UNIVERSIDAD NACIONAL DE

SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

SOLUCIONARIO DE LOS PROBLEMAS ASIGNADOS DEL LIBRO, DE LA QUINTA

EDICIÓN, DE BEER- JOHNSTON

ASIGNATURA : Dinámica

ALUMNOS : Espillco Quintanilla, Freud

: Lujan Centeno, Fernando

: Pereira Portillo, Jorge Irvin

: Rodríguez Ramos, Alfio

PROFESOR : Ing. Cristian

FECHA DE ENTREGA : hasta: 06/06/13

AYACUCHO – PERU

2013

15.7 Cuando se pone en operación un motor alcanza su velocidad nominal de

3300 rpm en 6s y cuando el motor se desactiva tarda 80s para llegar al reposos

se supone que el movimiento es uniformemente acelerado ,determine el

número de revoluciones que ejecuta el motor a)para alcanzar ,la velocidad

nominal b)para detenerse

𝑎) 𝑤𝑓 = 3300𝑟𝑝𝑚 = 3300

60 2𝜋

𝑟𝑎𝑑

𝑠= 55 2𝜋

𝑟𝑎𝑑

𝑠

𝑡 = 6𝑠

𝜃 =(𝑤0 + 𝑤𝑓)𝑡

2=

0 + 55 2𝜋

2 6 = 165 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

1revolucion =2 𝝅 rad , entonces dio 𝟏𝟔𝟓 𝒓𝒆𝒗𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

𝑏) 𝑤0 = 3300𝑟𝑝𝑚 = 3300

60 2𝜋

𝑟𝑎𝑑

𝑠= 55 2𝜋

𝑟𝑎𝑑

𝑠

𝑡 = 80𝑠

𝜃 =(𝑤0 + 𝑤𝑓)𝑡

2=

55 2𝜋 + 0

2 80 = 2200 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

1revolucion =2 𝜋 rad , entonces dio 2200 rev.

15.10El ensamble que se muestra en la figura está compuesta por la varilla recta ABC que

pasa por, y esta soldada a la placa rectangular DEFH .el ensamble gira alrededor del eje AC

con una velocidad angular constante de 9rad/s .si el movimiento es en sentido contrario al

de las manecillas del reloj cuando se observa desde C, determine la velocidad y aceleración

de la esquina F

𝑎𝐴𝐶 =1

9 7𝑖 − 4𝑗 + 4𝑘

𝑤 = 7𝑖 − 4𝑗 + 4𝑘

𝛼 = −18𝑟𝑎𝑑

𝑠2;

𝛼 = 𝛼𝑢𝐴𝐶 = −18 1

9 7𝑖 − 4𝑗 + 4𝑘 = −14𝑖 + 8𝑗 − 18𝑘

Esquina F: 𝑟𝐹/𝐵 = 175𝑚𝑚 𝑖 + 100𝑚𝑚 𝑘 = 0.175𝑚 𝑖 + 0.100𝑚 𝑘

𝑣𝐹 = 𝑤𝑥𝑟𝐹/𝐵 = det 𝑖 𝑗 𝑘7 −4 4

0.175 0 0.100 = −0.4𝑖 + 0.7 − 0.7 𝑗 + 0.7𝑘

𝑣𝐹 = −0.4𝑖 + 0.7𝑘𝑚/𝑠

𝑎𝐹 = 𝛼𝑥𝑟𝐹/𝐵 + 𝑤𝑥(𝑤𝑥𝑟𝐹/𝐵) = 𝛼𝑥𝑟𝐹/𝐵 + 𝑤𝑥(𝑣𝐹)

