Universidad Técnica Nacional -...

Universidad Técnica Nacional ( UTN )

Precálculo

1 | P á g i n a

Unidad VI Funciones

Relación:

Una relación es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos dados. La relación está

determinada por algún criterio que permite asociar a algunos o a todos los elementos del primer conjunto con

algunos o todos los elementos del segundo conjunto. La relación puede representarse mediante un diagrama,

tabla, pares ordenados, etc.

Al primer conjunto se le llama conjunto de salida y al segundo conjunto de llegada. Dentro de los cuales

podemos identificar:

Variable independiente: es la característica que representa al conjunto de salida y que puede tomar distintos

valores (numéricos o no).

Variable dependiente: es la característica que representa al conjunto de llegada y puede tonar distintos valores

(numéricos o no).

Pares ordenados: Un par ordenado es una colección de dos elementos tal que uno puede ser distinguido

como el primero y el otro como el segundo. Un par ordenado con primer elemento a y segundo b es escrito

usualmente como (a, b).

Sistema de Coordenadas Cartesianas: Un sistema de coordenadas es la representación matemática de la

posición de puntos. En las coordenadas cartesianas un punto se localiza según su posición entre dos ejes que se

cortan, uno horizontal y otro vertical, que se denominan x e y, se denominan respectivamente abscisa y

ordenada.

Para representar los conjuntos que conforman la relación se utilizan letras mayúsculas y para representar la

relación se utilizan las letras minúsculas.

Plano cartesiano


Precálculo

2 | P á g i n a

1. Definición de función:

X f Y = f(x)

Ámbito = conjunto de las imágenes 2 11 – 1 5 8 10 0 – 2 – 7 6 DOMINIO CODOMINIO

Una función es un conjunto de pares ordenados en el que no hay dos pares ordenados que tengan el mismo

primer elemento.

Si “a" es un elemento de A, su elemento asociado “1”

pertenece a B.

Al conjunto A le llamamos Dominio y B se le llama

Codominio de la función.

Para simbolizar que se ha establecido una función f de un

conjunto A en un conjunto B, se usa la siguiente notación

: .f A B

Definamos algunos de los conceptos:

Preimagen: Dada una función f : A B , se le llama preimagen de un elemento y B a aquel

elemento x que se asocia a y bajo la función f. A cada uno de los elementos del dominio de una

función se le llama preimágenes.

Imagen: Dada una función f : A B , se le llama imagen de un elemento x A , al elemento y B ,

que se le asigna una correspondencia a x bajo la función f. La imagen de un elemento x se denota por

f(x) y así f x = y .

Es una relación o correspondencia entre dos conjuntos (A y B) no vacíos, en donde a cada elemento del

conjunto de salida “A” (Dominio), le corresponde uno y solo un elemento en el conjunto de llegada “B”

(Codominio), con el cual se asocia o le corresponde.

Una Relación se denomina FUNCIÓN, si

cumple con las siguientes condiciones:

- Todos los elementos del conjunto que se ubica en el eje de las abscisas (Eje “X”), deben estar relacionados.

- Cada uno de esos elementos se debe relacionar una única vez.


Precálculo

3 | P á g i n a

A cada uno de los valores del codominio que están relacionados con alguna preimagen se les llama

imágenes. Note que no necesariamente todos los valores del codominio son imágenes pues en algunas

ocasiones los valores no tienen relación con ninguna preimagen.

Dominio: Sea f : A B una función. Se dice que el conjunto A es el Dominio de la función f y se

define como el conjunto al cual pertenecen las preimágenes de la función f.

Codominio: Sea f : A B una función. Se dice que el conjunto B es el Codominio de la función f y

se define como el conjunto al cual pertenecen las imágenes de la función f.

Ámbito o Rango: Sea f : A B una función. Se denomina Ámbito o rango de la función f al

conjunto de las imágenes de dicha función. Evidentemente el Ámbito es un subconjunto del

Codominio, porque son todos los valores de B que tienen una pareja en A; “en algunas ocasiones

puede ser igual al codominio” (ámbito codominio) Ámbito = Conjunto de las imágenes.

Criterio: Es la regla por medio de la cual puede asignarse a “y” un valor o más valores de “x”, los cuales

van a ser específicos para ese “y”. Tales reglas suelen expresarse por medio de una expresión

algebraica.

Una función se puede denotar de la forma f : A B , esto se lee f de A en B y hace alución a que en la función

f, A es el dominio y B es el codominio. El dominio y el codominio de una función pueden ser conjuntos finitos o

conjuntos infinitos como intervalos, IN , ZZ , Q// , IR . Si en una función no se aclara su dominio y su codominio

suponemos que la función va de IR en IR ( f : IR IR ).

La expresión f(x) se utiliza para hacer referencia a la imagen de “x”, donde “x” es una preimagen.

En muchas ocasiones la relación entre las preimágenes y las imágenes está determinada por una expresión

algebraica a la cual anteriormente habíamos definido como criterio de la función.

Calculo de imágenes y preimagenes

1. Sea la función

2 1 1k : , ,0, ,1, B

5 3 3, tal que 2k x x 4 (este es el criterio de la función).

Determine todas las imágenes y el ámbito de la función.

k

2

5 k

1

3 k 0 k

1

3 k 1

Para determinar las imágenes solo se sustituye “x” por el valor que me dan y se encuentra el resultado. (para encontrar imágenes evaluar)


Precálculo

4 | P á g i n a

2. Sea la función j : A B , tal que j x 4x 7 , si el ámbito de la función “j” es 5,3,7,15,27

Determine todas las preimágenes y el dominio de la función.

Preimagen de 5 Preimagen de 3 Preimagen de 7 Preimagen de 15 Preimagen de 27

Para determinar las preimágenes se iguala el criterio al valor que me dan y se resuelve la ecuación. (para

encontrar preimágenes igualar y resolver la ecuación)

Ejemplo:

f(x)= 3x + 2 , si f(x)= 9, entonces se sabe que y = 9,

9 = 3x 2

9 2 3x

7 3x

7

3x

Por lo tanto la preimagen de 9 es 7

3, para esta función.

Practica

I PARTE Calcule lo que se pide:

1) Sea f : , IR 2 8 , f (x) = 5

32 x calcule el ámbito de f

2) Sea g : 2,1,0,1,3 , g(x) = 32 3 x calcule el ámbito de g

3) Sea f(x) = 124 33 xx , Halle f(-3), f

3

1, f(0), f(2)

4) Sea h(x) = x

xx 22, Halle h(-4), h(0), h(-1), h

2

1

5) Sea f(x) = 32

1

x

x, Halle f(-1), f(0), f

3

1, f

2

5


Precálculo

5 | P á g i n a

6) Grafique las siguientes funciones de IR en IR .

a) 52)( xxf b) 2

4

xy c) 34 xy d) g(x) = 5 – 3x

e) y = 2 f) y = 1 – x b)

0,12

0,1)(

xx

xxxg

h)

152

1,

xx

xxy i) 3x

j) Sea 32)( xxf y 3)( xxg trácelas en un mismo plano cartesiano y encuentre la intersección de

las rectas.

