UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUST IN DE AREQUIPA Unidad de …

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANAGUSTIN DE AREQUIPA

Unidad de Posgrado de la Facultad deIngenierıa de Produccion y Servicios

Correspondencia Parcial Entre Modelos

Tridimensionales

Tesis presentada por el bachiller:

Gustavo Alonzo Suero Soto

Para optar el Grado Academico de Maestro en Ciencias: Informatica, con mencionen Tecnologıas de Informacion

Asesor:

Dr. Cristian Jose Lopez Del Alamo

Arequipa - Peru

2018

Agradecimientos

Quiero comenzar agradeciendo a mi madre por su inagotable amor y ser la

fuerza que hacer ser mejor persona, a mi familia por todo el apoyo y soporte durante

estos anos. Que sin ellos no hubiera sido capaz de seguir adelante en los momentos

difıciles y sus animos para no rendirme ante las adversidades.

Al mi asesor, el Dr. Cristian Lopez del Alamo por su paciencia, animos, consejos

y actitud positiva hacia mi persona. A mis companeros de maestrıa, por su apoyo en

todo el trayecto de esta aventura.

A la Universidad Nacional de San Agustın de Arequipa, quien me dio la bien-

venida y las incomparables oportunidades que me ha brindado. A CIENCIACTIVA

y CONCYTEC por la oportunidad; y a la ayuda de mis maestros, mis companeros,

y a la universidad en general por todo lo anterior en conjunto con todos los copiosos

conocimientos que me ha otorgado.

2

Resumen

Lidiar con datos incompletos es una de las tareas mas recurrentes en el analisis

de datos, principalmente si la cantidad de datos faltantes es considerable. La presente

investigacion, propone un nuevo enfoque para la recuperacion de modelos u objetos

incompletos en base a la codificacion poco densa de senales, el aprendizaje de dic-

cionarios y descriptores espectrales. Este enfoque es robusto en los casos donde el

modelo pueden tener porciones incompletas significativas.

Los conceptos de similitud y correspondencia entre modelos tridimensionales

geometricos e imagenes son un caso de estudio recurrente en el area de vision compu-

tacional.

La representacion funcional de mapeos han estado ultimamente ligadas al es-

tado del arte de investigaciones que dan soluciona problemas como la correspondencia

entre modelos no-rıgidos

Uno de los principales retos es encontrar un metodo robusto y eficiente de

correspondencia entre modelos que tenga igual desempeno tanto en modelos rıgidos y

no-rıgidos. Las deformaciones mas comunes encontradas entre los modelos son las ro-

taciones y traslaciones, mientras que la correspondencia entre modelos es representada

como emparejamientos entre de puntos o regiones entre dos modelos tridimensionales.

Solucionar este problema tiene un costo computacional alto, por ejemplo las

tecnicas de correspondencias entre isometrıas tratan de encontrar los emparejamientos

tan exactos como sea posible, pero los problemas de optimizacion usualmente son NP-

Hard Ovsjanikov et al. [2012].

3

Cada una de las senales que representan un modelo incompleto, son recons-

truidas en base a los diccionarios que representan su tipo de modelo. Se espera que

el error de reconstruccion sea pequeno, para un modelo completo o incompleto, in-

dependientemente de si la similitud es total o parcial. El enfoque propuesto busca

mejoras significativas respecto a trabajos anteriores que recuperan formas no rıgidos,

especialmente con regiones incompletas.

Keywords : Correspondencias, FSPM, Mapas, Funcionas, Tridimensional, Mo-

delo, Orto-normal, Similitud, Espectral, Parcial, Anisotropico.

4

Indice general

1. Introduccion 10

1.1. Descripcion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Aporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Marco Teorico 16

2.1. Descriptores espectrales anisotropicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1. Operador de Laplace-Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2. Operador Laplace-Beltrami anisotropico . . . . . . . . . . . . 18

2.1.3. Difusion isotropica de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.4. Difusion anisotropica de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.5. Descriptores anisotropicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Mapas Funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1. Representacion de los mapas funcionales . . . . . . . . . . . . 23

3. Trabajos relacionados 26

3.1. Mapas funcionales parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5

3.2. Correspondencia parcial totalmente espectral . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Propuesta: Correspondencia parcial espectral anisotropica 32

4.1. Eleccion de las eigen-funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2. Proceso de optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3. Calculo de correspondencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5. Experimentos 39

5.1. Configuracion del descriptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2. Implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3. Metodo de evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4. Analisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6. Conclusiones y trabajos futuros 45

6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6

Indice de figuras

1-1. Modelos incompletos del conjunto de datos de Cosmo et al.. Se consi-

deran dos tipos de regiones faltantes: Cortes (arriba) y Huecos(Abajo). 12

1-2. Base de datos de modelos tridimensionales incompletos Melzi et al.

[2016]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2-1. Angulos y area utilizados en el operador de Laplace-Beltrami discreti-

zado Bronstein et al. [2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2-2. Difusion de calor calculado en un tiempo t = 3∗10−3. Se muestra el caso

isotropico(medio), anisotropico hacia la curvatura mas alta(izquierda)

y desviandose de la curvatura mas alta(derecha) Andreux et al. [2014]. 19

2-3. Ilustracion de la ambiguedad intrınseca a simetrıa. Izquierda: Heat Ker-

nels calculados para diferentes θ en los puntos blancos. Derecha: va-

lores del HKS(arriba) y el HKS anisotropico(abajo) calculados en dos

puntos simetricos, donde se distingue que el HKS anisotropico permite

distinguir entre puntos simetricos Boscaini et al. [2016b]. . . . . . . . 22

2-4. Representacion grafica de una matriz de mapeo funcional Ovsjanikov

et al. [2012]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3-1. Mapa funcional parcial C, que tiene un estructura diagonal, donde se

supone que existen valores similares Rodola et al. [2017a]. . . . . . . . 27

3-2. Analisis de la optimizacion funcional Litany et al. [2017] . . . . . . . 30

7

4-1. Difusion de energıa en un punto cercano al borde en diferentes angulos

con un grado de anisotropıa alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4-2. Difusion de energıa en un punto cercano al borde en diferentes angulos

con un grado de anisotropıa nulo, lo cual esquivale exactamente al

operador de Laplace-Beltrami isotropico . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4-3. Difusion de energıa en un punto con alta curvatura en diferentes angu-

los con un grado de anisotropıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4-4. Muestra de modelo tridimensional completo (derecha) que es la refe-

