Universidad Nacional de San Agust n de Arequipa

Universidad Nacional de San Agustın deArequipa

Escuela de Posgrado

Unidad de Posgrado de la Facultad de Ciencias Naturales y

Formales

“Estabilizacion de un sistema de Boussinesq del tipo

Benjamın Bona Mahony con amortiguacion generalizada”

Tesis presentada por la bachiller:

ADHA MORALES MOYA

Para optar el Grado Academico de Maestra

en Ciencias: Matematicas, con mencion en

Matematica Universitaria Superior

Asesor: Dr. Dugan Paul Nina Ortiz

AREQUIPA - PERU

2019

Estabilizacion de un sistema de Boussinesq del tipo Benjamın Bona

Mahony con amortiguacion generalizada

Tesis presentada por:

BACH. MORALES MOYA ADHA

JURADO DICTAMINADOR:

Dr. Daniel Octavio Roque Roque- DM/UNSA

(Presidente)

Dr. Jesus Enrique Achire Quispe- DM/UNSA

(Secretario)

Dr. Dugan Paul Nina Ortiz - UNSA

(Asesor)

ii

Las ciencias matematicas exhiben particularmente

orden, simetrıa y lımites; y esas son las mas grandes

formas de belleza.

Aristoteles.

iii

Agradecimientos

A Dios por ser mi guıa y acompanarme en el transcurso de mi vida, brindandome

paciencia y sabidurıa para culminar con exito mis metas propuestas.

A mi madre por ser mi pilar fundamental y haberme apoyado incondicionalmente,

pese a las adversidades e inconvenientes que se presentaron.

A mi padre, el cual a pesar de haberlo perdido, ha estado siempre cuidandome y

guiandome desde el cielo.

A mis hermanos por llenarme de alegrıa dıa tras dıa, por todos los consejos brindados,

por compartir horas y horas de pelıculas, series y muchas caminatas, por las discusiones,

los gritos y herir mi cuerpo de puro amor.

A mi familia en general, porque me han brindado su apoyo incondicional y por

compartir conmigo buenos y malos momento.

A mi Asesor de tesis Dr. Dugan Paul Nina Ortiz quien con su experiencia, conocimiento,

paciencia y motivacion me oriento en la investigacion.

iv

Resumen

La familia de sistemas Boussinesq fue propuesta por J.L. Bona, M. Chen y J.C.

Saut (2002) para describir dos vıas de propagacion de ondas de gravedad de pequena

amplitud sobre la superficie de agua en un canal. En este trabajo se considera

una clase de estos sistemas de Boussinesq que acopla dos ecuaciones Benjamin-

Bona-Mahony con condiciones de frontera periodicas. Estudiamos las propiedades de

estabilidad del sistema resultante cuando se introducen operadores de amortiguacion

generalizada en cada ecuacion. Medinate el analisis espectral y la expansion de Fourier,

demostramos que las soluciones del sistema linealizado decaen uniformemente o no a

cero, dependiendo de los parametros de los operadores de amortiguacion. En el caso

del decaimiento uniforme, mostramos que las mismas propiedades son validas para el

sistema no lineal.

Palabras Claves:

Sistema Boussinesq, Ecuacion de Benjamin – Bona – Mahony, Amortiguacion

generalizada, Estabilidad y Series de Fourier.

v

Abstract

A family of Boussinesq systems was proposed by J. L. Bona, M. Chen and J.-C. Saut

(2002) to describe the two-way propagation of small amplitude gravity waves on the

surface of water in a canal. Our work considers a class of these Boussinesq systems which

couples two Benjamin–Bona–Mahony with periodic boundary conditions. We study

the stability properties of the resulting system when generalized damping operators

are introduced in each equation. By means of spectral analysis and Fourier expansion,

we prove that the solutions of the linearized system decay uniformly or not to zero,

depending on the parameters of the damping operators. In the uniform decay case, we

show that the same property holds for the nonlinear system.

Keywords:

Boussinesq system, Benjamin–Bona–Mahony equation, Generalized damping,

Stabilizability and Fourier series.

vi

Indice general

Introduccion VIII

1. Preliminares 1

1.1. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Interpolacion de espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Espacios Lp(0, T ;X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Algunos resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Teorıa de Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6. Problema de Cauchy Abstracto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Existencia y unicidad 18

2.1. El sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Comportamiento Asintotico del sistema linealizado 40

4. El Sistema no Lineal 49

vii

Introduccion

Comenzando en la segunda mitad de la decada de 1960 y en la decada de 1970,

surgio la teorıa matematica para las ecuaciones de onda dispersiva no lineales al frente

como un tema importante dentro del analisis no lineal. Por ejemplo en [4,5] los autores

han derivado y analizado cuatro parametros de la familia de sistemas Boussinesq. ηt + ωx + (ηω)x + aωxxx − bηxxt = 0

ωt + ηx + ωωx + cηxxx − dωxxt = 0(1)

para aproximar el movimiento de las ondas largas de pequena amplitud sobre la

superficie de un fluido ideal bajo la fuerza de la gravedad en situaciones donde el

movimiento es sensiblemente bidimensional. Aquı, la variable, x es proporcional a la

distancia en la direccion de propagacion mientras que t es proporcional al tiempo

transcurrido. La cantidad η(x, t) + h0 corresponde a la profundidad total del lıquido

en el punto x y en el tiempo t, donde h0 es la profundidad del agua no perturbada.

La variable ω(x, t) representa la velocidad horizontal en el punto (x, y) = (x, θh0) en

el tiempo t , donde y es la coordenada vertical, con y = 0 correspondiente al fondo del

canal. Ası, ω es la velocidad horizontal en la altura θh0, donde θ es una constante fija

en el intervalo [0, 1].

Los parametros a, b, c, d ∈ R, son escogidos de acuerdo con cada situacion fısica, y

satisfacen las siguientes relaciones

a+ b =1

2(θ2 − 1

3), c+ d =

1

2(1− θ2) > 0, θ ∈ [0, 1] (2)

viii

Anadiendo mecanismos de amortiguacion es a menudo importante, obtener una buena

concordancia entre las observaciones experimentales y la prediccion de modelos teoricos

que describen la propagacion de ondas en medios dispersos no lineales (vease, por

ejemplo, [6]). En este trabajo, se daran consideraciones para una clase general de

operadores de amortiguacion, con sımbolo no negativo. Nuestro proposito es investigar

los efectos disipativos generados por estos operadores en el modelo (1), planteados en

un dominio periodico, cuando los parametros dados en (2) son tales que a = c = 0. El

sistema resultante acopla dos ecuaciones del tipo Benjamin – Bona– Mahony la cual

se denomina sistema de Boussinesq puramente del tipo BBM o sistema debilmente

disipativo (ver[5,12,13]). Mas precisamente, consideramos el siguiente sistema

ηt + ωx − bηtxx + β1Mα1η + (ηω)x = 0 , x ∈ (0, 2π) , t > 0

ωt + ηx − dωtxx + β2Mα2ω + ωωx = 0 , x ∈ (0, 2π) , t > 0

η (t, 0) = η (t, 2π) ; ηx (t, 0) = ηx (t, 2π) , t > 0

ω (t, 0) = ω (t, 2π) ;ωx(t, 0) = ωx (t, 2π) , t > 0

η (0, x) = η0 (x) , x ∈ (0, 2π)

ω (0, x) = ω0 (x) , x ∈ (0, 2π)

(3)

donde b, d > 0, β1 ,β2 ≥ 0, α1, α2 ∈ [0, 2] y los operadores Mαj son los

multiplicadores de Fourier definidos en terminos de sus coeficientes de Fourier como

sigue

Mαj

(∑k∈Z

akeikx

)=∑k∈Z

(1 + k2

)αj2 ake

ikx, j = 1, 2 (4)

Una definicion precisa del operadorMαj son en algun sentido, similar al operador

derivada fraccional. En efecto para una funcion periodica h(x) =∑k∈Z∗

akeikx , el

operador derivada fraccional de Weyl de orden α > 0 aplicado a h es definido por

Wαx h(x) =

∑k∈Z∗

(ik)αakeikx

En consecuencia, los coeficientes de Fourier de Mαh y Wαt se comportan de la misma

manera para valores mayores a k. La energıa natural asociada a (3) esta dada por

ix

E (t) =1

2

∫ 2π

0

[b|ηx (t, x) |2 + |η (t, x) |2 + d|ωx (t, x) |2 + |ω (t, x) |2

]dx (5)

y, al menos formalmente, obtenemos

dE (t)

dt= −β1

∫ 2π

0

Mα1η (t) η (t) dx− β2

∫ 2π

0

Mα2ω (t)ω (t) dx−∫ 2π

0

(ηω)x (t) η (t) dx

(6)

La identidad (6) muestra que, si β1 , β2 ≥ 0, los terminos Mα1η y Mα2ω juegan el rol

de retroalimentacion de los mecanismos de amortiguacion. Para el sistema linealizado

obtenemos que la energıa (5) no esta aumentando. Sin embargo, para el sistema

completo (3) el lado derecho de (6) no tiene un signo definido. Por consiguiente, el

estudio del comportamiento asintotico de las soluciones se convierten en una tarea mas

difıcil.

Surgen las siguientes preguntas: Sera que E(t) −→ 0 cuando t −→ ∞. ¿Si este es el

caso, podemos dar su tasa de decaimiento?. Las mismas preguntas pueden ser hechas

con respecto al comportamiento de la norma en Hs (la norma de Sobolev de orden

s ∈ R) de η y ω.

Con respecto al sistema Boussinesq de tipo BBM – BBM, en [15] aborda el problema

de estabilizacion para el sistema linealizado, que se plantea en un intervalo acotado,

cuando el termino de amortiguacion localizada actua en una sola ecuacion.

Finalmente, mencionamos que un problema similar se planteo por Chen y Goubet [12]

en el eje real R y con α1 = α2 = 2, donde demuestran el decaimiento exponencial

cuando la amortiguacion esta activa en ambas ecuaciones.

El trabajo esta organizado de la siguiente manera. En el capıtulo 1, presentamos

las nociones preliminares. El capıtulo 2, se estudia la buena colocacion del problema

linealizado. El capıtulo 3, es dedicado a obtener la tasa de decaimiento para el

semigrupo lineal asociado. Finalmente en el capıtulo 4, estudiamos el comportamiento

asintotico del sistema no lineal (3) para el caso en el cual el sistema linealizado tiene

una tasa de decaimiento exponencial.

x

Capıtulo 1

Preliminares

En este capıtulo, daremos algunas definiciones y enunciaremos algunos resultados

relevantes que seran utiles posteriormente.

1.1. Espacios de Sobolev

Definicion 1.1.1. Sea Ω ⊂ Rn, abierto. Denotamos por Lp(Ω), con 1 6 p < ∞, el

espacio vectorial de las (clases de) funciones medibles u : Ω −→ R, tal que |u|p es

Lebesgue integrable en Ω, que, unido de la norma

‖u‖Lp(Ω) =

(∫Ω

|u(x)|pdx) 1

p

,

es un espacio de Banach.

En el caso p = ∞, denotamos por L∞(Ω), el espacio de las (clases de) funciones

medibles a Lebesgue y esencialmente limitadas en Ω, esto es, existe una constante

C > 0, tal que

|u(x)| 6 C, casi siempre en Ω,

que, unido de la norma

‖u‖L∞(Ω) = supx∈Ω

ess|u(x)|,

1

es un espacio de Banach. En particular, si p = 2, tenemos que L2(Ω) es un espacio de

Hilbert cuya norma y producto interno seran denotados, respectivamente, por

‖u‖L2(Ω) =

(∫Ω

|u(x)|2dx) 1

2

,

y

(u, v)L2(Ω) =

∫Ω

u(x)v(x)dx.

Decimos que una sucesion (ϕn) en Lp(Ω) converge para ϕ en Lp(Ω) si

‖ϕn − ϕ‖Lp(Ω) −→ 0, cuando n −→∞, para 1 6 p 6∞.

Definicion 1.1.2. Si p y q son ındices conjugados, esto es, si 1p

+ 1q

= 1, entonces

tenemos que el dual topologico de Lp(Ω), denotado por [Lp(Ω)]′, es el espacio Lq(Ω).

Ası mismo, si 1 6 p < ∞, entonces Lp(Ω) es separable y si 1 < p < ∞, Lp(Ω) es

reflexivo

Lema 1.1.3. (Desigualdad de Holder) Sea 1 6 p, q 6∞, tal que 1p+ 1q

= 1, f ∈ Lp(Ω)

y g ∈ Lq(Ω). Entonces, fg ∈ L1(Ω) y

∫Ω

|f(x)g(x)|dx 6 ‖f‖Lp(Ω)‖g‖Lq(Ω),

Demostracion: Ver Brezis (1983), pag. 87.

