UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA...

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-101-3-M-2-00-2018

CURSO: Matemática Básica 1

SEMESTRE: Segundo

CÓDIGO DEL CURSO: 101

TIPO DE EXAMEN: Tercer examen parcial.

FECHA DE EXAMEN: Octubre de 2018

RESOLVIÓ EL EXAMEN: Edgar Hurtarte

DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Gilberto Arauz

COORDINADOR: Ing. Miguel Ángel Castillo

Matemática Básica 1

Tercer Parcial

Tema 1 (20 Pts.)

a. Resuelva la ecuación exponencial:

√3𝑥+6𝑥

− √3𝑥𝑥−1

= 0

b. Resuelva la ecuación logarítmica:

4 log (𝑥

5) + log(

625

4) = 2𝑙𝑜𝑔𝑥

Tema 2 (20 Pts.)

Se sabe que cierto material radiactivo se desintegra a una razón

proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 80 miligramos de

material y después de 3 horas se observa que el material ha perdido el 10%

de su masa original.

a. Obtenga una expresión para la masa de material restante en un

momento t.

b. ¿Cuántos miligramos quedan después de 8 horas?

c. ¿Cuál es la vida media de ese material?

d. Esboce la gráfica de la función.

TEMA 3 (15 puntos)

Para la siguiente función trigonométrica:

𝑓(𝑥) = −3 cos (𝑥 +𝜋

4) + 3

Determine la amplitud, el período, el desplazamiento de fase, el corrimiento

vertical y Dibuje la representación gráfica.

Tema 4 (25 Pts.)

a. Demuestre la identidad trigonométrica: 1 + 𝑐𝑠𝑐𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃= 𝑠𝑒𝑐𝜃

b. Resuelva la ecuación trigonométrica para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋

𝑆𝑒𝑛2𝑥 = √3 cos 𝑥

Tema 5 (20 puntos).

La figura de la derecha muestra un cuadrilátero

ABCD, donde:

AB = 35m, BC = 60m, CD = 48m, AD = 37m.

Calcule el área del cuadrilátero

C

D

B A

SOLUCIÓN DEL EXAMEN

Tema 1: 20 puntos

a. √3𝑥+6𝑥

− √3𝑥𝑥−1

= 0

No. Explicación Operatoria

1.

Para facilitar el procedimiento se expresan las raíces de forma exponencial.

(3𝑥+6)1𝑥 = (3𝑥)

1𝑥−1

2.

Reducimos la expresión multiplicando los exponentes.

3𝑥+6𝑥 = 3

𝑥𝑥−1

3.

Como podemos observar ambos lados de la ecuación tienen la misma base. Para que la expresión se cumpla ambos exponentes deben ser iguales, por lo que igualamos ambos exponentes.

𝑥 + 6

𝑥=

𝑥

𝑥 − 1

4.

Multiplicamos ambos lados de la expresión por (x)(x+1).

(𝑥)(𝑥 − 1)(𝑥 + 6

𝑥) =

𝑥

𝑥 − 1(𝑥)(𝑥 − 1)

5.

Realizamos las multiplicaciones en ambos lados de la ecuación.

𝑥2 + 6𝑥 − 𝑥 − 6 = 𝑥2

6.

Realizamos las operaciones necesarias y luego igualamos a 0.

5𝑥 − 6 = 0

7.

Despejamos para x y obtenemos la respuesta.

𝑥 =6

5

R./ 6/5

b. 4 log (𝑥5) + log(

625

4) = 2𝑙𝑜𝑔𝑥


1.

Por leyes logarítmicas todos los factores que multiplican a los logaritmos pasan a ser exponentes de la expresión a la que se le aplica el logaritmo, así:

log𝑥4

54+ log(

625

4) = log(𝑥2)

2.

Por leyes logarítmicas también podemos expresar el logaritmo de una división como una resta, así:

log 𝑥4 − log 625 + log 625 − log 4 = log 𝑥2

3.

