UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE...

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-101-2-V-1-00-2017-sN

CURSO: Matemática Básica 1

SEMESTRE: Primer

CÓDIGO DEL CURSO: 101

TIPO DE EXAMEN: Segundo Examen Parcial

FECHA DE EXAMEN: 22 de marzo de 2017

RESOLVIÓ EL EXAMEN: Ing. Mario de León

DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Keyla Analy Barrera Martínez

COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática Matemática Básica 1

22 de marzo de 2017 Segundo Examen Parcial Temario W

Tema 1: (15 puntos)

Determine la ecuación de la recta que pasa por el centro de la circunferencia cuya

ecuación es 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟐𝟒𝒚 + 𝟐𝟕 = 𝟎 y el punto (𝟎, −𝟑

𝟐). Grafique en un mismo

plano cartesiano la circunferencia y la recta.

Tema 2: (20 puntos)

La figura adjunta muestra las gráficas de las

funciones acotadas 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥). Sin encontrar

las ecuaciones, grafique las siguientes

funciones.

a) (𝑓 + 𝑔)(𝑥)

b) 𝑦 = −2𝑔(𝑥 − 1) − 4

,

Tema 3: (30 puntos)

Una tienda de caballeros vende en promedio 120 cinturones de pantalón mensualmente a

un precio de Q.100.00 cada uno. Un estudio de, mercado concluye que por cada reducción

de Q.5.00 en el precio, se venderían 10 diez cinturones más al mes. Si 𝑥 es el precio de

cada cinturón ¿con qué precio se obtiene el ingreso mensual máximo? ¿Cuál sería ese

ingreso máximo? Si el dueño se conforma con un ingreso de Q.12, 000.00, ¿a qué precio

debería dar los cinturones?

Tema 4: (20 puntos)

Sea 𝑄(𝑥) un polinomio con coeficientes reales de grado 7, que satisface las siguientes

condiciones: raíces 𝑥 = {0; 1 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 3; −2 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2; −3

2}; además la

función pasa por el punto (−1, −8). Determine la ecuación del polinomio en su forma

factorizada. Haga un esbozo de la gráfica del polinomio.

Tema 5: (15 puntos)

Dado el siguiente polinomio: ℎ(𝑥) = 6𝑥6 − 23𝑥5 + 24𝑥4 + 13𝑥3 − 10𝑥2

Entonces:

a) Determine las posibles raíces racionales.

b) Aplicando regla de signos de descartes, indique mediante una tabla las posibles

combinaciones de raíces nulas, positivas, negativas y complejas del polinomio.

c) Calcule las raíces del polinomio mediante división sintética.



SOLUCIÓN DEL EXAMEN

Tema 1: (15 puntos)

Determine la ecuación de la recta que pasa por el centro de la circunferencia cuya

ecuación es 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟐𝟒𝒚 + 𝟐𝟕 = 𝟎 y el punto (𝟎, −𝟑

𝟐). Grafique en un mismo

plano cartesiano la circunferencia y la recta.

No. Explicación Operatoria

1.

Simplificar la ecuación general de la circunferencia para llegar a la ecuación estándar.

𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟐𝟒𝒚 + 𝟐𝟕 = 𝟎

(𝟒𝒙𝟐 − 16𝑥) + (𝟒𝒚𝟐 + 𝟐𝟒𝒚) = −27

Completar al cuadrado

4(𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 4) + 4(𝑦2 + 6𝑦 + 9 − 9)

= −27

4(𝑥2 − 4𝑥 + 4) − 16 + 4(𝑦2 + 6𝑦 + 9) − 36

= −27

4(𝑥 − 2)2 + 4(𝑦 + 3)2 = 25

Dividir la ecuación de ambos lados por 4

(𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟑)𝟐 =𝟐𝟓

𝟒

2.

Determinar el centro y radio a partir de la ecuación estándar.

𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜: 𝐶(2, −3)

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜: 𝑟 = 5

2

3. Hallar la pendiente con el punto dado

(0, −3

2) y con el punto del centro de la

circunferencia (2, −3), por las condiciones del problema.

𝑚 = −3 + 3/2

2 − 0

𝑚 = −3/2

2



𝑚 = −3

4

4.

Utilizar ecuación punto- pendiente para hallar la ecuación de la recta.

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 )

Donde:

𝑚 = −3

4

(𝑥0 , 𝑦0 ) = (0, −3/2) 𝑜 (2, −3)

Sustituyendo datos para (2, −3):

𝑦 − (−3) = −3

4(𝑥 − 2)

𝑦 + 3 = −3

4(𝑥 − 2)

𝒚 = −𝟑

𝟒𝒙 +

𝟑

𝟐− 𝟑

5

Graficar.

