UNIVERSIDAD SALESIANA

DE BOLIVIA

CONTADURIA PÚBLICA

DOSSIER

CALCULO I

DOCENTE: Ing. Claudia Llanos Vidaurre

II - 2012

INDICE

Identificación de la materia …………………………………………. 2 Objetivos de la asignatura ………………………………………… 3 Contenidos Mínimos ………………………………………… 4 Números Reales …………………………………………… 7 Inecuaciones …………………………………………. 17 Funciones …………………………………………. 22 Límites …………………………………………. 35 Derivadas y Aplicaciones ………………………………………… 48 Integrales ………………………………………….. 60 Aplicaciones ………………………………………….. 65

CAPITULO I : NUMEROS REALES OBJETIVO.- Dar a conocer al aluno el campo de los números reales, con lo que se va a trabajar en calculo I. 1. El Sistema de los números reales. El conjunto de los números reales simbolizados por IR, comprende a los números racionales (Q) e irracionales (Q’), por tanto incluye a los positivos IR; negativos IR- el cero (0), enteros (Z), Fraccionarios (Z’) naturales(N). El cálculo I, opera con los números reales, de amanera que todos los análisis a realizar se efectuarán con esta clase de números.

2. Propiedades de los IR Son los siguientes: Si a, b, c, ε IR A1 : a + b = b + a A2 : a + (b+c) = (a+b)+c A3 : a + 0 = a A4 : a + (-a) = 0 A5 : a.b = b.a A6 : a(b.c) = (a.b).c A7 : a.1 = a A8 : a(a

-1) = 1 A9 : a (b+c) = ab+ac A10 : a > 0 , b > 0 => a + b > 0 A > 0 , b > 0 => a.b > 0 A 11 : a es positivo (a > 0) a es cero (a = 0) Ley de tricotomía a no es positivo (a < 0)

Ejemplos: Demostrar los siguientes teoremas de los números reales. 1) Si a + c = b + c => a = b Demostración: a + c = b 6 c Partiendo de la proposición original (-c) = (-c) Existencia del opuesto. (a + c) + (-c) = (b+c) + (-c) Sumando ambos miembros de la igualdad. a + [c+(-c)] = b + [c+(-c)] Asociatividad de la suma

a + 0 = b + 0 Existencia del opuesto a = b (Existencia del neutro aditivo)

l.q.q.d 2) Demostrar : a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc , ∀a,b,c ε IR

(a-b)2 > 0 => a2 – 2ab + b2 ≥ 0 => a2 + b2 ≥ 2ab (a-c)2 ≥ 0 => a2 – 2ac + c2 ≥ 0 => a2 + c2 ≥ 2ac (b-c)2 ≥ 0 => b2 – 2ac + c2 ≥ 0 => b2 + c2 ≥ 2bc 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab+2ac+2bc/2 a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc.

l.q.q.d. PRACTICA 1) Demostrar : a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc. ∀ a, b, c ε IR 2) Demostrar : a2 + b2 = 1; c2 + d2 = 1 => ac + bd ≤ 1 3) Demostrar : (a+b) (b+c) (a+c) ≥ 8 abc Siendo a, b y c números positivos todos distintos.

4) Si a y b son números positivos distintos, demostrar que:

b

1

a

1

a

b

b

a2

+>+

1. INECUACIONES Son ecuaciones que en lugar de un signo de igualdad, posee signos de desigualdad. El procedimiento de resolución de inecuaciones, en general sigue los mismos pasos de las ecuaciones, la solución de una inecuación es uno o varios intervalos de números reales. Las inecuaciones se clasifican en: a) Inecuaciones lineales. b) Inecuaciones cuadráticas, y grado mayor. a) INECUACIONES LINEALES Son aquellas que poseen incógnitas lineales (de grado 1). Para resolver inecuaciones lineales, se aplican reglas equivalentes a las ecuaciones lineales, (se debe tomar en cuenta que al multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad se invierte. Ejemplo: 7 + 3x ≤ 4x + 5

3x – 4x ≤ 5 – 7 -x ≤ -2 (-1)

x ≥ 2 c) INECUACIONES CUADRÁTICAS.- Son aquellas que poseen incógnitas de grado 2, las inecuaciones de grado mayor o superior poseen incognitas de grado mayor a dos.

Ejemplos: 1) x2 + 8 < 6x 2) 3x2 – 19x + 6 ≥ 0 Pueden resolverse por los siguientes métodos: - Regla de los signos. - Análisis de posibilidades 1. Regla de los signos: El método de las regla de los signos para resolver inecuaciones, requiere de los siguientes pasos: - Consiste en referir la inecuación a cero. - Se factoriza la inecuación, hallando así sus raíces. - Las raíces se ubican en la recta real, dividiéndola en varios intervalos. - Se toma un valor cualquiera, interior a un intervalo, para reemplazar en la inecuación, de acuerdo a la proposición así obtenida.

- La regla de los signos, dice que a un intérvalo de solución le sigue otro de no solución y así alternadamente.

Inecuaciones Algebraicas Las inecuaciones algebraicas son inecuaciones de expresiones algebraicas, donde la incógnita puede tener potencias negativas o fraccionarias. Las inecuaciones trascendentes, son inecuaciones con expresiones trascendentes. Ejemplo:

1) 87x

12)20x

2

1x3 <

−≥++

VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real, se denota y define del siguiente cuadro:

<−

=

>

=

0x,x

0x,0

0x,x

x

note que el efecto del valor absoluto es el de convertir a todo número real en positivo. Ejemplo: |-5| = 5 |5| = 5 TEOREMAS DEL VALOR ABSOLUTO de acuerdo a la definición del valor absoluto, se cumplen los siguientes teoremas:

T1 : |a+b| ≤ |a| + |b| T6 : b

a

b

a=

T2 : |a+b| ≥ |a| - |b| T7 : nn aa =

T3 : |a-b| ≥ |a| - |b| T8 : abba −=−

T4 : |a-b| ≤ |a| + |b| T9 : axaax <<−=><

T5 :|a.b| = |a| |b| T10 : <−<<∞−=>> xax

a < x < ∞

INECUACIONES EN VALOR ABSOLUTO Las inecuaciones en valor absoluto, son inecuaciones que contienen a la incógnita, afectada por el valor absoluto. Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de inecuaciones (regla de los signos). Se aplican los teoremas:

T9: Si ∞<<−<−∞<<−=>

><

)x(Pa,a)x(Pa)x(Pa

a)x(PTa)x(P 10

PRACTICA Resolver las inecuaciones finales:

a) 29x.Rpta20

x7

5

1

20

x

10

7

5

x3>+>−−

b) 5

17x.Rpta

3

2

12

5

2

xx4

3

7

3

x21

8

5)2x6( <

−+<

−−−

c) ( )6

51x2

2

x

5

4

3

x2

2

3

2

5x −−<−+

−

d) 3

1x5

10

13x3

4

1x5 +>

−−

−

e) 13

x2

5

1x2>−

+

f) 5

)1x(39

2

1x53

+<

+

Un matrimonio dispone de 320 Bs. Para ir al cine con sus hijos. Si toman entradas de 50 Bs. Les falta dinero y si toman de 40 Bs, les sobra dinero. ¿Cuántos son los hijos?. Un comerciante adquirió un cierto número de especies de las que vendió 70 y le quedaron más de la mitad. Al día siguiente le devolvieron seis, pero logró vender 36, después de lo cual le quedan menos de 42. ¿Cuántas especies formaban el lote?.