8) Sea g(x) =

2,12

2,12

xx

xx calcule g(-3), g(0), g(2), g

2

5, g

3

7 , g(4)

Dominio máximo de una función

Cuando definimos una función y = f(x) con una fórmula y el dominio no es explícito, se entiende que el

dominio es el mayor conjunto de valores de x para los cuales la fórmula da valores reales en y.

Para cualquier polinomio el dominio es

Ejemplo f(x) = 4x5 – 6x3 + x2 – 5x + 9

y = 4x – 9

Para calcular el dominio máximo estudiaremos los siguientes casos.

I caso f es una función racional ( )

( )( )

p xf x

q x el dominio máximo = – {x tal que q(x) = 0 }

Ejemplos Calcule el dominio máximo de

a) 2

3( )

16

xf x

x

b)

2

5 4 3( )

1 20

xh x

x x x

c) 2

1

3 40

xy

x x

d)

5

2

xy

x


Precálculo

6 | P á g i n a

II caso Funciones radicales . Para hallar el dominio máximo se resuelve subradical O si la raiz esta en el

numerador y subradical > O si la raíz esta en el denominador Ejemplos

a) 2 8y x c) 4 3

( )5

xh x

x

b) g(x) = 3 1

9 5

x

x

PRACTICA

1) Halle el dominio máximo de cada función

a) 9

2)(

2

x

xxf f) xy 32

b) 1

2

3

1)(

2

x

x

xxh g)

22

4

30

8

xxx

xy

c) x

xy

3

12 h)

x

xxh

2

52)(

d) xx

xg

22

2)( i) 24)( xxf

e) 82

32)(

2

xx

xxf j)

5

12)(

2

x

xxxg

FUNCION LINEAL

Si una función f está definida en un intervalo o IR y su criterio está dado por f(x) = mx + b, donde “m” y “b”

corresponden a números reales, entonces se denomina FUNCIÓN LINEAL.

Son ejemplos de éstas:

f(x) = 2x + 5 ............( m = 2 , b = 5 )


Precálculo

7 | P á g i n a

f(x) = 32

1 x ............ ( m =

1

3

, b =

1

2)

f(x) = 5x ………. ( m = 5 , b = 0 )

Esta función se llama lineal porque su gráfica genera en el plano cartesiano una “línea recta”, que puede ser:

estrictamente creciente, estrictamente decreciente o constante según sea en su criterio el valor numérico de

“m”. Como se ilustra a continuación:

m: Número positivo m: Número negativo m: Igual a cero (Función estrict. creciente) (Función estrict. decreciente) (Función constante) INTERPRETACIÓN DEL CRITERIO DE UNA FUNCION LINEAL: Como el criterio de una función lineal f está definido por f(x) = mx + b tenemos que:

El número real m recibe el nombre de pendiente y determina en el plano cartesiano la inclinación de la recta. Como m es un número real se tiene que:

a) Si m > 0 ( número positivo) entonces la recta se inclinará en el plano hacia arriba y la función lineal será estrictamente creciente. b) Si m = 0 entonces la recta no tendrá ninguna inclinación y la función lineal corresponderá a una función constante. c) Si m <0 ( número negativo) entonces la recta se inclinará hacia abajo y la función será estrictamente decreciente.

El número real b recibe el nombre de intersección y determina el punto donde la función lineal interseca al EJE Y. Dicho punto de intersección corresponde al par ordenado (0,b).

Apliquemos tales conceptos para dar solución a la siguiente actividad:


Precálculo

8 | P á g i n a

GRAFICA

ACTIVIDAD No. 1: Complete el siguiente cuadro escribiendo en cada columna: un número, un par ordenado, un sí o un no según corresponda, para obtener afirmaciones correctas.

Criterio Pendiente

(m)

Intersección

(b)

Punto de

Intersección eje

Y

Estrictamente

Creciente

Estrictamente

decreciente Constante

k(x) = 4x + 5

g(x) =3

2

2

5 x

w(x) = 3

p(x) = 5

1 x

h(x) = 3

45 x

Determinemos los puntos de intersección con los ejes cartesianos para cada una de las siguientes funciones y tracemos su gráfica. Consideremos como dominio IR

1) f(x) = 3x 1 Punto de intersección con:

Eje Y : (0,b)

Eje X: b

,0m

2) f(x) = 4 – 2x

Punto de intersección con:

Eje Y : (0,b)

Eje X: b

,0m

GRAFICA


Precálculo

9 | P á g i n a

Calcule la pendiente y intersección de las siguientes rectas

1) y = 5x + 10 2) f(x) = 2

5

x + 3

3) 4y – 7x = 12 4) 5( 2 ) 18x y + 3x

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL CRITERIO DE UNA FUNCION LINEAL O LA ECUACIÓN DE UNA RECTA,

CONOCIENDO DOS DE SUS PARES ORDENADOS: Consideremos la función f(x)= mx + b cuya gráfica se presenta a continuación:

Con los pares ordenados (x1,y1) y (x2,y2) podemos obtener el criterio de la función lineal correspondiente a la gráfica adjunta. Para ello se sugiere aplicar el procedimiento planteado a continuación:

Procedimiento: Cálculo de la pendiente , de la intersección y del criterio:

Seleccione dos pares ordenados de la gráfica de la función: (x1 , y1) y (x2 , y2)

Para determinar el valor de la pendiente aplique la fórmula:

12

12

xx

yym

.

Para determinar el valor numérico de la intersección “b” , elija uno de los pares ordenados, como por ejemplo (x1 , y1) y aplique la fórmula:

b = y1 - mx1 .


Precálculo

10 | P á g i n a

Sustituya los valores de m y b en f(x)= mx + b , así obtendrá el criterio de la función lineal asociada a la gráfica en estudio. Dicho criterio también se puede escribir como y = mx + b, ecuación que se conoce como ECUACIÓN DE UNA RECTA.

Ejemplos:

1. Determine el criterio de la función lineal cuya gráfica contiene los puntos:

a) (-7, 2 ) y (1, 6) b) (2, 1) y (-1 , 9) c) -1 9 1

, y , - 24 2 7

2. Determinemos la ecuación de la recta representada en cada una de las gráficas adjuntas.

a)


Precálculo

11 | P á g i n a

PRACTICA

a) ¿Cuál es el criterio de una función lineal con pendiente 4 y cuya gráfica contiene al punto (1, 3)?

b) Si la pendiente de una función lineal es 2

1y su gráfica contiene al punto (1, 2 ) entonces, ¿cuál es su

criterio?

c) De acuerdo con los datos indicados en cada caso, determine la ecuación de la recta:

Cuya pendiente es –2 y que pasa por el punto (4, 0).

Que pasa por los puntos

1,

4

33,

4

1y .

Que pasa por los puntos ( 0, 3) y ( 4 , 3). d) Para resolver el siguiente ejercicio tome como referencia la información presente en el cuadro adjunto. (No copie esta información, sólo aplique lo que en ella se plantea)

1) Si una función lineal f definida en [–1 , 5 ] posee como criterio: f(x) = 5x – 3 , entonces ¿cuál es su ámbito?

2) Si una función lineal h está definida en el intervalo ] –5, 2 [ y su criterio está dado por h(x) =

23

1 x . Entonces para que dicha función sea biyectiva ¿cuál debe ser su codominio?

