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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL UNIDAD AJUSCO SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA ANÁLISIS DE LOS ERRORES EN LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Y DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES DE ALUMNOS DE 2º Y 3º GRADOS DE SECUNDARIA T E S I S PARA OBTENER EL TÍTULO DE: LICENCIADA EN PEDAGOGÍA P R E S E N T A: TOMASA DE LA ROSA TELLEZ ASESOR: ARTURO BAZÁN ZURITA MÉXICO, D. F. 2010
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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
UNIDAD AJUSCO
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
ANÁLISIS DE LOS ERRORES EN LA RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Y DE LAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES DE ALUMNOS DE
2º Y 3º GRADOS DE SECUNDARIA
T E S I S
PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
LICENCIADA EN PEDAGOGÍA
P R E S E N T A:
TOMASA DE LA ROSA TELLEZ
ASESOR:
ARTURO BAZÁN ZURITA
MÉXICO, D. F. 2010
AGRADECIMIENTOS
A Dios:
Por darme la vida,
me ha brindado inteligencia
y sabiduría, y siempre esta
presente en mi corazón.
A mis padres:
Sofía y Roberto, gracias por permitirme conocer lo
más maravilloso de este mundo que es el amor, por
su cariño, comprensión y apoyo, por todo el
esfuerzo que hacen por brindarme lo mejor.
A mis hermanos y tía:
Guadalupe, Gustavo,
Manuel y Paula, por todo su cariño y
apoyo incondicional que siempre
me han brindado.
A mis profesores:
Gilda, Arturo y Enrique por compartir su
conocimiento y experiencia, agradezco su paciencia
y comprensión.
A la escuela Sara Alarcón y a
la Directora General Patricia Maroto
Por abrirme las puertas de su
institución y darme la oportunidad de
participar en ella.
ÍNDICE
Introducción…….……………………………………………………………….….…...4
Capítulo 1. Planteamiento del problema, justificación y objetivos……..……..7
Capítulo 2. Marco teórico y marco referencial
2.1 Marco teórico…………….…………………………………………………..……....15
2.1.1Revisión de la literatura…………………………………………….…..….16
2.1.2Clasificación de las dificultades, obstáculos y errores…...………….....23
2.2 Marco referencial……………………………………………………...……….….....31
2.2.1 Plan y programa de estudio de 2006 de educación secundaria….…..31
Capítulo 3. Metodología
3.1 Diseño, aplicación del instrumento, población y procesamiento de la
informaciòn…………….…………………..................................................................41
Capítulo 4. Análisis de los resultados
4.1 Análisis de los registros de 2º de secundaria……..…………………….……......48
4.2 Análisis de los registros de 3º de secundaria…….............................................100
4.3 Comparación de los resultados de 2º y 3º de secundaria…………………........148
Conclusiones y recomendaciones
Conclusiones y recomendaciones…………………………………………………......161
Bibliografía………………………………………………………………..………..…......167
Anexos………………………………………………………………….……………........170
4
Introducción
Los reportes de organismos internacionales e instituciones nacionales que han
presentado información relativa al desempeño en matemáticas de los estudiantes
de educación secundaria, indican que los resultados obtenidos son bastante
desfavorables. Es preocupante que los alumnos no logren adquirir los
conocimientos mínimos necesarios y desarrollar las habilidades que se proponen
en los planes y programas de estudio.
En México ha habido intentos institucionales por mejorar el desempeño de los
estudiantes, uno de ellos se hace patente en los cambios curriculares, se ha
intentado diferentes enfoques, orientaciones didácticas etc., para propiciar un
mejor aprendizaje, pero no se ha logrado un avance significativo al respecto, el
último al respecto es la reforma de educación secundaria 2006.
Aún con todos los cambios que se han impulsado en los planes y programas y las
mejoras que se han instrumentado, los alumnos siguen presentando dificultades
en la enseñanza-aprendizaje de tópicos que constituyen uno de los ejes temáticos
el denominado: sentido numérico y pensamiento algebraico, cuyo estudio se inicia
en la educación secundaria. Este eje “alude a los fines más relevantes del estudio
de la aritmética y el álgebra: por un lado, encontrar el sentido del lenguaje
matemático, ya sea oral o escrito; por otro, tender un puente entre la aritmética y
el álgebra, en el entendido que hay contenidos de álgebra en la primaria, que se
profundizan y consolidan en la secundaria” (RES, 2006, 6).
Se propone que el profesor trabaje por bloques que estructuran cada eje, cuenta
con conocimientos y habilidades, orientaciones didácticas, planes de clase, libros
y otros apoyos, sin embargo, no se advierten renovaciones en la práctica docente.
Existen diversos acercamientos para el estudio de las dificultades y los problemas
de la enseñanza aprendizaje del álgebra escolar, en nuestro caso el trabajo es
indagar sobre el desempeño de estudiantes en dos contenidos relevantes que se
abordan en este nivel que corresponden al 2° y 3° de secundaria relativos a
resolución de las ecuaciones lineales con una incógnita y a las expresiones
algebraicas equivalentes, no se limita a examinar los aciertos o las respuestas
5
incorrectas se hace un análisis de los tipos y patrones de errores, obstáculos que
presentan los alumnos además se hace una comparación de los resultados
alcanzados por los estudiantes de los dos grados. Se espera que la información
obtenida resulte de utilidad para la elaboración de propuestas remediales o para
el diseño de actividades orientadas a una enseñanza preventiva.
El trabajo está conformado por cuatro capítulos y un apartado dedicado a las
conclusiones y recomendaciones en los que se presentan los temas o contenidos
que a continuación se mencionan:
El primero contiene el planteamiento del problema que se propone abordar en este
trabajo recepcional, la justificación y relevancia del tema, se muestran resultados
consignados en distintas evaluaciones que se han realizado por instituciones
nacionales e internacionales sobre los logros escolares de estudiantes de
secundaria mexicanos en matemáticas y de álgebra en particular y por último se
exponen los objetivos que se pretenden alcanzar en esta tesis.
El segundo capítulo consta de dos partes; en la primera, se presenta el marco
teórico, se hace la revisión de la literatura sobre la enseñanza- aprendizaje del
tema de álgebra en general, se explora la literatura relativa a las expresiones
algebraicas y ecuaciones lineales con una incógnita en particular, también se
expone la clasificación de las dificultades, obstáculos y errores de dichos
subtemas; en la segunda parte, se presenta el marco referencial conformado por
el análisis de los programas de estudio de la asignatura de matemáticas de
educación secundaria 2006 acerca del tema de álgebra, en específico los
subtemas de las expresiones algebraicas y las ecuaciones lineales con una
incógnita.
El tercer capítulo contiene el diseño de los instrumentos preliminar y definitivo y
su aplicación, la muestra estudiada y la forma en que se realizó el procesamiento
de la información.
6
El cuarto capítulo presenta el análisis de los resultados, se divide en dos partes.
En la primera, se presentan los esquemas de los errores de 2º y 3º grado de
educación secundaria. En la segunda, se encuentra la comparación de los
resultados de los alumnos de 2º y 3º de secundaria.
Finalmente se presentan algunas conclusiones que se desprenden de los
resultados del análisis que se realizó de las dificultades o errores que cometen los
alumnos, así como recomendaciones derivadas de la experiencia del desarrollo de
este estudio exploratorio.
7
CAPÍTULO 1. Planteamiento del problema, justificación y objetivos
El presente capítulo contiene el planteamiento del problema que se propone
abordar en este trabajo recepcional, la justificación se basa en los resultados
consignados en distintas evaluaciones que se han hecho a nivel nacional e
internacional sobre los logros escolares de estudiantes de secundaria mexicanos
en matemáticas y de álgebra en particular, también se incluye una síntesis de los
resultados de estudios de diferentes autores sobre los temas de expresiones
algebraicas y ecuaciones, y por último se exponen los objetivos que se pretenden
alcanzar en esta tesis.
Planteamiento del problema y justificación
Los informes que se han presentado relativos al desempeño en matemáticas por
los organismos internacionales como la Organización para la cooperación y el
desarrollo económico (OCDE), indican que los resultados son bastante
desfavorables para nuestros estudiantes del sistema educativo de enseñanza
básica.
Se afirma que en los resultados del Programa para la evaluación internacional de
los estudiantes (PISA, por sus siglas en inglés) de 2003, el nivel de conocimientos
y de habilidades de los jóvenes mexicanos de 15 años de edad es inferior a los de
los jóvenes de esa edad de países más desarrollados.
Estos resultados de PISA, publicados en diciembre de 2004, indican que el
desempeño de los estudiantes mexicanos en matemáticas bajó en relación con los
obtenidos en el año 2000, puesto que los alumnos obtuvieron 385 puntos en
general y en resolución de problemas 384, siendo la media de la OCDE de 500
puntos. México ocupó el último lugar de los treinta países que conforman esta
organización.
También son desfavorables los resultados obtenidos en la evaluación del
aprendizaje de matemáticas de estudiantes de tercero de secundaria en México
realizada por el INEE en 2005, y aplicada por la instancia Exámenes de la Calidad
8
y el Logro Educativos (Excale). La aplicación de las pruebas se realizó en los
últimos días del mes de mayo de 2005, casi al final del ciclo escolar, a una
muestra representativa de los alumnos del país y fue diseñada para obtener
resultados a nivel nacional.
Se aprecia que, a nivel nacional, poco más de la mitad de los estudiantes (51.1
por ciento) se encuentra por debajo del nivel básico; tres de cada diez (29.5 por
ciento) se ubican en el nivel básico; dos de cada diez (18 por ciento) se
encuentran un poco por encima del nivel básico; y solo poco más de uno de cada
cien (1.4 por ciento) se ubica en el nivel avanzado. Es preocupante que la mitad
de los alumnos no logre adquirir las competencias mínimas establecidas en el
currículo en un área tan importante.
En relación con las habilidades matemáticas de los estudiantes de tercero de
secundaria, los resultados indican que:
a) Los estudiantes han conseguido un desarrollo insuficiente de los conocimientos
y habilidades establecidos en todas las áreas del currículo de Matemáticas. No
obstante, los alumnos muestran un desempeño aceptable en la resolución de
problemas que implica operar con números naturales y, en general, en
situaciones en que pueden ser resueltos con procedimientos formales de
manera directa. Por el contrario, presentan serias deficiencias ante problemas
en los que tienen que hacer razonamientos más complejos, que requieren
elaboración de conjeturas, hacer generalizaciones o inferencias y vincular
resultados.
En temas de álgebra se consideran 33 rubros los cuales en términos de
porcentaje se clasifican de la siguiente manera: entre el 10% y 20% de aciertos
se encuentran 6 rubros, entre el 21% y 30% de aciertos se encuentran 12
rubros aquí es donde se ubica la mayoría de contenidos, entre el 31% y 40%
de aciertos se encuentran 9 rubros, entre el 41% y 50% de aciertos se
encuentran 4 rubros, solo 2 rubros están arriba del 50% de aciertos y solo
llegan a 68% de aciertos, se aprecia que el desempeño de los alumnos a nivel
nacional en México en el tema de álgebra es muy bajo. Dos rubros que se
toman en cuenta relacionados con el tema de expresiones algebraicas
9
equivalentes y ecuaciones están entre el 20% y 31% de aciertos a continuación
se mencionan.
b) En el contenido de resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita de
la forma ax+bx+c=dx+ex+f el total de aciertos es de 31% en nivel nacional, en
secundarias privadas es de 53% de aciertos, en secundarias generales es de
33% de aciertos, en secundarias técnicas es de 28% de aciertos y en
telesecundarias es de 23% de aciertos.
c) En cuanto al contenido de resolver problemas que impliquen identificar
expresiones algebraicas equivalentes después de aplicar alguna regla de
factorización, el total nacional de aciertos es de 24%, en secundarias privadas
38% de aciertos, en secundarias generales es de 23% de aciertos, en
secundarias técnicas es de 22% de aciertos y en telesecundarias es de 20%
de aciertos. (INEE 2009,6).
Asimismo, se puede apreciar que menos del 50% a nivel nacional domina
algunos temas de álgebra, lo cual indica que los alumnos presentan un bajo
desempeño.
En México hay escasa bibliografía acerca del bajo desempeño de los alumnos en
temas de álgebra, en particular sobre la enseñanza aprendizaje de las
expresiones algebraicas y ecuaciones; sin embargo, hay diferentes trabajos a nivel
internacional que aportan elementos para ubicar aspectos relevantes para ser
estudiados con estudiantes mexicanos, a continuación se presentan algunos de
ellos.
Laborde (1990) aborda el tránsito de unas a otras formas de lenguaje algebraico.
También apunta en la dirección de que los aspectos cognitivo y lingüístico
intervienen simultáneamente en la comprensión y uso de los diferentes tipos de
formulaciones construidas.
Los trabajos de Filloy y Rojano (1989) arrojan resultados que se concretan en
que:
existen fenómenos didácticos de transición de la aritmética al álgebra,
existen fenómenos detectados durante la fase de instrucción,
10
existen fenómenos de la etapa de transición que dependen de tendencias del
sujeto, en relación a su aprendizaje y a su uso de la matemática,
las interacciones entre la semántica y la sintaxis algebraica pueden ser
encauzadas por medio de estrategias de enseñanza adecuadas.
El método algebraico no solo consiste en una sustitución de números por letras,
sino que implica que se realice el paso de números a variables y para ello es
necesario que se realice un cambio tanto de símbolos como de significado.
Cedillo (1991) comenta en relación a la resolución de ecuaciones que los
estudios cognitivos se han centrado en los enfoques formales, intuitivos,
sustitución por tanteo (ensayo y error), otros estudios se centraron en el
conocimiento de las estructuras de las ecuaciones, la relación entre las
operaciones y sus inversas así como las expresiones equivalentes de esas
relaciones.
Kieran (1992) menciona en el artículo “Handbook of Research in Mathematics
Teaching and Learning”, que los errores estratégicos y no sistemáticos que
cometen los alumnos cuando simplifican expresiones se deben por lo general a su
resistencia a operar sobre una ecuación no haciendo lo mismo en ambos lados, a
su no trato al signo igual como símbolo de simetría, a su extendida inhabilidad
para considerar la letras como una variable o como un dato y transformar
problemas verbales en ecuaciones, a su dificultad para ver la estructura oculta de
las ecuaciones.
Marylin Matz (1980) señala que los procesos que generan las respuestas
algebraicas incorrectas no son resultado de acciones arbitrarias o del azar, sino
que son producto de procesos intelectuales razonables, generados por
desafortunadas adaptaciones del conocimiento adquirido previamente.
Muchos de los errores comunes, afirma, surgen de uno de los siguientes
procesos: el uso de una regla conocida en una situación para la cual resulta
inapropiada, o la adaptación incorrecta de una regla conocida que pueda utilizarse
para resolver un problema nuevo, y señala que los errores son intentos razonables
pero no exitosos de adaptar un conocimiento adquirido a una nueva situación. Los
errores aparecen en el trabajo de los alumnos, sobre todo cuando se enfrentan a
11
conocimientos novedosos que los obliga a hacer una revisión o reestructuración
de lo que ya saben.
De Prada (1994) en su análisis que hace de las dificultades en la resolución de
ecuaciones a estudiantes de Madrid, comenta que los alumnos tienen dificultades
en la resolución de ecuaciones, estas dificultades provienen de la aplicación
incorrecta de las reglas del cálculo algebraico. Los resultados obtenidos son los
siguientes: los alumnos de un grado más adelantado muestran peores resultados
que los de un grado anterior, los errores se observan en la manipulación de los
signos y en las transformaciones de ecuaciones racionales en números enteros
(quitan denominadores), otro error que presentan es cuando se encuentra la
incógnita en el denominador, un error bastante habitual es la incorrecta
transformación de la ecuación con términos fraccionarios en otra equivalente con
términos enteros, otro error es despejar la incógnita al revés y asimismo se
advierten errores cometidos por la incorrecta utilización de la propiedad
distributiva.
Socas (1997) caracteriza en dos grupos las causas principales de los errores en el
aprendizaje de las matemáticas, estos son: errores que tienen su origen en un
obstáculo en donde los alumnos ven las expresiones algebraicas como
enunciados algunas veces incompletos y lo expresan con la no aceptación de la
falta de clausura y la concatenación que es la yuxtaposición de dos símbolos, y
errores que tienen su origen en una ausencia de significado los cuales se
desprenden del saber aritmético, o se deben a errores de procedimiento o a
errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva.
Se ha considerado conveniente conocer los resultados a nivel nacional del bajo
desempeño de los alumnos de secundaria en álgebra en general y en específico
de las expresiones algebraica y las ecuaciones lineales y de revisar los resultados
de diferentes investigaciones, porque el propósito general de esta tesis trata de
contribuir a la solución de dichos problemas mediante el análisis de los errores en
la resolución de las ecuaciones lineales con una incógnita y el manejo de las
expresiones algebraicas equivalentes que presentan los alumnos de 2º y 3º de
educación secundaria.
12
“Las dificultades asociadas al aprendizaje del lenguaje algebraico se traducen en
errores que cometen los alumnos y estos se producen por causas muy diversas
que se refuerzan en redes complejas. Es útil desde la perspectiva de la
investigación y de la enseñanza aprendizaje, tener elementos de análisis de estos
errores para determinar la naturaleza del error, entender al alumno, descubrir sus
conocimientos subyacentes y diseñar tareas que apoyen la construcción del
pensamiento algebraico” (Palarea 1998, 2).
En México ha habido intentos por resolver el bajo desempeño de los estudiantes,
uno de ellos se refiere a los cambios curriculares que se han dado en la Reforma
de educación secundaria 2006, en la que se propone un eje importante que es
Sentido numérico y pensamiento algebraico.
La reforma de educación secundaria 2006 plantea que “las matemáticas buscan
que niños y jóvenes desarrollen una forma de pensamiento que permita expresar
situaciones que se presentan en diversos entornos socioculturales, así como
utilizar técnicas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas” (SEP,
2006, 1)
Para el desarrollo de este trabajo de investigación, en un principio se hizo la
revisión de la evolución de los contenidos de álgebra en los Planes y programas
de estudio lo cual me llevó a realizar el análisis de los tres Planes y programas de
estudio de 1975, 1993 y 2006 de educación secundaria. Este estudio comparativo
me permitió ver los cambios que se dieron en cada uno de ellos acerca de este
tema analizar los errores.
Aun así con todos los cambios que se han ido dando en los programas y las
mejoras que se han realizado, los alumnos siguen cometiendo errores en temas
de álgebra. Se han hecho diversos intentos en cada cambio de reforma para
propiciar un mejor aprendizaje en dichos temas pero no se ha logrado un avance
significativo al respecto.
De lo anterior surge la siguiente interrogante: ¿los cambios propuestos en la
actual Reforma en realidad se orientan a mejorar la formación de los alumnos?,
13
¿la propuesta es distinta de la desarrollada en los programas anteriores, en
particular en los contenidos relativos para resolver ecuaciones y los de
expresiones algebraicas?
Se esperaría que por ser estos temas, en parte, de carácter sobre todo operativo,
los alumnos mostrarían mejor desempeño como resultado de los cambios
curriculares; según documentos oficiales la resolución de un problema algebraico
pretende que los alumnos “formulen y validen conjeturas, planteen preguntas,
utilicen procedimientos propios y adquieran las herramientas y los conocimientos
matemáticos socialmente establecidos, comuniquen, analicen e interpreten ideas y
procedimientos de resolución” (SEP, 2006, 1)
Por todo lo anterior, se consideró pertinente realizar un estudio exploratorio en una
secundaria, privada en este caso, en la ciudad de México para obtener elementos
que den alguna respuesta a las siguientes interrogantes:
¿Cuál es el desempeño de los alumnos a nivel nacional en México en el tema de
álgebra en general específicamente en las expresiones algebraicas y en la
resolución de las ecuaciones?
¿Qué cambios ha habido en el currículo?
¿La ubicación del tema de álgebra es la adecuada?
¿Cuáles han sido los resultados de las diferentes investigaciones acerca del tema
de álgebra y en particular de las expresiones algebraicas y las ecuaciones?
¿Ha habido un avance con los cambios propuestos en las diferentes reformas
educativas?
¿La secuencia didáctica que se propone en las diferentes reformas educativas es
adecuada?
¿Cuáles son los errores en que los estudiantes incurren con mayor frecuencia
según lo detectado por los investigadores? ¿Cómo clasifican los errores?
¿Se toma en cuenta solo la parte operativa y no la conceptual?
Estas interrogantes y otras muchas se pueden plantear en la presente tesis; sin
embargo, tomando en cuenta los propósitos del trabajo se estudiarán solo una
14
parte de ellas. Existe el interés de analizar más ampliamente este tema en futuras
investigaciones.
A continuación se presentan los objetivos.
Detectar los errores que se dan en la resolución de ecuaciones lineales con
una incógnita y en las expresiones algebraicas equivalentes.
Estudiar el origen de los errores que cometen los alumnos de 2º y 3º de
secundaria en tareas de resolución de las ecuaciones lineales con una
incógnita y de las expresiones algebraicas equivalentes.
Analizar las diferencias entre los alumnos de 2º y 3º de secundaria en el
desempeño en tareas de resolución de ecuaciones lineales con una incógnita y
de las expresiones algebraicas equivalentes.
15
CAPÍTULO 2. Marco teórico y marco referencial
En México como en muchos otros países, la materia de matemáticas resulta difícil
para la mayoría de los alumnos de educación secundaria, en particular el tema de
álgebra, estos incurren frecuentemente en errores de las expresiones algebraicas
y la resolución de las ecuaciones lineales con una incógnita, lo anterior se puede
constatar en algunos resultados de investigaciones que se han hecho acerca de
los subtemas antes mencionados, como son: Kieran (1989, 1892), Cedillo (1991),
Laborde (1990), Filloy y Rojano (1989), Lenchevski y Hercovics (1998), Socas
(1997), De Prada (1994), Palarea (1998), entre otros.
Este capítulo consta de dos partes; en la primera, se presenta el marco teórico, se
hace la revisión de la literatura sobre la enseñanza- aprendizaje del tema de
álgebra en general, se revisa la literatura relativa a las expresiones algebraicas y
ecuaciones lineales con una incógnita en particular, también se expone la
clasificación de las dificultades, obstáculos y errores de dichos subtemas; en la
segunda parte, se presenta el marco referencial conformado por la revisión de los
programas de estudio de la asignatura de matemáticas de educación secundaria
2006 acerca del tema de álgebra, en específico los subtemas de las expresiones
algebraicas equivalentes y las ecuaciones lineales con una incógnita.
2.1 Marco teórico
Se encuentra dividido en dos partes, la primera se refiere a la revisión de la
literatura sobre la enseñanza- aprendizaje del álgebra en general, las expresiones
algebraicas equivalentes y ecuaciones lineales con una incógnita en particular, y
la segunda contiene la clasificación de las dificultades, obstáculos y errores de los
subtemas antes mencionados.
16
2.1.1. Revisión de la literatura sobre la enseñanza-aprendizaje del álgebra
Entre las investigaciones consultadas sobre los procesos de enseñanza y
aprendizaje del álgebra, en secundaria, se seleccionaron las siguientes tomando
en cuenta que el objeto de estudio es precisamente el tema que interesa en este
trabajo:
Kieran (1989) manifiesta que el currículo referente a álgebra en la secundaria,
incluye entre otros temas las nociones: variables, simplificación de expresiones
algebraicas, ecuaciones con una incógnita y resolución de ecuaciones, se
encontró en este estudio que los alumnos tienen dificultades en particular en
los siguientes tres aspectos: a) el significado de las letras, b) el cambio a una
serie de convenciones diferentes de las usadas en aritmética y c) el
reconocimiento y uso de estructuras. Así mismo afirma que algunas de estas
dificultades son atribuidas a la instrucción.