Realizamos las operaciones necesarias para reducir nuestra expresión e igualamos a 0, la parte de la expresión log 𝑥4 la expresamos de la forma 4 log 𝑥.

log 𝑥2 − 4 log 𝑥 + log 4 = 0

4.

Como podemos ver la ecuación nos queda de la forma 𝑥2 + 𝑥 + 𝑐. Para facilitar la operatoria sustituimos cada uno de los factores con una variable en este caso W.

𝑤2 = log 𝑥2

4𝑤 = 4 log 𝑥

5.

Resolvemos nuestra nueva ecuación con la fórmula:

𝑤 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑤2 − 4𝑤 + log 4 = 0

𝑤 =4 ± √42 − 4(1)(log 4)

2(1)

𝑤1 = 3.84 𝑤2 = 0.156

6.

Como sabemos que 𝑤 = log 𝑥 regresamos a nuestra expresión original y encontramos los valores de x.

3.84 = log 𝑥0.156 = 𝑙𝑜𝑔𝑥

103.84 = 𝑥100.156 = 𝑥

𝑥1 = 6918.31𝑥2 = 1.43

R:// X1 = 6918.31 y X2 = 1.43

Tema 2: 20 puntos

a. Obtenga una expresión para la masa de material restante en un

momento t.


1.

Asignamos variables a nuestros datos del problema.

𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜.

𝐴 = 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙.

2.

Iniciamos creando una tabla con los datos que nos da el problema, sabemos que cuando:

𝑡 = 0ℎ; 𝐴 = 80𝑚𝑔

𝑡 = 3ℎ; 𝐴 = 80 − (0.1 ∗ 80) 𝑡 = 3ℎ; 𝐴 = 72𝑚𝑔

T(h) 0 3

M(mg) 80 72

3.

Utilizamos la expresión de decrecimiento base para adaptarla a nuestros datos.

𝐴 = 𝐴0𝑒𝑘𝑡

4.

Sustituimos los datos que obtuvimos en el paso #2 en la expresión de decrecimiento.

72 = 80𝑒𝑘(3)

5.

De la expresión obtenida en el paso #4 despejamos k para encontrar su valor.

72

80= 𝑒𝑘(3)

ln72

80= 3𝑘(𝑙𝑛𝑒)

𝑘 =(𝑙𝑛

7280)

3

𝑘 = −0.03512

6.

Al obtener el valor de k sustituimos el mismo en la expresión obtenida en el paso #3.

𝐴 = 80𝑒−0.03512𝑡

𝐴 = 80𝑒−0.03512𝑡

b. ¿Cuántos miligramos quedan después de 8 horas?


1.

Utilizamos la ecuación obtenida en el inciso A.

𝐴 = 80𝑒−0.03512𝑡

2.

Sustituimos el valor 8 en la variable t.

𝐴 = 80𝑒−0.03512(8)

3.

Realizamos las operaciones y encontramos el valor del material restante.

𝐴 = 4.81𝑚𝑔

R:// A = 4.81 mg

c. ¿Cuál es la vida media de ese material?


1.

Utilizamos la ecuación obtenida en el inciso A.

𝐴 = 80𝑒−0.03512𝑡

2.

Sustituimos el valor de 𝐴 = 40 ya que queremos saber el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad del material.

40 = 80𝑒−0.03512𝑡

3.

Realizamos las operaciones y despejamos para encontrar el valor de t.

40 = 80𝑒−0.03512𝑡

ln 0.5 = −0.03512𝑡(ln 𝑒)

𝑡 =ln 0.5

−0.03512

𝑡 = 19.73ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

R:// t = 19.73 horas

d. Esboce la gráfica de la función.


1.

Realizamos una tabla en donde se evalúen valores de tiempo para encontrar el material restante en: 𝑓(𝑥) = 80𝑒−0.03512𝑡

x f(x)

0 80

3 72

6 64.8

9 58.32

12 52.49

15 47.24

18 42.51

21 38.26

24 34.44

27 30.99

30 27.89

2.

Esbozamos los valores encontrados en una gráfica (x,y) en donde el eje x corresponde a los valores de tiempo y el eje y corresponde a los valores de material restante.

