Probabilidades

Gerardo Arroyo Brenes

Teoría de las Probabilidades

• Experimento:

Es toda acción o proceso que produce resultados bien definidos.

Ejemplos:

Experimento Resultado: Lanzar una moneda Cara o Escudo;Seleccionar una parte para inspeccionar la Defectuosa o no defectuosa; Lanzarun dado 1, 2, 3, 4, 5, 6; Jugar un partido de fútbol Ganar, perder, empatar

• Experimentos aleatorios:

Son aquellos experimentos en los cuales los resultados no sonesencialmente los mismos a pesar de que las condiciones seanaproximadamente idénticas. Diremos que un experimento es aleatorio si severifican las siguientes condiciones:

- Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones.

- Se conocen todos los posibles resultados antes de realizar el experimento.

- Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener.

- Se genera una función que indica el comportamiento de la variable en elexperimento.

• Espacio muestral:

Es aquel conjunto que contiene a todos los resultados de unexperimento aleatorio. Se denota por la letra E o la letra griega Ω. Deacuerdo a la cantidad de elementos que posee el espacio muestral, sepuede clasificar en: finito o infinito:– Finito o

– Infinito: Numerable (discreto) y No Numerable (continuo).

• Punto muestral:

Es cada uno de los elementos del espacio muestral (S).

• Suceso o evento:

Es cualquier subconjunto de resultados contenido en el espaciomuestral.

Ejemplo: Si se lanza una moneda al aire 2 veces, el hecho de quesólo resulte cara es un suceso del espacio muestral.

Tipos de sucesos:– Suceso cierto o seguro: es aquel que siempre ocurre.

– Suceso imposible: es aquel que no puede ocurrir.

– Sucesos mutuamente excluyentes: son aquellos que no puedenocurrir simultáneamente, por lo que no tienen elementos comunes.

Ejemplo: lanzar una moneda al aire, el obtener cara o Escudo es unsuceso mutuamente excluyente.

• Sucesos independientes: son aquellos donde la ocurrencia deuno no afecta la ocurrencia del otro.

– Sucesos complementarios: dos sucesos soncomplementarios si la no aparición de uno de ellos obligaa que ocurra el otro.

Ejemplo: Si A es el suceso de sacar un número par conun dado, el complemento es sacar un número impar.

– Evento elemental o simple: es un evento formado por unsolo punto del espacio muestral.

Teoría de conjuntos

￫Unión: se llama unión o reunión de dos conjuntos A y B, alconjunto C formado por los elementos que pertenezcan a A o aB.

Notación simbólica: AυB = {x | x є A o x є B}

￫ Intersección: se llama intersección de dos conjuntos A y B, alconjunto C formado por los elementos comunes a A y a B.

Notación simbólica: A∩B = {x | x є A y x є B}

￫Diferencia: se llama diferencia de dos conjuntos A y B, en esteorden, al conjunto C formado por los elementos quepertenecen a A pero no a B.

Notación simbólica: A - B = {x | x є A y x B}

Complemento de un conjunto: el complemento de un conjunto A, sedenota por AC o A’ y es el conjunto de elementos que pertenecen alconjunto universal pero que no pertenecen a A.

Nota: se supone que todos los conjuntos bajo investigación en cualquieraplicación de una teoría de conjuntos están contenidos en algúnconjunto grande fijo denominado conjunto universal.

Notación simbólica: Ac = {x | x e U y x э A}

NOTA: Un evento no es otra cosa que un CONJUNTO. Por lo tanto,los conceptos de teoría de conjuntos se emplearán construir nuevoseventos a partir de eventos dados.

Ejemplo

• Suponga que en el curso de Estadística Inferencial de la

Ingeniería de Procesos y Calidad, actualmente se encuentran

matriculados 150 personas de un total de 180 estudiantes del

9 nivel, 60 de los 180 no han llevado Calculo Diferencial e

Integral y el 60% se encuentran matriculados en ambos

cursos. Determine:

a. El número de estudiantes que se encuentra matriculado en

ambas asignaturas.

b. El número de estudiantes que se encuentra cursando el

curso de Cálculo Diferencial e integral.

c. El número de estudiantes que no se encuentra en alguno de

los cursos.

d. El número de estudiantes que se encuentra cursando

Estadística Inferencial.

18

Solución

108

12

42

A: Estadística

Inferencia

B: Cálculo Diferencial e

Integral

Probabilidades

Supongamos que un E de un total de “n”

posibilidades igualmente probables y se

puede representar en A de los casos,

entonces la probabilidad del suceso

llamado como Éxito (x) viene dada por:

x

P An

Propiedades de la

Probabilidad:

1.

2.

