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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA-SEDE SUR- CURSO INGRESO UNIVERSITARIO – CIU 2012

Lic Américo Acosta email: akostaa@gmail,com


Lic A Acosta email: akostaa@gmail,com

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¡Bienvenidos a la Universidad Nacional de Salta

Sede Sur Metan y Rosario de la Frontera! En estos tiempos de avances vertiginosos y sin igual en la comunicación, junto con la

diversidad de oportunidades para adquirir conocimiento a nivel planetario, es oportuno

preguntarnos: ¿cuáles son los principios fundamentales que la universidad debe impartir para que

se impregnen en la conciencia de los estudiantes? Y además pedirle a estos que puedan sostener

una actitud progresista y creativa, a lo largo del tiempo, en el individuo.

Para responder a esta pregunta es necesario, en primer lugar, saber que el término

universidad significa trasmitir, a través de la enseñanza, el conocimiento superior. Y éste último

es aquel que día a día amplía y perfecciona el conocimiento anterior con un único fin: el ejercicio

pleno y consciente de la libertad para alcanzar una mejor calidad de vida individual y colectiva.

Pero el conocimiento no es suficiente para el despertar de la conciencia del ser humano:

es necesario hacer renacer otras acciones profundas, innatas en él, como por ejemplo: defender

la justicia social, afianzar la libertad, reclamar el derecho a tener un trabajo digno y sostener su

salud en los planos emocional, mental y físico.

La Matemática aporta un medio para alcanzar un nuevo orden mental capaz de transmutar

esquemas viejos y estáticos en otros renovados, nuevos, dinámicos y progresistas. Para que esto

sea posible es necesario conocer algunas de las herramientas actitudinales esenciales: buscar y

encontrar soluciones a situaciones problemáticas abstractas y concretas y en especial desarrollar

la capacidad de análisis crítico.

En estos apuntes, orientados fundamentalmente al alumno, se presentan la forma de

operar con diversos números, ecuaciones y otras expresiones matemáticas, conducentes en un

futuro, no muy lejano, a alcanzar las metas más altruistas de la universidad: tener plena

consciencia del uso del conocimiento superior.

Es importantísimo reconocer el esfuerzo de la universidad pública argentina ofreciéndote

un medio gratuito para alcanzar la excelencia académica y así llegar a convertirte en un

ciudadano honrado, fiel a tu filosofía de vida y leal con aquellos que te acompañaran en éste tu

camino universitario.

Aprovecha ésta oportunidad, probablemente única, para tomar tu decisión y cambiar ó

afianzar el rumbo de tu vida. Asume la responsabilidad de dicha elección y la universidad te

ofrecerá todos los medios para que alcances tu meta.

Te presento, a continuación, información resumida de algunos roles importantes que la

universidad está desarrollando y una primera actividad.



3



4

ACTIVIDAD

• Señale la opción correcta

¿Qué son los pueblos originarios?

a- Habitantes de cualquier lugar cuyas tradiciones y formas de vivir los lleve a tener un

arraigo particular por el lugar donde viven.

b- pueblos indígenas de un determinado territorio que

mantienen viva su cultura, tradición y cosmogonía.

c- Pueblos que traspasan algún límite territorial con la intención de fijar su residencia en

una nueva ciudad y dar origen así a una nueva comunidad.

¿Qué quiere decir el autor cuándo usa el término “reinvindicaciones”?

A- Reconocimiento de la existencia de estos pueblos para permitir su superación personal.

B- Inclusión de los pueblos originarios al sistema de educación superior.

C- Valoración de la educación media.

D- Extensión de mayor calidad y eficacia de educación superadora de la recibida.

E- Oportunidad de continuar estudios superiores.

• Responda sintéticamente

¿ la Ley de Educación Nacional 26. 206 contempla lo expresado en la Constitución Nacional?¿

En qué sentido?

• ¿Por qué cree usted que el proyecto se planteó los objetivos expresados en el prólogo?

• ¿Qué otro objetivo se podría programar y por qué?



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9

UNIDAD I: NÚMEROS REALES

El Conjunto de los Números Naturales N

Los números que se emplean para contar, es decir 1, 2, 3, 4,…, forman el conjunto de los

Números Naturales (ó enteros positivos). Se lo denota con la letra N

N = { 1, 2, 3, 4,….}

Propiedades de N

a) El conjunto N es infinito

b) Tiene un primer elemento (que es el 1) y no tiene último elemento

c) Todo número natural tiene un sucesor

d) Todo número natural tiene un antecesor, excepto el 1

e) Entre dos números naturales hay una cantidad finita de números naturales. Por esto se dice

que N es discreto

Nota: En N la suma de dos números naturales da como resultado otro natural (se dice que en N

se cumple la Ley de cierre para la suma), pero no ocurre lo mismo para la resta (es decir no vale

la ley de cierre en N). Por ejemplo 3 – 5 no tiene un resultado en N. Así las ecuaciones del tipo

4 + x = 1 no tienen solución en N y de allí la necesidad de crear un nuevo conjunto de números.

Se lo llamará el conjunto de los números enteros

El Conjunto de los Números Enteros Z

Si al conjunto N se le agrega el 0 y los opuestos de los naturales (representados como –n, con n

∈ N) se obtiene un conjunto nuevo llamado los Enteros. Se lo simboliza Z.

Z = { ……-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…..}

Z = N ∪{0} ∪ Z -

Propiedades de Z

a) Z es un conjunto infinito

b) El conjunto Z no tiene ni primero ni último elemento

c) Cualquier número entero tiene un antecesor y un sucesor

d) Entre dos números enteros hay una cantidad finita de números enteros. se dice que Z es

discreto

Nota: Resulta que 2+6=8 y 2-6=-4. Estos dos ejemplos ilustran que la suma y diferencia de dos

números enteros es otro entero y se dice que valen las leyes de cierre para suma y diferencia en

Z. Pero como 2:3 no tiene un resultado en Z , se dice que no vale la ley de cierre para la división

en Z. Por esta razón ecuaciones como 3x = 2 no tienen solución en Z. Esto generó la necesidad

de crear un conjunto nuevo de números, llamado los números racionales.



10

El Conjunto de los Números Racionales Q

Algunos números de este conjunto Q ya los conocemos, los llamados fraccionarios.

Enumeramos algunos de ellos, por ejemplo:

3 5 1 0 3 2..., ,..., ,..., ,..., ,..., ,..., ,...1 2 1 1 2 1

− − −

También sabemos que 6 32 1= y éste último es el que colocaremos en Q. Las fracciones 6 3

2 1y

se dicen equivalentes. Y esta última afirmación la tiene validez porque 6 1 2 3=i i

Nota: Observamos que a la expresión 10

no se le puede asignar ningún resultado

Ahora, formalmente, el conjunto Q está formado por aquellos números que pueden expresarse

como una fracción empleando dos números enteros, de la siguiente forma:

, 0bSi q Q q con b y c Z y cc

∈ = ∈ ≠

Propiedades de Q

a) Q es infinito

b) El conjunto Q no tiene ni primero ni último elemento

c) Entre dos números racionales existen infinitos números racionales, entonces se dice

que Q es denso.

Comparación de fracciones

Sean las fracciones y a cb d

en las cuales los denominadores y b d son positivos.

Entonces para comparar estas se procede de la siguiente manera:

siempre y cuando , con y positivos a c a d c b b db d≤ ≤⋅ ⋅

Ejemplos:

11 8) ¿Es mayor ó menor que ? 7 5

i Escribamos un esquema práctico para recordar que se

debe hacer y a d c b⋅ ⋅ y luego comparar estos resultados. Escribimos:

117

85

vamos a acordar que esto significará hacer 11 5 y 8 7⋅⋅ . Esto dá por resultado

55 56< y entonces es válido escribir 11 87 5< .



11

ii) Comparar 7 12 y 3 5−

−.

Reescribimos el segundo fraccionario en la forma 125− y aplicamos la definición:

7 3−

( ) ( )

12 indicar el producto de los extremos5

7 12

35 36 realizar el producto y comparar

7 12 colocar l3 5

5 3 escribir el producto

−

− −

− > −

↓− −

>

⋅ ⋅

a misma desigualdad en la fracción original

Expresiones decimales

Al buscar el cociente, de por ejemplo 54

, se obtiene 1,25 . Este número tiene solamente dos

cifras , el 2 y el 5, en la parte decimal. Se dice que el número 1,25 es una expresión decimal

exacta

Por otro lado, 10 3,3333....3= . Aquí la cifra 3 de la parte decimal se repite indefinidamente.

Se escribe 10 3,3333.... 3,33 = = y se le llama expresión decimal periódica pura.

Mientras que 20 2,8571428571428571.... 2,85714285717 = = se llama expresión decimal

periódica mixta (pues la parte 8571 inmediatamente después de la coma decimal no se repite

indefinidamente, mientras que la parte 428571 sí).

Importante: El conjunto de los números racionales puede definirse también como el conjunto

de los números decimales periódicos. Se vería representado como:

Así 13

y 0,3 son dos representaciones del mismo número racional.

3 5 1 0 1 20....., ,..., , ..., ,..., ,..., ,..., ,.....1 2 1 1 3 7

....., 3,0 ,..., 2,50 ,..., 1,0 ,..., 0,0 ,..., 0,3 ,..., 2,8571428571 ,......

− − −

↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓

− − −



12

Tansformación de una expresión decimal períódica en una fracción

Regla: Sea x una expresión decimal periódica. Por ejemplo 4,17248=x . Esta se puede

transformar en una fracción conforme los siguientes pasos:

a) En el denominador se colocan tantos nueves como cantidad de cifras tiene el período seguido

de tantos ceros como cantidad de cifras tiene la parte decimal no periódica:

99900

b) El numerador se obtiene haciendo 1 2N N− , donde:

1N es el número formado por las cifras de la parte entera, la parte no periódica y las del

período del número x

2N es otro número, formado por las cifras de la parte entera y la parte no periódica de x

1 2 417248 417 41683199900 99900 99900− −

= = =N Nx

Hacer la división con calculadora y ver que se recupera la expresión decimal periódica

Ejemplos:

Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo

número, por ejemplo 1 2 5 , y 4 8 20

son equivalentes porque todas representan el número 14

ó

bien el 0,25. Para pasar de la primera a la segunda se multiplica numerador y denominador por 2,

ó por el contrario si se quiere reducir la segunda fracción a la primera se divide numerador y

denominador por 2.

Operaciones en Q

El común denominador de dos números a y b es un número que es divisible por a y b.

Además éste es el menor entre otros números que cumplan con la misma condición. Se lo

simboliza como ( , )cd a b .

Ejemplo: (4,6) 12cd = . Observe que justamente el 12 es divisible por 4 y por 6 y no hay otro

número más chico que cumpla esa condición.

354 35 319) 3,54 90 90

32187 32 32155) 0,32187 99900 99900

14125 141 13984) 141,2599 99

i

ii

iii

−= =

−= =

−= =



13

Nota: Si una fracción tiene denominador negativo, la reescribimos llevando el signo menos a

lado de la línea de fracción ó al numerador: Ejemplo: 7 7 73 3 3

−= − =

−

Suma o resta: Para sumar ó restar dos ó más fracciones se emplea el procedimiento del

común denominador.

a) Un entero más ó menos un fraccionario p z q pzq q

±± =

⋅

Ejemplo:

(1,4)

7 3 4 7 12 7 534 4 4 4

cd

− + − +− + = = = −

⋅ .

En este caso (1,4) 4cd =

b) Fracciones con denominadores iguales: se pone el mismo denominador y se suman ó

restan los numeradores.

Ejemplos:

(5,5)

3 4 7)5 5 5

cd

i + =

(7,7)

3 4 3 4 3 4 1)7 7 7 7 7 7

cd

ii − − ++ = + = =

−

c) Fracciones con denominadores distintos

i) Los denominadores son números primos

( , )

cd q s

p r p s r qq s q s

±± =

⋅ ⋅⋅

Ejemplo:

(5, 3, 7)

3 4 1 3 3 7 4 5 7 5 3 63 140 15 625 3 7 5 3 7 105 105

cd

− + − − + −− + − = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

Nota:

Números primos: son aquellos números naturales, n, que solamente

pueden escribirse en la forma 1n n= ⋅ . Los diez primeros primos son

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 27

ii) Los denominadores son números coprimos

Ejemplo:

(4, 7, 9)

2 3 1 2 7 9 3 4 9 1 4 7 126 108 28 46 234 7 9 4 7 9 252 252 126

cd

− + − − + −− + − = = = − = −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

( ) ( )

( )

, ,

,

cd q s cd q sp r

p r q sq s cd q s

±± =

⋅ ⋅



14

Nota:

Números coprimos: dos ó más números son coprimos cuando el único

número que los puede dividir simultáneamente es el uno. Ejemplo: Los

números 4, 7 y 9 son coprimos, ya que el único número que los divide a

los tres es el uno.

iii) Los denominadores no son primos ni coprimos

Ejemplo:

(4, 6)

3 5 3 3 5 2 14 6 12 12

cd

− +− + = =

⋅ ⋅

Forma práctica de obtener ( , )cd a b

Ejemplo. Se muestra una manera de obtener el (4, 6)cd

Colocar los dos primeros números en la forma 46

Simplificar a y b, como en una fracción y colocar al lado la simplificación

Si no se puede simplificar se copian al lado los mismos números

⎫⎪⎬⎪⎭

4

623

Multiplicar los números opuestos diagonalmente y se obtiene (4,6) 12cd = .