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30 35

Mat

eria

l (m

g)

Tiempo (h)

Desintegración del material

Tema 3. (15 puntos.)

𝑓(𝑥) = −3 cos (𝑥 +𝜋

4) + 3

Determine la amplitud, el período, el desplazamiento de fase, el corrimiento

vertical y Dibuje la representación gráfica.


1.

Primero esbozamos la gráfica de nuestra función para observar el comportamiento de la misma.

2. Si observamos la función, la misma tiene la siguiente forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 Por lo que podemos extraer la amplitud de la expresión.

𝑓(𝑥) = −3cos (𝑥 +𝜋

4) + 3

𝑓(𝑥) = 𝑎 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = |𝑎|

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = | − 3|

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 3

3.

El período lo calculamos con la siguiente fórmula:

𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 =2𝜋

𝑏

𝑓(𝑥) = −3cos (𝑥 +𝜋

4) + 3



𝑏


1

𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 2𝜋

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8

f(x)

x

f(x)=-3cos(x+π/4)+3

4. El desplazamiento de fase lo calculamos con la siguiente fórmula:

𝐷𝑒𝑠𝑝. 𝐹𝑎𝑠𝑒 =𝑐

𝑏

𝑓(𝑥) = −3cos (𝑥 +𝜋

4) + 3


𝐷𝑒𝑠𝑝. 𝐹𝑎𝑠𝑒 =𝑐

𝑏

𝐷𝑒𝑠𝑝. 𝐹𝑎𝑠𝑒 =𝜋/4

1

𝐷𝑒𝑠𝑝. 𝐹𝑎𝑠𝑒 =𝜋

4

5. El corrimiento vertical lo calculamos de la siguiente forma:

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑑

𝑓(𝑥) = −3cos (𝑥 +𝜋

4) + 3


𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑑

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 3

R:// 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 3 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 2𝜋

𝐷𝑒𝑠𝑝. 𝐹𝑎𝑠𝑒 =𝜋

4

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 3

Tema 4. (25 puntos).

a. Demuestre la identidad trigonométrica: 1 + 𝑐𝑠𝑐𝜃



1.

Primero sustituimos identidades necesarias para dejar todo en términos de seno y coseno.

𝑐𝑠𝑐𝜃 =1

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑡𝜃 =𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑒𝑛𝜃

1 + 𝑐𝑠𝑐𝜃


1 +1

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃 +𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃

= 𝑠𝑒𝑐𝜃

2. Realizamos las operaciones en el numerador y en el denominador, luego reducimos

1 +1

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃 +𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃

= 𝑠𝑒𝑐𝜃

𝑠𝑒𝑛𝜃 + 1𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃

= 𝑠𝑒𝑐𝜃

1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃= 𝑠𝑒𝑐𝜃

3.

Factorizamos 𝑐𝑜𝑠𝜃 en el denominador.


𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃= 𝑠𝑒𝑐𝜃


𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 1)= 𝑠𝑒𝑐𝜃

4. Eliminamos el término que se repite en el numerador y


𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 1)= 𝑠𝑒𝑐𝜃

en el denominador, en este caso, 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃.

1

𝑐𝑜𝑠𝜃= 𝑠𝑒𝑐𝜃

5. Por identidades trigonométricas sabemos que

1


Por lo tanto:

1


𝑠𝑒𝑐𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃

R://

1 + 𝑐𝑠𝑐𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃=

1


b. Resuelva la ecuación trigonométrica para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋

𝑆𝑒𝑛2𝑥 = √3 cos 𝑥 No. Explicación Operatoria

1.

Sustituimos la identidad del doble ángulo: 𝑆𝑒𝑛2𝑥 = 2𝑆𝑒𝑛𝑥𝐶𝑜𝑠𝑥

𝑆𝑒𝑛2𝑥 = √3 cos 𝑥

2𝑆𝑒𝑛𝑥𝐶𝑜𝑠𝑥 = √3 Cos 𝑥

2. Dividimos ambos lados de la ecuación entre Cos x.

2𝑆𝑒𝑛𝑥𝐶𝑜𝑠𝑥 = √3Cos 𝑥

2𝑆𝑒𝑛𝑥𝐶𝑜𝑠𝑥

𝐶𝑜𝑠𝑥=√3Cos 𝑥

𝐶𝑜𝑠𝑥

2𝑆𝑒𝑛𝑥 = √3

3.