Definicion 1.1.4. Sean m ∈ N∗, y 1 6 p 6 ∞. Definimos el espacio de Sobolev de

orden m, denotado por Wm,p(Ω), como siendo el espacio vectorial de las (clases de)

funciones en Lp(Ω), para los cuales sus derivadas de orden |α|, en el sentido de las

distribuciones, pertenecen a Lp(Ω), para todo 0 6 |α| 6 m, o sea,

Wm,p(Ω) = u ∈ Lp(Ω); Dαu ∈ Lp(Ω), 0 6 |α| 6 m,

donde Dαu denota la derivada devil o distribucional. El espacio Wm,p(Ω) unido de la

2

norma

‖u‖Wm,p(Ω) =

∑06|α|6m

‖Dαu‖pLp(Ω)

1p

, si 1 6 p <∞,

es un espacio de Banach y, cuando p =∞, definiendo la norma

‖u‖Wm,∞(Ω) =∑

06|α|6m

‖Dαu‖L∞(Ω),

tenemos que Wm,∞(Ω) es un espacio de Banach.

Tenemos que Wm,p(Ω) es un espacio separable si 1 6 p <∞, y reflexivo si 1 < p <∞.

En particular, si p = 2, el espacio Wm,2(Ω) es un espacio de Hilbert, separable y

reflexivo, que es denotado por

Hm(Ω) = u ∈ L2(Ω); Dαu ∈ L2(Ω), 0 6 |α| 6 m,

cuya norma y producto interno seran denotados, respectivamente, por

‖u‖Hm(Ω) =

∑06|α|6m

‖Dαu‖2L2(Ω)

12

,

y

(u, v)Hm(Ω) =∑

06|α|6m

(Dαu,Dαv)L2(Ω)

Con la estructura topologica arriba, tenemos Hm(Ω) → L2(Ω).

Definicion 1.1.5. Definimos el espacio Wm,p0 (Ω) como siendo la cerradura de D(Ω)

en Wm,p(Ω).

El dual topologico del espacio Wm,p0 (Ω) es representado por W−m,q(Ω), si 1 6 p < ∞

con p y q ındices conjugados. Si ϕ ∈ W−m,q(Ω), entonces ϕ|D(Ω) pertenece a D′(Ω).

En el caso p = 2, Wm,20 (Ω) es denotado por Hm

0 (Ω), cuyo dual es H−m(Ω).

Teorema 1.1.6. (Teorema de inmersion ) Sean m > 1, 1 6 p < ∞ y Ω ⊂ Rn en un

conjunto abierto, limitado y con frontera regular.

3

Si 1p− m

n> 0, entonces Wm,p(Ω) ⊂ Lq(Ω), donde 1

q= 1

p− m

n.

Si 1p− m

n= 0, entonces Wm,p(Ω) ⊂ Lq(Ω), donde q ∈ [p,+∞).

Si 1p− m

n< 0, entonces Wm,p(Ω) ⊂ L∞(Ω),

siendo las inmersiones arriba continuas.

Demostracion: Ver Medeiros y Miranda (2000).

Lema 1.1.7. (Desigualdad de Poincare) Sea Ω ⊂ Rn un abierto limitado en alguna

direccion xi de Rn, o sea, existe una direccion ei tal que |πi(Ω)| < C, C constante,

donde πi : Rn −→ R es la proyeccion sobre el eje ei. Entonces, existe una constante

CΩ > 0, tal que

‖u‖2L2(Ω) 6 CΩ‖5u‖2

L2(Ω),

para cualquier u ∈ H10 (Ω).

Demostracion: Ver Medeiros y Miranda (2000).

Observacion 1.1.8. Por la desigualdad de Poincare, se muestra que las normas

‖u‖H1(Ω) y ‖5u‖L2(Ω) son equivalentes en H10 (Ω).

Teorema 1.1.9. (Rellich-Kondrachov)Sea Ω ⊂ Rn un subconjunto abierto, limitado y

con frontera regular.

Si n > 2m, entonces Hm(Ω) →c Lp(Ω), donde p ∈

[1, 2n

n−2m

)n = 2m, entonces Hm(Ω) →c L

p(Ω), donde p ∈ [1,+∞)

n < 2m, entonces Hm(Ω) →c Ck(Ω), donde k es un entero no negativo tal que

k < m− n2< k + 1

donde las inmersiones arriba son compactas.


4

Teorema 1.1.10. (Teorema de la traza) Sea Ω ⊂ Rn un subconjunto abierto limitado

de clase Cm+1 con frontera Γ. Entonces existe una aplicacion traza

γ = (γ0, γ1, . . . , γm−1), de Hm(Ω) en (L2(Ω))m, tal que

Si v ∈ C∞(Ω), entonces γ0(v) = v|Γ, γ1(v) = ∂v∂ν|Γ, ..., γm−1(v) = ∂m−1v

∂νm−1 |Γ, donde

ν es el vector normal unitario exterior a la frontera Γ.

La imagen de γ es el espacio∏m−1

j=0 Hm−j−1/2(Γ).

El nucleo de γ es Hm0 (Ω).

Demostracion: Ver Kesavan (1989), pag. 95.

1.2. Interpolacion de espacios de Hilbert

Sean X e Y espacios de Hilbert separables, tales que X → Y , con inmersion

continua y densa. Sean (·, ·)X y (·, ·)Y los productos internos en X e Y , respectivamente.

Indicaremos por D(S), el conjunto de las funciones u, definidas en X, tal que la

aplicacion v 7−→ (u, v)X , v ∈ X, es continua en la topologıa inducida por Y . Entonces,

(Su, v)Y = (u, v)X define S, como siendo un operador ilimitado en Y , con dominio

D(S), denso en Y .

Ası, tenemos que S es un operador autoadjunto y estrictamente positivo. Usando la

descomposicion espectral de operadores autoadjuntos, podemos definir Sθ, θ ∈ R.

En particular, usaremos A := S12 . El operador A es autoadjunto, definido positivo en

Y , con dominio X y

(u, v)X = (Au,Av)Y , ∀u, v ∈ X.

Definicion 1.2.1. Con las hipotesis arriba, definimos el espacio intermediario

[X, Y ]θ := D(A1−θ), θ ∈ [0, 1],

5

donde D(A1−θ) representa el dominio de A1−θ, unido de la norma

‖u‖[X,Y ]θ =(‖u‖Y + ‖A1−θu‖Y

) 12 .

Tenemos las siguientes propiedades:

1. X → [X, Y ]θ → Y

2. ‖u‖[X,Y ]θ 6 ‖u‖1−θX ‖u‖θY , ∀u ∈ X

3. Si 0 < θ0 < θ1 < 1, entonces [X, Y ]θ0 → [X, Y ]θ1

4. [[X, Y ]θ0 , [X, Y ]θ1 ]θ = [X, Y ](1−θ)θ0+θθ1

Para la demostracion de estas propiedades y otras, ver Lions y Magenes (1968).

1.3. Espacios Lp(0, T ;X)

Definicion 1.3.1. Sean X espacio de Banach y T > 0. Denotamos por Lp(0, T ;X),

1 6 p < ∞, el espacio de vectorial (clase de) funciones u : (0, T ) → X, fuertemente

medible, tal que la funcion t 7→ ‖u(t)‖pX es integrable segun Lebesgue en (0, T ), que

unido de la norma

‖u‖Lp(0,T ;X) =

(∫ T

0

‖u‖pXdt) 1

p

,

es un espacio de Banach. En el caso p = 2 y X un espacio de Hilbert, el espacio

L2(0, T ;X) es, tambien, un espacio de Hilbert, cuyo producto interno es dado por

〈u, v〉L2(0,T ;X) =

∫ T

0

〈u(t), v(t)〉Xdt.

Si p =∞, denotamos por L∞(0, T ;X), el espacio vectorial de las (clases de) funciones

u : (0, T ) → X, fuertemente medibles, tal que la funcion t 7→ ‖u(t)‖pX pertenece a

L∞(0, T ), que unido de la norma

‖u‖L∞(0,T ;X) = supt∈(0,T )

ess‖u‖X ,

6

es un espacio de Banach.

Ası mismo, cuando X es reflexivo y separable y 1 < p <∞, tenemos que Lp(0, T ;X) es

un espacio reflexivo y separable, cuyo dual topologico se identifica al espacio de Banach

Lq(0, T ;X ′), donde p y q son ındices conjugados y X ′ es el dual de X.

Teorema 1.3.2. (Aubin-Lions) Sean B0, B y B1, espacios de Banach tales que

B0 →c B → B1,

donde B0 y B1 son reflexivos, → denota inmersion continua y →c, inmersion compacta.

Defina W = u ∈ Lp(0, T ;B0);u′ ∈ Lq(0, T ;B1), donde 1 < p, q <∞ y T <∞, unido

de la norma

‖u‖W = ‖u‖Lp(0,T ;B0) + ‖u′‖Lq(0,T ;B1).

Entonces W es un espacio de Banach y W →c Lp(0, T ;B).

Demostracion: Ver Lions (1969).

Observacion 1.3.3. Note que, por el Teorema de Aubin-Lions, tenemos el siguiente

resultado:

Si (un)n∈N es una sucesion acotada en L2(0, T ;B0) y (u′n)n∈N es una sucesion acotada

en L2(0, T ;B1), entonces (un)n∈N es acotada en W , donde existe una sub sucesion

(unk)k∈N de (un)n∈N tal que unk → u, fuerte en L2(0, T ;B), cuando k →∞.

Definicion 1.3.4. Sean X espacio de Banach y T > 0. Entonces definimos el espacio

de las funciones debilmente continuas como siendo el espacio vectorial de las (clases

de) funciones L∞(0, T ;X), tal que , u : [0, T ] → X es una aplicacion t 7→ 〈ϕ, u(t)〉

es continua de [0, T ] en R, ∀ϕ ∈ X ′ = L(X;R). Este espacio sera denotado por

Cw([0, T ];X).

Teorema 1.3.5. Sean X y Y espacio de Banach tales que, X → Y y X reflexivo.

Entonces tenemos

L∞(0, T ;X) ∩ Cw([0, T ];Y ) = Cw([0, T ];X)

7

Demostracion: Ver Temam (1984).

1.4. Algunos resultados importantes

Teorema 1.4.1. (Punto fijo de Banach) Sean E un espacio de Banach y F ⊂ E un

subespacio cerrado de E. Si f : F → F es una contraccion, entonces existe un unico

z ∈ F , tal que f(z) = z.

Demostracion: Ver Rudin (1964), pag. 220.

Teorema 1.4.2. Sea X un espacio normado y B1(0) ⊂ X, la bola cerrada unitaria.

Entonces, B1(0) es compacta si, y solamente si, X posee dimension finita.


Teorema 1.4.3. Si X es un espacio vectorial normado y M es un subespacio de X de

dimension finita, entonces M es cerrado.

Demostracion: Ver Bachman y Narici (1972).

Teorema 1.4.4. (Convergencia dominada de Lebesgue) Sean (fn) una sucesion de

funciones medibles de Ω en X, f : Ω→ X y g ∈ L1(Ω). Si

|fn(x)| 6 g(x), casi siempre en Ω,∀n ∈ N

y

lımn→∞

fn(x) = f(x), casi siempre en Ω,

entonces,

lımn→∞

∫Ω

fn(x)dx =

∫Ω

f(x)dx.

Demostracion: Ver Folland (2013), pag. 53.

Lema 1.4.5. (Desigualdad de Young) Sean a, b > 0 y p, q > 0, tal que 1p

+ 1q

= 1.

Entonces,

ab 6ap

p+bq

q.

8

Demostracion: Ver Folland (2013), pag. 174.

Teorema de Cayley Hamilton para exponenciales de una matriz, dado por:

Teorema 1.4.6. Sea A una matriz cuadrada y sea pA (λ) su polinomio caracterıstico.

Entonces pA (A) = 0 .

Demostracion. Sea A una matriz de n × n. El polinomio caracterıstico de A es

pA(λ) = det(A − λIn). Supongamos que B = P−1AP y A son matrices semejantes.

Luego, se tiene que pA = pB.

En efecto,

pB(λ) = det(B − λIn) = det(P−1AP − λP−1P )

= det(P−1(A− λIn)P ) = det(P−1)det(A− λIn)det(P )

= det(A− λIn) = pA(λ)

pA = pB

Tambien, podemos inferir que pB (B) = pB (P−1AP ) = P−1pA (A)P.

Por otro lado A es una matriz cuadrada , entonces A es semejante a una matriz en

forma normal de Jordan (si es diagonal en bloque y la matriz en cada bloque sobre la

diagonal es un bloque de Jordan).