En un solo esquema se puede visualizar así

4 (4,6) 6

cd → 2 (4,6) 12 3

cd→ =

Ejemplo. Se ilustra como obtener (5, 8)cd

5 (5,8) 8

cd → 5 (5,8) 40 8

cd→ =

Ejemplos: ( )12

) 12, 4040

i cd → ( )3

12, 40 12010

cd → =

( )

12 40

) Se va a obtener 4, 6, 5, 8 calculando (4, 6) y (5, 8) 4, 6 , 5, 8

(12, 40)=120

(4, 6) (5, 8)

ii cd cd cd

cd cd

cd



15

También se puede calcular el (4, 6,14)cd usando la factorización

( ) 3

4 6 5 82 3 4 21 2 2

4, 6, 5, 8 2 3 5 1201 21 3

1 5

cd

⎫⎪⎪⎪⎪→ = =⎬

⎪⎪⎪⎪⎭

⋅ ⋅

Ejemplo: Hagamos la siguiente suma

Pero si no se tiene calculadora, lo mejor es apelar a la factorización del

( )4, 6, 5, 8cd y de los denominadores

Producto a c a cb d b d

=⋅⋅⋅

Es conveniente simplificar las fracciones y llevarlas a su mínima expresión y recién realizar el

producto. La simplificación se hace entre numerador y denominador

Ejemplo: 2 1

1 1

1 6 5 1 2 1 1 2 1 23 5 7 1 1 7 1 1 7 7

/ /= = =

/ /⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

División La división de fracciones tiene diversas formas equivalentes de escribirse

:a

a c a dbcb d b cd

= = ⋅

1 3 4 1 30 60 96 15 1114 6 5 8 120 120

− − +− − + = = −

2 3

2 3 3

3

1 3 4 1 1 2 3 5 3 2 5 4 2 3 1 3 52 2 3 5 2 2 3 5

30 60 96 152 3 5

111120

− − +− − + =

− − +=

= −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

1

2

2 4 2 5 1 5 5Ejemplo :3 5 3 4 3 2 6

/= = =

/⋅⋅⋅



16

Ejemplo: Recordaremos cómo se resuelve una suma algebraica:

2 3 3 1 3 5 2 3 3 1 3 54 3 4 3 3 4 2 2 2 3 3 4 2 2 2 3

2 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ÷ + − + + − = − ÷ + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= −4

2

2⋅

31 3 54 3 2 3

2 1 5 4 1 3 3 2 3

− +⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + ⋅ + −

2 1 54 33 2 32 21 13

3 646 13

62 3 3 1 3 5 334 33 4 2 2 2 3 6

= + + − −

+= −

−=

⎛ ⎞− ÷ + − + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Nota: Vamos a aceptar que el número 2 , que aproximadamente vale 1,4142, no es un número

racional. Es decir que es un número decimal no periódico y no puede expresarse como una

fracción. Por lo tanto, el conjunto de los números racionales no es cerrado para la radicación.

Además las ecuaciones del tipo x 2 – 2 = 0 no tienen solución en Q. De allí la necesidad de

introducir un nuevo conjunto de números, llamado los irracionales.

El conjunto de los números Irracionales I

Es el conjunto formado por los números que tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Lo

simbolizamos con I.

Ejemplos: 32, , 7, , π π +e e . Sus aproximaciones son:

2 1,414213; 3,14 ; 3 1,7320508 ; 2,71 ; 5,86π π≅ ≅ ≅ ≅ + ≅e e

Propiedades de I

a) I es infinito

b) El conjunto I no tiene ni primero ni último elemento

c) Entre dos números irracionales existen infinitos números irracionales. Entonces se dice que I

es denso.



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El conjunto de los números Reales R

Es el conjunto formado por la unión de los racionales y los irracionales: R = Q ∪ I

Resumiendo:

Representación Gráfica de R

-2 -1 0 1 2 3 1/3 Los números reales se pueden representar sobre una recta, llamada la recta real, de modo que a

todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta le corresponde un

número real.

Orden en R.. Sean a y b ∈ R. a es menor que b si se cumple que b – a es positivo.

a < b es equivalente a decir que b – a > 0

Observemos el orden en la recta real :

-2 -1 0 1 2 3

Si la recorremos es este sentido vale que todo punto que está a la derecha de otro es mayor.

Como por ejemplo

- 2 < -1 , - 1 < 3

Ley de Tricotomía

Para cualquier número real a ∈ R. Es válida solo una de las siguientes situaciones:

Si a ∈ R entonces a es positivo ó cero ó negativo

Recordar

• Reglas de supresión de paréntesis:

) ( ) ) ( )

Ejemplos: ) (2 1 7 ) 2 1 7 ) ( 3 2 2 ) 3 2 2 ) (2 1 7 ) 2

i a b c d a b c dii a b c d a b c d

i x x x x x xii x x x x x x

iii x x x x x

+ − + = + − +− − + = − + −

+ − + = + − ++ − − + = − − +− − + = − 1 7

) ( 3 2 2 ) 3 2 2x

iv x x x x x x+ −

− − − + = + + −

{ }0 N Z Enteros Z Racionales Q Fraccionarios Reales R

Irracionales I

− ⎫∪ ∪ →⎪

∪ → ⎫⎬⎪⎪ ∪ →⎬⎭ ⎪⎭



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• Regla de los signos para el producto y la división:

Operaciones en R

Las operaciones usuales en R son la adición, producto, diferencia y división

Propiedades en R: Sean a, b, c cualesquiera números reales y las operaciones de suma,

producto y cociente en R. Se cumplen las siguientes propiedades

1.- Leyes de Cierre: , y ( con 0)aa b R a b R R bb

+ ∈ ∈ ∈ ≠⋅

2.- Leyes Conmutativas: , a b b a a b b a+ = + =i i

NOTA: Como 2 33 2≠ , con este ejemplo basta para decir que la división no es conmutativa

3.-Leyes Asociativas:

4.- Existencia de elementos neutros, 0 y 1. Estos cumplen a + 0 = 0 + a = a y 1 1a a a= =i i

5.- El opuesto de a es – a y cumple que a + (-a) = (-a) + a = 0

6.- El recíproco de a es 1a

y cumple que 1 1 1, pero con 0a a aa a= = ≠i i

7.- Distributivas

8.- Leyes uniformes

Si se suma b miembro a miembro de a = c se obtiene a+ b = c + b

Si se multiplica por b miembro a miembro de a = c se obtiene a ·b = c·b , con b ≠0

Ejemplo: Veremos, en la siguiente ecuación, cómo se aplican las dos leyes dadas:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

y

y

Cociente+ −

+ ÷ + = = + − ÷ − = = ++ −

+ −+ ÷ − = = − − ÷ + = = −

− +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

Producto y y

+ + = + − − = +− + = − + − = −i ii i

( ) ( ) ( ) ( )) ) i a b c a b c a b c ii a b c a b c a b c+ + = + + = + + = =i i i i i i

( ) ( )( ) ( )

) Ejemplo: 2 3 2 6

) Ejemplo: 2 3 5 10 15

i a b c a b a c x x

ii a b c a c b c x x

+ = + − − = − +

+ = + − + = − +

i i i

i i i

( )

2 2 23 1 3 3 1 3 23 3 32 3 2 3 32 23 2 3 2

x x x

x x

+ = → + − = − → = −

= − → = − →2

23

32

x = 2−( ) 3x→ = −



19

Propiedades

I. , R. Si = 0 entonces =0 ó =0Sean a b a b a b∈ i

Se lee: “Si el producto de dos números reales es cero entonces uno de los dos

números es cero”

Ejemplo: Con esta propiedad se pueden resolver algunas ecuaciones:

( ) ( )2 3 0 2 0 ó 3 0x x x x− + = → − = + =⋅

Así 2 ó 3x x= = −

II. , R. Si = 0 y 0 entonces =0Sean a b a b a b∈ ≠⋅

Se lee: “Si el producto de dos números reales es cero y uno de ellos no es

cero entonces el otro es cero”

Ejemplo: Probemos resolver otra ecuación:

3 3 34 0 02 2 2

x x x⎛ ⎞− = → − = → =⎜ ⎟⎝ ⎠⋅

III. , R con 0. Si = 0 entonces =0aSean a b b ab

∈ ≠

Se lee: “Si una fracción es cero entonces el numerador es cero”

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación 5 03

xx−

=+

5 0 5 0 53

x x xx−

= → − = → =+

Potencia en R

Sea a ∈ R, n entero positivo, definimos n

vecesa a a a a a

n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅…

a n : se denomina potencia

n: se llama exponente

a: se dice la base de la potencia

Recordar 0 0

0 0

0

3 1) 1 pero con 0. Ejemplos: 1 1, 1, 12 2

) 0 0, donde 1, 2,3,.....

) 0 es una expresion indeterminada

n

i a a

ii n

iii

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ≠ = = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =



20

Propiedades de la potencia

1. Producto de potencias de igual base: n m n ma a a +=i . Ejemplo: 23 . 25 = 2 7

2. Cociente de potencias de igual base: :n m n ma a a −= si a ≠ 0.

Ejemplo 49 5 9 5:a a a a−= =

3. Potencia de potencia: ( )mn n ma a= i . Ejemplo: ( ) 3 2 3 2 62 2 2= =i

4. Distributiva de la potencia respecto del producto: ( ) n n na b a b=i i

Ejemplo: ( ) 2 2 22 3 2 3=i i

5. Distributiva de la potencia respecto del cociente: ( ) , con 0: :n n na b a b b= ≠

Ejemplo: 7 7

7

3 35 5

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

6. Exponente negativo: ( ) 1 , donde 0nna a

a− = ≠ . Ejemplo: ( ) 7

7

144

− =

Radicación en R

Raíz cuadrada. Sean a y b dos números positivos. Si se cumple que 2b a= se dice que b

es la raíz cuadrada de a y se escribe b a=

Es decir que

a b= si se cumple que 2b a=

Ejemplos: 2) 9=3 ya que 3 9i = 2) 25 5 pues 5 25ii = =

Nota: Observemos que si llamáramos 1 a− = debería cumplirse que 2 1a = − y esto es

imposible en R. Por lo tanto

La 1− no tiene resultado en R

Y tampoco existen en R : 44, 2, 9

− − − y muchas más expresiones de este tipo

Raíz enésima. La raíz enésima de un número real a es otro número b cuya potencia

enésima es a

si se cumple que con nn a b b a n N= = ∈

a: se denomina radicando

n: se denomina índice del radical



21

Ejemplos:

( )

4 4

3 3

5 5

) 16 2 2 16

) 64 4 4 64

) 32 2 2 32

i pues se cumple que

ii pues se cumple que

iii pues

= =

= =

− = − − =

Nota: Observar que 4 16− no tiene resultado en R. Lo mismo sucede si se quiere calcular 4 6 41, 3, 81− − −

Los casos que no tienen resultado en R son de la forma

par negativo

Resumiendo y simbolizando:

i) Si a > 0 ∧ n es par ⇒ > 0n a (resultado positivo). Ejemplo : 4 16 2=

ii) Si a < 0 ∧ n es par ⇒ n a → (no existe solución real) Ejemplo: 4 R− ∉

iii) Si a > 0 ∧ n es impar ⇒ 0n a > (resultado positivo) Ejemplo: 3 8 2=

iv) Si a < 0 ∧ n es impar ⇒ 0n a < (resultado negativo) Ejemplo: 5 32 2− = −

La radicación puede expresarse como potencia de exponente fraccionario

1

n na a=

Propiedades de la radicación

1. Raíz de un producto es igual al producto de sus raíces: n n na b a b=i i

2. Raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces: n

nn

a ab b

=

3. Raíz de raíz es igual a la raíz del número cuyo índice es el producto de los índices

dados:

m n n ma a= i ó

1 1 1 1 1

mn n m n ma a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= =i

i

4. ( ) ( )11

ó mm mn nm m n nna a a a a= = =

i



22

Ejemplos:

11 15 5 53 15 3 3 35) 7 7 ó 7 = 7 =7i

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )515 3 335 5 5 33) 4 4 ó 4 4 = 4 ii = =

Operaciones con radicales

1. Extracción de factores fuera del radical: Para extraer un factor fuera del radical se divide

el exponente del factor por el índice, el resultado es el exponente del factor fuera del radical

y el resto de la división es el exponente del factor que queda dentro del radical.

Ejemplo: 3 10 9 3 3 3 p q q p p=i i i

5 516 3 3 3 a b a a b=i i i

Nota: Si se quiere introducir un factor dentro del radical se realiza el proceso inverso: se

multiplica el exponente del factor por el índice, el resultado es el exponente del factor dentro

del radical

2. Racionalización de Denominadores: Sea una fracción cuyo denominador es un radical.

Racionalizar dicho denominador es transformar la fracción dada en otra equivalente a la

primera, en cuyo denominador no figuren radicales.