𝑎𝐹 = det 𝑖 𝑗 𝑘

−14 8 −80.175 0 0.100

+ det 𝑖 𝑗 𝑘7 −4 4

−0.4 0 0.7

= 0.8𝑖 + −1.4 + 1.4 𝑗 − 1.4𝑘 − 2.8𝑖 + −1.6 − 4.9 𝑗 − 1.6𝑘

𝒂𝑭 = −(𝟐𝒎/𝒔𝟐)𝒊 − (𝟔.𝟓𝒎/𝒔𝟐)𝒋 − (𝟑𝒎/𝒔𝟐)𝒌

15.12 la varilla doblada ABCDE gira alrededor de una línea que une los

puntos A y E con una velocidad angular constante de 9rad/s .si se sabe que

la rotación es el sentido de las manecillas del reloj según se observa desde E,

determine la velocidad y aceleración de la esquina C

𝑤𝐴𝐸 =9𝑟𝑎𝑑

𝑠, 𝛼𝐴𝐸 = 0 , 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝐸

𝐸𝐴2 = 0.42 + 0.22 + 0.42 = 0.6 𝑚

𝑟𝐶/𝐸 = −0.4𝑖 + 0.15𝑗

𝐸𝐴 = −0.4𝑖 + 0.4𝑗 + 0.2𝑘

𝑢𝐸𝐴 =𝐸𝐴

/𝐸𝐴/=

1

0.6 −0.4𝑖 + 0.4𝑗 + 0.2𝑘 =

1

3 −2𝑖 + 2𝑗 + 1𝑘

𝑤 = 9 1

3 −2𝑖 + 2𝑗 + 1𝑘 = (−6𝑖 + 6𝑗 + 3𝑘) 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑣𝑐 = 𝑤𝑥𝑟𝐶/𝐸 = det 𝑖 𝑗 𝑘−6 6 3−0.4 0.15 0

= −0.45𝑖 − 1.2𝑗 + −0.9 + 2.4 𝑘 =

(−0.45𝑖 − 1.2𝑗 + 1.5𝑘) m/s

𝑎𝑐 = 0 + det 𝑖 𝑗 𝑘−6 6 3−0.4 0.15 0

= 9 + 3.6 𝑖 + −1.35 + 9 𝑗 + 7.2 + 2.7 𝑘

= 12.60𝑖 + 7.65𝑗 + 9.90𝑘

𝒂𝒄 = 𝟏𝟐.𝟔𝟎𝒊 + 𝟕.𝟔𝟓𝒋 + 𝟗.𝟗𝟎𝒌 𝒎/𝒔𝟐

15.41 El Collarín A se mueve hacia arriba con una velocidad constante de 1.2

m/s. en el instante mostrado cuando 𝜽 = 𝟐𝟓º, determine a) la velocidad angular

de la varilla AB. b) la velocidad del collarín B.

𝑉𝐴 = 1.2 𝑚/𝑠

𝑉𝐴/𝐵

𝑠𝑒𝑛(60)=

𝑉𝐵𝑠𝑒𝑛(65)

=𝑉𝐴

𝑠𝑒𝑛(55)

𝑉𝐴𝑠𝑒𝑛(55)

=𝑤𝐴𝐵𝐴𝐵

𝑠𝑒𝑛(60)

𝑤𝐴𝐵 =𝑠𝑒𝑛 60 .𝑉𝐴

𝑠𝑒𝑛 55 .𝐴𝐵

𝑤𝐴𝐵 =1.2 𝑚/𝑠

0.5 𝑚.𝑠𝑒𝑛 60

𝑠𝑒𝑛 55

𝑤𝐴𝐵 = 2.54 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑉𝐴𝑠𝑒𝑛(55)

=𝑉𝐵

𝑠𝑒𝑛(65)

𝑉𝐵 =𝑉𝐴 . 𝑠𝑒𝑛(65)

𝑠𝑒𝑛(55)

𝑉𝐵 =1.2. 𝑠𝑒𝑛(65)

𝑠𝑒𝑛(55)

𝑽𝑩 = 𝟏.𝟑𝟑𝒎/𝒔

15.52 El brazo AB gira con una velocidad angular de 20 rad/s en sentido

contrario de las manecillas del reloj. Si se sabe que el engrane exterior C es

estacionario, determine a) la velocidad angular del engrane B, b) la velocidad

del diente del engrane localizado en el punto D.