Supongamos que A es diagonal en bloque; es decir

A =

A1 0

0 A2

donde A1 y A2 son matrices cuadradas. Entonces

det(A) = det(A1)det(A2)

pA(λ) = pA1(λ)pA2(λ)

9

Como

Ak =

Ak1 0

0 Ak2

Se deduce que

pA(A) =

pA(A1) 0

0 pA(A2)

=

pA1(A1)pA2(A1) 0

0 pA1(A2)pA2(A2)

Por lo cual el teorema se cumple para los bloques de Jordan, entonces

pA1(A1) = 0 = pA2(A2)

Por lo tanto

pA(A) = 0.

1.5. Teorıa de Semigrupos

Definicion 1.5.1. Sea X un espacio de Banach. Una Aplicacion S : R+ → L(X) es

un semigrupo de operadores lineales acotados de X, si

i) S(0) = I, donde I es la aplicacion identidad del espacio X.

ii) S(s+ t) = S(t)S(s), ∀t, s ∈ R+.

Decimos que S es de clase C0, o fuertemente continuo, si

lımt→0+‖S(t)x− x‖X = 0, ∀x ∈ X.

Decimos que S es uniformemente continuo si

lımt→0+‖S(t)− I‖ = 0.

Teorema 1.5.2. Si (S(t))t>0 es un semigrupo de clase C0, entonces existen contantes

10

w > 0 y M > 1, tal que

‖S(t)‖ 6Mewt, ∀t > 0.

Demostracion: Ver Pazy (1983), pag. 4.

Corolario 1.5.3. Sea (S(t))t>0 un semigrupo de clase C0. Entonces, para cada x ∈ X,

la aplicacion

t 7−→ S(t)x

es continua. Equivalentemente, para cada x ∈ X,

lımt−→s

S(t) = S(s)x, ∀t, s ∈ R+.


Definicion 1.5.4. Si ‖S(t)‖ 6 1, ∀t > 0, decimos que S es un semigrupo de

contracciones.

Definicion 1.5.5. El operador A definido por

D(A) =

x ∈ X; lım

h−→0+

S(h)x− xh

existe

y

Ax = lımh−→0+

S(h)x− xh

,

es llamado generador infenitesimal del semigrupo S.

Observacion 1.5.6. Note que A es un operador lineal y D(A) es un subespacio de X.

Teorema 1.5.7. Sea (S(t))t>0 un semigrupo de clase C0 y A su generador infinitesimal.

Entonces,

i) lımh−→01h

∫ t+hh

S(s)xds = S(t)x, ∀x ∈ X

ii)∫ t

0S(s)xds ∈ D(A), ∀x ∈ X, y A

(∫ t0S(s)xds

)= S(t)x− x

iii) Para todo x ∈ D(A), S(t)x ∈ D(A) y ddtS(t)x = AS(t)x = S(t)Ax

11

iv) Para todo x ∈ D(A), S(t)x− S(s)x =∫ t

0AS(τ)xdτ =

∫ t0S(τ)Axdτ


Corolario 1.5.8. Si A es un generador infenitesimal de un semigrupo de clase C0,

entonces A es cerrado y D(A) = X.


Proposicion 1.5.9. Un operador cerrado con dominio denso es el generador

infenitesimal de, en lo maximo, un semigrupo de clase C0.

Demostracion: Ver Gomes (2005), pag. 15.

Definicion 1.5.10. Sean X espacio de Banach, X∗ el dual de X y 〈·, ·〉 la dualidad

entre X y X∗. Para cada x ∈ X, defina

J(x) = x∗ ∈ X∗; 〈x, x∗〉 = ‖x‖2X = ‖x∗‖2

X∗.

Note que, por el teorema de Hahn-Banach, J(x) 6= ∅, ∀x ∈ X.

Definicion 1.5.11. Una aplicacion dualidad es una aplicacion j : X → X∗, tal que

j(x) ∈ J(x), ∀x ∈ X, o sea, 〈x, j(x)〉 = ‖x‖2 = ‖j(x)‖2.

Definicion 1.5.12. Decimos que el operador lineal A : D(A) ⊂ X → X es disipativo

si, para alguna aplicacion dualidad j,

Re〈Ax, j(x)〉 6 0, ∀x ∈ D(A).

Si, ademas, existe λ > 0, tal que Im(λI − A) = X, entonces decimos que A es

m-disipativo.

Observacion 1.5.13. Si X es un espacio de Hilbert, entonces decimos que

A : D(A) ⊂ X → X es disipativo si

Re〈Ax, x〉 6 0, ∀x ∈ D(A).

12

Notacion: Decimos que A ∈ G(M,w), cuando A es el generador infinitesimal de un

grupo de clase C0, S, que satisface

‖S(t)‖ 6Mewt, ∀t > 0.

Teorema 1.5.14. (Lumer - Phillips) A ∈ G(1, 0) si, y solamente si, A es m-disipativo

y posee dominio denso en X.


Proposicion 1.5.15. Sea A : D(A) ⊂ X → X un operador lineal donde X es un

espacio de Banach. Si D(A) = X, A y A∗ son disipativos y A es cerrado (condicion

equivalente a A∗∗ = A ), entonces A ∈ G(1, 0).


1.6. Problema de Cauchy Abstracto

Sea X espacio de Banach, A : D(A) ⊂ X → X el generador infinitesimal de un

semigrupo de clase C0, (S(t))t>0 y f ∈ L1(0, T ;X).

Dado u0 ∈ D(A), el problema de Cauchy Abstracto consiste en determinar una funcion

u(t), tal que dudt

(t) = Au(t), t > 0

u(0) = u0.(1.1)

Definicion 1.6.1. Decimos que u es solucion clasica (o fuerte) de (1.1) en [0,+∞),

si u satisface (1.1) y u ∈ C(R+;D(A)) ∩ C1(R+;X).

Teorema 1.6.2. Si A ∈ G(M,w) y u0 ∈ D(A), el problema (1.1) posee una unica

solucion clasica


13

Considere, ahora, el siguiente problema dudt

(t) = Au(t) + f(t, u(t)), t > 0

u(0) = u0 ∈ X.(1.2)

Definicion 1.6.3. Una funcion u : [0,+∞) → X es una solucion clasica de (1.2) en

[0,+∞) si u satisface (1.2) en [0,+∞) y si u ∈ C(R;D(A))∩C1(R+;X). Una funcion

u ∈ C([0, T ];X), dada por

u(t) = S(t)u0 +

∫ t

0

S(t− s)f(s, u(s))ds,

es llamada de mild solution o solucion generalizada de (1.2) en [0, T ].

Note que si f ≡ 0, entonces u(t) = S(t)u0, u0 ∈ X, es una mild solution de (1.1).

Teorema 1.6.4. Sea f : [0,+∞)]×X → X una funcion continua en t. Suponga que,

para cada τ > 0, existe una constante L = L(τ), tal que

‖f(t, x)− f(t, y)‖ 6 L‖x− y‖,

∀x, y ∈ X y ∀t ∈ [0, τ ]. Entonces, para cada u0 ∈ X, (1.2) posee una unica mild solution

u ∈ C([0, τ ];X). Ademas, la aplicacion u0 7−→ u es continua de X en C([0, τ ];X).


Introducimos algunas notaciones que seran usadas posteriormente. Dados v ∈ L2 (0, 2π)

y k ∈ Z, denotamos por vk el k-esimo coeficiente de Fourier de v

vk =1

2π

∫ 2π

0

v(x)e−ikxdx

y ∀m ∈ N definimos el espacio

14

Hmp (0, 2π) =

v ∈ L2 (0, 2π) /v =

∑k∈Z

vkeikx,∑k∈Z

| vk |2(1 + k2

)m<∞

,

el cual es un espacio de Hilbert con respecto al producto interno

(v, ω)m =∑kεZ

vk.ωk(1 + k2

)m. (1.3)

La norma correspondiente a (1.3) es denotada por ‖‖m. Puede observarse que

Hmp (0, 2π) =

v ∈ Hm (0, 2π) /

∂rv

∂xr(0) =

∂rv

∂xr(2π), 0 ≤ r ≤ m− 1

,

donde Hm (0, 2π) representa el clasico espacio de Sobolev de exponente m en (0, 2π).

Podemos extender la definicion de Hmp (0, 2π) para el caso m = s > 0, un numero real

no negativo, donde

Hsp (0, 2π) =

v =

∑k∈Z

vkeikxεHs (0, 2π) /

∑k∈Z

| vk |2(1 + k2

)s<∞

. (1.4)

Para cualquier numero real no negativo s; Hsp (0, 2π) puede tambien considerarse como

un espacio de Hilbert con respecto al producto interno definido por (1.3) con m

reemplazado por s. En particular, para cualquier v ∈ Hsp (0, 2π),

‖ v ‖s=

(∑k∈Z

| vk |2(1 + k2

)s)1/2

.

Para s < 0 definimos el espacio Hsp (0, 2π) como el espacio dual topologico de

H−sp (0, 2π):

Hsp (0, 2π) =

(H−sp (0, 2π)

)′.

El teorema de representacion de Riesz asegura que para todo v ∈ H0p (0, 2π) = L2 (0, 2π)

15

puede ser identificado con un elemento ωv ∈(H0p (0, 2π)

)′tal que

ωv(z) =

∫ 2π

0

z(x).v(x)dx,(z ∈ H0

p (0, 2π))

Tradicionalmente, la misma notacion es usada para cualquier v y ωv ( los espacios(H0p (0, 2π)

)′y H0

p (0, 2π) son identificados). Dado s < 0, cualquier elemento ω ∈

Hsp (0, 2π) puede ser representado de manera unica por

ω =∑k∈Z

ωkeikx, (1.5)

donde

ωk = 12π

∫ 2π

0ω(e−ikx)dx,∀kεZ.

El ligero abuso de notacion en (1.5) (el elemento w en el lado izquierdo no es

una funcion de x y la funcion exponencial eikx en el lado derecho es actualmente el

representante de esta funcion en L2 en el espacio dual) es compensado por el hecho que

la expansion en (1.5) se ve exactamente como un correspondiente elemento del espacio

Hs con exponente positivo s.

Por otro lado, la siguiente aplicacion es un producto dual entre Hsp (0, 2π) y H−sp (0, 2π),

para cualquier s ≥ 0,

〈v, ω〉s =∑k∈Z

vkω−k,(v ∈ Hs

p(0, 2π), ω ∈ H−sp (0, 2π)). (1.6)

Consecuentemente, si s < 0, el espacio Hsp(0, 2π) tambien puede ser definido por (1.4)

y puede ser visto como un espacio de Hilbert con respecto al producto interno (1.3)

con m reemplazado por s.

16

Por otro lado, si α > 0 el operador (I − α∂2)−1p esta definido como:

(I − α∂2

x

)−1

pϕ = v ⇐⇒

v − αvxx = ϕ, en (0, 2π)

v(0) = v(2π), vx(0) = vx(2π)

para cualquier ϕ ∈ L2(0, 2π), la ecuacion elıptica anterior tiene una unica solucion,

v ∈ H2p (0, 2π), ası (I − α∂2

x)−1p esta bien definida como un operador compacto en

L2(0, 2π).

17

Capıtulo 2

Existencia y unicidad

2.1. El sistema lineal

En este capıtulo estudiaremos la existencia de soluciones del sistema lineal que

corresponde a (3). Mas precisamente, consideramos el siguiente sistema

ηt + ωx − bηtxx + β1Mα1η = 0 , x ∈ (0, 2π) , t > 0

ωt + ηx − dωtxx + β2Mα2ω = 0 , x ∈ (0, 2π) , t > 0

η (t, 0) = η (t, 2π) ; ηx (t, 0) = ηx (t, 2π) , t > 0

ω (t, 0) = ω (t, 2π) ;ωx(t, 0) = ωx (t, 2π) , t > 0

η (0, x) = η0 (x) , x ∈ (0, 2π)

ω (0, x) = ω0 (x) , x ∈ (0, 2π)

(2.1)

donde b, d > 0, β1 ,β2 ≥ 0, α1, α2 ∈ [0, 2] y los operadores Mαj son los multiplicadores

de Fourier definidos como sigue

Mαj : Hαjp (0, 2π) −→ L2(0, 2π)

Mαj

(∑k∈Z

akeikx

)=∑k∈Z

(1 + k2

)αj2 ake

ikx, j = 1, 2 (2.2)

18

Dado s ∈ R, introducimos el espacio de Hilbert

V s = Hsp(0, 2π)×Hs

p(0, 2π) (2.3)

con el producto interno definido por

〈(f1, f2), (g1, g2)〉 = b(f1, g1)s + d(f2, g2)s (2.4)

Remarcamos que el sistema (2.1) puede ser escrito en la siguiente forma vectorial

η

ω

t

(t) + A

η

ω

(t) =

0

0

(2.5)

η

ω

(0) =

η0

ω0

donde A es un operador lineal compacto en V s.