3. Si A es un subconjunto de B entonces

0P

cP A 1 P A , A P E

BPAP

Regla de la Adición

Esta regla afirma que el valor de la unión de un número

finito arbitrario de sucesos se puede obtener de la

siguiente forma:

Para elementos Mutuamente excluyentes:

Para elementos Mutuamente Excluyentes:

P A B P(A) P(B)

P A B P(A) P(B) P A B

Probabilidad condicional

Si A y B son Cualesquiera eventos en E y ,

la probabilidad de A dado B es de:

Si A y B son dos sucesos cualesquiera talesque P(B)>0.

P A BP A B

P B

P B 0

Eventos independientes

Dos sucesos son independientes cuando laocurrencia de un suceso no afecta laocurrencia del otro suceso. Si A y B sonsucesos independientes es natural pensar quela probabilidad de que A y B sucedan es igualal producto de sus probabilidades individuales.

• A y B son independientes, si sólo si

y

• De otra forma A y B son dependientes.

APBAP BPABP

REGLA DE LA

MULTIPLICACIÓNEn un experimento que involucra dos sucesos A yB que no son independientes, a menudo esconveniente calcular la probabilidad de queambos sucesos ocurran utilizando una de las dosecuaciones siguientes:

Si A y B son independientes:

P AB P A B P A P B

BAPBPBAPABP

ABPAPBAPABP

P(E1∩E2) = P(E1) P(E2/E1)

Es útil cuando necesitamos encontrar la probabilidad conjunta pero notenemos las frecuencias relativas. La probabilidad conjunta de doseventos E1 ∩ E2, es el producto de la probabilidad individual de E1por la probabilidad condicional de E2 dado que ha ocurrido E1.

¿Cuál será la probabilidad de escoger dos ases corridas (sinreemplazo) de un paquete de 52 cartas?

P(E1) es la probabilidad de escoger el primer as = 4/52

P(E2) es la probabilidad de escoger el segundo as = 3/51

El resultado será 4/52 * 3/51 = 12/2652 = 0.0045

P(E1 ∩ E2) = P(E1) P(E2)

La probabilidad conjunta de dos eventos E1 y E2 es el producto dela probabilidad de E1 por la probabilidad de E2.

¿Cuál será la probabilidad de escoger dos Ases corridas (conreemplazo) de un paquete de 52 cartas?

P(E1) es la probabilidad de escoger el primer As = 4/52

P(E2) es la probabilidad de escoger el segundo As = 4/52

El resultado sería 4/52 * 4/52 = 16/2704 = 0.006

Ejercicio

• Se la tabla de contingencia donde se clasifica una población de 417

personas según el nivel socioeconómico y el nivel de estudio,

Revista X, 1990

Nivel de Estudio

Nivel

Socioeconómico

Bajo Medio Alto Total

Absoluto % Absoluto % Absoluto %

Pobres 16 7.7 28 19.4 26 40 70

No pobres 192 92.3 116 80.6 39 60 347

Total 208 100 144 100 65 100 417

• La probabilidad de tener un nivel de estudio bajo.

• La probabilidad de ser pobre dado que tiene un

nivel de estudio bajo.

• La probabilidad de ser no pobre y tener un nivel de

estudio alto.

• La probabilidad de tener un nivel de estudio alto

dado que es pobre.

• La probabilidad de ser no pobre dado que no tiene

un nivel de estudio alto.

TEOREMA DE BAYES

Si los eventos B1,B2,…,Bk constituyen una

partición del espacio muestral Ω tal que

para i = 1,2,…,k, entonces para cualquier

evento A en Ω tal que ,

k

i ii 1

P A P P A B

i i

i k

i ii 1

P P A BP B A

P P A B

Ejemplo

• Una empresa consultora renta

automóviles de tres agencias, 20% de la

agencia D, 20% de la agencia E y 60% de

la agencia F. Si 10% de los autos de D,

12% de autos de E y 4% de los autos de F

tienen neumáticos en mal estado ¿Cuál es

la probabilidad de que la empresa reciba

un auto con neumáticos en mal estado?

Ejemplo

Cuatro técnicos se encargan de regularmente de las reparaciones de

una línea de producción automatizada en caso de descomposturas.

Josefina, quien ocupa el 20% de las descomposturas, realiza una

reparación incompleta 1 vez de 20; Tomás, quién atiende el 60% de

las descomposturas realiza una reparación incompleta 1 vez de 10;

Griselda, quien atiende el 15% de las descomposturas, realiza una

reparación incompleta 1 vez de 10 y Pedro se ocupa del 5% de las

descomposturas, realiza una reparación incompleta 1 vez de 20.

Para este problema con línea de producción, atribuido en el diagnóstico

a una reparación inicial incompleta ¿Cuál es la probabilidad de tal

reparación inicial haya sido hecha por Josefina?