1º Caso: Cuando figura un solo radical en el denominador, se multiplica y divide por una raíz

con el mismo índice, y el exponente del radicando es la diferencia entre el índice y el

exponente del radical original.

Ejemplo:

( )2 2 2 2 22 2 2 2

x x x x= = =

i i i

i

Ejemplo: 8 8 8 83 3 3 3

8 8 8 8 85 5 3 5 3 8

x x m x m x m x mmm m m m m m

= = = =i i i i

i i

2º Caso: Cuando se tiene suma ó resta con radicales en el denominador de la fracción, se

multiplica y divide por el conjugado(cambia un signo) del denominador.

Ejemplos: i)( )

( ) ( )( )

( )( )

2 22

5. 3 5. 3 5. 35

33 3 . 3 3

a a a

aa a a a

+ + += = =

−− − + −

ii)( )

( )( ) ( ) ( )2 2

3 6 23 3 6 3 2 3 6 3 2 3 36 2

6 2 4 46 2 6 2 6 2 6 2

+ + += = = = +

−− − + −



23

Notación Científica

En los cursos de física (ó química) se encuentran, frecuentemente, números muy grandes ó muy

pequeños, por ejemplo: el número de Avogadro es 602 000 000 000 000 000 000 000

moléculas/mol, la carga eléctrica de un electrón es: 0.000 000 000 000 000 000 16 C. Como se

vé, es muy difícil escribirlos, leerlos y más aún, operar con ellos. Para salvar esta dificultad se

acostumbra emplear la notación científica, que es una nueva forma de representar estos números

y cuyas ventajas fundamentales son las siguientes:

• Se puede reconocer inmediatamente la cantidad de cifras involucradas

• Se puede operar matemáticamente, de manera amena, gracias a las propiedades de la

potenciación en R

Observemos que sucede si a un número se lo multiplica por potencias de diez:

1

2

3

0,34721546 10 3, 4721546 ) al multiplicar por 10 el valor del número es mayor0,34721546 10 34,721546

) indica la por las cuales el 0,34721546 10 347, 21546

ni

ii n cantidad de cifras

⎫=⎪⎪= →⎬⎪= ⎪⎭

i

i

i número nuevo es mayor

Mientras que si un número es dividido por potencias de diez, ocurre lo siguiente:

1

2

3

17, 20346 0,72034610 ) al dividir por 10 el valor del número es menor

17, 20346 0,0720346 10 ) indica la por las cuales el 17, 20346 0,00720346 númer10

ni

ii n cantidad de cifras

⎫= ⎪⎪⎪= →⎬⎪⎪

= ⎪⎭

i

i

i

o nuevo es menor

Ahora bien, se tiene la siguiente afirmación

Un número no se modifica si se lo multiplica y divide por las mismas potencias de diez

Ejemplos: 22

2 1) 437,12546 10 437 12 ,546 10 437, 12 54610

i i i i→ ←

−= =

333

1) 50376, 223 10 50, 376 223 10 50 376 , 22310

ii i i i +

← →= =



24

Multiplicar y dividir por potencias de 10

Es conveniente memorizar el siguiente esquema

2

, exp .

347, 21546 347 21 ,546 10

Si el número se agranda se debe colocaronente negativo Así el número sigue

siendo el mismo

i→

−=

3

, exp .

50376,223 50, 376 223 10

Si el número se achica se debe colocaronente positivo Así el número sigue

siendo el mismo

i +

←=

Además para números m y n se cumplen:

) 10 10 10m n m ni +=⋅ 10) 1010

m

nm nii −= ( ) ) 10 10 nm m niii = ⋅

La notación científica de un número real x es de la forma

10nx a= ± ⋅

donde:

Ejemplos: Se ilustran algunos números reales en notación científica

3 6 3 4) 3,56082 10 ) 3 10 ) 5,830 10 ) 1 10i ii iii iv− −− −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Ejemplos: Las siguientes expresiones no corresponden a la notación científica

3 7 2 33) 356,082 10 ) 2 10 ) 58,30 10 ) 104

i ii iii iv− −− −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Transformación de un número decimal a notación científica

Se utiliza el procedimiento de multiplicar y dividir por potencias de 10

Ejemplos. Se ilustra la manera de expresar un número decimal en notación científica

4

3 3

4

) 3560,82 3, 560 82 10 , es decir 3,56082 10

) 0,0002754 0 0002 ,754 10 , es decir 2,754 10

i x x

ii y y

i i

i i

+

←

→

− −

= = =

= = =

) es un número real expresado con parte entera y parte decimal Además debe cumplir que 1 10 ii) es un número entero

i aa a

n≤ <



25

Transformación de números de “ casi” notación científica a notación científica

Se quiere expresar en notación científica el número 73560,82 10x −= i

Conviene en este caso

i) Pasar 3560,82 a notación científica. Éste queda expresado como 33,56082 10i

ii) Reemplazar la expresión anterior en el número dado

73

43,56082 10 10

3,56082 10

x

x

−

−

=

=

i i

i

Se quiere llevar a notación científica el número 50,0356082 10y = − i

Conviene en este caso

i) Pasar 0,0356082− a notación científica. Éste queda expresado como 23,56082 10−− i

ii) Reemplazar la expresión anterior en el número dado

2 5

3

3,56082 10 10

3,56082 10

y

y

−= −

= −

i i

i

Prefijos asociados a las potencias de 10



26

Ejemplo: Observemos cómo se utilizan los prefijos conforme cada unidad de medida

( ) ( )339 3 2 6 3) 1 metro = 10 ) 1 litro=10 ) 1 metro = 10 10i Nano m ii mili lt iii hecto m m− − =

Actividad: Verificar que la notación científica del número de la magnitud dada es correcta

Comparar números en notación científica

Sean 10 10n nx a e y b= =i i donde a y b puede ser positivos ó negativos. Entonces se dice que

siempre y cuando x y a b≤ ≤



27

Ejemplo:

2

2

0,03564397 e 0,03564748

0,03564397 3,564397 10

0,03564748 3,564748 10Como 3,564397 3,564748 entonces 0,03564397 0,03564748

x y

x

y

−

−

= =

= =

= =< <

i

i

Operaciones con números expresados en notación científica

Suma

Los exponentes son iguales ( )10 10 10n n na b a b± ± = ± ±i i i

( )3 3 3 3 4Ejemplo: 2,5 10 3 10 2,5 3 10 0,5 10 5 10− − − − −− + = − + = =i i i i i

Los exponentes son distintos

( ) 10 10 10 , donde y son las nuevas expresiones de y

pero con exponente

n m pa b a b a b a b

p

± ± = ± ±i i i

Ejemplo:

( )

2 4 4 4

4

4 2

4,714 10 212,310 471, 4 10 212,310

471, 4 212,3 10

259,110 2,59110

− − − −

−

− −

− + = − +

= − +

= − = −

i i i i

i

i i

Ejemplo:

( )

2 1 2 2 2

2

2

2 310,310 5, 47 10 200 10 310,3 10 54,7 10

200 310,3 54,7 10

164,7 10 1,647

− − − − −

−

−

− + + = − + +

= − + +

= =

i i i i i

i

i

Producto ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 10n m n ma b a b +± ± = ± ±i i i ii

División ( )( )

10 10 , con 0 10

nn m

m

a a bbb

−± ±

= ≠±±

ii

i

Ejemplo: Se muestran las operaciones de multiplicación y división

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

3 43 ( 4) ( 5) 3

5 3

3 ( 4) ( 5) 3

1

5 10 1,5 10 5 1,510

2,7 3, 22,7 10 3, 2 10

5 1,5 10

2,7 3, 2

0,8680 10

−+ − − − −

−

+ − − − −

− − − −=

−−

− −=

−

=

i i i ii

ii i i

ii

i

i1 8,680 10−= i



28

Potenciación: La potenciación es consecuencia del producto

( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 10p pp p n pn na a a± = ± = ± ii ii

Ejemplo:

( ) ( ) ( )2 223 3 6 1 6 54,089 10 4,089 10 16,710 10 1,6710 10 10 1,6710 10− − − − −− = − = = =i i i i ii

Radicación Para calcular la raíz enésima se procede de la siguiente manera

( )1

10 10 10 . Queda excluido el caso mn m m n parn n na a a negativo± = ± = ±i ii

Ejemplos:

( )1

2

3 3 1 12 2

3 3) 0, 25 10 0, 25 10

0,5 10 0,5 10 se suma y resta 1 para obtener un exponente entero

i+ −

− −

− −=

= =

i

i i

i

4 10,5 2 22 2

2

0,5 10 0,5 10 10 0,5 3,16 10

1,58 10

− + − −

−

= = =

=

i i i i i

i

( )1

33 3

1

2

3 3 ) 0, 25 10 0, 25 10

0,63 10

6,3 10

ii−

−

− −=

=

=

i

i

i

i

( )1

55 53 3

3 3 2 25 5

) 0, 25 10 0, 25 10

0,76 10 0,76 10 se suma y resta 2 para obtener un exponente

iii

− −

− −

+ −

=

= =

i

i i

i

0,4 1 1

1

5 25 5

entero

0,76 10 0,76 10 10 0,76 2,5110

1,9110

− −

−

− += = =

=

i i i i i

i

Transformación de unidades

Ejemplo: Se va a expresar 21,568 10 m−i en i) km ii) cm

2 2 3 5

2 2 2 0) 1,568 10 1,568 10 10 1,568 10

) 1,568 10 1,568 10 10 1,568 10

i m km km

ii m cm cm

− − − −

− −

= =

= =

i i i i

i i i i



29

UNIDAD II: ECUACIÓN LINEAL Y ECUACIÓN CUADRÁTICA

Ecuación lineal Se introducirán algunas definiciones.

En matemática el término igualdad tiene un sentido que no coincide con el del cotidiano.

Básicamente una igualdad, en matemática, se construye a partir del signo igual y a cada lado del

mismo se colocan expresiones que contienen letras, números y las operaciones matemáticas

básicas entre ellos.

Ejemplo: 2

miembro derechomiembro izquierdo

IGUALDAD

expresion 2expresion 15 2 2x x x+ − = − .

Observamos que, si asignamos a equis el valor uno, es decir 1x = , y se lo reemplaza en

cada expresión se obtiene 4 1= − . Entonces se dice que la igualdad es falsa. En cambio, si

equis toma el valor cero, 0x = , y se remplaza en la igualdad se obtiene 2 2− = − . En este

caso se dice que la igualdad es verdadera.

Ejemplo: 1 11 , 0x xx x

++ = ≠ . La letra equis puede tomar cualquier valor, salvo el cero

En este último ejemplo notamos que, resolviendo el primer miembro con común

denominador se llega al segundo miembro. Entonces, cualquier valor que tome la variable

x y se reemplace, la igualdad será siempre verdadera. Cuando esto acaece, se dice que la

igualdad es una identidad

Resumiendo:

Y cuando equis comienza a tomar valores tenemos el siguiente cuadro:

1 2 EXPRESION EXPRESIONUna Igualdad en x es =

'

'

TOM A UN VALOR

SE REEM PLAZA EN CADA EXPRESI O N

SI SE OBTUVO UNA

IGUALDAD NUM E RICAVERDADERA

LA IGUALDAD PUEDE SER

x

x

↓

↓

Ó SI SE OBTUVOUNA IDENTIDAD

ÓFALSA

⎧ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩



30

Una ecuación es una igualdad en la cual se busca el ó los valores de equis tal que al

realizar el reemplazo en las expresiones de la misma se puede decir que ésta es verdadera.

A cada uno de dichos valores de equis, que hace verdadera la igualdad, se le llama solución de

la ecuación y se los colocan en un conjunto, llamado Conjunto Solución. Este se simboliza

como Cs .

Nota: Si para cualquier valor de equis se obtiene que la igualdad es siempre falsa (ó lo que es

lo mismo si no existe ningún valor de equis que haga la igualdad verdadera) entonces se dice

que el Cs es vacío. Esto se escribe Cs =∅

La actitud de buscar y encontrar, ó no, las soluciones de una ecuación se dice, en matemática,

resolver la ecuación.

Ejemplos: Se ilustran distintas ecuaciones, cada una con su variable y el conjunto

solución respectivo.

i) 1 2x x− = , variable x. { }1Cs = − .

Como se indica que { }1Cs = − , esto significa que

1 1 2( 1) 2 2 esto es justamente Verdadero− − = − → − = − ←

SE DICE QUE LA ECUACIÓN 1 2x x− = TIENE SOLUCION UNICA

ii) 1 11 yy y

++ = , variable y . =Cs R

El =Cs R significa que con cualquier valor de y se obtiene una identidad. Esto es así ya

que

1 1 1 1 1 1 11 y y y y y IDENTIDADy y y y y y

+ + ⋅ + + ++ = → = → = ←

SE DICE QUE LA ECUACIÓN 1 1

1y

y y+

+ = TIENE INFINITAS SOLUCIONES

iii) 1 11 1 zz z

++ + = , variable 0≠z . Cs = ∅

Cs =∅ , significa que, con cualquier valor de z , siempre se consigue falso. En efecto

1 1 11 1 1z zz z z

+ ++ + = → +

1 zz+

= 1 0 Falso→ = ←

SE DICE QUE LA ECUACIÓN 1 1

1 1z

z z+

+ + = ← NO TIENE SOLUCION



31

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución

Ejemplo: 2 x+1=3 e y+1=2 tienen en común { }1Cs = . En efecto, reemplazando el

valor 1 para la variable en cada ecuación se obtiene una igualdad numérica.

