)p(F1) + p(F2/M1)p(M1) + p(F2/F1)p(F1) + p(F2/L1)p(L1) =9

29

10

30+

10

29

15

30+

10

29

5

30=

1

3.

b) p(F1 ∩ F2) = p(F1)p(F2/F1) =3

29.

c) p(F1/F2) =p(F1 ∩ F2)

p(F2)=

3/29

1/3=

9

29.

DOCUMENTO DE ORIENTACIONES PARA LA EvAU

Matemáticas II. Curso 2017/2018

ESTRUCTURA DEL EXAMEN El examen constará de cuatro problemas igualmente ponderados, cada uno de ellos relativo a uno de los cuatro bloques con contenido específico del currículo oficial de MATEMÁTICAS II, 2º Bachillerato: ÁLGEBRA, ANÁLISIS, GEOMETRÍA y PROBABILIDAD.

CONTENIDOS

Las pruebas se elaborarán de acuerdo con las matrices de contenidos recogidos en el Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre. Además según las especificaciones de estándares de aprendizaje evaluables de la orden ECD/1941/2016, de 22 de diciembre y con el Decreto 52/2015, de 21 de mayo de la Comunidad de Madrid, se podrá pedir en las mismas la realización de tareas similares a las siguientes: ÁLGEBRA

Usar matrices como herramienta para representar datos estructurados y

sistemas de ecuaciones lineales.

Realizar operaciones con matrices y aplicar propiedades.

Calcular determinantes de orden menor o igual que 4 y manejar las propiedades elementales.

Calcular la inversa de una matriz cuadrada de orden no superior a tres. Usar adecuadamente las propiedades de la matriz inversa.

Calcular el rango de una matriz de orden no superior a 4, por determinantes o por el método de Gauss. Estudiar el rango de una matriz que dependa como máximo de un parámetro.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales. Discutir las soluciones de un sistema lineal, dependiente de un parámetro.

Plantear y resolver problemas que simulen situaciones de la vida real, cuya solución pueda obtenerse a partir de un sistema lineal de, como máximo, tres ecuaciones con tres incógnitas.

ANÁLISIS

Calcular el límite de una función en un punto y en el infinito. Calcular

límites laterales y resolver indeterminaciones sencillas.

Interpretar el significado de la continuidad y la discontinuidad. Identificar funciones continuas y tipos de discontinuidad. Manejar operaciones algebraicas con funciones continuas y composición de funciones continuas.

Usar el teorema de Bolzano para localizar soluciones de una ecuación.

Manejar y saber interpretar el concepto de derivada de una función en un punto. Manejar las propiedades de la derivación y calcular derivadas.

Usar derivadas para estudiar intervalos de crecimiento y decrecimiento y valores extremos. Plantear y resolver de problemas de optimización.

Conocer y aplicar los resultados del Teorema de Rolle, el Teorema del Valor Medio y la regla de L’Hôpital.

Calcular primitivas inmediatas y de funciones que sean derivadas de una función compuesta. Integrar por partes y mediante cambio de variables (ejemplos simples). Integrar funciones racionales (con denominador de grado no mayor que dos).

Calcular áreas de recintos limitados por rectas o curvas sencillas. GEOMETRÍA

Operar con vectores del espacio tridimensional. Estudiar la dependencia e

independencia lineal. Manejar los conceptos de base y coordenadas.

Manejar el producto escalar: definición, propiedades e interpretación geométrica; vectores unitarios, ortogonales y ortonormales.

Calcular el ángulo entre dos vectores.

Manejar el producto vectorial: definición, propiedades e interpretación geométrica.

Manejar el producto mixto de tres vectores: definición, propiedades e interpretación geométrica.

Aplicar los distintos productos al cálculo de áreas y volúmenes.

Obtener ecuaciones de rectas en el espacio, en cualquiera de sus formas. Obtener ecuaciones de planos. Estudiar la posición relativa de puntos, rectas y planos en el espacio.

Resolver problemas de geometría afín con rectas y planos.

Calcular distancias entre puntos rectas y planos, así como ángulos entre dos planos, entre dos rectas que se corten y entre una recta y un plano.

  PROBABILIDAD Calcular la probabilidad de sucesos aleatorios, mediante la regla de Laplace o las

fórmulas de la axiomática de Kolmogorov. Calcular probabilidades condicionadas. Usar el teorema de probabilidad total y

la fórmula de Bayes. Identificar variables aleatorias discretas. Calcular probabilidades de sucesos

asociados a una distribución binomial. Calcular la media y la desviación típica de una variable aleatoria con distribución binomial.

Calcular probabilidades de sucesos que se puedan modelizar mediante una distribución binomial, a partir de su aproximación por la normal.

Calcular probabilidades de sucesos que pueden modelizarse mediante una distribución normal.