3) Si una función lineal está definida en ]3,8 ] y posee como criterio a g(x) =2

4 x, entonces ¿cuál

debe ser su codominio para que sea biyectiva? ¿Cómo se clasifica dicha función: estrictamente creciente o estrictamente decreciente?

4) Si el dominio de una función lineal corresponde al intervalo [ 1 , [ y su criterio está dado por f(x) = –4x. Entonces:

- ¿Cuál es su ámbito?.

- ¿Cómo se clasifica esta función, estrictamente creciente o estrictamente decreciente?

El ámbito de una función lineal definida en un intervalo real se puede obtener sin tener que trazar su gráfica. Analice el siguiente ejemplo:

Si una función lineal está definida en el intervalo [ -3 ,5 [ y posee como criterio a f(x) = 6 – 3x, entonces ¿cuál es su ámbito?

Solución: Dominio: [ -3 , 5 [ Criterio: f(x) = 6 – 3x.

x = –3 f(–3) = 6 – 3 –3 = 15. Extremos

x = 5 f( 5 ) = 6 – 3 5 = –9 del ámbito

AMBITO DE F: ] –9 , 15 ]

Dicho intervalo se da ordenado, de menor a mayor.


Precálculo

12 | P á g i n a

RECTAS PERPENDICULARES

m1m2 = 1

RECTAS PARALELAS, PERPENDICULARES Y OBLICUAS:

Como la ecuación de una recta está dado por: Y = mx + b, podemos comparar el valor numérico de la pendiente de dos o más rectas y clasificarlas en paralelas, perpendiculares u oblicuas, según sea el caso.

RECTAS PARALELAS: De la geometría sabemos que dos rectas en el mismo plano son paralelas si nunca se intersecan. También podemos decir que, si las ecuaciones de dos rectas poseen igual pendiente entonces dichas rectas son paralelas.

Ejemplos de rectas paralelas:

a) y1 = 3x – 5 , y2 = 3x + 1........ ( m = 3)

b) y1 = 4

2 x , y2 = 1

4

1

x.......( m=

41 )

c) y1 = x + 4 , y2 = x....................( m = 1)

RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas en el mismo plano son perpendiculares si forman entre sí un ángulo

de 900 (recto).

También podemos afirmar que:

- Dos rectas son perpendiculares si la pendiente de una corresponde al opuesto del inverso multiplicativo de la pendiente de la otra. Ejemplos:

a) )2

3(5

2

3

2,)

3

2(1

3

2

1

mxym

xy

b) )2

1(1

22,)2(2

5

1

1

m

xymxy

Lo anterior equivale también a decir que:

- Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a –1.

RECTAS PARALELAS


Precálculo

13 | P á g i n a

Ejemplos:

c) 5

41

2,3

4

5

1

xy

xy

son perpendiculares pues: 1

5

4

4

5

d) 232

,3

2

1

xy

xy son perpendiculares pues: 13

3

1

RECTAS OBLICUAS: Esta rectas NO son ni paralelas, ni perpendiculares.

En general podemos indicar que, si las pendientes de dos rectas NO cumplen con ninguna de las características anteriores, entonces dichas rectas se denominan oblicuas.

Ejemplos:

a) y1 = 2x + 4 (m = 2) , y2 = 4x – 1 (m = 4) .

b) )3(132

,)3

1(3

5

1

mxym

xy

c) y1 = x – 5 ( m = 1) , y2 = 5x – 1 (m=5)

Apliquemos estos conceptos en la solución de la siguiente actividad:

EJEMPLOS:

Determine cuales de las siguientes parejas de rectas son paralelas. Ejemplos

a) y = 7x + 10 y f(x) = 7x + 4 b) f(x) = 2

5

x + 3 y 5y + 2x = 10

c) Calcule la ecuación de la recta que es paralela a la recta 6y = 12x – 7 y pasa por el punto ( 1 , – 5)

RECTAS OBLICUAS

( m1 m2 , m1 m2 -1 )


Precálculo

14 | P á g i n a

d) Determine cuales de las siguientes parejas de rectas son perpendiculares:

a) y = 5x + 1 y f(x) = 1

5

x + 8 b) f(x) =

7

4

x + 3 y 4y – 7x = 11

c ) Calcule la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 3y = 7x – 5 , pasa por el punto (– 5 , 6)

Practica:

1) Basado en las definiciones dadas anteriormente, clasifique cada parejas de rectas en: paralelas, perpendiculares u oblicuas.

a) y1 = 5

23 x , y2 =

5

23 x : ____________________

b) y1 = 7x – 4 , y2 = x74

1 : ____________________

c) y1 = ,4

1 x y2 = 4x – 1 : ____________________

d) 2x + 3y1 = 1 , 2x – 3y2 + 4 = 0 ____________________

(Debe primero despejar Y en ambas)

d) 2y + 6x – 5 = 0 , 3y – x + 12 = 0 ____________________

2) Complete en cada caso de forma que se obtengan proposiciones verdaderas.

a) Una recta paralela a Y = 4x – 5 , tiene como pendiente __________.

b) Si una recta pasa por ( 0 , 3) y es perpendicular a Y = 8

32 x. Entonces el valor de su pendiente

corresponde es m = ______ y posee como ecuación Y = ___________.


Precálculo

15 | P á g i n a

c) Una recta perpendicular a xy7

6

5

3 tiene como pendiente a ___________.

d) Una recta paralela a Y = x + 7, que pasa por el origen posee como ecuación Y = ___________.

3) Resuelva en su cuadernos estos otros ejercicios. Incluya todos los cálculos.

- Determine la ecuación de la recta que contiene al punto:

a) ( 2 , 1) y paralela a la recta cuya ecuación está dada por Y = 5x + 4.

b) ( 7, 6 ) y es paralela a la recta definida como 2y – 2x – 1 = 0

c)

5

1,

2

3 y es paralela a la recta que pasa por los puntos

0,

4

1,5,1 .

d) (4 , 1) y es perpendicular a la recta definida por 3

25 xy

.

e) ( 4

1,

2

1 ) y es perpendicular a la recta definida como 2x – 4y = 6.

f)

3

14,2 y es perpendicular a la recta que contiene los puntos (5, 1) ;

5

4,

2

1.

3. La recta que pasa por los puntos ( 1, 2) y

5

1,

3

2 es perpendicular a la recta que pasa por el punto

( 2, 3). ¿Cuáles son las ecuaciones de ambas?

4. ¿Cuál es la ecuación de la recta que interseca al eje de las abscisas en 2 y es perpendicular a la recta definida por 3x + 5y + 10 = 0?

5. Si una recta pasa por los puntos (3 , 0) ; (0, 4) y otra pasa por (2,0) y (0, 4). De acuerdo con sus ecuaciones, dichas rectas ¿son paralelas, perpendiculares u oblicuas?


Precálculo

16 | P á g i n a

FUNCION CUADRATICA.

Una función f dada por 2ax bx c , con a, b, c IR; a 0 ; se denomina función cuadrática y su

representación gráfica se conoce con el nombre función polinómica. Para la grafica de la función es importante considerar los siguientes puntos:

a) Concavidad: Dada por “a”, de la siguiente forma:

0a> , cóncava hacia arriba.

0a< , cóncava hacia abajo.

b) Intersección con el eje X: Dada por la solución de la ecuación 2ax bx c , donde:

0 , interseca al eje X en dos puntos, x1 y x2, las soluciones de la ecuación.