Ecuación lineal

Es de la forma 0a x b⋅ + = donde a y b son números reales prefijados y además a es no nulo

(a, b ∈ R y a ≠ 0). Aquí la variable es x.

Ejemplos: En las siguientes ecuaciones lineales se indica, en particular, la variable.

i) 1 13 2 2

− + = −x . La variable es x

ii) 3 2 14

− =y , e y es la variable

iii) 2 1 0− =u con variable u

Cómo obtener el conjunto solución

Para hallar la solución de una ecuación recordamos las siguientes propiedades (basadas en las

propiedades ya dadas de la suma y producto en R).

Propiedad 1: Si a ambos miembros de una ecuación se suma ó resta un mismo número ó una

misma expresión se obtiene una ecuación equivalente a la primera

Propiedad 2: Si a ambos miembros de una ecuación se multiplica o divide por mismo número ó

una misma expresión, que no sea cero ni nula respectivamente, se obtiene una ecuación

equivalente a la primera.

Teorema: La ecuación lineal en x

0, , y 0a x b a b R a⋅ + = ∈ ≠ ,

tiene solución única.

Demostración: A partir de la ecuación lineal en equis aplicamos las propiedades en R de la suma

y producto. La expresión miembro a miembro se abrevia con las siglas m.a.m.

0 0 restar . . .

0 propiedad del opuesto , , y del 0 propiedad del

⋅ + =⋅ + − = −⋅ + = − −⋅ = −

a x ba x b b b b m a ma x b ba x b 0

dividir . . . por , que es distinto de cero

cancelar(simplificar) y propiedad de mover el sig

⋅ −=

= −

a x b m a m aa a

bx aa

no en las fracciones



32

Con esto se ha probado la existencia de una solución. Vamos a aceptar que ésta es la única.

Entonces se puede escribir que el conjunto solución es bCsa

⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭

Ejemplo: Se ilustra a continuación la resolución de una ecuación empleando propiedades

y el procedimiento conocido como pasajes de términos.

3 2 6 3 2 63 2 2 6 2 3 6 2

CON PROPIEDADES PASAJES DE TERMINOSx x x xx x x x− = + − = +− + = + + − + = +

3 8 2 883 8 2

2 8 422

x x x

x x x x x

x xx

= + ⋅ =

− + = − + + =

= =

=8 42

x→ =

Ecuaciones equivalentes a la ecuación lineal en x

Las ecuaciones dadas a continuación van a ser resueltas en la variable x

I. + = +ax b cx d

Ejemplo:

{ }2 7 9 2 9 7 2 22 2 2 2 2 2

+ = + → = + − → = +

= + → − = → = → =

x x x x x xx x x x x Cs

II. ( )( ) ( )( )+ + = + +x a x b x c x d

Ejemplo:

( )( ) ( )( )2 2

2

1 2 3 4

3 2 7 12

+ + = − −

+ + = − −

x x x x

x x x x

x 23 2+ + =x x

{ }

7 123 7 12 210 10 1 1

− ++ = −

= → = → =

xx xx x Cs

III. 0, donde equis no puede tomar los valores y ( , )+ = − − ≠ ≠+ +m n a b x a x b

x a x b

Ejemplo:

( ) ( )( )( )

{ }

2 3 0, 1, 21 2

2 2 3 10 2 4 3 3 0

1 2

7 0 7 7

−+ = ≠ − ≠

+ −− − + +

= → − + + + =+ −

+ = → = − → = −

x xx x

x xx x

x x

x x Cs



33

IV. 0, , , , + + = ≠ − ≠ − ≠ −+ + +m n p x a x b x c

x a x b x c

Ejemplo:

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

( ) ( ) ( )2 2 2

2

3 2 1 01 2 3

3 2 3 2 1 3 1 20

1 2 3

3 5 6 2 2 3 2 0

3

− − =+ − −− − − + − − + −

=+ − −

− + − − − − − − =

x x xx x x x x x

x x x

x x x x x x

x 215 18 2− + −x x 24 6+ + −x x 2 015 4 18 6 2 0

26 13 1310 26 010 5 5

+ + =− + + + + + =

⎧ ⎫− + = → = − → = − → = −⎨ ⎬⎩ ⎭

xx x x

x x x Cs

V. , , + += ≠ − ≠ −

+ +ax b ex f d hx xcx d gx h c g

Ejemplo:

( )( )( ) ( )( )

2

3 4 1 7 3, con , 6 7 2 3 6 2

3 4 2 3 1 6 7

6

+ += ≠ − ≠ −

+ +

+ + = + +

x x x xx x

x x x x

x 217 12 6+ + =x x 13 717 13 7 12

5 54 54 4

+ +− = −

⎧ ⎫= − → = − → = −⎨ ⎬⎩ ⎭

xx x

x x Cs

Aplicaciones: Hay muchos problemas que pueden resolverse mediante una ecuación lineal en

una variable ( en matemática, física, química, biología, etc ).

Ejemplos:

1) El triplo de un número aumentado en 5 es igual al número disminuido en 3. ¿Cuál es el

número?.

Al nº que no se le conoce se lo llama x

Al triplo del nº se lo llama 3 x

El triplo del nº aumentado en 5 3 x + 5

El nº disminuido en 3 x – 3

Con todo esto se plantea la ecuación: 3 x + 5 = x – 3

Se resuelve. 3 x + 5 – 5 – x = x – 3 – x – 5

{ }2 8 4 4x x Cs= − → = − → = −

Rta: el número es - 4



34

2) Un poste tiene pintado de negro 2/5 de su longitud ( dada en metros), 34 de lo que

queda de azul y el resto que es de 0,45 pintado de blanco. ¿Cuál es la longitud del poste?

Llamamos x = altura del poste

Parte pintada de negro: 2/5 x

Parte restante. x – 2/5 x

Los 34 de la parte restante: 3

4 ( x – 2/5 x) es azul

Si se suma parte negra + blanca + azul se obtiene la longitud del poste, entonces se

tiene la siguiente ecuación:

2 3 2 0.455 4 52 3 3 0, 455 4 108 15 6 20 0, 45

20

3 20 450, 45 0, 4520 3

x x x x

x x x

x x x x

x x

⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

+ − − = −

+ − −= −

− = − → = =i

15

1005

20i

1

31 3=

Rta: el poste mide 3 metros

3) Un químico tiene 10 Oz (onzas) de una solución que contiene un 30% de

concentración de cierto producto químico. ¿Cuántas onzas del producto químico puro

deben agregarse para aumentar la concentración al 50 %?

Sea

x = nº de onzas de producto químico que se agrega

x +10: cantidad total de la nueva solución

Planteamos:

30 50 5 110 (10 ) 3 (10 ) 3 5

100 100 10 21 15 3 2 42 2

x x x x x x

x x x x

+ = + → + = + → + = +

− = − → = → =

i

Rta: Deben agregarse 4 Oz del producto químico



35

Ecuación cuadrática Sea x una variable real. Se llama ecuación cuadrática en x , ó ecuación de 2º grado en x, a la

ecuación de la forma:

a x 2 + b x + c = 0 con a, b, c ∈ R y a ≠ 0 .

Cada término tiene su denominación:

a x 2 es el término cuadrático y a es el coeficiente del término cuadrático

b x es el término lineal y b es el coeficiente del término lineal

c es el término independiente

Según los valores de a, b, c las ecuaciones cuadráticas se clasifican como:

• Completas: b y c no son nulos

Ejemplo: - x 2 + 2 x + π = 0

• Incompletas:

2

2

2

y son ambos nulos. Ejemplo 5 02 = 0. Ejemplo = 0 3

= 0. Ejemplo 2 1 0

b c x

c x x

b x

⎧ =⎪⎪ +⎨⎪⎪ − =⎩

⋅

⋅

Afirmaremos que, en R, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones ó ninguna solución. A las

soluciones se las denota como 1 2 y x x

{ }1 2 El conjunto solución de una ecuación cudrática es : ó , Cs Csx x= =∅

Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas:

1) a⋅ x 2 = 0 → x 2 = 0 → x 2 = 0 → x = 0 ⇒ Se dice raíz doble igual a 0

Ejemplo: - 3 ⋅ x 2 = 0 → x 2 = 0 → x = 0 → x 1 = x 2 = 0 → Cs ={ 0 }

2) a⋅ x 2 + b⋅ x = 0 → x ( a ⋅ x + b ) = 0 ⇒ 1

2

0ó

0

x

ba x b x a

⎧ =⎪⎪⎨⎪

+ = → = −⎪⎩ ⋅

Entonces Cs={ 0, -b/a }

Ejemplo: 4 x 2 + 2 x = 0 → x ( 4 x + 2 ) = 1

24

2

0ó

4 2 0 2

x

x x

⎧ =⎪⎪⎨⎪

+ = → = − = −⎪⎩

Así Cs = { 0, -2 }



36

3) a x 2 + c = 0 ⇒ a x 2 = - c ⇒ x 2 = - c/a ⇒ x = ca

± −

Se tienen dos casos a discernir es esta situación:

• Si los signo de a y c son iguales entonces Cs = ∅ .

Ejemplo:

4x 2 + 16 = 0 ⇒ 4 x 2 = - 16 ⇒ x 2 =- 16/4 ⇒ x = 4± −

Pero como 4− no tiene resultado en R resulta que Cs = ∅ .

• Si los signo de a y c son distintos entonces existen dos raíces reales y distintas.

Ejemplo:

4 x 2- 16 = 0 ⇒ 4 x 2 = 16 ⇒ x 2 = 16/4 ⇒ x = 4± ⇒ x 1 = 2 ó x 2 = - 2

Por lo tanto Cs ={2, -2}

Resolución de la ecuación cuadrática completa: 2 0, 0ax bx c a+ + = ≠

Presentaremos la fórmula para hallar las raíces, ya conocida por algunos de ustedes

Fórmula para resolver la ecuación cuadrática

La expresión b 2- 4 a c se llama Discriminante y lo denotamos con ∆. Es decir 2 4b a c∆ = − i i

Procedimiento para hallar las raíces 1, 2x

• Identificar , , a b c

• Calcular 2 4b ac∆ = −

• Reemplazar los números de los dos pasos anteriores en la fórmula

1, 2 2

bxa

− ± ∆=

• Construir el conjunto solución { }1 2, =Cs x x

Ejemplo: Resolver x 2 + 2 x - 3 = 0 aplicando el procedimiento para hallar las raíces

• 1, 2, 3a b c= = = −

• ( )2 24 2 4 1 3 4 12 16b ac∆ = − = − − = + =⋅ ⋅

2

1, 2 4

2 b b ac

ax − ± −

=



37

• Reemplazar los números en la fórmula

• Construir Cs. { }1, 3= −Cs

Ejemplo: Determinar las raíces de x 2 - 2 x +1 = 0.

• 1, 2, 1a b c= = − =

• ( ) ( )22 4 2 4 1 1 4 4 0b ac∆ = − = − − = − =⋅ ⋅


• Construir Cs. { }1Cs =

Ejemplo: Calcular las raíces de 21 5 02

x x+ + =

Para hacer menos cuentas, vamos a obtener una ecuación equivalente a la dada. Para ello

multiplicamos m.a.m. por 2 y luego se opera algebraicamente:

2

2

12 5 2 02

2 10 0

x x

x x

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + =

⋅⋅

Y las raíces de ésta última serán también las de la ecuación original

• 1, 2, 10a b c= = =

• ( )2 24 2 4 1 10 4 40 36b ac∆ = − = − = − = −⋅ ⋅


Pero 36− no tiene resultado en R.

• Construir Cs. =∅Cs

( ) 1, 2 1 2

2 0 2 12 2 1 2

bx x xa

− − ±− ± ∆= = = → = =

⋅

1, 2 2 36 2 2 1

bxa

− ± ∆ − ± −= =

i i

1

2

1, 2

2 4 12

2 16 2 42 2 1 2

2 4 32

x

bxa

x

− += =

− ± ∆ − ± − ±= = =

− −= = −

⋅



38

Entonces el signo de ∆ condiciona el tipo de raíces . Ahora completamos el procedimiento

con el signo de ∆ .

• Identificar , , a b c

• Calcular 2 4b ac∆ = − .

* Sí 0∆ < → =∅Cs

* Si 0 ó > 0 continua el procedimiento∆ = ∆ →


1, 2 2

bxa

− ± ∆=

• Construir el conjunto solución { }1 2, Cs x x=

Relación entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática

Con operaciones elementales entre las raíces 1 2, x x se obtienen dos propiedades muy útiles.

