UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO · 2017-04-25 · PERIODO DE EJECUCIÓN (D el 01.12.09 al 30.11....
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UNIVERSI Facultad de ESCUELA “UNA Q-ALGEBR WIL PERIODO DE EJECUCIÓ RESOLUCIÓN RECTOR IDAD NACIONAL DEL CAL ciencias naturales Y MAT A PROFESIONAL DE MATEMÁT RA EN EL ESPACIO DE LAS APL HOLOMORFAS” INFORME FINAL LFREDO MENDOZA QUISPE ÓN (Del 01.12.09 al 30.11. 11) RAL Nº 1301-09R CALLAO - 2011 LLAO TEMﾁTICA TICA LICACIONES
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
Facultad de ciencias naturales Y MATEMÁTICA
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA
“UNA Q-ALGEBRA EN EL ESPACIO DE LAS APLICACIONES
HOLOMORFAS”
INFORME FINAL
WILFREDO MENDOZA QUISPE
PERIODO DE EJECUCIÓN (Del 01.12.09 al 30.11. 11)
RESOLUCIÓN RECTORAL Nº 1301-09R
CALLAO - 2011
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
Facultad de ciencias naturales Y MATEMÁTICA
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA
“UNA Q-ALGEBRA EN EL ESPACIO DE LAS APLICACIONES
HOLOMORFAS”
INFORME FINAL
WILFREDO MENDOZA QUISPE
PERIODO DE EJECUCIÓN (Del 01.12.09 al 30.11. 11)
RESOLUCIÓN RECTORAL Nº 1301-09R
CALLAO - 2011
1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
Facultad de ciencias naturales Y MATEMÁTICA
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA
“UNA Q-ALGEBRA EN EL ESPACIO DE LAS APLICACIONES
HOLOMORFAS”
INFORME FINAL
WILFREDO MENDOZA QUISPE
PERIODO DE EJECUCIÓN (Del 01.12.09 al 30.11. 11)
RESOLUCIÓN RECTORAL Nº 1301-09R
CALLAO - 2011
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INDICE
Pág.
RESUMEN 03
INTRODUCCIÓN 04
PARTE TEORICA O MARCO TEÓRICO 05
4.1 Convergencia de series de potencia 05
4.2 La Integral de Cauchy 15
4.3 Convergencia de series de Taylor 22
4.4 Tipos de holomorfia 26
4.5 Subconjuntos acotados y relativamente compactos 33
4.6 Composición de operadores y continuidad 39
MATERIALES Y MÉTODOS 54
RESULTADOS 55
DISCUSIÓN 63
CONCLUSIONES 64
BIBLIOGRAFIA 65
APENDICE 66
9.1 Anexos 68
9.2 Fuente Bibliográfica 71
3
II. RESUMEN
En el presente trabajo se ha realizado una revisión del análisis complejo, como son
las definiciones y ejemplos de lo que es función de variable compleja, continuidad,
diferenciabilidad, holomorfía, la integral de Cauchy, convergencia de series de potencia,
tipos de holomorfía, diferenciabilidad de tipos de holomorfía y se ha estudiado el espacio
topológico de las aplicaciones holomorfas.
Además se ha tratado de los subconjuntos acotados y relativamente compactos;
algebra topológicas, y composición de operadores lográndose con tales tópicos;
primeramente la estructura de una Q-álgebra para el espacio de las aplicaciones
continuas. C(K) = C (K; ) donde K E, con E un espacio localmente convexo.
Finalmente se ha obtenido el resultado propuesto en dicho proyecto que es la
estructura de Q – álgebra en el espacio de las aplicaciones holomorfas.
4
INTRODUCCIÓN
El propósito de este trabajo ha sido primeramente describir un método natural de
un cierto espacio vectorial de aplicaciones holomorficas con topologías localmente
convexas, y para deducir algunos resultados tomando como ilustración estas simples ideas
de tal método.
A lo largo de todo el trabajo vamos a considerar espacios vectoriales localmente
convexos, que a veces serán espacios de Banach. En cada momento se establecerá de
manera explícita en que clase de espacios se está tratando, fijaremos primeramente los
conceptos y notaciones que serán utilizados a lo largo en todo el desarrollo del trabajo.
En la composición de operadores es simple y muy natural la pregunta. Consideremos
: 1D z z (disco unitario abierto de los complejos) y una aplicación holomorfica
: .D D Si f : D es una función holomorfica. Podemos componer f o es
decir definimos un operador entre espacios de funciones holomorficas y necesitamos
estudiar que propiedades tendríamos estos operadores, que obviamente dependerá sobre
que espacios son considerados.
Existen dos posibles, aproximaciones para la generalización de estos resultados.
Primero se prueba para dimensiones superiores, que es considerado B la bola abierta
unitaria de un espacio de Banach y algunos resultados en esta tendencia, definiendo el
operador entre el espacio de aplicaciones holomorficas de tipo acotado.
En la generalización consideramos B en lugar de D y definimos el operador
composición entre dos espacios de funciones holomorficas.
5
IV. PARTE TEÓRICA O MARCO TEÓRICO
4.1 CONVERGENCIA DE SERIES DE POTENCIA
Sea K = o el conjunto de los números reales o complejos respectivamente, y
escribamos Kn = K x ……. x K (n – veces)
Definición 4.1.1.- Un policilindro abierto o cerrado es un producto de n – bolas abiertas
o cerradas respectivamente.
Teorema 4.1.2.- Sean A, B pK dos policilindros abiertos tales que A B . Para
cada x, y A B . El conjunto S = x + t (y –x) : t [0,1] está contenido en A B más
aún A B es conexo.
Demostración. Como x, y A B , entonces , , 1, 2, ...., .i i i i i ix r y r i n de aquí
se tiene (1 ) (1 )i i i i i i i itx t y t x t y r para 0,1t y por lo tanto S
está contenido en A B y asi A B es conexo. Por consiguiente el resultado.
Notación .-
L(Em, F) espacio de Banach de todos las aplicaciones m-lineales continuas de Em = Ex
……. xE (m –veces) en F.
Ls (Em, F) subespacio vectorial cerrado de L(Em, F), formado por todas las aplicaciones
continuas simétricas m-lineales.
P(Em, F) espacio de Banach de todos los polinomios continuos m-homogéneos de E a F.
Nota.- E y F siempre denotaran espacios de Banach salvo que se indique lo contrario.
Definición 4.1.3.- Una aplicación P : E F es un polinomio m – homogéneo si existe
alguna LL(Em, F) tal que, para todo x ,E p(x)=L(x, x,…..,x).
Nota.- Si A L(Em, F), tenemos los elementos correspondientes AsLs(Em, F) y
( , ).mA P E F
6
Definición 4.1.4.- Sean E, F dos espacios de Banach complejos. Una serie de potencia de
E en F alrededor de a E es una serie en x E de la forma :0
( )kK
k
c x a
donde ck
Ls(Ek, F) para k = 0, 1, 2,……, o también de la forma0
( )Kk
r x a
donde rk =
( , ).kkc P E F Ambos ck y rk son llamados los coeficientes de la serie de potencia.
Definición 4.1.5.- El radio de Convergencia de una serie de potencias alrededor de a es r
con 0 r , tal que la serie de potencia es uniformemente convergente sobre cada bola
cerrada ( )B a para 0 .r
La serie de potencia se dice que es convergente en caso de su radio de convergencia es
estrictamente positivo; esto es si existe algún 0 tal que la serie e potencia converge
uniformemente sobre ( ).B a
Teorema 4.1.6.- El radio de convergencia de la serie de potencia es dado por:
1/
1
limsupk
kk
rP
Demostración.- Supongamos que la serie de potencia es uniformemente convergente sobre
( ).pB a Llamemos x a su suma para x ( )B a . Existe algún entero M 0 tal que
( )0
( ) 1m
x kk
P x a
, para m M y ( ).x B a Por lo tanto ( ) 2kp x a para m >
M y ( ).x B a Si t E; 1t , tenemos ( )( ) 2kk t tp p . Así para m > M, se tiene
2kkp . Pongamos p 1/ , donde
1/lim sup ,
k
kk
p
para m > M se sigue que r
1/ .
Probemos el caso contrario es decir : r 1/α. Esto es claro si α = ∞. Supongamos
entonces que α < ∞. Tomemos tal que 0 ≤ < 1/α. Fijemos tal que << 1/α. Por
tanto > 0, entonces α < 1 / , existe algún c ≥ 0 tal que / mkp k . Para m = 0, 1,
…., luego ( ) . ( / )m k
k kp x a p x a c para x ( ) y m = 0, 1,2,.....B a Esto
7
prueba que la serie de potencia es uniformemente convergente sobre ( ).B a Por
consiguiente ≤ r. Haciendo 1/ , pongamos1
r y así se tiene el teorema.
Corolario 4.1.7.- La serie de potencia es convergente si y solamente si la sucesión
1/k
kk
p
es acotada.
Observación 4.1.8:
a) Como materia de este hecho se tiene que:!
lim 12k kk
k
k e k
b) Del corolario (4.1.7) la secuencia!k
k
k
k
es acotada.
Sea E = l1 = 1( ,....., ,....) : ,n n n nnx x x x x x x
tomandoF= . Sea
:kp E F definido por pk (x) = kk (x1, …., xn).
Si X = (x1, ….., xn,….) E y k = 1, 2, …. y P0 = 1, entonces pk ( ; ).kP E F fácilmente se ve
que 1kp para k = 0,1, ….. Según, el radio de convergencia de la serie de potencia
0
( )kk
p x
es uno por el teorema (4.1.6). Sin embargo AkLs (E, F) corresponde a Pm,
fácilmente se ve que este es fácil ver que / !kkA k k para k = 0,1,2,…., luego
1/lim 1
k
kk
P
y1/
limk
kk
A e
Teorema 4.1.9.- Si existe algún > 0 tal que la serie de potencia0
( )kk
P x a
converge y
su suma es igual a cero, para cada x ( )B a , entonces Pk = 0, para k = 0, 1, 2, …..,
Antes de la demostración de este teorema probemos el lema siguiente.
Lema 4.1.10.- Si ( 0,1,2,....), 0ku F k y la serie0
kk
k
u
converge más aún su suma
es igual a cero para cada , . Entonces 0ku , para k = 0, 1, 2,……
8
Demostración.- Siendo 0 pongamos 0 0.u Asumamos que está probado para u0=
…… = uh-1= 0 para algún h 1 . Probemos que 0hu . Por consiguiente kku
converge, asi tenemos 0kku como k , entonces
0. k
kk
k sup u
Ahora1
,k hh k
k h
u u
para 0, f entonces1
k h
h kk h
u u
h
C
con
0, , haciendo 0; tenemos que 0hu .
Demostración (Del teorema 4.1.9). - Sea t E, , x a t , entonces tenemos
0
( ) 0,kk
k
p t
con x a t . Por el lema (4.1.10), tenemos pk (t) = 0, para
todo t E, luego pk =0, k = 0, 1, 2,……
Definición 4.1.11.- Sea un conjunto no vacío. Una función (aplicación) de variable
compleja definida en es una regla de correspondencia que a cada z le asigna un
único w el cual se denota por F(z). (F : ). El conjunto es llamado
dominio de F denotado por Dom (F).
Ejemplo.-Sean 0 1, ,..., na a a , la función F : tal que F (z) = 0 1, .... na a z a z
es una función de variable compleja llamada FUNCIÓN POLINOMIAL de grado “n”.
Observación 4.1.12 Como 2 , entonces toda función de variable compleja puede
verse como una función de 2 2en
En efecto.-Sea y F : una función z = (x, y) = x + iy , entonces F(z)
= F(x, y) = ( ( , ), ( , )) ( , ) ( , )x y x y x y i x y donde ( , ) ( ( ))x y rea F z y
( , ) Im ( ( ))x y g F z y así podemos definir las funciones. 2, :
Como :rea (F) (x, y) = ( , )x y
im (F) (x, y) = ( , )x y
Ejemplo : Sea F : 0 tal que F(z) =1
zhallar rea (F) y Im (F).
9
Solución . Sea z = (x, y) = x + iy, F(z) =2 2
1 z x iy
z z z z z
entonces rea
(F) (x, y) = 2
x
zy Im (F) (x, y) = - 2
y
z.
Ahora consideremos una función f : 2 2 entonces esta determina una única
función F : tal que Rea (F) = µ y Im (F) = v.
En efecto como , y=2 2
z z z zx
i
entonces F(z) = F(x, y) = µ(x, y) + iv(x, y) =
, ,2 2 2 2
z z z z z z z ziV
i i
Ejemplo.- Dado 2 2:f dado como f(x, y) = (x² - y² + x, 2xy – y) representemos f
como una función de variable compleja.
Solución
2 2
2 2
2
( ) ( ) (2 )
= 22 2 2 2 2 2
= z
F Z x y x i xy y
z z z z z z z z z z z zi
i i
z
Definición 4.1.13.- Sea , :F una función, zo Ω. L es el límite de F
cuando z tiende a z0 0
lim ( )z z
F z L
si y solo si para todo 0 , existe 0 .Tal que z
y 0 < 0z z , entonces ( )F z L
Definición 4.1.14.- Sea , :F y zo Ω. Decimos que F es continua en z0 si
y sólo si, para todo 0 , existe 0 .Tal que si z y 0z z , entonces
0( ) ( )F z F z
Definición 4.1.15.- F es continua en z0 si y solo si0
0lim ( ) ( )z z
F z F z
y diremos que una
función F: es continua en si y solo si F es continua en z, para todo z Ω.