En efecto, del sistema (2.1) ηt + ωx − bηtxx + β1Mα1η = 0

ωt + ηx − dωtxx + β2Mα2ω = 0

Obtenemos

ηt − bηtxx = −β1Mα1η − ωx

ωt − dωtxx = −β2Mα2ω − ηx

De las ecuaciones anteriores factorizamos ηt y ωt:

(I − b∂2

x

)ηt = −β1Mα1η − ωx(

I − d∂2x

)ωt = −β2Mα2ω − ηx

19

Despejando ηt y ωt respectivamente, se tiene:

ηt = −(I − b∂2

x

)−1β1Mα1η −

(I − b∂2

x

)−1∂xω

ωt = −(I − d∂2

x

)−1∂xη −

(I − d∂2

x

)−1β2Mα2ω

de donde A (operador lineal compacto en V s) es definido por

A =

β1(I − b∂2x)−1p Mα1 (I − b∂2

x)−1p ∂x

(I − d∂2x)−1p ∂x β2(I − d∂2

x)−1p Mα2

(2.6)

Ahora pasamos al estudio de la existencia de soluciones para (2.1). Asumimos que el

dato inicial en (2.1) es dado por

(η0, ω0) =∑k∈Z

(η0k, ω

0k)e

ikx (2.7)

entonces, la solucion formal de (2.1) puede ser escrita

(η, ω)(t, x) =∑k∈Z

(ηk (t) , ωk (t))eikx (2.8)

donde (ηk(t), ωk(t)) cumple

(1 + bk2)(ηk)t + ikωk + β1(1 + k2)

α12 ηk = 0, t ∈ (0, T )

(1 + dk2)(ωk)t + ikηk + β2(1 + k2)α22 ωk = 0, t ∈ (0, T )

ηk(0) = η0k, ωk(0) = ω0

k

(2.9)

A continuacion desarrollamos los calculos necesarios para obtener (2.9) a partir de

(2.1). Multiplicando por e−ikx e integrando miembro a miembro a la primera ecuacion

del sistema (2.1), se tiene:

1

2π

∫ 2π

0

ηte−ikxdx+

1

2π

∫ 2π

0

ωxe−ikxdx− b

2π

∫ 2π

0

ηtxxe−ikxdx+

β1

2π

∫ 2π

0

Mα1ηe−ikxdx = 0

20

Calculo de (ηk)t :

1

2π

∫ 2π

0

ηte−ikxdx =

1

2π

∫ 2π

0

d

dt(η) e−ikxdx

=d

dt

(1

2π

∫ 2π

0

ηe−ikxdx

)=

d

dt(ηk)

= (ηk)t

Calculo de ωk :

1

2π

∫ 2π

0

ωxe−ikxdx =

1

2πωe−ikx|2π0 + ik

1

2π

∫ 2π

0

ωe−ikxdx

=1

2πωe−ikx|2π0 + ikωk

= ikωk

Calculo de −bk2 (ηk)t :

b

2π

∫ 2π

0

ηtxxe−ikxdx =

b

2π

d

dt

(∫ 2π

0

ηxxe−ikxdx

)=

1

2πbd

dt

[e−ikxηx + ik

∫ 2π

0

ηxe−ikxdx

]=

1

2πbd

dt

[e−ikxηx + ik

(ηe−ikx + ik

∫ 2π

0

ηe−ikxdx

)]=

1

2πbd

dt

[e−ikxηx + ikηe−ikx

]− bk2 d

dt

1

2π

∫ 2π

0

ηe−ikxdx

=1

2πbd

dt

[e−ikxηx + ikηe−ikx

]− bk2 d

dt(ηk)

= −bk2 d

dt(ηk)

21

β1

2π

∫ 2π

0

Mα1ηe−ikxdx =

1

2πβ1

∫ 2π

0

∑k∈Z

((1 + k2

)α12 ηk (t) eikx

)e−jkxdx

=1

2πβ1

(1 + k2

)α12 ηk (t)

∫ 2π

0

eikx−ijkdx

= β1

(1 + k2

)α12 ηk (t)

Luego sumando los terminos anteriores

(ηk)t + ikωk + bk2 d

dt(ηk) + β1

(1 + k2

)α12 ηk (t) = 0(

1 + bk2)

(ηk)t + ikωk + β1

(1 + k2

)α12 ηk (t) = 0

Multiplicando por e−ikx e integrando miembro a miembro la segunda ecuacion del

sistema (2.1), se tiene:

1

2π

∫ 2π

0

ωte−ikxdx+

1

2π

∫ 2π

0

ηxe−ikxdx− d 1

2π

∫ 2π

0

ωtxxe−ikxdx+ β2

1

2π

∫ 2π

0

Mα2ωe−ikxdx = 0

Calculo de (ωk)t :

1

2π

∫ 2π

0

ωte−ikxdx =

1

2π

∫ 2π

0

d

dt(ω) e−ikxdx

=d

dt

(1

2π

∫ 2π

0

ωe−ikxdx

)=

d

dt(ωk)

= (ωk)t

Calculo de −k2d ddt

(ωk) :

22

d

2π

∫ 2π

0

ωtxxe−ikxdx =

d

2π

d

dt

(∫ 2π

0

ωxxe−ikxdx

)=

1

2πdd

dt

[e−ikxωx + ik

∫ 2π

0

ωxe−ikxdx

]=

1

2πdd

dt

[e−ikxωx + ik

(ωe−ikx + ik

∫ 2π

0

ωe−ikxdx

)]=

1

2πdd

dt

[e−ikxωx + ikωe−ikx

]− dk2 d

dt

1

2π

∫ 2π

0

ωe−ikxdx

=1

2πdd

dt

[e−ikxωx + ikωe−ikx

]− dk2 d

dt(ωk)

= −k2dd

dt(ωk)

Calculo de ηk :

1

2π

∫ 2π

0

ηxe−ikxd =

1

2πηe−ikx|2π0 + ik

1

2π

∫ 2π

0

ηe−ikxdx

=1

2πηe−ikx|2π0 + ikηk

= ikηk

β21

2π

∫ 2π

0

Mα2ωe−ikxdx =

1

2πβ2

∫ 2π

0

∑k∈Z

((1 + k2

)α22 ωk (t) eikx

)e−jkxdx

=1

2πβ2

(1 + k2

)α22 ωk (t)

∫ 2π

0

eikx−ijkdx

= β2

(1 + k2

)α22 ωk (t)

Luego sumando los terminos anteriores obtenemos:

(ωk)t + ikηk + k2dd

dt(ωk) + β2

(1 + k2

)α22 ωk (t) = 0(

1 + dk2)

(ωk)t + ikηk + β2

(1 + k2

)α22 ωk (t) = 0

23

Ası, hemos obtenido el sistema (2.9).

Lema 2.1.1. Sean

ek =1

2k

(β1

(1 + k2

)α12

√1 + dk2

1 + bk2− β2

(1 + k2

)α22

√1 + bk2

1 + dk2

), (2.10)

λ±k =1

2

(β1 (1 + k2)

α12

1 + bk2+β2 (1 + k2)

α22

1 + dk2±

2 | k |√e2k − 1√

(1 + bk2) (1 + dk2)

), (2.11)

k ∈ Z∗

y ξk = ek −√e2k − 1, (k ∈ Z∗). La solucion (ηk (t) , ωk (t)) de (2.9) es dada por

ηk = 11−ξ2

k

[(η0k + i

√1+dk2

1+bk2 ξkω0k

)e−λ

+k t −

(ξ2k η

0k + i

√1+dk2

1+bk2 ξkω0k

)e−λ

−k t]

ωk = 11−ξ2

k

[(i√

1+bk2

1+dk2 ξkη0k − ξ2

kω0k

)e−λ

+k t −

(i√

1+bk2

1+dk2 ξkη0k − ω0

k

)e−λ

−k t] (2.12)

si |ek| 6= 1 y k 6= 0,ηk =

[(1− kξk√

(1+bk2)(1+dk2)t

)η0k − ikt

1+bk2 ω0k

]e−λ

+k t,

ωk =

[− ikt

1+dk2 η0k +

(1 + kξk√

(1+bk2)(1+dk2)t

)ω0k

]e−λ

+k t,

(2.13)

si |ek| = 1 y k 6= 0, y finalmente, η0 (t) = η00e−β1t,

ω0 (t) = ω00e−β2t.

(2.14)

si k = 0.

Demostracion. Para resolver el sistema (2.9) consideramos

A(k) =

β1(1+k2)α12

1+bk2ik

1+bk2

ik1+dk2

β2(1+k2)α22

(1+dk2)

24

El sistema (2.9) es equivalente a :

η

ωk

t

(t) + A (k)

ηk

ωk

(t) =

0

0

ηk

ωk

(0) =

η0k

ω0k

La solucion de (2.9) es dado por :

ηk

ωk

(t) = e−A(k)t

η0k

ω0k

. (2.15)

Los autovalores λ±k de la matriz A(k) estan dados por (2.11).

Hallamos los autovalores de A resolviendo:

λ2 − traz(A)λ+ det(A) = 0,

donde A es dada por

A = −

β1(1+k2)α12

1+bk2ik

1+bk2

ik1+dk2

β2(1+k2)α22

1+dk2

λ2 +

(β1(1 + k2)

α12

1 + bk2+β2(1 + k2)

α22

1 + dk2

)λ+

β1β2(1 + k2)α1+α2

2

1 + dk2+

k2

(1 + bk2) (1 + dk2)= 0

λ =−b±

√4

2a(2.16)

25

Donde 4 es dado por :

4 =

(β1(1 + k2)

α12

1 + bk2+β2(1 + k2)

α22

1 + dk2

)2

− 4

(β1β2(1 + k2)

α1+α22

(1 + bk2) (1 + dk2)+

k2

(1 + bk2) (1 + dk2)

)

=β2

1(1 + k2)α1

(1 + bk2)2 + 2β1β2(1 + k2)

α1+α22

(1 + bk2) (1 + dk2)− 4

β1β2(1 + k2)α1+α2

2

(1 + bk2) (1 + dk2)− 4k2

(1 + bk2) (1 + dk2)+

+β2

2(1 + k2)α2

(1 + dk2)2

=

(β1(1 + k2)

α12

1 + bk2− β2(1 + k2)

α22

1 + dk2

)2

− 4k2

(1 + bk2) (1 + dk2)

=

(β1(1 + k2)

α12

√1 + dk2

√1 + bk2

√1 + bk2

√1 + dk2

− β2(1 + k2)α22

√1 + bk2

√1 + dk2

√1 + dk2

√1 + bk2

)2

− 4k2

(1 + bk2) (1 + dk2)

=4k2

(1 + bk2) (1 + dk2)

( 1

2k

(β1(1 + k2)

α12

√1 + dk2

1 + bk2− β2(1 + k2)

α22

√1 + bk2

1 + dk2

))2

− 1

=

4k2

(1 + bk2) (1 + dk2)

[e2k − 1

]reemplazando en (2.16) obtenemos:

λ =1

2

[−

(β1(1 + k2)

α12

1 + bk2+β2(1 + k2)

α22

1 + dk2

)±

√4k2

(1 + bk2) (1 + dk2)[e2k − 1]

]

λ =1

2

[−

(β1(1 + k2)

α12

1 + bk2+β2(1 + k2)

α22

1 + dk2

)±

| 2k |√e2k − 1√

1 + bk2√

1 + dk2

]

λ1 = −1

2

[(β1(1 + k2)

α12

1 + bk2+β2(1 + k2)

α22

1 + dk2

)+

| 2k |√e2k − 1√

1 + bk2√

1 + dk2

]

λ2 = −1

2

[(β1(1 + k2)

α12

1 + bk2+β2(1 + k2)

α22

1 + dk2

)−

| 2k |√e2k − 1√

1 + bk2√

1 + dk2

]

Analizamos los siguientes casos:

1. Caso : |ek| < 1 y k 6= 0.

26

La matriz A(k) es diagonalizable y tenemos que P (k)−1A(k)P (k) = D(k), donde

D(k) =

λ+k 0

0 λ−k

P (k) =

√db

−i√

b(1+dk2)b(1+bk2)

ξk

i√

d(1+bk2)b(1+dk2)

ξk

√bd

De estas relaciones y (2.15) obtenemos que la solucion de (2.9) es dada por (2.12).

Observe que, en este caso λ±k son dos numeros complejos conjugados con la misma

parte real dada por 12

(β1(1+k2)

α12

1+bk2 +β2(1+k2)

α22

1+dk2

). Mas aun, tenemos que |ξk| = 1.