Sabemos que

1 2 +

y 2 2

b bx x

a a− ∆ − − ∆

= =

1º ) Si sumamos ambas raíces:

1 22

2 2 2 2

b b b b b bx x

a a a a a− + ∆ − − ∆ − + ∆ − − ∆ −

+ = + = = = −

Se obtiene que 1 2 bx x

a+ = −

2º ) Si multiplicamos ambas raíces:

( ) ( )22 2 2

1 2 2 2

4

2 2 4 4

b b b a cb b cx x

a a aa a

− ∆ − −− + ∆ − − ∆= = = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i i

Se llega a que 1 2 c

x xa

=i

Expresión de la ecuación cuadrática en función de sus raíces

Dada la ecuación a x 2 + b x + c = 0 y sus dos raíces 1 2 y x x , se tiene la siguiente identidad

( )( )21 2ax bx c a x x x x+ + = − −



39

La expresión del segundo miembro se llama la Ecuación cuadrática factorizada. Esta

identidad se demostrará cuando se avance con el tema de polinomios.

Ecuaciones Bicuadradas: Se llama ecuación bicuadrada a toda ecuación de cuarto grado de la

siguiente forma 4 2 0A x B x C+ + =i i

Resolución

Proponer el cambio z = x 2

Reemplazar en la bi cuadrática y se obtiene A z 2 + B z +C = 0

Calcular 2 4B A C∆ = − i i

Obtener los valores z1 y z2

Obtener las raíces usando x z= ±

Construir Cs Cs

Si ya se obtuvieron los valores z1 y z2 veamos cómo se obtienen las raíces de la ecuación

original en la variable x

Ya que z = x 2 entonces vale que

{{

2 1 1 1 2 1

22 3 2 4 2

y

y

x z x z x z

x z x z x z

= → = = −

= → = = −

Y así se obtienen las 4 raíces de la ecuación

NOTA: Si z1 ó z2 llegase a ser negativo, ó ambos, entonces quedarían dos ó ninguna raíz real.

Ejemplo

( )

{{

{ }

4 2

2

2

2 1,2

1 2

2 1 1 2

2 2 3 4

5 4 0

5 4 0

5 4 1 4 25 16 9 0 son reales y distintas

1, 4

1 y 11, 1, 2, 2

4 y 4

x x

z x

z z

z

z z

x z x xCs

x z x x

− + =

=

− + =

∆ = − − = − = > →

= =

⎫= → = = − ⎪→ = − −⎬= → = = − ⎪⎭

i i



40

UNIDAD III: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Definiciones Básicas

Expresión literal: Es la reunión de letras y números reales combinados entre sí y sometidos a

operaciones matemáticas

Expresión algebraica: es toda expresión literal en la que aparece una combinación finita de las

siguientes operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y

radicación.

Ejemplos:

2

3 3 25

) 2 ) ) 2 )2

x xy u vzi x y ii iii a ab b iv zy xy z u

− −− − + +

+

Expresión algebraica entera: es toda expresión algebraica en la que las operaciones

matemáticas de que se compone son : suma, resta, multiplicación y potenciación con exponente

natural.

Ejemplos: 2 2 3 3 3 2) 2 ) ) 2 ) 2 1i x y ii z zy y iii a ab b iv x x x− − + − + + π − +

Expresión algebraica fraccionaria ó fracción algebraica: es una fracción cuyo numerador

y denominador son expresiones algebraicas enteras, siendo el denominador no nulo.

El numerador y denominador de una fracción algebraica se llaman dividendo y divisor.

Ejemplos:

2 22) con 0 ; ) con 2; ) , 2

2 2x x xy u z zi x ii y iii con u z

x y u z− − −

≠ ≠ − + ≠ −π ≠+ + π −

Términos: Un término, en una expresión algebraicas entera, es cada una de las partes que

contiene productos de letras y números.

Ejemplos:

i)2 2z z y y− +⋅

término término

término

ii) 3 1x x y y y x⎛ ⎞⎜ ⎟− − +⎜ ⎟⎝ ⎠⋅ ⋅ ⋅

términotérmino término

término

término



41

Observamos que cada término tiene factores, del ejemplo anterior se tienen:

i)2z z y y

↓↓↓

− +⋅término

término términodos factoresun solo factor un solo factor

ii)

3

3

d o s f a c t o r e s u n s o l o f a c t o r

xd o s f a c t o r e sx y y

x x y y

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

↓

↑ ↑

⋅ −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ ⋅

t é r m i n o t é r m i n o

t é r m i n o

Monomio es un término en el cual cada factor no contiene ni sumas ni restas. Solo tiene

productos de letras y números

Un binomio es la suma ó resta de dos monomios.

Si se suman o restan tres monomios, dicha expresión se llama trinomio

Ejemplo:

2 32 x y y y x m o n o m i om o n o m i o m o n o m i o

b i n o m i ot r i n o m i o

− +⋅ ⋅ ⋅

Se llama cuatrinomio a una expresión que es la suma o resta de cuatro monomios.

Coeficiente y grado de un monomio. Semejanza de monomios

El grupo de factores que acompaña a la(s) variable(s) del monomio se llama coeficiente del

monomio y el número que resulta de la suma de los exponentes de la(s) variable(s) se denomina

grado del monomio.

Ejemplos:

i) Para el monomio 2 32 3y x⋅ ⋅ ⋅ en la variable x se indican el coeficiente y el grado

26

322 3

c o e f i c i e n t e y

g r a d o t r e sy x

=

→

↓

⋅ ⋅ ⋅

ii) Si se considera al anterior como monomio en la variable y se tienen:



42

3

23

6

2 3

c o e f i c i e n t e x

g r a d o d o sx y

=

→

↓

⋅ ⋅ ⋅

iii) En el caso que 2 32 3y x⋅ ⋅ ⋅ sea monomio en las variables x e y, el coeficiente y el

grado se indican en el siguiente esquema

2 3

6

2 3 5

2 3c o e f i c i e n t e

g r a d o c i n c o

y x=

+ = →

⋅ ⋅ ⋅

Si dos monomios tienen las mismas variables con los mismos exponentes, estos se dicen

semejantes .

Ejemplo: Se colocan tres monomios en forma horizontal y vertical en una cuadrícula. Se

completan los cuadros con las palabras semejantes, no semejantes.

3 2x y− ⋅ 3 2 34 y x⋅ ⋅ 2 3x y−

3 2x y− ⋅ semejantes semejantes no semejantes

3 2 34 y x⋅ ⋅ semejantes semejantes no semejantes

2 3x y− no semejantes no semejantes semejantes

En una de las diagonales se lee semejante y esto significa que cada polinomio es

semejante

a si mismo. Mientras que 2 3x y− y 3 2x y− ⋅ no son semejantes y se coloca la expresión

no semejante.

Un polinomio es la suma ó resta de monomios. Entonces los polinomios pueden ser monomios,

binomios, trinomios, cuatrinomios y con cinco monomios ó más se les llama justamente

polinomios.

Un polinomio se denota con letras mayúsculas, paréntesis y la variable del mismo:

Ejemplos: 2 5 2 2) ( ) 2 1 ) ( ) 3 2 ) ( , )i P x x x ii Q y y y iii Z x y x xy= − + = + − = +

Lista de algunos polinomios en la variable x

0 polinomio nulo, no tiene grado1, polinomios de grado cero. es cualquier número real

, 1 polinomios de grado unoK K

x x

→→+ →



43

2 2 2

3 3 2 3 2 3 2

, , 1 polinomios de grado dos

, , , 1 polinomios de grado tres

x x x x x

x x x x x x x x x

+ + + →

+ + + + + + →

El mayor de los grados de los monomios en un polinomio se llama grado del polinomio.

Ejemplo:

i) 3 2

g

3 5

g r a d o d o sg r a d o t r e sg r a d o c e r o

r a d o d e l p o l i n o m i o t r e s

y y=

− + ⋅

ii ) 2 3

g r a d o c i n c og r a d o d o s g r a d o u n o

g r a d o d e l p o l i n o m i o = c i n c o

2 x y y y x− +⋅ ⋅ ⋅

Si ocurre que todos los términos de un polinomio tienen el mismo grado, entonces el mismo se

dice homogéneo.

Ejemplos: 2) ( , ) 2 es homogéneo de grado dos i P x y x xy= −

5 2) ( ) 3 no es homogéneoii Q y y y= +

) ( ) 2 es homogéneo de grado cero) ( , ) 3 2 es homogéneo de grado uno

iii Z xiv R x z z x

== − +

Vamos a mostrar en que consiste ordenar y completar un polinomio.

Ejemplo: Se va a ordenar y completar el polinomio 5( ) 2 5 1D x x x= − +

2 5

5 2

( ) 2 5 1( ) 5 2 1 se reubican los términos de mayor a menor grado.

Se dice que el polinomi

D x x xD x x x

= − +

= − + + ←

5 4 3 2

o está ( ) 5 0 0 2 0 1 se van agregando términos de coeficiente cero y

respetando el orden. Decimos q

ordenado en xD x x x x x x= − + + + + + ←

ue el polinomio se ha completado en x

La expresión 11 21 2 1 0

n n nn n n x xxa x a a a a− −

− − ⋅ + + ⋅ +⋅⋅ + +

con coeficientes 1 2 1 0, , , , , n n na a a a a− − , con 0na ≠ , se llama polinomio en x de grado

n N∈

Igualdad de polinomios

Los polinomios ( ) y ( )P x Q x de grado n se dicen iguales si los coeficientes de los términos

semejantes de ( ) y ( )P x Q x son iguales



44

Ejemplo: Determinar el valor de y α β de modo que el polinomio

2 1( ) 23

P x x xα= + − sea igual a 2( ) 2 2Q x x xβ= + +

Entonces, vamos proceder a:

Ordenar los polinomios 2

2

1( ) 23

( ) 2 2

P x x x

Q x x x

α

β

⎧ = − +⎪⎨⎪ = + +⎩

Escribir la igualdad 2 21 2 2 23

x x x xα β− + = + +

Aplicar la definición

11 123 6

2 2

α

β β

=⎧⎪⎪− = → =−⎨⎪

=⎪⎩

Rpta: Los polinomios son iguales cuando 11 y 6

α β= = −

Valor numérico de un polinomio

Si en ( ) 1 32

P x x= − + la variable toma el valor -2 (x = -2) y se lo reemplaza en la expresión

de P, se obtiene ( )1 2 3 42

− − + = . A este resultado se lo escribe ( )2 4P − = y se dice

el valor numérico de ( ) 4P x = en x = - 2 es 4

En el siguiente esquema se ilustra lo enunciado anteriormente:

( )

( ) ( )

( ) " -2 4"

1 321 2 2 32

2 4 Se lee Valor numérico de P en es

P x x

P

P

= − +

− = − − +

− =

Suma de polinomios

Consideremos los siguientes polinomios en x con coeficiente reales, ordenados y completos

2

2 13 2 1

3 2 1

0

0

( )

( )

P x a x a x a

Q x b x b x b x b

= + +

= + + +

Se llama suma de ( ) y ( )P x Q x a otro polinomio donde sus términos resultan ser la suma de los

términos semejantes de ( ) y ( )P x Q x .



45

Se sugiere armar el siguiente esquema encolumnando los términos semejantes y realizando las

sumas indicadas entre coeficiente

( ) ( ) ( )

3 22 13 0

22 1 0

3 22 2 1 13 0 0

( )

( )

( )

P x b x b x b x a

Q x a x a x b

S x b x a b x a b x a b

→

+ ↓ ↓ ↓ ↓

→

← + + + + + +

Ejemplo: Se muestra como obtener la suma de los polinomio 31( ) 3

2P x x x= + y

( ) ( )

3 2

4 3 2

4 3 2

1 ( ) 3 0 0

2

1 ( ) 2 2 2

21 1

( ) (3 2 ) 2 22 2

P x x x x

Q x x x x x

S x x x x x

→

+ ↓ ↓ ↓ ↓

→ − −

← + + − + + + + −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Aquí el polinomio resultante tiene grado cuatro. Escribimos entonces el resultado

4 3 2( ) 2 2S x x x x x= + + + −

Para obtener el opuesto de ( )P x , que se simboliza como ( )P x− , se procede como se muestra

en el siguiente ejemplo 2 4

2 4

( ) 2 2 ( ) 2 2 es el opuesto de ( )

P x x xP x x x P x

= − +

− = − + − ←

Resta de polinomios:

Para obtener la resta ó diferencia entre ( ) y Q( )P x x hay que hacer una suma como se indica

abajo

( )( ) ( ) ( ) ( )P x Q x P x Q x− = + −

Ejemplo: Obtener ( ) ( )P x Q x− si 3( ) 312

P x x x= + y 2 3 41+

2( ) 2 2 2 Q x x x x x= − − +

La resta ( )( ) ( ) ( ) ( )P x Q x P x Q x− = + − se obtiene a partir del esquema propuesto

2 3 41+

2( ) 2 2 2 Q x x x x x= − − +



46

2

4 2

4

3

3

1 ( ) 3 0 02

1 ( ) 2 2 22

( ) (3

P x x x x

Q x x x x x

R x x

→

+ ↓ ↓ ↓ ↓

− → − + − −

← − + + ( ) ( )23 1 12) 0 2 0 22 2

x x x⎛ ⎞+ − + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Aquí el grado del polinomio resultante es cuatro. Se puede escribir entonces