0 , la parábola no interseca al eje X.

0 , interseca al eje X en un único punto.

c) Intersección con el eje Y: Dada por el punto (0, C).

d) Vértice: Dada por el punto -b -

,2a 4a

.

e) Eje de simetría: Es la recta vertical dada por -b

x =2a

, es decir la primera componente del vértice.

f) Monotonía: A) Si f es cóncava hacia arriba:

a. f es estrictamente creciente en ,2

ba

.

b. f es estrictamente decreciente en ,2

ba

.

B) Si f es cóncava hacia abajo:

a. f es estrictamente creciente en ,2

ba

b. f es estrictamente decreciente en ,2

ba

.

g) Ámbito: A) Si f es cóncava hacia arriba:

a. El ámbito corresponde ,4a

.

B) Si f es cóncava hacia abajo:

a. El ámbito corresponde , .4a

EJEMPLO: grafique la siguiente función cuadrática:

a) 2y = x - 2x - 8


Precálculo

17 | P á g i n a

) 2 5 12b y x x

2) 4 12 9c y x x

PRACTICA Trace el grafico de las siguientes funciones cuadráticas Calcule concavidad , cortes con los ejes ,

vértice , eje de simetría , intervalos de crecimiento y decrecimiento.

a) y = x2 – 6x + 8 b) y = – 3x2 + 8x + 3 c) y = x2 + 2x + 1 d) y = 2x ( 5 – 3x)

e) y = 82

62

xx

f) y = – 4x2 + 12x + 7 g) y = x2 – 25

h) 2

6104 2xxy

i) y = – 4x2 + 20x – 25

j) 4)2

7(2 xxy


Precálculo

18 | P á g i n a

Clasificación de funciones

Función sobreyectiva:

Una función f es sobreyectiva si el ámbito es igual al codominio, es decir todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio.

Función inyectiva:

Una función f es inyectiva si existe una correspondencia biunívoca entre

el dominio y el ámbito.

Función biyectiva:

Una función f es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva.

Función inversa

Sea f: A B una función biyectiva. Entonces su función inversa f -1 : B A, está definida por

f -1 (y) =x y f (x)=y para cualquier y en B.

De lo anterior, una función f tiene por inversa otra función denotada por f -1 sí y sólo sí

existe una correspondencia uno a uno entre los elementos del dominio y del codominio; es

decir, si f es biyectiva. Note que si f : A B y f -1 existe, entonces f -1 : B A.

Ejemplos Determine la función inversa de ( ) 4 9f x x

Determine la función inversa de ( ) 3 4f x x

Determine la función inversa de ( ) 5f x x


Precálculo

19 | P á g i n a

Determine la función inversa de 2

( ) 103

xf x

Determine la función inversa de 5 4

( )8

xf x

x

Problemas de Aplicación:

1. f (x) = 3x x= 3y f –1 (x) = 3

x

2. f (x) = 3x –1 x = 3y –1 f –1 (x) = 3

1x

3. f (x) = x3 x = y3 f -1 (x) = 3 x

4. f(x) =x2 –2 x = y

2 –2 f

–1 (x) = 2x

5. f(x) = x 4 x = y 4 f –1 (x) = 4 x

6. f(x) = 8 – 3x x =8 – 3y f –1 (x) = 33

8 x

7. f(x) = x3 – 1 x = y3 –1 f –1 (x) = 3 1x

8. f(x) = x x = y f –1

(x) = x 2

9. f (x) = 2 – x 3

x = 2 – y 3 f

–1 (x) = 3 2 x

10. f (x) = 3x x = 3y f –1 (x) = x 2 –3

11.f (x) = 32 x x = 32 y f –1

(x) = x2 –2 + 3


Precálculo

20 | P á g i n a

UNIDAD VI FUNCIÓN EXPONENCIAL

Se define la función exponencial como +f x : IR IR , donde xf x a , para la cual “a” es la

base, con a >0 y a 1 ; por lo tanto se distinguen dos casos que recordaremos a continuación:

Caso 1: 1a

Para este caso tenemos xf(x) = 2 , haciendo una tabla de valores tenemos que:

De la cual podemos deducir las siguientes características:

1) El dominio es IR .

2) El ámbito es IR . 3) La gráfica no interseca al eje “x”. 4) La gráfica interseca al eje y en (0, 1). 5) f es estrictamente creciente. 6) Es continua. 7) f es biyectiva.

Caso 2: 0 1a< <

Para este caso tenemos la función f para la cual x

1f x =

2ó x2 , haciendo la tabla de valores:


1) El dominio es IR .

2) El ámbito es IR . 3) La gráfica no interseca al eje “x”. 4) La gráfica interseca al eje y en (0, 1). 5) f es estrictamente decreciente. 6) Es continua. 7) f es biyectiva.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 18

14

12

1 2 4 8

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 8 4 2 1 12

14

18


Precálculo

21 | P á g i n a

Logaritmos

Definición: se define los logaritmos de la forma que x xaLog y a y , se lee “logaritmo de x en base

a es y” FUNCIÓN LOGARITMICA

Se de fine la función logarítmica como +f x : IR IR , donde xaf x = log , para la cual “a” es la

base, con a >0 y a 1 ; por lo tanto se distinguen dos casos que recordaremos. Ahora es importante definir

que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Caso 1: 1a

Para este caso tenemos 2f x log x , ahora por tener relación con la función exponencial podemos decir:

x2

x2

y

f(x) = log

y = log

2 = x

Haciendo una tabla de valores tenemos que:


1) El dominio es IR . 2) El ámbito es IR . 3) La gráfica interseca al eje x en (1, 0). 4) La gráfica no interseca al eje “y”. 5) f es estrictamente creciente. 6) Es continua. 7) f es biyectiva.

x 18

14

12

1 2 4 8

f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3


Precálculo

22 | P á g i n a

Caso 2: 0 1a< <

Para este caso tenemos la función f para la cual 1

( )2

x

f x ó 2 x , haciendo la tabla de valores:


1) El dominio es IR . 2) El ámbito es IR . 3) La gráfica interseca al eje x en (1, 0). 4) La gráfica no interseca al eje “y”. 5) f es estrictamente decreciente. 6) Es continua. 7) f es biyectiva.

ECUACIONES EXPONENCIALES

( Una ecuación recibe el nombre de ecuación exponencial si la, o las variables aparecen en uno más exponentes. Por ejemplo:

623,;162 mmx bieno

En la resolución de ecuaciones exponenciales, se distinguen dos casos según los términos a ambos miembros de la igualdad:

Aquellas que son reducibles a igual base

Las que no son reducibles a la misma base En este tema estudiaremos aquellas que podrán reducirse a un base común, pues las otras requieren de la teoría de logaritmos que se estudiará posteriormente.

Dado que la función exponencial xbxf )( , es una función biyectiva, entonces se cumple que:

2121 )()( xxxfxf

Lo anterior significa que: Esta propiedad se puede aprovechar para resolver ecuaciones exponenciales, en los casos en que los términos a ambos miembros de la igualdad se pueden reducir a una base común.

x 8 4 2 1 12

14

18

f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

2121 xxbb

xx


Precálculo

23 | P á g i n a

Ejemplos: Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones exponenciales.

a) 3 2 57 7x x

d) 16

14 32

xx

b) 285 93 xx

e)

22

12

3

19

x

x

c) 018 32 x

f) 122

1 1

x

x

EJERCICIOS I) Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales. Indique el conjunto solución.