rencia sobre la se calcula las correspondencias y parcial (izquierda) que

es el que sirve de consulta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4-5. Matriz de C, para diferentes angulos de difusion con un mismo modelos

parcial, utilizando 60 eigen-funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5-1. Modelo base para la consulta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5-2. Resultados obtenidos luego de aplicar el modelo de optimizacion pro-

puesto por Litany et al. [2017]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5-3. Correspondencias en color con su modelo base de la figura 5-1, apli-

cando el FSPM anisotropico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5-4. Grafica de comparacion del porcentaje de correspondencias con res-

pecto al error geodesico, entre la tecnica FSPM propuesta por Litany

et al. [2017], la propuesta anisotropica A-FSPM de esta investigacion

con 4 angulos de difusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43





8





9

Capıtulo 1

Introduccion

Los recientes avances tecnologicos en los dispositivos de obtencion de objetos

tridimensionales, han dado lugar al incremento de bases de datos de objetos tridi-

mensionales. Pero, a pesar de que estos dispositivos son cada vez mas especializados,

generalmente los modelos obtenidos suelen estar incompletos o con oclusiones. Todos

estos avances son el siguiente paso a sistemas de diseno asistido por computadoras

(CAD) y las aplicaciones de graficos por computador, ya sea efectos especiales, reali-

dad aumentada o realidad virtual, es ası que resulta como uno los objetivos principales

la creacion de modelos 3D realistas, ası como su manipulacion eficiente.

La posibilidad de reconocer y poder comparar modelos tridimensionales ulti-

mamente resulta muy interesante en diversos ambitos. En este contexto, el proce-

samiento geometrico esta llamado a proveer innovadoras tecnicas que ayuden en el

analisis y procesamiento de estos datos geometricos, siempre con el objetivo de hacer

posibles operaciones altamente complejas, como la comparacion de modelos, busqueda

de correspondencias y transferencia de deformaciones.

La gran mayorıa de metodos que realizan operaciones de procesamiento geometri-

co, asumen que los datos estan representados como una variedad de malla triangular.

Sin embargo, existen otras representaciones de estos modelos tridimensionales, como

las nubes de puntos o los datos volumetricos. Por tal motivo, uno de los desafıos mas

10

interesantes en el area de procesamiento geometrico consiste en encontrar tecnicas

eficientes, que lidien con las diferentes representaciones de los datos.

Otra caracterıstica importante de los datos es la variedad con la que estos

se presentan, por un lado tenemos el conjunto de transformaciones rıgidas como la

traslacion, rotacion o escalamiento, y deformaciones no-rıgidas que no significan cam-

bios en sus propiedades intrınsecas, tales como oclusiones o la presencia de partes

incompletas en los modelos tridimensionales.

La correspondencia entre objetos tridimensionales, es una de las operaciones

geometricas con gran cantidad de aplicaciones, en diversos campos como la medicina

Gu et al. [2004], Audette et al. [2000], arqueologıa Banterle et al. [2017], Du et al.

[2018], Dellepiane et al. [2013]

En los ultimos anos, los metodos basados en mapas funcionales han ganado

gran popularidad en el area de procesamiento geometrico, especialmente en resolver

temas de modelos tridimensionales, como al analisis y sıntesis Ovsjanikov et al. [2012],

busquedas por similitud de modelos tridimensionales Rodola et al. [2015], busqueda

parcial de correspondenciasRodola et al. [2017a], reconstruccion y recuperacion Litany

et al. [2016]. Utilizar modelos con regiones incompletas considerables como se ve en

la figura 1-1, significa un reto mayor para las actuales tecnicas Litany et al. [2017].

1.1. Descripcion del problema

Los principales abordajes en el area de procesamiento multimedia, se ven li-

mitados cuando se trata del procesamiento de modelos tridimensionales con partes

incompletas y con ruido topologico significativo. Los principales de los metodos de

procesamiento de cuerpos tridimensionales no-rıgidos, han sido adaptados para el caso

de modelos incompletos; pero, su eficiencia se ve limitada por la naturaleza de estos

objetos, y por la presencia de ambiguedades en las propiedades de los descriptores

espectrales mas utilizados Ovsjanikov et al. [2012].

11

Figura 1-1: Modelos incompletos del conjunto de datos de Cosmo et al.. Se considerandos tipos de regiones faltantes: Cortes (arriba) y Huecos(Abajo).

Uno de los desafıos mas importantes en el area de procesamiento geometri-

co es la busqueda de correspondencias entre superficies 3D. Para ello, actualmente

existen diversas tecnicas, las cuales cuentan con propiedades como ser invariante a la

rotacion, deformaciones isometricas y robustez ante el ruido Boscaini et al. [2016a].

Estas tecnicas se apoyan principalmente en descriptores, los cuales principalmente

estan basados en extraccion de caracterısticas globales, por ejemplo histogramas de

forma Eynard et al. [2016], Spherical Harmonical Andreux et al. [2014]; y extraccion

de caracterısticas locales, como Heat Kernel Signature (HKS) Lahner et al. [2016],

Mesh SIFT o 3D Surf Nogneng et al. [2018].

Las principales investigaciones en descriptores de modelos, demuestran que

las tecnicas basadas en caracterısticas locales tienen obvias ventajas cuando se li-

dia con ruido y oclusion parcial. Sin embargo, descriptores locales como el SHOT

Tombari et al. [2010] presentan algunas caracterısticas particulares, ya que en una di-

mension considerablemente se obtiene una precision optima, pero esta se ve limitada

en modelos tridimensionales no-rıgidos debido a las ambiguedades frente a simetrıas

12

invariantes.

El uso de descriptores locales intrınsecos propuestos por Kokkinos et al. [2012]

brinda una idea interesante acerca del muestreo de un parche geodesico de una su-

perficie. La generalizacion del muestreo polar usado en formas bidimensionales a su-

perficies curvas Bronstein et al. [2009], consiste en mapear la superficie a un plano

de coordenadas polares, pero a pesar de mostrar una gran mejora en los resultados

obtenidos, aun es deficiente cuando se trata de modelos con gran cantidad de partes

faltantes Boscaini et al. [2016b] .