10
Proposición 4.1.16.- Sea , :F y zo = (x0, y0) son equivalentes.
(a) F es continua en z0.
(b) Rea (F), Im (F) : son continuas en z0.
En efecto.- Bastara probar para : z0 ' como F es continua en z0, entonces
0
lim ( ) ( )oz t
F z F z
de aquí0
limz z
rea F(z) = rea (F(z0)) y0
lim Im ( ) Im ( )oz t
F z F z
entonces
rea (F) y Im(F) son continuas en z0.
Definición 4.1.17.- Sea U un conjunto abierto; F : U , 0z U
a) Se dice que F es diferenciable en z0 si y sólo si existe L tal que
0
0
0
( ) ( )limz z
F z F zL
z z
b) Decimos que F es diferenciable en U si y solo si F es diferenciable en z0, para todo
z0 U.
Proposición 4.1.18.- Sea U un abierto, F :U una aplicación diferenciable
en z0U entonces F es continua en z0.
Prueba.- Como U es abierto entonces z0 es punto interior de U de aquí z0 'U U luego
basta probar que0
0lim ( ) ( )z z
F z F z
Por hipótesis 00
0
( ) ( )lim '( )
F z F zF z
z z
pero F(z) = 0
00
( ) ( )( )
F z F zz z
z z
0( ),F z z u
z0 si y solamente si0
0 0 0lim ( ) '( ).0 ( ) ( )z z
F z F z F z F z
Observación 4.1.19.- El recíproco de la proposición (4.1.18) es falso.
Por ejemplo la función :F dada por F(z) = z es continua en 0 pero no es
diferenciable en 0.
Proposición 4.1.20.- Sea U un conjunto abierto, F : U 0z U, son
equivalentes.
11
a) F es diferenciable en z0
b) Existen :L y :U función continua en z0 con 0( ) 0z y0 0
( )lim 0z z
z
z z
tal que F(z) = F(z0) + L (z –z0) + ( ),z z U
c) Existe y : UL h continua en z0, con h (z0) = 0 tal que F(z) = F(z0) + L (z –
z0) + h (z) (z –z0), para todo z U.
d) Existe L y :F U continua en z0 con 0( )F z L tal que F(z) = F(z0) +
0( )( )F z z z , para todo z U.
Demostración.- (Aplicando las definiciones correspondientes)
Proposición 4.1.21.- Sean U, V , :F U y :g V tal que F(U) V y z0
U. Si F es diferenciable en z0 y g es diferenciable en F(z0) entonces g o f : U es
diferenciable en z0 y se cumple ( o f)'g 0(z ) 0 0'( ( )). '( ).g F z F z
Demostración.- (Inmediata)
Definición 4.1.22.- Sea U un conjunto abierto, F : U
a) Decimos que F es holomorfa en z0 U si y solo si existe r > 0 tal que F es
diferenciable en Br(z0).
b) Decimos que F es holomorfa en U si y solo si F es holomorfa en z0, para todo z0 U.
Observación 4.1.23.-Si F es holomorfa en z0, entonces F es diferenciable en z0.
El recíproco no siempre es cierto por ejemplo si consideramos F: tal queF(Z) =
2z ; fácilmente se verifica que F es diferenciable en 0. Pero no es diferenciable en ningún
otro punto de . Luego F no es holomorfa en 0.
Nota.- El concepto de holomorfía también se puede dar en términos de series de
potencias.
Definición 4.1.24.- Una aplicación :f U E F se dice que es holomorfica en U,
correspondiente a cada a U si hay una serie de potencia.
12
0
( )kk
P x a
de E en F alrededor de a y algún > 0 tal que B(a) U y ( )0
( )x kk
P x a
converge uniformemente para x B (a).
Observación 4.1.25.- i) la sucesión k kP
es entonces única en cada punto a.
ii) Esta serie de potencia es llamada serie de TAYLOR de f en a y se escribe como :
0
( ) ( )kk
f x P x a
.
Notación.-C(U, F) = conjunto de todas las aplicaciones continuas de U en F
H(U, F)= conjunto de todas las aplicaciones holomorficas de U en F
Definición 4.1.26.- Sea f H (U, F) y0
( ) ( )kk
f x P x a
su serie de Taylor en .a U
Sea PkP(Ek, F) correspondiente a AkLs (Ek, F) por: ( 0,1,2,.....).kkP A K
Escribamos:
dk f(a) = k! Ak y ( ) !kkd f a k P
Así tenemos las aplicaciones diferenciales.
: ( , )k ksd f U E FL
ˆ : ( , )k kd f U P E F
Y los operadores diferenciación de orden k = 0, 1,.,….,
: ( , ) ( ; ( , ))k ksd H U F H U E F L
ˆ : ( ; ) ( ; ( , ))k kd H U F H U P E F
La serie de Taylor de f en a U es:
0 0
1 1 ˆ( ) ( )( ) ( )( )! !
k k k
k k
f x d f a x a d f a x ak k
El polinomio de Taylor , ,k f a de orden k de f en a es considerado como:
, ,0 0
1 1 ˆ( ) ( )( ) = ( )( )! !
k mn n n
k f an n
x d f a x a d f a x an n
donde x E
13
Teorema 4.1.27.- P(E; F) H (E; F)
Demostración.- Basta probar que P (Em, F), H (E, F) para m = 0, 1,…… Sea A Ls (Em,
F). Por la fórmula de Newton tenemos:
A(x + y)m =0
. .m
m k k
k
mA x y
k
Donde . . ,....., , ,......,m k kA x y A x x y y para x, y, E se sigue que
m –k k
0
( )m
m m k k
k
mAx Ax x a
k
donde a, x E. Denotemos por m kAa el elemento de
Ls (EK; F) dado por: 1 1. ( ,...., ) ( ,...., , ,....., )m kk kA a y y A a a y y
Entonces se deduce que ˆP A es holomorfica sobre E y realmente :
1( ) .
!k m km
d p a Aakk
Para k = 0, 1, …., m y dk p (a) = 0. Para k > m.
Observación 4.1.28.- Es claro ver que: dkp P (Em-k; Ls (Ek,F)) y también
ˆ kd p P (Em-k; P (Ek,F)), para p P (Ek; F) y k = 0, 1,…., m.
Definición 4.1.29.- Para m = 1, 2, …… denotemos L(Em; F) el espacio de Banach
de todas las aplicaciones continuas m – lineales de Em en F con respecto a las
operaciones puntuales de vector y la norma definida por:
1
0 11
,.....,sup
......m
xi mi m
A x xA
x x
dondeAL(Em; F) y , 1,....., .ix E i m
Nota.- Claramente se tiene que : 1( , ...., . ......i m mA x x A x x
14
Observación 4.1.30.-Para A L(Em; F)definimos su simétrico As L(Em; F) como:
1 1
1( ,...., ) ( ,....., ).
!m mAs x x A xj xjm
Donde la suma es sobre las m! – permutaciones (j1, …..,jm) de (1, 2, …, m).
Para m = D, L(E; F) = Ls(Eo; F) = F como un espacio de Banach, y As = A para A L(Eo;
F). Note que As A
Definición 4.1.31.-Denotemos por P(Em; F) el espacio de Banach de todos los polinomios
continuos m – homogéneos de E en F con respecto a las operaciones puntuales de
vectores y la norma definida por:
0
( )sup , ( ; ),m
mx
p xP donde p P E F x E
x
Nota.- ( ) .m
P x P x
Para m = 0, P(Eo, F) es el espacio vectorial de todas las aplicaciones constantes
de E a F. Así tenemos .A As
Proposición 4.1.32.- Los espacios Ls(Em; F) y P(Em; F) son isomorfos y homeomorfos a la
vez. Además!
mmA A A
m
Demostración.- Basta definir la aplicación
T :Ls(Em; F) P(Em; F) como T(A) = A donde A Ls(Em; F)
Definición 4.1.33.- Una polinomial continua P de E a F es una aplicación p : E F
para lo cual existen m = 0, 1, 2,….., p P(Ek; F) (k = 0, …..,m) tal que P = Po ……….+
Pm.
Nota.- P(E; F) = p: E F/p es una polinomial continua
15
Proposición 4.1.34.- Si p P (E, F), p ≠ 0, existe una y solo una que se puede escribir
como P = P0+ ……. +Pm con m = 0, 1,…., pk P (Ek; F) (k = 0,…..,m) y pm ≠ 0.
Demostración.- Es suficiente probar que: P0 + ……… + Pm = 0 implica P0 =0, P1 = 0,
……,Pm =0, en efecto, si escribimos0
( ) 0,m
kk
p x
para cada x E, reemplazamos x por
x, , dividimos por m si ≠ 0 y sea ∞; tenemos Pm =0, asi inductivamente.
Pm-1 = 0,…… P2 = 0, P1 = 0, P0 = 0
4.2 LA INTEGRAL DE CAUCHY
Iniciamos esta sección con un Teorema llamado Integral de Cauchy
Teorema (integral de Cauchy) 4.2.1
Sean E, F dos espacios de Banach, complejos U E un subconjunto abierto no vacío,
:f U F una aplicación holomorfa; y sean x, t, U y r > 1 tal que (1-)t+xU para
cada , r entonces
d
xtfi
xfr
1
121)(
Demostración.- Primero consideremos la aplicación homórfica g : V F, donde V
es abierto y sea ( )B t V para alguna 0 .
Entonces
d
gi
gt
21)(
Esto es probado en general para F como en el caso clásico F =
Ahora aplicamos tal hecho a la demostración del teorema.
Pongamos : xtfg 1 , donde g está bien definida y fácilmente se ve que es
holomorfica en el subconjunto abierto V de para todo tal que (1 - ) t + x U,
por la afirmación, el disco cerrado en de centro en el origen y radio “r” está contenido
en V y más aún contiene a 1. Luego
dg
ig
r
121)1( , y por lo tanto se tiene el resultado
16
Proposición 4.2.2.- Sea f : U E F una aplicación holomorfa, t U, x E, y sea r
> 0 tal que t + x U para cada , r entonces.
rk
kd
xtfi
xtfdk
1
)(21))((
!1
para k = 0, 1, 2,……..
Demostración.- Al igual que en el teorema anterior, sea V un abierto cualquiera, g :
V F una aplicación holomorfica, 0 < r0 ,R t y la corona cerrada en de
centro en t y radios r0 y R contenida en V, entonces
0
( ) ( )t R t r
g d g d
Esto es demostrado en general para F como en el caso clásico F = . Ahora usamos este
hecho para la prueba de la proposición.
Pongamos 1)(
)(
kxtf
g
Donde g esta bien definido y más aún es holomorfica en el subconjunto abierto V de
para todo tal que t + Ux y 0 . Por la afirmación el disco cerrado en de
centro en el origen y radio “r” está contenido en V excepto el punto origen.
Por tanto para 0 < , se tiene
dgdgr
)()( , esto es
d
xtfd
xtfk
rk 11
)()(
Ahora considerando la serie de Taylor.
0)()1(
ii tsPf de f en “s” y para arbitrariamente pequeño esta serie de potencia
converge a f(s) uniformemente para “s” en la bola cerrada en E de centro t y radio x ,
nosotros entonces pongamos
17
ri
iikik xPidxPd
xtf
)(2)(
)(
011 de donde se tiene el resultado.
Corolario 4.2.3 (Desigualdad de Cauchy)
Sea f : U FE una aplicación holomorfa, r > 0 y UtBp )( entonces
xfp
tfdkl Sup
txk
k
1)(
!para k = 0, 1, 2, …..
Demostración.- Es obtenido usando el teorema 4.2.1 y proposición 4.2.2.
Nota.- E, F, U de la proposición y Corolario siempre serán considerados como en el
Teorema
Escribamos los conjuntos: H (U; F) = : /f U E F f holomorfo y
C (U; F) = continuafFEUf /:
Lema 4.2.4.- Sea f H (U; F), t U, x U y sea r > 0 tal que (1 - ) t + x U para
cada , r , entonces
xtfkr
xxfr
ktfk
)1()1(
1)()( sup,, para k = 0, 1, 2,……
Demostración.- Por el teorema y proposición antes demostrados y usando la identidad.
k
iii
011 111
11
, Para ,1,0 pongamos
rktfm d
xtfi
xxf
1
121)()( 1,, de donde se tiene el resultado.
Teorema 4.2.5.-H (U; F) está contenido en la cerradura de C (U; F). Con la topología
compacta abierta.
Demostración.- (Usar el lema).
18
Teorema 4.2.6.-Sea f ( ; )H U , donde U es abierto y conexo si U es una
región triangular (la cual incluye a su interior y su frontera), entonces
Fr
dzzf 0)( .
Demostración. Escribamos : p = p () perímetro de
l = l () longitud de
fr
zdzfI )()(
Como es una región triangular tomemos los puntos medios de sus lados y formemos
cuatro triángulos 1, 2, 3 y 4 uniendo estos puntos medios por segmentos de recta.