1) 752 22 x

R/ 6S

2) 31 927 xx R/ 9S

3) 72)13(2 42 xx

R/ 8S

4) 018 23 x R/

3

2S


Precálculo

24 | P á g i n a

5) 5

32

3

133

xx R/

3

8S

6) xx 273243 R/

2

5S

7) 164164 xx R/ 4S

8) xxx 211 2793 R/ 1S

9) 122 824 xxx R/ 7S

10) xxx 211 842 R/

5

1S

11) 2

1

2

12

xx R/ 2,1S

12) xxx 333 12

R/ 1S

13)

81

13 4 xx R/ 2S

14) xxx 82 R/ 3,0S

15) 11452

xx R/ 2,1S

16) 543 12

x R/

2

3S

17) 273

312

4

x

R/ 1S

18) 624

55

5

x

x

R/

3

10S

19)

xx

3

7

7

312

R/

3

1S

20)

1

32

1000

1100

x

x R/

7

9S

21) 0016,02,0 x

R/ 4S

22) 08125,0 123

1

xx R/

9

4S

23) xx 811 55 R/ 5S

24) 322 24 xx R/

2

1S

25) 33 2 366 xx R/

3

2S

26) 125

27

9

25

x

R/

2

3S


Precálculo

25 | P á g i n a

27) 8

27

4

9

3

2

xx

R/ 3S

28) 135343 xx R/ 3S

29) 36333 xx R/ 2S

II) Conteste las siguientes preguntas

1) ¿Cuál es la preimagen de 27

8 para la función

5

4

9)(

x

xf ? R/ 2

7

2) ¿Cuál es la preimagen de 7 para la función 32

1)(

1

x

xf ? R/ 1

3) ¿Cuál es la preimagen de 625 para la función 15)( xxf ? R/ 9

4) ¿Cuál es la preimagen de 16 para la función 54)( xxf ? R/ 9

LOGARITMOS: DEFINICIÓN En general, el LOGARITMO de un número N con respecto a determinada base, es el EXPONENTE que debe usarse con la base para obtener N. El logaritmo de un número x es el exponente al que hay que elevar otro número “a”, llamado base, para obtener x.

xayx y

a log 0,1,0 xaa

y: se denomina logaritmo a: recibe el nombre de base del logaritmo y puede ser cualquier número real positivo, excepto 1. x: se llama argumento del logaritmo y no puede ser negativo ni cero.

log a x = y Ejemplo 1: 1) log2 32 =5 pues 2) log7 49 =2 pues

3)

9

1log3 =2 pues

NOTACIÓN EXPONENCIAL Y NOTACIÓN LOGARÍTMICA

FORMA EXPONENCIAL FORMA LOGARÍTMICA

23 = 8

40 = 1

24 = 16

1


Precálculo

26 | P á g i n a

3–2 = 9

1

Ejemplo 2:

a) 281log9 , pues:

b) 01log x . pues:

c) 2

122log8 , pues:

1) LOGARITMOS NATURALES Y DECIMALES

LOGARITMO DECIMAL: Es la función logarítmica en base 10. Por convención la base 10 generalmente no se escribe.

log10 x = log x La función logaritmo en base 10 se define de la siguiente manera

log x = y 10 y = x LOGARITMO NATURAL:

Es la función logarítmica que utiliza como base el número de Euler e ( e 2,72 ):

loge x = ln x La función logaritmo natural se define de la siguiente manera:

ln x = y e y = x Ejemplo 3:

a) 2100log , pues:

b) 11,0log . pues:

c) 1ln e , pues:

Conociendo tan sólo dos valores de la expresión yxxa a

y log , se puede calcular el valor numérico

del tercero. Ejemplo 3: (resolver en el cuaderno)

I CASO: DETERMINAR EL ARGUMENTO.

A*) 2log5 N B*) 2log32

x


Precálculo

27 | P á g i n a

II CASO: DETERMINAR EL LOGARTIMO.

81

0 001

1

4

1

8

3

1000

16

1

2

,

*) log

*) log

) log

) log

A m

B n

C x

D y

II CASO: DETERMINAR LA BASE.

3

14log)38log)

2

38log)

5

12log)

481log)3

12log*)

29log*)2

32log*)

3

24log*)3125log*)

kx

bm

nb

nb

mx

JI

HG

FE

DC

BA

2) CONVERSIÓN DE UN LOGARITMO DE BASE CUALQUIERA A BASE 10

Para convertir a base 10 un logaritmo de argumento N en cualquier base b, b >0,

b 1, basta con hallar el cociente del logaritmo en base 10 de N entre el logaritmo en base 10 de la base b. Así:

b

NNb

log

loglog

Ejemplo 4: Calcular los siguientes logaritmos:

a) log3 2 =

b) log715 =


Precálculo

28 | P á g i n a

EJERCICIOS A-) Exprese en forma exponencial las siguientes expresiones logarítmicas

1) log2 16= 4 2) log5 125= 3

3) log36 216=2

3 4) log216 36 =

3

2

5) log2

8

1= –3 6) log7

343

1= –3

7) log 1000= 3 8) log 0,01= 2

9) ln 1= 0

10) ln e =1

B-) Exprese en forma logarítmica las siguientes expresiones exponenciales

1) 32 = 9 2) 34 = 81

3) 3–3 =27

1 4) 8 –2 =

64

1

5) 3

2

8 = 4 6) 2

3

36 =216

7)

2

3

1

= 9

8)

3

5

1

=125

9) 33

2

93

10) 102 =100

11) 10–3 =1000

1

12) 10 e

C-) Determine el valor de la variable que hace cierta cada igualdad.

1) log4 16 = x 2) log2 N = 2

3) 5

13log b

4) log b 16 = 4

5) log4 N = 1,5 6) log7 1 = y

7) log6 m = 0 8) x

27

1log3


Precálculo

29 | P á g i n a

9) log n 32 = 5 10)

2

327log b

11) 4

12log

b

12) log5 0,04 = y

13) log b 4 = 0,5

14) 223log

2

1 y

15) x18log23

16) x372 92log

17) xaa

82log 18) mx

x15

15log

19) 332log2 x 20) 213log5 x

21) 113log x 22) 432log3

x

D-) Calcule los siguientes logaritmos aplicando teorema de cambio de base. 1) log52= 3) log23= 3) log510=

2) log927= 4) log25= 6) log255= LOGARITMOS: PROPIEDADES Las propiedades de los logaritmos permiten transformar un logaritmo en una expresión equivalente. Las propiedades de los logaritmos también permiten resolver ecuaciones logarítmicas, verificar identidades logarítmicas y además ayudan en el cálculo de algunos logaritmos.