2. Caso : |ek| > 1 y k 6= 0.

La matriz A (k) es diagonalizable y tenemos que P (k)−1A(k)P (k) = D(k), donde

D(k) =

λ+k 0

0 λ−k

, P (k) =

√db

−i√

b(1+dk2)b(1+bk2)

ξk

i√

d(1+bk2)b(1+dk2)

ξk

√bd

Ası, la solucion de (2.9) es tambien dada por (2.12). Notamos que en este caso,

los autovalores λ±k son numeros reales los cuales satisfacen λ+k > λ−k

De (2.9) obtenemos

(ηk)t = −β1(1+k2)α12

1+bk2 ηk − ik1+bk2 ωk

(ωk)t = − ik(1+dk2)

ηk − β2(1+k2)α22

(1+dk2)ωk

(ηk)t

(ωk)t

=

−β1(1+k2)α12

1+bk2 − ik1+bk2

− ik(1+dk2)

−β2(1+k2)α22

(1+dk2)

ηk

ωk

.

Ahora, calculamos los autovectores asociados al sistema de ecuaciones

diferenciales lineales.

27

(−β1(1+k2)

α12

1+bk2 − λ)ηk − ik

1+bk2 ωk = 0

− ik(1+dk2)

ηk +

(−β2(1+k2)

α22

(1+dk2)− λ)ωk = 0

(2.17)

Para λ1

De la primera ecuacion de (2.17), se tiene

ωk =i

k

(1

2

β1(1 + k2)α12

1 + bk2− 1

2

(β2(1 + k2)

α22

1 + dk2+

| 2k |√e2k − 1√

(1 + bk2) (1 + dk2)

))ηk(1 + bk2

)ωk =

i√

1 + bk2

√1 + dk2

(1

2k

(β1(1 + k2)

α12

√1 + dk2

√1 + bk2

− β2(1 + k2)α22

√1 + bk2

√1 + dk2

)−√e2k − 1

)ηk

donde

ek = 12k

(β1(1+k2)

α12√

1+dk2√

1+bk2 − β2(1+k2)α22√

1+bk2√

1+dk2

)y ξk = ek −

√e2k − 1

ωk =i√

1 + bk2

√1 + dk2

(ek −

√e2k − 1

)ηk

= i

√1 + bk2

1 + dk2ξkηk

ηk

ωk

=

ηk

i√

1+bk2

1+dk2 ξkηk

=

√1 + bk2

1 + dk2

√1+dk2

1+bk2

iξk

ηk

Para λ2

De la primera ecuacion de (2.17)

ωk =i

k

(1

2

β1(1 + k2)α12

1 + bk2− 1

2

(β2(1 + k2)

α22

1 + dk2−

| 2k |√e2k − 1√

(1 + bk2) (1 + dk2)

))ηk(1 + bk2

)ωk =

i√

1 + bk2

√1 + dk2

(1

2k

(β1(1 + k2)

α12

√1 + dk2

√1 + bk2

− β2(1 + k2)α22

√1 + bk2

√1 + dk2

)+√e2k − 1

)ηk

ωk = i

√1 + bk2

1 + dk2

(ek +

√e2k − 1

)ηk

28

ηk

ωk

=

ηk

i√

1+bk2

1+dk2

(ek +

√e2k − 1

)ηk

=

(ek +

√e2k − 1

) 1(ek+√e2k−1

)i√

1+bk2

1+dk2

ηk

Hallamos las constantes c1 y c2 de la solucion general.

c1

√1+dk2

1+bk2

iξk

eλ1t + c2

1(ek+√e2k−1

)i√

1+bk2

1+dk2

eλ2t =

ηk

ωk

haciendo t = 0 y usando condiciones iniciales.

c1

√1 + dk2

1 + bk2+ c2

1

ek +√e2k − 1

= η0k (2.18)

c1iξk + c2i

√1 + bk2

1 + dk2= ω0

k (2.19)

de (2.19)

c1 =

(ω0k − c2i

√1 + bk2

1 + dk2

)1

iξk

en (2.18)

(ω0k − c2i

√1 + bk2

1 + dk2

)1

iξk

√1 + dk2

1 + bk2+ c2

1

ek +√e2k − 1

= η0k

c2 =

(−ξkη0

k − iω0k

√1+dk2

1+bk2

)ξk

(ek +

√e2k − 1

)ξk

(ek +

√e2k − 1− ξk

)c2 =

−ξkη0k − iω0

k

√1+dk2

1+bk2

1− ξ2k

29

donde

ξk

(ek +

√e2k − 1

)=

(ek −

√e2k − 1

)(ek +

√e2k − 1

)= 1

c1 =

ω0k +

ξkη0k + iω0

k

√1+dk2

1+bk2

1− ξ2k

i

√1 + bk2

1 + dk2

1

iξk

La solucion es dada por: ηk

ωk

=1

ξk (1− ξ2k)

(−iω0

k

(1− ξ2

k

)+ ξkη

0k

√1 + bk2

1 + dk2+ iω0

k

) √1+dk2

1+bk2

iξk

eλ1t

+

−ξkη0k − iω0

k

√1+dk2

1+bk2

1− ξ2k

1

ek+√e2k−1

i√

1+bk2

1+dk2

eλ2t

ηk

ωk

=1

1− ξ2k

(η0k + iω0

kξk

√1+dk2

1+bk2

)eλ1t −

(ξkη

0k + iω0

k

√1+dk2

1+bk2

)1(

ek+√e2k−1

)eλ2t(ξkη

0k

√1+bk2

1+dk2 i− ω0kξ

2k

)eλ1t −

(ξkη

0k

√1+bk2

1+dk2 i− ω0k

)eλ2t

ηk

ωk

=1

1− ξ2k

(η0k + iω0

kξk

√1+dk2

1+bk2

)eλ1t −

(ξkη

0k + iω0

k

√1+dk2

1+bk2

)ξke

λ2t(ξkη

0k

√1+bk2

1+dk2 i− ω0kξ

2k

)eλ1t −

(ξkη

0k

√1+bk2

1+dk2 i− ω0k

)eλ2t

3. Caso : |ek| = 1 y k 6= 0.

Para este caso corresponde a un autovalor doble

λ+k = λ−k =

1

2

(β1 (1 + k2)

α12

1 + bk2+β2 (1 + k2)

α22

1 + dk2

)

con multiplicidad geometrica igual a uno. La matriz A (k) ya no es diagonalizable

30

y, por consiguiente, P (k)−1A(k)P (k) = D(k), donde

D(k) =

λk 0

0 λk

P (k) =

√db

−i√

b(1+dk2)d(1+bk2)

ξk

i√

d(1+bk2)b(1+dk2)

ξk

√bd− i

k

√db

(1 + bk2)

De estas relaciones y (2.15) obtenemos que la solucion de (2.9) es dada por (2.13).

Hallando la solucion

De (2.17) y considerando |ek| = 1 y k 6= 0 se obtiene

λk = −1

2

(β1(1 + k2)

α12

1 + bk2+β2(1 + k2)

α22

1 + dk2

)

Por el Teorema 1.4.6, para la matriz A2×2 con autovalores (λ1 = λ2) iguales

etA = eλ1t (I2 + tN) , donde N = A− λ1I2 (2.20)

Hallando N

N =

−β1(1+k2)α12

1+bk2 − λ − ik1+bk2

− ik(1+dk2)

−β2(1+k2)α22

(1+dk2)− λ

−β1(1 + k2)α12

1 + bk2− λ = −

(1

2

β1(1 + k2)α12

1 + bk2− 1

2

β2(1 + k2)α22

1 + dk2− 1

2

| 2k |√e2k − 1√

1 + bk2√

1 + dk2

)

= −k(β1(1 + k2)

α12

√1+dk2

1+bk2 − β2(1 + k2)α22

√1+bk2

1+dk2− | 2k |√e2k − 1

)2k√

1 + bk2√

1 + dk2

= − k√1 + bk2

√1 + dk2

(ek −

√e2k − 1

)

31

−β2(1 + k2)α22

(1 + dk2)− λ =

1

2

β1(1 + k2)α12

1 + bk2− 1

2

β2(1 + k2)α22

1 + dk2+

1

2

| 2k |√e2k − 1√

1 + bk2√

1 + dk2

=k(β1(1 + k2)

α12

√1+dk2

1+bk2 − β2(1 + k2)α22

√1+bk2

1+dk2 + | 2k |√e2k − 1

)2k√

1 + bk2√

1 + dk2

=k√

1 + bk2√

1 + dk2

(ek +

√e2k − 1

)

reemplazando en la matriz N se tiene

N =

− k√1+bk2

√1+dk2

(ek −

√e2k − 1

)− ik

1+bk2

− ik(1+dk2)

k√1+bk2

√1+dk2

(ek +

√e2k − 1

)

=

− k√1+bk2

√1+dk2 ξk − ik

1+bk2

− ik(1+dk2)

k√1+bk2

√1+dk2

1ξk

La solucion del problema de valor inicial es dado por:

etA

η0k

ω0k

donde etA = e−λt (I2 + tN)

etA = e−λt

I2 + t

− k√1+bk2

√1+dk2 ξk − ik

1+bk2

− ik(1+dk2)

k√1+bk2

√1+dk2

1ξk

= e−λt

1− kt√1+bk2

√1+dk2 ξk − ikt

1+bk2

− ikt(1+dk2)

1 + kt√1+bk2

√1+dk2

1ξk

32

La solucion del problema del valor inicial

etA

η0k

ω0k

= e−λt

1− kt√1+bk2

√1+dk2 ξk − ikt

1+bk2

− ikt(1+dk2)

1 + kt√1+bk2

√1+dk2

1ξk

η0k

ω0k

= e−λt

η0k −

ktη0k√

1+bk2√

1+dk2 ξk − ikt1+bk2 ω

0k

− ikt1+dk2 η

0k + ω0

k +kω0

kt√1+bk2

√1+dk2

1ξk

= e−λt

η0k

ω0k

+

− kη0k√

1+bk2√

1+dk2 ξk − ik1+bk2 ω

0k

− ik1+dk2 η

0k +

kω0k√

1+bk2√

1+dk2

1ξk

t

4. Caso : k = 0. Este caso corresponde a los autovalores λ+

0 = β1 y λ−0 = β2 y la

matriz A (0) es dada en la forma diagonal. Ası, de (2.15) se sigue que la solucion

correspondiente de (2.9) es dada por (2.14)

Para hallar los autovalores de la matriz A hallamos las raıces del polinomio

caracterıstico p(λ)

A (0) =

−β1 0

0 −β2

Es evidente que λ1 = −β1, v1 = e1 ∨ λ2 = −β2, v2 = e2

Por tanto la solucion es:

c1

1

0

eλ1t + c2

0

1

eλ2t =

ηk

ωk

usando la condicion inicial, tenemos:

c1 = η00

c2 = ω00

33

Luego la solucion es dada por:

ηk = η00e−β1t

ωk = ω00e−β2t

Nota 2.1.2. Analizando los autovalores λ±k dados por (2.11). Primero notamos que

λ±k = λ±−k y cumple lo siguiente:

Si ek < 1, entonces los autovalores λ±k son numeros complejos.

Si ek ≥ 1, entonces los autovalores λ±k son numeros reales. Mas aun, si β1 ≥

0, β2 ≥ 0 y β21 + β2

2 > 0, entonces la parte real de λ±k cumple las siguientes

propiedades (supongamos que , si αj = max α1, α2 , entonces βj > 0):

1) R(λ±k)> 0;

2) Si α1 < 2 o α2 < 2, entonces lım infk−→∞R(λ±k)

= 0 . Mas precisamente, tenemos

que

lımk−→∞

2R(λ±k)

β1

bkα1−2 + β2

dkα2−2

= 1, si |ek| < 1, k lo suficientemente grande, (2.21)

y existe tres constantes l1, l2, l3 > 0 tales que

lımk−→∞

R(λ+k

)kmaxα1,α2−2

= l1, si |ek| ≥ 1, (2.22)

lım infk−→∞

R(λ−k)

kmınα1,α2−2= l2, si α1 + α2 > 2, |ek| ≥ 1, (2.23)

lım infk−→∞

R(λ−k)

k−maxα1,α2= l3, si α1 + α2 ≤ 2, |ek| ≥ 1. (2.24)

para k lo suficientemente grande.

34

Consecuentemente, existe una constante l > 0 tal que

R(λ±k ) ≥

l

k2−maxα1,α2 si α1 + α2 ≤ 2, maxα1, α2 ≤ 1

lkmaxα1,α2 si α1 + α2 ≤ 2, maxα1, α2 > 1

lk2−mınα1,α2 si α1 + α2 > 2

(2.25)

3) Si α1 = α2 = 2 , entonces lımk−→∞R(λ−k)

= 2β1β2

bdy lımk−→∞R

(λ+k

)= β1

b+ β2

d.

