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Desigualdades o inecuaciones lineales en una variable Prof. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas UPR - Arecibo
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Desigualdades o inecuaciones
lineales en una variable Prof. Caroline Rodriguez
Departamento de Matemáticas
UPR - Arecibo
Desigualdades
Usamos los símbolos de una desigualdad son:
<, >, ≤, ≥ para representar la idea de que dos
cantidades NO son iguales. (Estos leen: menor
que, mayor que, menor o igual que, mayor o
igual que, respectivamente. )
Estas expresiones se conocen como
inecuaciones o desigualdades.
Algunos ejemplos de inecuaciones son:
Note que las
primeras 4 son
ciertas y las últimas
dos son falsas.
Inecuaciones o desigualdades
algebraicas Desigualdades algebraicas contienen
una o más variables. Algunos ejemplos son:
• Note que estas desigualdades
NO son ni ciertas ni falsas así
como están.
• Cada vez que se sustituye un
valor por la(s) variable(s), la
desigualdad algebraica se
convierte en un enunciado
numérico que es cierto o
falso.
Desigualdades o Inecuaciones
2x + 3 > 11
Si se sustituye x con el valor 5, la inecuación
lee 2(5) + 3 > 11
Simplifica a 13 > 11, que es un enunciado
cierto.
Si se obtiene un enunciado cierto al
reemplazar un número b por la x , entonces b
es una solución de la desigualdad.
Desigualdades (continuación)
x = 3 NO es una solución ya que 2(3)
+ 3 > 11 simplifica a
9 > 11, y esto es falso.
Resolver una desigualdad implica
encontrar TODAS sus soluciones.
El conjunto solución contiene todos los
valores que satisfacen la desigualdad.
2x + 3 > 11
Ejemplo: ¿Es solución?
¿Pertenece 5 al conjunto solución de
2x – 5 < 3x + 6 ?
2(5) – 5 < 3(5) + 6
10 – 5 < 15 + 6
5 < 21 cierto.
Por esto decimos que 5 pertenece al conjunto
solución de la desigualdad.
Práctica:
Diga si los valores a la derecha pertenecen al
conjunto solución de la desigualdad.
1) 7(x + 3) > 5x + 5 ; 4
2) -2(4x + 3) – 5x < 3x – 6 ; 2
Desigualdades de primer grado
o lineales
Soluciones y Desigualdades
Una desigualdad puede tener una infinidad
de soluciones.
Por ejemplo, el conjunto de TODAS las
soluciones de la desigualdad 2 < x < 5
consiste de todos los números reales
entre 2 y 5, sin incluir ni el 2 ni el 5 .
Llamamos a este conjunto un intervalo
abierto y lo denotamos (2, 5) .
Soluciones y Desigualdades
(continuación)
La gráfica del intervalo abierto (2, 5)
es el conjunto de todos los puntos en la
recta numérica que yacen entre x = 2 y
x = 5, sin incluir los extremos.
Ilustramos:
Intervalos
Las soluciones de la desigualdad 2 ≤ x ≤ 5
incluyen x = 2 y x = 5 , y se denotan
[2, 5] , un intervalo cerrado.
Aquí se muestra la gráfica de este
intervalo cerrado:
Tipos de Intervalos
La tabla muestra otros tipos de
desigualdades, que consideraremos:
Práctica: notación de intervalo 1. Describe los valores que pertenecen al
intervalo [-3,4). Dibuje la gráfica.
Solución: El intervalo representa todos los
valores entre el -3 y el 4 incluyendo al -3 pero
no el 4.
2. Mencione 5 valores en (0,1).
3. Mencione 5 valores en (-2,-1].
Intervalos que envuelven infinito • Una desigualdad como 𝑥 ≥ 6, envuelve la idea del
infinito.
• En el conjunto se encuentran todos los números
mayores a 6, incluyendo 6.
• Esto se denota en notación de conjunto como:
[6, ∞)
• Y su gráfica,
Intervalos que envuelven infinito Cuando el extremo del intervalo no tiene fin, es decir,
que se extiende infinitamente, se usan los símbolos ∞
y -∞. En esos casos siempre se usan paréntesis al
describir el intervalo.