1. Logaritmo de 1 en base a.

loga 1 = 0 Ejemplos: log2 1 = , pues 20 = 1

log7 1 = , pues 70 = 1

2. Logaritmo de la base.

Ejemplos: x log5 5 = , pues 51 = 5 log15 15 = , pues 151 = 15

loga a = 1


Precálculo

30 | P á g i n a

3. xaxa

log Ejemplos:

9log44

3log

10

4. Logaritmo de una potencia.

Ejemplos: a) log x6 =

b) log3 8 =

c) log2 x5 =

5. Logaritmo de un producto o multiplicación.

Ejemplos: a) log a (2x) =

b) log2 (xyz) =

c) 96log 2 xxm

6. Logaritmo de un cociente.

Ejemplos:

a)

8

3log2 b)

9

729log3

c)

2

1log 1

x

xx

7. Logaritmo de una expresión radical.

Ejemplos:

log a xn = n log a x

log a (x . y ) = log a x + log a y

n

xx

nxx a

an

an

a

loglog

1loglog

1

log a

y

x = log a x – log a y


Precálculo

31 | P á g i n a

a) 34 128log b) 5

3 81log

c)

4

3

2

logy

xn

Las propiedades anteriores también se aplican a los logaritmos naturales: 1. ln 1 = 0 2. ln en = n En particular: ln e = 1

3. xe x ln

4. Logaritmo natural de un producto: ln (x . y ) = ln x + ln y

5. Logaritmo natural de un cociente: yxy

xlnlnln

6. Logaritmo natural de una potencia: ln xn = n ln x

7. Logaritmo natural de una expresión radical: n

xx

nxx nn ln

ln1

lnln

1

Ejemplo 2 . Aplique propiedades de los logaritmos para cambiar cada expresión en sumas y restas, tanto como sea posible.

a) 432log myxa

b)

4 32

53

logcba

yxa

c)

3

2

556

)32()2(log

xx

xx

PRACTICA:PROPIEDADES DE LOGARITMOS

A) Escriba en un solo logaritmo las siguientes expresiones aplicando las propiedades de logaritmos, reduciendo al máximo cada expresión.

1-) 32log52log3

1log2 xxx R/

5

32

32

2log

x

xx


Precálculo

32 | P á g i n a

2-)

y

xyxyx aaaa log3log2log3log4 3 R/

2

logy

xa

3-)

y

xyxxy aaa log2log3log 35 R/

10

4

logx

ya

4-)

423

log2

1log7log2 xyy

x

ybbb R/ 0

5-)

a

aa aaa log

1loglog2 R/

2

3

6-) xxx log4log2

1log

3

1 46 R/ xlog2

7-)

1

32log

23

12log

2

2

2

2

x

xx

xx

xx R/

2

3log

x

x

8-)

6

44log

44

4log

2

2

2

2

xx

xx

xx

x R/

2

3log

x

x

9-)

yn

n

y

y

xn

x

ynlog

5log

2loglog

2

2

R/ 1

10-) 3

333 log33log3log6 yyy R/ 3

11-) 1log1log1log2 2 xxx R/ 1log x

12-) 2

8

log

log5

x

x R/ 1

13-) 32 lnln xx ee R/ 5

14-) 1ln1ln1ln 2 xxx R/ 0

B) Escriba en términos de sumas y restas tanto como sea posible las siguientes expresiones aplicando las propiedades de logaritmos, reduciendo al máximo cada expresión.

1-) cd

ablog R/ dcba loglogloglog

2

1

2-)

3

2

logz

yx R/ zyx log3loglog2

3-)

wy

xz4

2

log R/ wyxz loglog4log2

1log2

4-) 35

2

logxz

y R/ zxy log

3

5log

3

1log

3

2


Precálculo

33 | P á g i n a

5-)

3

4

2

logz

yx R/ zyx log

3

4log

3

2log

6-)

3 2

6

logz

xy R/ zyx log

3

2log6log

2

1

7-) 3 3log yzx R/ zyx log2

1log

6

1log

3

1

8-)

84

28log

3

2x

xx R/ 2log2log1 22 xx

C) Verifique las siguientes identidades logarítmicas.

1) 2

5ln 2 ee

2) 6

7ln

3 2 ee

3) xx ee lnln 2

= 2

4) 6

11log 3 53 bbb

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Una ecuación es logarítmica si la variable es parte de un número cuyo logaritmo será tomado, es decir la variable aparece en el argumento del logaritmo. Una ecuación logarítmica es una expresión como la siguiente:

log x + log (x –1) = 10 En la resolución de estas ecuaciones siempre deben ser probadas las raíces o soluciones debido a que el dominio de la función logarítmica está restringido a IR+ (el argumento es siempre positivo). Obviamente pueden obtenerse resultados que no correspondan a verdaderas soluciones de la ecuación. Para resolver ecuaciones logarítmicas se utilizan:

las propiedades de los logaritmos

la definición de logaritmo:

la siguiente propiedad:

xayx ya log

si loga f (x) = loga g(x)

entonces f (x) = g(x)


Precálculo

34 | P á g i n a

Ejemplo 1: Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones logarítmicas.

a*) 21log32log 33 x

f) 26loglog2 xx

b*) 76log2log 22 xx

g) Z

EJERCICIOS ECUACIONES LOGARÍTMICAS

1) 2ln10lnln x 8) 3log236loglog x

2) 12log54log 33 xx 9) 11log3log 1212 xx

3) 15log5log3log 333 xx 10) 84ln45ln45ln xx

4) 16log 2 x 11) 373log3log 22 xx

5) 11log23log 32

3 xxx 12) 1ln1ln 2 xx

6) 23log2log 22

2 xxx 13) 0log29 4 x

7) 13log23log 22 xx 14)

xx

2log2log3log 888


Precálculo

35 | P á g i n a

opuesto

adyacente

hipotenusa

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

ÁNGULO Porción de plano, separada por dos rayos y un vértice en común y Un ángulo colocado en un plano semejante rectangular se dice que está en la posición estándar si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con el eje positivo x. .Los ángulos pueden ser positivos se dibujan contrario a las manecillas del reloj y negativos en caso contrario.

Ejemplos 300 º – 225 º 630 º

Los ángulos se pueden medir en grados o radianes y se puede convertir de la siguiente manera

Para cambiar grados a radianes se multiplica por 180

150 º = 540 º = 60 º = 225 =

Para cambiar radianes a grados se multiplica por 180

3

4

7

3

12

5

\DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En todo triángulo rectángulo definimos las siguientes razones

Sen = opuesto

hipotenusa csc

hipotenusa

opuesto

Cos = adyacente

hipotenusa sec

hipotenusa

adyacente

tan = opuesto

abyacente cot

adyacente

opuesto


Precálculo

36 | P á g i n a

Ejemplos: Si es un ángulo agudo y cos = 5

3 , encuentre el valor de todas las funciones

trigonométricas de


Precálculo

37 | P á g i n a

x

y

ry

x

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO .

Si es un ángulo en posición estándar y P( x , y ) es un punto distinto del origen y situado sobre el lado final

del ángulo , entonces las seis funciones trigonométricas del ángulo se define como sigue

Sen = y

r csc

r

y

Cos = x

r sec

r

x

tan = y

x cot

x

y

Ejemplos

Encontrar el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si el lado final del ángulo tiene al

punto P( – 5 , –12)

Encontrar el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si el lado final del ángulo tiene al

punto P( – 8 , 15)


Precálculo

38 | P á g i n a

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES

CIRCULO TRIGONOMETRICO

Sen = y

cos = x

Tan =

cos

sen

x

y

Csc = seny

11

Sec = cos

11

x

Cot =

seny

x cos

Además se cumple que 1cos1 2222 senyx

De esto 22 cos1 sen 22 1cos sen

Usando la formula anterior podemos deducir las siguientes identidades

22

2

2

2

cos

1

cos

cos

cos

sen

22

2

2

21cos

sensensen

sen

22 sec1tan 22 csccot1

Ejemplos Demostrar la identidad

2

cos x csc xtan x

cot x

sen x cos x

1csc x sec x

OTRAS IDENTIDADES IMPORTANTES

Fórmulas del doble ángulo

Sen 2A = 2sen A cos A Cos 2A = cos 2 A – sen 2 A

sen2 A = 2

2cos1 A cos2 A =

2

2cos1 A

Fórmulas de la suma y resta de ángulos

Sen ( A + B ) = sen A cos B + sen B cos A cos ( A + B ) = cos A cos B – sen A sen B


Precálculo

39 | P á g i n a

Sen ( A – B ) = sen A cos B – sen B cos A cos ( A – B ) = cos A cos B + sen A sen B

Ejemplos Si tan A = 5

12 y sec B =

5

3 Calcule

a) sen ( A + B) =

b) cos ( A – B) =

Gráfica de las funciones trigonométricas

LLaa ffuunncciióónn sseennoo

Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora:

La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje

de abcisas aparece la medida del ángulo en

radianes.

Es la gráfica de una función continua y definida en R.

Los valores del seno se repiten cada 2 radianes (cada 360º). Este valor se llama periodo de la función

Esta gráfica se llama sinusoide.

ángulo 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 225º 270º 315º 360º

seno


Precálculo

40 | P á g i n a

LLaa ffuunncciióónn ccoosseennoo



coseno

La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje

de abscisas está la medida del ángulo en radianes.

También su domino es todo el conjunto R y se trata de una función continua.

Los valores del coseno también se repiten cada 2 radianes (cada 360º).

Esta gráfica se llama cosinusoide.

LLaa ffuunncciióónn ttaannggeennttee


¿Qué ocurre con la tangente de 90º y con la de 270º?

Ahora representa la función tan . Sólo para valores

del intervalo ] -/2 , /2 [. (Este intervalo en grados sexagesimales se corresponde de –90º hasta 90º). En el eje de abscisas sitúa los valores del ángulo en radianes. La gráfica de la función tangente que has obtenido será semejante a la que tienes a continuación: Esta función no está definida para cualquier valor de x.

Como has podido ver los ángulos 90º (/2 rad) y 270º (3/2 rad) no tienen tangente. Tampoco existe la tangente para los ángulos que se obtiene a partir de los anteriores sumándoles 360º. El dominio de la función tangente será:

D(f) = R { / 2 + k · siendo k Z


tangente


Precálculo

41 | P á g i n a

Funciones trigonométricas inversas.

El seno, en es monótona creciente, entonces podemos definir el inverso de la función seno restringida al intervalo . Análogamente podemos considerar la función coseno en el intervalo La tangente en es una función creciente cuya inversa estará definida en todo .

Así tendremos las siguientes definiciones:

1. Función arcoseno.

, . El arcoseno se define como el único tal que.

2. Función arcocoseno.

. El arcocoseno se define como el único tal que cos y x . La imagen del arcocoseno es el intervalo .

3. Función arcotangente.

, . La arcotangente se define como el único tal que . La imagen de la arcotangente es el intervalo .

Determine

a) tan ( arcsen 3 5 )


Precálculo

42 | P á g i n a

b) Evaluar 1 4

sen ( arctan arccos )2 5

Ecuaciones trigonométricas

Son aquellas en las que aparece alguna razón trigonométrica de la incognita. Para resolverlas es conveniente :

1º Expresar todas las razones que aparezcan en función de un mismo ángulo.

2º Expresar todas las razones en función de una sola razón trigonométrica.

Estos dos pasos se consiguen utilizando las fórmulas trigonométricas estudiadas anteriormente.

Las ecuaciones trigonométricas suelen tener múltiples soluciones que pueden expresarse en grados o en radianes.

Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:

1) 2sen(x) – 3 =0

2) sen(2x)=2sen(x)

3) cos2(x) – 3sen(x)=3

Soluciones:


Precálculo

43 | P á g i n a

50°

18

x

c b

a CB

A

110°

32° A

B

C

8

c b

aCB

A

Aplicaciones a la resolución de triángulos.. Ley de senos

Se usa para encontrar los lados o ángulos de un triángulo

a b c

sen A sen B sen C

De acuerdo a las figuras calcule x e y

Y y

y

TEOREMA DE LOS COSENOS

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el

doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

2 2 2 2 cosc a b ab C

2 2 2b a c 2accos B

Ejemplos 1) Los lados de un triángulo miden respectivamente 13, 14 y 15 cm. Hallar la medida de los ángulos del triángulo.


Precálculo

44 | P á g i n a

9

12

15

12

5

13

nm

r

178

65

B

A

C

18 21

a

2) Resuelva el triangulo

PRACTICA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 1) Convierta los siguientes ángulos a radianes y dibújelos a) – 120º e) 315º b) – 405º f) 300º c) 135º g) – 200º d) 1080 º h) – 270º 2) Convierta los siguientes ángulos a grados y dibújelos

a) 12

e)

10

3

b) 3

5 d)

6

5

c) 2 e) 4

d) 4

15 f)

6

7

3) Calcule el resto de las funciones trigonométricas de si

a) tan = 12

5 d) cot =

7

3

b) sen = 15

12 e) csc = x

c) cot = 3

1 f) sec =

2

5

4) Calcule las razones trigonométricas de

a) b) c) d)


Precálculo

45 | P á g i n a

e) Si tan = 1

2 f) Si cos =

5

3 g)

2sen

29 h)

7tan

2

5) Funciones trigonométricas de 30º , 45 º y 60º De acuerdo a los triángulos .Complete el siguiente cuadro.

6)Encontrar el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si el lado final del ángulo ,si esta

en posición estándar y satisface las condiciones dadas

a) El punto P ( 6 , 8) está en el lado terminal de

b) El punto P (–12 , 5) está en el lado terminal de

c) El punto P ( – 2 , –5) está en el lado terminal de

d) El punto P ( 3 , –4) está en el lado terminal de

7) Calcule las siguientes expresiones

a) Sen ( x + ) =

b) Cos ( x + 2

) =

c) Sen ( x – 30º) = d) Cos ( x –180º) =

Función / ángulo

30º

45º

60º

Sen

Cos

Tan

Csc

Sec

Cot


Precálculo

46 | P á g i n a

7) Si tan A = 4

3 y sec B =

12

15 Calcule

c) sen ( A + B) = d) cos ( A – B) =

8) Si Sen A = 17

8 Calcule

a) sen ( 2A) = b) cos ( 2A) =

9) Usando la calculadora calcule el valor de ángulo ( shifh función valor = )

a) 1

sen2

e) 4

sen7

i) sen 0.34

b) 2

cos 5

f) tan 3 j) cos 0.457

c) tan = 1

2 g)

1cos

2 k)