En este caso, si β1β2 = 0, entonces

R(λ−k)≥ l

k2, para alguna constante positiva l. (2.26)

Analizare mas profundo el caso del autovalor doble.

Lema 2.1.3. Con la notacion del lema (2.1.1), tenemos que:

i) Solo existe un numero finito de valores de k ∈ Z con la propiedad que |ek| = 1.

ii) Existe una subsucesion (ekm)m≥1 de (ek)k≥1 tal que lımkm−→∞ |ekm| = 1 si y solo

si uno de los siguientes casos se cumple

(C1) α1 = α2 = 1 y β1

√db− β2

√bd

= 2,

(C2) 1 = α1 > α2 y β1 = 2√

bd,

(C3) 1 = α2 > α1 y β2 = 2√

db.

Demostracion. Para la primera parte del lema, supongamos que tenemos un infinito de

diferentes valores (km)m≥1 ⊂ N tal que ekm = 1. Sin perdida de generalidad, podemos

asumir que lımm−→∞ km =∞. Tenemos los siguientes casos:

a) Si α1 > α2 entonces 1 = limm→∞

ekm = β1

2

√dblimm→∞

(1+k2m)

α12

km, lo cual implica que

35

α1 = 1 y β1 = 2√

bd. Esto sigue que

β2(1 + k2

m)α22

2km

√1 + bk2

m

1 + dk2m

= 1− (1 + k2m)

12

km

√b (1 + dk2

m)

d (1 + bk2m)

=

k2m(d−b−bd)−bdk2m(1+bk2

m)

1 + (1+k2m)

12

km

√b(1+dk2

m)d(1+bk2

m)

.

Luego

limm→∞

1

2β2km

(1 + k2

m

)α22

√1 + bk2

m

1 + dk2m

=d− b− bd

2bd,

lo cual implica que β2 = 0 y d = b + bd. Sin embargo, en este caso ek puede

escribirse como

ek =(1 + k2)

12

k

√b (1 + dk2)

d (1 + bk2).

Por consiguiente, ek = 1 es equivalente a una ecuacion de cuarto orden en k ,

la cual tiene por lo menos cuatro soluciones. Hemos obtenido una contradiccion

y, ası, este caso no es posible.

b) Si α1 < α2. La demostracion es similar a la parte a) y obtnemos la misma

conclusion.

c) Si α1 = α2 . Obtenemos que limm→∞

ekm = 1 si y solo si α1 = α2 = 1 y

β1

√db− β2

√bd

= 2. Sin embargo, en este caso ek esta dado por

ek =(1 + k2)

12

2k

(β1

√1 + dk2

1 + bk2− β2

√1 + bk2

1 + dk2

).

Por consiguiente, ek = 1 es equivalente a una ecuacion de sexto orden en k , el cual

tiene por lo menos seis soluciones. Hemos obtenido nuevamente una contradiccion.

Aquı, existe solo un numero finito de valores k ∈ Z con la propiedad que |ek| = 1.

La segunda parte del lema se demuestra en forma similar, analizando los tres

casos.

36

En la secuela, M y C denotan constantes positivas genericas las cuales pueden

cambiar de una fila a otra. El siguiente resultado caracteriza al semigrupo asociado a

nuestro problema lineal (2.1).

Teorema 2.1.4. La familia de operadores lineales (S(t))t≥0 definidos por

S (t)(η0, ω0

)=∑k∈Z

(ηk (t) , ωk (t)) eikx,((η0, ω0

)∈ V s

)(2.27)

donde los coeficientes (ηk (t) , ωk (t)) eikx son dados por (2.12)-(2.14), es un semigrupo

analıtico en V s y verifica la siguiente estimacion, para cada s ∈ R,

‖S (t)(η0, ω0

)‖V s ≤M‖

(η0, ω0

)‖V s ,

((η0, ω0

)∈ V s

), (2.28)

donde M es una constante positiva. Ademas, es el generador infinitesimal de este

operador (D (A) , A) , donde D (A) = V s y A es dado por (2.6).

Demostracion. Primeramente, mostramos que existe una constante M > 0 tal que

b | ηk (t) |2 +d | ωk (t) |2≤M(b | η0

k |2 +d | ω0k |2)× e−2tmın|R(λ+

k )|,|R(λ−k )|; (2.29)

(t ≥ 0, k ∈ Z)

En efecto,

|ηk|2 =1

|1− ξ2k|

2

∣∣∣∣∣(η0k + i

√1 + dk2

1 + bk2ξkω

0k

)e−λ

+k t −

(ξ2k η

0k + i

√1 + dk2

1 + bk2ξkω

0k

)e−λ

−k t

∣∣∣∣∣2

≤ 1

|1− ξ2k|

2

(ξ4k − 2ξ2

k + 1) (η0k

)2× e−2tmınR(λ+

k ),R(λ−k ); (t ≥ 0, k ∈ Z)

≤(η0k

)2 × e−2tmınR(λ+k ),R(λ−k ); (t ≥ 0, k ∈ Z)

37

|ωk|2 =1

|1− ξ2k|

2

∣∣∣∣∣(i

√1 + bk2

1 + dk2ξkη

0k − ξ2

kω0k

)e−λ

+k t −

(i

√1 + bk2

1 + dk2ξkη

0k − ω0

k

)e−λ

−k t

∣∣∣∣∣2

≤ 1

|1− ξ2k|

2

(ξ4k − 2ξ2

k + 1) (ω0k

)2× e−2tmınR(λ+

k ),R(λ−k ); (t ≥ 0, k ∈ Z)

≤(ω0k

)2 × e−2tmınR(λ+k ),R(λ−k ); (t ≥ 0, k ∈ Z)

b |ηk|2 + d |ωk|2 ≤ b(η0k

)2+ d

(ω0k

)2 × e−2tmınR(λ+k ),R(λ−k ); (t ≥ 0, k ∈ Z)

Note que, tomando en cuenta la primera parte del lema (2.1.4) es suficiente mostrar

que (2.29) es verificado si los coeficientes (ηk (t) , ωk (t)) son dados por (2.12). Tenemos

para analizar dos casos diferentes.

(1) Si no existe una subsucesion (ekm)m≥1 de (ek)k≥1 tal que lımkm→∞

| ekm |= 1, entonces

lım|k|→∞

sup1+ | ξk | + | ξk |2

| 1− ξ2k |

≤M,

para una constante positiva M . De la estimacion anterior y (2.12) deducimos que,

(2.29) se mantiene verdadera.

(2) Si existe una subsucesion (ekm)m≥1 de (ek)k≥1 tal que lımkm→∞

| ekm |= 1, entonces

lımkm→∞

ξ2km = 1 y lım

km→∞

(λ+km− λ−km

)= 0.

Consecuentemente, existe M > 0 tal que las siguientes dos estimaciones se

cumplen1

| 1− ξ2k || e−(λ+

km−λ−km)t − 1 |≤ M

| km |(1 + t) , (2.30)

1

| km |(1 + t) e−|R(λ+

km)|t ≤ M

| R(λ+km

)|| km |

. (2.31)

Mas aun, del lema(2.1.4) y (2.25), deducimos que existe l > 0 tal que∣∣R (λ+km

)∣∣ ≥ lkm

.

Combinando la estimacion anterior con (2.12),(2.30) y (2.31), deducimos que

(2.29) es verificado tambien en este caso.

38

Ahora, conforme a la definicion de la norma en V s y tomando en cuenta (2.29), tenemos

que

‖∑k∈Z

(ηk (t) , ωk (t)) eikx ‖2V s =

∑k∈Z

(b | ηk (t) |2 +d | ωk (t) |2

) (1 + k2

)s≤ M2

∑k∈Z

(b | η0

k |2 +d | ω0k |2) (

1 + k2)s

= M2 ‖(η0, ω0

)‖2V s

lo cual demuestra que S(t) es un operador lineal bien definido en V s y verifica (2.28)

para cada s ∈ R.

Las propiedades restantes son consecuencia inmediata de la teoria clasica de

semigrupos y las formulas explıcitas (2.12)-(2.14).

Nota 2.1.5. Dependiendo de los valores de los parametros β1, β2, α1 y α2, y el calculo

estimado en (2.28) puede ser mejorado. Esto, es dado en los teoremas del capıtulo 3.

Como una consecuencia directa del Teorema (2.1.5) y la teorıa de evolucion de

ecuaciones (ver Cazenave, Braides y Haraux (1998) , Tucsnak y Weiss (2009)) tenemos

el siguiente resultado de existencia y unicidad,lo que nos ayuda a expresar la solucion

del sistema no lineal:

Teorema 2.1.6. Sea T > 0 y s ∈ R. Para cada (η0, ω0) ∈ V s y (f, g) ∈ L1 (0, T ;V s)

existe una unica solucion (η, ω) ∈ W 1,1 ([0, T ];V s) del sistema

η

ω

t

(t) + A

η

ω

(t) =

f

g

,

η

ω

(0) =

η0

ω0

(2.32)

el cual verifica la formula constante de variacion η

ω

(t) = S (t)

η0

ω0

+

t∫0

S (t− s)

f

g

(s) ds (2.33)

39

Capıtulo 3

Comportamiento Asintotico del

sistema linealizado

En esta seccion estudiamos el comportamiento de la solucion del sistema (2.1)

cuando el tiempo tiende a infinito. Para tener un sistema disipativo asumimos que

β1 ≥ 0, β2 ≥ 0, β21 + β2

2 > 0 (3.1)

Las relaciones (3.1) son equivalentes a la condicion

mın| R(λ+k

)|, | R

(λ−k)|> 0, (k ∈ Z) (3.2)

donde λ±k son los autovalores dados por (2.11).

Primeramente, analizamos los casos en el cual las soluciones de (2.1) decaen

exponencialmente a cero.

Notamos que las soluciones para (2.1) decaen exponencialmente en V s si existen dos

constantes positivas M y µ tales que

‖S (t)(η0, ω0

)‖V s ≤Me−µt‖

(η0, ω0

)‖V s ,

(t ≥ 0,

(η0, ω0

)∈ V s

). (3.3)

40

Teorema 3.0.1. Las soluciones para (2.1) decaen exponencialmente en V s si y solo si

α1 = α2 = 2 y β1, β2 > 0. Ademas, µ de (3.3) es dado por

µ = infkεZ

| R(λ+k

)|, | R

(λ−k)|, (3.4)

donde los autovalores λ±k son dados por (2.11)

Demostracion. Primeramente, supongamos que α1 = α2 = 2 y β1, β2 > 0. De la

propiedad

Si α1 = α2 = 2 , entonces lımk−→∞R(λ−k)

= 2β1β2

bdy lımk−→∞R

(λ+k

)= β1

b+ β2

d.

asegura que los autovalores(λ±k)k∈Z cumplen:

mın| R(λ+k

)|, | R

(λ−k)|≥ D > 0, (k ∈ Z) (3.5)

donde D es un numero positivo, dependiendo de los parametros β1, β2, α1, α2, b y d.

De acuerdo a la segunda parte del lema(2.1.4), los coeficientes (ηk (t) , ωk (t)) que

aparecen en (2.27), verifican la estimacion (2.29), lo que implica inmediatamente que

(3.3) cumple con µ dado por (3.4).

Por otro lado, la propiedad (2) en la nota (2.1.3) demuestra que si mın α1, α2 < 2

, entonces la tasa de decaimiento no puede ser exponencial. De la propiedad (3),

de la nota mencionada anteriormente inferimos que la misma conclusion cumple si

α1 = α2 = 2 y β1.β2 = 0.

Ahora analizamos la tasa de decaimiento de las soluciones en los casos restantes.

Puesto que conocemos del Teorema (3.0.1) que no tenemos un decaimiento exponencial,

podemos solo esperar un decaimiento polinomial si el dato inicial tiene propiedades

adicionales de suavidad. Tenemos el siguiente resultado.

Teorema 3.0.2. Supongamos que (3.1) se cumple y mın α1, α2 ∈ [0, 2〉. Sea

41

δ > 0 definida por

δ =

2−maxα1, α2 si α1 + α2 ≤ 2, maxα1, α2 ≤ 1

maxα1, α2 si α1 + α2 ≤ 2, maxα1, α2 > 1

2−mınα1, α2 si α1 + α2 > 2.

(3.6)

Entonces , existe M > 0 tal que las soluciones para (2.1) satisface

‖ S (t)(η0, ω0

)‖V s≤

M

(1 + t)qδ

‖(η0, ω0

)‖V s+q , (t ≥ 0) ,

(η0, ω0

)∈ V s+q (3.7)

donde s ∈ R y q > 0.