Orientado sus fronteras en sentido antihorario, tenemos
)(
4
1)()()(
iFriFrdzzfdzzf
Escribamos
)()(
iFri dzzfI i = 1, 2, 3, 4
Ahora consideremos Ti tal que1( )I sea máximo es decir
)( iI )( 1I , i = 1, 2, 3, 4
Luego
1 1
4 4 4
1 11 1 1
( ) ( ) 4i i iFr Fr
I f z dz f z dz I
Denotando : P1 : perímetro de 1
l1 : longitud de mayor lado de ,
3
12 4
19
claramente :21PP y l1 =
2l
Ahora consideremos los puntos medios de 1, construimos 4 triángulos:
)4(1
)3(1
)2(1
)1(1 ,,,
Y orientamos sus fronteras en sentido antihorario denotando
)1(
1
)1(1 )(
Fr
dzzfI
Llamemos 12 al triángulo )1(1 tal que I )1(1 sea máximo, luego:
21 4 II es decir I() 4² I (2). Siguiendo este proceso construimos de
manera inductiva una familia nn de regiones triangulares tal que :
......21 U y NnPPII nnnnnn ,
2,
2,4 l
l por el
teorema de Cantor para conjuntos encajados compactos se tiene:
1nn , luego existe 0
1n
n
z U
y como f es holomorfa en z0, dando > 0,
existe 0 suficientemente pequeño tal que:
0( )D z U y 0 < 0zz entoncesl.
)(')()(
00
0p
zfzzzfzf
Entonces: )1).....((,.
))((')()( 00000 zDzzzp
zzzfzfzf gl
Como limh
ln = 0, existe n tal que Nn se tiene que ln < . Ahora
trabajando en el n – ésimo triángulo n . Se ve que
Nn zzz l0 , de aquí ),( 0zDn luego por (1)
nlll .))((')()( 0000 p
zzp
zzzfzfzf , para todo z n …….(2)
20
De otro lado.
0 0 0
( ) ( )
( ( ) ( ) '( )( )) ( ) ....................(3)n n
z dzFr Fr
f z f z f z z z dz f z
En donde
)()(
0nFrnFrzdzdz ; puesto que Fr (n) es de clase C por partes y las
funciones admiten primitivas en U.
De (3) : 0 0 0
( )
( ) ( ( ) ( ) '( )( ) n .. 4
n
n n nFr
I f z f z f z z z dz Pp
ll
Por tanto: 0 I () 4n I (n) 4n
n4
= y como > 0 es arbitrario se tiene que
)(
0)(Fr
dzzf .
Caracterización de funciones holormoficas 4.2.7
Las funciones holomorficas quedan caracterizados en los siguientes proposiciones.
Proposición 4.2.8.- Sea n un conjunto abierto, E un espacio de Banach complejo,
f: E una aplicación diferenciable y continua entonces f es analítica (holomorfica).
Demostración.- Sabemos que si f: n E continua tal que para 1 ,nk y un
punto arbitrario nka , entonces se tiene que :
1 2
11 1 1 2
1 1
( ,..., )1( ,...., , ,...., ) .... ....( )
( ).....( )2k k n
n nn k p k kn k
k k p pC C C
f x x dxf x x z z dX dX I
x z x zi
Ahora Aplicando (I), la proposición queda reducida al caso n =1. Para probar que f es
analítica en el punto a , se puede mediante una aplicación homotética y una traslación
suponer que a = 0 y que contiene la bola unitaria B : .1z Para cada zB , y cada
tal que 0 1, observe que : (1 ) 1 1,itz e y se considera la integral.
21
20
))()((dte
zezfzezf
g itit
it
Claramente se tiene que g es continua en 1,0 más aún es derivable en cada punto de
1,0 obteniéndose la siguiente igualdad.
.)((''20
dtezezfg itit
Pero itit ezezf ))((' es la derivada de ))(( zezft it , por tanto, para
0)(',0 g y así g es constante en 1,0 ,y como g(0) = 0, g( 0) para 0 1.
En particular, resulta para = 1.
zxdxxf
izf
)(21)(
para cada z B y por lo tanto el resultado.
Proposición4.2.9 .-Sea 2 n , E un espacio de Banach complejo f : E una
aplicación diferenciable y continua. Para la función f definida en (considerada como
subconjunto de )n , por:
f(x1, x2, …., xn, y1, ….., yn) = g (x1+ iy1,…., xn + iyn) es analítica en si y solo si:
0
kk yf
ixf
en para 1 k p.
En efecto.- Al igual que en la proposición anterior para el caso n = 1. Sea (x, y) ,
escribamos );,(b),,( yxyf
yxxf
a
expresando que los límites:
0
( ( )limh
g x iy h g x iy
h
y
0
( ( )limh
g x iy h g x iy
ih
h 0 , son iguales, se obtiene a + ib = 0. Recíprocamente, si esta condición se
cumple, para > 0, existe un r > 0 tal que si rkh 22 ,
22)()()( khikhaiyxgikhiyxg , esto prueba que z )(zg tiene
una derivada igual a a en el punto z = x + iy y por tanto el resultado.
22
4.3 CONVERGENCIA DE SERIES DE TAYLOR
Para iniciar el estudio de esta sección recordamos la definición de series de potencias.
Definición 4.3.1.- Sea n na
una sucesión de números complejos y 0z . La serie
00
( ) ,kk
k
a z z z
es llamada serie de potencia centrado en Z0.
Sean E, F dos espacios de Banach complejos, U E .
Definición 4.3.2.- Diremos que U es e-equilibrada, con respecto a uno de sus puntos e si
(1 - ) e + x U para cada y ,x U
Escribamos
( ; ) : tal que f es continuaU F f U F C
( ; ) : tal que f es holomorfaU F f U F H
Proposición 4.3.3.- Sea ( ; ),f U F e U H y U es e –equilibrada. Entonces la serie de
Taylor de f en e converge a f uniformemente sobre alguna vecindad contenida en U para
cada subespacio compacto de U.
Demostración.- Basa probar que la serie de Taylor de f en e converge a f uniformemente
sobre alguna vecindad V U para cada x U. Veamos, para x U dada elijamos > 1 y
una vecindad V U de x tal que:
,sup ((1 ) )
t V
f e t
, y como , ,
1( ) ( )
( 1)m f e mf x x
donde es el
sup ((1 ) ) , 0,1,.....f e t m
polinomio de Taylor entonces de aquí se tiene el
resultado.
Definición 4.3.4.- Si ( ; ) y e U,f U F H el radio de seguridad de f en e es el máximo r,
0 < r , tal que Br (e) U y f es acotado sobre cada ( ), 0B e r
Proposición 4.3.5.- Sea f H (U, F) y e .U El radio de seguridad rb de f en e es el infimo
de los radios de convergencia rc de la serie de Taylor de f en e y d = d(e, Fr(U)).
23
Demostración.-Aplicar la definición 4.3.4 y proposición 4.3.3
Notación.-Recordemos las notaciones siguientes:
; : tal que f es m -lineal continuam mE F f E F L
; ; : es simétricam ms E F A E F A L L
Proposición 4.3.6.- Si f H (U, F), entonces dm f H (U; ;ms E FL ) y
md f H (U,
P (Em ,F)) para m= 0, 1, 2, .. donde , :m mP E F P E F tal que p es un
polinomio continuo
Si0
( ) ( )kk
f x P x e
es la serie de Taylor de f en e U , entonces la serie de
Taylor de dmf y m
d f son0
( ) ( )m mk m
k
d f x d P x e
y
0
( ) ( )m m
k mk
d f x d P x e
Demostración.- Sean rb el radiolimitado de f en e. Por proposiciones anteriores, la serie
de Taylor de f en e converge a f(x) uniformemente para x ( )pB e , para algún 0
br . Por la desigualdad de Cauchy, la respectiva serie de Taylor de md f en e
converge a ( )m
d f x uniformemente para ( )x B e así, podemos decrecer en los
argumentos previos. Nótese que ( ; ( , ))m
k mk md P P E P E F así se tiene el resultado.
Ejemplo.- Si f H (U; F) y e U, entonces, para k, m = 0, 1, 2…..se tiene:
1 1 1 1( ) ( )
! ! ! ( )!
k m m k md d f e d d f e
k m m k m
2. Si f H (U; F) y e U, entonces, para k, m = 0, 1, 2….. se tiene:
, ,, ,
m
m
k m f ek d f ed
Topología en el espacio de las Aplicaciones Holomorfas 4.3.7
En esta sección resumiremos la definición y las propiedades de la topología Jw en H (U;
F) o en el caso general de la topología JW, en H (U; F).
24
Definición 4.3.8.- Una seminorma en H (U; F) se dice ser portado por un
subconjunto compacto K de U si a cada subconjunto abierto V de U conteniendo K
corresponde un número real C(V) > 0 tal que:
( ) ( ). ( )x V
p f c V Sup f x
para cada f H (U; F).
La topología JW en H (U; F) es definido por todos los seminormas portadas por
subconjuntos compactos de U. De cada condición siguiente es necesario y suficiente
para P a ser portada por K.
Observaciones 4.3.9
i) Para cada > 0, existe un número real c () > 0 tal que para cada f H (U; F), p
(f) 1 ( ) sup ( )
!
mm
x K
c d f xm
ii) Para cada > 0 y cada abto V de U conteniendo K, existe un número real c(, V)
> 0 tal que, para cada f H (U; F).
0
1( ) ( , ) sup ( )
!
mm
m
p f c V d f xm
iii) Si U es e-equilibrada, la serie de Taylor en e de algún f H (U; F), converge a f en
el sentido de JW, y si U es e-equilibrada, la siguiente condición es necesario y
suficiente para P portada por K: correspondiente a cada subconjunto abierto V de
U conteniendo K, existe un número real c (V) > 0 tal que, para cada f H (U; F).
0
1( ) ( ). sup ( ).( )
!
m
m
p f c V d f e x em
La topología compacta abierta en el espacio vectorial C (U; F) induce una
Topología JO en H(U; F). De esta manera se tiene:
JO JW; JO = JW si y sólo si dim E <, o F = 0. Cada md es continua para la
topología correspondiente JW; continuidad de md para algún m 1 y la topología
correspondiente JO requiere que dim E <, o F = 0. Además un subconjunto de
H(U; F) es acotado por JW si y sólo si este es acotado por J0.
25
Además un subconjunto X de H (U; F) es acotado por Jw si y solo si este es acotado
por Jo.
Observación 4.3.10.- Cada una de las siguientes condiciones es necesario y suficiente
para que X sea acotado por JW.
1) Existe r 0 correspondiente a cada subconjunto compacto K de U tal que
( ) ,f x r para cada f X y K
2) Existe r 0 V Uy abierto conteniendo K correspondiente a cada subconjunto
compacto K de U. Tal que y ( ) ,f x r para cada f ,X y x V
1') Correspondiente a cada a U, existen R ≥ 0 y r 0 tal que, para cada m = 0,
1, ….. y f X, 1( ) .
!
mmd f a R r
m
2') Correspondiente a cada subconjunto compacto K de U, existen: R ≥ 0 y r ≥ 0 tal
que, para cada m = 0, 1, …., f X x K, 1( ) .
!
mmd f x R r
m
3') Correspondiente a cada subconjunto K de U, existen R ≥ 0 y r ≥ 0, y un
subconjunto abierto V U conteniendo K tal que, para cada m = 0, 1, …..., f
X x V, 1( ) .
!
mmd f x R r
m
Sea A U fijo, y supongamos A dentro de cada componente conexa de U. Entonces X
es acotado por Jw si y solo si X es equicontinuo en U y sup ( ) :f x f X para
cada x A. Denotemos por J∞ a la topología en H (U; F) definido por la familia de
seminormas ( )m
f d f x para m = 0, 1, ….., x A.
Si X es Jw acotado entonces Jw y J∞, a inducen la misma topología en X; también las
estructuras uniformes asociada con Jw y J∞ a inducen la misma estructura uniforme en
X.
26
Si f, fr H (U; F) para r = 0, 1,…., entonces fr f en el sentido de Jw cuando
r si y solo si fr es Jw – acotado y ( ) ( )m m
rd f x d f x en P (Em; F)
cuando r para cada m = 0, 1, ….. y x A. También X es Jw – relativamente
compacto si y solo si X es Jw – acotado y ( ) :m
d f x f X es relativamente
compacto en P (Em; F) para cada m = 0, 1, ….., .x A
4.4TIPOS DE HOLOMORFIA
Sean E, F dos espacios de Banach complejos. Un tipo de holomorfia de E en F es una
sucesión de espacios de Banach ( , ) ,mP E F m donde ( , )mP E F , denota el espacio
de Banach de todas las polinomiales continuas m – homogéneas de E a F, la norma sobre
cada uno de los cuales será denotada por P P
, tal que los siguientes condiciones se
cumple:
i) Cada ( , )mP E F es un subespacio de ( , )mP E F
ii) 0 0( , ) ( , ) ,P E F P E F F , como un espacio vectorial normado.
iii) Existe un número real 1 para lo cual se cumple:
Dado algún l , m , l≤ m, x E y p ( , ),mP E F se tiene:
1( ) , ( ) . .
!mmd p x P E F y d p x p X
ll l l
l
Proposición 4.4.1.- Cada aplicación inclusión ; ( , )m mP E F P E F es continua y de
norma menor a αm, m .
Demostración.-Pongamos l = 0, en la condición (iii) y usando las condiciones (i) y (ii) de
la definición anterior se tiene que:
( ) . . ;mm
xp p x
de donde .mp p
, por tanto el resultado.