CAPITULO II: FUNCIONES Antes de definir a las funciones, es preciso definir los siguientes conceptos: 1. Par ordenado

Es una pareja de elementos que guardan un orden determinado Si: (a,b) = (x,y) => a=x b=y Donde: x: primer componente y: segundo componente.

2. Producto Cartesiano El producto cartesiano AxB de los conjuntos A,B, es el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) donde aεA, bεB. Simbólicamente se tiene: AxB={(a,b)/aε A, bεB}

2. Plano Coordenado Es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales conteniendo infinitos números de pares ordenados.

Función Definición: es un Conjunto de pares ordenados (x,y) entre los cuales no existen dos pares, con el mismo primer componente, uno de los más importantes conceptos de las matemáticas se refiere a un tipo especial de relaciones entre elementos de dos conjuntos A y B, llamadas funciones de A en B. Una función expresa la idea de una cantidad que depende de otra, o que está determinada por ésta. Por ejemplo, el área de un círculo depende de la medida de su radio; si se conoce la medida de la longitud del radio, su área está completamente determinada. Así, se dice que el área de un círculo es una función de la longitud de su radio. Ejemplos: 1. f: {(a,x), (b,y3), (c,z)} 2. f: {(2,7), (3,5) ,(1,4), (4,6)} 3. f: (1,2), (3,8), (1,4), (6,9) no es función

DOMINIO Y CODOMINIO DE UNA FUNCIÓN Dominio: es el conjunto de los primeros componentes de pares ordenados de una función. Se simboliza Df. En general se halla ubicando el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar en forma general, son todos los valores que puede tomar en variable y. Ejemplo: F: {(a,z),(b2y),(c,x),(d,w),(e,u)} D: {a,b,c,d,e} cf: {x,y,x,w,y} GRAFICA DE UNA FUNCIÓN Definición: Si f es una función real de una variable real, se llama de gráfica de f al conjunto de pares ordenados de f, cuando se le considera como un conjunto de puntos del plano IR2 = IR x IR, la variable x es representada en el eje x (eje de laos abcisas) mientras que la variable dependiente y =f(x), está representada en el eje y (eje de ordenadas). Para graficar cualquier tipo de función, se asignan valores arbitrarios al a variable independiente x, para así obtener valores en Y. Ejemplo 1. f(x) = 3x – 1 Asignando Valores se obtiene una recta. 2. f(x) = (x-3)2+2 Asignando valores se obtiene una parábola. TIPOS DE FUNCIONES 1. FUNCIONES INYECTIVAS: Las funciones inyectivas ó univalentes, son aquellas en que todo segundo componente del par ordenado (x,y) es correspondencia de un sólo segundo componente, simbólicamente se expresa como_ Si f(x1) = f(x2) => x, = x2 Esquemáticamente por diagrama de VENN, se pueden determinar una relación de uno a uno, es decir a un elemento del dominio le corresponde sólo uno del codominio. No afecta al carácter de función inyectiva, el que algún elemento del codominio no participe de la relación.

2. FUNCIONES SURYECTIVAS (SOBREYECTIVAS9 Son aquellas donde el segundo componente del par ordenado (x,y) es cualquier número real (cfε IR) Simbólicamente Si y = f(x) ; y ε IR

Esquemáticamente por diagrama de VENN se observa la participación de una relación, de todos los elementos del codominio. No afecta al carácter de función suryectiva, el que algún elemento del codominio, sea correspondencia de varios elementos del codominio. Ejemplo: f(x) = 2x + .

3. FUNCIONES BIYECTIVAS Las funciones Biyectivas son aquellas que a la vez son inyectivas y suryectivas. Ejemplo: f(x) = 3x-2 es Biyectiva. F(x) = 4 x2 La Función no es Biyectiva ¿porque? PRACTICA

1. Hallar el valor de K para que la relación: F = { (4,k),(2,5k),(7,2k2+1),(4,2k-1)} Sea una función. Hallar el Cf.

2. Dado el conjunto de Pares ordenados: f = {(5,7),(-1,a+b),(a2-b, 2ª-a2),(5,a-2b),(-1,-2)} Calcular los valores de a y b para que f sea una función determinar f, Df, Cf

3. Graficar las funciones a) f(x) = 7x-2 b) f(x) = (x-3)2 +1 c) f(x) = (x-2)2 –1

4. Hallar los Dominios y Codominios de las siguientes funciones a) y= x2 – 2x+5

b) y=5x6x

12

+−

5. Indicar si las funciones son INYECTIVAS, SURYECTIVAS, BIYECTIVAS. a) f = 2x+1 b) f=x3 –3x

c) f=x2 +1

DIF – 01 En Base a los axiomas del sistema de los números reales deduciremos algunas propiedades importantes de los números reales, y esta nos servirá para sus posteriores demostraciones. Plantearemos a continuación un ejercicio de razonamiento.- Para su discusión: 1. Encontrar el error en el siguiente razonamiento: a) Sean a = 3 b = 5 es decir a<b b) multiplicando por a a2<ab c) restando b2 a2 – b2 < ab-b2 d) descomponiendo en factores (a+b)(a-b) < b(a-b) e) dividiendo por (a-b) a+b<b f) Sustituyendo los valores 8<5? A = 3 b=5 ¿Porque?

CAPITULO III : LIMITES

3. CALCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES

Cálculo del límite de funciones polinómicas

Una función polinómica es una función del tipo:

f(x) = a0 + a1.x + a2.x² + ... + an.xn

Para estudiar el cálculo de su límite, se distinguirán dos casos:

A. Límite de una función polinómica en el punto x0 finito

El límite de una función polinómica en un punto x0 es igual al valor que toma la función en ese punto:

Límite de una función polinómica en el infinito

El límite de una función polinómica en el infinito es + ó -,dependiendo de que el coeficiente del término de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo:

a0 + a1.x + a2.x² + ... + an.xn = + ; si an es positivo.

a0 + a1.x + a2.x² + ... + an.xn = -; si an es negativo.

Ejercicio: cálculo de límites de funciones polinómicas

1) Calcular 4.x3 - 3.x - 2

Resolución:

(4.x3 - 3.x - 2) = 4.(-1)3 - 3.(-1) - 2 = -4 + 3 - 2 = -3

2) 3 + x² - 4.x5 y 8.x3/3 + 5.x/2 - 6

Resolución:

3 + x² - 4.x5 = - ya que el coeficiente del término de mayor grado es -4.

8.x3/3 + 5.x/2 - 6 = + puesto que el coeficiente del término de mayor grado, 8/3, es positivo.

Cálculo de límites de funciones racionales

Una función racional es una función del tipo f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos:

A. Límite de una función racional en el punto x0 finito

Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones:

P(x)/Q(x) = P(x)/ Q(x)

Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior.

Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones.

A.1. El límite del denominador es distinto de cero: Q(x) 0

Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente.

A.2. El límite del denominador es cero: Q(x) = 0

Si el denominador se anula en x0,puede ocurrir que el numerador también se anule en x0, o que el numerador no se anule en x0.

A.2.1. El límite del numerador también es cero: Q(x) = 0 y P(x) = 0

En este caso se obtiene el resultado 0 / 0, que es una indeterminación.

Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x0) = 0 y P(x0) = 0, x0 es raíz de los polinomios P(x) y Q(x), y por tanto el cociente P(x) / Q(x) se puede simplificar.

Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P(x) y Q(x) entre x - x0 ó bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados.

A.2.2. El límite del numerador no es cero.