Kieran (1992), en su artículo del “Handbook of Research in Mathematics
Teaching and Learning”, presenta un análisis histórico del álgebra, una
descripción del contenido del álgebra escolar, una discusión de las demandas
psicológicas para el aprendiz de álgebra en el contenido matemático, entre
otros temas. En el análisis histórico del desarrollo del simbolismo algebraico y
sus reglas de transformación subraya la distinción entre usar letras para
representar incógnitas en resolución de ecuaciones, y usar letras para
representar datos expresando soluciones generales, así como usar letras como
herramienta para proveer reglas dominando relaciones numéricas.
En relación con el álgebra escolar afirma que un estudio del desarrollo histórico
del álgebra sugiere que, actualmente, es concebida como una rama de las
matemáticas que trata de simbolizar relaciones numéricas generales y
estructuras matemáticas y de operación sobre estas estructuras.
Kieran junto con Hercovics (1996) comentan que en álgebra son también
importantes las propiedades de las operaciones y las relaciones que se
17
establecen entre ellas porque va a permitir realizar las transformaciones
algebraicas que se apoyan directamente en las propiedades de las
operaciones. Los objetos de álgebra, al igual que el resto de los objetos de las
matemáticas, se presentan con estatus diferentes: el operacional que es de
carácter dinámico y por lo tanto los objetos son vistos como un proceso, y el
conceptual que es de carácter estático, en consecuencia los objetos son vistos
como una entidad conceptual.
Filloy y Rojano (1989) comentan el álgebra entendida como aritmética
generalizada, todo cálculo se construye a partir de las cinco propiedades
características del sistema numérico: la conmutativa y asociativa de la suma y
el producto, y la distributiva del producto respecto de la suma. El nivel de
comprensión del álgebra está muy relacionado con la progresión que se sigue
en la utilización de las letras, esta es una de las mayores dificultades con que
se encuentran los alumnos, la del uso y significado de las letras. Se piensa que
las dificultades del álgebra se deben a la naturaleza abstracta de los elementos
utilizados.
En resumen, Kieran, Filloy y Rojano perciben que los alumnos tienen dificultades
en los siguientes aspectos: el uso y significado de las letras, el cambio a una serie
de convenciones diferentes de las usadas en aritmética y el reconocimiento y uso
de estructuras.
En relación con las investigaciones sobre la enseñanza-aprendizaje de
expresiones algebraicas y ecuaciones, se reportan las siguientes:
Kieran (1992) informa que en el trabajo de Brown y otros (1988) se presentan
los resultados de la IV Prueba de NAEP (Nacional Assessment of Educational
Progress), aplicada a algunos estudiantes de Estados Unidos de 7º a 11º
cursos, concluyen que estos, a pesar de poseer algunos conocimientos de
conceptos y habilidades geométricos y algebraicos, básicos, no son capaces
18
de aplicarlos a situaciones de resolución de problemas ni parecen comprender
muchas de las estructuras subyacentes en estos conceptos y habilidades
matemáticos. Los estudiantes para cubrir su falta de comprensión, recurren a
la memorización de reglas y procedimientos, y eventualmente llegan a creer
que esta actividad representa la esencia del álgebra.
En su artículo “Handbook of Research in Mathematics Teaching and Learning”,
comenta que la dificultad que los estudiantes experimentan con la comprensión
del álgebra se advierte en su intento temprano para convertir expresiones en
ecuaciones para tener una representación que incluya un resultado. Entre las
dificultades se encuentran: los errores estratégicos y no sistemáticos que
cometen cuando simplifican expresiones, su resistencia a operar sobre una
ecuación no haciendo lo mismo en ambos lados, su no trato al signo igual
como símbolo de simetría, su extendida inhabilidad para considerar la letras
como una variable o como un dato y transformar problemas verbales en
ecuaciones, su dificultad para ver la estructura “oculta” de las ecuaciones, su
no uso del álgebra como una herramienta para proveer relaciones numéricas,
su inhabilidad general para convertir interpretaciones “procesuales” de
entidades algebraicas en interpretaciones “objeto”.
Cedillo (1991) trata el tema de "continuidades y discontinuidades" entre
aritmética y álgebra. Se ocupa, en el apartado de continuidades, del uso del
signo de igualdad, la presencia de letras, la solución de problemas, las
expresiones algebraicas como respuesta a un problema y la solución de
ecuaciones, para luego dar un paso más y establecer una separación entre las
situaciones referidas al uso del signo igual y al uso de los términos literales,
variables. En el de las discontinuidades, se ocupa de las expresiones y
ecuaciones con planteo de "nuevos procedimientos" acerca de solución de
ecuaciones, y de la enseñanza del concepto de función. También afirma, sobre
la solución de ecuaciones, que los estudios cognitivos se han centrado en los
19
enfoques intuitivos, sustitución por tanteo (ensayo y error) y formales; los dos
primeros son menos utilizados.
El uso de sustitución por ensayo y error en la solución de una ecuación,
requiere mucho tiempo y se apoya fuertemente en la memoria. Sin embargo,
hay evidencia que los estudiantes que usan la sustitución como primera
aproximación a la solución de ecuaciones, poseen una noción más
desarrollada del equilibrio entre los miembros derecho e izquierdo de la
ecuación y del papel de equivalencia que juega el signo igual. Otros estudios
del autor, sobre resolución de ecuaciones se centraron en el conocimiento de
las estructuras de las ecuaciones, la relación de estas entre las operaciones y
sus inversas y las expresiones equivalentes de esas relaciones.
Herscovics y Kieran (1980) afirman que la interpretación que los niños dan al
signo igual está más evolucionada y tiende a ser más en términos de símbolo
de relación que como una “señal para hacer algo”. Así ante igualdades como 4
+ 3 = 6 + 1, argumentan que ambos lados son iguales porque tienen el mismo
valor. Esto es, el miembro derecho ya no tiene que ser una respuesta; basta
con que sea una expresión que tenga el mismo valor que el miembro izquierdo.
Esta misma interpretación se extendía hasta la conceptualización del
significado de las ecuaciones algebraicas simples: por ejemplo, 2x + 3 = 4x +
1, se describía como: si sabes qué número es x, entonces dos veces ese
número más tres tiene el mismo valor que cuatro veces ese número más uno.
Esta noción de la igualdad parece ser, sin embargo, aún insuficiente para una
adecuada conceptualización del proceso de resolución de ecuaciones, por
ejemplo, porque ya hemos dicho que resolver ecuaciones no implica sólo una
comprensión de que ambos miembros son expresiones equivalentes sino
también que cada ecuación se puede sustituir por otra ecuación equivalente.
La sustitución formal es un instrumento de cálculo algebraico importante por su
amplio campo de aplicaciones, que se manifiesta en diferentes procesos
matemáticos tales como: generalización, cuando términos numéricos son
reemplazados por variables; simplificación, cuando en una expresión dada
20
expresiones parciales son reemplazadas por variables; eliminación, cuando
variables implicadas en una sustitución son suprimidas, por ejemplo en la
resolución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas; complicación estructural, cuando en una expresión las variables son
reemplazadas por expresiones dadas, y particularización cuando las variables
son reemplazadas por números para verificar ciertas expresiones.
Linchevski y Herscovics (1996) afirman que sobre soluciones de ecuaciones de
primer grado con una incógnita, por ejemplo ax + b = c, ax+b +c=d+e, los
estudiantes de 7º grado usaron las operaciones inversas en el sentido inverso.
Cuando la incógnita apareció como un sustraendo o un divisor (p. ej. 37- n =
18), las ecuaciones se resolvieron aritméticamente y sin la transformación de la
ecuación original. Los estudiantes no comienzan con la forma generalizada
más difícil, ellos progresan desde ecuaciones simples de la forma “x + b = d” a
“ax = d” a “ax + b = d” a “x - b = d” a “ax - b = d”, hasta llegar a “ax + b= cx +
d”.
El estado común entre estos métodos es que ambos implican transformar la
ecuación original, y conducir a los alumnos a resolver una ecuación que no es
la original dada, pero es alguna ecuación alterada, en algún sentido
simplificado.
Filloy y Rojano (1989) afirman que la laguna cognitiva se ubica entre el
conocimiento requerido para resolver ecuaciones aritméticas por inversión y el
conocimiento requerido para resolver ecuaciones algebraicas al operar sobre o
con la incógnita. Ellos sugieren que se necesita entre la aritmética y el álgebra
un nivel operacional, de conocimiento pre- algebraico.
Algunos de sus resultados se concretan en:
a. Existen fenómenos de la etapa de transición que no dependen,
esencialmente, ni de la estrategia de enseñanza utilizada, ni de las
características de "clase", sino de tendencias del sujeto, en relación con su
aprendizaje y a su uso de la matemática.
21
b. Las interacciones entre la semántica y la sintaxis algebraica pueden ser
encauzadas por medio de estrategias de enseñanza adecuadas, hacia la
completación de ciclos, en cuyos recorridos se puede dotar a las nuevas
nociones y operaciones algebraicas que se introducen, no sólo de
significado, sino también de sentido.
En el método algebraico no solo se tiene que hacer una sustitución de números
por letras, sino que también debe realizarse el paso de números a variables y
para ello se lleva a cabo un cambio tanto de símbolos como de significado.
Muchas de las dificultades son debidas a la significación que poseen las letras.
Otras dificultades son asociadas con expresiones tales como “más que”
“menos que”.
Filloy y Rojano, (1984, 1985a, 1985b), comentan acerca de los modelos
concretos en la enseñanza de métodos de solución de ecuaciones; el trabajo
tuvo por objetivo ayudar a los estudiantes a crear significados para las
ecuaciones del tipo ax + b = cx y ax + b = cx + d, así como para las
operaciones algebraicas en la resolución de las mismas. El enfoque principal
fue geométrico, aunque también utilizaron el modelo del equilibrio de la
balanza. Los resultados indicaron que los alumnos no incrementaron
significativamente la habilidad para operar con ecuaciones de ese tipo, ellos
tienden a la fijación sobre el modelo y parecen incapaces de aplicar sus
conocimientos previos en la resolución de ecuaciones para la simplificación de
ecuaciones del modelo instruccional; de ahí que afirmen que, en la corrección
de los errores sintácticos algebraicos y de las dificultades operacionales que
ocurren al resolver problemas complejos o ecuaciones, no se puede dejar que
los niños resuelvan las ecuaciones espontáneamente con base en su
comprensión inicial de la conducta algebraica operacional, ya que el camino de
tales desarrollos espontáneos no sigue la dirección que se propone alcanzar el
álgebra.
22
Para las ecuaciones en especial, proponen los mismos modelos del equilibrio
de la balanza y el geométrico, este para aplicarlo a ecuaciones del tipo ax + b =
cx, cuando a, b y c son números enteros positivos. También proponen el
modelo de equilibrio de la balanza para ecuaciones del tipo ax + b = c.
Freudenthal (1983), en el capítulo sobre el lenguaje algebraico, examina con
profundidad algunos temas relacionados con la sintaxis y la semántica del
lenguaje matemático, como se manifiesta en la aritmética; en particular, cómo
algunas construcciones básicas como la de los nombres de los números
naturales y la “puntuación” de las expresiones aritméticas, se desarrollan en
objetos fenomenológicos, que sirven de base para nuevas construcciones de
un nivel más alto de organización, cuando las variables se introducen durante
el paso de la aritmética al álgebra.
Otro ejemplo de lo anterior se puede advertir en el siguiente planteamiento: “Si
a + 5 = 8, ¿cuál es el valor de a?”. La letra a tiene un valor específico. Es
inicialmente desconocida pero evaluable. Aquí los alumnos evitan el operar con
una incógnita específica. Los problemas de esta clase, comunes en el nivel de
primaria, pueden ser comprendidos por los niños si estos reflexionan sobre el
significado de una letra como un valor numérico específico. Este uso de las
letras es probablemente el primero que el alumno posee, desarrollado por la
aritmética, desde los primeros años bajo la forma: *+ 5 = 8, donde el número
que falta debe ser colocado dentro del marco. El mismo marco no tiene valor y
simplemente indica que existe un número desconocido. Si la cuestión se
plantea así: “Si * + 5 = 8, entonces * = ?”, es conceptualmente diferente a
poner el número desconocido dentro del marco. El marco * es fabricado como
un indicador de un símbolo matemático con valor numérico que puede
combinarse con números y con otros símbolos como el “+”. En algunas
situaciones, los símbolos como el asterisco (*) pueden reemplazarse por letras
del alfabeto, tales como n ó x.
En resumen Kieran, Cedillo, Hercovics, Linchenski, Filloy y Rojano coinciden en
algunas dificultades que tiene el alumno en las expresiones algebraicas y las
23
ecuaciones, como son las siguientes: la mayoría de los alumnos recurren a
memorizar reglas o procedimientos, en las ecuaciones no operan de igual modo
en ambos lados, su no trato del signo igual como símbolo de simetría, el no
considerar las letras como variables y una tendencia a resolver ecuaciones
aritméticamente.
2.1.2 Clasificación de las dificultades, obstáculos y errores de las
expresiones algebraicas y las ecuaciones con una incógnita
Algunos autores como Socas (1997), De Prada (1994), Palarea (1998), entre
otros, en sus investigaciones han encontrado algunos errores que cometen los
alumnos y cada uno ha elaborado una clasificación de dichos errores.
Socas (1997) afirma que el aprendizaje de las matemáticas genera muchas
dificultades a los alumnos y estas son de naturaleza distinta. Algunas tienen su
origen en el macrosistema educativo pero, en general, su procedencia se concreta
en el microsistema educativo: alumno, materia, profesor e institución escolar. Las
dificultades pueden abordarse desde varias perspectivas o direcciones las cuales
son desarrollo cognitivo de los alumnos, currículo de matemáticas y métodos de
enseñanza; pueden ser agrupadas en cinco grandes categorías: las dos primeras
asociadas a la propia disciplina (objetos matemáticos y procesos de pensamiento),
la tercera ligada a los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas,
la cuarta en conexión con los procesos cognitivos de los alumnos y la quinta
relacionada con la falta de actitud hacia las matemáticas.
Estas dificultades se conectan y refuerzan en redes complejas que se concretan
en la práctica en forma de obstáculos y se manifiestan en los alumnos en forma de
errores. Caracteriza en dos grupos las causas principales de los errores en el
aprendizaje de las matemáticas: los que tienen su origen en un obstáculo y los
que son producto de una ausencia de significado. Estos últimos tienen dos
procedencias distintas, una relacionada con las dificultades asociadas a la
24
complejidad de los objetos matemáticos y a los procesos de pensamiento
matemático, y otra relacionada con las dificultades asociadas a las actitudes
afectivas y emocionales hacia las matemáticas. Una manera útil de abordar los
errores es considerar las tres direcciones antes mencionadas a modo de tres
ejes que se sitúan con más precisión en los orígenes del error. Estos tres ejes son:
“errores que tienen su origen en un obstáculo, errores que tienen su origen en
ausencia de sentido y errores que tienen su origen en actitudes afectivas y
emocionales”. (144)
De Prada (1994) comenta que los alumnos tienen dificultades en el manejo y
resolución de ecuaciones, obstáculos que provienen de la aplicación incorrecta de
las reglas de cálculo algebraico. Realizó una prueba en la cual plantea la
resolución de catorce ecuaciones con la finalidad de averiguar las dificultades de
los alumnos y las posibles causas de los errores que se manifiestan. Diseñó las
ecuaciones de acuerdo con los siguientes criterios: valores negativos en uno o
más términos; valores fraccionarios en uno o más términos; inclusión de
paréntesis precedidos de signo menos; términos binomios; inclusión de la
incógnita en el denominador e inclusión de la incógnita en ambos lados. Las
ecuaciones son casos particulares de las formas generales: ax + b= c; ax + b = cx
+ d; a/x + b =c/x + d; a/x +b + c=d/x + e + f.
Aplicó el instrumento a una muestra de 100 alumnos de segundo grado de
educación secundaria, en Madrid. El análisis de los errores y acciones didácticas
pertinentes fueron los siguientes:
Un error bastante persistente y generalizado es la incorrecta manipulación del
signo (-), que se produce en las siguientes situaciones: cuando hay que
transponer términos; cuando hay que operar un paréntesis precedido del signo
(-); cuando hay que restar expresiones binómicas y cuando hay que operar con
un valor negativo detrás del signo igual.
Otro error bastante habitual y que se da en alumnos aventajados consiste en la
incorrecta transformación de la ecuación con términos fraccionarios en otra
25
equivalente con términos enteros, lo que usualmente se llama quitar
denominadores, este error se produce en las siguientes situaciones: Búsqueda
incorrecta del m. c. m.; hallarlo mal; poner el 1 como denominador común;
poner como denominador común uno cualquiera; poner como m. c. m. un
múltiplo de este o el producto de algunos pero no de todos los denominadores;
incorrecta aplicación del m. c. m.; multiplicar el m. c. m. directamente por los
numeradores; multiplicar el número correspondiente por un solo término de las
expresiones binómicas y dividir los términos enteros de la ecuación por el m. c.
m.
Otro error que se comete con frecuencia aunque es menos habitual que los
anteriores es despejar la incógnita al revés, es decir, si 220x = - 49 x =
220/49. Se ha observado que este error se produce más aisladamente cuando
el denominador es mayor que el numerador.
Los errores cometidos por incorrecta utilización de la propiedad distributiva se
producen con bastante frecuencia.
Otro tipo de errores son debidos a la posición de la incógnita. Lo más normal
en las ecuaciones es que la incógnita aparezca en los numeradores, cuando
son ecuaciones fraccionarias.
Palarea (1998) retomando a Marylin Matz (1980) comenta acerca de los errores de
sintaxis algebraica en poblaciones escolares de entre 15 y 18 años de edad, ha
puesto de manifiesto que los procesos que generan las respuestas algebraicas
incorrectas no son resultado de acciones arbitrarias o del azar, sino que son
producto de procesos intelectuales razonables, generados por desafortunadas
adaptaciones del conocimiento adquirido previamente.
Muchos de los errores comunes surgen de uno de los siguientes procesos: el uso
de una regla conocida en una situación para la cual resulta inapropiada, o la
adaptación incorrecta de una regla conocida. Se pretende así usar una regla para
resolver un problema nuevo y los errores son intentos razonables pero no exitosos
de adaptar un conocimiento adquirido a una nueva situación.
26
Del análisis de los errores comunes el autor encuentra que muchos de ellos son
atribuidos a aspectos tales como; la naturaleza y significado de los símbolos y las
letras; el objetivo de la actividad y la naturaleza de las respuestas en álgebra; la
comprensión de la aritmética por parte de los estudiantes y el uso inapropiado de
“fórmulas” o “reglas de procedimientos”.
Los tres primeros aspectos generan errores que se originan en la transición
conceptual de la aritmética al álgebra, mientras que el cuarto se debe
fundamentalmente a falsas generalizaciones sobre operadores o números.
De lo anterior, el autor elabora una modelo de clasificación que distingue los
errores como producto de:
a) una mala interpretación de los elementos de la pregunta o de lo que se pide
hacer
b) el uso de un método incorrecto para abordar o resolver el reactivo
c) una incorrecta codificación del resultado
Se consideran además las posibilidades de cualquier combinación o interacción de
tales errores.
Por otra parte, el autor señala que en México, en el curso escolar 1987-88, se
realizó una exploración con estudiantes del segundo año de secundaria con la
finalidad de reconocer en sus poblaciones escolares la problemática del
aprendizaje del álgebra. Se siguió el mismo modelo de exploración que se llevó a
cabo con poblaciones escolares de otras partes del mundo.
Se detectaron los errores algebraicos más frecuentes que cometen los estudiantes
mencionados y las posibles causas de ellos. Se compararon dichos errores con
los de los estudios referidos y con otros resultados obtenidos en un estudio de
exploración realizado con estudiantes de un Colegio de Bachilleres de la ciudad de
México. Se consiguió así, por un lado, un punto de partida para intentar mejorar la
enseñanza de esta rama de la matemática y, por otro, contribuir al conocimiento
sobre la adquisición del lenguaje aritmético – algebraico.
Esta conjunción llevó a una primera clasificación de los errores:
27
1) Errores del álgebra que están en la aritmética. El álgebra no está separada de
la aritmética y aquella se puede considerar con la perspectiva de aritmética
generalizada. De aquí que para entender la generalización de relaciones y
procesos, se requiere que éstos sean antes asimilados dentro del contexto
aritmético. Por eso a veces las dificultades que los estudiantes encuentran en
álgebra, no son tanto dificultades en el álgebra como problemas que se quedan
sin corregir en la aritmética; por ejemplo, en el uso de paréntesis, potencias,
etc. Ejemplos de estos errores son los cometidos por los alumnos que no
dominan las operaciones con fracciones, el signo „-‟ delante de un paréntesis.
El uso inapropiado de fórmulas o reglas de procedimientos también dan lugar a
errores de este tipo, debido al uso inadecuado por parte de los alumnos de una
fórmula o regla conocida, que han extraído de un prototipo o libro de texto y la
usan tal cual la conocen o la adaptan incorrectamente a una situación nueva.
Tienden así un puente para cubrir el vacío entre reglas conocidas y problemas
no familiares. La mayoría de estos errores se originan como falsas
generalizaciones sobre operadores, fundamentalmente por falta de linealidad
de estos.
Entre estos errores se distinguen: Errores relativos al mal uso de la propiedad
distributiva; Errores relativos al uso de recíprocos; Errores de cancelación.
2) Errores de álgebra debidos a las características propias del lenguaje
algebraico. Estos errores son de naturaleza estrictamente algebraica y no
tienen referencia explícita en la aritmética. Como ejemplo de este tipo de error
se cita el siguiente: el sentido del signo „=‟ en su paso de la aritmética al
álgebra y la sustitución formal.
Clasificación de errores de acuerdo con los tres autores estudiados
El análisis de los errores que presento en este trabajo tiene como referencia el
marco teórico descrito por Socas (1997), y se consideran los dos ejes que
permiten analizar el origen del error. También se tomó en cuenta otro tipo de error
que no menciona Socas y que tiene su origen en el procedimiento. De esta forma,
28
se sitúan los errores que cometen los alumnos en relación con tres orígenes
distintos que a continuación se mencionan:
Concatenación de operaciones Un obstáculo Confusión de operaciones No considerar la información Errores cuyo origen es Ausencia de sentido: Sustituye no reduce El procedimiento: No usa o ignora el paréntesis
Errores que tienen su origen en un obstáculo. Se considera el obstáculo no como
una falta de conocimiento sino un conocimiento adquirido que ha demostrado su
efectividad en ciertos contextos. La idea que tienen los estudiantes que comienzan
a estudiar álgebra, es considerar las expresiones algebraicas como enunciados
incompletos.
A continuación se consideran los errores que tiene como origen un obstáculo:
Concatenación de las operaciones o necesidad de clausura. La “concatenación”
es la yuxtaposición de dos símbolos y es una fuente de dificultad para el
estudiante principiante de álgebra porque denota multiplicación y no adición
implícita como en aritmética Matz (1980).
Los alumnos no aceptan que una expresión no pueda cerrarse, que no dé un
número y que quede expresada como, por ejemplo, de la siguiente manera 10b +
3. Sienten la necesidad de completarla, de cerrarla y dar como resultado 13b es lo
que se conoce como necesidad de clausura.
Confusión de las operaciones. Es cuando el alumno se equivoca en las
operaciones cuando estas presentan paréntesis, signos de más y de menos y
combinación de números con letras. En la enseñanza de la resolución de
expresiones algebraicas con operaciones combinadas de números enteros, se
suelen seguir dos estrategias. En la primera, los cálculos se efectúan de “dentro
29
hacia fuera”: los paréntesis tienen preferencia y se resuelven en primer lugar,
luego el corchete y, finalmente, la llave. Extrapolando este modo de hacer los
cálculos, cuando se realizan operaciones en las que intervienen números y letras,
los alumnos siguen el mismo procedimiento. Esto produce errores, bien porque se
bloquean al no poder resolver paréntesis del tipo – (a – 2b) + b; o bien porque
omiten el paréntesis y actúan como si no estuviera. La segunda estrategia
consiste en resolver las expresiones de “fuera hacia dentro”, este modo de
resolverlas con operaciones combinadas de números enteros evitaría, para el
caso del álgebra, que se produjeran errores.