Los metodos basados en mapas funcionales Ovsjanikov et al. [2012], son he-

rramientas versatiles en diversas aplicaciones que incluyen procesamiento de senales

en un ambito totalmente espectral Rodola et al. [2015]. Recientemente, tambien es

utilizada en el campo del procesamiento de la formas tridimensionales, utilizando

descriptores basados en difusion de calorRaviv et al. [2010]. Abdelrahman Eynard

et al. [2016] utiliza la representacion escasa para reducir la dimensionalidad de un

descriptor de forma global. Boscaini et al. [2016b] aprovecha la utilidad de mapas

funcionales para la busqueda de correspondencias parciales de objetos 3D, en el que

las consultas estan compuestos de sub-partes de diferentes modelos. Sin embargo, su

uso en el procesamiento de superficies 3D es todavıa relativamente nuevo.

1.2. Justificacion

A pesar de los avances en dispositivos para la obtencion de objetos tridimen-

sionales, estos generalmente son incompletos debido a las oclusiones, las restriccio-

nes durante el escaneo o la limitacion del pre-procesamiento de los dispositivos. El

principal problema es la naturaleza de los datos que se obtienen a partir de estos

dispositivos, ya que pueden tener no solamente deformaciones rıgidas, si no que como

las mayorıa de modelos animados, presentan deformaciones no-rıgidas.

Algunas areas como la medicina, la geologıa o videojuegos, se apoyan cada vez

13

Figura 1-2: Base de datos de modelos tridimensionales incompletos Melzi et al. [2016].

mas en herramientas de modelado y adquisicion de objetos 3D, donde el procesamiento

de modelos tridimensionales es de gran utilidad. Pero al mismo tiempo, existe la

necesidad de tecnicas con mayor precision, y que se adapten a la diversidad de tipos

de datos tridimensionales que existen.

En general el gran numero de deformaciones no-rıgidas encontradas en los

modelos, evidencian que los principales retos dentro de este contexto, son la similitud

y la busqueda de correspondencias para aplicaciones de analisis y sıntesis en modelos

tridimensionales.

Particularmente, el problema de busqueda de correspondencias invariantes a

deformaciones entre dos modelos tridimensionales no-rıgidos, representa un gran reto

en el area de procesamiento geometrico. Es ası, que la mejora de la calidad y facilidad

de aplicacion de la tecnicas existentes, hace de la invetigacion en esta area un reto

interesante y atractivo.

14

1.3. Objetivo

Esta investigacion tiene como objetivo el desarrollo de una tecnica de corres-

pondencia parcial entre modelos tridimensionales, mediante la adaptacion de tecnicas

basadas en mapas funcionales y el operador de Laplace-Beltrami anisotropico.

1.4. Aporte

Desarrollo de una tecnica de busqueda de correspondencias parciales entre

modelos tridimensionales, basada en el operador de Laplace-Beltrami anisotropico y

mapas funcionales, con la finalidad de mejorar la precision en los metodos encontrados

en el estado del arte.

15

Capıtulo 2

Marco Teorico

2.1. Descriptores espectrales anisotropicos

Los metodos espectrales han obtenido gran popularidad en el procesamiento

de objetos tridimensionales. En esta seccion de desarrolla un acercamiento teorico a

los principales metodos , y como novedad se introduce al operador Laplace-Beltrami

anisotropico propuesto por Andreux et al. [2014]. Tambien se menciona como es que

se construyen los descriptores de difusion de calor direccionalmente sensibles, en base

al operador Laplaciano anisotropico.

2.1.1. Operador de Laplace-Beltrami

El operador diferencial de Laplace-Beltrami es una generalizacion del operador

de Laplace para operar en funciones definidas sobre superficies. Se puede definir como

la divergencia del gradiente de una funcion y es un operador lineal Biasotti et al.

[2016].

Considerando una superficie cerrada S ⊂ R3, de dimension 2, donde la super-

ficie al rededor de un punto p ∈ S, es muy cercana al plano TpS tangente a p como lo

define Reuter et al. [2009]. El plano tangente TpS es codificado en su segunda forma

16

normal, la cual se representa por una matriz de 2× 2. Los eigenvalores de esta matriz

representan las curvaturas principales km y kM donde km ≤ kM Andreux et al. [2014].

Los eigenvectores normalizados correspondientes vm, VM representan la direcciones de

la curvatura principal, y forman la bases del plano TpS.

Muchas de las investigaciones y herramientas exploradas en el campo del anali-

sis de modelos tridimensionales estan basados en el operador de Laplace-Beltrami λ,

definido de la siguiente manera:

∆f = div(∇f). (2.1)

y considerando la eigen-descomposicion del operador tenemos la siguiente ecua-

cion:

∆φ = λφ (2.2)

donde φ y λ representan las eigenfunciones y eigenvalores de la descomposicion

del operador Laplaciano.

Figura 2-1: Angulos y area utilizados en el operador de Laplace-Beltrami discretizadoBronstein et al. [2008]

Se debe considerar que el valor λ es un escalar, llamado un eigen-valor, para el

cual la ecuacion tiene una solucion no trivial φ llamada eigen-funcion correspondiente

a λ. Como se puede ver en Bronstein et al. [2008], la discretizacion del operador de

17

Laplace-Beltrami permite conservar propiedades geometricas y topologicas intrınsecas

de una superficie.

En una malla triangular M , que representa una superficie, se puede aproximar

el valor de una funcion f definida mediante la siguiente formula:

∆f(pi) ≈1

si

∑j∈N(i)

cotαij + cotβij2

[f(pj)− p(pi)] (2.3)

Donde pi son los puntos de la malla M , si es el area formada al unir los

baricentros de los triangulos que contienen a pi y α y β son los angulos opuestos por

una arista dentro de los triangulos, como se puede observar en la figura 3-2.

2.1.2. Operador Laplace-Beltrami anisotropico

El operador de Laplace-Beltrami es un cuantificador intrınseco de una superfi-

cie, con caracterısticas como invariante a deformaciones isometricas, y por su isotropıa

el proceso de difusion no depende de la direccion. Andreux et al. [2014] proponen el

operador de Laplace-Beltrami anisotropico de la siguiente manera:

∆Df = div(D(∇f)). (2.4)

donde D es una matriz de 2 × 2 que influye en los vectores tangentes. La

matriz D es llamada el tensor anisotropico. Para el caso del proceso de difusion, D

controla tanto la direccion como magnitud de la difusion en un superficie, como se

muestra en la figura 2-2. Con el fin de incorporar informacion extrınseca en el tensor

anisotropico D, se introduce el siguiente operador lineal generico, definido sobre las

bases orto-normales (vm, VM):

Dα =

Ψmα (km, kM) 0

0 ΨMα (kM , km)

(2.5)

18

Figura 2-2: Difusion de calor calculado en un tiempo t = 3 ∗ 10−3. Se muestra el casoisotropico(medio), anisotropico hacia la curvatura mas alta(izquierda) y desviandosede la curvatura mas alta(derecha) Andreux et al. [2014].