4 3 2( ) 5 2 2R x x x x += − + −

Producto de polinomios

Sea 11 21 2 1 0( ) n n n

n n n x xxP x a x a a a a− −− − ⋅ + + ⋅ +⋅= ⋅ + +

Se muestra la forma de operar en productos elementales entre polinomios: 11

1 1 0( ) n nn n K Kx xK P x K a x K a a a−

− + ⋅ +⋅⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

1

2

1

11 1 0

1 1 0

( )

n n

n nn n

n n

x x x x

x x

x x x x

x x

P x a a a aa a a a

−

+−

−

+ ⋅ +

= + ⋅ +

⋅

⋅

⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ + + ⋅

211 1 0( ) n n

n n x xx x xK P x K a K a K a K a+− + ⋅ +⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 1 2 1 2

3

1 1 02 1 2

1 1 0

( ) n nn nn n

n n

x x x

x x

x P x x a x a x a x a

x xa a a a

−−

+ +−

+ ⋅ +⋅

= + ⋅ +

⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

⋅⋅ + + ⋅

( )2 2 estas cuentas ya se saben hacer( ) ( ) ( )x b x x x b x xa P a x P P+ ⋅ + ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ←

Ejemplo: Sean ( ) 7 21 1

4 2 zP z z= − − y 2K = . El producto ( )zK P⋅ será

( ) ( )

( )

7 2

7 2

1 1 2 ( 1) 2 4 2

1 2 12

2 2

2

z z z

z z z

P

P

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − −

⋅ ⋅

⋅

⋅ ⋅

⋅

⋅

Ejemplo: Sean ( ) 22M x x= − ⋅ y ( ) 3 22 13 2

2xP x x= − −+

( ) ( ) 2 3 22 13 2

2 2 M x P x x x x −⎛ ⎞= − ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ −



47

( ) ( ) ( )2

2 3 2 2

3 2 5 4

12

2 13 2

22 2 2 23

42 2 2 2 13

( ) ( ) ( )

grado dos

grado cincogrado tres

M x P x x x x x

x x x x x

−

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ − − −

⋅

Es decir ( ) ( )M x P x⋅ tiene grado cinco

Ejemplo: Se ilustra el producto de un polinomio de grado dos por otro de grado uno y el

grado resultante del nuevo polinomio

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

3 2 2

2 3 2

2 4 5 3 2 2 3 2 4 3 2 5 3 2

2 3 2 2 4 4 2

4 12 8 15 10

2 4 5 3 2 16 23 10

3 15 106

6grado tresgrado unogrado dos

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x x x

x

− + − − − − + −

= −

− − + + −

− + − = − + −

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + −

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

Productos especiales

Diferencia de cuadrados: Si se desarrolla el producto ( ) ( )a b a b+ −⋅ se arriba a una identidad.

Esto se muestra a continuación

( )( ) ( ) ( )

( )( )

2 2

2 2

diferencia de cuadradosproducto de la

suma y diferenciade las bases a y b

a b a b a a b b a b

a ab ba b

a b a b a b

+ − = − + −

= − + −

+ − = −

“La diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma y diferencia de las bases”

Ejemplo : Usando diferencia de cuadrados construir una identidad para la siguiente

expresión ( )( )1 2 2 1x y x y− + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Esta última se puede reacomodar de la siguiente forma



48

( )( ) ( )( )

( )( )

Por propiedad conmutativa

Reconocimiento como tipo

( 1)(

1 2 2 1 2 1 2 1

1 2 2 1 2 1 2 1

a a

x y x y x y x y

x y x y x y x ya a

− +

− + + = − +

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− + + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )( )( )( ) ( )

2

2

1)

Aplicacion de la identidad

1 2 2 1 1

1 2 2 1 2 1

ax y x y

x y x y x y

− + + = −

− + + = −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Luego la identidad buscada es ( )( ) 2 21 2 2 1 4 1x y x y x y− + + = −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Ejemplo: Se va a obtener una identidad para la expresión 2 24 3x y− planteando diferencia

de cuadrados.

( )( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

4 4 2

3 3 3

Como resulta

4 3 2 3 2 3

a x a x x

b y b y y

a b a b a b

x y x y x y

= → = =

= → = =

− = + −

− = + ⋅ −

Cuadrado de un binomio, cubo de un binomio

Aplicando producto de polinomios se pueden obtener las siguientes identidades.

Cuadrado de un binomio( )( )

2 2 2

2 2 2

2

2

a b a a b b

a b a a b b

⎧ + = + ⋅ ⋅ +⎪⎨

− = − ⋅ ⋅ +⎪⎩

Cubo de un binomio( )( )

3 3 2 2 3

2 3 2 2 3

3 3

3 3

a b a a b a b b

a b a a b a b b

⎧ + = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⎪⎨

− = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −⎪⎩

Ejemplos: Construir una identidad usando cuadrado de un binomio, para cada uno de los

siguientes casos : ( )2) 1i x + ( )2) 1ii x −

Para el caso i)

( )2 1 ¿ ?x + =

Construimos cada término del trinomio 2 22a a b b+ ⋅ ⋅ + de la siguiente manera

2 2

2 2

2 =2

1 1

a x a x

ab x

b b

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

= → =

= → =



49

Reemplazando en la identidad cuadrado de un binomio, se tiene

( )( )

2 2 2

2 2

1 2 1 1

1 2 1

x x x

x x x

+ = + +

+ = + +

⋅ ⋅

En la caso ii) se trabaja en forma similar y se reemplaza en la identidad

( )2 2 22a b a a b b− = − ⋅ ⋅ + ,

obteniéndose ( )2 21 2 1x x x− = − +

Ejemplo: Se ilustra otras posibilidades de suma ó resta de cuadrados de binomios

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2

22 2 2 2

) 1 1 1 2

) 1 1 1 2 1 2 1

i x x x x

ii x x x x x x

− + = − = − +

− − = − + = − + + = + +

Ejemplos: Construir una identidad usando cubo de un binomio, para los siguientes casos :

( )3) 1i x + ( )3) 2ii x −

Para el caso i)

( )3 1 ¿ ?x + =

Construimos cada término del cuatrinomio 3 2 2 33 3a a b a b b+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + de la siguiente

manera

2 2

2

3 3

3 3

3 3 1

3 3 1

1 1

a b x

ab x

a x a x

b b

⎧⎪⎪⎪ ⎧⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= → =

= → =

Reemplazando en la identidad cubo de un binomio, se tiene

( )3 3 21 3 3 1x x x x+ = + + +

Para el caso ii) se tiene

2 2 2

2 2

3 3

3 3

3 =3 2 6

3 = 3 2 12

8

2 2

a b x x

ab x x

a x a x

b b

⎧⎪⎪⎪ ⎧⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪⎩⎪⎪⎪ =⎪⎩

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

= → =

= → =

Que luego de reemplazar resulta ( )3 3 22 6 12 8x x x x− = − + −



50

El siguiente ordenamiento le ayudará a memorizar las identidades que se dieron hasta ahora.

( )( )( )

3 3 2 2 3

2 2 2

1 1 1

3 3

2

a b a a b ab b

a b a ab b

a b a b

± = ± ±

± = ±

± = ±

Otra forma de multiplicar polinomios

Se colocan los polinomios como si se fuera a realizar el producto de dos números. Luego se

procede a multiplicar cada términos de uno con cada término del otro y esos resultados se ubican

de manera que queden en columnas los términos semejantes para poder sumarlos.

Ejemplo:

Grado de la suma de polinomios

Se define el grado de la suma de dos polinomios como

0 ó

( ) ( ) ó( )

grado P Q es grado Pgrado Q

=⎧⎪+ ≤⎨⎪≤⎩

Se excluye de esta definición el en caso en que P y Q sean opuestos. Además, P y Q no pueden

ser, ambos, el polinomio nulo.

Ejemplos: Se ejemplifica, a continuación, el hecho que el grado de la suma de polinomios

puede ser cero ó menor ó igual al grado de alguno de los sumandos

( )

4 4

4 4

) Con ( ) y ( ) 2 se tiene

( ) ( ) = ( 2) (2) 0

i P x Q x x

grado P x Q x grado x x grado

= − +

+ − + = =

( )

3 2 3 2) Para ( ) y ( ) 2 se tiene ( ) ( ) = (2 ) 1ii P x x x Q x x x x

grado P x Q x grado x= − = − + +

+ =

2 2 3

3 2 2

3 2 2 3

2 2

1 92 2

5 12 2

2 51 2

2 5

b a b b

a a b a b b

a a b b

a b

a

a a b a b

− − −

− +

−

− +

− +



51

Grado del producto de polinomios

Se toma como definición del grado del producto de polinomios a la siguiente:

( )( ) ( ) , con 0, 0grado P Q grado P grado Q P Q= ≠ ≠⋅ ⋅

Ejemplos: Se ilustra el uso de la definición, sin apelar al desarrollo del producto de los

polinomios.

( ) ( )

2 3Con ( ) y ( ) 2 se tiene( ) ( ) = ( ( )) ( ) 2 3 6

P x x Q x xgrado P x Q x grado P x Q xgrado

= = +

= =⋅ ⋅ ⋅

Propiedad

Si el grado(P) > grado(Q) entonces grado(P+Q ) = grado(P)

Ejemplos: Se sabe que ( ) 3, ( ) 4, ( ) ( ) 6grado P grado Q grado R grado S= = = = . R y S no

son polinomios opuestos. Entonces

i) grado(P+Q)=4 ii) 0 ó

( ) 6

grado S R es=⎧

+ ⎨≤⎩

iii) grado(Q+P+R)=6 iv) ( ) ( ) ( ) 12grado P Q grado P grado Q= =⋅ ⋅

iv) ( ) ( ) ( ) ( ) 72grado P Q R grado P grado Q grado R= =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

v) ( ) 12grado P Q R =⋅ +

Ejemplo: Se va a determinar el grado(P) sabiendo que ( ) 15 y ( ) 3Q Qgrado P grado= =⋅ .

Llamamos x= grado(P).

Entonces como ( ) ( ) ( ) se llega a la ecuación 3 15 Q Qgrado P grado P grado x= =⋅ ⋅ ⋅ y

resolviéndola se obtiene x = 3. Es decir grado(P) = 3

Bibliografía

[1] Curso de Nivelación de Matemática. Domingo A Tarzia.Ed Mac Graw Hill

[2] Cartillas CILEU. UNSa. Florencia Alurralde. 2009

[3] Cartillas CIU. UNSa. Carolina Collivadino. 2011

[4] Cartillas CIU. UNSa. Beatriz Copa. 2011

[5] Cartillas CILEU. UNSa. Carlos Berejnoi. 2006

[6] Cuaderno Seminario Universitario. Universidad Tecnológica Nacional de Córdoba. 1995

[7] La formación del Espíritu Científico. Gastón Bachelard. Siglo XX1. 1974

[8] Cartillas Matemática Cursos de Ingreso Varios. UNSa. Américo Acosta



52

TRABAJO PRÁCTICO Nº1

Operaciones en R y problemas 1) Suprima paréntesis, corchetes y llaves y resuelva:

( ){ }( ) ( ){ }

( ) ( ){ }( )( ){ }( )( ){ }

⎡ ⎤− + − + − − +⎣ ⎦⎡ ⎤− + − + − − − − +⎣ ⎦

⎡ ⎤− − − − − + − − + − +⎣ ⎦⎡ ⎤− − − − − − + − +⎣ ⎦⎡ ⎤− − − − − + + − −⎣ ⎦

) 3 1 4 3 7 3 ;

) 2 7 1 3 1 6 5 3 ;

) 8 3 2 2 3 1 5 ;

) 4 8 1 2 3 2;

) 2 1 0 1 6 8 1;

i

i i

i i i

iv

v

2) Resuelva la siguientes sumas

( )( )( ) ( )( )( )

( ){ } ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( )( )

− − − − − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + − + − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− − − − + −− + −− −

− + − − − − − −+ +− − − + + − − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ÷ − + ÷ − − − − ÷ ÷ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡− − − − + + ÷ + − − + − −

) 4 6 4 7 4 8 8 3 8 9 8 4 ;

) 1 6 3 5 2 9 1 2 ;

7 3 1 6 2 4 3 2 8 1 2 5) ;2 8 6 4

1 6 3 1 2 9 8 1 7 6 2 2 1 7 6) ;8 1 3 2 1 6 8 7 1 4 1 1 1 0

) 4 5 5 3 8 5 1 5 3 4 5 ;

) 4 1 2 7 5 8 1 2 1 1 1 0 2

i

ii

iii

iv

v

v i { } ( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

⎤ ÷ −⎣ ⎦

− ÷ − ÷ − − ÷ − ÷ − ×+ − +

− ÷ − ÷ ÷ − × ÷

1 1 ;

9 0 6 4 8 6 2 0 0 8 2 4 4 6) ;

1 2 4 1 0 0 2 5 3 6 0 7 2 3 2 2 6 4v ii

3) Reduzca los siguientes números racionales a común denominador:

3 7 1 2, , ,

4 6 2 3i) ; 1 1 3 9

, ,5 8 2 0

ii) ;−−

, , ,) ;4 5 7 49 2 4 3 6 4 5

iii

4) Simplifique las siguientes fracciones

) 1 2i2 0

) − 2 4i i1 2 8

) − 5 4i6 6

5) Ordene en forma creciente o decreciente los siguientes números racionales:

) , , ,− −2 5 1 4i3 2 7 5

) , , ,− − −1 1 3 8ii3 3 8 7

6)Obtener el resultado de cada una de las siguientes sumas

( )

−

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⎟ ⎟⎜ ⎜− + + − − − − − + − +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜− − − − ÷⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛⎟⎜ ⎜− ÷ −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ ⎝

8

81 8 1 7 1 7 5 1 7 7 3) ; ) 0 ;3 7 1 4 2 1 6 2 0 1 8 3 6 9 0

3 1 2 1 0 2 6) ; ) ;5 2 9 7 5 1 0

4 4)5 5

i i i

i i i iv

v− −⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜÷⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7 1 17 7; ) ;3 3

v i



53

( )

2

22 2

3 2 2

1 6 9 4 9 8 1 1 4 4 1) ; ) ; ) ;2 5 4 44 0 0 1 0 0

31 6 1 12) ; )8 2 2 1 29 3 6 3 6

8

÷

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎟⎜ + ÷ ÷ − − ÷ − − −⎜⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎣ ⎦⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎜⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

v ii v iii ix

x i x ii

7) Resuelva

1 6 2 5i

8 1 8 1) ;− ( )

222 3 1ii 2 81 49

5 5 4− − ÷ − ÷

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠)

8) Resuelva 4

10 30 45i

0 2 10 1 68

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−

,

,) ,

,

1 1 11 0 7 5 2 1 2 5 3 2 5iii

1 1 11 1 10 4 0 1 0 1 52 5 4

+ +− − −

+ +− − −

, , ,)

, , ,

9) Convierta las siguientes expresiones decimales periódicas en fracciones:

) 0,5 ;i ) 0,39 ;ii ) 0, 483iii

) 0,10iv ) 0,001v ) 0,090 vi

( ) ( )3 23

4 01 0 99 0 25ii

0 312 0 2 5 0 20 3

+

− ⋅ ⋅

⋅, , ,)

, , ,,

( )

1

4

2

1 1 12 3 3v i 71 1 14 6 4

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

)

( ))2 3 4 2

45 1 1 1 1vii 1 16 2 2 4 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − − ÷ − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

)

1 11

1 1

1 1

2 3 19183 4

iii4 5

− −−

− −

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠×

)

225 7

23 1

1 14 22 8

viii1 13 16

−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

21

23

1 42

iv1 13

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

)

2

4

111 2v

111 2

−

−

−−

−−

)

1 1iv1 1 1 0 60 2 0 2 5

12 20 5 34

++⋅ − +

+

),, ,

,



54

10)Transforme en fracciones las expresiones decimales y realice las siguientes operaciones

0,3)0,3

i 0,1 3, 7)11

iii −

0,5 0,3)0,5

iv −

221 0,15) 2

3

v

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎟ ⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜

( )

120,5 0,3 1, 46)

2, 4 0,3iv

−⎛ ⎞⎡ ⎤+ ⋅ ⎟⎜ ⎢ ⎥ ⎟⎜ ⎣ ⎦ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

0, 0220 0,37) 1, 60,587

vii − ⋅ ( ) ( ) 1) 0,37 0,1 3,1 2,13

viii ⎡ ⎤− − + ÷⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2) 0, 2 0, 04 0, 6 0,3ix − − + + ⋅ 3 0, 027 0,3 0, 009)

0, 05 3,9x − +

11) Ordene, de menor a mayor, los siguientes números racionales; use el concepto de fracción

equivalente:

1 3 1 5 7 3 5 4 2 7 3 4 5; 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;2 4 3 2 10 8 4 5 3 5 11 3 7

− − − −

12) Encuentre el número intruso entre los siguientes números reales:

) ,i 38 9 10−⋅ ii 2) 14, 7 10−⋅ i i i 2) 0 , 0 0 1 4 1 0⋅

iv 2) 124,1 10−⋅ v 3) 0,0001 10⋅ vi 4) 384,517 10−⋅

vii) 0,1 viii 1) 9 10−⋅

13)Una con una flecha los números iguales:

3

5

2

2

0, 050, 5 10500 100, 05 105050000, 5 100, 05 10

−

⋅⋅⋅

⋅⋅

3

2

2

55 0 1 00, 0 0 55 0 05 0 0 0 1 05 0 1 00, 55 0

−

−

⋅

⋅⋅

14) i- Cada letra utilizada (A, P, R, S) representa a un dígito entre 0 y 9. Halle los valores de cada letra

de manera que se obtenga la siguiente suma:

R A SP A R

A S S A+

ii- Cada letra utilizada (A, B) representa a un dígito entre 0 y 9. Halle los valores de cada letra, de

manera que se obtenga la siguiente suma:

AB BA 99+ =

15) En un club de 2200 socios, 25

de los socios practican natación, 14

practica tenis y 31 0

practica

rugby.

) 0,1 0,9ii +



55

i) ¿Qué parte del total de socios no practica deporte?

ii) ¿Qué porcentaje del total de socios practica algún deporte?

iii) ¿Cuál es el deporte que agrupa mas socios?

iv) ¿Cuántos socios practican natación y tenis?

16) Se elige un número de dos cifras AB con A≠B. Se invierten sus cifras BA. Se resta el menor del

mayor y se suman las cifras del resultado. Demuestre que siempre se obtiene el mismo resultado final.

¿Cuál es?

17) ¿Los números capicúas de cuatro cifras son divisibles por 11?

18) Complete los cuadrados con los cinco dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 de manera que no se repitan en ninguna

de las franjas horizontales, verticales y oblícuas.

i)

4

1 .. ..

. . .. 5 .. ..

.. .. . .

3

ii)

..

3 .. 2.. .. 4 .. 5

.. .. ..

..

19) Demuestre que el producto de un número de una cifra “a” por otro número formado por n cifras “b”

tiene el mismo resultado que el producto de un número formado por una cifra “b” por otro número

formado por n cifras “a”, es decir que:

a x bbb…b = b x aaa…a.

20) Utilizando la definición de la división (D = d i c + r), complete el siguiente cuadro:

21) Halle dos números de tres dígitos cuyo producto sea 55555

D d c r…… 423 178 206661 54 ….. 191457 …. 32 173291 62 53 …..



56

TRABAJO PRACTICO Nº2

Ecuación lineal 1) Resuelva las siguientes ecuaciones lineales de primer grado

i) 2 x 1 x 2− = + ii) 4u 2 u 17+ = +

( ) ( )iii) 5 3 2 x 1 2 x 4 3 x 5 2− + = − − − ( ) ( )( )2iv ) x 1 4 2 x x 2 x 2 1+ − = + − + +

( ) ( )v ) 7 z 2 z 1 3 z 8 5 z− + − = − + ( ) ( ) ( )v i) 7 3 7 C C 6 4 3 6 C⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2) Resuelva las siguientes ecuaciones literales de primer grado; m, a y b son números reales prefijados

i) 7x 3m 0− = ( ) ( )mii) 3 T m 2 2m T2

− − = −

( ) ( )iii) 2b x a a b 3b x a− + = +

3 x 2 a 2 aiv ) 6 b x 5 b3 3− + = + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2v ) a C 2b a b b 2a b C b a a a 2b− + + = + − − + −

( ) ( ) ( )2 2 2v i) a b a b x a b a b a b x a b+ − + = + −

( )2 y by a y b y av ii) a b a b a b a b

−+ + −− = −− + − +

2 2

x 2b x 2b 4a bv iii) a 2b a 2b 4b a

− +− =+ − −

3) A)Resuelva las siguientes ecuaciones fraccionarias, numéricas y literales, que conducen a ecuaciones

de primer grado; m pertenece a R

2 2 1i)7 x 7 7 14 x 14

+ =− −

y m m y y m mv ) y m y m 2 y y m

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ − −+ =− + −

B) Calcule el valor de la variable en las siguientes expresiones. De condiciones para que el denominador

no se anule:

4 x 6 1 6 4 xi)5 2 0− −= 9 x 7ii)

x 4+ =

2 41 2 y 3 3iii)

2 0 y 0, 5

+=

+

1C 2 0iv )

3 1 7C2 4 0

=+

n 5 3 n 4 n 2ix ) n 23 2 2− − −+ + − =

xv ii) 5 x 1 73

− = −

1 4 9 3Cii) 1 C 5C 5 5 C 1

− = −− − −

x 1 2x 3iii) 32 3 x 3 x 2

− += −− −

m 1 1iv ) m 1 1 1 0t m t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜− + − − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )2 1 7x ) 2 x 1 2 x 2 x 1 x 32 2

⎛ ⎞⎟⎜+ − + − + + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

1 7 P 8 3 P 2 5v ii i) 2P2 3 3− −+ = +



57

( )

2

3 2

21, 2x 5v )

171 20 0, 58

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠=

− ⋅

1 3 0, 29 2v i)

m1 23 9

+=

+

2123 , 53v ii)

x 4 0 , 25

⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ =+

2 31 1 0, 0 1

22v iii)v3 1

2

⎛ ⎞⎟⎜ ++ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ =+

0,0 8 xix )x 2=

2

4

1 2,5x2x )

x 2

⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ =

13 0 ,1x5x ii)

x 34 0 ,11 0

⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ =⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

31

T5x i)T 35 0 0, 5 3

2

−=

⎛ ⎞⎟⎜ + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

4) Resuelva los siguientes problemas que conducen a ecuaciones de primer grado:

i) Halle el número que sumado a su triplo da 60;

ii) Halle el número que disminuido de su mitad y sumado su triplo da 35;

iii) Descomponga el número 20 en dos sumandos de manera que uno sea la cuarta parte del otro;

iv) Halle dos números cuya suma es 32 y su diferencia es 4;

v) Halle tres números de manera que la suma de los tres sea 54, que el segundo sea el doble del

primero y el tercero sea el triple del segundo;

vi) ¿Qué número se debe agregar al numerador y denominador de la fracción 35 para obtener una

fracción equivalente a 56 ?

vii) En un curso de 31 alumnos, los varones son la mitad mas uno de las mujeres. ¿Cuántos son las

mujeres y los varones del curso?

viii) Una persona compra una mercadería pagando $ 30 por adelantado y 12 cuotas fijas por un valor

igual a 1/15 del precio total. ¿Cuánto cuesta la mercadería?

ix) Si hoy el precio de una mercadería es $ 1210, ¿Cuál fue el precio exactamente 2 años antes si se

considera un incremento de los precios del 10% anual durante ambos años?

x) Un vendedor de frutas compro una cierta cantidad de manzanas a razón de 3 kg por $ 0,50 y vendió

todo el lote a razón de 4 kg por $ 1. ¿Cuántos kg compro el comerciante si la ganancia obtenida fue de $

10?

Ecuación de segundo grado 1) Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado:

2i) x 5 x 6 0− + = 2ii) x 5 x 1 4 0− − =

2iii) 3x 7x 2 0− + = J 2 1 J 1iv ) 3J 1 2 J 2+ ++ = −+ +

( ) ( )2 2v ) 3 y 2 2 y 3 2 6− + + = 2v i) 2 x 3 x 7 0− + =



58

( ) ( )2 22v ii) 6 x 18 x 1 x x 2− − + = − + 1M M2v iii) 2

M 1M2

−= +

−

2) Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado ; a y b son números reales

⎛ ⎞⎜ ⎟− + = − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 22 a b a bi) a b x x 3 a b x3 3 9

− −+ =− −

x a x 3 a 5i i)x 2 a x 4 a 4

C Ciii) b b 0;a a

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 2iv) x 3ax 2a 0− + =

( )2v) bx a b x a 0− + + = 2 2vi) 36m 12am a 0− + =

( )( ) ( )2v ii) 2 x a x a 2 x a− + = − 2 2

2 2a x av i i i) a x b 0b b x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− 3) Escriba una ecuación de segundo grado que tenga por raíces las siguientes duplas de números:

i) 3,5 1ii) 2 ,3

2iii) 1,5

−

4) Halle dos números cuya suma sea S y cuyo producto sea P:

i S P0 2= =) , ; i ) S 1 1, P 1 8 ;= = 7 1i) S , P ;6 3

= =

5) i)Determine el valor de m de manera que la ecuación:

( )25 x 2m 1 x 2m 0− − + = tenga una de sus raíces igual a 3,

ii) Determine el valor de m de manera que la ecuación 22x mx 18 0− + = , admita dos raíces iguales;

iii) Determine el valor de m de manera que la suma de las raíces de la ecuación

( ) ( )2m 2 x 9m 2 x 3 0+ − + + = sea 7.

6) Resuelva los siguientes problemas que conducen a ecuaciones de segundo grado:

i) Halle dos números cuya suma sea 8 y la suma de sus cuadrados sea 34;

ii) Halle el número que supera en 10 al triple de su raíz cuadrada;

iii) Halle dos números de manera que su suma sea 10 y la suma de sus cubos sea 730;

iv) Halle dos números de manera que su diferencia sea 3 y la diferencia de sus cuadrados sea 39;

v) Halle dos números cuya suma sea 14 y la suma de sus recíprocos sea 72 4

;

Problemas complementarios 1) i) En una empresa constructora de caminos se informa que 2 obreros pavimentaron 30 km de un

camino en 12 días. Considerando ese dato, complete la siguiente tabla:

N° de kms del camino N° de días N° de obrerosa pavimentar utilizados empleados

30 12 2018 8 …..40 ….. 32….. 16 15



59

ii) Si se representan con c, d y x el número de kms del camino a pavimentar, el número de días utilizados

y el número de obreros empleados, respectivamente, halle la relación entre dichas variables.