Demostracion. Probamos el resultado para t suficientemente grande. De acuerdo a la

nota (2.1.3), existe un l > 0 tal que

| R(λ±k)|≥ l

kδ, (k ∈ Z∗) (3.8)

De (2.29) y (3.8) y redefiniendo la constante M , deducimos que

‖ S (t)(η0, ω0

)‖ = ‖

∑k∈Z

(ηk (t) , ωk (t)) eikx ‖

‖ S (t)(η0, ω0

)‖2V s= b ‖ ηk (t) ‖2

s +d ‖ ωk ‖2s =

∑k∈Z

(b | ηk (t) |2 +d | ωk |2

) (1 + k2

)sMultiplicando ambos miembros de la desigualdad (2.29) por (1 + k2)s

∑k∈Z

(b | ηk (t) |2 +d | ωk (t) |2

) (1 + k2

)s ≤M∑k∈Z

(b | η0

k |2 +d | ω0k |2) (

1 + k2)se−2tmınR(λ+

k ),R(λ−k )

42

De esta estimacion y de la igualdad anterior se deduce

‖ S (t)(η0, ω0

)‖2V s ≤ M2

∑k∈Z

(1 + k2

)se−2tmın|R(λ+

k ),|R(λ−k )| ×(b | η0

k |2 +d | ω0k |2)

≤ M2(e−mınβ1,β2t

(b | η0

0 |2 +d | ω00 |2)

+∑k∈Z∗

1

(1 + k2)qe−2l(t+1)

|k|δ(1 + k2

)s+q × (b | η0k |2 +d | ω0

k |2))

(3.9)

e−2tmın|R(λ+k )|,|R(λ−k )| < e−2R(λ+

k )(t+1) ≤ e−2 l

|k|δ(t+1)

≤M2e−2tmın|R(λ+0 )|,|R(λ−0 ) (b | η0

0 |2 +d | ω00 |2) +

M2∑k∈Z

(1 + k2)se−2tmın|R(λ+

k )|,|R(λ−k )| (b | η0k |2 +d | ω0

k |2)

≤M2e−mınβ1,β2t (b | η00 |2 +d | ω0

0 |2) +

M2∑k∈Z

1(1+k2)q

(1 + k2)se−2tmın|R(λ+

k )|,|R(λ−k )| (1 + k2)s+q

(b | η0k |2 +d | ω0

k |2)

≤M2e−mınβ1,β2t (b | η00 |2 +d | ω0

0 |2) +

M2∑k∈Z∗

1(1+k2)q

e−2l(t+1)

|k|δ (1 + k2)s+q × (b | η0

k |2 +d | ω0k |2)

Sea

Ek (t) =1

(1 + k2)qe−2

l

|k|δ(t+1)

para k ∈ Z∗

Estudiemos el termino Ek (t).

Dados ζ > 0, la siguiente desigualdad se cumple

xζe−x ≤ c (ζ) := ζζe−ζ , (x ≥ 0) . (3.10)

43

y usando (3.10) con x = 2l(t+1)

|k|δ y ζ = 2qδ

deducimos que, para cada k ∈ Z∗,

| Ek (t) |=| 1

(1 + k2)qe−2l(t+1)

|k|δ |= 1

(1+ | k |2)qe−2 l

|k|δ(t+1)

=xς

(1+ | k |2)qe−x.

1

xς

≤ 1

(1+ | k |2)qς ςe−ς

xς≤ 1

(1+ | k |2)qcς ς

xς=

1

(1+ | k |2)qc2qδ| k |2q

(2l)2qδ (t+ 1)

2qδ

(1+ | k |2

)q ≥| k |2q| k |2q

(1+ | k |2)q≤ | k |

2q

| k |2q= 1

De donde

| Ek (t) |≤ 1

(1+ | k |2)qc(

2qδ

)| k |2q

(2l (t+ 1))2qδ

≤c(

2qδ

)(2l)

2qδ

1

(t+ 1)2qδ

, (t ≥ 0)

De la estimacion anterior y (3.9) obtenemos que (3.7) es verificada (eventualmente,

redefiniendo una vez mas la constante M del tiempo).

≤M2e−mınβ1,β2t (b | η00 |2 +d | ω0

0 |2) +M2∑k∈Z∗

c( 2qδ )

(2l)2qδ

1

(t+1)2qδ

(1 + k2)s+q × (b | η0

k |2 +d | ω0k |2)

≤M2 c(2qδ )

(2l)2qδ

1

(t+1)2qδ

∑k∈Z∗

(1 + k2)s+q × (b | η0

k |2 +d | ω0k |2)

≤M2 c(2qδ )

(2l)2qδ

1

(t+1)2qδ

‖ (η0, ω0) ‖2V s+q

por lo tanto

‖ S (t)(η0, ω0

)‖V s≤M

1

(t+ 1)qδ

‖(η0, ω0

)‖V s+q

Nota 3.0.3. La tasa de decaimiento polinomial de la norma V s de soluciones con dato

inicial en V s+q dado por (3.7) es optimo, al menos en algun caso particular. En efecto,

consideramos que con la notacion del lema (2.1.1) |ek| < 1, ∀k ∈ Z. Esta condicion

es verificada si, por ejemplo, max α1, α2 < 1 y max β1, β2 es lo suficientemente

44

pequeno. En este caso, tenemos que existen dos constantes positivas l, l′ > 0 tal que

l

| k |δ≤ R

(λ±k)

=1

2

(β1 (1 + k2)

α12

1 + bk2+β2 (1 + k2)

α22

1 + dk2

)≤ l′

| k |δ, (k ∈ Z∗)

con δ = 2−max α1, α2. Mas aun, existe c > 0 dependiendo solo de b y d, tales que

las siguientes estimaciones son verificadas.

De la solucion (ηk, ωk) de (2.9) dada por (2.12) se deduce

|ηk|2 =1

|1− ξ2k|

2

∣∣∣∣∣(η0k + i

√1 + dk2

1 + bk2ξkω

0k

)e−λ

+tk −

(ξ2k η

0k + i

√1 + dk2

1 + bk2ξkω

0k

)e−λ

−tk

∣∣∣∣∣2

≥ 1

|1− ξ2k|

2

(ξ4k − 2ξ2

k + 1) (η0k

)2e−2tmınλ+

k ,λ−k

≥ 1

|1− ξ2k|

2

(ξ2k − 1

)2 (η0k

)2e−2t|R(λ+

k )|b |ηk|2

≥ b(η0k

)2e−2t|R(λ+

k )|

|ωk|2 =1

|1− ξ2k|

2

∣∣∣∣∣(i

√1 + bk2

1 + dk2ξkη

0k − ξ2

kω0k

)e−λ

+tk −

(i

√1 + bk2

1 + dk2ξkη

0k − ω0

k

)e−λ

−tk

∣∣∣∣∣2

≥ 1

|1− ξ2k|

2

(ξ4k − 2ξ2

k + 1) (ω0k

)2e−2tmınλ+

k ,λ−k

≥ 1

|1− ξ2k|

2

(ξ2k − 1

)2 (ω0k

)2e−2t|R(λ+

k )|

d |ωk|2 ≥ d(ω0k

)2e−2t|R(λ+

k )|

De las estimaciones anteriores deducimos

b |ηk|2 + d |ωk|2 ≥(b(η0k

)2+ d

(ω0k

)2)e−2t|R(λ+

k )|

‖ S (t)(η0, ω0

)‖2V s =

∑k∈Z

(b | ηk (t) |2 +d | ωk (t) |2

) (1 + k2

)s≥ c

∑k∈Z

(b | η0

k |2 +d | ω0k |2) (

1 + k2)se−2t|R(λ+

k )|

45

De l|k|δ ≤ R

(λ±k)≤ l′

|k|δ

e−2t l

|k|δ ≥ e−2tR(λ±k ) ≥ e−2t l′

|k|δ

∑k∈Z

1

1+ | k |2q(b(η0k

)2+ d

(ω0k

)2)e−2t l

|k|δ(1 + k2

)s+q ≥∑k∈Z

1

1+ | k |2q(b(η0k

)2+ d

(ω0k

)2)e−2tR(λ±k ) (1 + k2

)s+q ≥∑k∈Z

1

1+ | k |2q(b(η0k

)2+ d

(ω0k

)2)e−2t l′

|k|δ(1 + k2

)s+qSe verifica

c∑k∈Z

(b(η0k

)2+ d

(ω0k

)2) (

1 + k2)se−2t|R(λ+

k )| ≥

c∑k∈Z

1

1+ | k |2q(b(η0k

)2+ d

(ω0k

)2)e−2t l′

|k|δ(1 + k2

)s+qLuego

‖ S (t)(η0, ω0

)‖2V s ≥ c

∑k∈Z

(b | η0

k |2 +d | ω0k |2) (

1 + k2)s+q

× 1

1+ | k |2qe−2l′t|k|δ (3.11)

Ahora , sea ζ > qδ

y % > 0 un numero positivo real. Mostramos que existen un dato

inicial (η0, ω0) ∈ V s+q y un intervalo de tiempo I ⊂ [1,∞〉 de longitud positiva tales

que:

‖ S (t)(η0, ω0

)‖V s≥

%

tς‖(η0, ω0

)‖V s+q , (t ∈ I) (3.12)

En efecto, tomamos k0 ∈ N, tal que k0 ≥ max1,(

2%2e4l′

c

) 1

2δ(ς− qδ ) y I =[kδ0, 2k

δ0

].

46

Tambien, elegimos

(η0k0, ω0

k0

)=

(1

√2b (1 + k2

0)s+q

2

,1

√2d (1 + k2

0)s+q

2

)eik0x ∈ V s+q

De acuerdo a (3.11), tenemos que para cada t ∈ I, las siguientes desigualdades son

verificadas

‖ S (t)(η0k0, ω0

k0

)‖V s =

∑k∈Z

(b | η0

k0k|2 +d | ω0

k0k|2) (

1 + k20

)s≥ c

∑k∈Z

(b | η0

k0k|2 +d | ω0

k0k|2) (

1 + k20

)s+q 1

1+ | k0 |2qe−2l′t|k|δ

≥ c∑k∈Z

(b | η0

k0k|2 +d | ω0

k0k|2) (

1 + k20

)s+q 1

2 | k0 |2qe−4l′

= c∑k∈Z

(b | η0

k0k|2 +d | ω0

k0k|2) (

1 + k20

)s+q | k0 |2ςδ−2q

2 | k0 |2ςδe−4l′

≥ c∑k∈Z

(b | η0

k0k|2 +d | ω0

k0k|2) (

1 + k20

)s+q | k0 |2δ(ς−qδ )

2t2ςe−4l′

Redefiniendo la constante

‖ S (t)(η0k0, ω0

k0

)‖2V s ≥ ‖

(η0k0, ω0

k0

)‖2V s+q

%2

t2ς

‖ S (t)(η0k0, ω0

k0

)‖V s ≥ ‖

(η0k0, ω0

k0

)‖V s+q

%

tς

Aquı (3.12) es verificado lo cual demuestra que, en este caso, no existe una mejor tasa

de decaimiento polinomial que la dada por (3.7).

Nota 3.0.4. En los casos tratados en el teorema (3.0.2) los autovalores(λ±k)k∈Z tienen

parte real tendiendo a cero cuando |k| tiende a infinito (ver propiedad 2 en la nota

(2.1.3)). Por consiguiente, no podemos esperar un decaimiento exponencial uniforme

de las soluciones de nuestro sistema. Como fue probado en Littman y Markus (1988), el

hecho que el decaimiento de las soluciones de (2.1) no es exponencial es equivalente a la

tasa de decaimiento no uniforme: Dada cualquier funcion γ positiva no creciente existe

un dato inicial (η0, ω0) de (2.1) tal que la norma V s de la solucion correspondiente

47

decae mas lento que γ. El teorema (3.0.2) muestra que, asumiendo (η0, ω0) ∈ V s+q

tenemos un decamiento polinomial uniforme de orden 1δ

(q − 1

2

)para las soluciones en

la norma de V s.

Nota 3.0.5. Teniendo en cuenta la propiedad (3) y (2.26) en la nota (2.1.3),

obtenemos de la misma manera que (3.7) cumple con δ = 2 en el caso α1 = α2 = 2 y

β1 = 0 o β2 = 0.

48

Capıtulo 4

El Sistema no Lineal

Ahora estamos en condiciones de demostrar la buena posicion y la estabilizacion

para las soluciones del sistema no lineal (3) emitido de pequenos datos iniciales, cuando

el sistema linealizado es exponencialmente estable, es decir en la hipotesis del teorema

(3.0.1). La prueba sera hecha usando el argumento del punto fijo. Necesitaremos del

siguiente lema.

Lema 4.0.1. Sea s ≥ −1. Existe una constante c > 0, dependiendo solo de s , tal que

‖ fg ‖Hsp(0,2π)≤ c ‖ f ‖Hs+1

p (0,2π)‖ g ‖Hs+1p (0,2π) para cualesquiera f, g ∈ Hs

p (0, 2π) .