Definición 4.4.2.- Dado una aplicación holomorfa f ( ; )H U F se dice que f es del tipo
holomorfico en x U si:
27
m
i) ( ) ( ; )m
md f x P E F para m
ii) Existen números reales t ≥ 0 y n ≥ 0 tal que :1
( ) . ,!
mmd f x t r m
m
Observación 4.4.3.- Se dice que f H (U; F) es del tipo - holomorfico en U si f es del
tipo - holomorfico para cada x U.
Notación.- ( ; )U F f H (U; F): f es del tipo - holomorfico en U
Proposición 4.4.4.- El conjunto ( ; )U F es un subespacio de H (U; F)
Demostración. Es inmediata.
Teorema 4.4.5.- Si f H (U; F) del tipo -holomorfico en x U. Entonces existe r
0, tal que Bp (x) U, y de manera que:
i)
0( ) ( ; ) para cada z B ( ) mm
mpd f z P E F x y
ii) Existen t, r 10, tal que ( ) .
!
mmd f x t r
m
para cada z Bp (x) y
iii) Para cada ( ) y , la serie ( ) ( ),m
m
z B x d f x d p z x
l l
ll donde
1( ),
!
m
mp d f x mm
converge en el sentido de P (El ; F)
Demostración.-
i) Basta considerar la serie de Taylor f(x) =0
( );mm
p z x
de donde existe p > 0 tal que
B (x) U; y tal que para z Bp (x) y l , tenemos ( ) ( )m
m
d f x d p z x
l l
l(I)
La convergencia de esta serie, en el sentido de ( ; ), asi p ( ; )mmP E F P E Fl
por tanto
( ) ( ; ),md p z x E F ll
por consiguiente tenemos: ( )m
m
d p z x
l
l! m
m
l
l
. ,m l
mp z x
existen t, r, 0, tal . mmp t r
para cada m , por la
condición (2).
28
ii) Si en la suma, asumimos que puede elegirse suficientemente pequeño tal que α. t.
< 1; se tiene entonces:
!( ) .
1mm
td p z x r
rp
l l
l
l
Para cada z B (x) y l , de esta manera la serie (I) converge en el sentido de
; ,P E Fl por completación deeste espacio normado, puesto que la serie converge a
( )d f xl
en el sentido de ;P E Fl , por la suporsición esto se sigue en virtud de la
proposición anterior. Así 0( ) ( ; ),d f x P E Fl l que (I) se cumple en el sentido de 0 ( ; )P E Fl
y también:
1( ) .( )
! 1
td f x r
r
l l
lPara cada z B (x) y l
Teorema 4.4.6.- Si f ( ; ),U F entonces para cada subconjunto compacto K de U
correspondiente existen t, r, 0, y un abierto V de U (V U) conteniendo K, tal que :
1( ) . ,
!
mmd f x t r para
m
cada x V y m
Demostración.- (usar el teorema inmediato anterior).
DIFERENCIACIÓN DE TIPOS DE HOLOMORFÍA
Definición 4.4.7.- Dado , , .E F l l El isomorfismo de espacios vectoriales.
; ;( ( , ))
1 p
!
m mP E F P E P E F
d p
l l
l
l
Para cada m , induce por condición (iii) de la definición del “tipo - holomorfico”
un Isomorfismo de espacios vectoriales de ( )mP El sobre un subespacio vectorial de
0( ; ( , )).mP E P E Fl Tal que el subespacio será denotado por:
1( ; )
!md P E F
l l
l
29
Llega hacer un espacio de Banach. Isométrico normado mediante 1
!d p p
l
lpara p
( ; )mP E F l
Proposición 4.4.8.- Para cada tipo de holomorfia fija de E en F y l , la sucesión de
espacios de Banach 1( ; )( )
!md P E F m
l l
les un tipo de holomorfia de E en ( ; )P E F
l
(esto es denotado por 1)
!d l
l
Demostración.- Usar la definición anterior.
Teorema 4.4.9.- Sea un tipo de holomorfía de E en F y 1
!d l
lel correspondiente
del tipo de holomorfia de E a ( ; )E Fl donde l . Si f ( ; ),U F entonces
( ; ( ; )).d f U P E F l l
Demostración.- Siendo x U y 1( ),
!
m
mp d f x mm
elegimos algún número real > 0
tal que B (x) U, y tal que:
(i)
1 0
1 1 1( ) ( ) ( )
! ! !m mm m
d f z d p z x d p z x
l l l
ll l l
Para cada z Bp (x) y l , donde la serie es asumida convergente en el sentido de
( , ),P E Fl por teorema y definición vemos que:
(ii) 1( ) . . ( ) .( ) .
!m mm m
m md p z x p z x t r r z x
l l ll ll
De esta manera se tiene:
(iii) ( ; ( ; )),d f H U P E F
lademás vemos que:
(iv) 1 1;
! !m
md p d p E F
l l l
ll ly que
30
(v) 1. .
!m
m md p p t r r
l ll ll
Y por lo tanto se tiene el resultado.
Aplicaciones: (Obtenidas directamente del último teorema)
1. Sea f H (U; F) y B (x) .U
Entonces 1 1( ) . ( )
! !
mm m
m
d f z d f xm
l l
ll
Para cada z ( )Bp x y l
2. Sea f ( , ) y B (z) U.U F Entonces:
( )0 0
1 1. su p ( ) . .sup ( )
! !
mm
z Ux B x m
d f x d f zm
ll
l l
Para cada número real > 0.
A continuación dotaremos de topología al espacio de aplicaciones Holomorficas.
Lema 4.4.10.-Sea P una seminorma en ; ,U F K U compacto. Son equivalentes:
a) Dado 0, podemos encontrar r 0 tal que ( )p f r 0
m
m
1.sup ( )
!
md f x
m
, para cada ( ; )f U F
b) Dado 0, y algún V U abierto conteniendo K. podemos encontrar r , 0v
tal que
0
1( ) , .sup ( )
!
mm
x Vm
p f r v d f xm
, para cada ( ; ).f U F
Demostración.- (a) implica (b) es inmediato. Para probar que (b) implica (a), utilizamos
(2) de las aplicaciones anteriores, tomando X = K y asumiendo además que .
Nota.- Una seminorma en ( ; )U F se dice ser portada por un subconjunto compacto K
U si se tiene las condiciones equivalentes (a) (b) del Lema (4.4.10).
31
La topología natural ,wJ en ( ; )U F es definida por los seminormas en ( ; )U F que
son portadas por subconjuntos compactos de U, esto es claramente separable.
Observación 4.4.11.- Si ( ; )f U F y K U compacto son dados; entonces se puede
encontrar > 0 y V U abierto conteniendoo K tal que
0
1.sup ( )
!
mm
x Vm
d f xm
, y en
particular
0
1.sup ( )
!
mm
x Km
d f xm
Teorema 4.4.12.- Sea A un conjunto y F un filtro en A; Af
una familia de elementos
de ( ; )U F indexado por A y ( ; )f U F . Asumamos que, correspondiente a cada K
U compacto, podemos encontrar > 0 tal que:
0
1lim .sup ( ) 0
!
mm
x Km
d f fm
entonces limx
f f
F; en el sentido de la topología ,wJ
en ( ; )U F
Demostración.- inmediato
Observación 4.4.13.- Con las hipótesis y notaciones de la aplicación (2) anterior y del
Teorema (4.4.13). Podemos encontrar un > 0 y un abierto V U conteniendo K tal que
0
1lim .sup ( ) 0
!
mm
x Vm
d f fm
F .
Lema 4.4.14.- Sea f ( ; )U F , a U y U a-equilibrada entonces dado cualquier
compacto K U; existen (0 1), 0R y r ≥ 0 y un V U abierto conteniendo K tal
que , , ( )
1sup ( ) . .
!
mm e
e f a xx V
d f R r rm
para cada l , m .
Demostración.-Usando el teorema 4.4.5; elegimos W U, conteniendo el subconjunto
compacto K de U, y los números R ≥ 0 r ≥ 0 tal que W es a – equilibrada y
( )
1.
!
mm
xd f R rm
, para cada x W y m . Seguidamente elegimos > 1 y un abierto
V W conteniendo K tal que , , x V implica que (1 - ) a - x W.
32
Pongamos ( )( ) , ,
. !
( 1)m x
mm
x ee d f a
R r md f
para x V, e . y m . Ahora
, ,, ,m
m
e m f ae d f ad , asi que
, ,
1 .( )( ) ...............(*)
! ( 1)
mm
e m f a e
R rd f x
m
para x V, e y m y l ≥ m.
como quiera que (*) para l< m es verdad. En efecto entonces , , 0m
e f ad y por tanto V
W, tenemos ( )
1 .( ).
! ( 1)
mmm
x e
R rd f R r
m
para x V, pero - 1 <m-l. Así (*) es verdad
para x V, l y m . El lema es así probado si reemplazamos1
R
y .r por R y r
respectivamente y también poniendo1
.
Proposición 4.4.15.- Sea f ( ; )U F , a U y U a-equilibrada entonces la serie de
Taylor de f en a converge a f en el sentido de la Topología ,wJ en ( ; )U F
Demostración.- Del lema 4.4.14.
Proposición 4.4.16.-Cada aplicación inclusión ( ; )U F H (U; F) es continua para las
topologías correspondientes ,wJ y wJ .
Demostración.- Aplicando la proposición (4.4.1) se tiene el resultado.
Teorema 4.4.17.-Sea un tipo de holomorfía de E en F y 1
!
kd
k el correspondiente
tipo de holomorfia de E en P (Ek ; F) donde k entonces la aplicación lineal f
( ; )U F 1; ( , )
!
kkd f U P E F
k es continua para las topologías correspondientes
, ,w wJ y J
Demostración.- Sea P una seminorma en ; ( , )kU P E F Portado por el subconjunto
compacto K U. Sea r()> 0 correspondiente a cada > 0 así que, para cada 00
33
( ; ( ; ))U P E F l tenemos ( )
0
1.sup
!
mm
xx Km
p r dm
si entonces f ( ; )U F
tenemos entonces :
1 1 1 1 1( ) ( ) ( )
! ! ! ( )! ( )!
m k k k m k md d f x d d f x d f x
m k k k m k m
Y así :
0 0
1 1 1.sup ( ) .sup ( )
! ( )! !
k m mm m
kx K x Km m
rp d f r d f x d f x
k k m m
l
4.5 SUBCONJUNTOS ACOTADOS Y RELATIVAMENTE COMPACTOS
Teorema 4.5.1.- Cada una de las siguientes condiciones equivalentes es necesario y
suficiente para un subconjunto X de ( ; )U F sea acotado por , .wJ
(1) Correspondiente a cada a U, existen R ≥ 0 y r ≥ 0 tal que : 1( ) ,
!
mmd f a Rr
m
para cada m , f X.
(2) Correspondiente a cada subconjunto compacto K de U existen R ≥ 0 y r ≥ 0 tal que:
1( ) . ,
!
mmd f x R r
m
para cada m , f X x K.
(3) Correspondiente a cada subconjunto compacto K de U existen: R ≥ 0 y r ≥ 0, y un
subconjunto abierto V de U conteniendo K, tal que: 1( ) . ,
!
mmd f x R r
m
para cada
m , f X x V.
Demostración.- Sea X acotado por Jw,. Probaremos (2). Si K U es compacto y seanm
≥ 0 (m ) tal que 1/0
m
m cuando m ; tenemos asi una seminorma
correspondiente p en ( ; )U F definida por
0
1( ) .sup ( )
!
m
mx Km
p f d f xm
para f
34
( ; )U F ; por resultados anteriores se tiene que p es portada por K, de aquí continua por
Jw,, por consiguiente P es acotado en X.
Ahora si , 0mS , para m , , entonces ,0
sup .m mm
S
, estos es cierto para
cada sucesión ( m m
de números reales positivos tal que 1/
0m
m cuando m
si y solo si existen R ≥ 0 y r ≥ 0 tal que , . mmS R r , para cada m y .
Por consiguiente el hecho que cada seminorma “p” de la forma anterior es acotada en X
implica (2).
Inversamente es claro que (2) implica que X es acotado por ,wJ .
Las implicaciones (3) (2) (1) son claras e inmediatas. Finalmente (1) 3 en efecto
si a U, R ≥ 0 y r ≥ 0 se tiene 1( )
! 1
k kRd f x r
k r
para cada x Bp (a), e ,
f X, eligimos > 0 asi que Bp (a)U y 1r esto es suficiente para hacer ver que (3)
es verdadero.
Definición 4.5.2.- Correspondiente a cada subconjunto compacto K de U y cada m ,
tenemos la seminorma p en ( ; )U F definido por:
( ) sup ( )m
x K
p f d f x
Paraf ( ; )U F la topología J∞ en ( ; )U F es definido por todas las seminormas.
Claramente J∞ Jw es separable.
Teorema 4.5.3.- Sobre cada Jw subconjunto acotado X de ( ; )U F las estructuras
uniformes asociadas con Jw y J∞ inducen la misma estructura uniforme en particular Jw y
J∞ inducen sobre X la misma topología.
Demostración.- Primero asumimos que o X y probemos que un subconjunto de X es una
vecindad de 0 en la topología en X inducido por Jw si y solo si esta en una vecindad de
35
“0” en la topología sobre X inducida por J∞. Una de estas afirmación es claro de J∞
Jw inversamente sea p una seminorma Jw continua en ( ; )U F .
