PROBABILIDADES

Juan Carlos Colonia P.

EXPERIMENTO ALEATORIO

Se conocen todos los resultados posibles antes de

realizar el experimento.

Antes de realizar el experimento no se puede conocer

el resultado del mismo.

Se puede repetir indefinidamente de forma

independiente bajo las mismas condiciones.

En una larga sucesión de observaciones

independientes del experimento, a medida que las

repeticiones aumentan, los resultados tienden a

variar cada vez menos. (Regularidad Estadística).

EXPERIMENTO ALEATORIO

Evolución de la frecuencia relativa del número de caras obtenido en 100 lanzamientos de una

moneda (simulado por Excel). Los resultados individuales parecen ocurrir de forma caprichosa

pero a medida que el aumenta el número de lanzamientos la frecuencia relativa del número de

caras tiende a lo que se entiende por probabilidad de cara.

EXPERIMENTO ALEATORIO

Ejemplos:

En una central telefónica: Número de llamadas entrantes

Tiempo de duración de llamadas

En un servidor de archivos: Número de solicitudes de envío de archivos

Tiempo de duración de la descarga de los archivos.

Servicio de Internet: Tiempo empleado para establecer una conexión a

internet

ESPACIO MUESTRAL

El espacio muestral asociado a un experimento

aleatorio es el conjunto formado por todos los

posibles resultados del experimento. Es denotado por

S.

A los elementos del espacio muestral se les denomina

Eventos Elementales y son denotados por s.

1 2 3S s , s , s , ......

ESPACIO MUESTRAL

Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado.

Espacio muestral:

Experimento aleatorio: Número de caras al lanzar dos

monedas.

Espacio muestral:

S 1, 2, 3, 4, 5, 6

S cc, cs, sc, ss

EVENTO

Es un subconjunto del espacio muestral S. Si A es un

evento entonces .

Los eventos se denotan con letras mayúsculas A, B,C

etc.

El evento que solo consta de un solo elemento de se

llama evento elemental. El conjunto vacío y son de

por si eventos.

El conjunto vacío se denomina EVENTO IMPOSIBLE

y el conjunto es EVENTO SEGURO.

A S

S

S

EVENTOS

Experimento aleatorio: Lanzamiento de dos dados.

Espacio muestral:

Posibles eventos:

A: La suma debe ser igual a 5

1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6

2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6

3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,6S

4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,6

5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6

6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6

S 1,4 , 2,3 , 3,2 , 4,1

EVENTOS

Experimento aleatorio: Selección de dos empaques de una caja con 5 empaques.

Espacio muestral:

Posibles eventos: suponga que las cajas 1,2 y 3 están defectuosos.

A: Ningún empaque defectuoso

B: Dos empaques defectuosos

C: Un empaque defectuoso

A 4, 5

C 1,4 , 1,5 , 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5

B 1,2 , 1,3 , 2,3

1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,3S

2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5 , 4,5

PROBABILIDADES: ENFOQUE CLÁSICO

La probabilidad de un evento A es el cociente entre el número de resultados favorables al suceso y el número de resultados posibles.

En notación de conjuntos

Donde y es el cardinal de S y A respectivamente.

Número de resultados favorables al evento A

P ANúmero de resultados posibles

N AP A

N S

N S N A

PROBABILIDAD: ENFOQUE AXIOMÁTICO

Una probabilidad P es una función que asigna a cada evento E de S un número real P(E) llamado PROBABILIDAD DEL EVENTO E tal que cumple los siguientes axiomas:

1. Axioma 1:

2. Axioma 2:

3. Axioma 3: Si es una sucesión de eventos disjuntos

entonces

P E 0

P S 1

iE

i i

i 1i 1

P E P E

E S

PROBABILIDAD

Ejemplo 1:

Se lanzan dos dados ¿Cuál es la probabilidad de que la suma

sea igual a 5?

A: La suma debe ser igual a 5

Ejemplo 2:

Se seleccionan dos empaques de una caja de cinco

empaques, los empaques 1, 2 y 3 están defectuosos.

A: Ningún empaque defectuoso

B: Dos empaques defectuosos

C: Un empaque defectuoso

4P A 0.1136

1P A 0.110

3P B 0.310

6P C 0.610

PROBABILIDAD

Ejemplo 3:

Se dispone de 7 hombres y 10 mujeres para seleccionar

un comité de 5 personas. La selección se realiza al azar.

¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté formado

por dos hombres y tres mujeres?.

Solución:

Sea el evento A: Comité esté formado por dos hombres y

tres mujeres.

Se requiere conocer el número de resultados totales, es

decir el número de elementos del espacio muestral y el

número de resultados a favor del evento A.

PROBABILIDAD: EJEMPLOS

Ejemplo 3: Solución

Para calcular el número de elementos del espacio muestral se

debe tomar en cuenta que se quiere seleccionar cinco personas

de un universo de diecisiete.

Para calcular el número de elementos para el evento A se debe

tomar en cuenta que se quiere seleccionar dos hombres de un

total de siete y tres mujeres de un total de 10.

La probabilidad de A:

17 17!6,188

5 5!x2!

2,520

P A 0.40726,188

7 10 7! 10!x 2,520

2 3 2!x5! 3!x7!

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

Para todo evento A:

Sea el complemento de A, entonces:

La probabilidad del evento imposible:

Para dos eventos A y B cualquiera, se tiene:

Si son N eventos incompatibles, entonces:

A P A 1 P A

P A B P A P B P A B

0 P A 1

1 2 NA , A , ... A

N N

i i

i 1i 1

P A P A

P 0

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD: EJEMPLO

Un sistema contiene dos componentes A y B y se conecta de

manera que funciona si cualquiera de las dos componentes

funciona. Se sabe que la probabilidad de que A funcione es

0.9 y la de B es 0.8 y la probabilidad de que ambos

funcionen es 0.72. Determinar la probabilidad de que el

sistema funcione.

La probabilidad de que el sistema funcione es igual a la

probabilidad de la unión de A y B, por tanto

P A B 0.9 0.8 0.72 0.98