R./

𝒚 = −𝟑

𝟒𝒙 +

𝟑

𝟐− 𝟑



Tema 2: (20 puntos)

La figura adjunta muestra las gráficas de las

funciones acotadas 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥). Sin encontrar

las ecuaciones.

a) (𝑓 + 𝑔)(𝑥)

b) 𝑦 = −2𝑔(𝑥 − 1) − 4

,

No

EXPLICACION

OPERATORIA

1 Para el inciso a) se deberá elaborar una tabla de ayuda para realizar la suma de funciones.

3

Para el inciso b) elaborar tabla para realizar las

translaciones solicitadas.



Tema 3: (30 puntos)

Una tienda de caballeros vende en promedio 120 cinturones de pantalón mensualmente a

un precio de Q.100.00 cada uno. Un estudio de, mercado concluye que por cada reducción

de Q.5.00 en el precio, se venderían 10 diez cinturones más al mes. Si 𝑥 es el precio de

cada cinturón ¿con qué precio se obtiene el ingreso mensual máximo? ¿Cuál sería ese

ingreso máximo? Si el dueño se conforma con un ingreso de Q.12, 000.00, ¿a qué precio

debería dar los cinturones?

No. Explicación Operatoria

1

Identificar variables.

𝑥 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟ó𝑛

𝑁 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠

𝐼 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠

2

Encontrar una función lineal que modele el número de cinturones en función del precio, para ello se deberán de crear

puntos (Precio, Número de cinturones) basándose en que por cada reducción de

Q5.00 en el precio, se venderían 10 cinturones más.

Puntos:

1. (100,120) 2. (95, 130)

Ecuación lineal:

𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 130 − 120

95 − 100

𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 10

−5= −2

Por lo tanto,

𝑁 − 120 = 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒(𝑥 − 100)

𝑁 − 120 = −2(𝑥 − 100)

𝑁 = −2(𝑥 − 100) + 120

𝑁 = −2𝑥 + 200 + 120

𝑵 = −𝟐𝒙 + 𝟑𝟐𝟎



3

Luego de encontrar la función lineal que modelara el número de cinturones en función del precio, se debe hallar una función de ingreso en términos de 𝑥.

Partiendo de:

𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 ∗ 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠

𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 ∗ 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠

𝐼(𝑥) = 𝑥(−2𝑥 + 320)

𝐼(𝑥) = −2𝑥2 + 320𝑥

4

Completar al cuadrado el ingreso en términos de 𝑥.

𝐼(𝑥) = −2𝑥2 + 320𝑥

𝐼(𝑥) = −2𝑥2 + 320𝑥

𝐼(𝑥) = −2(𝑥2 − 160𝑥 + 802 − 802)

𝐼(𝑥) = −2(𝑥2 − 160𝑥 + 802) + 2(802)

𝐼(𝑥) = −2(𝑥 − 80)2 + 12,800

5

Determinar el precio para el mayor ingreso y cual sería ese ingreso máximo por medio de la ecuación completada al cuadrado y

con ayuda de la gráfica.

Como el eje 𝑥 representa el Precio y el eje 𝑦 representa el Ingreso, el precio para el mayor

ingreso es igual a 𝑸𝟖𝟎. 𝟎𝟎 y el ingreso máximo es de 𝑸𝟏𝟐, 𝟖𝟎𝟎.

6 Para determinar el precio de los

cinturones, se debe de sustituir el ingreso de 12,000 en 𝐼(𝑥) y despejar x.

𝐼(𝑥) = −2(𝑥 − 80)2 + 12,800

12,000 = −2(𝑥 − 80)2 + 12,800

±√12,000 − 12,800

−2+ 80 = 𝑥

±√12,000 − 12,800

−2+ 80 = 𝑥



±√400 + 80 = 𝑥

𝑥 = ±20 + 80

𝐱𝟏 = 𝟏𝟎𝟎

𝒙𝟐 = 𝟔𝟎

R. / Precio para el mayor ingreso es de Q80.00 y el mayor ingreso es de Q12,800.

Para obtener un ingreso de Q12,000, puede vender los cinturones a un precio de Q100.00 o de Q60.00



Tema 4: (20 puntos)

Sea 𝑄(𝑥) un polinomio con coeficientes reales de grado 7, que satisface las siguientes

condiciones: raíces 𝑥 = {0; 1 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 3; −2 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2; −3

2}; además la

función pasa por el punto (−1, −8). Determine la ecuación del polinomio en su forma

factorizada. Haga un esbozo de la gráfica del polinomio.

No.

Explicación Operación

1 Determinar los factores del

polinomio 𝑄(𝑥).