El límite del cociente da como resultado la indeterminación P(x)/0

Para resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la función f(x) = P(x) / Q(x), en el punto x0.

Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite.

Ejercicio: cálculo de límites de funciones racionales (x * x0)

1) Calcular el límite de la función f(x) = (2.x3 - 1)/(3.x² + 4), cuando x 1

Resolución:

(2.x3 - 1)/(3.x² + 4) = (2.x3 - 1)/ (3.x² + 4) = 1/7 2) Calcular el límite de la función g(x) = (x3 - 2.x² - 6.x + 12)/(x² + 3.x - 10), cuando x 2

Resolución:

(x3 - 2.x² - 6.x + 12)/(x² + 3.x - 10) = (x3 - 2.x² - 6.x + 12)/ (x² + 3.x - 10) = (23 - 2.2² - 6.2 + 12)/(2² + 3.2 - 10) = 0/0

Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios P(x) = x³ - 2x² - 6x +12 y

Q(x) = x² + 3x -10.

- Descomposición factorial de P(x):

P(x) = x³ - 2.x² - 6.x + 12 = (x - 2).(x² - 6)

- Descomposición factorial de Q(x):

P(x) = x² + 3.x - 10 = (x - 2).(x + 5)

- El límite del cociente P(x)/Q(x) es:

(x3 - 2.x² - 6.x + 12)/(x² + 3.x - 10) = [(x - 2).(x² - 6)]/[(x - 2).(x + 5)] = (x² - 6)/(x + 5) = -2/7

3) Calcular el límite de la función f(x) = (3.x² - 4.x)/x, cuando x 0

Resolución:

(3.x² - 4.x)/x = (3.x² - 4.x)/ x = 0/0, indeterminación.

- Se simplifican numerador y denominador:

(3.x² - 4.x)/x = x.(3.x - 4)/x = (3.x - 4) = -4

4) Calcular 1/(x - 3)²

Resolución:

1/(x - 3)² = 1/ (x - 3)² = 1/0, indeterminación.

- Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el punto x0 = 3.

1/(x - 3)² = 1/ (x - 3)² = 1/0 = +

1/(x - 3)² = 1/ (x - 3)² = 1/0 = +

Como los límites laterales coinciden, 1/(x - 3)² = + Calcular el límite de la función f(x) = 1 / (x - 1), cuando x 1.

Resolución:

1 / (x - 1) = 1 / (x - 1) = 1/0, indeterminación.

- Se estudian los límites laterales:

1/(x - 1) = 1/ (x - 1) = 1/0 = +

1/(x - 1) = 1/ (x - 1) = 1/0 = -

Como los dos límites laterales no coinciden, la función f(x) = 1/(x - 1) no tiene límite cuando x tiende a 1.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

1. Tasa de variación. Tasa de variación media. Tasa de variación instantánea.

Consideremos una función y=f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y

"a+h", siendo "h" un número real.

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], y se representa por (léase

incremento de y) a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisa a y a+h,

o sea:

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por al cociente

entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abcisas h, esto es:

Se llama tasa de variación instantánea (T.V.I.) en el punto "a", al límite, cuando h tiende a cero de la

T.V.M., esto es:

En ocasiones estas tasas de variación pueden representarse usando otra nomenclatura, llamando:

b = a+h, lo cual implica que h=b-a, queda:

En el siguiente dibujo puede entenderse el significado geométrico de estos tres conceptos:

La tasa de variación es, por definición, el segmento CB o diferencia entre las ordenadas

correspondientes a los extremos del intervalo.

En el triángulo rectángulo ACB, la tasa de variación media es:

siendo el ángulo que forma la recta secante a la curva por los puntos A y B con la horizontal.

Cuando , entonces y la recta secante por A y B tiende a convertirse en la recta

tangente a la curva por el punto A. La T.V.I. será, pues, la tangente trigonométrica del ángulo que

forma la recta tangente a la curva en el punto A con la horizontal, o mejor aún, la pendiente de la

recta tangente a la curva en el punto A.

Veamos en algunos ejemplos como calcular estas magnitudes:

Dada la función , calcular T.V., T.V.M. en el intervalo [-1, 3]. Y la T.V.I.

en el punto x=-1

Se tendrá, teniendo en cuenta que h=3-(-1)=4, que:

Calcular la tasa de variación instantánea de en el punto x=2

Será:

2. Derivada de una función en un punto. Función derivada.

Siendo la primera y la segunda formas de notación las que utilizaremos con preferencia, en especial la

primera. La tercera forma A la tasa de variación instantánea en un punto a, definida en el apartado

anterior, se la llama también y con mayor frecuencia, derivada de la función f(x) en el punto "a" . La

derivada en un punto se denota de las siguientes formas:

de notación, llamada notación diferencial (se lee diferencial de f con relación a x en el punto a), se

usará más adelante como introducción al cálculo integral.

Según lo dicho en el párrafo anterior, podemos poner para la derivada de f(x) en el punto "a":

con "b" el extremo superior de [a, b]

Si dada una función y=f(x) calculamos la derivada de ella en cada uno de los puntos de su dominio,

obtenemos una nueva función que hace corresponder a cada punto del dominio de f(x) el valor de su

derivada en él, esta función se representa por f'(x) y se define así:

Con esta definición, calcularemos en apartados siguientes las derivadas de las funciones elementales

para elaborar con ellas una tabla de derivadas que el alumno deberá memorizar.

Como anticipo veamos el siguiente ejemplo:

Calcular la función derivada de

Tenemos:

Que es la función derivada pedida.

3. Interpretación geométrica y física de la derivada.

Insistimos en lo ya afirmado de que la derivada de una función en un punto representa la

pendiente de la recta tangente a la curva en el mencionado punto.

Esto constituye su interpretación geométrica.

La aplicación de esta interpretación geométrica es la posibilidad de encontrar con facilidad las

ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva de ecuación y=f(x) en un punto de su gráfica

de abcisa x=a. Veamos cómo hacerlo.

a. Recta tangente:

Supongamos que la recta tangente tiene la forma explícita a determinar:

Puesto que la pendiente "m" de dicha recta es, por definición, la derivada en el punto x=a, podemos

poner:

Pero la recta ha de pasar por el punto de coordenadas (a, f(a)) ó bien (a, b), llamado b=f(a), este punto

ha de satisfacer la ecuación anterior, esto es:

Y sustituyendo:

Que es la forma más sencilla de recordarla.

b. Recta normal:

Se defina la recta normal a una curva en un punto como la recta perpendicular a la recta tangente en

dicho punto. Recordando de la geometría analítica que las pendientes m y m' de dos rectas

perpendiculares han de cumplir:

Si tenemos en cuenta lo ya afirmado de que la pendiente m de la recta tangente a la curva en el punto

(a, b) es f'(a), quedará para la recta normal:

Veamos un ejemplo:

Calcular las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación y=2x2 en el punto

de abcisa x=-3.

Previamente calcularemos la derivada en ese punto:

Ahora calculamos la ordenada que en la curva le corresponde a x=-3:

Las rectas pedidas son:

Tangente:

Normal:

En el dibujo adjunto pueden verse en trazo grueso la curva dada y en trazos finos las rectas halladas:

Veamos ahora la interpretación física.

En Física suele representarse la ecuación del movimiento de un móvil mediante una función en la que

la variable dependiente es el espacio "e" y la independiente el tiempo "t", de manera que la función

adopta la forma e=f(t).