No considera la información o no entiende el enunciado. Muchas veces los
alumnos en la asignatura de matemáticas no toman en cuenta lo escrito, se fijan
solamente en los números y la operación que se les presenta en un ejercicio. En
algunas ocasiones por pena no preguntan qué es lo que se les está pidiendo y
tratan de resolverla como ellos se imaginan que se puede hacer, ignorando lo que
realmente se pide. No alcanzan a entender el significado de las palabras.
Errores que tiene su origen en la ausencia de sentido
Estos errores tienen su origen en la aritmética porque el significado de los signos
usados es el mismo tanto en esta rama de las matemáticas como en álgebra. Los
errores de álgebra debidos a las características propias del lenguaje algebraico
tienen referencia explícita en la aritmética.
En la aritmética, el sentido del signo „=‟ introduce un cambio importante. El sentido
de igualdad aritmética se conserva en el álgebra cuando trabajamos con formas
algebraicas, pero no en expresiones como 4x – 3 = 2x + 7, que solo es verdadera
cuando x =5. A diferencia de las ecuaciones, no son afirmaciones universales
verdaderas pues el signo igual en una ecuación no conecta expresiones
equivalentes, aunque sí condiciona a la incógnita.
30
El alumno ante una expresión algebraica lo primero que hace es sustituir el valor
de la letra o letras pero se le olvida el significado que tiene la letra al estar junto a
un número o paréntesis; por lo tanto, solo sustituye y no reduce. No sabe qué
hacer en esta situación.
Errores que tienen su origen en el procedimiento
El uso inapropiado de “fórmulas” o “reglas de procedimientos” también da lugar a
otro tipo de errores. Se debe a que los alumnos usan inadecuadamente una
fórmula o regla conocida que han extraído de un prototipo o libro de texto, y la usa
tal cual la conocen o la adaptan a una situación nueva. Esto genera errores:
- relativos al mal uso de la propiedad distributiva
- relativos al uso de recíprocos
- de cancelación
Estos tipos de errores parecen indicar que los alumnos generalizan
procedimientos que se verifican en determinadas ocasiones. Tanto lo errores de
cancelación como los cometidos al trabajar con recíprocos, se podrían haber
evitado si el alumno hubiese modificado la situación para que encajase con la
regla, en vez de extender la regla para abarcar la situación.
Al no usar los paréntesis en las expresiones algebraicas que lo requieren se
piensa que el alumno se encuentra trabajando con su aritmética, tratando de
eliminar la situación difícil y resolver por la vía fácil las operaciones. Aquí se
presenta también el uso incorrecto de la propiedad distributiva. Se trata de un error
de procedimiento que los alumnos cometen cuando utilizan inadecuadamente una
propiedad conocida.
31
2.2 Marco referencial
En este apartado se analizan la presentación, contenidos, objetivos,
conocimientos y habilidades, y orientaciones didácticas de los programas de
estudio vigentes de matemáticas correspondientes a los tres grados de
secundaria, en los temas de preálgebra y álgebra.
Programas de estudios de educación
Secundaria en el área de matemáticas 2006
A continuación se presentan los programas de estudio de matemáticas, se hace
una descripción general de los aspectos que conforman los apartados de la
Presentación y el de Contenidos, en los temas de la preálgebra y álgebra de los
tres grados.
Presentación. Se indica la estructura del los programas en tres ejes temáticos los
cuales son: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida
y Tratamiento de la información. Los ejes están divididos en cinco bloques en cada
grado, cada uno de estos está conformado por tema, subtema, conocimientos y
habilidades y orientaciones didácticas.
Contenidos. Están organizados en los tres ejes arriba mencionados. A
continuación se describe el eje que interesa a este trabajo Sentido numérico y
pensamiento algebraico en los tres grados de educación secundaria, en términos
de los objetivos, conocimientos y habilidades y orientaciones didácticas por cada
bloque. Los subtemas que se analizan corresponden a expresiones algebraicas
equivalentes y ecuaciones lineales con una incógnita.
En el primer grado los subtemas se encuentran en los bloques 1, 3 y 4, en
segundo grado se ubican en los bloques 1, 2, 3 y 5, y en el tercer grado en los
bloques1, 2, 3, 4 y 5.
32
PRIMER GRADO
BLOQUE 1
Objetivo
“Representen sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y
viceversa” (9)
Conocimientos y habilidades
“Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar
expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y
figurativas.” (10)
Orientaciones didácticas
Para continuar el desarrollo del pensamiento algebraico iniciado en la primaria con la construcción de formulas geométricas, se sugiere utilizar sucesiones numéricas y figurativas sencillas para encontrar la expresión general que define un elemento cualquiera de la sucesión. Es necesario no caer en la tentación de decirles cual es la regla general de la sucesión, sino animarlos a probar distintas alternativas hasta que encuentren una que les satisfaga. El estudio que aquí se plantea con respecto a los números naturales deberá continuarse en segundo grado al estudiar los números con signo. (10)
BLOQUE 3
Objetivo
“Resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x+a=
b; ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales.” (14)
Conocimientos y habilidades
“Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de
ecuaciones de primer grado de la forma x+a=b; ax=b; ax+b=c, utilizando las
propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales o decimales.” (15)
Orientaciones didácticas
Las ecuaciones son una herramienta básica para la resolución de problemas cuando los procedimientos aritméticos resultan poco eficaces. En este grado el esfuerzo debe enfocarse que los alumnos logren identificar el valor desconocido del problema, lo representen con una literal, planteen la ecuación correspondiente, interpreten la ecuación como una expresión que sintetiza las relaciones entre los datos y la cantidad desconocida del problema, y que sean capaces de resolver la ecuación. Hay que tomar en
33
cuenta que los alumnos que se enfrentan por primera vez a la necesidad de traducir el texto del problema al código algebraico y a la resolución de ecuaciones. Se sugiere entonces plantear una sucesión de actividades que favorezca el uso de procedimientos informales y poco a poco familiarice a los estudiantes con el uso de las propiedades de la igualdad. (15)
BLOQUE 4
Objetivo
“Identifiquen, interpreten y expresen, algebraicamente o mediante tablas y
graficas, relaciones de proporcionalidad directa.” (18)
Conocimientos y habilidades
“Analizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas
y representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica. En
particular, la expresión de la relación de proporcionalidad y = kx, asociando los
significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha
relación.” (19)
Orientaciones didácticas
En los bloques anteriores los alumnos han producido expresiones algebraicas al definir reglas de sucesiones numéricas o al expresar formulas geométricas. Ahora se trata de expresar algebraicamente una relación entre dos cantidades que varían. La proporcionalidad directa es un caso particular de las funciones lineales, al representarse gráficamente en el plano cartesiano da como resultado una recta que pasa por el origen. El uso de representaciones tabulares facilita descubrir las regularidades que se manifiestan entre las cantidades relacionadas. (19)
SEGUNDO GRADO
BLOQUE 1
Objetivo
“Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones
y/o divisiones de números con signo.
Conocimientos y habilidades
“Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones
algebraicas.
34
Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo
de modelos geométricos.” (22)
Orientaciones didácticas
Los aspectos algorítmicos del álgebra no van separados del proceso de modelación. Esto es, se propone que los alumnos vayan aprendiendo a operar con expresiones algebraicas a medida que sean necesarias en la resolución de problemas. Siempre que se trabajen temas algebraicos es conveniente insistir en que los alumnos interpreten, simbolicen y manipulen las variables involucradas en los problemas. Las identidades algebraicas son un concepto central del álgebra y constituyen la base para la transformación de expresiones algebraicas en la resolución de ecuaciones y en la simplificación de expresiones. (22)
BLOQUE 2
Objetivos
“Evalúen, con o sin calculadora, expresiones numéricas con paréntesis y
expresiones algebraicas, dados los valores de las literales.
Resuelvan problemas que impliquen operar o expresar resultados mediante
expresiones algebraicas.” (25)
Conocimientos y habilidades
“Utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis si fuera necesario, en
problemas de cálculo.
Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones
algebraicas.” (25)
Orientaciones didácticas
Es importante que los alumnos de este grado se familiaricen con el uso de paréntesis en las operaciones, de manera que sepan establecer el orden correcto para efectuar los cálculos. Hay que tomar en cuenta que los paréntesis pueden usarse en cálculos numéricos, en ecuaciones o al operar con expresiones algebraicas El estudio de la multiplicación y la división de monomios y polinomios podría iniciarse apoyándose en modelos geométricos. Por otra parte, un modelo geométrico puede servir de apoyo para consolidar los algoritmos de la adición y sustracción, estudiados en el bloque anterior. (25)
35
BLOQUE 3
Objetivos
“Elaboren sucesiones de números con signo a partir de una regla dada.
Resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma:
ax+ b=cx + d; donde los coeficientes son números enteros o fraccionarios,
positivos o negativos.
Expresen mediante una función lineal la relación de dependencia entre dos
conjuntos de cantidades.” (27)
Conocimientos y habilidades
Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx + c = dx + ex + f y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos. Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y=ax+b. (27)
Orientaciones didácticas
Una vez que los alumnos encuentran sentido a las ecuaciones, porque con esta herramienta pueden solucionar una gran variedad de problemas, es importante que consoliden la técnica para resolverlas. Conviene que al principio los alumnos se apoyen en las propiedades de la igualdad. Posteriormente podrán usar la transposición de términos, con objeto de hacer más eficiente la resolución de ecuaciones. Se sugiere utilizar el modelo de la balanza como un apoyo concreto para dar sentido a las propiedades de la igualdad. Es importante que los alumnos aprendan a reconocer diversas situaciones en las que este presente la dependencia entre variables y la variación conjunta; es decir, que el cambio en una de ellas implica un cambio en la otra. Estas situaciones pueden presentarse en tablas o por medio de graficas y la relación puede expresarse algebraicamente. La habilidad para trabajar con la variación implica la posibilidad de determinar intervalos en los que las variables tomen ciertos valores, o donde la función es creciente o decreciente, positiva o negativa u otras propiedades de la relación. (28)
BLOQUE 5
Objetivo
“Resuelvan problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas.” (31)
36
Conocimientos y habilidades
“Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas
para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.”
(31)
Orientaciones didácticas
El estudio de los sistemas de ecuaciones debe partir de problemas sencillos, que faciliten la apropiación gradual de los procedimientos para plantear y resolver ecuaciones simultáneas. A esta apropiación seguramente contribuirá el conocimiento que los alumnos tienen sobre los significados y uso de las literales en el trabajo algebraico. Los alumnos deben tener claro que el procedimiento algebraico que se utilice consiste esencialmente en realizar procesos de simplificación algebraica, de manera que quede una sola ecuación con una incógnita. No se trata entonces de que en la resolución de un problema los alumnos deban usar necesariamente un método especifico ni tampoco que deban resolverlo empleando todos los métodos, más bien, la idea es que cuenten con las herramientas necesarias para que , ante un sistema de ecuaciones, puedan elegir el método que les parezca más adecuado. (31)
TERCER GRADO
BLOQUE 1
Objetivo
“Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar
cálculos.” (32)
Conocimientos y Habilidades
“Efectuar o simplificar cálculos con, expresiones algebraicas tales como: (x+a);
(x+a)(x+b); (x+a)(x-a). Factorizar expresiones algebraicas tales como:
x+2ax+a; ax+bx; x+bx+c; x-a.
Orientaciones didácticas
La realización de este tipo de cálculos tiene sentido en dos casos: a) para
expresar o llevar a cabo cálculos numéricos, y b) para resolver ecuaciones o
problemas diversos. La formulación y resolución de ecuaciones brindan
diversas oportunidades para que los alumnos efectúen cálculos con literales y
los vinculen con las propiedades y cálculos aritméticos.” (33)
37
BLOQUE 2
Objetivo
“Resuelvan problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado,
asumiendo que estas pueden resolverse mediante procedimientos personales
o canónicos.
Conocimientos y habilidades
Utilice ecuaciones cuadráticas para moldear situaciones y resolverlas usando
la factorización.
Orientaciones didácticas
Muchas ecuaciones cuadráticas que se plantean al modelar situaciones
pueden resolverse por la vía de la factorización, la cual se estudio en el primer
apartado del bloque1.” (35)
BLOQUE 3
Objetivos
“Interpreten y representen, grafica y algebraicamente, relaciones lineales y no
lineales.
Utilicen adecuadamente la fórmula general para resolver ecuaciones de
segundo grado.” (36)
Conocimientos y habilidades
“Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la
economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en
función de la otra y representar la regla que modela esta variación mediante
una tabla o una expresión algebraica.
Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando
la formula general.” (36)
Orientaciones didácticas
El desarrollo de esta habilidad se vincula estrechamente con el trabajo propuesto en el eje manejo de la información de este mismo bloque, con la diferencia de que ahora solo se destaca el aspecto algebraico, mientras que aquel se aborda dicho aspecto y la parte grafica. Es necesario ofrecer a los alumnos numerosas oportunidades de plantear y resolver problemas que se modelen con ecuaciones cuadráticas. Si bien
38
muchas de estas ecuaciones se pueden resolver por tanteo o mediante la factorización, hay otras cuya solución se dificulta con tales procedimientos. Para esos casos conviene que los alumnos conozcan la formula general y que la sepan usar con soltura, aunque por las dificultades que entraña, su deducción se hará mas adelante, en el bachillerato. (37)
BLOQUE 4
Objetivo
“Representen algebraicamente el término general, lineal o cuadrático, de una
sucesión numérica o con figuras.” (38)
Conocimientos y habilidades
“Determinar una expresión general cuadrática para definir el enésimo término
de sucesiones numéricas y figurativas utilizando el método de diferencias.
Orientaciones didácticas
Esta tarea no es sencilla para los alumnos, por lo que conviene, por lo menos
al principio, guiar tanto el descubrimiento del patrón como el proceso de
simbolización algebraica de la regla que lo gobierna.” (39)
BLOQUE 5
No tiene objetivos
Conocimientos y habilidades
“Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de
ecuaciones con que se puede resolver y viceversa, proponer una situación que
se modele con una de esas representaciones.” (40)
Orientaciones didácticas
Se ha reservado este espacio para ofrecer a los alumnos numerosas oportunidades para resolver problemas mediante el uso de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Aunque se espera que a estas alturas del curso los alumnos dominen los procedimientos algebraicos, no se descartan los procedimientos numéricos y gráficos. Importa la habilidad para operar expresiones algebraicas, pero importa más desarrollar la habilidad para modelar situaciones. (40)
39
De la presentación anterior de los programas de estudio se puede ver que los
subtemas expresiones algebraicas y las ecuaciones lineales con una incógnita se
organizan de la forma como puede verse en el siguiente cuadro:
Grado Expresiones algebraicas Ecuaciones lineales con una
incógnita
1º Bloque 1 y 4 Bloque 3
2º Bloque 1 y 2 Bloque 3 y 5
3º Bloque 3 y 4 Bloque 2
En general, en el primer grado se presentan actividades en donde se analiza
cuándo es posible resolver la ecuación ax=b y se pide resolver ecuaciones de la
forma a + x = b; ax + b = c donde a y b son definidos por números naturales y
decimales.
La palabra ecuación aparece por primera vez en el primer grado, en el bloque 3, a
través de resolución de problemas utilizando la forma anterior.
También se resuelven ecuaciones de proporción ad=bc. En el tema de
proporcionalidad se ve la forma y = kx asociando el significado de las variables
con las cantidades que intervienen en dicha relación. Las letras reciben el nombre
de variables.
En el segundo grado se pide que se compruebe que la ecuación a + x = b
siempre tiene solución en el conjunto de los racionales, al igual se pide que se
resuelvan ecuaciones de la forma a/b + x= c/d donde x representa a la incógnita, y
se presenta de lado izquierdo respecto al signo de igual. En este grado, en el
bloque 1 se pide que se trabajen temas algebraicos donde el alumno interprete,
simbolice y manipule las variables involucradas en el problema.
Se resuelven problemas que implican el uso de ecuaciones de la forma: ax + b =
cx + d, donde los coeficientes son números enteros o fraccionarios, positivos o
negativos. También se presentan ecuaciones de la forma ax+bx+c=dx+ex+f y con
paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes
enteros o fraccionarios, positivos o negativos.
40
También se trabajan con tablas donde se registran pares ordenados de valores x y
f(x). Estas fórmulas se generalizan en la forma y=kx en la que y es f(x), k es la
constante de proporcionalidad directa y x es la variable, se representa en el plano
cartesiano. También en la relación funcional se ve la forma y = ax + b.
Se establece el concepto de ecuaciones con dos variables.
En el tercer grado se resuelven ecuaciones cuadráticas ax²+bx +c = 0 y se tabula
la ecuación.
En general, los tres grados de educación secundaria en las orientaciones
didácticas se comienza con el desarrollo del pensamiento algebraico utilizando
diversos elementos, para operar con expresiones algebraicas que son la base
principal del álgebra para dar paso a las ecuaciones ya que son una herramienta
básica para la resolución de problemas.
41
CAPÍTULO 3. Metodología
En este capítulo se presenta la manera como se trabajó para alcanzar los
objetivos planteados, las características del instrumento empleado para indagar el
tipo de dificultades o errores, los tipos de problemas que conforman el
instrumento definitivo, así como también, la identificación de errores y obstáculos
de los alumnos de segundo y tercero de secundaria en la resolución de cada tipo
de problemas, la aplicación del instrumento piloto y el definitivo, la muestra donde
se aplicó y como se procesó la información.
3.1. Diseño del instrumento preliminar
En la elaboración del instrumento, los reactivos relacionados con expresiones
algebraicas y ecuaciones lineales con una incógnita se diseñaron considerando
los programas vigentes, son similares a los planteados en libros y en los
problemas empleados en trabajos de investigación.
El instrumento preliminar se estructuró de la siguiente manera: contiene ocho
preguntas, las primeras seis corresponden a expresiones algebraicas equivalentes
cada pregunta contiene incisos las cuales, son casos sencillos donde se pide al
alumno que conteste lo que se pide en las preguntas que se le presentan; la
pregunta 7 tiene 12 ecuaciones con diferentes grados de dificultad de manera
desordenada y la pregunta 8 es una ecuación con solución pidiendo que explique
cómo fue la solución de la ecuación y si es correcta.
Las expresiones algebraicas son similares a las del instrumento diseñado por
Palarea (1998), y en lo tocante a ecuaciones la elección está basada en Prada,
(1994) mismas que fueron diseñadas de forma que en cada una se puedan
identificar los elementos de dificultad según una codificación que responde a los
siguientes criterios: valores negativos en uno o más términos; valores
fraccionarios; inclusión de paréntesis precedidos de signo menos; términos
binómicos e inclusión de la incógnita en el denominador.
Las ecuaciones son casos particulares de todas las formas generales en que
estas se pueden presentar: ax + b = c; ax + b = cx + d; a/x + b = c/x + d; a/x +b +c
= d/x+e + f.
42
El propósito del instrumento fue poner a prueba los reactivos diseñados en cuanto
a los grados de dificultad y obtener información que aporte elementos para hacer
los ajustes necesarios. Además permite obtener una experiencia previa y con esto
la posibilidad de abordar con éxito y con mayor información la aplicación del
instrumento definitivo. A continuación se reporta como se llevó a cabo el trabajo
durante el estudio piloto y los resultados obtenidos.
Se aplicó el instrumento piloto a ocho alumnos de una escuela secundaria técnica,
el trabajo tuvo una duración de una hora con cincuenta minutos. Cuatro de ellos
son de segundo grado de secundaria y cuatro de tercer grado, con la finalidad de
conocer las posibles respuestas de los alumnos, el tiempo en responderlo y la
comprensión de los enunciados de cada pregunta. Los resultados obtenidos, en
general, fueron que los alumnos utilizaron recursos aritméticos para solucionar las
preguntas, solo algunos utilizaron literales dándole el significado algebraico y
comprendiendo cuál es su función, se observó que era necesario una instrucción
más, en las primeras seis preguntas se agregó “sustituye y reduce las siguientes
expresiones”, con el fin de que puedan responder de una mejor manera y se
disminuyó el número de incisos en cada pregunta para acortar el tiempo.
A partir de esta prueba se hicieron las modificaciones pertinentes al instrumento
para posteriormente elaborar el definitivo. A continuación se presenta el
instrumento que se aplicó a la muestra elegida:
43
ESCUELA:_____________________________________________ GRADO:_______
NOMBRE COMPLETO:________________________________
INSTRUCCIONES: Lee con mucha atención las siguientes preguntas y contesta lo que se
te pide.
1. Sustituye y reduce las siguientes expresiones.
Si a = 2b, ¿en qué se transforma 5a + 3?
Si a = b + 3, ¿en qué se transforma 5a + 3b?
Si a = 2b, ¿en qué se transforma (a + 3) (3 - a)?
2. En cada uno de los casos siguientes halla las sustituciones que se hacen para pasar de
las expresiones de la columna A a la B.
A B
a) 5x - 17 5 (y + 1) - 17
b) 2x . 3y – z 6 x p - z
c) (j + 7) e (j + 7) (f - 2)
3. Calcula y reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones:
a) x (y – x) =
b) 4 + 3y =
c) a + a + 3b + 5a =
d) 5y – 2t =
e) (a – b) + b =
f) 3a - b + a =
g) 3a – (b + a) =
h) (a – b + c) + (b – a) =
i) (a + b) + (a – b) =
j) 5a + (b + a) =
4. Calcula y reduce cuando sea posible las siguientes expresiones:
a) (2x + y) – (x – y) =
b) 2x + (x – y) =
c) (x + y) 3 =
5. ¿Qué significa 3n? Subraya todas las respuestas que creas que son correctas:
a) 3 + n b) 3 y n c) 3 x n
d) 3 + 3 + 3 e) n + n + n
f) Si tienes otra respuesta, por favor escríbela.
6.
a) ¿En qué se transforma 4a si a = 2?
b) ¿En qué se transforma a (b – c) si a = 2, b = 8 y c = 3?
44
c) ¿En qué se transforma a – b + c si a = 3, b = 7 y c = 2?
7. Resuelve las siguientes ecuaciones, anotando el procedimiento que utilices para llegar
a la solución.
147) xa
8513) xxb
404634) xxc
10462) xxd
4325) xxe
12732) xxf
102
5) xg
8)2(2
32) x
xh
5
13
2)
xi
1052
3)
xj
5
8
3
4
5)
xk
65
3
2
4)
xl
8. Explica la solución de la siguiente ecuación, ¿es correcto el resultado? ¿Porque?
27310 xx
10273 xx
810x
10
8x
5
4x
45
Escuela donde se aplicó el instrumento
El instrumento se aplicó en una institución privada que lleva por nombre Sara
Alarcón, se ubica en Lago Alberto Nº319 entre las calles Mariano Escobedo Y Río
San Joaquín Delegación Miguel Hidalgo, México, D. F.
El nivel socio económico de los padres se puede considerar medio alto. El nivel de
estudios con el que cuenta la planta docente de la institución es 60% licenciatura,
15% maestría, 10% especialidad, 10 % técnico, y 5% doctorado.
Esta institución cuenta con una población total de 906 alumnos, 6 grupos de
preescolar con 123 alumnos, en el nivel primaria 17 grupos, cuenta con 3 grupos
para cada uno de los grados de primero, quinto y un grupo de sexto, en total en
primaria se atienden a 475 alumnos, en el nivel de secundaria son 9 grupos con
230 alumnos tres grupos por grado y del nivel bachillerato 3 grupos con 78
alumnos.