Considerando las curvaturas principales km y kM y eligiendo adecuadamente

las funciones Ψmα (km, kM) y ΨM

α (kM , km), es posible dar mayor interes a alguna de las

direcciones con mayor o menor curvatura. Las pruebas realizadas por Andreux et al.

[2014] definen a Ψmα (km, kM) = ψα(kM) y ΨM

α (kM , km) = ψα(km, donde ψα se define

como :

ψα(x) =1

1 + α|x|, (2.6)

donde α > 0 controla directamente la desviacion sobre la isotropıa, dado que

cuando α→ 0, el operador Laplaciano tiende a ser el mismo.

2.1.3. Difusion isotropica de calor

En esta parte se introduce a las bases de la difusion de calor en superficies

Riemannianas. Sea X una superficie de Riemann de dimension 2 posiblemente con

frontera, la propagacion de calor esta definida por la siguiente ecuacion

ft(x, t) = −∇Xf(x, t), (2.7)

que indica el nivel de temperatura de un objeto, la cual es proporcional a la

diferencia entre la temperatura en un punto, y la temperatura a su alrededor. Donde

19

f(x, t) es la temperatura en un punto x en el tiempo t.

Para una distribucion de calor inicial f0(x) = f(x, 0), la solucion a la ecuacion

de calor 2.7 en un tiempo t se obtiene aplicando el heat operator H t = e−tλx a f0,

ft(x, t) = H tf0(x) =

∫X

f0(ξ)ht(x, ξ)∂ξ, (2.8)

donde ht(x, ξ) es llamado heat kernel. En el dominio espectral, el heat kernel

es expresado como

ht(x, ξ) =∑k≥0

e−tλkφk(x)φk(ξ), (2.9)

y apelando a la idea de que se esta procesando senales, e−tλ actua como un

filtro pasa-bajo, donde un t grande corresponde a una difusion mas grande Sun et al.

[2009].

2.1.4. Difusion anisotropica de calor

La ecuacion de difusion 2.7 asume que las propiedades de propagacion de calor

en una superficie son constantes para todos los puntos. Tomando como punto de

partida el operador lineal D, y la ecuacion 2.5, Boscaini et al. [2016b] redefine la

ecuacion de difusion considerando direccionalidad de la siguiente manera:

ft(x, t) = divX(D(x)∇Xf(x, t)), (2.10)

donde D(x) representa el tensor de difusion en el punto x aplicado a la gra-

diente del plano tangente. Ademas este tensor permite modelar el flujo de calor con

respecto una posicion y direccion. La ecuacion de difusion en este caso es llamada

anisotropica.

20

2.1.5. Descriptores anisotropicos

El principal inconveniente de los descriptores espectrales conocidos como el

HKS Sun et al. [2009], SI-HKS Bronstein and Kokkinos [2010] o WKS Aubry et al.

[2011] es que ignoran informacion direccional. Esta informacion, sin embargo, a me-

nudo puede tener informacion relevante sobre la estructura local de la superficie, que

son importantes para la construccion de un descriptor optimo Andreux et al. [2014].

Por otro lado, los descriptores intrınsecos son ambiguos ante simetrıas intrınsecas.

Un nuevo tipo de descriptores basados en la difusion anisotropica es propuesto

por Boscaini et al. [2016b], principalmente utiliza la difusion que es controlada en

cada punto por un angulo θ con respecto a la direccion de la curvatura principal,

derivada del tensor de conductividad termal, de la siguiente manera

Dαθ = RθDα(x)R>θ , (2.11)

donde D(x) es el tensor de difusion anisotropico, tal cual se define en la ecua-

cion 2.5. A partir del tensor de difusion se define el operador

∆αθf(x) = −divX(RθDα(x)R>θ ∇Xf(x)), (2.12)

como el operador Laplace-Beltrami anisotropico, y se denota a {φαθk, λαθk}k ≥

0 como sus eigenfunciones y eigenvalores respectivamente.

HKS Anisotropico

Para comprobar la eficiencia de la difusion anisotropica Boscaini et al. [2016b]

propone, el HKS anisotropico. De forma similar al HKS isotropico, se define el heat

kernel anisotropico esta definido por:

21

hαθt(x, ξ) =∑k≥0

e−tλαθkφαθk(x)φαθk(ξ); (2.13)

Figura 2-3: Ilustracion de la ambiguedad intrınseca a simetrıa. Izquierda: Heat Kernelscalculados para diferentes θ en los puntos blancos. Derecha: valores del HKS(arriba)y el HKS anisotropico(abajo) calculados en dos puntos simetricos, donde se distingueque el HKS anisotropico permite distinguir entre puntos simetricos Boscaini et al.[2016b].

Considerando la definicion anterior, Boscaini et al. [2016b] define el heat kernel

signature anisotropico considerando los valores diagonales hαθt(x, x) del kernel an-

isotropico de la ecuacion 2.13, muestreando t y θ en los valores t1, . . . , tQ y θ1, . . . , θL,

repetitivamente. Y dadas las caracterısticas del operador de Laplace-Beltrami an-

isotropico, el descriptor HKS anisotropico es invariante a simetrıas intrınsecas como

se observa en la figura 2-3.

De esta forma se observa que el descriptor anisotropico propuesto por Boscaini

et al. [2016b] no muestra ambiguedades ante simetrıas intrınsecas bilaterales, dado

que considera la curvatura como una propiedad extrınseca.

22

2.2. Mapas Funcionales

El enfoque funcional del mapeo esta basado en la idea de crear mapeos entre

los conjuntos de datos a mapas de espacios funcionales sobre los conjunto de datos.

Sea T : M → M un mapeo biyectivo entre dos manifolds M y N (ya sea continuo

o discreto). Entonces, T induce una tranformacion natural de cantidades derivadas,

como funciones en M . Para ser mas preciso, si se tiene una funcion escalar f : M →

R entonces obtendremos la funcion correspondiente g : N → R por composicion

Ovsjanikov et al. [2012], en la figura 2-4, se puede apreciar una representacion grafica

de una matriz de mapeo funcional.