Práctica: notación de intervalo 1. Escribe el intervalo que contiene todos los
números menores que -10.
2. Escribe el intervalo que contiene todos los
números mayores o iguales a 20.
3. Indicar si el enunciado es cierto o falso:
a)2
3∈ [0.75, ∞)
b) −5 ∈ −∞, −4
c)9
4∈ (2, ∞)
Notación constructora de
conjuntos
La notación {x| x ≤ 2} se conoce como
una notación constructora de conjuntos y
se lee “el conjunto de todos lo números x
tal que tal que x es menor o igual a 2”
En notación de conjunto: (−∞, 2]
La gráfica del conjunto se muestra:
Desigualdades lineales
Desigualdad lineal
x > -1
2x + 3 < 11
7(x + 3) ≤ 5x + 5
Desigualdad No lineal
x2 > -1
x2 – 3x + 5 ≤ -1
2(x3 – 4x) ≤ 0
2𝑥−3
𝑥+1> 3
Al igual que con las ecuaciones, hay diferentes tipos
de desigualdades. Las desigualdades lineales son
las que son de grado 1.
Propiedades de desigualdades
Sumar o restar un número real positivo
en ambos lados de una desigualdad NO
cambia el conjunto de solución de la
desigualdad.
Ejemplo Resuelve la desigualdad: x + 5 > 10
Solución:
x + 5 > 10
x + 5 – 5 > 10 – 5
x > 5
El conjunto solución se puede describir: (5,∞).
Este es el conjunto de todos los valores mayores que
5. Para representar el conjunto en forma gráfica
Propiedades de desigualdades
Multiplicar o dividir ambos lados de una
desigualdad por un número real positivo
NO cambia el conjunto de solución de la
desigualdad.
Ejemplo Resuelve la desigualdad: 3x - 1 ≤ 11
Solución:
3x - 1 ≤ 11
3x – 1 + 1 ≤ 11 + 1
3x ≤ 12 3
3𝑥 ≤
12
3
x ≤ 4
El conjunto solución se puede describir: (-∞, 4].
Se describe: Todos los valores que son menores que 4.
Para representar el conjunto en forma gráfica:
Propiedades de desigualdades
Al multiplicar o dividir ambos lados de la
desigualdad por un número real
negativo se invierte la desigualdad.
Resuelva la desigualdad: 3 – x < 2
Solución:
3 – x < 2
3 – 3 – x < 2 – 3 restando 3 a ambos lados
-x < -1
(-1)(-x) > (-1)(-1) multiplicamos por -1 a ambos lados
y cambiamos el sentido de la
desigualdad
x > 1
El conjunto solución se puede describir: (1,∞) .
Ejemplo
Ejemplo
Resuelve la desigualdad:
Solución:
, en notación de intervalo
, como desigualdad
La gráfica es :
Ejemplo
Resuelve la desigualdad:
Solución: 2
75
3
2
x
2
75
3
x26
2
7656
3
x26
2130x4
3021x4
9x4
4
9x
El conjunto solución se puede
describir: (-∞,- 9
4]
Ejemplo
Resuelve la desigualdad:
Solución:
1x
El conjunto solución se puede
describir:
𝑥 ≥ −1
𝑥 | 𝑥 ≥ −1
[-1 ,∞)
4 + 7x ≥ 2x – 1
4 + 7x ≥ 2x – 1
4 – 4 + 7x ≥ 2x – 1 – 4
7x ≥ 2x – 5
7x – 2x ≥ 2x – 2x – 5
5x ≥ – 5
Ejemplo
Determinar el conjunto solución:
Solución:
3
16n
El conjunto solución se puede
describir:
𝑛 < −16
3
𝑛 | 𝑛 < −16
3
−∞, −16
3
243
8𝑛 −
1
2𝑛 >
2
3
9𝑛 − 12𝑛 > 16
-3n > 16
−3
−3𝑛 <
16
−3
Ejemplo
Resuelve la desigualdad:
Solución:
7x
El conjunto solución se puede
describir:
x ≤ 7
{x | x ≤ 7 }
(-∞, 7]
2(x + 3) ≥ 4(x – 2)
2x + 6 ≥ 4x – 8
2x + 6 – 6 ≥ 4x – 8 – 6
2x – 4x ≥ 4x - 4x – 14
-2x ≥ -14
2(x + 3) ≥ 4(x – 2)
2
14
2
2
x
2x ≥ 4x – 14
Ejemplo Hallar el conjunto solución de
Solución:
El conjunto solución se puede
describir:
x ≥ −2
5
{x | x ≥ −2
5 }
[−2
5,∞)
Ejercicios:
Resuelva las
siguientes
desigualdades
lineales. Represente el
conjunto solución en
notación de intervalo y
gráficamente.