Si conocemos la ecuación de un movimiento a lo largo de un intervalo de tiempo podemos calcular,

usando las ideas anteriores, tanto su velocidad media (T.V.M.) en él como su velocidad instantánea en

un instante del recorrido, recordando que la velocidad de un móvil es la derivada del espacio con

relación al tiempo. Se tendrá:

Indicándonos la primera que si el móvil hubiera recorrido la distancia total siempre a la velocidad

indicada por vm, el tiempo total invertido hubiera sido el mismo que el real. La 2* nos da el valor de la

velocidad en un determinado momento (la que indica el velocímetro en ese instante).

Ejemplo:

Calcular las velocidades media, en el intervalo [4, 7], e instantánea ( en t=6 segundos) de un

móvil cuya ecuación de movimiento es , así como la distancia total recorrida en ese

intervalo temporal.

Será:

1. Reglas de derivación.

El cálculo de la derivada usando cada vez la definición dada es engorroso, por eso es conveniente

recordar unas reglas generales de derivación que nos faciliten el cálculo de derivadas, reglas que, por

otro lado surgen todas ellas de la definición. Cuando finalicemos este apartado, habremos elaborado

una tabla de derivadas de funciones elementales que el alumno deberá memorizar.

a. Derivada de la función constante:

Sea f(x) = k, su derivada será:

La derivada de una constante es nula.

b. Derivada de la función potencial:

Sea f(x) = ax3:

Obsérvese que en la derivada se ha multiplicado el coeficiente por el exponente y se ha reducido

éste en una unidad. Generalizando el proceso tendríamos para f(x) = axn el siguiente resultado:

c. Derivada de un radical:

Dado que un radical puede ponerse en forma de potencia de exponente fraccionario, la derivada de un

radical se reduce a la de una función potencial y tenemos:

En el caso particular de con n=1 y m=2 queda:

d. Derivada de la función logarítmica:

Sea la función

La derivada será:

En el caso particular del logaritmo neperiano , tenemos que a=e y que lne=1 con lo que

queda:

e. Regla de la cadena. Derivada de la función compuesta:

Consideremos la función , donde:

Y sean tales que , la derivada será:

Haciendo:

Y cuando h tiende a cero, también lo hace k ya que k=f(x+h)-f(x) y f(x) es continua. Tenemos, pues:

Esto es: la derivada de una función compuesta se obtiene derivando la segunda función (en el

orden en que actúan) con relación a la primera considerada como variable independiente

multiplicada por la derivada de la primera con relación a "x".

Ejemplo:

Derivar

Aquí:

Por tanto:

La igualdad demostrada anteriormente se conoce con el nombre de regla de la cadena y, escrita

usando la notación diferencial para las derivadas parece una identidad algebraica aunque no lo es:

que es generalizable a más de dos funciones compuestas.

f. Derivada logarítmica:

Usando los conocimientos adquiridos en los dos últimos apartados d) y e) y combinándolos, podemos

derivar fácilmente productos, cocientes o potencias de funciones.

Los pasos a seguir serán:

• Tomar logaritmos neperianos en la función dada.

• Derivar ambos miembros considerando que el primero es una función compuesta de "y" y del ln y por

tanto, según la regla de la cadena siempre quedará

• Despejar y'

• Escribir y en función de x

f.1) Derivada de un producto:

Sea la función . Aplicando la derivada logarítmica:

O en palabras: la derivada de un producto de funciones se obtiene sumando a la derivada de la

primera por la segunda, la primera por la derivada de la segunda.

f.2.) Derivada de un cociente:

Sea la función . Aplicando la derivada logarítmica será:

Y en palabras: la derivada de un cociente es igual a la derivada del primero por el segundo

menos el primero por la derivada del segundo partido todo por el segundo al cuadrado.

f.3) Derivada de la función exponencial:

Sea ahora la función . Tenemos por derivación logarítmica que:

En el caso particular en que a=e, se tendrá que lne=1 y queda:

siendo ésta la única función que coincide con su derivada.

Ejemplo1:

Derivar

Derivaremos como producto teniendo en cuenta que el segundo factor es una función compuesta:

Ejemplo 2:

Derivar

Derivaremos como cociente poniendo previamente el radical en forma de potencia:

Entonces:

a. Derivada de las funciones trigonométricas:

Sea la función . Aplicando la definición de derivada:

Y transformando en producto el numerador (véase trigonometría):

Veamos que este último límite es la unidad. En efecto, recordando el significado geométrico del seno

y la tangente sobre la circunferencia goniométrica y contemplando la siguiente figura, podemos

poner:

Dividiendo todos los miembros de la desigualdad anterior por , tenemos:

Y tomando límites cuando

Si el límite anterior está comprendido entre 1 y 1 es porque su valor es la unidad (regla del sandwich).

Por tanto, cuando el valor del ángulo tiende a cero, el cociente entre el seno y el ángulo tiende a uno

(se dice que el seno y el ángulo son infinitésimos equivalentes).

Volviendo a nuestro cálculo de la derivada, vemos, aplicando lo anterior que:

Y queda entonces:

La derivada del seno es el coseno.

Calculemos ahora la derivada del coseno, es decir de . Por trigonometría sabemos que

el coseno de un ángulo es igual al seno de su complementario, es decir:

Y derivando esta última como una función compuesta:

La derivada del coseno es menos el seno.

Veamos la derivada de la tangente, ahora :

Como:

podemos derivar como un cociente para obtener:

La derivada de la tangente es la inversa del coseno al cuadrado o también uno más la tangente

al cuadrado.

Las otras tres funciones trigonométricas se pueden derivar considerando que son recíprocas de las tres

anteriores y utilizando la regla del cociente:

Ejemplo:

Derivar

Por la regla de la cadena para tres funciones compuestas:

b. Derivada de la función inversa:

Se nos plantea ahora la situación de tener que derivar la función conociendo la derivada de

.

Existe un Teorema que afirma que "Si f(x) es derivable en x con y admite inversa f-1(x),

entonces existe la derivada de f-1(x) en y=f(x) y se cumple que "

Aunque la demostración rigurosa del mismo no es propia de este curso, utilizaremos este Teorema

para calcular las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.

h.1) Derivada del arco seno:

Sea

Entonces

Y aplicando el Teorema:

h.2) Derivada del arco coseno:

Sea

Entonces

h.3) Derivada del arco tangente:

Sea

Entonces

Para finalizar este apartado, vamos a resumir en una tabla todas las reglas de derivación de funciones

elementales que sería conveniente fuese memorizada por el alumno:

Función Ecuación Derivada

Operaciones

• Suma y=f(x)+g(x) y'=f'(x)+g'(x)

• Resta y=f(x)-g(x) y'=f'(x)-g(x)

• Producto por una

constante

y=kf(x) y'=kf'(x)

• Producto y=f(x)g(x) Y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

• Cociente

• Regla de la cadena

Potenciales

• Constante y=k y'=0

• Identidad y=x y'=1

• Monomio y=axn y'=naxn-1

• Polinomio y=anxn+an-1x

n-

1+...+a1x+a0

y'=nanxn-1+(n-1)an-1x

n-

2+...+a1

• Raíz cuadrada

• Raíz n-ésima

Exponenciales

• De base a y=ax Y'=axlna

• De base e y=ex Y'=ex

Logarítmicas

• De base a y=logax

• De base e y=lnx

Trigonométricas

• Seno y= sen x Y'= cos x

• Coseno y= cos x Y'= -senx

• Tangente y= tg x

Trigonométricas

inversas

• Arco seno y= arcsen x

• Arco coseno y= arccosx

• Arco tangente y= arctg x

1. Continuidad y derivabilidad.

Relacionando los aspectos tratados hasta el momento con los conceptos sobre continuidad del tema

anterior, podemos extraer las siguientes conclusiones de gran interés:

• Si una función es derivable en un punto, ha de ser continua en él. En efecto:

Si f(x) es derivable en x=a, se tiene que existe:

Donde el límite anterior se diferencia de la fracción en un infinitésimo (una función cuyo límite

cuando h tiende a cero es cero, o sea:

Despejando el numerador y calculando el límite en h tiende a cero:

Y de ahí:

Y haciendo:

a+h=x, lo que implica que si h tiende a cero, x tiende a "a", queda:

Que es la definición de continuidad en un punto.