𝑉1 = 𝐴𝐵 + 𝑟 .𝑤𝐶

𝑉2 = 𝐴𝐵 .𝑤𝐴

𝑉1 = 𝑉2 + 𝑤𝐵 . (𝑟)

Reemplazando (1) y (2) en la ecuación (3):

𝐴𝐵 + 𝑟 .𝑤𝐶 = 𝐴𝐵 .𝑤𝐴 + 𝑤𝐵 . (𝑟)

Como 𝑤𝐶 es estacionario es igual a 0:

0 = 𝐴𝐵 .𝑤𝐴 + 𝑤𝐵 . (𝑟)

𝑤𝐵 = −𝐴𝐵 .𝑤𝐴

𝑟

𝑤𝐵 = −0.12(20)

0.05

𝑤𝐵 = −48 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Para hallar 𝑉𝐷:

𝑉𝐷 = 𝑉𝐸 + 𝑉𝐷/𝐸

𝑉𝐷 = 0 + 𝐷𝐸 .𝑤𝐵

𝑉𝐷 = 0.05. 2.48

𝑽𝑫 = 𝟑.𝟑𝟗𝒎/𝒔

15.55 Si la manivela AB tiene una velocidad angular constante de 160 rpm en

sentido contrario al de las manecillas del reloj, determine la velocidad angular

de la varilla BD y la velocidad del collarín D cuando a) 𝜽 = 𝟎º ,b) 𝜽 = 𝟗𝟎º

𝑤𝐴𝐵 = 160 𝑟𝑝𝑚 =160(2𝜋)

60=

16

3𝜋𝑟𝑎𝑑/𝑠

Del diagrama de la segunda barra obtenemos:

𝑉𝐵𝑠𝑒𝑛(90+∝)

=𝑉𝐷

𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝛼)=

𝑉𝐷/𝐵

𝑠𝑒𝑛(90 − 𝜃)

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 6 − 3𝑠𝑒𝑛𝜃

10 … (1)

Para 𝜃 = 0º se obtiene de (1) 𝛼 = 37º:

16

3𝜋. (3)

𝑠𝑒𝑛(90 + 37)=

10.𝑤𝐵𝐷

𝑠𝑒𝑛(90 − 0)

𝑤𝐵𝐷 =

16

3𝜋. (3)𝑠𝑒𝑛(90)

10. 𝑠𝑒𝑛(127)

𝑤𝐵𝐷 = 6.29 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Hallando 𝑉𝐷:

𝑉𝐷𝑠𝑒𝑛(0 − 37)

=𝑉𝐵

𝑠𝑒𝑛(90 + 37)

𝑉𝐷𝑠𝑒𝑛(−37)

=

16

3𝜋. (3)

𝑠𝑒𝑛(127)

𝑉𝐷 =

16

3𝜋. 3 . 𝑠𝑒𝑛(−37)

𝑠𝑒𝑛(127)

𝑉𝐷 = −37.88 𝑖𝑛𝑐𝑕/𝑠

Para 𝜃 = 90º se obtiene de (1) 𝛼 = 17.46º:

16

3𝜋. (3)

𝑠𝑒𝑛(90 + 17.46)=

10.𝑤𝐵𝐷

𝑠𝑒𝑛(90 − 90)

𝑤𝐵𝐷 =

16

3𝜋. (3)𝑠𝑒𝑛(0)

10. 𝑠𝑒𝑛(107.46)

𝑤𝐵𝐷 = 0 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Hallando 𝑉𝐷:

𝑉𝐷𝑠𝑒𝑛(90 − 17.46)

=𝑉𝐵

𝑠𝑒𝑛(90 + 17.46)

𝑉𝐷𝑠𝑒𝑛(72.54)

=

16

3𝜋. (3)

𝑠𝑒𝑛(107.46)

𝑉𝐷 =

16

3𝜋. 3 . 𝑠𝑒𝑛(72.54)

𝑠𝑒𝑛(107.46)

𝑽𝑫 = 𝟓𝟎.𝟐𝟕𝒊𝒏𝒄𝒉/𝒔

15.82.Si se sabe que en el instante mostrado la velocidad angular de la varilla

AB es de 15𝒓𝒂𝒅 𝒔 en el sentido de las manecillas del reloj, determina: a) La velocidad angular de la varilla BD. b)La velocidad del punto medio de la varilla BD.

𝜔𝐴𝐵 = 15𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝜔𝐴𝐵 = −15𝐾

𝜔𝐴𝐵 =? ?𝑉𝑃 =? ?