El resultado principal de esta seccion dice lo siguiente:

Teorema 4.0.2. Sea s ≥ 0 y supongamos que β1, β2 > 0 y α1 = α2 = 2.

Existen r > 0, c > 0 y µ > 0, tales que , para cualquier (η0, ω0) ∈ V s satisfaciendo

∣∣∣∣(η0, ω0)∣∣∣∣

V s≤ r,

el sistema (3) admite una unica solucion (η, ω) ∈ C ([0,∞〉 ;V s) la cual verifica

‖ (η (t) , ω (t)) ‖V s≤ ce−µt ‖(η0, ω0

)‖V s , (t ≥ 0) . (4.1)

Mas aun, µ puede ser definida como en (3.4).

49

Demostracion. La prueba sigue de cerca los argumentos desarrollados en Micu, Ortega,

Rosier y Zhang (2009), Teoremas (3.2) y (3.13). Notamos que la hipotesis del Teorema

(3.0.1) son verificadas y existen M,µ > 0 tales que (3.3) sigue siendo verdadero. Con

el fin de utilizar el argumento del punto fijo, escribimos el sistema en su forma integral

y se define el espacio

Ys,µ =

(η, ω) ∈ Cb(R+, V s

): eµt (η, ω) ∈ Cb

(R+, V s

)con la norma

‖ (η, ω) ‖Ys,µ := sup0≤t<∞

‖ eµt (η, ω) (t) ‖Vs ,

y la funcion Γ : Ys,µ −→ Ys,µ por

Γ (η, ω) (t) = S (t)(η0, ω0

)−

t∫0

S (t− τ)N (η, ω) (τ) dτ

donde N (η, ω) =(

(I − b∂2x)−1

(ηω)x , (I − d∂2x)−1ωωx

)y S (t)t≥0 es el semigrupo

definido en el Teorema (2.1.5). Del lema (4.0.1) deducimos que

‖ N (η1, ω1) ‖V s≤ c ‖ (η1, ω1) ‖2V s y

‖ ηx ‖2s−1 =

∑kεZ

| ηx |2(1 + k2

)s−1

=∑kεZ

| ikηk |2(1 + k2

)s−1

≤∑kεZ

| ηk |2(1 + k2

)s=‖ η ‖2

s

50

‖ ωx ‖2s−1 =

∑kεZ

| ωx |2(1 + k2

)s−1

=∑kεZ

| ikωk |2(1 + k2

)s−1

≤∑kεZ

| ωk |2(1 + k2

)s=‖ ω ‖2

s

‖ N (η, ω) ‖V s = ‖((I − b∂2

x

)−1(ηω)x ,

(I − d∂2

x

)−1ωωx

)‖V s

≤ ‖(I − b∂2

x

)−1(ηω)x ‖

2V s + ‖

(I − d∂2

x

)−1ωωx ‖2

V s

≤ ‖ (ηω)x ‖2V s−2 + ‖ ωωx ‖2

V s−2

≤ ‖ ηxω + ηωx ‖2V s−2 +c ‖ ω ‖2

V s−1‖ ωx ‖2V s−1

≤ ‖ ηxω ‖2V s−2 + ‖ ηωx ‖2

V s−2 +c ‖ ω ‖2V s−1‖ ωx ‖2

V s−1

≤ c1 ‖ ηx ‖2V s−1‖ ω ‖2

V s−1 +c2 ‖ η ‖2V s−1‖ ωx ‖2

V s−1 +c ‖ ω ‖2V s−1‖ ωx ‖2

V s−1

≤ (c1 + c2) ‖ ω ‖2V s‖ η ‖2

V s +c ‖ ω ‖2V s‖ ω ‖2

V s

≤ M ‖ (η, ω) ‖2V s

‖ N (η1, ω1)−N (η2, ω2) ‖V s≤ c (‖ (η1, ω1) ‖V s + ‖ (η2, ω2) ‖V s)× ‖ (η1, ω1)−(η2, ω2) ‖V s

para cualesquiera (η1, ω1) , (η2, ω2) ∈ V s y para algun c > 0. Entonces, combinando las

estimaciones anteriores y el Teorema (3.0.1) obtenemos

‖ Γ (η, ω) (t) ‖V s ≤ Me−µt ‖(η0, ω0

)‖V s

+ M

∫ t

0

e−µ(t−τ)× ‖((I − b∂2

x

)−1(ηω)x ,

(I − d∂2

x

)−1ωωx

)(τ) ‖V s dτ

≤ Me−µt ‖(η0, ω0

)‖V s +Mce−µt sup

0≤τ≤t‖ eµt (η, ω) ‖2

V s

51

‖ Γ (η, ω) (t) ‖V s = ‖ S (t)(η0, ω0

)−

t∫0

S (t− τ)N (η, ω) (τ) dτ ‖V s

≤ ‖ S (t)(η0, ω0

)‖V s + ‖

t∫0

S (t− τ)N (η, ω) (τ) dτ ‖V s

≤ Me−µt ‖(η0, ω0

)‖V s +

∫Me−µ(t−τ) ‖ N (η, ω) (τ) ‖V s dτ

≤ Me−µt ‖(η0, ω0

)‖V s +Me−µt

∫eµτc ‖ (η, ω) ‖2

V s dτ

≤ Me−µt ‖(η0, ω0


0≤τ≤t‖ eµτ (η, ω) ‖2

V s

t∫0

e−µτdτ

≤ Me−µt ‖(η0, ω0


0≤τ≤t‖ eµτ (η, ω) ‖2

V s1

µ

(1− e−µt

)t0

≤ Me−µt ‖(η0, ω0

)‖V s +Mce−µt ‖ (η, ω) ‖2

Y s,µ

≤ Mr +McR2

para cualquier t ≥ 0 y algunas constantes positivas M y c. Ası, si tomamos

(η, ω) ∈ BR (0), donde BR (0) ⊂ Ys,µ denota la bola centrada en cero y radio R, la

estimacion anterior permite concluir que

‖ Γ (η, ω) ‖Ys,µ≤M ‖(η0, ω0

)‖V s +Mc ‖ (η, ω) ‖2

Ys,µ≤Mr +McR2.

Calculos similares muestran que, para cualquier (η1, ω1) , (η2, ω2) ∈ BR (0),

‖ Γ (η1, ω1)− Γ (η2, ω2) ‖Ys,µ≤ 2MRc ‖ (η1, ω1)− (η2, ω2) ‖Ys,µ .

52

‖ Γ (η1, ω1)− Γ (η2, ω2) ‖Ys,µ = ‖t∫

0

S (t− τ) (N (η1, ω1)−N (η2, ω2)) dτ ‖V s

≤ Me−µtt∫

0

eµτ ‖ N (η1, ω1)−N (η2, ω2) ‖ dτ

≤ Me−µtt∫

0

eµτc (‖ (η1, ω1) ‖V s + ‖ (η2, ω2) ‖V s) ‖ (η1, ω1)− (η2, ω2) ‖V s dτ

≤ Mce−µt2R

t∫0

‖ eµτ ((η1, ω1)− (η2, ω2)) ‖V s dτ

≤ Mce−µt2R

t∫0

sup0≤τ≤t

‖ eµτ ((η1, ω1)− (η2, ω2)) ‖V s dτ

≤ Mce−µt2R

t∫0

‖ (η1, ω1)− (η2, ω2) ‖Ys,µ dτ

≤ Mce−µt2RT ‖ (η1, ω1)− (η2, ω2) ‖Ys,µ

Para una adecuada eleccion de R y r, la estimacion anterior garantiza que la aplicacion

Γ es una contraccion y envıa BR (0) en si mismo. En efecto, es suficiente elegir R = 2Mr

y r ≤ 18M2c

. Ası, Γ admite un punto fijo (η, ω) ∈ BR (0) . Obtenemos que (η, ω) es la

unica solucion del sistema (3) y satisface (4.1).

Nota 4.0.3. No podemos probar en un proceso similar que las soluciones del sistema

no lineal (3) tienen un decaimiento polinomial usando la estimacion obtenida para

el sistema linealizado en el teorema (3.0.2). En efecto, en la estimacion de (3.7)

necesitamos una solucion mas regular para acotar la norma del semigrupo en V s. Ası no

permite definir un espacio similar a Ys,µ introducido en la prueba del teorema (4.0.2), en

el cual aplicamos el argumento del punto fijo. De hecho, el decaimiento de las soluciones

de un problema no lineal con una parte linealizada no decae uniformemente, parece ser

una pregunta difıcil.

53

Aplicacion: Algunos ejemplos de sistemas de

Boussinesq para la modelizacion de Sutnamis

Podemos encontrar las ecuaciones de Boussinesq en la descripcion de playas, rios

y lagos. Estas ecuaciones estudian la dinamica de las aguas poco profundas como las

ecuaciones Korteweg-deVries (KdV)”. Entre muchas otras aplicaciones de las ecuaciones

de Boussinesq destaca la de modelar olas de tsunamis. Estos tipos de olas ya son

perfectamente descritos por las ecuaciones de Navier Stokes, pero todavıa no existen

tecnicas que permitan resolverlas en un dominio tridimensional. Para ello se usan las

ecuaciones de Boussinesq, pensadas como una simplificacion de las ecuaciones de Navier

Stokes.

Las ecuaciones de Boussinesq contienen una estructura hiperbolica (al igual que las

ecuaciones no lineales de aguas poco profundas) combinada con derivadas de orden

elevado para modelar la dispersion de la ola. En el siguiente grafico se presenta la

propagacion de una ola sobre un terraplen Ji 2013.

Figura 4.1: Esquema de Boussinesq

Las ecuaciones de Boussinesq pueden aparecer de muchas formas distintas.

Dependiendo de como hayamos escogido la variable de la velocidad podemos obtener

un modelo u otro. El caso mas usual es escoger la variable velocidad en un nivel

del agua arbitrario. La efectividad de la ecuacion de Boussinesq seleccionada variara

54

dependiendo de la dispersion.

Las ecuaciones de Boussinesq mas conocidas son: La ecuacion cubica de Boussinesq,

que sirve para describir el movimiento de ondas largas en aguas poco profundas; sistema

de Boussinesq acoplado, que describen el movimiento de dos fluidos distintos en aguas

poco profundas (como puede ser el caso de un barco que desprende accidentalmente

aceite, el aceite va creando una capa que flota encima de la superficie del agua); la

ecuacion de Boussinesq mejorada,es una ecuacion fısicamente estable que describe un

gran numero de fenomenos de olas dispersivas no lineales como la propagacion en ambas

direcciones de olas largas en la superficie de aguas poco profundas.

Sistema de Boussinnesq acoplado:

ut + vx + uux = 0

vt + (vu)x + uxxx = 0

Aplicando el metodo de la tangente hiperbolica, su solucion es dada por:

u (x, t) =w

k∓ 2k (kx− wt)

v (x, t) = 2k2sech2 (kx− wt)

En la Figura 4.2 se muestran las graficas de las dos funciones para los valores de k = 1

y w = 12. Andia 2016.

Figura 4.2: Grafica de las funciones u y v

55

Ecuacion mejorada de Boussinesq:

utt = uxx +(u2)xx

+ uxxtt

Aplicando el metodo de la tangente hiperbolica , su solucion es dada por:

u (x, t) = Asech2

[1

M

(A

6

) 12

(x−Mt− x0)

]

donde A y x0 son constantes arbitrarias y M =(1 + 2

3A) 1

2 .

Los siguientes esquemas fueron extraıdos de Andıa 2016, que muestra:

Figura 4.3 : Grafica de la propagacion de la onda en 3 dimensiones.

Figura 4.4 : Media grafica de la propagacion de los solitones para distintos valores del

tiempo.

Figura 4.5: Propagacion de los dos solitones de distintas amplitudes en 3 dimensiones.

Figura 4.3: Grafica solucion de la ecuacion mejorada de Boussinesq.

56



57

Conclusiones

El sistema de Boussinesq con amortiguacion generalizada, en el sistema lineal (2.1),

decae exponencialmente; si α1 = α2 = 2 con β1, β2 > 0 y ademas si α1, α2 ∈ [0, 2〉

decae polinomialmente.

El sistema de Boussinesq con amortiguacion generalizada, en el sistema no lineal

(3), decae exponencialmente si α1 = α2 = 2 y β1, β2 > 0.

La efectividad de la ecuacion de Boussinesq seleccionada variara dependiendo del

termino dispersivo, como se vee en Andia 2016.

La ecuacion mejorada de Boussinesq es una ecuacion fısicamente estable que

describe un gran numero de fenomenos de olas dispersivas no lineales, como se vee

en Andia 2016.

58

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