Asumimos que p es portado por un subconjunto compacto K de U, y sea r() ≥ 0. Como X
es Jw - acotado, existen entonces R ≥ 0 y r ≥ 0, seguidamente elegimos > 0 asi que > 0
asi que r < 1 y µ
Por . ( ) ( ) 1 / 2m
m µ
R r r
Definimos la seminorma J∞ continua “q” como:
0
1( ) ( ) .sup ( )
!
µ mm
x Km
q f r d f xm
Es claro que, si f X y q (f) ≤ ½, entonces p(f) ≤ 1 y por lo tanto el resultado.
Si nosotros consideramos cualquier subconjunto acotado X para Jw, el conjunto X – X de
todos los diferencias de dos elementos de X es acotado para Jw y contiene al “0” (cero).
Por tanto las vecindades de 0 en las topologías sobre X – X inducido por Jw y J∞ son
idénticas, esto sigue que las estructuras uniformes sobre X inducido por la estructura
uniforme asociado a Jw son idénticas.
Consecuencia 4.5.4.- Si fk ( ; )U F ,k y f ( ; )U F entonces kf f para Jw
cuando k si y solo si k kf
es acotado por Jw y kf f para J∞cuando k
Proposición 4.5.5.- Cada subconjunto X de ( ; )U F acotado por Jw es equicontinuo en
cada punto de U.
Demostración.-Sea a U y R, r ≥ 0 dos números reales tenemos:
1
1( ) ( ).( )
!
m
m
f x d f a x am
, para cada f H (U; F), x ( ) .pB a U Por resultados
anteriores.
36
( ) ( )1
1
1
1 ( ) .
!
1 . ( ) .
!
. . .
. . =
1
m m
x am
m mm
m
mm m
m
f f d f a x am
d f a x am
R r x a
R r x a
r x a
x Bp (a), 1 ,r f X de donde se sigue la equicontinuidad.
Definición 4.5.6.- Un subconjunto X de ( ; )U F , es relativamente compacto en un punto
a U si, para cada m el conjunto ( ) :m
d f a f X es relativamente compacto en
;mP E F
Proposición 4.5.7.- Un subconjunto X de ( ; )U F es relativamente compacto por Jw si y
solo si X es acotado por Jw y X es relativamente compacto en cada punto de U.
Demostración.- (usar definición 4.5.6)
Lema 4.5.8.- Sea ( ; )X U F tal que :
(i) X es relativamente compacto en algún a U.
(ii) Existen R ≥ 0 > 0 tal que B (a) U y
1
( ) ,!
m
m
Rd f a
m para cada f X y
m , entonces X es relativamente compacto en cada punto de B (a).
Demostración.-Para cada f ( ; )U F pongamos ,
1( ),
!
m
m fP d f a mm
entonces
,( ) ( ).
k
m fm k
d f x d p x a
l
Para x B (a) y k la convergencia en el sentido de
( , )mP E F ; de donde tenemos , ( )
k
m fd P x a
..
mmm
Rx a
l
para cada f X, k
, m , l ≤ m usando esta aproximación y la serie anterior vemos que X es
relativamente compacto en cada punto de X tal que x a .
37
Teorema 4.5.9.- Si U es conexo, un subconjunto X de ( ; )U F es relativamente compacto
por Jw si y solo si X es acotado por Jw y X es relativamente compacto en un punto
singular de U.
Demostración.- Basta usar el lema (4.5.8).
En esta última parte de la sección (4.5) estudiaremos los Espectros en Productos
Tensoriales de algebras Lmc
Otras Definiciones y notaciones 4.5.10
1. Sea A un algebra unitaria cualquiera, el espectro de un elemento a A se denota y
define en la teoría espectral clásica como ( ) : 1Aa a no es invertible
Nota.- En la década de los 1930 Gelfand desarrollo un Trabajo, donde relacionaba la
teoría espectral en álgebras de Banach conmutativas con los homomorfismos
continuos de algebras h : A cuyo espacio se denota como M(A) ≤ A*
Gelfand estableció una aplicación de M(A) en del modo siguiente: Para cada
elemento a A definió :a M(A) tal que a (h) = h(a), más aún comprobó que
cada una de estas aplicaciones es continua (con la topología débil *). Claramente se
ve que, la aplicación : A C (M(A)) es un homomorfismo continuo de álgebras y
de donde se tiene que: (a) = ( ) :a h h M(A)
2. Diremos que un álgebra A es un álgebra Topológica si tiene una topología tal que
las operaciones algebraicas son continuos.
3. Un álgebra topológica A es localmente multiplicativamente convexa (LMC) si es un
espacio localmente convexo cuya topología esta definida por una familia seminormas
ì iP
tales quie, para todo x, y A y todo i;
( , ) ( ). ( )i i ip x y p x p y
Nota.- A las seminormas con esta propiedad se les llama multiplicativas.
38
4. Sea A un algebra cuya operación a o b = a + b – ab es asociativa con identidad “0”.
Así diremos que 0 un elemento a A es quasi invertible si existe algún b A tal que
ab = 0 = ba.
Notación Q(A) = a A : a es quasi invertible
5. Un algebra topológica A es llamada Q – algebra si y solamente si Q(A) es abierto en
A.
Nota.- Nosotros trabajaremos con algebras LMC y Q – algebras.
Espectros en Productos Tensoriales 4.5.11
Haciendo uso de la definición de espectro para familias de elementos de un álgebra,
definimos un espectro vectorial para elementos de un producto tensorial.
Tomamos un álgebra A con ciertas propiedades y E un espacio localmente convexo.
Consideramos el Producto Tensorial con una cierta topología es decir: A E. Para
cada elemento T = a c en A E queremos definir un espectro T E q ue
generalice el clásico y el definido por WAELBROECK en los años 1970 para elementos de
A X (A algebra de Banach y X espacio de Banach).
Observación 4.5.12.- No es difícil verificar que A B es un álgebra siempre que A y B
sean algebras LMC.
* Estudiaremos el caso de cuando A B es a su vez álgebra LMC.
Iniciamos definiendo una aplicación de Gelfand vectorial. Si E es un espacio localmente
convexo completo y es una topología uniforme podemos hacer la identificación
.E E . Ahora tomamos un algebra LMC A y para cada h M(A) podemos considerar
la aplicación 1Eh E . De este modo, para cada a e = t A E se define su
transformada de Gelfand como :
:T M(A) E tal que 1E TT h h
39
4.6 COMPOSICIÓN DE OPERADORES Y CONTINUIDAD
Definición 4.6.1.- Un peso es una aplicación acotada y continua v : B 0, ,
donde B es una bola unitaria en un espacio de Banach X.
Diremos que un peso v esesencial si existe k > 0 tal que v(x) ( ) . ( ).,v x k v x para todo x
B, donde se ha definido una condición de crecimiento asociada µ(x) =1
( )v xy de aquí
se define : 0,u B tal que ( ) sup ( )vf B
u x f x
y un nuevo peso asociado 1
vu
.
Observación4.6.2 .- De la definición se tiene:
1v
f si y solo sí 1v
f
( ) ( ),v vH B H B donde ( )vH B ( )( ) : sup ( )b xv
x B
f B f v f x
H
Definición 4.6.3.- Un peso v se dice que es radial si v(x1) = v (x2) siempre que 1 2 .x x
Un conjunto A B (B bola unitaria en un espacio de Banach), se dice B – acotado si este
es acotado y d (A, X – B) > 0.
El espacio de las funciones holomorficas f : B acotados en los conjuntos B –
acotados es denotado por Hb (B) es decir:
Hb (B) = f: B C tal que f es acotada en los conjuntos B – acotados.
Una aplicación f : B 0, se dice que se anula en el infinito fuera de los conjuntos
B-acotados si para cada > 0, existe un conjunto B – acotado A B tal que f(x) < para
cada x A.
Denotemos por:
( )vH B ( )( ) : sup . ( )b xvx B
f H B f v f x
( ) ( ) : se anula en fuera de los conjuntos B - acotadosvo bH B f H B v f
40
Observación 4.6.4.- El conjunto ( )voH B puede ser definido de manera equivalente como.
Decimos que v f se anula en el infinito fuera de los conjuntos B – acotados si y
solamente si
1lim ( ) ( ) 0x
v x f x
realmente tomando > 0.
Si v f se anula en el infinito fuera los conjuntos B – acotados podemos encontrar A B,
B – acotado, tal que v(x) ( )f x , para todo x B – A, existe ' 0,1f tal que
(0).gA B entonces v(x) ( )f x , para todo x B - (0).gB por tanto
1lim ( ) ( ) 0x
v x f x
Inversamente, si1
lim ( ) ( ) 0x
v x f x
dado > 0 existe 0,1 tal que v(x) ( )f x ,
para todo x B - (0).gB obviamente (0)B es B - acotado y v f se anula fuera de los B
– conjuntos. Así podemos escribir:
( )voH B ( )1( ) : lim . ( ) 0b x
xf H B v f x
.
Observación 4.6.5.- Los espacios ( )vH B y ( )voH B son de Banach ambos y sus bolas
unitarios abiertos lo denotamos como: ( ) : 1v v vB f H B f y
( ) : 1vo vo vB f H B f respectivamente.
Proposición 4.6.6.- Sea v tal que1
lim ( ) 0x
v x
, entonces Bvo es 0 denso en B .v
0 topología compacta abierta .
Demostración.- Dado cualquier f Bv y n , consideremos 1 (0)n n
n
B B y definamos
fn : B B porfn(x) = f1
1 xn
. Obviamentefn ( ).bH B También supn v
x B
f
( ) nv x f x sup ( ) 1v
x Bn
v x f x f
.
41
Por tantofn Bv. Además fn ( ),voH B realmente f ( )bH B y Bn es un conjunto B –
acotado, existe k > 0 tal que sup .x Bn
f x k
Por consiguiente sup nx B
f x k
y
1 1lim ( ) ( ) lim ( ) 0x x
v x fn x k v x
por (4.6.5)fn Bvo y necesitamos que converja a f
uniformemente en los subconjuntos compactos de B. Tomando K B compacto y > 0.
Por tanto f es continua, para cada x K, podemos encontrar x > 0 con ( )xB x B y tal
que para todo “y” satisfaciendo que x y x tenemos ( ) ( ) / 2f x f y entonces
/2 ( ) :xB x x K es un cubrimiento abierto de K y asi existen x1, ……, xntal que K
1
( ).n
xj jj
B x
Consideremos n0 tal que0 1,.....,
1min
2jx
j nn
y sea x K, existe
algunos xj tal que2xj
jx x
. Asi ( ) ( ) .2jf x f x
De otro lado, para 0
1 1 1
2jxn
n n x x xn n n
Por consiguiente
1 1 y ( )
2j j
n nx xj x f x f x
n n
juntando todo esto obtenemos:
11 ( ) ( ) ( )nf x f x f x f x
n
, esto es verdad para todo x K n es
independientemente de x. Así nf f en 0 .
Ahora como bosquejamos en (4.6.1), dado cualquier peso v podemos definir una condición
asociada µ : B 0, por µ(x)=1
.( )v x
Con esta nueva función podemos escribir:
( ) :vBv f H B f .De esto definimos : 0,u B por ( ) sup ( )f Bv
µ x f x
y
un nuevo peso asociado 1
.vu
Teorema 4.6.7.- Sea µ cualquier peso; entonces:
i) 0 , 0 < vu u v
42
ii) u (respectivamente v ) es continua, decreciente, creciente siempre que u
(respectivamente v) lo es.
iii) 1v
f si y solo si 1v
f
iv) Para cada x B existe fx Bv tal que ( ) ( ) .xu x f x
v) Si ( )1lim xx
v
= 0, entonces ( ) sup ( )vof B
u x f x
Demostración
i) Claramente ( ) sup ( ) ( )vf B
u x f x u x
para todo x B y 0 < u u de la definición 0
< u v
ii) Inmediato de la definición de asociado.
iii) Primero supongamos que 1;f entonces f Bv . Obviamente para cada x B,
( ) sup ( ) ( )vg B
f x g x u x
asi 1.v
f
Si 1v
f , dado cualquier x B, usando (i), tenemos ( ) ( ) y 1.f x u x f
iv) La evaluación funcional es 0 .compacta Asi, el supremo en la definición de u es
un máximo.
v) Sea x B por (iv) podemos encontrar fx Bv tal que ( ) ( ) ,xu x f x vemos que f
( ).voH B Puesto que1
lim ( ) 0,x
v x
existe k > 0 tal que v (y) ≤ k, para todo y B,
pero fx Bv, asi1
( )xf yk
para todo y B y asi1
lim ( ) ( ) 1xy
v y f y
1/ . lim ( ) 0, Por tanto .vo
yk v y f B
Corolario 4.6.8.- Dado cualquier peso v, se tiene que ( ) ( )v vH B H B isométricamente.
Definición 4.6.9.- Sean v, w, dos pesos (v, w : B 0, ) y : B B una
aplicación holomorfica el OPERADOR COMPOSICIÓN asociada a es definido por:
: ( ) ( ) / ( )v wC H B H B C f f o
43
Observación 4.6.10.- Sean f, g ( ),vH B ( . )C f g ( . )f g
o o + g of . ( ) ( )C f C g por tanto C es lineal.
Nota.- Necesitamos poner condiciones en v, w o que garanticen la buena definición de
C , la continuidad o compacidad, lo cual lo damos en los resultados siguientes.