𝑉

𝐵 =

𝑉

𝐴 +

𝜔

𝐴𝐵×

𝜌

𝐴𝐵

𝑉

𝐵 = 0 + −15𝐾 × −0.2𝑗

∴ 𝑉

𝐵= −3𝑖

𝑉

𝐷=

𝑉

𝐵 +

𝜔

𝐵𝐷×

𝜌

𝐵𝐷

𝑉

𝐷= −3𝑖 +

𝜔

𝐵𝐷× −0.6𝑖 − 0.25𝑗

𝑉

𝐷= −3𝑖 + 𝜔𝐵𝐷𝐾 × −0.6𝑖 − 0.25𝑗

Comparando la velocidad en el punto D con respecto a los puntos B y E

−3𝑖 + 𝜔𝐵𝐷𝐾 × −0.6𝑖 − 0.25𝑗 = 𝑉𝐸 + 𝜔𝐸𝐷𝐾 × 𝑃 𝐸𝐷

−3𝑖 − 0.6𝜔𝐵𝐷𝐽 + 0.25𝜔𝐵𝐷𝐾 = 0 + −0.2𝜔𝐸𝐷𝐽

0.25𝜔𝐵𝐷𝑖 = 3

∴ 𝝎𝑩𝑫 = 𝟏𝟐𝒓𝒂𝒅 𝒔

𝑉 𝑃 = 𝑉 𝐵 + 𝜔

𝐵𝐷 ×

𝜌

𝑉 𝑃=-3𝑖 +12𝑘 × −0.3𝑖 − 0.25𝑗

𝑉 𝑃=−3𝑖 − 3.6𝑗 + 3𝑖

∴ 𝑽 𝑷 = −𝟑.𝟔𝒋

15.94La barra AB está unida a un collarín en A y esta acoplada con una

pequeña rueda en B.Si se sabe que cuando Ø = 𝟔𝟎𝟎 la velocidad del collarín es de 250𝒎𝒎 𝒔 hacia arriba, determine: a) La velocidad angular de la barra AB. b) La velocidad del punto B.

Si: 𝜙 = 60° 𝑦 𝑉𝐴 = 250𝑚𝑚/𝑠

𝜔

𝐴𝐵= ¿ ? 𝑦𝑣𝐵 = ? ?

En el triángulo ABE

𝐸𝐵 = 200 sin 60° = 173.2𝑚𝑚

𝐴𝐸 = 200 cos 60° = 100𝑚𝑚

Analizando en el triángulo BCD:

Ω = sin−1(173.2𝑚𝑚300𝑚𝑚 )

Ω = 35.264°

𝐶𝐸 = 300 cos 𝛽 = 244.95𝑚𝑚

𝐴𝐶 = 𝐶𝐸 − 100 = 144.95𝑚𝑚

Por semejanza de triángulos: 𝐶𝐴𝐷 𝑦 𝐶𝐸𝐵

𝐶𝐷

𝐶𝐵=

𝐴𝐷

𝐸𝐵=

𝐶𝐴

𝐶𝐸

𝐶𝐷

300𝑚𝑚=

𝐴𝐷

173.2𝑚𝑚=

144.95𝑚𝑚

244.95𝑚𝑚

𝐶𝐷 = 177.53 𝐴𝐷 = 102.49

𝐶𝐷 = 177.53 𝐴𝐷 = 102.49

𝐵𝐷 = 𝐶𝐵 − 𝐶𝐷 = 300𝑚𝑚 − 177.53𝑚𝑚 = 122.47𝑚𝑚

a) Hallando velocidad angular: 𝜔

𝐴𝐵

𝑣𝐴 = (𝐴𝐷) ∗ 𝜔𝐴𝐵

250𝑚𝑚/𝑠 = (102.49𝑚𝑚) ∗ 𝜔𝐴𝐵

𝜔𝐴𝐵 = 2.439𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝝎𝑨𝑩 = 𝟐.𝟒𝟒𝒓𝒂𝒅/𝒔

b) 𝑣𝐵 = 𝐵𝐷 ∗ 𝜔𝐴𝐵 = 122.42𝑚𝑚 ∗ (2.439𝑟𝑎𝑑/𝑠)

𝒗𝑩 = 𝟐𝟗𝟖.𝟕𝒎𝒎/𝒔

15.138 Se han unido unas pequeñas ruedas a los extremos de la varilla AB y ruedan libremente a lo largo de las superficies que se muestran. Utilice el método de la sección 15.9 a fin de obtener una expresión para la velocidad angular de la varilla en términos de 𝒗𝑩,Ø,𝒍 𝒚Ω