Aplicación del instrumento
Se aplicó a 132 alumnos de educación secundaria, que formaban parte de seis
grupos, cada uno de 22 alumnos, tres grupos de segundo grado y tres de tercer
grado. Se llevó a cabo durante dos días, a mediados del mes de junio del año
2008. En este periodo los alumnos de ambos grados ya habían estudiado los
temas presentes en el instrumento.
El instrumento que se aplicó a los dos grupos era el mismo solo que en el segundo
grado se acomodaron las ecuaciones de fácil a difícil por el nivel de
conocimientos, y en tercer grado las ecuaciones están en desorden, pero son las
mismas porque los de tercero ya tenían más conocimientos y práctica acerca de
este tipo de ecuaciones.
El examen estuvo conformado por cuatro hojas con ocho preguntas. Se pidió que
leyeran las instrucciones y anotaran el procedimiento. El tiempo que tardó cada
grupo en responder fue de una hora incluyendo la indicación que se dio al inicio, la
aplicación del instrumento estuvo a cargo de la investigadora.
46
Procesamiento de la información
Lo que evaluó y analizó en el instrumento fue en primer lugar las preguntas
correctas e incorrectas con la finalidad de ver cuál es el procedimiento que utilizan
los estudiantes para llegar a la solución, en segundo lugar el tipo de errores de los
considerados que cometen los alumnos en cada pregunta, los cuales son:
concatenación de las operaciones o necesidad de clausura; confusión de las
operaciones; no considera la información; sustituye no reduce; no usa o ignora los
paréntesis y bien si no hizo nada.
El tipo de soluciones encontradas son las que se resuelven aritméticamente pero
solo toman en cuenta el número y el signo de la operación ignorando la literal.
Durante la recopilación de datos, fue complicado procesar la información. Primero
se revisó cada examen observando los respuestas correctas y las incorrectas
elaborando unas tablas por cada alumno y por cada pregunta del instrumento
(véase tablas en anexo 1), para cada pregunta se realizó una gráfica de los
alumnos que respondieron correctamente, en una segunda tabla se capturaron
los tipos de errores de cada alumno lo cual fue complicado y demandó mucho
tiempo. De los seis errores establecidos, algunos alumnos cometían hasta dos o
tres errores simultáneamente (véase esquemas en análisis de los resultados), se
determinó la frecuencia de los errores, se agregaron comentarios y seleccionaron
ejemplos de registros de errores de los alumnos, también se elaboró una gráfica
para cada inciso de pregunta considerando el número de errores cometidos y otra
gráfica del porcentaje de cada error en la pregunta; además, se construyeron unas
tablas para revisar la frecuencia de los errores (véase tabla en anexo 3).
Finalmente, se procedió a elaborar los esquemas por cada pregunta e inciso del
total de errores colocando en cada pregunta el registro del alumno que cometió
dicho error con la finalidad de agrupar los errores y ver cuántos alumnos cometen
uno o varios errores en la misma pregunta, se incorporaron tanto la gráfica de
frecuencia de errores como la gráfica de porcentajes de respuestas correctas, así
mismo se incluyó el ejemplo de cada error con un comentario de lo que hace el
alumno, se agruparon los patrones de error para determinar cuántos alumnos
cometen más de un error.
47
Al final se analizaron las respuestas en general de acuerdo con las categorías de
análisis de errores que tienen su origen en un obstáculo, estos son: concatenación
de las operaciones o necesidad de clausura, no considera la información y
confusión de las operaciones; análisis de los que tienen su origen en ausencia de
sentido: sustituye no reduce y análisis de errores de procedimiento: no usa o
ignora los paréntesis. Se hicieron los comentarios generales de cada pregunta
tanto en 2º como en 3º y después la comparación de ambos grados con sus
gráficas correspondientes.
Se optó por el enfoque cuantitativo método cuasi experimental que permite, una
vez identificadas las variables a estudiar, obtener resultados matemáticamente
interpretables. La fuente de datos importante fue el examen escrito de los
estudiantes el cual proporcionó información sobre la manera en que éstos
abordaron las preguntas. Se quiere detectar las dificultades que tienen los
alumnos al aplicarles el instrumento, cuáles son sus errores, donde se producen
sus bloqueos.
También se utilizó el método cualitativo en el análisis de las preguntas pues se
consideraron todos aquellos recursos y procedimientos parciales, completos,
articulados o no, que los alumnos empleaban para dar respuesta a la pregunta. De
aquí se realizó el análisis de los errores los cuales se agruparon en tres orígenes
que son de obstáculo, ausencia de sentido y procedimiento estos a su vez cada
uno se divide, y son utilizados para clasificar cada uno de los errores. También se
determinaron patrones de error ya que los alumnos cometían uno o más errores a
la vez.
48
CAPÍTULO 4. Análisis de los resultados
Este capítulo se divide en dos partes, la primera presenta los esquemas, gráficas,
registros, tablas de los errores, frecuencias y comentarios en general; la segunda
parte contiene la comparación de los tres programas de estudio de 1975, 1993 y
2006.
4.1 Análisis de los registros de 2º de Secundaria Los registros son las respuestas que dieron los alumnos en el instrumento aplicado. Pregunta1a Sustituye y reduce la siguiente expresión:
Si a= 2b, ¿en que se transforma 5a + 3?
1, 2, 4, 9, 12, 15, 17, 19, 20, 23, 24, 27, 53,
64
8, 13, 14, 16, 32, 45
34, 62
3, 8, 14, 23, 29, 41, 43, 45, 47
2
8
10, 13, 16, 27, 29, 32, 33, 37, 38, 39,
44, 48 12
18
3, 10, 11, 27, 29, 33, 37-39, 41, 43, 44,
47, 48, 50, 54, 56, 66
14
6
49
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 37
correctamente, equivale a 56%.
El error con mayor frecuencia es la concatenación de las operaciones o necesidad
de clausura.
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones o necesidad de clausura
B27
El alumno comete el error de concatenación de las operaciones, solo da el
resultado en general sin hacer ninguna operación lo que se le conoce como
yuxtaponer dos o mas símbolos.
Sustituye no reduce
B20
El alumno solo sustituye el valor de la literal no reduce términos.
0
5
10
15
20
1a
1a
50
Confusión de las operaciones
B14
El alumno solo acomoda los números que se le presentan en el enunciado en
forma de suma.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
B3
El alumno comete doble error no coloca el paréntesis, pone las dos literales y
suma los términos diferentes, cometiendo el error de concatenación de
operaciones o necesidad de clausura, su resultado que presenta es la
yuxtaposición de dos o mas símbolos en este caso se observa que son tres
símbolos.
No considera la información
B44
El alumno no considera la información solo coloca el primer dato y da un
resultado, se percibe que no entiende el enunciado.
Patrón de error
Para agrupar los errores se identifican de la siguiente manera: E1 Concatenación
de las operaciones o necesidad de clausura, E2 sustituye no reduce, E3 confusión
de las operaciones, E4 no hizo nada, E5 ignora o interpreta mal los paréntesis, y
E6 no considera la información o no entiende el enunciado.
Patrón de error: E1y E6 nueve alumnos cometen dos errores en esta pregunta.
51
Pregunta 1b
Sustituye y reduce la siguiente expresión:
Si a= b + 3, ¿en que se transforma 5a + 3b?
05
101520253035
1b
1b
1, 2, 4, 7, 9, 12, 15, 19-20, 23, 27, 35, 40,
42, 46, 52-53, 55, 59, 63-65
8, 13-17, 19, 24, 28, 30-32, 40-42, 45,
46, 51, 55, 61,
13, 34, 36, 62
3, 7, 8, 14, 29, 35, 40-43, 45, 47, 65
10, 13, 16, 27, 29, 32, 33, 37, 38, 39, 44,
46, 48
4
13
0
8
16
24
32
40
48
56
64
2
ac
iert
os
1b
1b
29
3, 5, 6, 10, 11, 18, 21, 22, 24-27, 29, 32, 33, 37,
38, 39, 41, 43, 44, 47-49,50,53, 54, 56-58, 60, 66
13
19
16
52
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 16
correctamente, equivale a 24%
El error más frecuente es la concatenación de las operaciones o necesidad de
clausura.
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
B25
El alumno resuelve bien la sustitución, al momento de resolver para reducir
términos se confunde y suma los términos diferentes que están dentro del
paréntesis, multiplica y suma todo junto, busca la necesidad de clausura y da
su resultado yuxtaponiendo dos símbolos.
Sustituye no reduce
B2
El alumno solo sustituye no reduce términos.
Confusión de las operaciones
B14
El alumno no utiliza paréntesis para hacer la sustitución, por tanto se confunde
y acomoda todo en forma de suma sin dar un resultado.
53
Ignora o interpreta mal los paréntesis
B41
El alumno no utiliza paréntesis para colocar el valor de a, se confunde y solo
da términos diferentes.
No considera la información
B27
El alumno no considera el valor de a, por lo tanto no sustituye y solo suma los
términos diferentes, lo cual nos da también el error de concatenación de las
operaciones o necesidad de clausura yuxtaponiendo dos símbolos.
Patrones de error
Para agrupar los errores se identifican de la siguiente manera: E1 Concatenación
de las operaciones o necesidad de clausura, E2 sustituye no reduce, E3 confusión
de las operaciones, E4 no hizo nada, E5 ignora o interpreta mal los paréntesis, y
E6 no considera la información o no entiende el enunciado.
Primer patrón de error: E1y E6 diez alumnos cometen dos errores en esta
pregunta.
Segundo patrón de error: E2 y E5 siete alumnos cometen estos dos errores.
Tercer patrón de error: E2 y E3 seis alumnos cometen dos errores.
54
Pregunta 1c Sustituye y reduce la siguiente expresión:
Si a= 2b, ¿en que se transforma (a + 3) (3 + a)?
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 13
correctamente, equivale a 19%
05
1015202530
1c
1c
1, 2, 4, 6-7, 9, 12, 14-15, 20, 22, 23, 27, 35,
40, 42, 46, 52, 59, 61,64-65
8, 13-17, 19, 24, 28, 30-32, 40-42, 45,
46, 51, 55, 61,
8, 16, 30, 31, 34, 36, 37, 38, 62, 63
3, 29, 33, 39, 41, 45, 47, 59
10, 13, 14, 16, 27, 29, 32, 37, 38, 44, 48, 11
0
8
16
24
32
40
48
56
64
2
ac
iert
os
1c
1c
26
3, 5, 10, 11, 18, 21, 24-27, 29, 33, 39, 41,
43, 44, 47-49, 53, 54, 56-58, 60, 66
8
10
22
16
55
El error mas frecuente es la concatenación de las operaciones o necesidad de
clausura.
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones B58
El alumno tiene dos errores interpreta mal el paréntesis, en el primer paréntesis
multiplica términos diferentes y en el segundo realiza una resta de términos
diferentes y al final suma y da como resultado 7b cometiendo el error de
concatenación de las operaciones yuxtaponiendo dos símbolos.
Sustituye no reduce
B52
El alumno solo sustituye lo que vale a, no reduce.
Confusión de las operaciones
B55
El alumno multiplica los términos diferentes que hay dentro de cada paréntesis
y es lo que presenta de resultado.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
B39
56
El alumno hace la sustitución pero elimina los paréntesis sin reducir términos.
B41
Se percibe que el alumno en el primer paréntesis suma términos diferentes y
en el segundo paréntesis resta términos diferentes, el resultado que le dio de
ambos lo multiplica, yuxtaponiendo dos símbolos.
No considera la información
B44
El alumno no considera la información y solo coloca una resta.
Patrones de error
Para agrupar los errores se identifican de la siguiente manera: E1 Concatenación
de las operaciones o necesidad de clausura, E2 sustituye no reduce, E3 confusión
de las operaciones, E4 no hizo nada, E5 ignora o interpreta mal los paréntesis, y
E6 no considera la información o no entiende el enunciado.
Primer patrón de error: E1y E6 cinco alumnos cometen dos errores en esta
pregunta.
Segundo patrón de error: E2 y E5 cinco alumnos cometen estos dos errores.
Tercer patrón de error: E2 y E3 seis alumnos cometen dos errores.
Comentarios generales de la pregunta 1
En el inciso 1a el 55% de los alumnos respondieron correctamente la
pregunta, en los otros dos incisos solo 24% de respuestas correctas.
En los tres incisos el comportamiento es similar.
57
En los tres incisos el mayor número de errores es la concatenación de las
operaciones o necesidad de clausura el 30%, este tipo de error tiene su
origen en un obstáculo cognitivo.
Los tres incisos coinciden en el primer patrón de error que son la
concatenación de las operaciones o necesidad de clausura y no considera
la información o no entiende el enunciado en donde entre cinco y diez
alumnos cometen los dos errores.
Los incisos 1b y 1c tienen segundo y tercer patrones de error, que cometen
entre cinco y siete alumnos.
El 5% del total no hizo nada.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1a 1b 1c
No Hizo Nada
Confusión de operaciones
No considera Información
Ignora parentesís
sustituye no reduce
concatenación
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1a,b,c
No Hizo Nada
Confusión de operaciones
No considera Información
Ignora parentesís
Sustituye no reduce
Concatenación
58
Pregunta 2a, 2b y 2c En cada uno de los casos siguientes halla las sustituciones que se hacen para
pasar de las expresiones de la columna A a la B
A B
5x – 17 5(y +1) -17
2x. 3x – z 6xp – z
(j + 7) e (j + 7) (f – 2)
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado de secundaria en el inciso a)
43 contestaron correctamente, equivale al 54%, inciso b) 26 contestaron
correctamente equivale al 39% e inciso c) 41 contestaron correctamente equivale
a 61%
3, 13, 30, 42, 44, 45, 47, 50, 55, 56,
61, 64
1, 2, 8, 14, 16, 17, 27, 29, 32-41, 46,
48, 52, 56, 59, 62 23
13, 44, 45, 47
0
8
16
24
32
40
48
56
64
2a 2b 2c
acie
rto
s
2a, b y c
Series105
10152025
Confu
sió
n
no c
onsid
era
la
info
rmació
n
frecu
en
cia
de
err
ore
s
2a, b y c
Series1
12
4
59
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Confusión de las operaciones
B3
El alumno comete dos errores no entiende la información y hay confusión de
operaciones trata de resolver tomando en cuenta solo los números haciendo
una operación básica.
no considera la información o no entiende el enunciado
B44
El alumno no entiende el enunciado y confunde los términos tratando de
resolver mediante las operaciones básicas.
El alumno no considera la información y solo coloca una resta.
60
Comentarios generales de la pregunta 2
Más de la mitad de los alumnos respondieron correctamente la pregunta
equivale a 63%.
En los tres incisos su comportamiento es similar.
El error más frecuente es no hizo nada.
En esta pregunta solo se consideran dos tipos de errores confusión de
operaciones y no considera la información o no entiende el enunciado que
tienen su origen en un obstáculo cognitivo.
En esta pregunta no se encontraron patrones de error.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
2a 2b 2c
no hizo nada
no considera la información
Confusión de operaciones
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
2a, b, c
no hizo nada
no considera la información
Confusión de operaciones
61
Pregunta 3a
Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
x ( y – x) =
El error más frecuente es la confusión de las operaciones.
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 21
correctamente, equivale a 21%.
2, 4, 9, 10, 13, 16, 18, 21, 27, 33, 35,
37, 39, 44, 46, 47, 58, 60
1, 3, 5, 6, 8, 12, 20, 22, 24, 26, 29, 32,
40, 42, 43, 49, 52, 54, 62, 64, 65
0
5
10
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11, 14, 15, 19, 20, 25, 28, 34, 45, 50,
53, 66
21
18
19
1, 11, 15, 18, 24, 28, 29, 32, 34, 38,
40, 43-45, 50, 62, 64-66
62
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones o necesidad de clausura.
B15
El alumno suma términos diferentes, ignorando el paréntesis.
Confusión de las operaciones
B24
El alumno confunde las operaciones y ignorando lo que significa los paréntesis.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
B28
El alumno ignora los paréntesis e información y confunde las operaciones
Patrones de error
Para agrupar los errores se identifican de la siguiente manera: E1 Concatenación
de las operaciones o necesidad de clausura, E2 confusión de las operaciones,
E3no hizo nada, E4 ignora o interpreta mal los paréntesis.
Primer patrón de error: E1y E4 siete alumnos cometen dos errores en esta
pregunta.
Segundo patrón de error: E2 y E4 ocho alumnos cometen estos dos errores.
63
Pregunta 3b Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
4 + 3y =
El error más frecuente es la concatenación de las operaciones
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 6 correctamente,
equivale a 9%
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
B4
El alumno solo realiza la suma de términos diferentes.
1, 2, 7, 16, 33, 42, 47, 60, 65
6, 8, 9, 17, 20, 23, 27, 28, 31, 55, 61,
62
0
8
16
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3b
38
3, 4, 10-15, 18-21, 24, 26, 29, 32,
34-36, 38-41, 43-45, 48-51, 53-56,
58, 59, 64, 66
12
9
64
Confusión de las operaciones
B17
El alumno se confunde y trata de resolver como si fuera una ecuación
despejando y.
Pregunta 3c Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
a + a + 3b + 5a =
El error más frecuente es la concatenación de las operaciones
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 28
correctamente, equivale a 42%
1, 2, 16, 20, 21, 28, 33, 47, 60
4, 8, 17, 27, 32, 62
9
0
8
16
24
32
40
48
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cia
de
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3c
3c
20
3, 10, 13, 14, 19, 25, 29, 34, 38, 43, 44,
45, 49, 50, 51, 53, 56, 59, 64, 66
6
65
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
B14
El alumno suma términos diferentes y da su resultado.
Confusión de las operaciones
B62
El alumno confunde las operaciones y cambia todos los signos positivos por
negativos y luego coloca los números y las literales en forma de fracción.
Pregunta 3d Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
5y – 2t =
1, 2, 7, 14, 15, 16, 20, 21, 25, 28, 29,
32, 33, 35,41, 42, 47, 53, 60, 61, 65
8, 9, 17, 23, 24, 27, 55, 62
19
3, 5, 10, 11, 13, 34, 38, 39, 40, 43, 44, 45,
49, 50, 51, 56, 59, 64, 66
8
21
66
El error más frecuente es la concatenación de las operaciones
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 19
correctamente, equivale a 28%
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
B66
El alumno solo realiza la resta de términos diferentes y da su resultado.
Confusión de las operaciones
B55
El alumno se confunde y realiza un despeje de y.
0
5
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cia
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3d
3d
67
Pregunta 3e
Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
(a - b) + b =
El error más frecuente es ignora o interpreta mal el paréntesis
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 6 correctamente,
equivale a 9%
2, 15, 16, 18, 20, 21, 28, 33, 35, 37,
38, 39, 42, 46, 47, 60, 61
1, 5, 6, 8, 9, 12, 17, 22-25, 27, 29, 34,
36, 40, 41, 48, 49, 52-55, 57, 62, 65
05
1015202530
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3, 4, 10, 11, 13, 14, 19, 32, 43, 44, 45,
50, 51, 57, 59, 64, 66
26
17
27
1, 4, 8, 11, 18, 20, 23, 24, 27,32, 34, 36,
40, 42-45, 49-51, 55, 57, 59, 62, 64-66
68
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
B11
El alumno suma términos diferentes.
Confusión de las operaciones
B23
El alumno confunde las operaciones uniendo términos diferentes, ignorando
signos y colocando potencia.
Ignora o interpreta mal el paréntesis
B40
El alumno ignora el paréntesis y realiza un despeje de a, sumando b
Patrones de error
Para agrupar los errores se identifican de la siguiente manera: E1 Concatenación
de las operaciones o necesidad de clausura, E2 confusión de las operaciones,
E3no hizo nada, E4 ignora o interpreta mal los paréntesis.
Primer patrón de error: E1y E4 doce alumnos cometen dos errores en esta
pregunta.
Segundo patrón de error: E2 y E4 trece alumnos cometen estos dos errores.
69
Pregunta 3f Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
3a - b + a =
El error más frecuente es la ignora o interpreta mal los paréntesis
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 24
correctamente, equivale a 36%
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
B3
El alumno solo une términos diferentes.
1, 2, 6, 16, 18, 20, 28, 33, 35, 37, 38,
39, 42, 46, 47
8, 17, 19, 25, 29, 32, 34, 40, 60, 62
0
8
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32
40
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3f
3f
13
3, 4, 10, 13, 14, 15, 27, 43, 44, 45, 57, 64,
66
10
15
70
Confusión de las operaciones
B29
El alumno confunde las operaciones que se piden y coloca potencia.
Pregunta 3g
Calcula y reduce cuando sea posible, las siguientes expresiones:
3a – ( b + a) =
1, 2, 6, 15, 16, 18, 20, 28, 30, 33,
35,39, 46, 47, 50, 56, 60, 61
5,8, 9,11,12,17,19,22,23,25,29, 32, 34,
36,40,42,48,49,51, 53,54, 57,62, 65
3, 4,17,18, 23, 27, 29, 32, 34, 37, 40,
43-45, 57, 62, 64-66
19
0
8
16
24
32
40
48
56
64
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20
25
30
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3g
14
3, 4, 10, 13, 14, 27, 37, 38, 43, 44, 45,
57, 64, 66
24
18
71
El error más frecuente es confusión de operaciones
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 6 correctamente,
equivale a 9%
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
B27
El alumno suma términos semejantes y al final une términos diferentes.
Confusión de las operaciones
B29
El alumno confunde y eleva a la potencia.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
B45
Patrones de error
Para agrupar los errores se identifican de la siguiente manera: E1 Concatenación
de las operaciones o necesidad de clausura, E2 confusión de las operaciones,
E3no hizo nada, E4 ignora o interpreta mal los paréntesis.
Primer patrón de error: E1y E4 diez alumnos cometen dos errores en esta
pregunta.
Segundo patrón de error: E2 y E4 nueve alumnos cometen estos dos errores.
72
Pregunta 3h Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
( a – b + c) + (b – a) =
El error más frecuente es confusión de las operaciones
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 7 correctamente,
equivale a 10%
1, 2, 4, 6, 10, 15, 16, 19, 20, 21,25, 28, 30, 31,
33, 35, 37, 39, 46, 47, 50, 53, 54, 56, 59-61
8, 9, 11, 12, 17, 22, 23, 29, 32, 34, 36, 40,
41, 42, 48, 49, 51, 52, 57, 62, 63, 65
3, 17, 27, 32, 34, 36, 40, 42-45, 51, 57,
62-66
0
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3, 14, 27, 43, 44, 45, 57, 64, 66
18
22
27
73
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
B57
El alumno solo une todos los términos diferentes.
Confusión de las operaciones
B48
El alumno confunde y no toma en cuenta los signos, solo realiza suma.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
B27
El alumno interpreta mal el paréntesis no tomando en cuenta los signos realiza
multiplicación.
Patrones de error
Para agrupar los errores se identifican de la siguiente manera: E1 Concatenación
de las operaciones o necesidad de clausura, E2 confusión de las operaciones,
E3no hizo nada, E4 ignora o interpreta mal los paréntesis.
Primer patrón de error: E1y E4 siete alumnos cometen dos errores en esta
pregunta.
Segundo patrón de error: E2 y E4 once alumnos cometen estos dos errores.
74
Pregunta 3i
Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
(a + b) + (a – b ) =
El error más frecuente es confusión de operaciones
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 6 correctamente,
equivale a 9%
2, 6, 10, 15, 16, 19-22, 25, 28, 30, 31, 33,
35, 37, 39, 40, 46, 47, 50, 52, 56, 59-61, 65
1, 4, 8, 9, 11, 12, 17, 18, 23, 24, 29, 32,
34, 36, 41, 42, 48, 49, 51, 62, 63
0
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32
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3, 13, 14, 27, 43, 44, 45, 57, 64, 66
21
27
3, 17, 27, 29, 32, 34, 36, 41-43, 45, 51, 57,
62, 64, 66 16
75
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
B45
El alumno solo suma términos diferentes.