2) i) En un supermercado se realizan descuentos sobre los precios de los diferentes artículos. Complete

la siguiente tabla:

ii) Si se representan con C, P y d el precio del articulo antes del descuento, el precio del articulo a pagar

luego del descuento y el porcentaje de descuento (tanto por uno o expresado en decimal),

respectivamente, halle la relación que existe entre dichas tres variables.

3) i) Un comerciante compra mercaderías que luego vende aplicándoles un porcentaje de ganancia.

Complete la siguiente tabla:

ii) Si se representan con C, V y g el precio de compra de una mercadería, el precio de venta de una

mercadería y el porcentaje de ganancia (tanto por uno o expresado en decimal), respectivamente, halle

la relación que existe entre dichas tres variables.

4) ¿Qué porcentaje de aumento tiene el precio de un artículo que pasa por la mano de tres

intermediarios, cada uno de los cuales vende el producto un 50% más caro de lo que costó?

5) Si el dueño de un negocio ordena subir un 25% el precio original de sus zapatillas en vidriera, para

luego ofrecer a los compradores una rebaja sobre este último precio, de un 20% más un 10% ¿ Con qué

porcentaje vende respecto al precio original?

6) i) Un fabricante mayorista vende a un comerciante minorista un determinado producto al valor de $ 30

la unidad. El fabricante le ofrece colocar una etiqueta de precio a cada producto para conveniencia del

minorista en períodos de estabilidad económica. Se necesita conocer el precio que se debe imprimir en

la etiqueta para que el comerciante pueda reducir su precio de venta al público en 20%, en una oferta

promocional, y obtener una utilidad del 12% sobre el costo del producto. Calcule además el porcentaje

de ganancia que obtiene el comerciante minorista en los días que no efectúa la promoción.

ii) Idem para el caso en que el comerciante minorista compre el producto al valor de $C, C es un valor

positivo cualquiera y representa el caso de estudio que debe realizar el minorista para efectuar la

promoción de numerosos productos que tiene en venta. Es un problema real que se plantea como un

problema paramétrico.

Precio de los Suma a pagar luego Descuentoarticulos ($) del descuento ($) (en %)

…… 40 2050 ….. 1560 48 ……

Precio de Precio de Gananciacompra ($) venta ($) (en %)

30 36 …..….. 88 1045 ….. 15….. 39,60 20



60

7) Las temperaturas se miden en grados Celsius o grados Fahrenheit (de uso corriente en los países

anglosajones). La relación entre las dos escalas es la siguiente:

9 C 1 6 0F5+=

Donde C y F representan los grados Celsius y Fahrenheit, respectivamente. Complete la siguiente tabla:

8) Escriba los números del 1 al 9; en la tabla de 3 filas y 3 columnas siguientes:

De manera que satisfagan las sumas indicadas:

9) Determine si los siguientes números α y β son naturales, y en caso positivo indique el

correspondiente valor:

i) 7 4 3 7 4 3α = + + − ii) 4 2 3 4 2 3β = + − −

10) ¿Cuánto vale la siguiente expresión 1 1 1 1 1 . . . . . .+ + + + + ?

11) Juan puede hacer un trabajo en 5 días y, en cambio, José puede hacerlo en 3 días. ¿En que tiempo

lo harán trabajando conjuntamente?

Grados Celsius Grados Fahrenheit10 ….…. 68…. 10

… . … . … .

… . … . … .

… . … . … .

12

20 ….

….25

15

15

….

….

18

….

22…. 11



61

TRABAJO PRÁCTICO 3: PARTE A

Operaciones con expresiones algebraicas

1) Halle el valor numérico de las siguientes expresiones 2 22+ + i ) x xy y para x = 2, y = 3

− +2 2ii) x 2 x y y para x = 5, y = 3

− + −3 2 2 3i i i) x 3 x y 3 x y y para x = 13, y = 3

2) Efectúe las siguientes operaciones

( ) ( ){ }i)a 5b a 3c 3b 2c a 2b c⎡ ⎤− − − − + − − −⎣ ⎦

( ) ( ){ }⎡ ⎤− − + − − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦2 2 2 2 2 2ii)a 5 a b a 3 a 3 a 3 a b a 2 a b a

( ) ( )⎡ ⎤− − − + − − −⎢ ⎥⎣ ⎦2 2 2 2 2iii)5m c x 3c 3m c 2c x 2m c c

( )( )( )iv ) x a x b x c− − −

( ) ( )+ − − −3 3 3v) a b a b 2b

( )( ) ( )2v i) x y x y x y x y x⎡ ⎤− + − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )− + − −⋅4 2 3 3 2 4 2 2 2 2v ii) 8 a b 6a b 4 a b 2 a b 2a b

( ) ( )+ + +⋅2 2viii) a 4ab 3b a b

( ) ( ) ( )− + − +⋅ ⋅8 5 3 2xi) 2x 2 y 1 3x 2y x y

3) Obtener el polinomio cociente en las siguientes divisiones

( ) ( )− + − ÷ −4 2 3 3 2 4 2 2 2 2i) 8 a b 6 a b 4 a b 2 a b 2 a b

( ) ( )− ÷ −8 8 2 2iii) 81x 16y 3x 2y

( ) ( )+ + + + ÷ +4 3 2iv ) x 8 x 2 4 x 3 2 x 1 6 x 2

( ) ( )+ − + ÷5 4 3 2 2v) 6x 5x 25x 31x x2

( ) ( )+ − + − − ÷ − +5 4 3 2v i) 6 x x 6 x 2 x 5 x 2 x 3

4) Halle el polinomio cociente y el polinomio resto de las siguientes divisiones y

verifique el resultado hallado:

( ) ( )− − + + ÷ + +4 3 2 2i) 5 x 2 x 3 x 1 7 1x 4 x 3 x 1

( ) ( )− + − ÷ −3 2ii) 4 x 5 x 3 x 2 2 x 3

( ) ( )+ − − + ÷ − −4 3 2 2 3 4 2 2iii) 3 x 5 a x a x 6 a x 2 a 3 x a x 2 a

( ) ( )+ + + ÷ +3 2 2 2iv ) a x 2 a x b x ab b x a b



62

5) Aplique la regla de Ruffini para hallar las siguientes divisiones:

( ) ( )− + ÷ −4i) 3 x 2 x 1 x 1 ( ) ( )7 1 1+ ÷ +ii) x x

( ) ( )3iii) 1000x 1 10x 1− ÷ − ( ) ( )4 3 2iv) 3x 5x 8x 7x 6 x 2− − − − ÷ −

( ) ( )4 3 2v) 3x 2x x 5x 1 x 3− + − + ÷ −

6) Halle, sin efectuar la operación cociente, el resto de las siguientes divisiones:

( ) ( )+ ÷ −5i) x 1 x 1 ( ) ( )7 7ii) x b x b+ ÷ + ( ) ( )+ − ÷ −3 2iii) 3x 5x 6x x 1

( ) ( )+ − + + − ÷ +5 4 3 2iv) 3x 2x 4x 4x 5x 2 x 1

( ) ( )− + − + − ÷ −5 4 2 3 3 2 4 5v) x 3bx 5b x 8b x 6b x 4b x 2b

7) Efectúe las siguientes operaciones:

( ) ( )− + +22 2 2 2i) a b a b ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

ii) a b

( ) ( )− ÷22 2 2 2i i i) a b a b a b ( ) ( )− ÷

32 2 3 3iv ) a b a b a b

( ) ( )( ) ⎛ ⎞⎜ ⎟+ − + + ÷ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠22 2 2 21v ) 3a b 2a 3b 8b a

2

`8) Halle el MCD y el mcm de los siguientes binomios:

2i) 3a b ; 6ab 3 2 4 5 3ii) 120x y z ; 54xy z

iii) 12ab ; 9bc 3 2 3iv) 10a b ; 15a b

2 2 2v) 7x ; 14y ; 21xy ; 6x y

Factoreo de expresiones algebraicas

1) Saque el factor común en las siguientes expresiones:

) + −2 4 6i 25a 30a 35a 2 3 4 2 5ii) 6a x 3ax 21a x− +

) − + −2 2 2 3 2 4 2 5i 15a x 30a x 105a x 75a x

2)Realice la factorización, por agrupaciones, de las siguientes expresiones:

+ + +2i) x a x b x a b ) − − +ii ac ad bc bd

iii) a b a c b c− − + iv ) a b a b 1− − +

) + − −2 2 2 2v ax ay bx by + − −2vi) 4x 6xy 6xz 9yz

) − + −3 2 2 3vii 27a 18a b 12ab 8b − − +3 2 2 4 3viii) 5a b 10a b 7a c 14a bc

) − − + + −5 3 24ix a a a a a 1

) + + − − −2x a 2ab 3ac ax 2bx 3cx



63

3) Factoree los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

i 2 1) a +a+4

− +2

2a 3ii) a b 9b1 6 2

− +6 3iii) a 2a 1 + +2

2 aiv) 4x 2ax4

4) Factoree los siguientes cuatrinomios cubos perfectos:

+ + +3 2i) 27a 108a 144a 64 − + −3 3 2 2 2 2 3 3ii) a x 3a x by 3axb y b y

− − − −2 33 3 1iii) 1 a a a2 4 8

+ + +6 5 4 3iv) a 3a 3a a

5) Factoree las siguientes diferencias de cuadrados:

( ) ( )− − +2 2 2 2iv) a b a b ( ) ( )− + − + −2 2v) a b c a b c

−4 4vi) 81a b −8 8vii) x y

6) Factoree las siguientes sumas o diferencias de potencias de igual grado:

−2 2 2 2i) a x b y −5ii) x 1 −3 3 3iii) x 8y z

7) Factoree, combinando los varios casos de factoreo:

+ +2 2i) a 2ab b − + −2 2 2ii) a b 2bc c

−2 2iii) 5a b 45bm −3 3iv) 2a bc 18ab c

− +3 2 2v) 9a 12a b 4ab −3 3vi) x y xy

+ +5 2 3vii) a x 6a x 9a + − −3 2viii) x x 4x 4

−5 8ix) 3a 48ab + − −4 3 2x) x x x x

8) Halle el MCD y el mcm de las siguientes expresiones:

−3i) a 1 ; − +2a 2a 1 ; −a 1

+ii) a b ; −a b ; −2 2a b

−iii) a 1 ; +a 1 ; −2a 1 ; +2a 1

−6a 6biv) ; −2 29a 9b

+i) a x ; − +2 2a ax x ; +3 3a x

Simplificación de expresiones algebraicas:

1) Simplifique las siguientes fracciones algebraicas: 2 3 421a b ci )

3abc−

2a 1ii)ab b

−+

−+

2 2x 4aiii)bx 2ab

−2

2xii) 4 y4−2 2 2 2i) a x b y −

2 2

2 2x yiii)a b

+3 3iv) a b 1



64

− +−

2

2a 2 a 1iv )

a 1 +

−

3 3

2 2a bv)a b

+ + ++2

a c b c a d b dv i)a a b

+ −−

3 3 2 2

3 33 a x 3 a x 6 a xv ii)

a x a x ( ) ( )+ − − +

+

22 2 2 2 2 2

2

a b c a b cviii)

4 ab 4 abc

( ) ( )−

+ − +

2

2 2x 1ix )

1 a x x a

2) Efectué las siguientes operaciones sobre fracciones algebraicas y simplifique:

−−2x 1i)xx

− ++

2xii)a xa x

+− +a aiii)

a b a b

1 5 x 1 5 xiv )1 5 x 1 5 x+ −−− + + −

− +−23 0 x 4 5v )

3 x 1 3 x 19 x 1

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2b av i) a aa

+ + − + − +− ++ − −

2 2 2 2 3 2 2

2 2

a a b b a a b b 2b b av ii)a b a b a b

ax x aviii)a x a x

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠+ 1 1ix ) x 1 x 1x x

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2 a b c cx )

2 b c 3 2⎛ ⎞+⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠−

1 x 1 x 3 xx i) x1 x 1 x 4 x 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− +

( ) ( )2

2 2a b a b a b 2bxii)

2b 2 a b 2 a b a b

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− + −⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎝ ⎠ +

2 2

2 2x y x y x y xyxiii) 1x y x y 2xy x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ÷ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠2 2

1 1 1 1x iv )x ax a

( )

b a 1 abxv) a 11 ab a b a

⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ÷ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

5 x 15xvi) x 3 2x 12x 6 x 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + ÷ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −

( )⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − ÷ + + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2 2 2 2

1 1 x 1 1 2 xx vii) a b xa b ab a ba b a b

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− ÷ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠− + − +⎣ ⎦21 x 1 x 1 x 1xviii) x 1

1 x 1 x 1 x 1 x

1 1 1 1a b c b a cxix ) 1 1 1ba b c a c

− −+ +÷

+ ++ +

−

−+

2ad bc

a cxx ) dc xc

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA-SEDE SUR- CURSO … · salud en los planos emocional, ... Aquí la...

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