• Una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en él, en efecto:

Sea la función:

Que es equivalente a:

Esta función es continua en x=4 ya que los límites laterales son:

que coinciden

Además está definida en x=-4 tomando el valor f(-4)=0, luego:

estado probada la continuidad.

La función, sin embargo, no es derivable en x=-4 ya que las derivadas laterales no coinciden, en

efecto:

La gráfica es:

Se dice que en el punto x=-4 hay un punto anguloso.

Con este contraejemplo queda probado que continuidad no implica derivabilidad pero

derivabilidad sí que implica continuidad

El Teorema contrarecíproco también es cierto, esto es:

Si una función no es continua en un punto no puede ser derivable en él.

Ejemplo:

Estudia la derivabilidad y continuidad de la función definida a trozos:

Dado que los tres trozos son funciones continuas para todo valor real, estudiaremos únicamente los

puntos de corte.

Se tiene:

Los límites laterales son en x=0:

no existe límite en x=0, la función presenta en él una discontinuidad de salto finito.

En x=3:

no existe límite en x=3 presentando en él una discontinuidad de salto finito.

Como la función no es continua en x=0 ni en x=3 no puede ser derivable en esos puntos. En los

restantes, la función derivada es:

Siendo la gráfica:

1. Derivadas sucesivas.

De forma análoga a como hemos definido la función derivada, se podría reiterar el proceso siempre

que f'(x) fuese nuevamente derivable y obtener así las derivadas segunda, tercera, etc. que

denotaremos por f''(x), f'''(x), fIV(x), etc.

Así sería, por un proceso inductivo

En ocasiones pude llegarse a una fórmula general que exprese, en función de "n" la derivada de

cualquier orden, pero ello no siempre es posible.

Ejemplo:

Calcular las derivadas sucesivas de :

Será, por aplicación de las reglas de derivación (concretamente la regla del cociente):

2. Monotonía de una función. Puntos críticos.

Se dice que una función y=f(x) es monótona creciente si se cumple que:

Es decir, al aumentar el valor de la abcisa, aumenta el valor de la función o permanece igual.

Se dice que es monótona decreciente si se cumple:

Al aumentar el valor de la abcisa disminuye, o permanece igual, el valor de la función.

Si es las desigualdades anteriores no existe posibilidad del signo igual, esto es:

Se dice, respectivamente, que la función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Las siguientes gráficas muestran el aspecto que presentan una función estrictamente creciente y otra

estrictamente decreciente respectivamente:

Vamos a demostrar que, si la función y=f(x) es derivable en un punto, si su derivada es positiva, la

función será creciente en él y que si la derivada es negativa será decreciente en él:

En efecto:

Tomado un punto "a" sobre el eje de abcisas y un número real "h" positivo, la derivada en el punto "a"

será, por definición:

Llamando a+h=b, de donde h=b-a, y si "h" tiende a cero, entonces "b" tiende a "a" y queda:

Pero como "h" es positivo entonces a<b y entonces, por ser monótona creciente y la

fracción anterior es entonces positiva al ser el cociente de dos valores positivos, esto es:

Y tomando límites cuando b tiende a "a" y teniendo en cuenta que el signo de la fracción anterior y el

del límite serán iguales en un entorno del punto "a", se tiene que:

Análogamente se demuestra que si la función es derivable y decreciente en un punto "a":

Ahora nos preguntamos: ?Qué ocurrirá entonces si f'(a)=0?. Pues, bien, entonces, en el opunto "a" la

función pasa de crecer a decrecer o al contrario. Se dice que "a" es un punto crítico.

Si en el punto crítico la función pasa de ser creciente a ser decreciente se dice que en él hay un

mínimo relativo. Si pasa de decreciente a creciente hay un mínimo relativo.

En los puntos críticos, la recta tangente a la curva es horizontal ya que según la interpretación

geométrica de la derivada si ésta es nula, su pendiente también lo es y la recta forma ángulo nulo con

el sentido positivo del eje X, o sea, es horizontal.

¿Cómo determinamos los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función y sus puntos

críticos?

Hay dos formas;

a. Usando sólo la derivada primera:

• Averiguamos los puntos que no pertenecen al dominio.

• Calculamos la derivada y vemos qué valores la anulan (puntos críticos).

• Dividimos el eje real en varios intervalos que tengan por extremos tanto los puntos críticos como los

valores en los que la función no está definida.

• Estudiamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos (podemos por ejemplo tomar un

punto arbitrario de cada uno de ellos porque entre dos puntos críticos el signo de la derivada no

cambia.

• En los puntos donde la función pase de creciente a decreciente y pertenezcan al dominio, la función

tendrá un mínimo relativo.

• En los puntos donde pase de decreciente a creciente y pertenezcan al dominio, la función tendrá un

máximo relativo.

Ejemplo:

Estudiar la monotonía de la función

El dominio es todo R al tratarse de un polinomio.

Derivemos e igualemos a cero para obtener los puntos críticos:

Hay, pues tres puntos críticos, el eje real quedará dividido así:

A la izquierda de -1, por ejemplo tomamos x=-2 y vemos que:

la función decrece.

Entre -1 y 0 tomamos x=-1/2

crece

Entre 0 y 1 tomamos x=1/2:

decrece

A la derecha del 1 tomamos x=2:

crece.

En el gráfico representamos el crecimiento por una flecha ascendente y el decrecimiento por una

descendente y tenemos:

Decimos pues:

La función es creciente en

Es decreciente en

Presenta un máximo relativo en x=0

Presenta dos mínimos relativos en x=-1 y en x=1

La gráfica es :

a. Usando la derivada segunda:

Se cumple que:

Ya que si f'' es positiva, f' es creciente y, como se anula en x=a, en ese punto ha de pasar de negativa a

positiva, por tanto, a la izquierda de a f será decreciente y a la derecha creciente. En a hay pues un

mínimo relativo.

Si f'' es negativa, f' es decreciente y, como se anula en x=a, es ese punto pasa de ser positiva a ser

negativa, por tanto, a la izquierda de a f será creciente y a la derecha decreciente. En a hay pues un

máximo relativo.

Ejemplo:

Estudiar la monotonía de en el primer giro

Derivemos dos veces:

Calculamos los puntos críticos que anulan f'(x) en el primer giro:

Veamos el signo de f''(x) en esos puntos:

En hay un máximo relativo

En hay un mínimo relativo.

La función crece en

Decrece en

1. Curvatura. Puntos de inflexión.

Se dice que una función es convexa en un punto, vista desde el sentido positivo del eje Y , si la

tangente a la curva en dicho punto está por encima de la curva.

Se dice que es cóncava en un punto, vista desde el mismo sentido que antes, si la tangente a la curva

en dicho punto está por debajo de la curva.

Gráficamente:

En x=a la función es cóncava, pues la tangente está por debajo de la curva.

En x=b la función es convexa, pues la tangente está por encima de la curva.