Confusión de las operaciones
B11
El alumno se confunde en los signos y realiza solo suma.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
B3
El alumno ignora paréntesis y signos y une términos diferentes cometiendo el
error de concatenación.
Patrones de error
Para agrupar los errores se identifican de la siguiente manera: E1 Concatenación
de las operaciones o necesidad de clausura, E2 confusión de las operaciones,
E3no hizo nada, E4 ignora o interpreta mal los paréntesis.
Primer patrón de error: E1y E4 siete alumnos cometen dos errores en esta
pregunta.
Segundo patrón de error: E2 y E4 nueve alumnos cometen estos dos errores.
76
Pregunta 3j Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
5a + ( b + a ) =
El error más frecuente es ignora o interpreta mal el paréntesis
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 24
correctamente, equivale a 36%
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
B44
1, 2, 6, 10, 15, 16, 18-21, 27, 28, 30,
31, 33, 35, 39, 40, 46, 47, 50, 56, 60
4, 8, 17, 25, 29, 32, 34, 61, 62
0
8
16
24
32
40
48
56
64
2
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15
20
25
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3, 13, 14, 27, 43, 44, 45, 57, 64, 66
9
23
3, 4, 8, 13, 17, 29, 32, 34, 43-45, 57,
66 13
77
El alumno solo da un resultado.
Confusión de las operaciones
B17
El alumno se confunde y en el segundo paréntesis une términos diferentes.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
B13
El alumno interpreta mal el paréntesis y solo une términos diferentes.
Patrones de error
Para agrupar los errores se identifican de la siguiente manera: E1 Concatenación
de las operaciones o necesidad de clausura, E2 confusión de las operaciones,
E3no hizo nada, E4 ignora o interpreta mal los paréntesis.
Primer patrón de error: E1y E4 siete alumnos cometen dos errores en esta
pregunta.
Segundo patrón de error: E2 y E4 seis alumnos cometen estos dos errores.
Comentarios generales de la pregunta 3
En la pregunta 3 en general menos de la mitad de los alumnos
respondieron correctamente que equivale al 22%.
En esta pregunta se encuentran diez incisos, los ejercicios son expresiones
algebraicas en los cuales se pide calcular y reducir, hay una división de
incisos seis llevan paréntesis y los otros cuatro no.
Los siguientes incisos tienen los mismos patrones de error, 3a, e, g, h, i, j,
también se coloco un error mas el de ignora o interpreta mal los paréntesis
y es el error más frecuente 25% del total de errores.
Los incisos anteriores tienen dos patrones de error, el primer patrón de
error es concatenación de operaciones o necesidad de clausura e ignora o
interpreta mal los paréntesis y hay entre siete y doce alumnos que cometen
dos errores al mismo tiempo y el segundo patrón de error es confusión de
78
operaciones e ignora o interpreta mal el paréntesis y esta entre seis y trece
alumnos que cometen los dos errores. En algunos casos son los mismos
alumnos en los dos patrones de error en otros hay variación.
Los incisos 3b, c, d, f, solo tienen tres errores, y no tienen patrones de error.
También tienen dos errores con el 22% cada uno del total que son la
concatenación de las operaciones o necesidad de clausura que tiene su
origen en un obstáculo cognitivo o confusión de las operaciones.
El 15% no hizo nada.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
3a 3b 3c 3d 3e 3f 3g 3h 3i 3j
No hizo nada
Ignora o interpreta mal el parentesis
Confusión
Concatenación
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
3a-j
No Hizo Nada
Ignora o interpreta mal el parentesis
Confusión de operaciones
Concatenación
79
Pregunta 4a, b y c
Calcula y reduce cuando sean posibles las siguientes expresiones:
(2x + y) – (x – y) =
2x + (x - y) =
(x + y) 3 =
El error más frecuente es confusión de las operaciones
1, 2, 6, 10, 14-16, 19-21, 25, 27, 28, 30, 31,
33, 35-40, 42, 43, 45-48, 50,53,56, 59-61, 66
3, 4, 8, 9, 11, 12, 13, 17, 18, 23, 26, 29,
32, 34, 36, 41, 49, 51-53, 54, 61-63, 65
05
10152025303540
Concate
nació
n
Confu
sió
n
no h
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ignora
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frecu
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de
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4a, b y c
4a, b y c
0
8
16
24
32
40
48
56
64
4a 4b 4c
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4a, b y c
Series1
7
5, 14, 44, 55, 57, 58, 64
21
35
14
3, 4, 11-13, 17, 29, 32, 34, 36, 41, 44, 49,
51, 55, 57, 58, 62, 63, 65
80
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, del inciso a) 5 contestaron
correctamente equivale a 7%, inciso b) 10 contestaron correctamente equivale a
15% y el inciso c) 9 contestaron correctamente equivale a 13%
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
B44
El alumno solo da un resultado ignorando paréntesis e información.
Confusión de las operaciones
B62
El alumno confunde la información en los dos primeros incisos el segundo
paréntesis acomoda en forma de fracción.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
B55
81
El alumno interpreta mal el paréntesis multiplicando la información que se
encuentra.
No hizo nada puso comentario
B43
Patrones de error
Para agrupar los errores se identifican de la siguiente manera: E1 Concatenación
de las operaciones o necesidad de clausura, E2 confusión de las operaciones,
E3no hizo nada, E4 ignora o interpreta mal los paréntesis.
Primer patrón de error: E1y E4 cuatro alumnos cometen dos errores en esta
pregunta.
Segundo patrón de error: E2 y E4 quince alumnos cometen estos dos errores.
Comentarios generales pregunta 4
En esta pregunta fueron muy pocos los aciertos solo el 15% respondieron
correctamente.
El comportamiento de los alumnos es similar en los tres incisos.
El error mas frecuente es no hizo nada 48% del total
El error de confusión de las operaciones equivale un 24% y tiene su origen
en un obstáculo cognitivo.
Tienen dos patrones de error en el primer patrón de error es la
concatenación de las operaciones o necesidad de clausura e ignora o
interpreta mal los paréntesis solo cuatro alumnos lo cometen y el segundo
82
patrón de error es confusión de las operaciones e ignora o interpreta mal el
paréntesis quince alumnos.
Pregunta 5
¿Qué significa 3n? subraya todas las respuestas que creas que son correctas:
a) 3 + n b) 3 y n c)3 x n d)3 + 3 +3
e) n +n + n f) Si tienes otra respuesta, por favor escríbela
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
4a 4b 4c
no hizo nada
Interpreta mal el parentesis
Confusión
Concatenación
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
4a, b, c
no hizo nada
Interpreta mal el parentesis
Confusión
Concatenación
83
El error más frecuente es la confusión de operaciones.
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 19
correctamente, equivale a 28%
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Confusión de las operaciones
B17
El alumno se confunde y subraya varias opciones.
31, 43, 47, 50, 51
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Confusión no hizo nada
frecu
en
cia
de
err
ore
s
5
5
0
8
16
24
32
40
48
56
64
2
ac
iert
os
5 .
5 .
1-4, 6, 8, 9, 13, 14, 17, 18, 20-22, 25-30, 32,
34-36, 39, 40, 42, 44-46, 48, 49, 52-54, 56,
57, 60, 62-66
5
44
84
Comentarios generales pregunta 5
Menos de la mitad de los alumnos responden correctamente equivale al
30%.
La mayor parte de los alumnos cometen el error de confusión de las
operaciones, marcan más de dos opciones equivale al 90%
No se encuentran patrones de error.
Pregunta 6a, b y c
¿En qué se transforma 4a si a = 2?
¿En qué se transforma a( b – c) si a =2, b = 8 y c = 3?
¿En qué se transforma a – b + c si a = 3, b = 7 y c = 2?
1, 12, 17 19, 22, 23, 36, 52, 56, 61, 62
3, 9, 11, 13, 14, 21, 25, 28, 29, 33, 34,
37, 38, 41, 44, 45, 48, 49, 54, 65, 66
2, 4, 6, 8, 10, 16, 19, 20, 27, 30-32,
35, 43, 47, 50, 51, 53, 56-59, 63, 64 24
84%
86%
88%
90%
92%
94%
96%
98%
100%
5
no hizo nada
Confusión
11
21
85
El error más frecuente es confusión de las operaciones
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, del inciso a) 27 contestaron
correctamente equivale a 40%, inciso b) 30 contestaron correctamente equivale a
45% y el inciso c) 19 contestaron correctamente equivale a 28%
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Sustituye no reduce
B17
El alumno solo sustituye pero no reduce términos
Confusión de las operaciones
B14
0
8
16
24
32
40
48
56
64
6a 6b 6c
acie
rto
s
6a, b y c
Series1
05
10152025303540
sustitu
ye
no r
educe
Confu
sió
n
no h
izo
na
da
frec
ue
nc
ia d
e e
rro
res
6a, b yc
6a, b yc
86
El alumno confunde en el primer inciso trata de sumar los datos que se le dan,
en el segundo y tercer inciso une el valor de la literal con el número
No uso de paréntesis
B23
El alumno solo en este inciso no utiliza paréntesis y coloca los números juntos.
Comentarios generales pregunta 6
Menos de la mitad de los alumnos respondieron correctamente que
equivale a 39%.
El error mas frecuente es no hizo nada 42% le sigue la confusión de las
operaciones 37% y tiene su origen en un obstáculo cognitivo.
No se encuentran patrones de error.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
6a,b, c
No hizo nada
Confusión
Sustituye no reduce
87
Pregunta 7a Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
x + 7 = 14
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 31
correctamente, equivale a 46%.
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones
B40
El alumno se confunde y coloca los números en forma de fracción.
8, 27, 39, 40, 41, 51, 57, 64, 66
2, 6, 13, 14, 15, 19, 21, 29-32, 36, 43, 44, 45,
47-50, 56, 57, 59, 61, 63
0
8
16
24
32
40
48
56
64
2
ac
iert
os
7a
7a
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Confusión no hizo nada
frecu
en
cia
de
err
ore
s
7a
7a
24
9
88
Pregunta 7b Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
x – 13 = -5x -8
En esta pregunta de 66 alumnos de segundo grado, contestaron 11
correctamente, equivale a 16%
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones
B24
El alumno solo se confunde en los signos de las operaciones que realiza.
3, 5, 7, 9, 10,23, 24, 25, 27, 40, 41, 42,
46, 52, 57, 64, 65, 66
1, 2, 4, 6, 8, 11-17, 19-22, 28-39, 43, 44, 45,
47, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60,
62, 63
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Confusión no hizo nada
frecu
en
cia
de
err
ore
s
7b
7b
0
8
16
24
32
40
48
56
64
2
ac
iert
os
7b
7b
44
18
89
Pregunta 7c Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
4x -3(6x-4) = 40
En esta pregunta solo tres alumnos respondieron correctamente
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones
B9
El alumno despeja x, colocando los demás números después del signo igual.
3, 7, 8, 9, 25, 40, 41, 46, 52, 57, 64,
66
1, 2, 4, 5, 6, 10-23, 27-39, 42-45, 47-51, 53-57,
59-63, 65
0
10
20
30
40
50
60
Confusión no hizo nada
frecu
en
cia
de
err
ore
s
7c
7c
0
8
16
24
32
40
48
56
64
2
ac
iert
os
7c
7c
52
12
90
Pregunta 7d Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
2x + 6 = 4x – 10
En esta pregunta solo tres alumnos respondieron correctamente
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones
B40
El alumno se confunde en los signos y realiza mal las operaciones.
3, 7, 9, 24, 25, 26, 40, 41, 46, 48, 52,
57, 64, 66
1, 2, 4, 5, 6, 8, 10-17, 19-23, 27-39, 42-45, 47,
49, 50 , 51, 53-57, 59-63, 65
0
8
16
24
32
40
48
56
64
1
ac
iert
os
7d
7d
0
10
20
30
40
50
60
Confusión no hizo nada
frecu
en
cia
de
err
ore
s7d
7d
51
14
91
Pregunta 7e Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
(x – 5) – (2x – 3) = 4
En esta pregunta ningún alumno respondió correctamente
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones
B66
El alumno confunde los signos y coloca mal los números.
3, 7, 9, 24, 26, 40, 41, 52, 64, 65, 66
1, 2, 4, 5, 6, 8, 10-23, 25, 27-39, 42-51, 53-63,
0
10
20
30
40
50
60
Confusión no hizo nada
frecu
en
cia
de
err
ore
s
7e
7e
11
55
92
Pregunta 7f Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
2(3x – 7) = 2x +1
En esta pregunta ningún alumno respondió correctamente
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones
B7
El alumno se confunde en los signos y realiza mal la operación.
3, 7, 26, 40, 41, 46, 52, 57, 64
1, 2, 4, 5, 6, 8-25, 27-39, 42-45, 47-51, 53-
57, 59-63, 65, 66
0
10
20
30
40
50
60
confusión no hizo nada
fre
cu
en
cia
de
err
ore
s
f7
f7
57
9
93
Pregunta 7g Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
En esta pregunta solo cuatro alumnos respondieron correctamente.
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones
B64
El alumno confunde los términos.
7, 26, 40, 41, 53, 54, 57, 64, 66
1-6, 8-25, 27-39, 42-52, 55, 56 57, 59-63, 65
7g
0
10
20
30
40
50
60
Confusión no hizo nada
frecu
en
cia
de e
rro
res
7g
0
8
16
24
32
40
48
56
64
2
acie
rto
s
7g
7g
57
9
94
Pregunta 7h Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
En esta pregunta solo dos alumnos respondieron correctamente
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones
B6
El alumno confunde las operaciones y los signos.
3, 6, 22, 64
1, 2, 4, 5, 7-21, 23-40, 42-63, 65, 66
0
8
16
24
32
40
48
56
64
2
acie
rto
s
7h
7h
0
10
20
30
40
50
60
70
Confusión no hizo nada
frecu
en
cia
de
err
ore
s
7h
7h
61
4
95
Pregunta 7i. Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
En esta pregunta ningún alumno contestó correctamente.
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones
B54
El alumno despeja x ignorando el numerador que tiene la fracción.
3, 6, 22, 53, 54, 64
1, 2, 4, 5, 7-21, 23-40,42-52, 55-63, 65, 66
0
10
20
30
40
50
60
70
Confusión no hizo nada
fre
cu
en
cia
de
err
ore
s
7i
7i
59
6
96
Pregunta 7j Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
En esta pregunta solo un alumno respondió correctamente
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones
B53
3, 42, 53, 54, 64
1, 2, 4-41, 43-52, 55- 63, 65, 66
0
8
16
24
32
40
48
56
64
1
ac
iert
os
7j
7j
0
10
20
30
40
50
60
70
Confusión no hizo nada
frecu
en
cia
de
err
ore
s
7j
7j
61
5
97
El alumno se confunde en las operaciones.
Pregunta 7k Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
En esta pregunta ningún alumno respondió correctamente
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones
B3
3, 42, 64
1, 2, 4-41, 43-63, 65, 66
0
10
20
30
40
50
60
70
Confusión no hizo nada
frecu
en
cia
de
err
ore
s
7k
7k
63
3
98
El alumno le da un valor numérico a la x.
Pregunta 7l Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
En esta pregunta ningún alumno respondió correctamente
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones
B64
El alumno se confunde y trata de realizar una suma ignorando algunos datos
de la ecuación.
3, 64
1, 2, 4-63, 65, 66
0
10
20
30
40
50
60
70
Confusión no hizo nada
frecu
en
cia
de
err
ore
s
7l
7l
64
2
99
Comentarios generales pregunta 7
En general entre ocho y diez alumnos respondieron correctamente, excepto
en la pregunta 7a que respondieron 32 alumnos correctamente.
La pregunta 7 en general casi todos los alumnos no hicieron nada 85%
Algunos alumnos que respondieron tienen el error de confusión de las
operaciones equivale al 15% su confusión es cuando tratan de resolver la
ecuación pero se equivocan en los signos y otros le dan un valor numérico
a la incógnita.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
7a 7b 7c 7d 7e 7f 7g 7h 7i 7j 7k 7l
no hizo nada
Confusión
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
7a-l
No Hizo Nada
Confusión de operaciones
100
4.2. Análisis de los registros de 3º de secundaria Pregunta 1a Sustituye y reduce la siguiente expresión:
1a. Si a = 2b, ¿en qué se transforma 5a + 3?
010203040
1a
1a
3, 6, 13, 14, 16, 18, 19, 25, 34, 35,
44, 46, 51, 53, 57, 59
1, 10, 22, 24, 40, 43, 58, 62
2, 5, 45, 56, 60
5
4, 7, 11, 12, 14, 17, 20-23, 26, 28, 55, 65 14
9, 11, 12, 15, 17, 20-23, 26, 28,
39-43, 47-49, 52, 53, 55, 58, 61-
66 30
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
ac
iert
os
1a
1a
27
4, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 17, 20, 23, 26, 28, 29, 32,
39, 41, 42, 47, 48, 49, 50, 52, 61, 63, 64, 65, 66
16
8
101
En esta pregunta de 66 alumnos de tercer grado solo 23 contestaron
correctamente, equivale a 35% de alumnos.
Los errores más comunes que cometen los alumnos es no considera o no
entiende la información y concatenación de las operaciones
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
A11
En este ejemplo se observa que el alumno solo suma términos diferentes y da
su resultado e ignora el paréntesis.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
A14
El alumno sustituye lo que vale la variable a, pero no usa el paréntesis, así
mismo
Tiene el criterio de que ignora el paréntesis y hay confusión de operaciones.
Sustituye no reduce
A16
El alumno en este ejemplo solo sustituye el valor de la variable y no reduce la
expresión.
102
Confusión de las operaciones
A22
En este ejemplo el alumno utiliza los números y los acomoda para realizar una
operación de suma y resta sin resolver.
No considera o no entiende la información del enunciado
El alumno en esta categoría no entiende la información, se puede observar que
el alumno da valores a las literales siguiendo un patrón que va en aumento de
dos en dos.
Patrones de error
Para agrupar los errores se identifican de la siguiente manera: E1
concatenación de las operaciones o necesidad de clausura, E2 Sustituye no
reduce, E3 confusión de operaciones, E4 no hizo nada, E5 ignora o interpreta
mal los paréntesis y E6 no considera la información o no entiende el enunciado.
Primer patrón de error E1, E5 y E6 nueve alumnos cometen estos tres errores
al mismo tiempo en esta pregunta.
Segundo patrón de error E1 y E6 doce alumnos cometen dos errores en esta
pregunta
103
Pregunta1b
1b. Si a = b + 3, ¿en qué se transforma 5a + 3b?
0
10
20
30
40
1b
1b
3, 6, 13, 14, 16, 18, 19, 24, 25, 34,
35, 38, 44, 46, 51, 53, 55, 57, 59
1, 10, 21, 22, 23, 29, 30, 40, 43, 58, 62
2, 4, 5, 43, 45, 56
6
7, 12, 14, 17, 18, 20-23, 26, 28, 30,
48, 55, 59, 62, 63, 65 18
1, 8, 9, 11, 12, 15, 17, 20-23, 26, 28-
32, 39-42, 47-49, 52-55, 58, 60-66 36
0
8
16
24
32
40
48
56
64
1
ac
iert
os
1b
1b
27
4, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 17, 20, 23, 26, 28, 29, 32,
39, 41, 42, 47, 48, 49, 50, 52, 61, 63, 64, 65, 66
19
10
104
Los alumnos de 3 grado tienen 18 aciertos que equivale al 27%.
Los errores más comunes que se cometen es no considera la información y la
concatenación de las operaciones.
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
A54
En este ejemplo el alumno suma los términos ignorando el valor que tiene la
literal
Sustituye no reduce
A13
El alumno solo sustituyo el valor de la literal y no redujo términos.
Confusión de las operaciones
A30
El alumno junta las literales y suma términos diferentes.
Ignora o interpreta mal el paréntesis
A14
No usa el paréntesis y solo sustituye no reduce.
A63
105
Ignora el paréntesis y coloca seguido el valor de a, con el término que esta
después del signo más y suma términos diferentes.
No considera la información o no entiende el enunciado
A52
Solo coloca ab y no sustituye el valor de a.
Patrones de error
E1, E5, y E6 del primero y el séptimo son veintiséis alumnos los que cometen dos
errores y diez alumnos de estos dos errores cometen el sexto error.
Pregunta1c Si a = 2b, ¿en qué se transforma (a + 3) (3 – a)
3, 6, 13, 14, 16, 18, 19, 24, 25, 29, 30, 32,
34, 35,36, 38, 39,44, 46, 51, 55, 57, 59
1, 10, 17, 21, 22, 23, 40, 50, 54, 58,
62, 63
2, 4, 5, 43, 45, 53, 56
7
1, 7, 9-13, 15-17, 20-23, 26, 28, 48,
49, 52, 54, 58, 60, 61, 64-66
1, 8, 9, 11, 12, 15, 17, 20-23, 26, 28,
31, 40-42, 47-49, 52, 54, 58, 60-61,
64-66
26
28
20
7, 8, 9, 11, 15, 20, 26, 28, 31, 41, 42,
47, 48, 49, 52, 60, 61, 64, 65, 66
22
12
106
El número de respuestas correctas en 3º es de 25 alumnos que equivale a un
porcentaje de 39%.
Los errores más frecuentes son ignora o interpreta mal los paréntesis, no
considera la información, concatenación de las operaciones y sustituye no reduce.
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
A48
El alumno no sustituye el valor de a, solo coloca el resultado que se ve en el
ejemplo
Sustituye no reduce
A14
Confusión de las operaciones
A22
05
1015202530
1c
1c
0
8
16
24
32
40
48
56
64
1
ac
iert
os
1c
1c
107
En este ejemplo se percibe que el alumno coloca el valor de a, lo suma con
el tres y junta los términos diferentes que se encuentran en el siguiente
paréntesis utilizando su signo.
No uso de paréntesis
A12
Ignora o interpreta mal los paréntesis
A60
No considera la información o no entiende el enunciado
A66
Solo coloca un número y la letra juntos.
Patrones de error
E1, E3, E5 y E6 veinte alumnos cometen tres errores el de concatenación de las
operaciones, ignora o interpreta mal los paréntesis y no considera la información y
diez alumnos cometen los tres anteriores y confusión de operaciones.
108
Comentarios generales pregunta 1
Menos de la mitad de los alumnos contestaron correctamente la pregunta
1que equivale al 33%
El comportamiento de los tres incisos es similar.
Los errores sustituye no reduce tiene su origen en un obstáculo cognitivo e
ignora o interpreta mal el paréntesis tiene su origen en una ausencia de
sentido ambos errores tienen el mismo porcentaje que es del 19% al igual
que la concatenación de las operaciones o necesidad de clausura y no
considera la información o no entiende el enunciado tienen 25%
En los tres incisos se tiene el mismo primer patrón de error que es: la
concatenación de las operaciones o necesidad de clausura, ignora o
interpreta mal el paréntesis y no considera la información o no entiende el
enunciado.
El 5% del total no hizo nada.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1a 1b 1c
No Hizo Nada
Confusión de operaciones
No considera Información
Ignora parentesís
Sustituye no reduce
Concatenación
109
Pregunta 2a, b y c En cada uno de los casos siguientes halla las sustituciones que se hacen para
pasar de las expresiones de la columna A a la B
A B
5x – 17 5(y +1) -17
2x. 3x – z 6xp – z
(j + 7) e (j + 7) (f – 2)
1, 12, 18, 21, 28, 30, 31, 32, 33, 35,
45, 47, 57, 61
3, 5, 7-11, 14, 15, 17, 20-26, 29, 30, 37-43,
46, 49, 51-56, 58, 59, 60, 62, 63, 64, 65, 66
1, 18, 21, 28, 30, 31, 32, 33, 35,
45, 47, 57, 61, 63
14
40
14
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1
no hizo nada
confusión
no considera
ignora
sustituye
Concatenación
110
De 66 alumnos de 3º solo respondieron en el inciso a) 19 alumnos que equivale al
28%, en el inciso b) 9 que es el 14%, en el inciso c) 20 que es el 30%.