La distancia de A al 𝐶𝐼𝑅 =𝐴𝐷

cos (90−Ω)

𝑅𝐴 =𝐿 cos Ø

cos( 90 −Ω)=𝐿 cos Ø

sinΩ

De la figura tenemos

𝑅𝐴 = Lcos Ø ∗ cscΩ

𝑅𝐵 = Lcos Ø ∗ sin 90 − Ω 𝑣𝐵 = 𝜔 ∗ 𝑅𝐵

𝑣𝐵 = 𝜔 ∗ (𝐿 cos Ø. sec(90 − Ω)

𝜔𝐴𝐵 =𝑉𝐵

𝐿 cos Ø sec(90 − Ω)

∴ 𝝎𝑨𝑩 = −𝑽𝑩 𝒔𝒊𝒏Ω

𝑳 𝒄𝒐𝒔Ø

15.14 Una placa triangular y dos placas rectangulares se sueldan a una

barra recta AB .La unidad soldada gira alrededor de la barra AB con una

velocidad angular constante de 5rds/seg. Si se sabe que en ek instante

considerado la velocidad dde la esquina E se dirige hacia abajo,

determine la velocidada y aceleración de la esquina D.

𝑊𝐴𝐵 = 5 𝑟𝑑𝑎/𝑠

𝑊𝐴𝐵 = −4𝑗 + 3𝑖

𝑃𝐴𝐵 = 350𝑖

𝑉𝐸 = 𝑊𝐴𝐵𝑥𝑃𝐴𝐵

𝑉𝐸 = −4𝑗 + 3𝑖 𝑥350𝑖

𝑉𝐸 = 1100𝑘 + 1050𝑗

𝑎𝐸 = 0 + −4𝑗 + 3𝑖 𝑥(1100𝑘 + 1050𝑗)

𝑎𝐸 = −5600𝑖 + 3150𝑖

𝑎𝐸 = −8750i rad/seg

15.32 El disco B esta en reposo cuando se pone en contacto con el

disco A que gira libremente a 450 rpm en el sentido de la manecillas del

reloj. Despues de 6 segundos de deslizamineto, durante el cual cada

disco tiene una aceleración angular constante, el dsco A alcanza una

velocidad angular final de 140rpm en ele sentido de las manecillas del

reloj.Detrmine la aceleración angular de cada disco durante el periodo de

deslizamiento.

𝑊𝐴𝑜 = 450𝑟𝑝𝑚 𝑥

2𝜋𝑥𝑟𝑑𝑠

𝑠𝑒𝑔

60𝑠𝑒𝑔/𝑚𝑖𝑛= 47.123 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

𝑊𝐴𝑓 = 140𝑟𝑝𝑚 𝑥

2𝜋𝑥𝑟𝑑𝑠

𝑠𝑒𝑔

60𝑠𝑒𝑔/𝑚𝑖𝑛= 17.660

𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔

𝛼 =𝑑𝑤

𝑑𝑡

𝛼 𝑑𝑡6

0

= 𝑑𝑤

17.660

47.123

𝛼𝐴 = −5.410 𝑟𝑑𝑠/𝑠𝑒𝑔2

𝑉𝐴 = 𝑉𝐵

47.123 𝑥3 = 5𝑥𝑉𝐵

𝑉𝐴 = 𝑉𝐵

𝑤𝐵 = 28.273rad/seg2

𝛼 𝑑𝑡6

0

= 𝑑𝑤

28.273

0

𝛼𝐵 = 4.712 𝑟𝑑𝑠/𝑠𝑒𝑔2

15.36 En un proceso de impresión continua , las prensas tiran

del pael a una velocidad constanteV .Si se denota con r el radio del

rodillo de papel en cualquier tiempo dado y con b el espesor del

papel, obtenga una expresión como l aceleración angular del rollo

de papel.

𝑉𝐴 = 𝑊𝐴𝑥(𝑟 + 𝑏)

𝑎𝑡 = 𝛼𝑥(𝑟 + 𝑏)

𝑎𝑛 =𝑣2

𝑟+𝑏=w*(b+r)

Por teorema tenemos:

𝑎𝑛2 + 𝑎𝑛

2=+𝑎 2

𝛼𝑥(𝑟 + 𝑏)2+w*(b+r)=𝑎2