Decir que la gráfica está por encima de la tangente (cóncava) es como decir que:

Decir que está por debajo (convexa) es como decir que:

Si la función es cóncava, las pendientes de las tangentes van creciendo, entonces f'(x) es creciente y

por tanto f''(x) es positiva.

Si es convexa las pendientes de las tangentes van decreciendo, entonces f'(x) es decreciente y por

tanto f''(x) es negativa.

En los puntos donde la curva pasa de ser cóncava a convexa o al contrario, se dice que hay punto de

inflexión. Estos puntos de inflexión pueden ser cóncavo-convexos o convexo-cóncavos según el

cambio de curvatura que se produzca en ellos.

Para estudiar la curvatura de una función procederemos así:

• Determinamos los puntos que no pertenecen al dominio.

• Determinamos los puntos que anulan la segunda derivada (posibles puntos de inflexión).

• Dividiremos el eje real en los intervalos cuyos extremos sena los puntos anteriores.

• Estudiaremos el signo de f''(x) es cada intervalo tomando un número arbitrario de cada uno de ellos.

Ejemplo:

Estudiar la curvatura y la monotonía de la función

El dominio es

Derivando para obtener los puntos críticos:

absurdo

No hay puntos críticos, la función siempre crece o siempre decrece en todo su dominio. Como el

denominador de f'(x) es siempre positivo y el numerador es negativo, diremos que la función crece en

y carece de máximos o mínimos.

Derivando de nuevo:

absurdo. No hay puntos de inflexión.

Veamos la curvatura:

A la izquierda de x=1, por ejemplo en x=0 se tiene:

Convexa

A la derecha de x=1 por ejemplo en x=2

Cóncava.

Tenemos:

Siendo la función convexa en y cóncava en no existiendo puntos de inflexión pues en

x=1 no está definida.

La gráfica de la función es:

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A OTRAS DISCIPLINAS

El cálculo de derivadas tiene multitud de aplicaciones en otros campos de la ciencia fuera de las

Matemáticas propiamente dichas. Sin pretender ser exhaustivos, veamos algunos:

a. Al cálculo de valores aproximados:

Vamos a introducir el concepto de diferencial de una función.

De la definición de derivada en el punto a:

Ignorando el límite, se puede considerar que:

Al producto de la derivada de la función en un punto por h se le llama diferencial de la función en ese

punto.

Llamando a la T.V. dy (se lee diferencial de y) y a "h" dx (se lee diferencial de x), tenemos:

Expresión de donde surge la notación diferencial para la derivada de la que ya hablamos en otro

momento.

La diferencial nos da una aproximación del valor de la función en un punto próximo a "a" (a+h)

medido, no hasta la curva sino hasta la tangente a la misma en ese punto. Veamos en gráfico

siguiente:

En él:

En esta última expresión podemos calcular fácilmente dy para aproximar f(a+h) cometiendo un error

BC que será más pequeño cuanto más pequeño sea "h".

Ejemplo:

Calcular, usando la aproximación por la diferencial y estimar el error cometido.

Tomando la función y tomando para "a" el valor más próximo a 31 que tenga raíz cúbica

exacta (a=27), tenemos:

El valor exacto de la raíz cúbica de 31 con la calculadora es 3,141 (redondeando hasta las milésimas).

Siendo el error cometido de 0,007 lo que supone un 0,22 %.

b. A LA FÍSICA:

En Física se define:

• La velocidad como la derivada del espacio con relación al tiempo (v=e'(t)).

• La aceleración como la derivada de la velocidad con relación al tiempo, o lo que eslo mismo, la

derivada segunda del espacio con relación al tiempo (a=v'(t)=e''(t)).

Con estas definiciones estamos en condiciones de resolver problemas como el siguiente:

Ejemplo:

Un móvil recorre una circunferencia centrada en el origen de radio r=1 m con una frecuencia

angular de .Y su proyección sobre el eje de abscisas realiza un movimiento

vibratorio armónico simple, siendo en cada instante la distancia respecto al origen dada por la

ecuación . Determinar su distancia al origen, la velocidad y la aceleración en el

instante t=2 segundos. Representar gráficamente, sobre los mismos ejes las funciones espacio,

velocidad y aceleración

Será:

Donde para t= 2 segundos, r= 1 metro y segundos queda:

Siendo la gráfica de las tres funciones:

Donde en el eje de abcisas está representado el tiempo en segundos y la escala del eje de ordenadas está en

metros para la línea negra de trazo fino (espacio), en m/s. Para la línea azul (velocidad) y en m/s2 para la

línea negra gruesa (aceleración).

c) A LA ECONOMÍA:

Las acciones de una determinada empresa varían con el tiempo (durante 3 días), según la

ecuación , siendo v(t) el valor en función del tiempo en miles de ptas.. y t el

tiempo en días. Determinar en qué instantes el valor es máximo (?A cuánto asciende?) y en qué

instantes el valor es nulo ?En qué intervalo de tiempo el valor crece? ?En cuál decrece?

Derivando con relación al tiempo dos veces:

Los puntos críticos salen de:

Para ese valor la segunda derivada es negativa pues es constantemente -2, luego en él hay un máximo.

La función crece (las acciones aumentan de valor) en y decrece (disminuyen de valor en

La máxima cotización será de:

La gráfica ptas.-tiempo de evolución del valor de las acciones será:

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.

Se llaman problemas de optimización a aquéllos en los que se trata de hacer máxima o mínima una

función.

La resolución de estos problemas se realiza según el siguiente proceso:

• Determinamos las incógnitas y, si procede hacemos un dibujo o gráfico.

• Escribimos la función a optimizar (maximizar o minimizar).

• Caso de tener la función más de una variable, hemos de dejar sólo una para ello haremos uso de las

condiciones del problema.

• Derivamos la función para determinar los puntos críticos.

• Calculamos la derivada segunda para ver si los puntos críticos obtenidos son máximos o mínimos.

• Discutimos los resultados obtenidos para eliminar aquéllos que no sean posibles o sean absurdos.

En estos problemas se hace uso frecuente de fórmulas de la geometría del plano o del espacio. A

continuación presentamos una tabla con las más usuales.

PLANO

Nombre Perímetro Área

Triángulo P=a+b+c

Cuadrado P=4a

Rectángulo P=2a+2b

Rombo P=4a

Romboide P=2a+2b

Trapecio P=b+B+c+d

Polígono regular P=na

Circunferencia y

círculo

Arco y sector

circular

ESPACIO

Nombre Área/as Volumen

Prismas

Cilindro

Ortoedro

Pirámides

Cono

Ejemplo:

De entre todos los cilindros de 0,5 m3 de volumen, determinar el de área total mínima.

Llamamos:

r= radio del cilindro.

h= altura del cilindro.

Hay que minimizar la ecuación:

Que tiene dos variables, pero sabemos que:

Y sustituyendo en At:

Y en los puntos críticos ha de anularse la derivada de esta función, o sea:

Entonces tenemos para la altura:

Veamos si la solución obtenida es máxima o mínima. Calculamos la derivada segunda de At(r) y

tenemos:

Y para r= =0,43 da:

Luego la solución obtenida es mínima.

Ejemplo 2:

De una hoja de cartón de rectangular de lados 4 cm. y 8 cm. hay que cortar un cuadrado de

cada vértice para construir una caja abierta de volumen máximo ?Qué dimensiones debe tener

el cuadrado que cortamos?