Teorema 4.6.11.- Si existe algún r 0,1 tal que ( ) , entoncesB rB C :
( ) ( )v wH B H B está bien definida para cualquier por de pesos v, w.
Demostración.- Como (B) r. B entonces (B) es un conjunto B – acotado. Así para
cada f ( )vH B existe M > 0 tal que( )
sup ( ) . Por tantoy B
f y M
( ) sup ( ). o xx B
w x f
=
( ) ( )sup ( ). sup ( ).sup . .x xx B x B x B
w x f w x f C M
. y ( ) ( )owC f H B .
Teorema 4.6.12.-Sean v, w y tal que ( )1
( )
( )lim sup
xr r x
w x
v
, entonces C :
( ) ( )v wH B H B está bien definido
Demostración.-Llamemos L = ( )1
( )
( )lim sup
xr r x
w x
v
de donde existe 0 0,1r tal que para
cualquier ( )
0
( ) 11, sup 1
2( )x r
w xr r
v x
esto implica que para todo x B tal que
0
( ) 1( ) ,
2( )
w xx r L
v x
.
Sea x B y f ( ).vH B Supóngase que ( ) 0x r , entonces:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) .
1
2
x x x x
x
x x
x
v
w xw f v f
v
w xL L v f
v
L f
Supongamos ahora que ( ) 0.x r Puesto que f es acotado en (0)roB tenemos que w(x).
( )( ) . .xf C M
44
Juntando ambos casos tenemos que: ( )sup ( ) xx B
w x f
y ( )C f ( )wH B para todo f
( ).vH B
Nota.- Daremos a continuación algunos resultados sobre continuidad de C
Observación 4.6.13.- Dados dos pesos v w cualesquiera y : B B una aplicción
holomorfica, el operador composición C : ( ) ( )v wH B H B es 0 0, continua,
realmente, consideramos una red 0 0f y tomemos K B compacto y > 0. Puesto
que es continua, (K) es compacto y así podemos encontrar 0 tal que ( )f y para
todo y ( )K y 0 tenemos ( )( ) xC f x f . Con esto se tiene 0C f en
0 .
Teorema 4.6.14.- Sean v, w dos pesos, y : B B una aplicación holomorfica,
entonces son equivalentes:
(i) : ( ) ( )v wC H B H B es continua
(ii)( )
( ( ))x B
w xSup k
v x
(iii)( )
( ( ))x B
w xSup k
v x
Demostración.- La implicación iii) entonces ii) es inmediata, puesto que .w w
Asumamos ahora que tenemos ii) y tenemos que, mostrar que C es continua para
esto es suficiente ver que ( ) ( )v wC B H B es acotado.
Para (iii) entonces (i) aplicar definición de continuidad.
Sea f .Bv Para cualquier x B tenemos:
( ) ( ) ( )
( )
( )( ) .x x x v
x
w xw x f v f k f k
v
asi ( )( ) o sup ( ) xww x B
C f f w x f k
y de esta manera C es continua.
45
Supongamos ahora que C es continua. Si iii) no sería cierto existe una sucesión
n nX B
tal que . ,n nw X n v x para todo n . Para cada n
tomemos fn Bv asi que
2n
n n n
u xf x u x
Puesto que C es lineal y
continua C (Bv) es acotada en ( ) ( ).w wH B H B e esta forma podemos encontrar R
> 0 tal que ( )w
C f R para todo f Bv, en particular tenemos, para todo n x
B, ( ) ( ) .n xf w x R
De otro lado, para cada n
( ) ( )
( )( ) .
2n n
nn x n n x n
n
w x nf w x f v x
v x
la cual es una contradicción y por lo tanto se tiene el resultado.
Corolario 4.6.15.- Si v es esencial, entonces, el operador : ( ) ( )v wC H B H B es
continua si y solamente si
( )sup
( )x B
w x
v x
Teorema 4.6.16.- Sean H y F dos espacios de Hilbert BH y BF sus bolas unitarias abiertas
respectivamente. Sea : H Ff B B una aplicación holomorfica tal que f(0) = 0,
entonces para todo x BH se tiene ( )F H
f x x .
Demostración.- Inmediata de la definición de norma de un operador.
Nota.- El teorema (4.6.16) también se cumple si los espacios de Hilbert H F son
espacios de Banach.
Teorema 4.6.17.- Sea B una bola unitaria de un espacio de Hilbert H y V : B
0, un peso decreciente con respecto a x , entonces son equivalentes:
i) : ( ) ( )v vC H B H B es acotada para todo .
ii) Cada (Xn)nN B tal que2 1
2
n
n nx
satisface: 1( )
inf 0.....................(#)( )
n
nn
v x
v x
46
Demostración.- Primero nótese que (0) = 0, entonces C es automáticamente continua.
Como v es decreciente de (4.6.16) se tendría que:
( ) ( ) ( )1 1
( )1
( ) sup ( ) sup
sup ( )
x x xv x x
x vx
C f v x f v f
v x f f
y C es continua.
Para cada a B tenemos :a B B supóngase que cada0
C es continua, dado
cualquier , sea a = (0) y definamos o ,a claramente (0) = 0 y C es continua
entonces tenemos oa y o C aC C es continua, nosotros tendremos,
entonces, que cada C es continua. Por consiguiente esto es suficiente a probar.
: ( ) ( )a v vC H B H B es continua para todo a B (#).
Empecemos asumiendo que aC es continua para cada a B. Por (4.6.14) para cada a
B podemos hallar Ma > 0 tal que ( ) ( ( ))a av x M v x para todo x B. También sabemos
que sup ( )1a
x r
a rx
r a
y esto es valuado en 0 .
rx a
a
Como v es un peso radial v también lo es y ( )r
v x v aa
1.
rMa v a a P
a para
cada x B con .x r
Definamos una nueva función, ( ) ( )x v x con 1x r . Puesto que v es radial es
independiente de la elección de x y asi está bien definido. Con esta nueva función
reescribamos (P1).
(1 ) ( ) 1 11a a a a a
a rr rr v x M v a M a M
a a r a
para todo r
0,1 .
Veamos que es creciente. Tomemos r1 ≥ r2 y r1, r2 B con i ix r para i = 1, 2
entonces 1 2x x y como v es decreciente, 1 2( ) ( )v x v x asi 1 2x x
47
Sea ahora s = 1 – r entonces
(1
11 1 1
a r S a
r a s a
Si s< ½ entonces 1 1 1 12
aa s a y como es creciente entonces se tiene:
1 (1 ) 1
1 .1 1 1
12
a a s as s
aa s a
Tomando 2 / 5a tenemos:
1,
1 / 2 2
a ss
a
de esto:
(1 )( ) 1 .
1 (1 ) 2a
a s ss M Ma
s a
Para s suficientemente pequeño.
Consideremos ahora n nx B
con
11
2n nx para n suficientemente grande.
Tenemos 11( ) (2 ) 2 ( )n n
n a a nv x M M v X elijamos no tal que para n ≥ n0
1( ) 10
( )n
an
v x
Mv x
, esto implica 1( )inf 0
( )n
nn
v x
v x
ii) i) (ejercicio)
Nota.- Recordemos que un operador T Hom (E, F) es compacto si la imagen de la bola
unitaria B de E según T es relativamente compacto.
Lema 4.6.18.-Sea : ( ) ( )v wC H B H B continua, entonces son equivalentes los
enunciados siguientes:
i) C es compacto.
ii) Cada sucesión acotada ( )n vnf H B
tal que 0o
nf satisface que
0n wC f
48
Demostración: i) ii) como Ces compacto entonces C (Bv) es relativamente compacto
en wH B . Tomemos ( )n vnf H B
acotado tal que 0o
nf entonces
0nC f . Como convergencia en .w
implica que de 0, cada .w
subsucesión
convergente de ( )k kC f convergería a 0. Ahora si ( )n nwC f no converge a cero “0”,
existe una subsucesión k kfn
y c > 0 tal que , .n w
C f c paratodo k Pero
k kfn
es acotada y C es compacta, por consiguiente ( )n nC f es relativamente
compacto y tiene una subsucesión convergente. Esta nueva subsucesión es también una
subsucesión de ( )n nC f y esta debe converger a “0” esto da una contradición, asi
lim 0wn
C fn . El reciproco ((ii) (i)) – ejercicio.
Teorema 4.6.19.- Sean v, w dos pesos y : B B tal que (B) es relativamente
compacto y ( )B B entonces : ( ) ( )v wC H B H B es compacto.
Demostración.- Como ( )B B es compacto1
sup( ( ))x B v x
( )
1sup
( )Bv v y
( )
1sup
( )By v y
. Por
definición w es acotado, esto implica que( )
sup( ( ))x B
w x
v x
y por lo tanto C es continua.
Sea ( )n vnf H B
0 convergente a 0 y > 0. Escribamos 'C sup ( )
x B
w x
. Como
( )B B es compacto, existe 0n tal que para todo n( )
0 sup ( )'B
ny
n f yc
entonces,
si n 0n se tiene:
( ) ( )
( )sup ( ) ' sup ( ) ' sup ( )B B
n n x n nw x B y y
C f w x f C f y C f y
Así 0nC f , y por tanto por el lema 4.6.18 se tendría que C es compacto.
Teorema 4.6.20.- Sean v, w dos pesos y : B B con (B) relativamente compacto
si y solamente si.
49
( )1
( )
( )lim sup 0
xr r x
w xL
v
Demostración.-() Supongamos que L ≠ 0; entonces podemos encontrar 0,1n nr tal
que rn 1 y c > 0 asi que, para todo n ( ) ( )
( )sup .
x nr x
w xc
v
De esto podemos obtener una sucesión n nX B
con n nx r y nw x
,ncv x n Aplicando (4.6.7), para cada n elegimos fn Bv satisfaciendo
( ) ( ) .n nx xfn u
De otro lado como ( )B es relativamente compacto, podemos suponer, una subsucesión si es
necesario, tal que ( )nx n
converge a 0x B . Ahora, 1 > y 1n n nx r r por tanto
0 1x . Aplicando el teorema de Hahn – Banach, tomemos ' 'x X con
0 0' ' 1,x x x x puesto que lim ' nn
x x
0'( ) 1,x x existe 0n tal que
0
1' ,
2nx x n n . Estamos solo interesados en el comportamiento del límite de la
sucesión, por consiguiente podemos asumir que la sucesión satisface esta condición, y así
podemos encontrar con lim ( )n n
n n satisfaciendo 1
' ( )2
n
nx x
.
Para todo n . Ahora para cada n definamos ( ) '( ) ( ). ( )n ng x x x n f x holomorfica.
Nosotros tenemos:
( )sup ( ). '( ) ( ) sup ( ) ( )
sup ( ) ( ) 1
n n
n nx B x B
nx B
v x x x f x v x x f x
v x f x
Por tanto ( )n vng H B
y es acotada. Puesto que Bv es 0 – acotada dado cualquier K
B compacto existe un M > 0 tal que sup ( ) ,x K
fn x M n
50
De otro lado, como K es compacto, existe 0 < c < 1 tal que ;x c x K con esto:
( ) ( ) ( )sup ( ) sup '( ) ( ) .supn n n
nx K x K x K
g x x x fn x M x MC
Claramente ( ) 0,nC cuando n . Así ( )n vng H B
es acotado y gn
0 uniformemente sobre el subconjunto compacto de B. Por el lema (4.6.18)
( ) 0n wC g . De otro lado.
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) sup ( ) ( )
( )( )
= ( ) '( ) ( )
= ( ) '( ) ( )
( ) = '( )
2( )
n
n n
n n
n
n n xw
n xn
n
n x n x
n
n x x
n
x
xn
C g w x g
gw x
w x x f
w x x µ
w xn cx
v
Esto contradice el hecho que esto converge a “0” por consiguiente
( )1
( )lim sup 0
( ( ))xr r
w x
v x
El recíproco (ejercicio)
Proposición 4.6.21.-Sean v, w dos espacios y : B B con (B) relativamente
compacto tal que 1
( )lim 0,
( )x
w x
v x
entonces : ( )vC H B ( )wH B es compacto.
Demostración.-Empezaremos mostrando que C es continua. Dado > 0 existe algún 0 <
r0< 1 tal que, 0
( )1,
( )
w xr x
v x
.
Entonces es obvio que se tiene0
( )sup
( ( ))x r
w x
v x
51
Ahora estudiamos el supremo de esta última expresión en el conjunto 0:x B x r .
Pretendemos que el0
sup ( ) 1x r
x
. Supongamos que existe una sucesión n nx
con
0nx r tal que nk
xk
converge a y0 con 0 1y .
Por el teorema de Ham – Banach podemos elegir ' 'x X tal que ' 1x y 0'( ) 1x y .