Despejamos x de la ecuación y encontramos las posibles soluciones para Sen x. Como vimos en el paso #2 al simplificar no podemos eliminar el coseno, por lo que también encontramos las posibles soluciones del mismo.

2𝑆𝑒𝑛𝑥 = √3𝐶𝑜𝑠𝑥 = 0

𝑆𝑒𝑛𝑥 =√3

2𝑥 = cos−1 0

𝑥 = sin−1√3

2𝑥 =

𝜋

2

𝑥 =𝜋

3

4. De las respuestas obtenidas en el paso #3 sabemos que el sen x se refleja en el eje y; el cos x se refleja en el eje x. Por lo que encontramos sus valores de simetría.

𝑆𝑒𝑛𝑥 =𝜋

3𝐶𝑜𝑠𝑥 =

𝜋

2

2𝜋 −𝜋

3= 5

𝜋

3

𝜋

2+ 𝜋 = 3

𝜋

2

5. Al encontrar los valores de simetría obtenemos todos los valores de x.

𝑥 =𝜋

3,𝜋

2, 3

𝜋

2, 5

𝜋

3.

R://

𝑥 =𝜋

3,𝜋

2, 3

𝜋

2, 5

𝜋

3.

Tema 5. (20 puntos.)

Calcule el área del cuadrilátero No. Explicación Operatoria

1.

Primero analizamos los ángulos de nuestra figura, como podemos observar en la parte superior de la misma podemos formar un triángulo equilátero del cual, podemos determinar los ángulos que se muestran en la figura.

2. Para facilitar el cálculo del área dividiremos nuestra figura en dos. En el triángulo rectángulo de la parte superior y en el trapecio de la parte inferior, a los cuales denominaremos:

𝐴1 = 𝑇𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴2 = 𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜

3.

Analizando el triángulo rectángulo podemos determinar la magnitud del lado adyacente al ángulo de 60o mediante Pitágoras.

𝐶𝑜𝑠60 =𝑎𝑑

48

𝑎𝑑 = 48(𝐶𝑜𝑠60)

𝑎𝑑 = 24

4. Al conocer dos de los lados del triángulo rectángulo, podemos determinar el tercero mediante Pitágoras.

𝑎𝑑2 + 𝑜𝑝2 = ℎ𝑖𝑝2

242 + 𝑜𝑝2 = 482

𝑜𝑝 = √482 − 242

𝑜𝑝 = 24√3

C

D

B A

60

30

30 90

60

ad

op

35

60

90

ad

60

30

op

35

op

h

5. Conociendo todos los lados del triángulo rectángulo, proseguimos a calcular el área del mismo mediante la fórmula:

𝐴1 =𝑏 ∗ ℎ

2

𝐴1 =𝑏 ∗ ℎ

2

𝐴1 =24 ∗ 24√3

2

𝐴1 = 498.83

6. Luego analizamos el trapecio y la relación que tiene con el triángulo rectángulo.

7. Primero calculamos h de nuestro trapecio mediante la relación entre CB y la base de nuestro triángulo rectángulo.

ℎ = 60 − 24

ℎ = 36

8. Al conocer todos los lados del trapecio proseguimos calculando el área del mismo mediante la fórmula:

𝐴2 =(𝑎 + 𝑏)

2(ℎ)

𝐴2 =(𝑎 + 𝑏)

2(ℎ)

𝐴2 =(35 + 24√3)

2(36)

𝐴2 = 1378.25

9. Para finalizar sumamos las áreas encontradas de ambas figuras:

𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2

𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2

𝐴𝑇 = 498.83 + 1378.25

𝐴𝑇 = 1877.08

R://

𝐴𝑇 = 1877.08

35

24√3

h

h

24

C

D

B A

60

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