El gráfico será :

La caja que construyamos será un ortoedro sin tapa. Su volumen es:

O sea, operando:

Obtengamos los puntos críticos anulando la derivada primera:

Veamos si son máximos o mínimos mediante la derivada segunda:

el máximo volumen de la caja se obtiene recortando un cuadrado

por cada vértice de 0,9 cm.

CAPITULO V: Integrales

Aunque será necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral viene a formalizar un concepto sencillo, intuitivo: el de área. Ahora ya no nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición de un concepto intuitivo puede presentar grandes dificultades y ciertamente el 'área' no es ninguna excepción a esto...

En este capítulo intentaremos solamente definir el área de algunas regiones muy especiales (figura 1): aquellas que están limitadas por el eje horizontal, las verticales por (a, 0) y (b, 0), y la gráfica de una función f tal que f (x) 0, para todo x de [a, b]. Conviene denotar esta región por R(f, a, b) ...

figura 1

figura 2

El número que asignaremos eventualmente como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b]. En realidad, la integral se definirá también para funciones f que no satisfacen la condición f (x) 0, para todo x de [a, b]. Si f es la función dibujada en la figura 2, la integral representará la diferencia entre las áreas de las regiones de sombreado claro y de sombreado fuerte ('área algebraica' de R(f, a, b).

Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la función y = f (x). Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas que, pasando por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y.

Figura 24.

Para resolver este problema se procede como sigue. Dividimos el intervalo [a, b] en n partes, no necesariamente iguales. Notamos la longitud de la primera parte por x1, la de la segunda por x2, y así sucesivamente hasta la última, xn. En cada parte elegimos los números x1, x2, ..., xn, y escribimos la suma

(28)

Sn es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 24.

Cuanto más fina sea la subdivisión del segmento [a, b], más próxima se hallará Sn al área S. Si consideramos una sucesión de tales valores por división del intervalo [a, b] en partes cada vez más pequeñas, entonces la suma Sn tenderá a S.

La posibilidad de dividir el intervalo [a, b] en partes desiguales exige definir lo que entendemos por subdivisiones 'cada vez más pequeñas'. Suponemos no sólo que n crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor xi en la n-ésima subdivisión tiende a cero. Así:

(29)

El cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (29)..., hemos obtenido una definición rigurosa del concepto de área: es el límite (29).

5.1 Integral definida

[El límite (29) se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se nota por

La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior.

Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal

[Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por

Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y

[Una tal función f (x) se llama primitiva de f (x).

[..., el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a, b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] y

F' = f

..., si f es continua ..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función

Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal

Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces

(30)

Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral.

Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia (30) se acostumbra a escribir así:

Ejemplo:

La igualdad

muestra que la función x3/3 es una primitiva de la función x2. Así, por la fórmula de Newton y Leibnitz,

Propiedades de la integral definida

Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]:

1.

2.

3. , siendo c una constante

4.

5. , cuando a < c < b

6. Primer teorema del valor medio:

, para al menos un valor x = x0 entre a y b.

7. Si , se verifica .

Ejemplos

1. Sea f (x) = c, una constante, y f (x) = cx; tendremos

2. Sea f (x) = x y f (x) = 1/2 x2; tendremos

3. Sea f (x) = x3 y f (x) = 1/4 x4; tendremos

Integrales indefinidas; técnica de integración.

Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F'(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;... Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración.

La primitiva o integral indefinida de la función f (x) se representa por medio del símbolo

Por ejemplo: .

Fórmulas fundamentales de integración

xn dx = x(n+1) / (n+1) + C (n -1)

1/x dx dx = ln|x| + C

Exponente / Logaritmo

ex dx = ex + C

bx dx = bx / ln(b) + C

ln(x) dx = x ln(x) - x + C

Trigonométrica

sen x dx = -cos x + C cos x dx = sen x + C

tan x dx = -ln|cos x| + C

csc x dx = - ln|csc x + cot x| + C sec x dx = ln|sec x + tan x| + C cot x dx = ln|sen x| + C

Resuelta Trigonométrica

cos x dx = sen x + C

sen x dx = -cos x + C

sec2 x dx = tan x + C

csc x cot x dx = -csc x + C

sec x tan x dx = sec x + C

csc2 x dx = -cot x + C

Trigonométrica Inversa

arcsen x dx =

1

(1-x2)

+ C

arccsc x dx =

-1

|x| (x2-1)

+ C

arccos x dx =

-1

(1-x2)

+ C

arcsec x dx =

1

|x| (x2-1)

+ C

arctan x dx =

1

1+x2

+ C

arccot x dx =

-1

1+x2

+ C

Hiperbólica

senh x dx = cosh x + C cosh x dx = senh x + C tanh x dx = ln( cosh x ) + C

csch x dx = ln( tanh(x/2) ) + C sech x dx = atan( senh x ) + C coth(x) dx = ln( senh x ) + C

Funciones de varias variables

Si a cada punto (x, y) de una región del plano xy se la hace corresponder un número real z, diremos que z es una función, z = f (x, y), de las variables independientes x e y. El lugar geométrico de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen la ecuación z = f (x, y) es una superficie. Análogamente se definen las funciones w = f (x, y, z, ...) de varias variables independientes aunque no tengan una interpretación geométrica sencilla.

El estudio de las funciones de dos variables difiere notablemente del de las funciones de una variable. Sin embargo, el cálculo de las funciones de tres o más variables es muy similar al caso de dos variables.

Límite de una función de dos variables

Una función f (x, y) tiende al límite A cuando e , si dado un > 0 tan pequeño como queramos, existe un * > 0 tal que, para todos los pares de valores (x, y) que cumplan la desigualdad

(i)

se verifica: . La condición (i) representa un intervalo reducido del punto (x0, y0), es decir, todos los puntos excepto el propio (x0, y0), situados en un círculo de radio y centro (x0, y0). (Ayres, 258)]

Continuidad de una función de dos variables

[Una función f (x, y) es continua en el punto (x0, y0) siempre que f (x0, y0) esté definida y, además,

Derivadas parciales de una función de dos variables

[Sea z = f (x, y) una función de las variables independientes x e y. Como x e y son independientes, podremos (i) variar x manteniendo constante y y, (ii) variar y manteniendo constante x, (iii) variar x e y simultáneamente. En los dos primeros casos, z es una función de una sola variable y se puede hallar su derivada de acuerdo con las expresiones clásicas que ya hemos visto.

Si x varía permaneciendo constante y, z es una función de x y su derivada con respecto a esta variable x,

se denomina primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a x.

Si lo que varía es y permaneciendo constante x, z es una función de y y su derivada con respecto a y

recibe el nombre de primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a y...

Las derivadas parciales anteriores admiten una interpretación geométrica muy sencilla. Consideremos la superficie z = f (x, y) de la Fig. 56-1, y sean APB y CPB las intersecciones con dicha superficie de los planos que pasando por P sean paralelos a los xOz e yOz, respectivamente. Si hacemos variar a x permaneciendo constante y, el punto P se desplazará a lo largo de la curva APB y el valor de z/x en el punto P es la pendiente de la curva APB en P.

Fig. 56-1.

Análogamente, si hacemos variar y permaneciendo constante x, P se moverá a lo largo de la curva CPD, y el valor de z/x en P es la pendiente de la curva CPD en P.

Integrales impropias,

Estudia una clase particular de integrales en las cuales uno o ambos límites de integración escapan hasta el

infinito.

La figura siguiente representa la secuencia sugerida para acceder a los materiales de acuerdo a su ordinal,

aunque puedes seleccionar el que tú desees en cualesquier orden: Para iniciar selecciona con el ratón y haz

clic directamente en el círculo del tema deseado dentro de la figura siguiente:

¡Error!