La mayoría de los alumnos no respondieron la pregunta.
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Confusión de las operaciones
Se ejemplifica el error de confusión de las operaciones en donde el alumno trata
de resolver como si fuera una ecuación.
No considera la información o no entiende el enunciado
A45
05
1015202530354045
Confusión No hizo nada no considera inf
fre
cu
en
cia
de
err
ore
s
2a, b y c
Series1
0
5
10
15
20
25
a b c
acie
rto
s
2a, b y c
2a, b y c
111
Patrones de error
E1 y E3 trece alumnos cometen estos dos errores confusión de las operaciones y
no considera la información o no entiende el enunciado
Comentarios generales pregunta 2
Fueron muy pocos los alumnos que respondieron correctamente 13% del
total.
En los tres incisos su comportamiento de los errores es similar.
El error más frecuente es no hizo nada que equivale al 65%
Solo se encontró un patrón de error que es: la confusión de las
operaciones y no considera la información o no entiende el enunciado,
cometido por trece alumnos.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
2a 2b 2c
no hizo nada
no considera
Confusión de operaciones
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
2a, b, c
no hizo nada
no considera
Confusión de operaciones
112
Pregunta 3a Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
x (y – x) =
Solo 11 alumnos contestaron correctamente que equivale a 16%.
El error más frecuente en esta pregunta es ignora o interpreta mal el paréntesis.
5, 8, 9, 19, 37, 40, 42, 46, 48, 50, 55,
57, 61, 62, 64
4, 11, 12, 16, 21, 22, 24, 28, 30, 31, 32, 34,
38, 39, 41, 44, 45, 47, 51, 52, 56, 58, 59, 60,
63, 65, 66.
8
15
1, 2, 6, 10, 17, 18, 26 43
27
1, 2, 4, 6, 10-12, 16-18, 20-26, 28-32, 34,
38, 39, 41, 43-45, 47, 49, 51, 52, 58-60,
63, 65,66 39
0
8
16
24
32
40
48
56
64
1
ac
iert
os
3a
3a
05
1015202530354045
frec
uen
cia
de e
rro
res
3a
Series1
113
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
A17
El alumno comete dos errores el de concatenación de las operaciones al unir dos
términos diferentes e ignora o interpreta mal el paréntesis no realiza el producto
que se pide.
Confusión de operaciones
A11
Hay confusión coloca la y, y el signo menos y suma términos semejantes,
ignora el paréntesis.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
A6
El alumno coloca las literales ignorando el paréntesis y coloca un signo mas par
poder resolver su operación la cual realiza y le da como resultado la y.
Patrones de error
Para agrupar los errores se identifican de la siguiente manera: E1 Concatenación
de las operaciones o necesidad de clausura, E2 Confusión de las operaciones, E3
no hizo nada y E4 ignora o interpreta mal los paréntesis.
Primer patrón de error. E1 y E4 siete alumnos cometen ambos errores.
Segundo patrón de error. E2 y E4 veinticuatro alumnos tienen estos dos errores.
114
Pregunta 3b Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
4 + 3y =
El error más frecuente que hay en este inciso es la concatenación de las
operaciones
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
5, 8, 9, 19, 37, 40, 42, 46, 48, 50, 55,
57, 61, 62, 64
23, 24, 47, 56
49
11
1, 2, 4, 5, 7, 8, 12-24, 25- 35, 38-46,
49, 51-54, 57-60, 63-65.
4
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
acie
rto
s
3b
3b
0102030405060
fre
cu
en
cia
de
err
ore
s
3b
Series1
115
A1
El alumno suma términos diferentes, ignorando lo que se pide en el enunciado.
Confusión de las operaciones.
A24
El alumno realiza un despeje de y, y trata de sumar términos semejantes,
desviándose de lo que se pide en el enunciado.
Pregunta 3c Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
a + a + 3b +5a =
9, 37, 48, 50, 53, 55, 66
21-24, 30, 32, 34, 45, 47, 49, 56, 59,
61,62
24
7
1, 7, 8, 14, 17, 18, 20, 25- 29, 31, 35,
40, 42-44, 51, 52, 58, 60, 63, 65
14
05
1015202530
frecu
en
cia
de e
rro
res
3c
Series1
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
acie
rto
s
3c
3c
116
El error más frecuente es concatenación de las operaciones concretas.
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones A7 El alumno realiza multiplicación entre literales y después suma términos
diferentes.
Confusión de las operaciones
A22
El alumno en lugar de sumar multiplica a y la eleva a potencia y coloca junto la
suma que realiza de 3b + 5a
Pregunta 3d Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
5y – 2t = 3
3, 6, 9, 19, 21, 25, 29, 36, 37, 46, 48,
50, 53-55, 57, 59, 61, 62,
23, 24, 30, 33, 49, 56
28
19
1,2,5,7, 8,14,17,18,20,22,26,28,31,32,
34,38,40, 42-44, 47,51,52,58, 60,63, 65, 66
6
117
El error con mayor frecuencia es concatenación de las operaciones.
Ejemplo de registro y comentarios de los errores
Concatenación de las operaciones
El alumno solo realiza resta de términos diferentes.
Confusión de las operaciones
A33
Algunos alumnos escribieron el comentario de que no se puede resolver este
ejercicio. Otros confunden términos diferentes los colocan juntos ignorando el
signo menos que esta entre ellos.
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
ac
iert
os
3d
3d 0
5
10
15
20
25
30
frecu
en
cia
de e
rro
res
3d
Series1
118
Pregunta 3e Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
(a – b) +b =
El error más frecuente es que ignora o interpreta mal el paréntesis.
Registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
A14
3, 9, 19, 37, 48, 50, 53, 55, 57, 62,
64, 66
1, 2, 4, 11-13,15, 16, 21-25, 29-35, 39,
41, 44-47, 49, 54, 56, 59-61, 63, 65
1, 2, 4, 5, 7, 10-18, 20-29, 31-35, 39,
41, 43, 45, 47, 49, 52, 54, 58-61, 63, 65
12
43
16
5, 7, 8 10, 14, 17, 18, 20, 26, 28, 40,
42, 43, 51, 52, 58,
34
0
10
20
30
40
50
Co
nca
ten
ació
n
co
nfu
sió
n
no
hiz
o n
ad
a
ign
ora
in
form
ació
nfre
cu
en
cia
de
err
ore
s
3e
Series1
08
16243240485664
1
3e
3e
119
Solo une términos diferentes ignorando los signos.
Confusión de las operaciones
A22
Hay confusión de operaciones multiplica la letra b.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
A23
Ignora tanto paréntesis como sino y une términos diferentes.
Patrones de error
Primer patrón de error E1 y E4 doce alumnos cometen dos errores al mismo
tiempo.
Segundo patrón de error E2 y E4 treinta alumnos comen ambos errores.
Pregunta 3f Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
3a – b + a =
9, 19, 42, 53, 55, 61, 62, 66
1, 12, 20-25, 29, 30, 32, 34, 45, 47,
56, 58, 59, 65
12
8
7, 8, 14, 17, 26, 28, 31, 40, 43, 44, 52, 63
18
120
El error más frecuente es el de confusión de las operaciones.
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
A17
El alumno solo une términos diferentes ignorando signos y literal.
Confusión de las operaciones
A21
El alumno en lugar de sumar los términos iguales los multiplica colocando potencia
a la literal y cambia el signo.
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
ac
iert
os
3f
3f
02468
101214161820
Con
ca
ten
ació
n
co
nfu
sió
n
no
hiz
o n
ad
a
fre
cu
en
cia
de
err
ore
s
ef
Series1
121
Pregunta 3g Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
3a – (b + a) =
El error más frecuente es ignora o interpreta mal el paréntesis
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
9, 37, 41, 42, 49,53, 55, 61, 62, 66
1, 2, 4, 11-13,15, 16, 18, 21-25, 29-35,
39, 45-48, 49, 50, 51, 54, 56, 58-60, 65
15
10
5, 7, 8, 10, 14, 17, 26, 27, 28, 40, 43,
44, 52, 58, 63
35
1, 2, 4, 7,10-18, 20-24, 26-35, 38-40,
43-45, 47, 52, 54, 58-60, 63, 65
42
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
acie
rto
s
3g
3g
05
1015202530354045
Co
nca
ten
ació
n
co
nfu
sió
n
no
hiz
o n
ad
a
ign
ora
la
info
rma
ció
n
fre
cu
en
cia
de
err
ore
s
3g
Series1
122
A8
El alumno une términos diferentes ignorando signos y paréntesis.
Confusión de las operaciones
A13
Une términos iguales elevando a potencia la literal y junta términos diferentes.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
A32
El alumno solo toma en cuenta un signo y une términos diferentes.
Patrones de error
Primer patrón de error. E1 y E4 trece alumnos cometen ambos errores
Segundo patrón de error. E2 y E4 veintiocho alumnos cometen los dos errores.
Pregunta 3h Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
( a – b + c ) + ( b – a) =
3, 9, 18, 19, 37, 41, 42, 46, 49-51, 53,
55, 57, 58, 61, 66
1, 2, 4, 12, 13, 16, 20-25, 29-32, 34-36, 39,
44, 45, 47, 48, 54, 56, 59, 60, 62, 63, 65
17
9
5, 7, 8, 10, 14, 17, 26, 40, 43
31
37
1, 2, 4, 5, 7, 10, 12-14, 16, 17, 21-23,
25-32, 34, 35, 39, 40, 44, 45, 47, 48,
54, 59, 60, 62-65
123
El error con mayor número de frecuencia que cometen los alumnos es ignora o
interpreta mal el paréntesis.
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
A17
El alumno da como resultado la unión de términos diferentes.
Confusión de las operaciones
A13
El alumno confunde los signos y realiza una suma de términos semejantes,
ignorando el signo menos.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
A27
El alumno interpreta mal el paréntesis tratando de multiplicar la suma que se
presenta.
Patrones de error
Primer patrón de error. E1 y E4 siete alumnos cometen los dos errores.
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
3h
3h
05
10152025303540
frecu
en
cia
de e
rro
res
3h
3h
124
Segundo patrón de error. E2 y E4 veintisiete alumnos cometen estos dos errores.
Pregunta 3i Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
( a + b ) + ( a – b ) =
El error más frecuente es ignora o interpreta mal los paréntesis
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
3, 9, 37, 41, 42, 46, 48, 50, 51, 53,
55, 57, 58, 62, 66
1, 2, 4, 12, 13,15, 16, 18, 20-25, 29-32,
34, 35, 38, 39, 44, 45, 47, 49, 54, 56,
59-61, 63, 65
10
5, 7, 8, 10, 14, 17, 26, 40, 43, 52
33
40
1, 2, 4, 5, 7, 10, 12-18, 20-23, 25-27,
29, 31, 32, 34, 35, 38, 40, 43-45, 47,
52, 54, 59-61, 63-65
15
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
ac
iert
os
3i
3i 01020304050
Concate
naci
ón
Confu
sió
n
no h
izo n
ada
ign
ora
pare
nte
sis
frecu
en
cia
de e
rro
res 3i
3i
125
El alumno une términos diferentes, ignorando el paréntesis.
Confusión de las operaciones
Realiza multiplicación ignorando los signos.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
A27
El alumno realiza el producto ignorando la suma que se pide en el ejercicio.
Patrones de error
Primer patrón de error. E1 y E4 nueve alumnos cometen los dos errores.
Segundo patrón de error. E2 y E4 treinta alumnos cometen estos dos errores.
Pregunta 3j Calcula y reduce cuando sea posible la siguiente expresión:
5a + ( b + a) =
9, 37, 46, 50, 51, 53, 55, 57, 58, 61,
62, 64, 66
1, 12, 15, 20-22, 24, 25, 30, 31, 33-35, 44,
45, 47, 48, 52, 54, 56, 59, 60, 62, 63, 65
12
13
5, 7, 8, 10, 12, 14, 17, 18, 26, 40, 42, 43
25
1, 5, 7, 10, 12, 14, 15, 17, 18 20-22,
25-28, 30, 31, 33-35, 40-45, 47, 48,
54, 59, 60, 63, 65
34
126
El error más frecuente es ignora o interpreta mal el paréntesis.
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de las operaciones
A17
El alumno solo une términos diferentes ignorando signos y paréntesis.
Confusión de las operaciones
A15
El alumno realiza multiplicación en lugar de sumar los términos.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
A31
Realiza multiplicación interpreta mal el paréntesis e ignora el signo.
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
ac
iert
os
3j
3j
05
10152025303540
frecu
en
cia
de e
rro
res
3j
Series1
127
Patrones de error
Están agrupados de la siguiente manera: E1 concatenación de las operaciones o
necesidad de clausura, E2 confusión de las operaciones, E3 no hizo nada y E4
ignora o interpreta mal los paréntesis.
Primer patrón de error. E1 y E4 once alumnos cometen los dos errores.
Segundo patrón de error. E2 y E4 veintiuno alumnos cometen estos dos errores.
Comentarios generales pregunta 3
En general es muy bajo el nivel aciertos en todos los incisos equivale al
16% del total de alumnos.
En esta pregunta se encuentran diez incisos, los ejercicios son expresiones
algebraicas en los cuales se pide calcular y reducir, hay una división de
incisos seis llevan paréntesis y los otros cuatro no.
Los siguientes incisos tienen los mismos patrones de error incluso son los
mismos alumnos pueden variar por dos o tres alumnos, 3a, 3e, 3g, 3h, 3i,
3j.
En los incisos anteriores se coloco un error mas el de ignora o interpreta
mal el paréntesis que tiene su origen en una ausencia de sentido y es el
mas frecuente que equivale al 40%, el comportamiento de estos incisos es
similar.
En los siguientes incisos no se encontró ningún patrón de error, 3b, 3c, 3d,
3f, el comportamiento de estos incisos es variable.
En los incisos anteriores el error más frecuente es la concatenación de las
operaciones o necesidad de clausura este tipo de error tiene su origen en
un obstáculo cognitivo.
En todos los incisos hay dos errores que casi tienen el mismo porcentaje de
20% que son la concatenación de las operaciones y confusión de las
operaciones.
Hay dos patrones de error, primer patrón de error: la concatenación de las
operaciones o necesidad de clausura e ignora o interpreta mal los
128
paréntesis y segundo patrón de error: confusión de las operaciones e ignora
o interpreta mal el paréntesis.
El 12% del total no hizo nada.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
3
no hizo nada
Ingnora o interpreta mal el parentesis
Confusión de las operaciones
Concatenación
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
3a 3b 3c 3d 3e 3f 3g 3h 3i 3j
No hizo nada
Ignora o interpreta mal el parentesis
Confusión
Concatenación
129
Pregunta 4a, b y c Calcula y reduce cuanto sea posible las siguientes expresiones:
(2x + y) – (x – y) =
2x + (x – y) =
(x – y) 3 =
Los errores más frecuentes son ignora o interpreta mal el paréntesis al igual que
confusión de las operaciones
9, 12, 18, 19, 39, 40, 41, 46, 49-51,
53, 57, 59, 61, 62, 64, 66
2, 3, 4, 11, 13, 15, 16, 20-25, 29-37,
39, 41, 44, 45, 47, 48, 54-63, 65
15
14
1, 2, 5, 7, 8, 10, 14, 26, 28, 32, 38, 40-
43, 52, 58
33
1,2, 5, 7, 10, 11, 17, 20-28, 30-35,
40-45, 47, 52, 54-58, 60, 63, 65 37
0
8
16
24
32
40
48
56
64
4a 4b 4c
acie
rto
s
4a, b y c
Series1 010203040
Co
nca
ten
ac
ión
Co
nfu
sió
n
no
hiz
o
na
da
ign
ora
p
are
nte
sis
fre
cu
en
cia
de
err
ore
s
4a, b y c
Series1
130
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Concatenación de operaciones
A7
El alumno realiza suma ignorando algunos signos, y después une términos
diferentes.
Confusión de operaciones
A20
En el primer inciso realiza la resta de términos semejantes. En el segundo
inciso cambia signos y une términos diferentes, en el tercer inciso suma
términos diferentes y después los une ignorando paréntesis.
Ignora o interpreta mal los paréntesis
A21
131
El alumno ignora los paréntesis sumando términos semejantes pero con potencia
e ignora el signo.
Patrones de error
Están agrupados de la siguiente manera: E1 concatenación de las operaciones o
necesidad de clausura, E2 confusión de las operaciones, E3 no hizo nada y E4
ignora o interpreta mal los paréntesis.
Primer patrón de error. E1 y E4 catorce alumnos cometen estos dos errores.
Segundo patrón de error E2y E4 diecinueve alumnos cometen ambos errores.
Comentarios generales pregunta 4
El número de aciertos es muy bajo el 15% del total de alumnos.
En los tres incisos el comportamiento es similar.
Los alumnos casi cometen por igual los errores de confusión de las
operaciones e ignora o interpreta mal el paréntesis este tipo de errores
tiene su origen en una ausencia de sentido están entre 28% y 35% del total
de alumnos.
En esta pregunta se encuentran dos patrones de error el primer patrón de
error es: la concatenación de las operaciones o necesidad de clausura e
ignora o interpreta mal los paréntesis y el segundo patrón de error es: la
confusión de las operaciones e ignora o interpreta mal el paréntesis.
El 14% no hizo nada.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
4a, b, c
no hizo nada
interpreta mal el parentesis
confusión de las operaciones
Concatenación
132
Pregunta 5 ¿Qué significa 3n? subraya todas las respuestas que creas que son correctas:
a) 3 + n b) 3 y n c)3 x n d)3 + 3 +3
e) n +n + n f) Si tienes otra respuesta, por favor escríbela
57
56
1
1-3, 5, 7-16, 18, 20-26, 28-36, 38-
52,54-57, 59-63, 65
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
acie
rto
s
5 .
5 .
0
10
20
30
40
50
60
Confusión no hizo nada
frec
uen
cia
de e
rro
res
5
Series1
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
4a 4b 4c
no hizo nada
Interpreta mal el parentesis
confusión de las operaciones
Concatenación
133
El error más frecuente es la confusión de las operaciones. Los alumnos marcan de
dos a tres respuestas.
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Confusión de operaciones
Comentarios generales pregunta 5
Menos de la mitad de los alumnos respondieron correctamente equivale al
30% del total.
No se encuentra ningún patrón de error.
Casi todos los alumnos cometen el error de confusión de las operaciones
este tipo de error tiene su origen en una ausencia de sentido abarca el 98%
Pregunta 6a, b y c
¿En qué se transforma 4a si a = 2?
¿En qué se transforma a( b – c) si a =2, b = 8 y c = 3?
¿En qué se transforma a – b + c si a = 3, b = 7 y c = 2?
97%
98%
98%
99%
99%
100%
100%
5
no hizo nada
Confusión
134
En algunos alumnos se da el caso que tienen dos errores como es sustituye no
reduce y confusión de las operaciones.
El error más frecuente es la confusión de las operaciones.
Ejemplo de registro y comentario de los errores
Sustituye no reduce
A14
El alumno solo sustituye los valores y no reduce términos.
010203040
sustituye no reduce
confusión no hizo nada
6a, b, c
6a, b, c
1, 7, 10, 14, 16, 21, 25, 32, 34, 38, 39,44,
56, 65
2, 7, 9, 11, 12, 20-26, 28-32, 37, 39-41,
43, 45, 47, 49, 52, 53, 55, 56, 60-62
5, 9, 18, 23, 41, 42, 48, 51, 53, 66
10
32
14
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
6a 6b 6c
acie
rto
s
6a, b y c
Series1
135
Confusión de las operaciones
No realiza sustitución, solo hace comentarios, se puede observar que no
entendió la información que se dio.
No uso de paréntesis
A55
No usa paréntesis coloca los números juntos.
Patrones de error
Esta agrupado de la siguiente manera: E1 sustituye no reduce y E2 confusión de
las operaciones.
E1 y E2 solo seis alumnos cometen estos dos errores.
Comentarios generales pregunta 6
La mitad de los alumnos resuelve correctamente el 33%
El comportamiento de los tres incisos es distinto.
El error más frecuente es la confusión de las operaciones este tipo de error
tiene su origen en una ausencia de sentido y abarca el 54%
136
Solo existe un patrón de error y es mínimo el número de alumnos que
cometen dos errores en el mismo ejercicio solo 6 alumnos.
Pregunta 7a Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
x + 7 = 14
12, 21, 22, 24, 25, 26, 31, 40, 45-47,
51, 63
14, 16, 42, 48, 50 53, 58, 60, 61, 62, 64, 65, 66 13
13
0%
20%
40%
60%
80%
100%
6a, b, c
No hizo nada
Confusión
Sustituye no reduce
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
6a 6b 6c
No hizo nada
Confusión
Sustituye no reduce
137
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de operaciones A22 Existe confusión al tratar de resolver la ecuación, le asigna un valor a la incógnita. A14
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
ac
iert
os
pregunta 7a
7a
0
2
4
6
8
10
12
14
Confusión no hizo nada
frec
uen
cia
de e
rro
res
7a
Series1
138
Pregunta 7b Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones A12
El alumno invierte las operaciones y los signos. Pregunta 7c Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
2, 5, 7, 8, 11, 12, 15-17, 20, 21, 24, 25,
27- 32, 34-36, 39, 40, 45, 47, 55, 63
10,14, 18, 22, 23, 26, 38,41, 42, 43, 44, 46,
48, 49, 50, 51,53, 54, 56-62, 64, 65, 66
28
28
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
ac
iert
os
pregunta 7b
7b
0
5
10
15
20
25
30
Confusión no hizo nada
frec
uen
cia
de e
rro
res
7b
Series1
139
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones A1
El alumno solo le da un valor a la incógnita, sin resolver la ecuación. Pregunta 7d Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
2, 3, 7, 12, 16, 21, 22, 24-36, 39, 45,
52
5, 6, 9, 10, 13-15, 17, 18, 20, 23,7, 38, 40-44,
46-51, 53-66
2, 4, 7, 8, 10-12, 17, 19-22, 24, 25,
28-31, 34, 35, 39, 40, 45, 52, 63
5, 6, 13-16, 18, 23, 26, 27, 32, 36-38, 41-44,
46-51, 53-62, 64-66
25
37
23
38
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
ac
iert
os
pregunta 7c
7c
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Confusión no hizo nada
frec
uen
cia
de e
rro
res
7c
Series1
140
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de operaciones
A22
El alumno le asigna un valor a la incógnita y un signo de más, también cambia el
signo menos por el de mayor.
Pregunta 7e Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
2-4, 8, 11, 12, 19, 21, 27-32, 34, 35,
40, 45
6, 7, 10, 13-18, 20, 23-26, 36-39, 41-44, 46-66
18
44
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
ac
iert
os
pregunta 7d
7d
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
acie
rto
s
7e
7e
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Confusión no hizo nada
frec
uen
cia
de e
rro
res
7d
Series1
05
101520253035404550
Confusión no hizo nada
frec
uen
cia
de e
rro
res
7e
Series1
141
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de operaciones A1 El alumno solo le asigna un valor numérico a la incógnita. Pregunta 7f Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de operaciones
A1
2-4, 11, 12, 16, 21, 22, 26, 28, 29, 31,
33, 34, 41
5-10, 13-15, 17-20, 23-25, 27, 30, 32, 35-
40, 42-66
15
50
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
acie
rto
s
pregunta 7f
7f
0
10
20
30
40
50
60
Confusión no hizo nada
frec
uen
cia
de e
rro
res
7f
Series1
142
El alumno coloca otra incógnita al denominador.
Pregunta 7g Resuelve la ecuación anotando el procedimiento ( x – 5) – (2x + 3) = 4
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de operaciones
A2
El alumno asigna valor numérico una incógnita y la otra la desaparece.