2.2.1. Representacion de los mapas funcionales

Para sustituir los mapas funcionales como una generalizacion de los clasicos

mapeos punto-a-punto, se define el mapeo biyectivo T : M → N entre dos Manifolds

(ya sea continuo o discreto). A continuacion, T induce una tranformacion de cantida-

des derivadas, que no son otra cosa que funciones en M . Para ser mas puntuales para

cada funciona escalar f : M → R el objetivo es encontrar su funcion correspondiente

g : N → R por composicion, como en g = f ◦ T−1, donde se denota

Se denota esta transformacion inducida mediante TF : F(M,R) → F(N,R),

donde F(,R) es utilizado para denotar un espacio generico de funciones de valor real.

Ovsjanikov et al. [2012] define TF como la functional representation del mapeo T ,

bajo las siguientes observaciones:

Observacion 1. El mapeo original T puede ser recuperado a partir de TF .

Es ası, que para recuperar la imagen T (a) de un punto a, se construye la funcion

indicadora f : M → R, s.t. f(a) = 1 y f(x) = 0 ∀x 6= a ∈ M . Por construccion,

si g = T (f), entonces g(y) = f ◦ T−1(y) = 0 siempre y cuando T−1(y) 6= a y 1 en

cualquier otro caso.

23

Observacion 2. Para cualquier mapa biyectivo fijo T : M → N , TF es un mapeo

lineal entre espacios funcionales.

Se puede observar que TF (α1f1 + α2f2) = (α1f1 + α2f2) ◦ T−1 = α1a1 ◦ T−1 +

α2a2 ◦ T−1 = α1TF (a1) + α2TF (a2), por lo tanto se puede decir que la informacion

que contiene TF es equivalente a la informacion contenida en T , y que mientras T

representa un complejo mapeo entre de dos superficies, TF actua de forma lineal entre

dos espacios funcionales.

Figura 2-4: Representacion grafica de una matriz de mapeo funcional Ovsjanikov et al.[2012].

Suponiendo que el espacio funcional de M esta equipado con bases ortonor-

males, de tal manera que cualquier funcion f : M → R puede se representada como

una combinacion lineal de las funciones base, f =∑

i aiφi. Entonces

TF (f) = TF (∑i

aiφi) =∑i

aiTF (φi) (2.14)

Por otro lado, N tiene un conjunto de funciones base {φNj }, entonces TF (φMi ) =∑j cijφ

Nj para algun cij y ademas

24

TF (f) =∑i

ai∑j

cijφNj =

∑j

∑i

aicijφNj (2.15)

Por lo tanto, si se representa f como un vector de coeficientes a = (a0, a1, . . . , ai, . . .),

y g = TF (f) como el vector b = (b0, b1, . . . , bi, . . .), entonces la ecuacion 2.15 simple-

mente indica que bj =∑

i aicij, donde cij es independiente y completamente determi-

nado por las funciones base y el mapeo T .

Observacion 3. El mapeo TF puede ser representado en una matriz C, s.t. para

cualquier funcion f representada como como un vector de coeficientes a entonces

TF (a) = C ∗ a.

Como se puede apreciar, la matriz C codifica completamente el mapeo original

T . El punto de vista de Ovsjanikov et al. [2012] mininiza el mapeo T y se enfoca en

la matriz C, y realiza la siguiente definicion:

Definicion 1. Sean {φMi } y {φNj } las bases para F(M,R) y F(N,R), respectivamen-

te. Un mapeo funcional generalizado TF : F(M,R) → F(N,R) con respecto a estas

bases en el operador definido por

TF (∑i

aiφMi ) =

∑j

∑i

aicijφNj , (2.16)

donde cij es posiblemente una matriz infinita de coeficientes reales (sujeta a

las condiciones que garanticen la convergencia de las sumatorias mostradas).

25

Capıtulo 3

Trabajos relacionados

3.1. Mapas funcionales parciales

El metodo se basa en el marco de mapas funcionales de Ovsjanikov et al.

[2012]. La idea principal es identificar las correspondencias entre formas mediante un

operador lineal T : L2(M) → L2(N ), las funciones de mapeo en M a las funciones

en N . Se puede ver facilmente que las correspondencias clasicas de punto a punto

constituyen un caso especial en donde las funciones delta se asignan a las funciones

delta.

Como un operador lineal, T admite una representacion matricial C = (cij)

con coeficientes calculados de la siguiente manera. Sea {φi}i ≥ 1 y {ψj}j ≥ 1 las

bases ortonormales en L2(M) y L2(N ) respectivamente, y sea f ∈ L2(M). Entonces,

la accion de T en f se puede escribir como

Al elegir como bases funcionales {φi}i ≥ 1, {ψj}j ≥ 1 las funciones Laplacianas

propias en las respectivas variedades, se obtiene una representacion especialmente

compacta para el mapa funcional: esta opcion permite truncar el mapeo, despues de

los primeros k terminos como una aproximacion limitada por banda del mapa original,

por la analogıa con el analisis de Fourier, como se observa en la figura 3-1.

26

Figura 3-1: Mapa funcional parcial C, que tiene un estructura diagonal, donde sesupone que existen valores similares Rodola et al. [2017a].

Esto da como resultado una matriz C de k x k que codifica la correspondencia

funcional, donde k suele elegirse como un numero pequeno (de 20 a 100 en la practica).

Si, ademas, el mapa funcional T se construye sobre una near-isometry, se obtiene

Cji = 〈Tφi, ψj〉N ≈ ±δji ya que las formas near-isometry tienen funciones propias

correspondientes (hasta el signo en caso de espectros simples). La matriz C resultante

manifiesta ası una estructura diagonalmente dominante.

27

3.2. Correspondencia parcial totalmente espectral

El principal inconveniente de los mapas funcionales parciales Rodola et al.

[2017a] y los trabajos de seguimiento Litany et al. [2016], Cosmo et al. [2016] es

el modelo explıcito de las partes, que requiere una solucion un tanto engorrosa que

alterna entre la optimizacion en el dominio espacial (sobre la funcion del indicador de

las eigen-funciones) y en el dominio espectral (sobre la matriz de correspondencia).

Ademas, la complejidad de la optimizacion del dominio espacial depende del numero

de vertices de la superficies tridimensional Rodola et al. [2017b]. Una de las principales

contribuciones del presente artıculo es una observacion simple que permite formular el

problema de los mapas funcionales parciales en su totalidad en el dominio espectral.

El metodo propuesto se asemeja a la diagonalizacion aproximada conjunta, pero tiene

una diferencia fundamental que se enfatiza en la secuela.