Raíces Factores

𝑥 = 0 𝑥 𝑥 = 1, 𝑚𝑢𝑙𝑡. 3 (𝑥 − 1)3

𝑥 = −2, 𝑚𝑢𝑙𝑡. 2 (𝑥 + 2)2 𝑥 = −3/2 (𝑥 + 3/2)

2 Encontrar la ecuación del polinomio

con ayuda de los factores y del punto dado por el problema.

𝑄(𝑥) = 𝑎7𝑥(𝑥 − 1)3(𝑥 + 2)2(𝑥 + 3/2)

Sustituir el punto 𝑄(−1) = −8, para hallar la constante 𝑎7

𝑄(−1) = 𝑎7(−1)((−1) − 1)3((−1) + 2)2((−1) + 3/2)

−8 = 𝑎7(−1)(1)(1/2)(−8)

4𝑎7 = −8

𝑎7 = −2 Por lo tanto,

𝑸(𝒙) = −𝟐𝒙(𝒙 − 𝟏)𝟑(𝒙 + 𝟐)𝟐(𝒙 + 𝟑/𝟐)

3 Graficar.

R./ 𝑸(𝒙) = −𝟐𝒙(𝒙 − 𝟏)𝟑(𝒙 + 𝟐)𝟐(𝒙 + 𝟑/𝟐)



Tema 5: (15 puntos)

Dado el siguiente polinomio: ℎ(𝑥) = 6𝑥6 − 23𝑥5 + 24𝑥4 + 13𝑥3 − 10𝑥2

Entonces:

a) Determine las posibles raíces racionales.

b) Aplicando regla de signos de descartes, indique mediante una tabla las posibles

combinaciones de raíces nulas, positivas, negativas y complejas del polinomio.

c) Calcule las raíces del polinomio mediante división sintética.

No

EXPLICACION

OPERATORIA

1.

Clasificar la función polinomial según su grado e identificar el coeficiente principal y término constante.

ℎ(𝑥) = 6𝑥6 − 23𝑥5 + 24𝑥4 + 13𝑥3 − 10𝑥2

ℎ(𝑥) = 𝑥2(𝟔𝑥4 − 23𝑥3 + 24𝑥2 + 13𝑥 − 𝟏𝟎)

NOTA: 𝑥 = 0, 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2

Entonces:

Donde:

Grado=6

Coeficiente principal= 6

Término constante= 10

2

Utilizar el teorema de las raíces

racionales ( 𝑝

𝑞 ), donde “P” es un factor

entero del término constante y “q” es un factor entero del primer coeficiente, con el cual con todos los cocientes posibles de cada factor se puede formar una lista de raíces raciones potenciales de 𝑃(𝑥)

𝑃

𝑞=

10,5,2,1

6,3,2,1

𝒙 = {±𝟏𝟎, ±𝟓, ±𝟐, ±𝟏, ±𝟓

𝟐, ±

𝟏

𝟐, ±

𝟏𝟎

𝟑, ±

𝟓

𝟑, ±

𝟐

𝟑, ±

𝟏

𝟑}

Construir tabla de signos de descartes, evaluando las posibles raíces al determinar los cambios de signos de 𝑃(𝑥) y de 𝑃(−𝑥)

Para: 𝑃(𝑥) = 6𝑥4 − 23𝑥3 + 24𝑥2 − 13𝑥 − 10 3 posibles raíces positivas o 1.



Para: 𝑃(−𝑥) = 6𝑥4 + 23𝑥3 + 24𝑥2 − 13𝑥 − 10 1 posible raíz negativa.

Nulas (+) (-) (C) Total

2 3 1 0 6

2 1 1 2 6

3

Se sabe que el polinomio posee 4 raíces racionales, por lo que ellas deberían encontrarse en la lista de posibles raíces. Para encontrarlas se utilizara la división sintética, comenzando por 𝑥 = −2/3 . El residuo cero indica 𝑟 = 𝑃(−2/3) = 0 , y así -2/3 es una raíz de 𝑃(𝑥).

6 -23 24 13 -10 -2/3 -4 18 -28 10

6 -27 42 -15 0

𝒙 = −𝟐/𝟑

4

Se procede a comprobar con 𝑥 = 1/2, con el último polinomio de la división sintética del paso anterior. El residuo cero indica que 𝑟 = 𝑃(1/2) =0 , y así 1/2 es una raíz de 𝑃(𝑥).

6 -27 42 -15 1/2 3 -12 15

6 -24 30 0

𝒙 = 𝟏/𝟐

5.

Resolver el polinomio de grado dos restante de la división sintética del paso 4 como una función cuadrática.

6𝑥2 − 24𝑥 + 30 = 0

𝒙 = 𝟐 ± 𝒊

R. / 𝒙 = −𝟐/𝟑

𝒙 = 𝟎, 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝟐 𝒙 = 𝟏/𝟐

𝒙 = 𝟐 ± 𝒊

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