6 Integrales Impropias

5 AplicacionesDe la Integral

4 Integral Definida

3 Técnicas de integración

2 Integral Indefinida

1 Diferenciales

0 Introducción

LECTURA ADICIONAL

DEFINICIÒN DE LA DEMANDA

La demanda relativa a un producto es el volumen total de compras realizado por una determinada categoría de

clientes, en un lugar y en el curso de un período dado, en unas condiciones de entorno determinadas y para un

esfuerzo de marketing previamente definido.

Se destacan tres dimensiones de esta definición: el producto, el tiempo y el grupo de compradores.

Producto.- Hay que establecer el nivel de agregación del producto o servicio considerado.

Tiempo.- Hay que concretar el horizonte temporal en el que se va a medir la demanda del producto

considerado. Suelen utilizarse el corto, medio y largo plazo. El medio y largo plazo se encuadran dentro de la

elaboración del plan de marketing en el nivel estratégico, y el corto plazo en el nivel táctico.

Grupo de compradores.- Hace referencia al grado de agregación con que se trata a estos últimos.

El cruce de estas tres dimensiones permite hablar de distintos conceptos de demanda y de distintos

planteamientos para su estimación.

Si consideramos definidas las dimensiones relativas al tiempo y al espacio geográfico, es posible establecer

una relación entre la demanda global del mercado y la demanda de una marca.

Cuota de mercado de la marca i.

Demanda de la marca i.

Q = Demanda global del mercado.

Tanto el concepto como la medición de la demanda pueden ser planteados para un mercado, un producto-

mercado o una industria.

Podemos distinguir una nueva dimensión, el nivel del proceso de producción de bienes y servicios. En este

sentido hablamos de demanda final, es decir, la demanda de los bienes que son utilizados por los

consumidores para satisfacer sus deseos y necesidades. Si la demanda se plantea en los niveles intermedios

del proceso de producción hablamos de demanda derivada, es decir, los bienes que son demandados por

otras organizaciones con el fin de producir otros bienes.

Así, la demanda de una empresa en el interior de un mercado es una variable dependiente de un conjunto de

variables explicativas. El objetivo es descubrir estas variables explicativas y determinar la influencia que cada

una de ellas tiene sobre dicha demanda, para así poder hacer una estimación de la misma para cada uno de los

productos-mercados considerados.

Ya hemos señalado que las motivaciones que pueden llegar a tener los individuos para poder consumir

determinados bienes son múltiples. Con todo, supondremos que hay una serie de factores determinantes de las

cantidades que los consumidores desean adquirir de cada bien por unidad de tiempo, tales como las

preferencias, la renta o ingreso en ese período, los precios de los demás bienes y, sobre todo, el precio del

propio bien en cuestión. Si consideramos constantes todos los factores salvo el precio del bien, esto es, si

aplicamos la condición “ceteris paribus, podemos hablar, por ejemplo, de la tabla de demanda del bien A por

un consumidor cuando consideramos la relación que existe entre la cantidad demandada y el precio de ese

bien.

Tabla de demanda

Cantidades demandadas del bien A diversos precios

Bajo la condición “ceteris paribus” y para un precio del bien A determinado, la suma de las

demandas individuales nos dará la demanda global o de mercado de ese bien. Es claro que la

demanda de mercado del bien A seguirá dependiendo del precio del bien, y por tanto tendremos

una tabla de demanda de mercado para el bien A.

PA DA

2 8 4 6 6 4 8 2

La función de demanda es la relación entre la cantidad demandada de un bien y su precio. Al trazar

la curva de demanda se mantienen constantes los demás factores que puedan afectar a la cantidad

demandada, tales como la renta.

Sí f´ < 0 La función de Demanda

DEFINICIÓN DE LA OFERTA

La cantidad de bienes o servicios que se ponen a la disposición del público consumidor en determinadas

cantidades es la oferta

La oferta se define como la cantidad de bienes o servicios que se ponen a la disposición del público

consumidor en determinadas cantidades, precio, tiempo y lugar para que, en función de éstos, aquél los

adquiera. Así, se habla de una oferta individual, una de mercado o una total.

En el análisis de mercado, lo que interesa es saber cuál es la oferta existente del bien o servicio que se desea

introducir al circuito comercial, para determinar si los que se proponen colocar en el mercado cumplen con las

características deseadas por el público.

Dada la evolución de los mercados, existen diversas modalidades de oferta, determinadas por factores

geográficos o por cuestiones de especialización. Algunos pueden ser productores o prestadores de servicios

únicos, otros pueden estar agrupados o bien, lo más frecuente, es ofrecer un servicio o un producto como uno

más de los muchos participantes en el mercado.

En el primer caso referido como el de especialización, se trata de monopolios, donde uno solo es oferente en

una localidad, región o país, lo cual le permite imponer los precios en función de su exclusivo interés, sin

tener que preocuparse por la competencia. A ello, el público consumidor sólo puede responder con un mayor

o menor consumo, limitado por sus ingresos.

Para los casos de un cierto número restringido de oferentes, que se ponen de acuerdo entre ellos para

determinar el precio de mercado, se les conoce como el oligopolio. Muy similar al caso anterior, el

consumidor no afecta el mercado, pues su participación igualmente se ve restringida por su capacidad de

compra.

Sí f´ > 0 La función de oferta

DEFINICIÒN DE EL EQUILIBRIO

En economía entendemos por equilibrio aquella situación en la que no hay fuerzas inherentes que inciten al

cambio. Cambios a partir de una situación de equilibrio ocurrirán solo como resultado de factores exógenos

que alteren el statu quo. Por lo tanto se tendrá una combinación que equilibrio de precio, cantidad ofrecida y

demandada, cuando rija en el mercado un precio para el que no haya ni compradores ni vendedores frustrados

que tiendan a empujar los precios al alza o a la baja para adquirir las cantidades deseadas o estimular sus

ventas.

F´ Oferta INTERSECCIÓN F´ Demanda

3.4 APLICACIONES DE LA DEMANDA, OFERTA Y EQUILIBRIO EN LA ECONOMIA

1. Dado y = 18 – 3x y = 4 + 2x y = 18 – 3x y = 4 + 2x y = - 3 < 0 La función de Demanda y = 2 > 0 La función de Demanda 3x + y = 18 y = 18 – 3(2.3)

-2x + y = 4 // (-1) y = 18 – 8.4 3x + y = 18 y = 9.6

2x – y = -4 5x = 14 x = 14 5 x = 2,8

Oferta Punto de Equilibrio Demanda

Dado: x = 208 – 8x – x^2 y = 1 + x^2

13 x = 208 – 8x – x^2 = 1 + x^2 16 13 x = 13 (208 – 8x –x^2) = 16 + 16x^2 x = 2704 – 104x – 13x^2 – 16 – 16x^2 = 0 x = - 29x^2 – 104x + 2688 = 0 // (-1) x = 29x^2 + 104x – 2688 = 0 x = - 104 +- (104)^2 – 4 (29) (- 2688)

1 2 3 4

20 15 10 5

2(29) x = - 104 +- 10816 + 311808 58 x = - 104 +- 322624

58 x = -104 + 568 x = - 104 - 568 58 58 x = 8 x = - 11,5 Remplazando: y = 1 + 8^2 y = 1 + (- 11,5)^2 13 13 y = 65 y = 1 + 133.25 13 13

y = 5 y = 10, 3 Y Oferta Punto de Equilibrio Demanda X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1