Pregunta 7h Resuelve la ecuación anotando el procedimiento 2 (3x – 7) = 2x + 1
2-4, 8, 12, 17, 20-22, 24, 28, 29, 31-
35
5, 7, 9-11, 13-16, 18, 19, 23, 25-27, 30, 36-44,
46-66
17
46
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
acie
rto
s
pregunta 7g
7g
0
10
20
30
40
50
Confusión no hizo nada fre
cu
en
cia
de
err
ore
s
7g
Seri…
143
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de operaciones
El alumno ignora la incógnita de ambos lados. Pregunta 7i Resuelve la ecuación anotando el procedimiento
2, 4, 8, 12, 16, 20, 22, 24, 27, 29, 31,
32, 33, 35
3, 5-7, 9-11, 13-15, 17-19, 21, 23, 25-26, 28,
30, 34, 36-66
2, 5, 8, 10, 12, 20, 24, 29, 31, 33, 35
4, 7, 9, 11, 13-19, 21-28, 30, 32, 34, 36-66 11
53
14
51
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
ac
iert
os
pregunta 7h
7h
0
10
20
30
40
50
60
Confusión no hizo nada
frec
uen
cia
de e
rro
res
7h
Series1
144
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de operaciones
El alumno solo coloca valores numéricos a la incógnita sin resolver ecuación. Pregunta 7j Resuelve la ecuación anotando el procedimiento 2x + 6 = 4x - 10
2, 3, 5, 8, 10, 12, 14, 19-22, 24, 26,
31, 34, 35
4, 7, 9, 11, 13, 15-18, 23, 25, 27-30, 32, 35-66 16
47
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
ac
iert
os
7j
7j
0
10
20
30
40
50
60
Confusión no hizo nada
frec
uen
cia
de e
rro
res
7i
Series1
05
101520253035404550
Confusión no hizo nada
frec
uen
cia
de e
rro
res
7j
Series1
145
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones A22 El alumno solo multiplica términos semejantes. Pregunta 7k Resuelve la ecuación anotando el procedimiento 4x – 3 (6x – 4) = 40
2, 3, 5, 8, 12, 14, 20, 21, 22, 24, 26,
29, 33, 34, 35
4, 7, 9-11, 13, 15-18, 23, 25, 27, 28, 30-32, 36-
66
15
48
0102030405060
Confusión no hizo nada fre
cu
en
cia
de
err
ore
s
7k
Series1
146
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones A24 El alumno le asigna valor numérico a la incógnita. Pregunta 7l
x – 13 = -5x -8
Ejemplo de registro y comentario del error
Confusión de las operaciones
El alumno le asigna valor numérico a la incógnita.
2, 3, 5, 8, 10, 12, 14, 19-22, 24, 29,
31-35
4, 7, 9, 11, 13, 15-18, 23, 25-28, 30, 36-66
18
46
0
8
16
24
32
40
48
56
64
3
acie
rto
s
7l
7l
0
10
20
30
40
50
Confusión no hizo nada fre
cu
en
cia
de
err
ore
s
7l
Series1
147
Comentarios generales pregunta 7
La pregunta 7 con todos sus incisos en general es muy bajo el nivel de
aciertos 10% del total de alumnos.
El comportamiento de los incisos es variable.
Solo se considera un error el de confusión de las operaciones y en
particular algunos alumnos en todos los incisos en este tipo de error le
asignan un valor numérico a la incógnita, abarca el 30%, este tipo de error
tiene su origen en una ausencia de sentido.
No se encuentra ningún patrón de error.
La mayor parte de los alumnos no hizo nada un 70%.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
7a 7b 7c 7d 7e 7f 7g 7h 7i 7j 7k 7l
no hizo nada
Confusión
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
7
no hizo nada
confusión
148
4.3. Comparación de los resultados de 2º y 3º de secundaria
En cada uno de los grados se aplicó el instrumento a 66 alumnos.
Pregunta 1a, b, c
En ambos grados menos de la mitad de los alumnos respondieron
correctamente que equivale a 30%.
El comportamiento en ambos grupos es muy variable.
Los alumnos de 2º en esta pregunta el mayor número de error es la
concatenación de las operaciones o necesidad de clausura con un 30%,
este tipo de error tiene su origen en un obstáculo cognitivo, y en 3º tienen
dos errores: no considera la información o no entiende el enunciado y la
concatenación de las operaciones, estos tipos de errores tienen su origen
en un obstáculo cognitivo y equivale al 25%.
Ejemplo de 2º
Ejemplo de 3º en el error de no considera la información o no entiende el
enunciado y la concatenación de las operaciones o necesidad de clausura.
En 2º se tiene un patrón de error que cometen en los tres incisos que es
concatenación de las operaciones y no considera la información o no
entiende el enunciado, en el 3º de secundaria el patrón de error en los tres
incisos tienen los errores antes mencionados más otro que es ignora o
interpreta mal los paréntesis, este error tiene su origen en el procedimiento.
En el 2º de secundaria se encuentran tres patrones de error y en 3º solo se
encuentra un patrón de error.
149
2º
- Primer patrón de error: E1 concatenación de las operaciones o
necesidad de clausura y E6 no considera la información o no entiende
el enunciado.
- Segundo patrón de error: E2 sustituye no reduce y E5 ignora o
interpreta mal el paréntesis.
- Tercer patrón de error: E2 sustituye no reduce y E3 concatenación de
las operaciones.
3º
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1a,b,c
No Hizo Nada
Confusión de operaciones
No considera Información
Ignora parentesís
Sustituye no reduce
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1
no hizo nada
confusión
no considera
ignora
sustituye
Concatenación
150
De acuerdo con Socas, él hace una división en el esquema que presenta para la
pregunta 1, la divide en dos partes una es en la sustitución que contiene no uso de
paréntesis, necesidad de clausura, concatenación de las operaciones,
particularización y uso incorrecto del paréntesis, en la otra división que es en el
desarrollo incluye necesidad de clausura y uso incorrecto de la propiedad
distributiva.
En este esquema no se presenta la división pero se puede mencionar que en la
sustitución entran las siguientes categorías: concatenación de las operaciones o
necesidad de clausura, ignora o interpreta mal los paréntesis, en la otra división en
el desarrollo se consideran confusión de las operaciones y sustituye no reduce.
Pregunta 2a, b y c
Los alumnos de 2º más de la mitad respondieron correctamente que
equivale a 63% a diferencia de los de 3º menos de la mitad respondieron
correctamente que equivale al 13%.
El comportamiento en ambos grados es similar en los errores que cometen.
En 2º el error mas frecuente es la confusión de las operaciones con un
25% este tipo de error tiene su origen en la ausencia de sentido, y en 3º el
error mas frecuente es que no hizo nada que equivale al 65%
Ejemplo 3º
151
En los dos grados solo hay dos tipos de error que son: confusión de
operaciones y no considera la información o no entiende el enunciado.
En 2º no se encontraron patrones de error y en 3º hay un patrón de error
que es: confusión de las operaciones y no considera la información o no
entiende el enunciado este tipo de errores tienen su origen en un obstáculo
cognitivo.
2º
3º
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
2a, b, c
no hizo nada
no considera la información
Confusión de operaciones
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
2a, b, c
no hizo nada
no considera
Confusión de operaciones
152
Pregunta 3a, b, c, d, e, f, g, h, i, j
En los dos grados es muy bajo el nivel de aciertos en todos los incisos que
más o menos equivale a 20%.
En esta pregunta se encuentran diez incisos, los ejercicios son expresiones
algebraicas en los cuales se pide calcular y reducir, hay una división de
incisos seis llevan paréntesis y los otros cuatro no.
Los incisos 3a, e, g, h, i, j, en ambos grados tienen patrones de error que
son: el primer patrón de error es la concatenación de operaciones o
necesidad de clausura e ignora o interpreta mal los paréntesis, el segundo
patrón de error es confusión de las operaciones e ignora o interpreta mal el
paréntesis y ambos grados coinciden en los dos tipos de error.
En los incisos antes mencionados el error más frecuente es ignora o
interpreta mal el paréntesis y tiene su origen en el procedimiento en ambos
grados.
En estos incisos 3b, c, d, f, no se encuentra ningún patrón de error en
ambos grados. Los errores más frecuentes son la concatenación de las
operaciones o necesidad de clausura y confusión de las operaciones 22%
cada error.
0%
10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
3a-j
No Hizo Nada
Ignora o interpreta mal el parentesis
Confusión de operaciones
Concatenación
153
Pregunta 4a, b, c
En los dos grados es muy bajo el nivel de aciertos, 15%.
En 2º el error mas frecuente es no hizo nada 48% y en 3º es ignora o
interpreta mal el paréntesis 35% y va seguido de confusión de las
operaciones 28%.
Los dos grados tienen los mismos patrones de error, pero en 3º hay más
alumnos que cometen los dos tipos de error.
2º
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
3
no hizo nada
Ingnora o interpreta mal el parentesis
Confusión de las operaciones
Concatenación
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
4a, b, c
no hizo nada
Interpreta mal el parentesis
Confusión
Concatenación
154
Pregunta 5
En ambos grados es muy bajo el nivel de aciertos equivale a 30% del total
de alumnos.
En los dos grados el error más frecuente es confusión de las operaciones
94% marcan más de una o dos opciones, este tipo de error tiene su origen
en la ausencia de sentido.
En los dos grados no se encuentran patrones de error.
84%
86%
88%
90%
92%
94%
96%
98%
100%
5
no hizo nada
Confusión
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
4a, b, c
no hizo nada
interpreta mal el parentesis
confusión de las operaciones
Concatenación
155
Pregunta 6a, b, c
En ambos grados el 31% responde correctamente.
En 2º el error más frecuente es no hizo nada 42% le sigue la confusión de
las operaciones 37% y en 3º el error mas frecuente es la confusión de las
operaciones 54%.
En 2º no hay patrones de error y en 3º hay un patrón de error pero es
mínimo el número de alumnos que lo comete.
97%
98%
98%
99%
99%
100%
100%
5
no hizo nada
Confusión
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
6a,b, c
No hizo nada
Confusión
Sustituye no reduce
156
Pregunta 7 (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l)
En los dos grados en todos los incisos es muy bajo el nivel de aciertos
equivale a un 10% del total de alumnos de ambos grados.
Los alumnos que respondieron tienen el error de confusión de las
operaciones en ambos grados en segundo grado es de 15% y en 3º es de
30%
La mayoría de los alumnos no hizo nada tanto en 2º como en 3º esto
equivale a 85% en cada grado.
En los dos grados los alumnos en el error de confusión de las operaciones
en particular le asignan un valor numérico a la incógnita.
En ambos grados no se encuentran patrones de error.
En 3º casi no hay procedimiento para tratar de resolver la ecuación en 2º sí
hay procedimiento solo que se equivocan en los signos. Como se observa
en los siguientes ejemplos:
2º
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
6a, b, c
No hizo nada
Confusión
Sustituye no reduce
157
3º
En segundo grado en los exámenes las ecuaciones se acomodaron de fácil
a difícil es decir primero las que tienen una sola incógnita, después incógnita
en ambos lados y por último las ecuaciones con fracción y en 3º las
ecuaciones están desordenadas.
3º 2º
158
3º
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
7a-l
No Hizo Nada
Confusión de operaciones
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
7
no hizo nada
confusión
159
Bloques de las preguntas
La pregunta 1 con sus tres incisos y la pregunta 6 con sus tres incisos son
parecidas ya que en ambas se da el valor de la literal y se pide la
transformación de las expresiones algebraicas que se presentan, solo que
en la pregunta 1 se da la instrucción de que se sustituya y reduzca las
expresiones algebraicas y en la pregunta 6 no hay ninguna información,
solo se presentan los ejercicios.
La pregunta 3 con todos sus incisos y la pregunta 4 con sus tres incisos son
idénticas se pide lo mismo calcular y reducir las expresiones, se trata de
suma y resta, y un ejercicio que es una expresión algebraica donde se tiene
que realizar la propiedad distributiva en ambas preguntas.
Comportamiento en general del 2º
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1a,b,c 2a,b,c 3a-j 4a,b,c 5, 6a,b,c 7a-l
No Hizo Nada
Confusión de operaciones
No considera Información
Ignora parentesís
Sustituye no reduce
Concatenación
160
Comportamiento en general del 3º de secundaria
En general, en ambos grados menos de la mitad respondieron
correctamente del 30% hacia abajo en todas las preguntas.
Su comportamiento en todos los errores es similar, solo se puede encontrar
una pequeña variación de porcentajes.
Se aprecia que no hay una evolución de los alumnos de 2º a 3º, en ambos grados
tienen casi por igual los mismos porcentajes de errores, es mínima la diferencia
entre un grado y otro. En los comentarios que hacían los jóvenes de 3º de
secundaria cuando se les aplicó el instrumento decían que sí habían visto el tema
pero que ya lo habían olvidado. Los alumnos de segundo comentaban que se
confundían con las operaciones aunque eran temas que habían visto
recientemente.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1a,b,c 2a,b,c 3a-j 4a,b,c 5 6a,b,c 7a-l
no hizo nada
confusión
no considera
ignora
sustituye
Concatenación
161
Conclusiones y recomendaciones
En este apartado se presentan algunas de las conclusiones que se desprenden
del estudio sobre el desempeño de alumnos de 2º y 3º de secundaria en tareas
relativas a las expresiones algebraicas equivalentes y a la resolución de
ecuaciones lineales con una incógnita, en especial los resultados del análisis de
los errores que cometen dichos alumnos. Además se exponen algunas reflexiones
y recomendaciones para trabajos futuros sobre el tema.
Este trabajo se ubica en la línea de estudio denominada pensamiento algebraico,
que se ocupa de los fenómenos de enseñanza, aprendizaje y comunicación de los
conceptos algebraicos en el sistema educativo y en el medio social.
Para dar respuesta a diferentes cuestiones, a través de la aplicación de un
instrumento me propuse indagar algunas dificultades o errores que tienen los
alumnos de segundo y tercero de educación secundaria, al trabajar con objetos
matemáticos relativos al pensamiento algebraico.
A continuación se presentan los resultados relevantes obtenidos en este estudio
exploratorio de acuerdo a los cuatro objetivos generales planteados en el capítulo
1.
Primer objetivo
Detectar los errores que se dan en la resolución de ecuaciones lineales con
una incógnita y en las expresiones algebraicas equivalentes.
El análisis de los errores que se realizó en este trabajo se basó en los elementos
teóricos propuestos por Socas (1997), así como la detección de los errores
Palarea (1998) consignados en su tesis doctoral sobre el desempeño de
estudiantes en el manejo de de las expresiones algebraicas. Que permitieron
considerar dos ejes para examinar el origen de los errores. En esta tesis se tomó
en cuenta otro tipo de error que no mencionan Socas ni Palarea que corresponde
aquellos que tienen su origen en el procedimiento empleado por los alumnos. De
162
esta forma, en este trabajo se consideraron los errores que cometen los alumnos
en relación con tres orígenes distintos.
Mi aportación además, de diseñar y aplicar en un solo instrumento los utilizados
por Palarea (1998) para expresiones algebraicas y De Prada (1994) acerca de
ecuaciones, ambos aplicados en España, fue elaborar un esquema para describir
de manera agregada y más fácilmente los errores cometidos por los alumnos en
tareas sobre expresiones algebraicas equivalentes.
A partir de la aplicación del instrumento, se logró detectar que los errores
correspondientes a las expresiones algebraicas son los siguientes: concatenación
de las operaciones o necesidad de clausura que es la yuxtaposición de dos o más
símbolos que denota multiplicación y no adición implícita como en aritmética, los
alumnos no aceptan que una expresión no pueda cerrarse, que no arroje como
resultado un número, ellos sienten la necesidad de simplificarla; confusión de las
operaciones es cuando el alumno se equivoca en el manejo de operaciones con
paréntesis, signos de más o de menos y combinación de números con literales; no
considera toda la información, los alumnos no ponen atención a lo indicado en el
enunciado solo consideran la operación y solo tratan de efectuarla o bien no
entienden el enunciado; sustituye no reduce el alumno no alcanza a comprender el
significado de número y literales juntos; por lo tanto, solo sustituye un valor de la
literal, y no reduce términos y hace caso omiso de los paréntesis, el alumno trata
de eliminar la situación realizando las operaciones ignorando los paréntesis.
Solo se detectó un tipo de error en la resolución de ecuaciones lineales con una
incógnita que es la confusión de operaciones, buena parte de los alumnos no
consignan respuesta alguna.
Los tres errores más frecuentes que cometen los alumnos en general en la
mayoría de las preguntas son: concatenación de las operaciones o necesidad de
clausura, ignora o interpreta mal el paréntesis y confusión de las operaciones. Los
tres errores antes mencionados corresponden a las preguntas de expresiones
algebraicas y para las ecuaciones el error de confusión de las operaciones y la
mayoría en estas preguntas no consignan respuesta alguna.
163
Las ecuaciones que intentaron resolver los alumnos son casos sencillos donde
para determinar el valor de la incógnita se requieren las operaciones de suma o
resta, en los casos cuando la incógnita tiene un coeficiente fraccionario o que se
necesita resolver mediante multiplicaciones o divisiones prefieren no responder.
Segundo objetivo
Estudiar el origen de los errores que cometen los alumnos de 2º y 3º de
secundaria en tareas de resolución de ecuaciones lineales con una incógnita
y de las expresiones algebraicas equivalentes.
Con los resultados obtenidos en este trabajo, se evidencia que los errores que
cometen los alumnos no se deben al azar y se propone como síntesis una nueva
manera de considerarlos en tres grupos: errores que tienen su origen en un
obstáculo; errores que tienen su origen en una ausencia de sentido y errores en el
procedimiento.
A partir de esta clasificación se elaboró un sistema de categorías las cuales son:
concatenación de las operaciones o necesidad de clausura, confusión de las
operaciones, no considera toda la información o no entiende el enunciado,
sustituye, no reduce e ignora los paréntesis. En los errores que tienen su origen
en un obstáculo encontramos la concatenación de las operaciones o necesidad de
clausura, confusión de las operaciones y no considera la información; en los
errores que tienen su origen en una ausencia de sentido esta sustituye no reduce;
y errores que tienen su origen en el procedimiento se encuentra no usa o ignora
los paréntesis.
Las categorías configuran un instrumento de análisis y valoración para trabajar las
expresiones algebraicas y la resolución de ecuaciones desde una perspectiva más
ajustada a la realidad escolar, como una forma de mirar el origen de los errores
que cometen los alumnos.
El uso de esquemas que se propuso o diseñó permite analizar el desempeño de
los alumnos por cada pregunta, se puede notar el porcentaje de cada error y
agrupación de los patrones de error. Para las expresiones algebraicas los tres
patrones de error más frecuentes que presentan los alumnos son los siguientes:
164
el primer patrón fue el de concatenación de las operaciones o necesidad de
clausura y no considerar la información o no entender el enunciado; segundo
patrón concatenación de operaciones o necesidad de clausura e ignorar o
interpretar mal los paréntesis; y tercer patrón de error la confusión de las
operaciones e ignorar o interpretar mal los paréntesis.
Son más frecuentes los errores que tienen su origen en un obstáculo que los que
tienen su origen en una ausencia de sentido o de procedimiento.
Tercer objetivo
Analizar las diferencias entre los alumnos de 2º y 3º de secundaria en el
desempeño en tareas de resolución de ecuaciones lineales con una
incógnita y en las expresiones algebraicas equivalentes.
Las preguntas del instrumento de 1 a 6 corresponden a expresiones algebraicas y
la pregunta 7 a ecuaciones lineales con una incógnita.
En las preguntas 1, 5 y 6 en ambos grados alrededor del 30% de los alumnos
respondieron correctamente y su comportamiento es muy variable. En las
preguntas 3, 4 y 7 en ambos grados es bajo el nivel de aciertos entre el 10% y
20%. Solo en la pregunta 2, más de la mitad de los alumnos de 2º respondieron
correctamente.
En las preguntas 2, 3, 4, 5, 6 y 7 en ambos grados el error más frecuente es la
confusión de las operaciones entre el 25% y 54%, solo en la pregunta 5 es de
94%, este tipo de error tiene su origen en la ausencia de sentido.
En las preguntas 2, 4, 6 y 7 la mayoría de los alumnos no hizo nada.
En la pregunta 1 y 3 los errores dominantes fueron concatenación de las
operaciones o necesidad de clausura y no considerar la información o la falta de
comprensión de los enunciados estos tipos de errores tienen su origen en un
obstáculo cognitivo un 30% de los alumnos, otro error frecuente es ignorar o
interpretar mal los paréntesis y tiene su origen en el procedimiento este último
también en la pregunta 4
La pregunta 7 tiene 12 ecuaciones lineales con una incógnita con diferentes
grados de dificultad, de acuerdo a una codificación con los siguientes criterios:
165
valores negativos en uno o más términos; valores fraccionarios; inclusión de
paréntesis precedidos de signo menos; términos binómicos e inclusión de la
incógnita en el denominador. En 3º no se observó algún procedimiento para
resolver la ecuación, en 2º sí hay procedimiento solo que se equivocan.
En general, en ambos grados menos de la mitad respondieron correctamente
todas las preguntas. Su comportamiento en todos los errores es similar, solo se
puede encontrar una pequeña variación, se aprecia que no hay una evolución de
los alumnos, en ambos grados tienen casi por igual los mismos porcentajes de
errores, es mínima la diferencia entre un grado y otro. También se puede notar
que no hay un cambio en términos de aprendizaje entre un grado y otro, se
observa que tanto en 2º como en 3º grados de educación secundaria se dan los
temas acerca del álgebra tal como lo marca el plan y programa de estudios
vigente a lo largo del ciclo escolar, pero los alumnos no dominan los
conocimientos estudiados previamente, solo en los temas que están estudiando
en el momento se acusa cierto conocimiento, por tal motivo no se advierte
continuación del tema en el siguiente grado, resulta difícil poder retomar los
contenidos trabajados previamente.
ALGUNAS RECOMENDACIONES
En la actualidad tenemos la reforma de educación secundaria 2006 en la cual se
da mayor énfasis al tema de álgebra teniendo como uno de los ejes de contenido
sentido numérico y pensamiento algebraico, del cual se puede profundizar en su
enseñanza para que los profesores de educación secundaria busquen las
herramientas necesarias para propiciar en los alumnos un buen aprendizaje y el
interés por conocer un nuevo tema. Los estudiantes necesitan desarrollar
habilidades no solo para resolver o solucionar problemas, sino para analizar y
entender los enunciados.
Una vez analizados los resultados del instrumento se sugiere estudiar con mayor
profundidad el desempeño de los estudiantes, a través de entrevistas, utilizar otras
técnicas de investigación para observar más a fondo las causas de los errores
para conocer con mayor exactitud el comportamiento de los estudiantes en cada
166
una de estas tareas, y constatar si lo obtenido en este trabajo exploratorio es
válido y no solo plausible dada la metodología utilizada que se limitó a examinar
los registros consignados por los alumnos al contestar el instrumento.
El instrumento aplicado en el presente trabajo constituye una propuesta que
puede ser mejorada o pulida, es decir convendría trabajar varios tipos de
expresiones algebraicas y ecuaciones para poder profundizar en el estudio del
álgebra.
Con este trabajo se espera proporcionar información que sea de utilidad para la
labor educativa que tienen los profesores y que deriven en propuestas de
actividades, planes de clase etc., que tengan presente algunas de las dificultades
detectadas en este estudio exploratorio y que redunden en una enseñanza
efectiva y un aprendizaje significativo.