Localizacion. Una caracterıstica clave de los mapas funcionales parciales re-

side en su comportamiento espacialmente localizado: cualquier solucion es un mapeo

T : L2(M) → L2(N ) que es soportado en alguna region N ′ ⊆ N del modelo com-

pleto, lo que significa que para todo y ∈ N\N ′ la igualdad aproximada (Tf)(y) ≈ 0

se mantiene para cualquier f ∈ L2(M). Esto se puede observar que la figura 3-2, es

ası que A debajo de C debe estar localizada en la region indicada por v para que

el termino de datos ‖CA − B(v)‖ alcance un mınimo; en otras palabras, el mapa

funcional C debe localizar la correspondencia.

Esta propiedad de localizacion tiene el precio de modelar la region N ′ ⊆ N

explıcitamente. En el presente artıculo se propones absorber la mascara espacial en

una nueva base {ψ}j para L2(N ); al hacerlo, disponemos de la parte v explıcita y

obtenemos un problema de optimizacion mas simple, como se explica a continuacion.

Asumiendo que C , v son una solucion para (10), de manera que CA = B(v) se

mantienen aproximadamente, y se considera las dos funciones f ∈ L2(M), g ∈ L2(N )

cuyas representaciones espectrales son columnas de A y B , respectivamente. En el

dominio espacial, la igualdad se convierte en

28

k∑ij

〈f, φi〉Mcjiψj =k∑i=1

〈v.g, ψi〉Nψi ≈ v.g (3.1)

donde la aproximacion se debe al truncamiento a los primeros k terminos. Al

definir una nueva base ψi =∑k

j=1Cjiψj, llegamos a

k∑ij

〈f, ψi〉Mψj ≈ v.g (3.2)

en otras palabras, la base modificada {ψj} induce la localizacion buscada. Es

importante destacar que, para que (3) se mantenga para f y g en general, las nuevas

funciones basicas deben ser localizadas, es decir ψi = v.ψi, para todo i.

Usando el hecho de que C ortogonal implica {ψj} ortogonal, se puede expresar

(3) en el dominio espectral como:

A ≈ CTB(v) = CTB (3.3)

en la ultima igualdad, se absorbe la funcion de indicador v en las nuevas

funciones de base {ψj}.

Problema. A la luz del analisis anterior, se considera el siguiente problema

de optimizacion multiple:

donde S(k, r) es la Stiefel mainfold de la matrices ortogonales k × r (orto-

proyecciones), y Ar = WrA con Wr = (Ir×r0r×k−r) denota la matriz r × k que

contiene la primera r filas de A. El valor de r esta directamente relacionado con el

rango del mapa funcional parcial C en (10) y se puede estimar simplemente a partir

de la relacion de area θ, u optimizarse para hacerlo explıcitamente resolviendo (5)

para un rango de r. El rango r y la ortogonalidad de Q actuan como antecedentes de

parcialidad, ya que estan relacionados con el mapa subyacente que preserva el area

Ovsjanikov et al. [2012] Rodola et al. [2017a].

29

Figura 3-2: Analisis de la optimizacion funcional Litany et al. [2017]

Suponiendo que solo una parte de N ′ de la forma N coincide con la parte

correspondiente M′ ⊂ M. Segun lo observado por Litany et al. [2016], uno todavıa

obtiene una estructura diagonal inclinada de C con un angulo θ = |M||N | , es decir, θ

depende solo de la relacion de area de las formas completas conocidas y no de las partes

desconocidas, |M′|

|N ′| . Por otro lado, si se diera N ′, solo alrededor de |N′|

|M| k de k primeras

eigen-funciones de ∆M corresponderıa a las primeras k eigen-funciones de ∆N . Esto

significa que mientras la matriz C en el problema de correspondencia funcional parcial

(10) tendra la misma estructura diagonal inclinada, independientemente del tamano

de las partesM′ y N ′ correspondientes, la fraccion real de las entradas diferentes de

cero en la diagonal inclinada sera aproximadamente min { |N′|

|M| ,|M′||N | } O, asumiendo

partes aproximadamente isometricas, min { |M′|

|M| ,|N ′||N | }. Ademas, los ındices exactos de

estas funciones correspondientes no pueden predecirse a priori.

Como las primeras funciones propias de ∆M normalmente contienen solo un

30

subconjunto de todas las funciones propias correspondientes, para satisfacer los re-

querimientos tambien se tiene que modificar los coeficientes de A. Esto lleva a que

la optimizacion ahora se realiza en el dominio de Stiefel Manifolds. Como tambien

se muestra en la ecuacion 3.4, es suficiente usar campos descriptores suficientemente

robustos para obtener una buena localizacion en la region correspondiente latente.

mın(P,Q)

off(P>ΛMP) + off(Q>ΛNQ) + µ‖P>A−Q>B‖ (3.4)

Interpretacion geometrica. El proceso de diagonalizacion conjunta conjun-

ta se puede interpretar como una alineacion rıgida de las incrustaciones espectrales

k-dimensionales {φi}ki=1 y {ψi}ki=1 de dos formas, donde las matrices ortogonales P;

Q reflejan las eigen-funciones de manera que Las bases resultantes estan alineadas,

tal y como se puede observar en la figura 3-2.

31

Capıtulo 4

Propuesta: Correspondencia

parcial espectral anisotropica

Tomando como el punto de partida la tecnica correspondencia parcial total-

mente espectral propuesto por Litany et al. [2017], a la que de referira como FSPM

(Fully Spectral Partial Matching) por fines practicos. En esta tecnica donde se formula

la correspondencia parcial entre modelos enteramente en el dominio espectral, y apro-

vechando las caracterısticas del operador de Laplace-Beltrami anisotropico propuesto

por Andreux et al. [2014], las cuales se evidencian en trabajos como los propuestos por

Litman and Bronstein [2014] y Boscaini et al. [2016b]; en este capitulo se desarrolla

el metodo de busqueda parcial de correspondencias entre modelos tridimensionales,

producto de la combinacion de estas tecnicas.

El objetivo de este metodo es encontrar una correspondencia densa entre un

modelo tridimensional y un modelo tridimensional con un numero menor de vertices,

que corresponde a una porcion del modelos principal. La clave esta en utilizar el

operador de Laplace-Beltami anisotropico, es ası que en esta invetigacion se propone

una tecnica de correspondecia parcial totalmente espectral anisotropica, que sera

referida comoA−FSPM (Anisotropic Fully Spectral Partial Matching) por su nombre

en ingles.