Definamos una aplicación = ' :x o B . Claramente es acotado y0
( )sup 1xx r
Escribamos D = z : 1z . Sea a = (0) . Tomando :ag D D la
transformación de Mobius tal que ga (a) = 0. La aplicación ga o : B D
claramente satisface ga o (0) = 0. Por la nota correspondiente al teorema (4.6.16). Lema
de Schwarz se tiene que ( ) o ,a xg x x B esto implica que 0 0
o (0) (0)a r rg B D
y por lo tanto 0 0
1(0) (0)r a rB g D , este último conjunto es compacto en D. Por
consiguiente existe S 0,1 tal que 0(0) (0)r SB D entonces
0
( )sup 1xx r
s
, esto
conduce a una contradicción y prueba nuestro objetivo. Por tanto existe t 0,1 tal que
0
( )sup 1.xx r
t
Esto quiere decir que 0 0 0(0) (0) (0) y (0) (0) .r r t r t BB B B B B Asi
0(0)rB
es compacto y existen M, N > 0 tal que 0 < M ,v x N 0x r . Por consiguiente:
0 0
( ) 1sup sup ( ) ,
( ( ))x r x r
w xw x
Mv x
, esto dá
( )
( )sup
( )x B x
w x
v
y asi C es continuo
Supongamos que C no es compacto, del lema (4.6.18) esto quiere decir que existe una 0
– sucesión nula de funciones n vnf B tal que w n
C fn no converge a 0 (cero) en
. Llevando a una subsucesión si es necesario podemos asumir que, existe > 0 tal que.
sup ( ) ( ) ( ) 0.n n wx B
w x f x C f n
52
Ahora elegimos n nx B con n n nw x f x n y supongamos que
1nx . Dado cualquier > 0 existe r0 0,1 tal que, para cada r0 1,x
( )
( )
w x
v x
. Tomando n1 tal que 0 1nx r n n . Entonces nw x 1.nv x n n y
así n n nw x f x nv x n nf x n vf . Por consiguiente, ≤
> 0, pero > 0. Tenemos entonces que asumir, que la sucesión n nx no converge a
“1”. Tomando una subsucesión si es necesario podemos elegir r 0,1 tal que nx r
para cada r. De esto que se tiene vemos que, (B2 (0)) es compacto. Esto implica que
n nx también es compacto. Sea > 0 y escribimos ' sup ( ).
x B
c w x
Por tanto 0,nf
en 0, existe r2 tal que, para k≥ r2(( ) )
sup ( )'n n
ky x
f yc
Esto da 2/ ' .n nf x c n r Asi .n n nw x f x
Por lo tanto fue arbitrariamente tomado lo cual da una contradicción y así mostramos
que C es compacto.
Proposición 4.6.22.- Sean v, w dos pesos tal que1
lim ( ) 0 y :Bx
w x B
con (B)
relativamente compacto. Entonces : ( )vC H B ( )wH B , es compacto si y solo si
1( )
( )lim 0x
x
w xL
v
Demostración.- El recíproco queda justificado por el teorema (6.6.21). La otra
implicación procederemos por el absurdo.
Supongamos que L ≠ 0 entonces tenemos una sucesión n nx B
con lim 1n
nx
y c >
0 tal que
( )n
n
w xc n
v x
. Por resultado anterior, para cada n Pongamos fn
Bv tal que ( ) ( ) .n n nf x u x
53
Como (B) es relativamente compacto podemos asumir, tener o llevar una subsucesión si
es necesario, que converga a 0x B . Si 0 1x entonces 0 =
0lim ( ) lim ( ( )) ( ) 0.n nn n
w x c v x cv x
Asi 0 1.x De aquí aplicando el teorema de Hahn – Banach ponemos ' 'x X ,
definiendo ( )( ) ( )' . ( )n
n x x ng x f x y procediendo como en el teorema (4.6.20) se obtiene una
contradicción y por ende se tiene el resultado.
54
V. MATERIALES Y MÉTODOS
MATERIALES
El trabajo de investigación realizado, no es experimental, ni tiene métodos estadísticos, es
decir no está sujeto a una práctica y experimento de laboratorio. Sin embargo para su
ejecución ha sido fundamental la revisión de material bibliográfico de la especialidad, del
mismo modo también se ha recopilado información de Internet.
Además para la digitación e impresión del trabajo se ha usado material de tipo técnico en
el diseño de los informes trimestrales e informe final. Toda la información ha sido
procesado en un computador en un programador Microsoft Word en concordancia con
los directivos vigentes, mediante el cual se ha editado la totalidad del formulismo
matemático y elaborado los esquemas y dibujos relacionados a los diversos temas
desarrollados.
MÉTODOS
Luego de realizar la recopilación necesaria para la investigación. Los métodos usados en
la discusión de los temas son clasificados en:
1. Inductivo
2. Deductivo
3. Inductivo - Deductivo
El Método Deductivo es conciso y lógico que ha permitido desarrollar la estructura de
una Q – algebra. Para luego estudiarlo de manera específica en el espacio de las
aplicaciones holomorfas.
El Método Inductivo-Deductivo ha hecho posible mostrar el desarrollo del formalismo
descrito en los conceptos; así como también, el análisis de las soluciones para los modelos
(ejemplos) presentados.
En conclusión estos métodos han permitido que este trabajo tenga mayor claridad y
precisión.
55
VI. RESULTADOS
Basados en la Teoría del análisis Complejo, donde se ha realizado una revisión de
algunos tópicos como: diferenciabilidad, continuidad, convergencia de series de potencia
y topología en el espacio de las aplicaciones holomorficas H(E, F) se dota de la clase de Q
– algebra en dicho espacio, es decir el resultado obtenido es el estudio de H(E, F) como
algebra topológica lo cual es un objeto con dos estructuras que inicialmente son
diferentes. Estas dos estructuras (algebra y topología) son conectados en el modo
siguiente:
Definición 6.1.- Un álgebra A se dice que es un algebra topológica si (A, ) es un espacio
topológico y además las aplicaciones:
+ :A x AA
(a,b) a + b
: A x AA
(a,b) a . b
: xAA
(z,a) Z .a
Son continuas, donde a, b A, z
Observación 6.2.- De la definición inmediata anterior claramente podemos ver que toda
algebra topológica es un espacio vectorial topológico.
Definición 6.3.- Un algebra topológica A es localmente multiplicativamente convexa
(L.M.C.) si esto es un espacio localmente convexo cuya topología es definida por una
familia de seminormas ifi
tal que para todo x, y A y para todo i, fi (xy) ≤ fi(x)
fi(y). Con esta propiedad los seminormas son llamadas multiplicativos.
56
Observación 6.4.- La definición anterior se puede dar en términos de vecindades del cero
como sigue:
Primero damos M, N A dos subconjuntos cualesquiera y asi definimos M.N = mn: m
M, n N. Con esto diremos que un algebra topológica es localmente multiplicativamente
convexa si esto es un espacio localmente convexo con una base B de vecindades de 0,
satisfaciendo que V.V. V para todo V B
Observación 6.5.- a) Cada algebra de Banach es claramente un algebra localmente
multiplicativamente convexa.
b) Diremos que un algebra localmente multiplicativamente convexa es de FRECHET si
este es completo y la familia de seminormas definen una topología contable.
c) Recordando que un elemento a A es Quasi invertible si existe b A tal que ab = 0 =
ba. Y un algebra topológica A es una Q – algebra si el con junto Q(A) = Q(A) = b A :
ab = 0 = ba es abierto en A.
Considerando A y dos algebras y denotemos por m(A) = f: A / f –
homomorfismo continuo no nulo
d) En esta observación daremos propiedades interesantes de las Q – algebras. Sea A una
Q – algebra; entonces se tiene:
i) Si A es unitaria; m(A) es compacto con la topología débil “*”
ii) m(A) es equicontinuo
iii) Cada ideal maximal propio es cerrado
iv) Cada homomorfismo complejo es continua.
Definición 6.6.- Un subconjunto M L (E; F) es equicontinuo si para cada vecindad de 0,
V F; existe alguna vecindad U de 0 en E, tal que f (U) V para cada f M.
Equivalentemente
Para cada seminorma continua en F, digamos q, existe p, seminorma continua en E, tal
que q (f(x)) ≤ p(x), para todo f M x E.
57
Sea A un Q – algebra y B un subalgebra de A que es un subespacio complementario de A
y sea : AB el homomorfismo proyección de algebras entonces B también es un Q -
algebra.
Ejemplo.- Dada la operación “*” en un algebra A como sigue: a * b = a + b – ab, a,b
A claramente esta operación es asociativa con identidad “O”.
Consideremos : AB entonces
(a *b) = (a + b – ab) = (a) + (b) - (ab)
(a) * (b) = (a) + (b) - (a) (b) = (a) + (b) - (a) (b)
Entonces (a*b) = (a) * (b), también (0) = 0; por consiguiente el conjunto de
elementos cuasi invertibles en B es la proyección de el conjunto en A. por tanto cada
proyección es una aplicación abierta, así B es una Q – algebra.
Resultado Previo
Si E es un espacio localmente convexo y K E compacto entonces H (K) = H (K; ) es
una Q – algebra. Si además, E es matrizable, H (K) es un algebra localmente
multiplicamente convexa.
De otro lado, H( ) = H ( ; ) con la multiplicación puntual es un algebra pero con la
topología o (topología compacta abierta) de convergencia sobre los conjuntos compactos
no es una Q – algebra veamos esto: Sabemos que una función f es invertible si y solamente
si f (z) ≠ 0 para cada z . Entonces, si f H ( ) es invertible, o esto es constante o f (
) = - 0. Tomando una sucesión no nula n nW
. Supongamos que f no es constante
y definamos gn = f – wn. Para cada n existe algún zn tal que f (zn) = wn. entonces,
gn (zn) = f (zn) –wn = 0 y gn es no invertible. Mostramos ahora que .ong f Tomando
K compacto, dado > 0, sea n0 asi que nw para cada n 0n . Para n no
tenemos:
sup ( ) ( ) sup ( ) ( )n n nz K z K
f z g z f z f z w w
por consiguiente ong f
58
Si f constante (c) e invertible entonces c ≠ 0 sea hn (z) = c – wnz. entonces hn es un
polinomio no cero y por lo tanto tiene un cero y es no invertible.
Claramente hn c cuando n . Esto muestra que el conjunto de elementos
invertibles no es abierto, puesto que H ( ) es unitario, este no es una Q – algebra.
RESULTADO
Sea X un espacio topológico completamente regular y consideremos al algebra y
consideremos el álgebra de funciones complejas continuas sobre X entonces: C(X) es una
Q-algebra si y solamente si X es compacto.
(*) Si X es compacto, entonces C(X) es un algebra de Banach y, por consiguiente, una Q –
algebra.
(*) Supongamos ahora que si X no es compacto. Mostraremos en este caso que M(C(X))no
es equicontinua. Para cada x X, consideremos la aplicación evaluación
: ( )x C X dado por ( ) ( ).x f f x Claramente cada x M (C(X)), además la
aplicación : X M (C(X)) es un homeomorfismo. Así podemos identificar X M
(C(X)).
La topología en C(X) es definido por los seminormas pk (f) = sup ( )x K
f x
donde K alcanza
sobre todo subconjunto compacto de X. Entonces M (C(X)), es equicontinuo si y solamente
si existe algún K X compacto tal que ( ) ( )x kf p f para todo x X y todo f C(X).
Con el fin de ver que esto es falso, consideremos cualquier compacto K X. Puesto que X
no es compacto (X – K) ≠ . Consideremos x0 (X – K), ya que X es completamente
regular, podemos encontrar una aplicación continua f : X [0,1] satisfaciendo f(x) =
0 para todo x K y f(x0) = 1 entonces0 0( )( )x xf f =1>0= sup ( ) ( )k
x K
f x p f
. Así, M
(C(X)) no es equicontinuo y C(X) no es una Q – algebra entonces se tiene que
efectivamente C(X) es una Q –algebra si y solo si X es compacto, y como holomorfía
implica continuidad entonces se tendría de manera particular que el conjunto H (X) es una
Q – algebra es decir se ha obtenido una Q – algebra en el espacio de las aplicaciones
holomorfas.
59
A continuación daremos un par de aplicaciones de algebras topológicas L.M.C. en el
producto tensorial pero previamente mencionaremos algunos resultados de tal tópico.
Dados dos espacios vectoriales E y F existe un único espacio vectorial G y una aplicación
bilineal 2: E G tal que; para cada espacio vectorial H y cada aplicación bilineal f
: E x F H existe una única aplicación lineal :f G H tal que f = f o , es
decir el siguiente diagrama conmuta.
E x F G
H
Nota.-
El par (G, ) es llamado producto tensorial de E y F.
G E F los elementos de E F son llamados tensores y se escriben a b =
(a,b).
Por unicidad de la construcción E F =1
: ,n
i i i ii
a b a E b F
Dados dos aplicaciones f : E1 2 ,E g: F1 F2, podemos definir una nueva
aplicación f g : E1 F1 E2 F2 como (f g)1
n
i ii
a b
=
1
( ) ( )n
i ii
f a f b
, la cual está bien definida, más aún, si M y N son dos conjuntos
equicontinuos de aplicaciones lineales, podemos considerar el conjunto
: ,M N f g f M g N
f
f
60
Como E F es un espacio vectorial, podemos dotar de una topología a E F y
así tenemos un espacio vectorial topológico (E F; ) = (E F); y la
completación de este espacio se denota como E F
Definición 6.7.- Diremos que es una topología tensorial uniforme para espacios
localmente convexos si para cada por E, F de espacios localmente convexos se tiene:
i) E F es un espacio localmente convexo.
ii) La aplicación canónica bilineal E x F E F es separablemente continua.
iii) Si f L (E1; E2) y g L (F1; F2) , entonces f g L (E1 F1, E2 F2).
iv) Si M L (E1; E2) y N L (F1; F2) son equicontinuas, entonces M N L (E1 F1,
E2 F2) es equicontinuo.
Observación 6.8.-Cuando A, B son dos algebras, un producto tensorial puede ser
definido en AB usando la propiedad universal de PRODUCTO TENSORIAL como
(a1 b1) (a2 b2) = (a1a2 b1b2), con esta operación AB es un algebra.