Desigualdades dobles
En ocasiones trabajaremos con desigualdades
dobles como la siguiente:
7 < 3x + 1 < 15
La desigualdad presentada es equivalente a
3x + 1 > 7 y 3x + 1 < 15
Desigualdades dobles
Para 7 < 3x + 1 < 15
queremos encontrar los valores que se pueden
reemplazar para x, tal que la expresión 3x+1 tenga
un valor entre 7 y 15.
¿0 pertenece al conjunto solución de esta
desigualdad?
El valor 3, ¿ satisface esta desigualdad?
Resolver desigualdades dobles
Para resolver la desigualdad simultáneamente, lo
que le hacemos a una parte de la desigualdad se lo
hacemos a las otras dos partes.
Tratamos de mantener la variable en el medio y
despejar la desigualdad hasta lograr que la variable
esté sola en el medio.
Aplicamos propiedades de desigualdades hasta
transformar la desigualdad original en una
desigualdad equivalente de la forma
a < x < b o a ≤ x ≤ b
Ejemplos:
Ejemplo 1:
2 ≤ x + 1 ≤ 5
2 – 1 ≤ x + 1 – 1 ≤ 5– 1
1 ≤ x ≤ 4
El conjunto solución en notación de intervalo:
[1, 4]
Ejemplos:
Ejemplo 2: Determinar el conjunto solución
4 < 2x + 3 ≤ 8
Solución:
4 < 2x + 3 ≤ 8
4 – 3 < 2x + 3 – 3 ≤ 8 – 3
1 < 2x ≤ 5 1
2 < x ≤
5
2
El conjunto solución es: 1
2 < x ≤
5
2 ó
1
2,
5
2 ó (0.5, 2.5)
Ejemplos:
Hallar el conjunto solución de: 5 ≤ 1
2x – 3 ≤ 7
Solución:
5 ≤ 1
2x – 3 ≤ 7
5 + 3 ≤ 1
2 x – 3 + 3 ≤ 7 + 3
8 ≤ 1
2 x ≤ 10
2(8) ≤ 21
2 x ≤ 2(10)
16 ≤ x ≤ 20
El conjunto solución es: 16 ≤ x ≤ 20
En notación de intervalo: [16, 20]
Ejemplos:
Describir el conjunto solución en notación de
intervalo
2x < 3 < 5 + 2x
Solución:
2x < 3 < 5 + 2x .
2x – 2x < 3 – 2x < 5 + 2x - 2x
0 < 3 – 2x < 5
0 - 3 < 3 – 3 – 2x < 5 – 3
-3 < -2x < 2 −3
−2 <
−2
−2x <
2
−2
3
2> x > −1 ó 1.5 > x > -1
El conjunto solución es: -1 < x < 1.5
En notación de intervalo: (-1, 1.5)
Ejemplos:
Describir el conjunto solución de
x – 3 < 5 – 3x ≤ 7 + x
Nombrar 3 soluciones particulares.
Solución:
x – 3 < 5 – 3x ≤ 7 + x
x – x – 3 < 5 – 3x – x ≤ 7 + x – x
-3 < 5 – 4x ≤ 7
-3 – 5 < 5 – 5 – 4x ≤ 7 – 5
-8 < – 4x ≤ 2 −8
−4 <
−4
−4x ≤
2
−4
2 > 𝑥 > −1
2 ó 2 > x ≥ -0.5
El conjunto solución es: -0.5 ≤ x < 2
En notación de intervalo: [-0.5, 2)