32

4.1. Eleccion de las eigen-funciones

Se representa un modelo tridimensional como una superficie de Riemman M,

como un manifold posiblemente con borde ∂M, y de esta manera se considera el

operador de Laplace-Beltrami

∆Mf = div(∇f) (4.1)

Figura 4-1: Difusion de energıa en un punto cercano al borde en diferentes anguloscon un grado de anisotropıa alto

Figura 4-2: Difusion de energıa en un punto cercano al borde en diferentes angulos conun grado de anisotropıa nulo, lo cual esquivale exactamente al operador de Laplace-Beltrami isotropico

33

0

Figura 4-3: Difusion de energıa en un punto con alta curvatura en diferentes anguloscon un grado de anisotropıa

por otro lado, para proposito de esta investigacion, se considera el operador de

Laplace-Betrami anisotropico

∆Mfαθ = div(Dαθ(∇f)) (4.2)

el cual admite la siguiente eigen-desponpocision, y ademas cumple con las

siguientes condiciones de frontera de Neumman al igual que el operador estandar,

pero un punto importante a considerar en el analisis matematico de la propuesta es

el comportamiento del tensor de anisotropıa

∆Mφi(x) x ∈ int(M) (4.3)

〈∆Mφi(x), n(x)〉 = 0 x ∈ ∂M (4.4)

donde el tensor anisotropico es representado por Dαθ = RθDαR>θ , ası mismo, la

eigen-descompocision del operador de Laplace-Beltrami anisotropico brinda un con-

junto de bases orto-normales {φαθk, ψαθk}, que son las que se utilizan el proceso de

34

optimizacion, las que se calculan en funcion a diferentes θ angulos de difusion y α ni-

veles de anisotropıa, que representan la desviacion de la difusion de calor con respecto

a la isotropıa.

4.2. Proceso de optimizacion

En esta etapa se considera un modelo tridimensional completo N y un modelo

de consulta parcialM, que corresponde a una parte isometricamente deformadaM′ ⊂

M. Como se aprecia en la figura 4-4 el modelo tridimensional incompleto es una

isometrıa del modelo completo, y ambos cumplen con las propiedades de frontera de

Neuman.

Considerando que la busqueda de correspondencias se realiza en base al com-

portamiento del operador de Laplace-Beltrami anisotropico, se plantea utilizar multi-

ples optimizaciones funcionales basadas en diferentes configuraciones que varıan en

funcion al angulo de difusion de calor θ y al grado de anisotropıa α.

Dado que la propuesta consiste en una generalizacion de la tecnica FSPM

propuesta por Litany et al. [2017], se replantea la ecuacion de optimizacion 3.4 para

multiples angulos de difusion y niveles de anisotropıa, de la siguiente manera

mın(P,Q)αθ

off(P>ΛMP) + off(Q>ΛNQ) + µ‖P>A−Q>B‖ (4.5)

En la equacion 4.5 se considera el modelo de optimizacion propuesto por Litany

et al. [2017], con una pequena variacion de tal forma que se sea totalmente funcional

con el operador de Laplace-Beltrami anisotropico. Es ası que el papel que desempenan

los angulos de difusion y el grado de anisotropıa es crucial para la optencion de

resultados optimos.

El operador off, representa la sumatoria de todos los elementos de una matriz,

35

exceptuando la diagonal Litany et al. [2017], esto indica que los valores relevantes

se encuentran en la diagonal de la matriz de optmizacion, y que por propiedad del

producto punto de bases orto-normales su valor debe ser muy aproximado a 1,0, esto

indica que dos puntos se corresponden ya sus vectores de descripcion tienen la misma

direccion.

Figura 4-4: Muestra de modelo tridimensional completo (derecha) que es la referenciasobre la se calcula las correspondencias y parcial (izquierda) que es el que sirve deconsulta.

4.3. Calculo de correspondencias

Una vez encontrado las matrices y funciones de correspondencia se procede

a la busqueda de la correspondencia mas optima, ya que se cuenta con multiples

resultados parciales para cada angulo de difusion de calor.

Si se observa las figuras 4-5a, 4-5b, 4-5c y 4-5d, cada una de las matrices

de correspondencia Cαθ brinda informacion variada sobre las correspondencias, esto

debido a la influencia de los angulos y el grado de anisotropıa en difusion de energıa

sobre la superficie parcial.

En este punto, se saca provecho del hecho que el calculo de distancia entre

vectores altamente dimensionales es muy aproximado al calculo de distancia entre

36

las representaciones de las combinaciones lineales de dos vectores sobre una misma

orto-normal, tal y como lo menciona y experimenta Rodola et al. [2017a]. Para ello

daremos uso de las funciones indicadoras A y B optimizadas por sus correspondientes

matrices de mapeo Cαθ, las cuales son obtenidas siguiente forma

A salidaαθ = AC salidaαθ (4.6)

B salidaαθ = BC salidaαθ (4.7)

Una vez obtenidas las funciones indicadoras el proceso final para busqueda de

correspondencias se reduce a un proceso de minimizacion de distancias, entre vectores

indicadores. Para este proceso se considera la correspondencia que genere el menor

error de entre todos los angulos θ de difusion y los niveles de anisotropıa α, como se

observa en la ecuacion 4.8.

Para un punto x en un modelo parcial M y su probable correspondencia y

en un modelo completo N , y considerando que se realizaron optimizaciones para N

configuraciones diferentes, la correspondencia es obtenida de la siguiente manera

corr(x, y) = min(‖A salida0 − B salida0‖l2 , . . . , ‖A salidaN−1 − B salidaN−1‖l2)(4.8)

Cada una de las combinaciones lineales es un vector de baja dimension en el

espacio euclidiano, ya que representa una combinacion lineal del vector que describe

un vertice.

37

(a) Matriz C, obtenida con un angulo de 45 (b) Matriz C, obtenida con un angulo de 90

(c) Matriz C, obtenida con un angulo de 135 (d) Matriz C, obtenida con un angulo de 180

Figura 4-5: Matriz de C, para diferentes angulos de difusion con un mismo modelosparcial, utilizando 60 eigen-funciones.

38

Capıtulo 5

Experimentos

La tecnica propuesta ha sido evaluada considerando multiples ajustes, mis-

mos que son encontrados en el estado del arte de la investigacion. Principalmente se

considero los utilizados por Rodola et al. [2017a], Litany et al. [2017] y Cosmo et al..