Aplicación 1.- Sean E y F dos espacios localmente convexos cuyas topologías son
definidas por familias de seminormas p p , entonces sea:
1 1
( ) inf ( ) ( ) : ,n n
B i B i i ii i
p q T p x q y T x y n
esto define una seminorma en E F y 1
B Bp q es un sistema que define una
topología localmente convexa llamada proyección . Si U y V son sistemas
fundamentales de vecindades convexa, balanceadas de O (cero). Para E y F,
respectivamente entonces :U V U V v V es un sistema fundamental de
vecindades convexas balanceadas de O (cero) para ,E F donde ( )A denota el
casco convexo de A. Esto es bien conocido que satisface las dos primeras
condiciones de la definición (6.7) para ser una norma uniforme.
61
Tomando E1, E2, F1, F2 espacios localmente convexos y M L (E1; E2) y N L (F1; F2)
equicontinuos. Para E1, E2, F1, F2 y consideremos el sistema fundamental de
vecindades 1 2 1 2, , ,U U V V respectivamente. Tomando 2 2 .nU V Por
equicontinuidad, podemos encontrar 1 1 yU V tal que 1 2f U U y 1 2ng V V
para cada f M y g N tomando cualquier f M y g N, como ambos son lineales
tenemos:
1 1 1 1f g U V f g U V 1 1f U g V
2 2nU V
así, la topología es uniforme.
Además si A y B son dos algebras L.M. C., las seminormas que generan la topología
son multiplicativas y así, AB es una algebra LMC.
(#) Sea A un algebra L.M.C., E un espacio localmente completo. Dado h M(A) y la
aplicación identidad IE : E E podemos considerar h IE : A E E .
Sabemos que si E es completo entonces E E de modo que asumiremos siempre que
E es completo y así escribiremos E en lugar de .E
Ahora consideremos A un algebra LMC, E un espacio localmente completo y una
topología tensorial uniforme. Para cada T A E definimos la llamada
“TRANSFORMACIÓN DE GELFAND”.
: ( ) , ( ) ( ) ( *)ET m E T h h I T G A
Aplicación 2.-Sea A una Q – algebra LMC, E un espacio localmente convexo y una
topología tensorial uniforme. Entonces, para cada T A E , la aplicación dada en G*
: ( )T m EA es continua.
62
Demostración.-Fijemos T A E y h m(A) y consideremos una red h m (A)
convergiendo débilmente “*” a h (es decir hα h). Sea q cualquier seminorma
continua en E y sea > 0. Como A en un Q – algebra, m(A) es equicontinua y, por
consiguiente, lo es m(A) EI . Entonces podemos encontrar alguna seminorma P1 en A
E tal que q ([g IE] (z)) ≤ P1 (z) para todo z T A E y g m(A). De otro lado, h
es continua y existe alguna otra seminorma P2 en A E , tal que q ([h IE]) ≤ P2 (Z) para
todo Z.
Elijamos1
n
i ii
S a x
tal que 1 2( ), ( ) / 4.Max P T S P T S
Como hα h con la topología débil *, tenemos ( ) ( )ih a h a para todo a A.
Sea K = max q (xi) y para cada i = 1, ….., n podemos encontrar i = 1, ….,n i tal que,
para ,i satisface ( ) ( )2i ih a h a
nK
sea 0 1max ,....., .n Si ,i
tenemos ( ) ( ) ( ) ( )E E Eq h I T h I T q h h I T S S
q ( ) ([ ]( )) ([( ) ]( ))E E Eh I T S q h I T S q h h I s
1 21
1
( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( )4 4
2 2
n
i i ii
n
i i ii
P T S P T S q h a h a x
h a h a q x
nKnk
Asi lim ( ) ( ) 0E Eq h I T h I T y por lo tanto T C (m(A); E).
63
VII. DISCUSIÓN
Como se podrá observar que en el presente trabajo no hay resultados de carácter
experimental obtenidos en gabinete o laboratorio por lo que no es posible realizar
discusión alguna en tal sentido.
Sin embargo es posible hacer tal discusión con respecto a otros trabajos sobre todo en las
aplicaciones.
Cualquier matemático que ha realizado trabajos en algebra y topología apoyados en la
teoría de variable compleja como es el caso particular de J. DIEUDONNE en sus obras.
Elementos de análisis y también en la obra Weighted Spaces of holomorphic functions on
Banach Spaces Vol. 1 (2000) por: Domingo García, Manuel Maestre, Pilar Rueda
obtienen resultados sobre Espacios en general mientras que en este trabajo se ha obtenido
un resultado de una Q – algebra para un espacio topológico específico como es el espacio
de las aplicaciones holomorfas.
Más aún se ha discutido la continuidad de la transformación de Gelfand, T para un
elemento T en el producto tensorial A .E
64
CONCLUSIONES
1. Este trabajo está basado en la teoría de variable compleja, algebra y topología.
2. Se ha tratado de una clase interesante de algebras topológicas como es la clase de
Q – algebras.
3. En este trabajo tratamos en un inicio el problema de holomorfía obviamente en
dimensiones no finitas.
4. Se ha concluido con el resultado muy interesante de que C(X) es una Q –algebra si
y solo si X es compacto.
5. Finalmente se ha podido concluir este trabajo con dos aplicaciones al producto
tensorial de algebras localmente multiplicativas convexas.
65
BIBLIOGRAFÍA
[1] Dungundji, Jame. TOPOLOGY, United Status of America Boston © Copyright,
segunda edición, 1966.
[2] Kolmogorov A.N. – Fomin S.V. ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE FUNCIONES Y
DEL ANÁLISIS FUNCIONAL, Moscu: Editorial Mir, Tercera Edición 1978.
[3] Tola Pasquel, José. ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL, Lima: © Copyright,
Primera Edición. 1989.
[4] Dieudonne, J. FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS MODERNOS, Zaragoza – España: ©
Editorial Reverte, S.A. Primera Edición 1966.
[5] Dieudonné, J. ELEMENTOS DE ANÁLISIS, Barcelona España: © Editorial Reverte,
S.A., Primera Edición 1977.
[6] Markushevich, A. TEORÍA DE LAS FUNCIONES ANALÍTIC AS, Moscu: Editorial
Mir, Segunda Edición, 1978.
[7] Fragoulopoulou, María. Q – ALGEBRAS, Tartu – Estonia: © Copyright; Servei of
Publicacions, primera edición 1999.
[8] Mujica, Jorge. IDEALS OF HOLOMORPHIC FUNCTIONS ON FRECHET SPACES,
Amsterdam: Editorial J.A. Barroso Primera Edición 1990.
66
IX. APENDICE
Tabla 1 Caracterización Topológica y algebraica de algunos espacios
Nombre Símbolo Estructura topológica Estructura
algebraica
Espacio de las
aplicaciones m-linealesL(Em; F) Espacio de Banach Espacio vectorial
Espacio de las
aplicaciones m-lineales
simétricas
Ls(Em; F)Subespacio cerrado
de L (Em, F)
Subespacio
vectorial
Espacio de las
aplicaciones Continuas
de U a F
C(U;F) Espacio de Banach Espacio vectorial
Espacio de las
Aplicaciones
Holomorficas de U a FH(U;F)
Subespacio cerrado
de C(UiF) con la
topología compacta
abierta
Algebra
Espacio de los
polinomios m-
homogéneas de E a F
P(Em; F) Espacio de Banach Espacio vectorial
Espacio de todas las
aplicaciones f de tipo O-
holomorficas
H (U;F)
Espacio topológico
cuya topología es:
Jw,
Subalgebra de
H(U; F)
67
Tabla 2
Caracterización de la aplicación : ( ) ( )v wC H B H B
1. Si (B) tB, para algún t< 0,1> : ( ) ( )v wC H B H B está bien
definida, para v y w pesos cualesquiera.
2. : ( ) ( )v wC H B H B es compacto
( )
( )lim 0
( )x
w x
v
3. Si : ( ) ( )v wC H B H B es continuo C : HV(B) HW(B) es continuo, donde
V y W representan dos familias de pesos.
4. C : HV(B) HW(B) es continuo para cada w W existe v V tal que
: ( ) ( )v wC H B H B es continua.
5. : ( ) ( )v wC H B H B es compacto para cada ( )n vn
f H B tal que
0 0nf se cumple 0
wC fn
68
9.1 Anexos
Definición 9.1.1 (Espacio normado)
Sea K = o , E un K-espacio vectorial una en E es una aplicación, . : E tal que
verifica las condiciones siguientes:
N1 ) 0 x E, 0 0x x x
N2 ) . . , ,x x x E k
N3 ) , ,x y x y x y E
Un espacio normado es un espacio vectorial provisto de una norma, el cual lo denotaremos por
(E, . ) o simplemente por E.
Ejemplo 9.1.2.- Sea I = [a, b] y E = C(I) = f: /I f es conmtinua. En E definamos
( )b
dtaf f t entonces (E, . ) es un espacio normado.
Definición 9.1.3 (Espacio Métrico)
Sea E un conjunto, una distancia en E es una aplicación d : E x E tal que verifica las
condiciones siguientes:
d1) d(x, y) ≥ 0, x, y E d(x, y) = 0 x = y
d2) d (x, y) = d(y, x) , x, y E
d3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z), x, y, z E
Un espacio métrico es un conjunto provisto de una métrica o distancia.
Definición 9.1.4 Sea (E, d) un espacio métrico. Diremos que la sucesión ( )n nx E es de
CAUCHY si 00, n tal que d (xm , xn) <, m,n ≥ n0
Definición 9.1.5Diremos que ( )n nx E converge a x E si i 00, n tal que si n > n0
entonces d(xn, x) <
Notación: xn x
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Observación 9.1.6.- Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy (ie)
CONVERGENCIA CAUCHY
Definición 9.1.7.-Sea (E, d) un espacio métrico. Diremos que E es completo, si toda sucesión de
Cauchy es convergente.
Observación 9.1.8.- Sea E un espacio normado ( . norma de E
Definamos d : E x E 0, como ( , )d x y x y
Fácilmente se verifica que d asi definida es una Norma, y es llamado Métrica inducida por la
norma.
Definición 9.1.9.-
Sea , .E , donde d(x, y) = x y . Diremos que , .E es un espacio de Banach. Si , .E es
completo.
Definición 9.1.10.- Sea E un espacio de Banach, U E un subconjunto abierto no vacío,
diremos que U es e – equilibrda con respecto a uno de sus puntos e, si: (1 - ) e + x U para
x U y , 1
Definición 9.1.11.-Sea X un conjunto cualesquiera ( )P x . Diremos que la familia de
conjunto define una topología en X si:
1) , X
2) si A, B , entonces A B
3) Si A es una familia arbitraria de elementos de entonces A
X provisto de la topología se llama espacio topológico y se escribe (X, ) o simplemente X.
Definición 9.1.12 (Topología compacta abierta)
Sean X, Y dos espacios topológicos, y escribamos YX = f: X y/f es una aplicación
continua. Sea A X compacto, f yX tal que f(A) V, donde V Y es abierto; entonces las
aplicaciones cerca a f son requeridas para satisfacer la misma condición. La topología más
pequeña en yX compactible con la condición anterior es llamada Topología Compacta Abierta.
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Observación 9.1.13.- Claramente se ve que el espacio yx es un invariante topológico de X e Y;
esto es: Si X ,L Y M entonces x Ly M . Demostración : [ver [2]]
Ejemplo 9.1.15.-Si X es discreto, entonces YX es homeomorfico a :xY x X donde cada Yx es
una copia de Y.
Definición 9.1.16.- Sea E, F dos espacios de Banach, f : Em = Ex …… xE F es una
aplicación m – lineal si cumple la condición.
f (x1, …., xi-1, axi + byi, xi+1, ……, xm) = af(x1, …., xm) + bf (x1……, xi.-1, yi, ……, xm)
,a b k xi, yi E, i = 1, 2, ….., n
Teorema 9.1.17.-Cada función m – lineal es continua.
Demostración (Ver [1])
Nota.-
i) Si m = 2, se llama aplicación bilineal.
ii) Una aplicación f : E2 F es simétrica si f (x, y) = f(y, x) x,y E.
Observación 9.1.18
Sea V un K – espacio vectorial.
Escribamos A = (V, ), donde “” es una multiplicación definida en A – es decir:
: A x A A
(x, y) x. y
Diremos que A es un algebra si
A1) (a. x + b. y) Z = a ( x z) + b (y z), ,a b K ,x y A
A2) X (a. y + b. z) = a ( x y) + b (x z), ,a b K ,x y A
Si además verifica que : As) X (y z) = (x y) z, , ,x y z A se dice que A es un algebra
asociativa.
Y si verifica que Ac ) X Y = Y X, x, y A, se dice que A es un algebra conmutativa.
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Diremos que e A es un elemento unitario si e . x = x e = x, x A.
Nota.- Si e – existe entonces es único.
9.2 Fuente Bibliográfico de los anexos
[1] José Tola Pasquel. Algebra Lineal y multilineal © 1988, copyright por Fondo Editorial
de la Pontificia Universidad Católica del Perú.
[2] James Dugundji. Topology, United Status of America Boston: © copyright 1966
[3] J. Dicudonne. Fundamentos de Análisis Moderno © editorial Reverte, S.A., 1966.