7tan

4

d) 2

sen 5

= h) sen 1 l) 15

17sen

10) Verifique las identidades trigonométricas 1. cos tg = sen

2. sen sec = tg

3. sen cotg = cos

4. sen tg + cos = sec

5. cosec - sen = cotg cos

6. (sen + cos)2 + (sen - cos)

2 = 2

7. (sen + cosec)2 = sen2 + cotg2

+ 3

8.

eccos2

sen

cos1

cos1

sen

9.

cos

tggcot

eccos

10. cos4 - sen4

+1= 2 cos2

11. sec4 - sec2

= tg4 - tg2


Precálculo

47 | P á g i n a

12. (sec + cos) (sec - cos) = tg2 + sen2

13. (1+ tg2) cos2

= 1

14. sen2 + sen2

tg2 = tg2

15. sec2 + cosec2

= sec2 cosec2

16. tg + cotg = sec cosec

17. (1 + cotg2) sen

2 = 1

18. cos4 - sen4

- 2 cos2= -1

19. sen3 cos + cos3

sen = sen cos

20.

eccos2

sen

cos1

cos1

sen

11) Resuelva los problemas ( Ley de senos y cosenos)

0) Desde un punto ubicado en una torre a 15 m de altura, se observa, con un ángulo

de depresión de 68º, un objeto en el plano de la base de la torre, ¿cuál es la distancia

aproximada del objeto a la base de la torre?

( ) 5,62 m ( ) 6,06 m ( ) 37,13 m ( ) 40,04 m

1) De acuerdo con los datos de la figura, en el rombo ABCD, ¿cuál es la longitud

aproximada de AC ?

( ) 5,30

( ) 6,25

( ) 8,48

( )18,87

B

C

D

A

532º


Precálculo

48 | P á g i n a

B C

DA

35º

20

A C

B

D

2) De acuerdo con los datos del rectángulo ABCD, ¿cuál es la medida aproximada

de AC ?

( ) 11,47 ( ) 24,42

( ) 16,38 ( ) 28,56

3) En ABC, AB = BC, ) 50m ACB y AC = 10 cm ¿cuál es la medida

aproximada de BD ?

( ) 3,21 cm

( ) 3,83 cm

( ) 4,20 cm

( ) 5,96 cm

4) Desde la cúspide de una torre de 14 m de alto se observa, con un ángulo de

depresión de 32°, un objeto ubicado en el mismo plano horizontal que la base de la

torre. ¿A qué distancia aproximada se encuentra el objeto de la base de la torre ?

( ) 8,75 m ( ) 16,51 m ( ) 22,40 m ( ) 26,42 m

5) De acuerdo con los datos de la figura, si ABCD es un paralelogramo, entonces ¿cuál es

aproximadamente el perímetro de ese paralelogramo?

( ) 48,33

( ) 68,39

( ) 65,73

( ) 53,24

20

6

25° D

C B

A


Precálculo

49 | P á g i n a

B

4

C

A

D

48°

48°

6) De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es la longitud aproximada de BC ?

( ) 2,01

( ) 2,23

( ) 2,70

( ) 4,48

7) Desde la cúspide de una torre se observa, con un ángulo de depresión de 32°, un

objeto ubicado a 12 m de la base de la torre en el mismo plano horizontal. ¿Cuál es la

altura aproximada de la torre?

( ) 6,36 m ( ) 7,50 m ( ) 10,18 m ( ) 19,20 m

8) De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es la medida aproximada de BC ?

( ) 7,20

( ) 8,88

( ) 5,38

( ) 10,77

3

A C D

B

48°


Precálculo

50 | P á g i n a

50°

18

x

A

B

C

D

48°

10

9) Considere la siguiente figura.

De acuerdo con los datos de la figura, la altura aproximada del árbol es ( ) 11,72

( ) 11,82

( ) 14,20

( ) 9,23

10) Considere el siguiente triángulo.

De acuerdo con los datos de la figura, el valor aproximado de x es

( ) 21,45

( ) 11,57

( ) 15.10

( ) 13,79


De acuerdo con los datos de la figura, en el rombo ABCD, ¿cuál es la longitud aproximada de AC ?

( ) 13,38

( ) 14,86

( ) 22,21

( ) 29,89

12) Desde un punto, ubicado en una torre vertical y con un ángulo de depresión de 58°, se observa

un objeto en el plano de la base de la torre a 10 m de distancia de dicha base. ¿A qué altura

aproximada se encuentra el punto de observación ubicado en la torre?

( ) 6,25 m ( ) 8,40 m ( ) 16,00 m ( ) 18,27 m

38° 15


Precálculo

51 | P á g i n a

P

R Q

3

25°

70°


Si ABCD es un rombo donde AB = 8, ) 112m DAB , entonces ¿cuál es la medida

aproximada de AC ? ( ) 13,26

( ) 14,30

( ) 23,72

( ) 8,95

14) En ABC, si m ABC) = 90°, BC = 37, m BCA ) = 25°, entonces ¿cuál es la longitud

aproximada de AB ? ( ) 17,25 ( ) 79,35 ( ) 15,64 ( ) 33,53

15) Si en ABC , m ) ABC = 72°, m )BCA = 40° y AB = 12, entonces ¿cuál es la medida aproximada de

AC ?

( ) 8,11 ( ) 4,84 ( ) 7,33 ( ) 17,75

16)Considere la siguiente figura.

De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es la medida aproximada de PR ?

( ) 1,35

( ) 1,27

( ) 0,13

( ) 1,19

A

B

C

D


Precálculo

52 | P á g i n a

R

S T 54°

18

20

110°

32° A

B

C

8

A B

C

45º

60º

3

17) Considere el ABC.

De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es la medida aproximada de BC ?

( ) 6,89

( ) 9,29

( ) 12,21

( ) 14,19

18) Considere el RST.

De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es el valor aproximado de ?

( ) 47°

( ) 64°

( ) 36°

( ) 62°

19) De acuerdo con los datos de la figura la medida de AB es

( ) 6

2

( ) 1

2 2

( ) 1

2 6

( ) 3 2

2

20) De acuerdo con los datos de la figura la longitud de AB es

( ) 24 2

( ) 8 2

( )8

2

( ) 2

2

B

AC

75°

45°

48


Precálculo

53 | P á g i n a

Respuestas 11 ( Ley de senos y cosenos)

0 B 4 C 8 A 12 C 16 B 20 C

1 A 5 B 9 A 13 D 17 A

2 C 6 D 10 A 14 A 18 D

3 D 7 B 11 A 15 D 19 D

12) Resuelva los siguientes ecuaciones

1) 023 sen

2) tan x – 2 = – tan x, 3) sen2x – sen x = 0,

4) csc x = 2 cot x

5) cos x = 3 – cos x

6) tan2 x – 3 tan x = 0

7) 2sen2 x = sen x en 8) sen x ∙ cos x = cos 9) (2cos x –1)(2cos x – 3 ) = 0

10) 2tan x = 3 sec x

11) tan2 = 3sec2 en 2 , 0

12 ) 2 sen x cos x = 2 cos x

13) 2(sec 4) (cot 1) 0x x

14) 4 cos secx x

15) 22 3cossen x x

16) 1 – 2sen x = 2

Universidad Técnica Nacional -...

Documents

Transcript of Universidad Técnica Nacional -...