5.1. Configuracion del descriptor

Se considero apropiado el uso del descriptor local SHOT propuesto por Tom-

bari et al. [2010], ya que su alta densidad representa robustamente los puntos en

una superficie. Tal y como recomiendan Rodola et al. [2017a] y Litany et al. [2017],

dada la naturaleza del problema se calcula el descriptor utilizando 10 bins, con una

dimension de tamano 252 en total.

5.2. Implementacion

La parte mas importante es la optimizacion de la equacion 4.5, ya que se

realiza sobre un Manifold, para ello se utilizo el framework MADMM propuesto por

Kovnatsky et al. [2016]. Por otro lado el calculo del operador de Laplace-Beltrami se

considero el framework de Reuter et al. [2009] y para el Laplace-Beltrami anisotroopico

39

el framework desarrollado por Andreux et al. [2014].

Para resolver la optimizacion se desarrollo un script en matlab para la mini-

mizacion del error en base a las funciones indicadoras, las cuales previamente pasaron

por un proceso de de optimizacion individual.

5.3. Metodo de evaluacion

El metodo de evaluacion esta basado en el calculo del error geodesico normali-

zado gerr de una correspondencia encontrada y su imagen real en el modelo completo.

Para esto son consideradas dos caracterısticas importantes, por un lado, el

error geodesico que mide la distancia entre dos puntos que pertenecen a una super-

ficie Riemmaniana, y el porcentaje de correspondencias con respecto a una cantidad

variable de error geodesico. Es ası que para medir la calidad de una correspondencia

encontrada, nos basamos en los protocolos propuestos en el Princeton Benchmark

Kim et al. [2011].

Considerando el modelo completo en la pose canonica N y un modelos parcial

M, asumimos que tenemos un par de puntos (x, y) ∈ NxM, donde su corresponden-

cia es (x, y∗). Entonces el error geodesico es calculado por

ε(x) =dM(y, y∗)

area(M)12

(5.1)

5.4. Analisis de resultados

Se realizo una evaluacion cuantitiva sobre el Bechmark SHREC − 2016, uno

de los mas recientes para el estudio de correspondencias parciales entre modelos tri-

dimensionales. El conjunto de datos consiste en un total de 90 modelos completos,

que representan cada uno un problema de correspondencia y 400 modelos parciales

isometricamente correspondientes a 8 clases de modelos completos.

40

Figura 5-1: Modelo base para la consulta.

Inicialmente se realizo algunas pruebas individuales para poder analizar vi-

sualmente el comportamiento de la propuesta, comparada con la propuesta de Litany

et al. [2017]. El uso de colores en las superficies permite apreciar visualmente las

correspondencias, es ası que los colores del modelo completo de la figura 5-1 se ven

reflejados en los modelos parciales y nos indican un grado de exactitud en cada uno

de los metodos.

Como se aprecia en las figuras 5-2 que se obtiene a partir de la tecnica propuesta

por Litany et al. [2017] y 5-3 que es la propuesta de esta invetigacion, la exactitud en

el calculo de correspondencias cercanas a los bordes mejora en precision.

41

Figura 5-2: Resultados obtenidos luego de aplicar el modelo de optimizacion propuestopor Litany et al. [2017].

Figura 5-3: Correspondencias en color con su modelo base de la figura 5-1, aplicandoel FSPM anisotropico.

42

Figura 5-4: Grafica de comparacion del porcentaje de correspondencias con respecto alerror geodesico, entre la tecnica FSPM propuesta por Litany et al. [2017], la propuestaanisotropica A-FSPM de esta investigacion con 4 angulos de difusion.

En las pruebas realizadas con el conjunto de datos SHREC − 2016, se consi-

dero los primeros 90 eigen-vectores para el calculo del operador de Laplace-Beltrami,

ademas de un nivel de anisotropıa α = 300 , y tres configuraciones diferentes pa-

ra los angulos de difusion, mismos que estan ditribuidos de tal forma que en los

tres casos considerados, se aproveche al maximo las propiedades del operador de

Laplace−Beltrami anisotropico.

Si se realiza una observacion general de los graficos de las figuras 5-4, 5-5, 5-6,

se aprecia que mientras el numero de angulos de difusion se incrementa, la precision

para un menor error geodesico de incrementa. Visto esto se considero esta cantidad

de angulos basado en la complejidad que implica un crecimiento acelerado del numero

de angulos, ya que causarıan oclusion en la difusion de calor para un numero elevado

de angulos.

En general la propuesta de esta invetigacion, supera en precision a la propuesta

de Litany et al. [2017] considerando un error geodesico aceptable. Es decir, que a me-

dida que se incrementa el numero de angulos de difusion, la precision en el porcentaje

de correspondencias se incrementa para un menor de error geodesico.

43



44

Capıtulo 6

Conclusiones y trabajos futuros

6.1. Conclusiones

La tecnica propuesta para la busqueda de correspondencias parciales entre

modelos incompletos, considera una funcion de mapeo entre entre superficies, para

optimizar similitud parcial entre los puntos de ambas. Esto debido a que los modelos

3D tienen partes faltantes significativas, .

El conjunto de correspondencias entre cada modelo, se representa mediante

mapas funcionales para diferentes configuraciones del operador de Laplace-Beltrami

anisotropico. Esto permite definir la similitud entre modelos, mediante el proceso de

minimizacion de errores basado en el esquema propuesto por Kovnatsky et al. [2016].

El uso de multiples configuraciones, con respecto al numero del angulos de

difusion y nivel de anisotropıa, hizo notar que aun mayor numero de angulos mejora

considerablemente la precision, pero a su vez, el hecho utilizar un exceso de angulos

de difusion puede devenir en sobre-posicion en las eigen-funciones producto de la

descomposicion del operador de Laplace-Beltrami, con respecto al angulo de difusion.

45

6.2. Trabajos futuros

Como trabajos futuros debemos validar el comportamiento de la tecnica pro-

puesta, con un mayor numero de angulos de y niveles de anisotropıa. Para ello, se

recomienda apoyarse en el uso de la programacion multi-hilo en procesadores draficos,

para obtener resultados optimos en cuestion de optimizacion del tiempo de ejecucion.

Desarrollar una tecnica enfocado en el reconocimiento de pequenos grupos de

correspondencias basado en el analisis de probabilidades, para una mayor precision

en los resultados. Incrementar el numero de muestras del conjunto de datos y probar

su eficiencia en nuevas bases de datos, con un mayor numero de deformaciones, que

representen un mayor reto en el area de procesamiento geometrico.

46

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