167
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170
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00
00
00
10
00
10
10
00
00
00
181
11
10
00
10
01
00
01
10
00
10
10
10
00
00
00
251
10
00
00
10
00
01
01
00
00
00
10
00
00
00
00
191
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00
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10
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01
01
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00
00
00
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00
91
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00
00
10
00
01
01
00
00
00
10
00
10
00
00
201
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00
00
00
00
00
00
00
11
00
00
00
00
00
00
111
00
00
00
00
00
00
00
00
00
01
00
00
00
00
00
41
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10
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00
01
00
00
00
01
00
00
00
00
01
00
191
00
10
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01
00
00
00
00
01
01
00
00
00
01
00
171
01
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
31
10
10
10
00
11
01
11
10
01
00
10
00
00
01
00
291
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
60
01
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00
00
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00
00
01
00
00
00
00
00
00
00
51
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00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
41
01
10
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
131
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
30
01
00
10
00
00
01
00
00
00
00
00
00
01
00
00
120
11
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00
00
00
00
00
00
01
00
00
00
00
00
00
120
11
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
191
01
00
00
10
01
00
01
00
01
00
10
10
00
00
00
241
11
10
01
10
01
00
11
01
01
10
11
10
10
00
10
401
11
10
10
10
01
00
11
00
01
01
11
00
00
00
10
331
11
11
01
10
00
00
10
01
01
10
10
10
00
00
00
390
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
40
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
21
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
70
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
20
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
30
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
30
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
2021
1314
81
42
101
18
05
58
33
310
33
102
60
21
03
20
Anexo 2TABLA DE REGISTRO DE LOS ERRORES DE LOS ALUMNOS DE 2º DE SECUNDARIA ALUMNO
1a 1b 1c suma 3a 3b 3c 3d 3e 3f 3g 3h 3i 3j 4a 4b 4c suma 1a 1b 1c 6a 6b 6c suma 1a 1b 1c 6a sumaB1 1 1 1 1 1 1 6B2 1 1 1 3B3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1B4 1 1 1 1 4 1 1 1 3B5 1 1 1 1 1 5B6 1 1 1 1B7 1 1 2 1 1B8B9 1 1 1 1 4B10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9B11 1 1 1 1 1 1 1 7B12 1 1 1 1 1 1 1 1 6B13 1 1 1 1 1 1 1 1 8B14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 2B15 1 1 1 3 1 1 1 3B16B17 1 1 1 1 4B18 1 1 1 3B19 1 1 1 1 4 1 1 1 3B20 1 1 2 1 1 1 3B21 1 1 1 3B22 1 1 1 1 2B23 1 1 1 1 1 1 6 1 1 2B24 1 1 2 1 1B25 1 1 1 1 4B26 1 1 1 3B27 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 3B28 1 1B29 1 1 1 1 1 5 1 1 1 3
concatenación de la operaciones sustituye no reduce no uso de parentesis
B29 1 1 1 1 1 5 1 1 1 3B30B31B32 1 1 1 3B33 1 1 1 3B34 1 1 1 1 4B35 1 1 1 1 2B36 1 1 1 1 2B37 1 1 1 3B38 1 1 1 1 1 1 6B39 1 1 1 1 1 5B40 1 1 2 1 1B41 1 1 1 3B42 1 1B43 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1B44 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15B45 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10B46 1 1B47 1 1 1 3 1 1 1 3B48 1 1 1 1 4B49 1 1 1 1 1 5B50 1 1 1 1 1 1 1 7B51 1 1 1 1 4B52 1 1 1 1 4B53 1 1 1 1 4 1 1 2B54 1 1 1 1 4B55 1 1 1 1 4 1 1B56 1 1 1 1 1 1 6 1 1B57 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11B58 1 1 1 1 1 1 6B59 1 1 1 1 4 1 1 2B60 1 1 2B61 1 1 2B62 1 1 2B63 1 1B64 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 3B65 1 1 2 1 1B66 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13
18 29 26 12 38 20 19 17 13 14 9 10 10 7 5 6 253 14 19 22 5 11 7 78 6 5 2 1 14
Anexo 2TABLA DE REGISTRO DE LOS ERRORES DE LOS ALUMNOS DE 2º DE SECUNDARIA ALUMNO
1a 1b 1c 3a 3e 3g 3h 3i 3j 4a 4b 4c 1a 1b 1c 2 sumaB1 1 1 2B2 0B3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10B4 1 1 1 1 1 5B5 0B6 0B7 1 1B8 1 1 1 1 4B9 0B10 1 1 1 3B11 1 1 1 3B12 1 1B13 1 1 1 1 1 1 6B14 1 1 1 3B15 1 1B16 1 1 1 3B17 1 1 1 1 1 1 6B18 1 1 1 3B19 0B20 1 1B21 0B22 0B23 1 1 1 3B24 1 1 2B25 0B26 0B27 1 1 1 1 1 1 1 7B28 1 1B29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
ignora o interpreta mal el parentesis no considera la información
B29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10B30 0B31 0B32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12B33 1 1 1 3B34 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9B35 1 1B36 1 1 1 1 4B37 1 1 1 1 4B38 1 1 1 1 4B39 1 1 1 3B40 1 1 1 1 1 5B41 1 1 1 1 1 5B42 1 1 1 1 4B43 1 1 1 1 1 1 1 1 8B44 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12B45 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10B46 1 1B47 1 1 1 1 4B48 1 1 1 3B49 1 1 1 3B50 1 1 2B51 1 1 1 1 4B52 0B53 0B54 0B55 1 1 1 1 4B56 0B57 1 1 1 1 1 1 1 1 8B58 1 1B59 1 1 2B60 0B61 0B62 1 1 1 1 1 1 1 1 8B63 1 1 2B64 1 1 1 1 1 5B65 1 1 1 1 1 1 6B66 1 1 1 1 1 1 6
8 12 7 19 27 19 18 16 13 14 12 14 0 12 13 11 4 0 219
Anexo 2TABLA DE REGISTRO DE LOS ERRORES DE LOS ALUMNOS DE 2º DE SECUNDARIA ALUMNO
1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 3d 3e 3f 3g 3h 3i 3j 4a 4b 4c 5 6a 6b 6c 7a 7b 7c 7d 7e 7f 7g 7h 7i 7j 7k 7l sumaB1 1 1 1 1 4B2 1 1B3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 19B4 1 1 1 1 1 1 1 7B5 1 1 1 1 4B6 1 1 1 1 1 1 6B7 1 1 1 1 1 1 6B8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18B9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16B10 1 1 2B11 1 1 1 1 1 1 1 7B12 1 1 1 1 1 1 1 1 8B13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12B14 1 1 1 1 1 1 6B15 1 1 2B16 1 1 2B17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15B18 1 1 1 1 4B19 1 1 1 3B20 1 1 1 3B21 1 1 2B22 1 1 1 1 1 1 1 1 8B23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9B24 1 1 1 1 1 1 1 1 8B25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11B26 1 1 1 1 1 1 1 7B27 1 1 1 1 1 1 1 7B28 1 1 1 1 4B29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14
confusión de operaciones
B29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14B30 1 1 1 3B31 1 1 2B32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15B33 1 1 1 3B34 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13B35 1 1B36 1 1 1 1 1 1 6B37 1 1B38 1 1 2B39 1 1 2B40 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14B41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13B42 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12B43 1 1B44 1 1 1 1 1 1 1 7B45 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10B46 1 1 1 1 1 1 6B47 1 1 1 3B48 1 1 1 1 1 1 1 1 8B49 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9B50 1 1B51 1 1 1 1 1 1 1 7B52 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10B53 1 1 1 1 1 1 1 1 8B54 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9B55 1 1 1 1 1 5B56 1 1 1 3B57 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11B58B59 1 1B60 1 1 1 3B61 1 1 1 1 1 1 1 7B62 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15B63 1 1 1 1 1 1 6B64 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16B65 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9B66 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
6 16 9 6 12 5 21 12 6 8 26 10 24 22 21 9 21 16 17 44 20 13 21 9 18 12 14 11 9 9 4 6 5 3 2 467
Anexo 2TABLA DE REGISTRO DE LOS ERRORES DE LOS ALUMNOS DE 2º DE SECUNDARIA ALUMNO
1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 3d 3e 3f 3g 3h 3i 3j 4a 4b 4c 5 6a 6b 6c 7a 7b 7c 7d 7e 7f 7g 7h 7i 7j 7k 7l sumaB1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22B2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 29B3 1 1B4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16B5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10B6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21B7 1 1 1 1 1 1 1 7B8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16B9 1 1 1 1 1 1 1 1 8B10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 19B11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11B12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11B13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14B14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 19B15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21B16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31B17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14B18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15B19 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21B20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 25B21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22B22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11B23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10B24 1 1 1 1 1 1 1 7B25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14B26 1 1 1 1 1 5B27 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20B28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22
no hizo nada
B28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22B29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16B30 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23B31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23B32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18B33 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 27B34 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17B35 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 28B36 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16B37 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22B38 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20B39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 24B40 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13B41 1 1 1 1 1 5B42 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15B43 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 19B44 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13B45 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15B46 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20B47 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 29B48 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17B49 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12B50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23B51 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15B52 1 1 1 1 1 1 1 1 8B53 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12B54 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9B55 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10B56 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21B57 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15B58 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9B59 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22B60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23B61 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 19B62 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17B63 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15B64 1 1 2B65 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12B66 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
2 4 10 17 23 20 18 9 9 21 17 15 18 27 27 23 35 34 34 5 14 21 24 24 44 52 51 55 57 57 61 59 61 63 64 1075
Anexo 2TABLA DE REGISTRO DE LOS TIPOS DE ERRORES DE ALUMNOS DE 3º DE SECUNDARIA
ALUMNO1a 1b 1c 3a 3e 3g 3h 3i 3j 4a 4b 4c suma 1a 1b 1c 2a 2b 2c suma
A1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 6A2 1 1 1 1 1 1 1 7A3A4 1 1 1 1 1 1 6A5 1 1 1 1 1 1 6A6 1 1 2A7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11A8 1 1 2A9 1 1 1 1 1 3A10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9A11 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 3A12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 4A13 1 1 1 1 1 1 6A14 1 1 1 1 1 1 1 7A15 1 1 1 1 1 5 1 1 1 3A16 1 1 1 1 1 1 6A17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 3A18 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 3A19A20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 3A21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 5A22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 3A23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 3A24 1 1 1 1 1 1 6A25 1 1 1 1 1 1 1 1 8A26 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 3A27 1 1 1 1 1 1 1 7A28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 5
ignora o interpreta mal el parentesis no considera la información o no entiende el enunciado
A28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 5A29 1 1 1 1 1 5 1 1A30 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 3A31 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 1 4A32 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 2A33 1 1 1 1 4 1 1A34 1 1 1 1 1 1 1 1 8A35 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 3A36 y 37A38 1 1 1 1 4A39 1 1 1 1 1 1 6 1 1 2A40 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 3A41 1 1 1 1 1 5 1 1 1 3A42 1 1 1 1 4 1 1 1 3A43 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1A44 1 1 1 1 1 1 1 1 8A45 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 3A46A47 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 1 6A48 1 1 1 1 1 5 1 1 1 3A49 1 1 1 3 1 1 1 3A50A51 1 1A52 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 3A53 1 1 2A54 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2A55 1 1 1 1 1 2A56 1 1 1A57 1 1 1 1A58 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3A59 1 1 1 1 1 1 1 1A60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2A61 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5A62 1 1 1 1 2A63 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5A64 1 1 1 1 1 1 3A65 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3A66 1 1 1 1 1 3
26 39 43 42 37 40 34 41 34 31 367 30 36 28 10 15 7 126
Anexo 2TABLA DE REGISTRO DE LOS TIPOS DE ERRORES DE ALUMNOS DE 3º DE SECUNDARIA
ALUMNO1a 1b 1c 3a 3b 3c 3d 3e 3f 3g 3h 3i 3j 4a 4b 4c suma1a 1b 1c 6a 6b 6c sum1a 1b 1c 6a suma
A1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 2 1 1A2 1 1 1 1 4A3 1 1 1 3A4 1 1 1 3A5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9A6 1 1 1 1 1 3A7 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18 1 1 2A8 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18A9 1 1 1 3 6A10 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 2 1 1A11 1 1 1 3 6A12 1 1 2 1 1 6 1 1 1 3A13 1 1 1 1 1 3A14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 6 1 1 2A15 1 1 1 3 1 7A16 1 1 1 1 1 1 1 1 6A17 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14A18 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 3A19 1 1 1 1 1 3A20 1 1 1 3 1 1 1 1 10A21 1 1 1 1 2 1 1 1 3A22 1 1 2A23 1 1 2A24 1 1 2A25 1 1 2 1 1 1 1 1 5A26 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 19A27 1 1 1 3A28 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15A29 1 1 1 1 4 1 1
concatenación de la operaciones sustituye no reduce no uso de parentesis
A29 1 1 1 1 4 1 1A30 1 1 1 1A31 1 1 2 1 1 1 1 8A32 1 1 2 1 1 1 1 1 9 1 1 2A33 1 1A34 1 1 2 1 1 1 1 1 1 6A35 1 1 2 1 1 1 3A36 1 1 1 3A37A38 1 1 1 3 1 1 1 3A39 1 1 2 1 5 1 1 1 3A40 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11A41 1 1 1 3 1 1 8A42 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 14A43 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13A44 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 6A45 1 1A46 1 1 1 1 1 3A47 1 1 1 3 1 7A48 1 1 1 3 6A49 1 1 1 3 1 7A50 1 1 2 4A51 1 1 1 1 4 1 1 1 3A52 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16A53 1 1 1 1 2A54 1 1 1 3A55 1 1 1 1 2A56 1 1 2A57 1 1 1 1 1 3A58 1 1 1 1 1 1 6A59 1 1 1 1 1 3A60 1 1 2 1 1 1 7A61 1 1 1 3 6A62A63 1 1 2 1 1 1 1 1 9 1 1A64 1 1 1 3 1 7A65 1 1 1 3 1 1 1 9 1 1 2 1 1A66 1 1 1 3 1 7
27 27 20 74 8 49 24 28 16 12 15 9 10 12 15 12 13 371 16 19 22 4 14 14 89 5 4 2 3 14
Anexo 2TABLA DE REGISTRO DE LOS TIPOS DE ERRORES DE ALUMNOS DE 3º DE SECUNDARIA
ALUMNO1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 3d 3e 3f 3g 3h 3i 3j 4a 4b 4c 5 6a 6b 6c 7a 7b 7c 7d 7e 7f 7g 7h 7i 7j 7k 7l suma
A1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13A2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20A3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9A4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11A5 1 1 1 1 1 1 6A6A7 1 1 1 1 1 5A8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10A9 1 1 2A10 1 1 1 1 1 1 1 1 8A11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11A12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 24A13 1 1 1 1 1 1 6A14 1 1 1 1 4A15 1 1 1 1 1 1 1 1 8A16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12A17 1 1 1 1 1 5A18 1 1 1 1 1 1 1 7A19 1 1 1 1 4A20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20A21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 27A22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 27A23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14A24 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 27A25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15A26 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9A27 1 1 1 1 1 5A28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12
confusión de operaciones
A29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23A30 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23A31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 26A32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 19A33 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14A34 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21A35 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21A36 1 1 1 1 1 1 6A37 1 1 1 3A38 1 1 1 3A39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11A40 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11A41 1 1 1 1 1 1 6A42 1 1A43 1 1 1 1 4A44 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9A45 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23A46 1 1 1 1 4A47 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21A48 1 1 1 1 1 1 6A49 1 1 1 1 1 1 6A50 1 1 1 3A51 1 1 1 1 4A52 1 1 1 1 1 1 1 7A53 1 1A54 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9A55 1 1 1 1 1 5A56 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15A57 1 1 1 1 4A58 1 1 1 1 1 1 1 1 8A59 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11A60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13A61 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9A62 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11A63 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15A64A65 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11A66 1 1
8 10 12 9 14 6 27 4 14 6 34 18 35 31 33 25 33 27 25 56 32 14 23 13 28 25 23 18 15 17 11 14 16 15 18 709
Anexo 2TABLA DE REGISTRO DE LOS TIPOS DE ERRORES DE ALUMNOS DE 3º DE SECUNDARIA
ALUMNO1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 3d 3e 3f 3g 3h 3i 3j 4a 4b 4c 5 6a 6b 6c 7a 7b 7c 7d 7e 7f 7g 7h 7i 7j 7k 7l suma
A1A2 1 1 1 3A3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9A4 1 1 1 1 1 1 6A5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15A6 1 1 1 1 1 1 1 7A7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11A8 1 1 1 1 1 5A9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 26A10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10A11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9A12 1 1 1 3A13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10A14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12A15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13A16 1 1 1 1 1 1 1 1 8A17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11A18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18A19 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10A20 1 1 1 1 1 1 6A21 1 1 1 1 4A22 1 1 1 1 1 1 6A23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16A24 1 1 1 3A25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12A26 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10A27 1 1 1 1 1 1 1 7A28 1 1 1 1 1 5
no hizo nada
A28 1 1 1 1 1 5A29 1 1 1 1 1 5A30 1 1 1 1 1 1 1 1 8A31 1 1A32 1 1 1 1 1 5A33A34 1 1 2A35 1 1A36 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11A37 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20A38 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14A39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13A40 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13A41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18A42 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23A43 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16A44 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11A45 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9A46 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22A47 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10A48 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21A49 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 19A50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23A51 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23A52 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11A53 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 29A54 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15A55 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23A56 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17A57 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 19A58 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18A59 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17A60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16A61 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21A62 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 24A63 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12A64 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21A65 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15A66 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 29
5 6 7 38 39 40 15 11 7 19 12 8 10 17 15 13 13 14 14 1 6 10 9 13 28 37 38 44 50 46 53 51 47 48 46 830
Anexo 3FRECUENCIAS DE LOS ERRORES 2º DE SECUNDARIA
Confusión de las operaciones total errores alumnos
Nº errores alumnos 467 66 7.07575758 promedio
1 6 62 7 143 7 214 4 165 1 56 6 367 7 498 5 409 4 36
10 3 3011 2 2212 2 2413 2 2614 2 2815 3 45
25 alumnos cometen de 1 a 5 errores25 alumnos cometen de 6 a 10 errores11 alumnos cometen de 11 a 15 errorres4 alumnos cometen de 16 a 19 errores
de 35 preguntas se encuentran en total 467 errores cometidos por 65 alumnos.22 alumnos cometen mas de la mitad de este error.El error mas frecuente que cometen 44 alumnos es en la pregunta 5 donde se pide solamente que se subraye la respuesta correcta de ¿qué significa 3n?
15 3 4516 2 3217 0 018 1 1819 1 19
65 467
p ¿q g
FRECUENCIAS DE LOS ERRORES 2º DE SECUNDARIA No hizo nada
Nº errores Nº alumnostotal errores alumnos
1 1 1 1069 66 16.1969697 promedio2 1 23 0 04 0 05 2 106 0 07 2 148 2 169 3 27
10 3 3011 3 3312 3 3613 2 2614 3 4215 6 9016 4 64
4 alumnos cometen de 1 a 6 errores16 alumnos cometen de 7 a 12 errores19 alumnos cometen de 13 a 18 errores 21 alumnos cometen de 19 a 24 errores6 alumnos cometen de 25 a 29 errores
41 alumnos no respondieron mas de la mitad de las preguntas.
17 3 5118 1 1819 4 7620 3 6021 4 8422 5 11023 4 9224 1 2425 1 2526 1 2627 1 2728 2 5629 1 29
1069
Anexo 3FRECUENCIAS DE LOS ERRORES 2º DE SECUNDARIA
Concatenación de las operaciones total errores alumnos
Nº errores Nº alumnos total de errores 253 66 3.83333333 promedio 1 6 62 4 83 9 274 10 405 4 206 3 187 2 148 2 169 1 9
10 2 2011 1 1112 3 3613 1 1314 0 015 1 15
49 253
sustituye no reduce
Nº errrores Nº alumnos total errrores total errores alumnos1 9 9 78 66 1.18181818 promedio2 9 18
19 alumnos cometen de 1 a 3 errores.17 alumnos cometen de 4 a 6 errores.5 alumnos cometen de 7 a 9 errores.6 alumnos cometen de 10 a 12 errores.2 alumnos cometen de 13 a 15 errores
de 16 preguntas se encuentran 253 errores en 49 alumnos.13 alumnos cometen mas de la mitad de los errores en este criterio.El error mas frecuente que cometen 29 alumnos es en la pregunta 3b que es 4 + 3y y se le pide al alumno que calcule y reduzca cuanto sea posible esta expresión.
2 9 183 7 214 3 125 0 06 3 18
31 78
25 alumnos cometen de 1 a 3 errores6 alumnos cometen de 4 a 6 errores
de 6 preguntas se encuentran 78 errores en 31 alumnos.13 alumnos cometen mas de la mitad de los errores.El error mas frecuente que cometen 22 alumnos es en la pregunta 1c donde se pide que el alumno sustituya y reduzca Si a = 2b, en que se transforma (a + 3) (3 + a)
3º
Frecuencias 3º de secundaria
Concatenación de las operaciones total errores alumnos promedio
Nº errores Nº alumnos total de errores 297 66 4.51 13 132 7 143 8 244 8 325 3 156 4 247 4 288 1 89 1 9
10 0 011 2 2212 3 3613 2 2614 0 015 2 3016 1 16
59 297
28 alumnos cometen de 1 a 3 errores.15 alumnos cometen de 4 a 6 errores.6 alumnos cometen de 7 a 9 errores.5 alumnos cometen de 10 a 12 errores.5 alumnos cometen de 13 a 16 errores
de 16 preguntas se encuentran 297 errores en 59 alumnos.11 alumnos cometen mas de la mitad de los errores en este criterio.El error mas frecuente que cometen 49 alumnos es en la pregunta 3b que es 4 + 3y y se le pide al alumno que calcule y reduzca cuanto sea posible esta expresión.
sustituye no reduce
Nº errrores Nº alumnos total de errores total errores alumnos promedio1 3 3 89 66 1.3484852 9 183 13 394 0 05 1 56 4 24
30 89
Ignora o interpreta mal los paréntesis
Nº errores Nº alumnos total de errores1 4 42 2 43 2 6
8 14
25 alumnos cometen de 1 a 3 errores5 alumnos cometen de 4 a 6 errores
de 5 preguntas se encuentran 89 errores en 30 alumnos.18 alumnos cometen mas de la mitad de los errores.El error mas frecuente que cometen 22 alumnos es en la pregunta 1c donde se pide que el alumno sustituya y reduzca Si a = 2b, en que se transforma (a + 3) (3 + a)
de cuatro preguntas se encuentran 14 errores cometidos por 8 alumnos.
FRECUENCIAS DE LOS ERRORES 3º DE SECUNDARIA
Confusión de operacionestotal erroresalumnos promedio
Nº errores alumnos total de errores 709 66 10.742424
1 3 32 1 23 3 94 6 245 4 206 6 367 2 148 3 249 5 4510 1 1011 7 7712 2 2413 2 2614 2 2815 3 45
25 alumnos cometen de 1 a 7 errores22 alumnos cometen de 8 a 14 errores9 alumnos cometen de 15 a 21 errorres8 alumnos cometen de 22 a 27 errores
de 35 preguntas se encuentran en total 709 errores cometidos por 64 alumnos.19 alumnos cometen mas de la mitad de este error.El error mas frecuente que cometen 56 alumnos es en la pregunta 5 donde se pide solamente que se subraye la respuesta correcta de ¿qué significa 3n?
15 3 4516 0 017 0 018 0 019 1 1920 2 4021 3 6322 0 023 3 6924 1 2425 0 026 1 2627 3 81
64 709
no hizo nada
Nº errores Nº alumnos total de errores
1 2 22 1 23 3 94 1 45 4 20 A mis padres: 6 3 187 2 148 2 169 3 2710 5 5011 5 5512 3 3613 3 3914 1 1415 3 4516 3 4817 2 34
55 alumnos cometen de 1 a 6 errores20 alumnos cometen de 7 a 12 errores15 alumnos cometen de 13 a 18 errores 12 alumnos cometen de 19 a 24 errores3 alumnos cometen de 25 a 29 errores
26 alumnos no respondieron mas de la mitad de las preguntas.
17 2 3418 3 5419 2 3820 1 2021 3 6322 1 2223 4 9224 1 2425 0 026 1 2627 0 028 0 029 2 58
64 830
